西南交大离散数学1_1
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定义：两个命题P和Q的合取是一个复 合命题，记作P∧ Q。当且仅当P、Q同 时为T时， P∧ Q为T，其他情况下P∧ Q的真值都是F。
“合取”是一个二元运算，称为 “与”运算。其运算法则表如下：
联结词“∧ ”的运算法则：
P T T F F Q T F T F P∧ Q T F F F
注：合取的概念与自然语言中的 “并且”意义相似。
（6）明天是否开大会？ （7）天气多好啊！ （8）我正在说谎。 （9）我学英语，或者我学日语。
3、命题的表示
在本课程中，我们将使用大写字母A、 B、…、P、Q、…，或带下标的大写字 母，或方括号括起来的数字。来表示命 题。 如： P：太阳从西边出来。 [12]：太阳从西边出来。 即命题既可用字母也可用数字来表示
定义:命题演算的合式公式（wff），规定为：
（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么ךA是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么A∧ B ， A∨B，A→ B和A ⇄ B都是合式公式。 （4）当且仅当能够有限次地应用1、2、3、所 得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串 是合式公式。
2、命题类型 命题有两种类型： 原子命题：不能分解为更简单的陈述语 句的命题。 复合命题：由联结词，标点符号和原子 命题复合构成的命题。 所有这些命题，都应具有确定的真值。 联结词的例子，如：“并且”、“或 者”、“如果…则…”等。
例：判断下面的句子是否为命题。 （1）中国人民是伟大的。 （2）雪是黑的。 （3）1+101=110 （4）别的星球上有生物。 （5）全体立正。
5）双条件
定义：给定两个命题P和Q，其复合命题
P⇄ Q称作双条件命题，读作“P当且仅当
Q”，当P和Q的真值相同时，P⇄ Q 的真
值为T，否则P⇄ Q 的真值为F。
联结词“⇆”的运算法则：
P T T F F Q T F T F P⇄Q
T F F T
注：双条件命题也可以不顾其因果 联系，而只根据联结词定义确定真值。亦 可记作“↔ ”或“iff”。它亦是二元运算。
• 命题标识符 表示命题的符号。
• 命题常量 一个具体的命题。
• 命题变元 的位置。
命题标识符只表示任意命题
注：命题变元不是命题。 • 指 派 当命题变元P用一个特定的命 题取代时，P才能确 定真值，称对P进行 指派。
命题逻辑与程序语言的对应关系
Biblioteka Baidu• 命题标识符
• 命题常量
程序语言标识符。
逻辑常量。
1）否定
定义：设P为一命题，P的否定是一个新 的命题，记作：ךP。若P为T， ךP为F； 若P为F， ךP为T。 “ ”ך是一元运算。
其运算规则表如下：
P T F
ךP F T
例：
P：太阳从东边出来
ךP： ךP：太阳不从东边出来
注意： “”ך表示命题的否定。
2）合取
例： P ：两个三角形全等
Q ：两个三角形的三组对应边相等
P ⇄ Q：
P ⇄ Q：两个三角形全等当且仅当它 们的三组对应边相等。
命题公式与翻译
命题公式：若P和Q是命题变元，则
┒ P , P∨ Q , (P∨ Q)∨ (P→ Q) , P ⇄ (Q∨ ┒ P)
都称作命题公式。
注：命题公式是没有真假值的，仅当 在一个公式中命题变元用确定的命题代入时， 才得到一个命题。
• • • • • 谓词的概念与表示 命题函数与量词 谓词公式与翻译 变元的约束 谓词演算的等价式与蕴含 式 • 前束范式 • 谓词演算的推理理论 • 本章作业
一、命题及其表示
1、命题的定义
判断：通过概念对事物是否具有某种属性进 行肯定或否定的回答。 命题：指能表达判断的陈述句。 一个命题，总是具有一个“值”，称为真值。 真值只有“真”和“假”两种，记作True （真） 和False（假），分别用符号T和F表示。只有 具有确定真值的陈述句才是命题，一切没有 判断内容的句子，无所谓是非的句子，如感 叹句，疑问句，祈使句等都不能作为命题。
关于逻辑
问题：甲、乙、丙、丁四人参 加拳击比赛，如果甲获胜，则乙失败；如果 丙获胜，则乙也获胜；如果甲不获胜，则丁 不失败。 能否推出结论：如果丙获胜，则丁不失败 问题：设计一个控制客厅照明的电路，使 得分别装在卧室和客厅的两只开关都能控制 照明。
例：
如果我的程序通过，那么，我很快乐。 如果我很快乐，那么，阳光很好。 现在是晚上十一点，天很冷。
谓词逻辑
关于逻辑
问题：传说中有一个住在边远 小镇上的剃头匠,这个剃头匠只能给那些不自己 剃须的人刮胡子,他能给自己剃须吗?
问题:边远村庄的每个人要么总说真话,那么总说 谎.对旅游者的问题,村民要么回答“是”,要么 回答“否”.假定你在这一地区旅游,走到一个 岔路口,一条岔路通向你想去的遗址,一条岔路 通向丛林深处,此时恰好有一村民站在岔路口, 问村民什么样的一个问题就能决定走哪条路 >>> ?
• 命题变元
• 指 派
逻辑变量。
给逻辑变量赋值。
二、命题联结词
在自然语言中，常常使用“或者”， “并且”，“不是”等一些联结词，对 于这种联结词的使用，一般没有很严格 的定义。在数理逻辑中，复合命题是由 原子命题与联结词组合而成，联结词不 仅是复合命题中的重要组成部分，而且 起到了运算符的作用。为了便于书写和 进行推理演算，必须对联结词作出明确 规定并符号化。下面介绍各个联结词。
4、解：这里“虽……但……”这个词不能用 前述联结词表达，但其实际意义是：他聪 明且不用功。若设：
P：他聪明。Q：他用功。 则可表示为： P∧ רQ 5、解：这个命题的意义，亦可理解为：如 果你不努力则你将失败。若设： P：你努力。Q：你失败。 可表示为：רP→ Q
6、解：这个命题的意义是：张三可
逻辑学
• 逻辑学是一门研究思维形式及思维规律 的科学
判断1
推理
新 判断
判断2
判断3
真 话
烧死
假 话
绞死
我会被绞死
什么是数理逻辑？
用数学方法来研究推理的规律称为 数理逻辑。这里所指的数学方法，就是 引进一套符号体系的方法，所以数理逻 辑又称为符号逻辑，它是从量的侧面来 研究思维规律的学科。
命题逻辑
由这些前提，可以得到什么结论？
P：程序通过 Q：我快乐 R：阳光很好
如果我的程序通过，那么，我很快乐。
P→Q
如果我很快乐，那么，阳光很好。
Q →R
现在是晚上十一点，天很冷。
ךR P→Q ךQ→ךP
Q →R
ךR→ךQ ךR
ךP
ךQ
第一章 数理逻辑
一 命题逻辑
• • • • • • • 命题及其表示法 联结词 命题公式与翻译 真值表与等价式 重言式与蕴含式 对偶与范式 推理理论 二 谓词逻辑
BACK
例题1、解：找出各原子命题，并用命题 符号表示： A：我们要做到身体好。 B：我们要做到学习好。
C：我们要做到工作好。
P：我们要为祖国四化建设而奋斗。
故命题可形式化为：(A∧ B∧ C)⇄ P
例题2、解：
P：飞机9点起飞。 Q：飞机十点起飞。 故命题可表达为 （P ∧ רQ ）∨ （ רP ∧ Q） 例题3、解： P：张三是游泳冠军。Q：张三是百米赛跑 冠军。 故命题可表达为： P∨ Q
例： P ：北京是中国的首都。 Q ：北京是一个故都。 P∧ Q：
P∧ Q：北京是中国的首都并且是 一个故都。
3）析取
定义：两个命题P和Q的析取是一个复合 命题，记作P∨ Q 。当且仅当P、Q同时 为F时， P٧Q的真值为F，否则P∨ Q的 真值为T。
注：从析取的定义可以看到，联结词٧ 与汉语中的“或者”的意义类似。 “析取”也是二元运算，称为“或”运 算，其运算法则表如下：
以做这件事，并且李四也可以做这 件事。若设： P：张三可以做这事。 Q：李四可以做这事。 则可表示为： P ∧ Q
不能表示为： P ∨ Q
关于命题逻辑--答案
答案: 1.？ 2.如果我问你右边的路是否通向废 墟,你会说是吗?
返回<<<
“如果P，那么Q”或“若P则Q ”。当
且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，
P→ Q的真值为F，否则P→ Q 的真值
为T。
我们称P为前件，Q为后件。
联给词“→ ”的运算法则：
P T T F F Q T F T F P→Q
T F T T
例： P ：x>y
Q ：x-y>0
P→Q ：
P→Q ：如果x>y 则x-y>0
书写规则：
1） 公式（┐G）的括号省略，写成┐G；
2） 去掉整个公式外的括号
3） 五种逻辑联结词的优先次序为┐、∧、 ∨、→、 则P∧ Q→ R也是合式公式。
上面介绍了5种常用的联结词，在命题逻辑 中，可以用这些联结词将各种各样的复合 命题符号化，基本步骤如下：
1） 分析出各简单命题，将它们符号化；
2）使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起来， 组成复合命题的符号化表示。
试以符号形式写出命题： 例题1 我们要做到身体好、学习好、工 作好，为祖国四化建设而奋斗。
例题2 飞机九点或十点起飞
例题3 张三是游泳冠军或百米赛跑冠军
例题4 他虽聪明但不用功。
例题5 除非你努力，否则你将失败。 例题6 张三或李四都可以做这件事。
联词“∨ ”的运算法则： P T T F F Q T F T F P∨ Q T T T F
注意：“∨ ”为可兼或
例： P ：成都是中国的首都。 Q ：成都是一个故都。 P ∨Q：
P ∨ Q ：成都是中国的首都或者是一个 故都。
4）条件
定义：给定两个命题P和Q，其条件命
题是一个复合命题，记作P→ Q ,读作：
“合取”是一个二元运算，称为 “与”运算。其运算法则表如下：
联结词“∧ ”的运算法则：
P T T F F Q T F T F P∧ Q T F F F
注：合取的概念与自然语言中的 “并且”意义相似。
（6）明天是否开大会？ （7）天气多好啊！ （8）我正在说谎。 （9）我学英语，或者我学日语。
3、命题的表示
在本课程中，我们将使用大写字母A、 B、…、P、Q、…，或带下标的大写字 母，或方括号括起来的数字。来表示命 题。 如： P：太阳从西边出来。 [12]：太阳从西边出来。 即命题既可用字母也可用数字来表示
定义:命题演算的合式公式（wff），规定为：
（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么ךA是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么A∧ B ， A∨B，A→ B和A ⇄ B都是合式公式。 （4）当且仅当能够有限次地应用1、2、3、所 得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串 是合式公式。
2、命题类型 命题有两种类型： 原子命题：不能分解为更简单的陈述语 句的命题。 复合命题：由联结词，标点符号和原子 命题复合构成的命题。 所有这些命题，都应具有确定的真值。 联结词的例子，如：“并且”、“或 者”、“如果…则…”等。
例：判断下面的句子是否为命题。 （1）中国人民是伟大的。 （2）雪是黑的。 （3）1+101=110 （4）别的星球上有生物。 （5）全体立正。
5）双条件
定义：给定两个命题P和Q，其复合命题
P⇄ Q称作双条件命题，读作“P当且仅当
Q”，当P和Q的真值相同时，P⇄ Q 的真
值为T，否则P⇄ Q 的真值为F。
联结词“⇆”的运算法则：
P T T F F Q T F T F P⇄Q
T F F T
注：双条件命题也可以不顾其因果 联系，而只根据联结词定义确定真值。亦 可记作“↔ ”或“iff”。它亦是二元运算。
• 命题标识符 表示命题的符号。
• 命题常量 一个具体的命题。
• 命题变元 的位置。
命题标识符只表示任意命题
注：命题变元不是命题。 • 指 派 当命题变元P用一个特定的命 题取代时，P才能确 定真值，称对P进行 指派。
命题逻辑与程序语言的对应关系
Biblioteka Baidu• 命题标识符
• 命题常量
程序语言标识符。
逻辑常量。
1）否定
定义：设P为一命题，P的否定是一个新 的命题，记作：ךP。若P为T， ךP为F； 若P为F， ךP为T。 “ ”ך是一元运算。
其运算规则表如下：
P T F
ךP F T
例：
P：太阳从东边出来
ךP： ךP：太阳不从东边出来
注意： “”ך表示命题的否定。
2）合取
例： P ：两个三角形全等
Q ：两个三角形的三组对应边相等
P ⇄ Q：
P ⇄ Q：两个三角形全等当且仅当它 们的三组对应边相等。
命题公式与翻译
命题公式：若P和Q是命题变元，则
┒ P , P∨ Q , (P∨ Q)∨ (P→ Q) , P ⇄ (Q∨ ┒ P)
都称作命题公式。
注：命题公式是没有真假值的，仅当 在一个公式中命题变元用确定的命题代入时， 才得到一个命题。
• • • • • 谓词的概念与表示 命题函数与量词 谓词公式与翻译 变元的约束 谓词演算的等价式与蕴含 式 • 前束范式 • 谓词演算的推理理论 • 本章作业
一、命题及其表示
1、命题的定义
判断：通过概念对事物是否具有某种属性进 行肯定或否定的回答。 命题：指能表达判断的陈述句。 一个命题，总是具有一个“值”，称为真值。 真值只有“真”和“假”两种，记作True （真） 和False（假），分别用符号T和F表示。只有 具有确定真值的陈述句才是命题，一切没有 判断内容的句子，无所谓是非的句子，如感 叹句，疑问句，祈使句等都不能作为命题。
关于逻辑
问题：甲、乙、丙、丁四人参 加拳击比赛，如果甲获胜，则乙失败；如果 丙获胜，则乙也获胜；如果甲不获胜，则丁 不失败。 能否推出结论：如果丙获胜，则丁不失败 问题：设计一个控制客厅照明的电路，使 得分别装在卧室和客厅的两只开关都能控制 照明。
例：
如果我的程序通过，那么，我很快乐。 如果我很快乐，那么，阳光很好。 现在是晚上十一点，天很冷。
谓词逻辑
关于逻辑
问题：传说中有一个住在边远 小镇上的剃头匠,这个剃头匠只能给那些不自己 剃须的人刮胡子,他能给自己剃须吗?
问题:边远村庄的每个人要么总说真话,那么总说 谎.对旅游者的问题,村民要么回答“是”,要么 回答“否”.假定你在这一地区旅游,走到一个 岔路口,一条岔路通向你想去的遗址,一条岔路 通向丛林深处,此时恰好有一村民站在岔路口, 问村民什么样的一个问题就能决定走哪条路 >>> ?
• 命题变元
• 指 派
逻辑变量。
给逻辑变量赋值。
二、命题联结词
在自然语言中，常常使用“或者”， “并且”，“不是”等一些联结词，对 于这种联结词的使用，一般没有很严格 的定义。在数理逻辑中，复合命题是由 原子命题与联结词组合而成，联结词不 仅是复合命题中的重要组成部分，而且 起到了运算符的作用。为了便于书写和 进行推理演算，必须对联结词作出明确 规定并符号化。下面介绍各个联结词。
4、解：这里“虽……但……”这个词不能用 前述联结词表达，但其实际意义是：他聪 明且不用功。若设：
P：他聪明。Q：他用功。 则可表示为： P∧ רQ 5、解：这个命题的意义，亦可理解为：如 果你不努力则你将失败。若设： P：你努力。Q：你失败。 可表示为：רP→ Q
6、解：这个命题的意义是：张三可
逻辑学
• 逻辑学是一门研究思维形式及思维规律 的科学
判断1
推理
新 判断
判断2
判断3
真 话
烧死
假 话
绞死
我会被绞死
什么是数理逻辑？
用数学方法来研究推理的规律称为 数理逻辑。这里所指的数学方法，就是 引进一套符号体系的方法，所以数理逻 辑又称为符号逻辑，它是从量的侧面来 研究思维规律的学科。
命题逻辑
由这些前提，可以得到什么结论？
P：程序通过 Q：我快乐 R：阳光很好
如果我的程序通过，那么，我很快乐。
P→Q
如果我很快乐，那么，阳光很好。
Q →R
现在是晚上十一点，天很冷。
ךR P→Q ךQ→ךP
Q →R
ךR→ךQ ךR
ךP
ךQ
第一章 数理逻辑
一 命题逻辑
• • • • • • • 命题及其表示法 联结词 命题公式与翻译 真值表与等价式 重言式与蕴含式 对偶与范式 推理理论 二 谓词逻辑
BACK
例题1、解：找出各原子命题，并用命题 符号表示： A：我们要做到身体好。 B：我们要做到学习好。
C：我们要做到工作好。
P：我们要为祖国四化建设而奋斗。
故命题可形式化为：(A∧ B∧ C)⇄ P
例题2、解：
P：飞机9点起飞。 Q：飞机十点起飞。 故命题可表达为 （P ∧ רQ ）∨ （ רP ∧ Q） 例题3、解： P：张三是游泳冠军。Q：张三是百米赛跑 冠军。 故命题可表达为： P∨ Q
例： P ：北京是中国的首都。 Q ：北京是一个故都。 P∧ Q：
P∧ Q：北京是中国的首都并且是 一个故都。
3）析取
定义：两个命题P和Q的析取是一个复合 命题，记作P∨ Q 。当且仅当P、Q同时 为F时， P٧Q的真值为F，否则P∨ Q的 真值为T。
注：从析取的定义可以看到，联结词٧ 与汉语中的“或者”的意义类似。 “析取”也是二元运算，称为“或”运 算，其运算法则表如下：
以做这件事，并且李四也可以做这 件事。若设： P：张三可以做这事。 Q：李四可以做这事。 则可表示为： P ∧ Q
不能表示为： P ∨ Q
关于命题逻辑--答案
答案: 1.？ 2.如果我问你右边的路是否通向废 墟,你会说是吗?
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“如果P，那么Q”或“若P则Q ”。当
且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，
P→ Q的真值为F，否则P→ Q 的真值
为T。
我们称P为前件，Q为后件。
联给词“→ ”的运算法则：
P T T F F Q T F T F P→Q
T F T T
例： P ：x>y
Q ：x-y>0
P→Q ：
P→Q ：如果x>y 则x-y>0
书写规则：
1） 公式（┐G）的括号省略，写成┐G；
2） 去掉整个公式外的括号
3） 五种逻辑联结词的优先次序为┐、∧、 ∨、→、 则P∧ Q→ R也是合式公式。
上面介绍了5种常用的联结词，在命题逻辑 中，可以用这些联结词将各种各样的复合 命题符号化，基本步骤如下：
1） 分析出各简单命题，将它们符号化；
2）使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起来， 组成复合命题的符号化表示。
试以符号形式写出命题： 例题1 我们要做到身体好、学习好、工 作好，为祖国四化建设而奋斗。
例题2 飞机九点或十点起飞
例题3 张三是游泳冠军或百米赛跑冠军
例题4 他虽聪明但不用功。
例题5 除非你努力，否则你将失败。 例题6 张三或李四都可以做这件事。
联词“∨ ”的运算法则： P T T F F Q T F T F P∨ Q T T T F
注意：“∨ ”为可兼或
例： P ：成都是中国的首都。 Q ：成都是一个故都。 P ∨Q：
P ∨ Q ：成都是中国的首都或者是一个 故都。
4）条件
定义：给定两个命题P和Q，其条件命
题是一个复合命题，记作P→ Q ,读作：