高二数学教案：《曲线和方程》教学设计

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曲线和方程优秀教案

《曲线和方程》教案【课题】曲线和方程【教材】人教版普通高中课程标准实验教科书——数学选修2-1【教学目标】◆知识目标：1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3、学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

◆能力目标：1、通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；3、能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识；◆情感目标：1、通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2、通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

【教学重点】“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念【教学难点】怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程【教学方法】问题探索和启发引导式相结合【教具准备】多媒体教学设备【教学过程】一、感性认识阶段——以旧带新，提出课题师：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。

下面看一个具体的例子：（出示幻灯片2）借助多媒体让学生直观上深刻体会如下结论：（出示幻灯片3）（出示幻灯片4，引导学生类比、推广并思考相关问题）幻灯片31、直线上的点的坐标都是方程的解；2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。

即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。

也即：幻灯片2画出方程0=-y x 表示的直线师：以上问题就是本节课研究的内容：曲线和方程（板书课题）。

二、分化本质属性阶段——运用反例揭示内涵师：刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个。

2024版年度高中数学《曲线与方程》公开课优秀教学设计

培养学生的空间想象能力、抽象概括能力和推理论证能力。
2024/2/3
能够运用代数方法研究几何问题，体会数形结合的思想。
4
曲线与方程在数学知识体系中地位
曲线与方程是平面解析几何的核心内容，是研究几何图形性质的重要工具。
曲线与方程的学习对于提高学生的数学素养和思维能力具有重要意义。
2024/2/3
明确目标
告知学生学习目标，明确本节课的学习任务。
2024/2/3
14
新知探究：引导发现，自主构建
引导观察
通过实例引导学生观察曲线与方程的对应关系。
2024/2/3
自主探究
让学生尝试自己建立曲线与方程的联系，培养
自主探究能力。
交流讨论
教师点拨
组织学生交流讨论，分享自己的发现和思路。
15
针对学生的探究结果，教师进行点拨和指导，
在解题过程中融入数学思想方法，如数形结合、分类讨论等。
2024/2/3
拓展延伸
对所学知识进行拓展和延伸，引导学生深入思考相关问题。
跨学科应用
介绍曲线与方程在其他学科中的应用，拓宽学生视野。
11
互动式、探究式教学策略运用
提问与互动
通过提问和互动方式引导学生积极参与课堂讨论和思考。
2024/2/3
小组合作与探究
组织学生进行小组合作学习和探究，共同解决问题。
实验与操作
借助数学工具进行实验和操作，帮助学生直观理解曲线与方程的概念和性质。
12
03 教学过程设计
2024/2/3
13
导入环节：激发兴趣，引出主题
创设情境
利用生活实例或数学史故事，引出曲线与方程的主题。

高中数学《曲线与方程》公开课优秀教学设计

课题：2.1.1曲线与方程（第1课时）(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2—1第二章第一节) 一、内容和内容解析1．教学内容《曲线与方程》共分两小节，第一小节主要内容是曲线的方程、方程的曲线的概念；第二小节内容是如何求曲线的方程．本课时为第一小节内容．2．地位与作用本小节内容揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，体现了解析几何这门课的基本思想——数形结合思想，对解析几何教学有着指导性的意义．其中，对曲线的方程和方程的曲线从概念上进行明确界定，是解析几何中数与形互化的理论基础和操作依据．《曲线与方程》作为《圆锥曲线与方程》的第一节，一方面，该部分内容是建立在学生学习了直线的方程和圆的方程的基础上对曲线与方程关系认识的一次飞跃；另一方面，它也为下一步学习圆锥曲线方程奠定了模型的基础．因此，它在高中解析几何学习中起着承前启后的关键作用．二、目标和目标解析本课时的教学目标是结合已学曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步理解数形结合的基本思想．具体目标如下：1．通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳概括曲线与方程的对应关系；2．初步理解方程的曲线与曲线的方程的含义；3．通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括的能力；4．能使用曲线的方程（方程的曲线）的概念判断曲线与方程的对应关系，继续理解数形结合思想．三、教学问题诊断分析1．问题诊断学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解．但是从直线与方程、圆与方程到曲线与方程的对应关系是一次从感性认识到理性认识的“飞跃”，由于大多数学生对“生活中其他的曲线是否能用、如何使用方程表示”这些问题还未曾有过思考，加之曲线的方程（方程的曲线）这一组概念有着较高的抽象性，所以预计在本课的学习中，学生可能出现以下困难：（1）作图探究结束后，学生独立地归纳概括并写出曲线的方程（方程的曲线）的概念时不规范，不全面；（2）难以理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线与方程”的关系时各自所起的作用．2．重难点重点：曲线的方程（方程的曲线）的概念难点：曲线的方程（方程的曲线）概念的生成和理解3.突出重点、突破难点的策略本节课的教学，根据“问题引导，任务驱动”的设计思路，遵循概念学习的规律，使学生在过程中感受数形结合，从特殊到一般，化归与转化的数学思想．具体表现在：（1）用蕴含数学文化的广告创设情境，并将“章头图”、“章导言”融入其中，产生认知冲突，感悟学习曲线与方程的必要性；（2）让学生经历“作图—存异—质疑—寻因”的探究过程，感知方程的变化带来曲线的变化，曲线的差异导致方程的差异，再通过“独立书写—交流讨论—互动修正”生成概念；（3）学生自主举例，辨析概念，联系已学知识，完成对概念的“结构化”．四、教学支持条件分析1．学情分析本课授课对象是成都石室中学高二理科实验班的学生，数学基础扎实，思维较活跃，具有较为丰富的探究活动经验，但在抽象概括能力和语言的规范表达上还有待进一步提升．2．教学策略与教法、学法本课采取“探究—发现”教学模式．教师的教法注重活动的安排和问题的引导，通过问题引导学生从特殊到一般进行探索发现，并归纳概括．学生的学法注重独立探究、合作交流、归纳建构．教具：多媒体PPT课件，平板电脑，三角板，彩色粉笔学具：教材、草稿本、三角板、圆规、铅笔五、教学过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：教学内容师生活动（预设）设计说明一、创设情景，引入概念播放一段和笛卡尔的传说有关的广告视频．师：不知大家有没有看过下面这则广告？生（齐）：（观看视频）师：其实，这则广告的创意源自于一位伟大数学家的爱情传说，大家知道他是谁吗？生（齐）：笛卡尔．师：是的．那你了解笛卡尔优美的画面和音乐吸引学生注意力，富于文化的广告创意调动学生的积极性，暗藏其中的故事情节激发学生的思考和好奇心，情景创设为引【阶段小结】教师引导下，学生交流自己对定义的认识．程的曲线在第一、二象限．师：能否用定义加以说明？生14：如点（-4,-1）在曲线上，但不是方程F的解；（-4,1）的坐标是方程的解，以它为坐标的点不在曲线上．师：其实，要解决曲线与方程的关系的判断，除了教材上定义之外，还有其他的一些表述，请你在学习定义的基础上谈谈自己对曲线与方程关系的判断方法．生15：（预设）检查曲线上的点和方程的解之间的关系．师：不错，但注意准确性．应该是曲线上的每一个点和方程的每一个解的关系．生16：（预设）看曲线上是否有不是方程的解为坐标的点，看曲线是否包括了方程的所有解为坐标的点．师：很好，这种判断方法相当于是看曲线是否纯粹地列出了方程的解为坐标的点，无多余的点，而方程的解是否完备地通过曲线体现了，没有漏掉解．通过对概念的应用，将学生对曲线的方程（方程的曲线）这一概念的多角度理解进行梳理，引导学生在说出自己对曲线与方程关系的理解的基础上对概念再认识．四、课堂检测，课外延伸【课堂检测】请将以下四个方程和右边的图形用连段连接起来：||0x y-=||0x y-=220x y-=师：接下来请看课堂检测．请将以下四个方程和四个曲线配对，并简要说明理由．生17：观察方程中解的正负和曲线上点的坐标的正负，可以筛选答案．师：不错．如果我们要用概念检验曲线和方程之间的关系，该如何分析呢？比如第一个方程和第一幅图．生17：第一支曲线上的部分点的坐标不是第一个方程的解，所以方程不是曲线的方程．课堂检测的作用是检测学生在对定义的理解是否深入，应用是否灵活．学生根据范围直接进行配对，体现了其对曲线与方程关系掌握的灵活性．0x y -=【课外延伸】 1．查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史，并了解笛卡尔在其中所做出的贡献． 2．广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中，关于(1sin )r a θ=-与心形曲线的关系涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》中学习．师：大家想知道本课之初视频背后的故事吗？生（齐）：想．（播放视频）师：广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中，关于(1sin )r a θ=-与心形曲线的关系涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》中学习．《曲线与方程》衔接了直线、圆与圆锥曲线，了解圆锥曲线的发展历史，更有利于激发学生使用方程研究圆锥曲线的兴趣，更加积极地学习解析几何一眼就问题的方法．对于笛卡尔的爱情传说，学生一定是很有兴趣的，其中涉及到的极坐标系作为本课最后的一个说明即拓展了学生视野，也将高中解析几何的直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、坐标系与参数方程四个部分都出现在了本课中．附：板书设计六、目标检测设计§2．1．1曲线与方程（第1课时）一、情景创设二、作图探究2201y x --=- 22(1)y x -=- 2(1)y x x => 0xyxyxy210x y --= 221x y +=曲线的方程（方程的曲线）方程的解曲线上的点PPT 展示区1．曲线上的点的坐标满足方程; 2．以方程的解为坐标的点在曲线上．三、正反实例例1例2（1）（2）1xy在本节课的教学中，为了达成教学目标，我注意了教学环节的设计与教学目标的达成相呼应，做到目标确定环节，在环节中实现目标，具体如下：本课的教学目标达成情况如下：此外，课堂中我还设计了以下目标检测环节： 1.课堂检测请将以下四个方程和图形用连段连接起来：||0x y -= ||0x y -= 220x y -=0x y -=2.课外延伸（1）查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史，并了解笛卡尔和坐标系在其中所做出的贡献．（2）广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中关于(1sin )r a θ=-与心形曲线的关系，便是曲线与方程对应关系的体现，它涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》坐标系与参数方程中学习．设计意图:课堂检测的目的是检测教学效果．再次感受方程的不同导致曲线的不同之间，曲线的差异对应方程的差异，理解数形结合思想．学会使用概念对曲线与方程的关系进行界定．《中国学生发展核心素养》总体框架中谈到，“文化是人存在的根和魂”，文化基础包括“人文底蕴”、“科学精神”，本课内容承载着这两个要素，曲线与方程的关系体现了解析几何核心思想，而解析几何是近代数学的里程碑．课外延伸旨在通过让学生自主查阅资料拓展视野，了解数学史，感受数学文化，发展数学核心素养．结尾部分让学生了解笛卡尔的信件便使用了“曲线与方程的对应关系”这一知识，激发学生兴趣，并不经意地提及了坐标系及参数方程这一解析几何的板块．《曲线与方程》教学设计说明本课时作为《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要内容是曲线的方程（方程的曲线）的概念．学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解．结合以上情况，我制定了本堂课的目标就是结合实例了解曲线与方程的对应关系，感悟数形结合思想.对本课的设计，我作以下说明：1．关于设计定位．如果将曲线的方程（方程的曲线）这一概念直接呈现给学生，然后进行对应练习，学生很可能只会机械记忆判断曲线与方程对应关系的两个条件，无法理解他们在揭示这种关系时各自所起的作用．我在设计这堂课时始终坚持两条思路．一条是以曲线的方程（方程的曲线）这一组概念的知识技能为目标的“明线”，一条是以经历一个完整的“从典型事例中抽象出新的数学概念”体验过程为目标的“暗线”．让数学思想方法似甘露一样浸润学生心田．2．遵循概念学习的规律．曲线与方程的概念的获得应该符合学生的认知规律，在情景中认识到研究“曲线与方程的关系”的必要性，在对典型丰富的事例的探究过程中，归纳概括出特征、性质，并将自然语言逐步转化为数学语言．因此遵循概念教学的规律，设计了“感知概念——形成概念——辨析概念——应用概念”的教学过程．3．实现教材中本章“章头图”、“章导言”的教育价值和作用．作为《圆锥曲线与方程》的第一课时，适当对本章学习内容进行展望是很有必要的，本课的创设情境部分很好的整合了“章头图”、“章导言”与本节内容，产生认知冲动，很好的实现了“章头图”、“章导言”的教育价值和作用．4．浸润数学文化、渗透数学思想、鼓励数学阅读、发展核心素养．文化基础是核心素养的重要内容，包括“人文底蕴”和“科学精神”两个方面，如何在数学学习过程中根据恰当素材进行人文情怀的塑造，是每一位数学教育工作者应该重视的内容．本课的内容体现了解析几何的基本数学思想——数形结合思想，是解析几何的核心概念，课堂中适度安排数学史、数学文化相关内容能够让学生体会数学发展的过程，发展数学素养．5．关于多媒体技术的使用教学中平板电脑充当投影仪的作用，但较传统投影仪有着记录学生活动过程，节约展示时间的优势．因此，根据需要适当选择媒体辅助可以更好的实现教学目的．注重教学实际提升概括能力1、思考深入，认识准确：教师正确理解了教材，确定了合理的教学重点和难点．“曲线的方程”强调只能是表示了“曲线”的方程，不能是随意的方程；“方程的曲线”强调只能是有“方程”的曲线而不能是任意曲线．教学中教师将“让学生初步理解方程的曲线与曲线的方程的含义”作为重点和难点，无疑是合理和准确的．教师正确理解了学生实际．学生在学完必修2之后，对直线、圆与它们的方程的关系有了一定的认识，但理解深度还需要一次“理性认识”的飞跃，才有助于学习后面的圆锥曲线以及参数方程和极坐标. 教师充分认识到学生的基础，设计问题都源自学生的最近发展区．这体现了教师的数学理解水平和研究能力．2、设计科学，推进有效：本节课的教学设计切合要求与实际，思考深入，素材选取与呈现科学，教学环节预设针对性强，为成功实施教学提供了保障．教师充分利用“章导言”引入，让学生感知学习的必要性，激发学生求知欲．选取合理的切入点设计教学内容．教师从学生熟悉的直线方程、圆方程入手，让学生利用所学知识作出方程的解为坐标的点汇聚而成的图形．这一在学生的最近发展区的教学内容设计，能够促进学习水平的提高．针对学习过程进行教学环节预设，为处理课堂教学中的“生成”奠定了基础．为让学生得出曲线与方程的概念，教师教学始终围绕“方程与直线、圆”的关系展开，让学生自己总结提炼并书写概念，并引导学生自己作正反辨析．实践表明，这样的设计，符合内容特点、针对学生学习实际，考虑了学生学习活动中思维发展的可能，为高效处理课堂教学中的“生成”奠定了坚实的基础，也一定程度地提升了学生的抽象概括能力．课堂教学分为创境引入、感知提炼、正反辨析、应用检测等环节．这节课看起来并不热闹，但学生都是经过自主思考后的表达．辨析环节让学生教学生的做法自然而有效地促进了全体学生共同提高．教学的最后提出了让学生查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史，并了解笛卡尔在其中所做出的贡献，既有数学文化和数学史的学习，也引导提升学生的数学阅读能力．3、检测及时，效果良好：课堂教学考虑了教学目标的达成情况．设计目标检测及时了解学生学习效果，为后期教学提供的真实的数据依据．总体来说，这是一堂近乎完美的概念教学课，很好地反映了教师在安排中的深思熟虑和教育追求，给教师以启发，给学生以启迪。

曲线与方程精品教案

曲线与方程【教学目标】1．知识教学点使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础。

2．能力训练点在形成曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

3．学科渗透点从形数结合中受到辩证唯物主义的思想教育。

【教材重难点】1．重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

（解决办法：通过例子，揭内涵；讨论归纳，得出定义；变换表达，强化理解；初步运用，巩固提高；给出推论，升华定义。

）2．难点：难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。

据此可用举反例的方法来突破难点，促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义。

（解决办法：为了在难点有所突破后强化其认识，用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系。

）3．疑点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念的应用。

（解决办法：通过例子，初步领会它的应用；给出概念的推论，既升华了概念又是概念的应用。

）【教学设计】提问、讲授、讨论、引导、练习。

【教学过程】一、复习提问，引出课题1．命题有哪几种基本形式，它们之间的关系如何？原命题与逆否命题、逆命题与否命题两两等价。

学生给出解答如图2-1．本次课就是在此基础上，建立曲线和方程之间的对应关系，即符合怎样条件的方程才能完整地表示一条曲线，同时这条曲线也完整地表示一个方程。

大家知道，在平面直角坐标系中，点和一对有序实数是一一对应的，有序实数就是方程的任一解恰是一对有序实数，这就为曲线与方程建立对应关系奠定了基础。

那么曲线和方程之间应有什么对应关系呢？这是本次课要研究的问题。

课题是“曲线和方程”。

二、运用例子，揭示内涵例1 已知A（-2，-1），B（3，5），求线段AB中重线上点的坐标满足的关系。

解：如图2-2，设动点坐标为P（x，y）。

高二数学教案：曲线与方程

曲线和方程教学目标1.使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，从而掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”这两个概念.2.使学生掌握证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤.3.通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生合情推理能力、数学交流能力、探索能力，确立“数形结合”的思想方法，并进一步提高逻辑思维能力.教学重点与难点对“曲线的方程”、“方程的曲线”定个中两个关系的理解.教学过程师：解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线的问题.即通过建立坐标系，利用平面内点和有序实数对之间一一对应关系，建立曲线的方程，并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质.为此，在第二章“圆锥曲线”的第一节，先建立曲线和方程的关系.这里，先看上堂课后留的两个思考题.(板书)例1 (1)画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程.(2)画出函数y=2x2(-1≤x≤2)的图象C.(选择二位学生自制的计算机软盘或投影片，请二位学生各自操作，展示在投影仪上.取较好的解答定格，如图2-1.)师：这二位同学解答很好.请大家对照直线l及方程，对照抛物线的一倍分C及方程，谈谈符合某种条件的点的集合L和C分别与其方程是怎样地联系起来的？(鼓励学生观察、联想，进行数学交流.学生讨论后选其两个回答，再口述一遍.)生甲：如果M(x0,y0)是l上的任意一点，它到两个坐标轴的距离一定相等，因此x0=y0，那么它的坐标(x0,y0)是方程x-y=0的解；反过来，如果(x0,y0)是方程x-y=0的解，即x0,y0，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条平分线l上.为此把直线l与方程x-y=0密切地联系了起来.生乙：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2的解，那么以它为坐标的点一定在C上.师：学生甲的回答清楚地说明了直线l完整地表示方程x-y=0，而方程x-y=0完整地表示了直线l.但学生乙的回答是否完满，请同学们思考，发表见解，并用最短的语言写在投影片上.(老师巡视后选一张投影展示定格.)学生乙的回答忽略了-1≤x≤2，从而点集C与方程y=2x2的解的集合G无法建立一一对应关系.师：请这位同学进一步阐明自己的见解.生：就本题而言，如(3，18)∈G，但P(3，18)∈C.方程漏掉了制约条件-1≤x≤2.为此正确的理解是：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2(-1≤x≤2)的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2(-1≤x≤2)的解，那么以它的坐标为点一定在C上.师：这样的见解才确切地反映了点集C与方程y=2x2(-1≤x≤2)的解集G是一一对应的.从而，抛物线的一部分C完整地表示了方程y=2x2(-1≤x≤2)，而方程y=2x2(-1≤x≤2)完整地表示了C.现在我们来考虑以下这个问题：点集C还是抛物线的一部分，方程却是y=2x2，不加任何制约条件.那么，此时的点集C与方程的解集是一个什么样的关系呢?(鼓励学生勇于探索，为合理推理铺垫.学生讨论后口答.)生丙：曲线C上的任一点P的坐标(x0,y0)一定是y=2x2的解；但若(x0,y0)是y=2x2的解，以它为坐标的点不一定在C上，有一部分在y=2x2(x＜-1或＞2＝的图象上.师：回答得很好.我们再来考虑一个问题：点集C是抛物线y=2x2，而方程还是y=2x2(-1≤x≤2).它们的关系又是怎样呢?(进一步引导学生积极参与并多向思维.学生口答.)生丁：曲线C上点的坐标不一定是y=2x2(-1≤x≤2)的解；而以y=2x2(-1≤x≤2)的解为坐标的点却一定在C上.师：以上两个问题反映了点集C与方程的解集不是一一对应的两种截然不同的不完整的关系.那么怎样才能使点集C与方程的解是一一对应的呢?为了研究方便，从曲线是点按照某种条件运动所成的轨迹的意义来说，我们也把直线看成曲线.在平面直角坐标系中，点和有序实数对(x,y)联系起来，而二元方程f(x,y)=0的任一个解恰是一个有序实数对.现在我们一起归纳一下要具备的条件(学生讨论、口答).师：同学们讨论得很好.曲线C和二元方程f(x,y)=0应具备以下两个条件：1.若P(x0,y0)∈C,则f(x0,y0)=0成立；2.若f(x0,y0)=0,则P(x0,y0)∈C.本节课的“曲线的方程”与“方程的曲线(图形)”的定义是这样(老师操作计算机或投影片定格)：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x0,y0)=0的解建立了如下的关系：1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2.以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形).师：我们已经给曲线的方程、方程的曲线下了定义.这堂课［例1］的第(1)小题，方程x-y=0是l的方程，而l是方程x-y=0的曲线；第(2)小题，方程y=2x2(-1≤x≤2)是曲线C的方程，而C是方程y=2x2(-1≤x≤2)的曲线.同学们再举3个例子，每个例子画一条曲线，写一个方程.第1个例子满足定义中的两个条件；第2个例子满足定义中第1个条件，不满足第2个条件；第3个例子不满足定义中第1个条件，满足第2个条件.(鼓励学生进行思维训练，强化概念记忆.选一位同学构造的例题板书.)生：(板书)师：(与学生一起评议)例1符合定义中的两个条件，y=|x|是曲线C的方程，C是方程y=|x|的曲线；例2中，曲线C的方程不是Y=x，C也不是方程y=-x的曲线，如果确定方程，那么曲线上遗漏了坐标是方程解的第三象限的点．如果确定曲线，那么方程缺少了制约条件x＞0；第3个例子，y=4-x2不是C的方程，C也不是y=4-x2的曲线.如果确定方程，曲线上混有坐不是方程解的点(以原点为圆心，2为半径而圆在x轴下方的部分).如果确定曲线，那么方程x2+y2=4增添了制约条件y≥0(以上叙述在师生多次数学交流中进行).师：同学们对上面后两个例子，就定曲线变方程和定方程变曲线分别构造两个例子，使其符合“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义，写在投影片上.(选正确与有错误的解答各一份.先展示有错的，进行纠正；后展示正确的定格.)师：通过上面例题的研究，同学们掌握了“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义，要牢记定义中的1、2两者缺一不可，当且仅当两者都满足时，能才称为“曲线的方程”和“方程的曲线”.下面研究“证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0”的方法和步骤，请看例2(老师操作计算机或投影展示).例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1(3，-4)，M2(-25，2)是否在这个圆上.师：请同学们研究，证明应从何着手?(大家讨论后回答)生：应从以下两方面着手：1.圆上任一点M(x0,y0)满足x201920195；2.以方程x201920195的解(x0,y0)为坐标的点在圆上.师：同学回答得很好，请大家阅读理解课本第50页例1，学会证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤.(进一步培养学生的阅读、思考、逻辑思维能力.)师：现在我们再一起看一下本例题的证明过程.(老师操作计算机或投影片展示)证明：1.设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点的距离等于5，所以x201920195，，也就是x20+y20=25. 即(x0,y0)是方程x201920195的解.2.设(x0,y0)是方程x2+y2=25的解，那么x201920=25.两边开方取算术根，得x20192019，即点M(x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M(x0,y0)是这个圆上的一点.由1、2可知，x2+y2=25是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程.师：现在请一位同学归纳一下证明已知曲线的方程的方法和步骤.生：用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0.证明中分两个步骤；第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.师：这位同学的回答正确归纳了证明的两个步骤，要记住最后应加以总结，使证明更完美.现在我们再来看两个例题，同学们把解答写在投影片上.(老师操作计算机或投影片，先展示例3，解答后再展示例4.)例3 求曲线y=x2关于直线y=x的对称图形的方程.(选两个同学的投影片)1.解 y=x2关于直线y=x的对称图形的方程为y=x.2.解：由可知y=x2关于直线y=x的对称图形的方程为y2=x.师：第一个同学的解答是错误的，遗漏了对称图形中x轴下方图象的方程.而第二位同学通过画出曲线y=x2关于直线y=x的图象，写出了其方程.看来证明某已知曲线的方程是f(x,y)=0是必不可少的，证明课下研究.例4 求曲线y=x3-x关于点(1，2)的对称曲线的方程.(选一个同学的投影片)解设y=x2-x关于点(1，2)的对称曲线上任一点M(x,y)，则M关于点(1，2)的对称点M′(2-x,4-y)，因为M′在曲线y=x3-x上，所以4-y=(2-x)3-(2-x)即为所求的对称曲线的方程.师：这位同学把所求曲线上的点转移到已知曲线上去，方法很好，也是今后求曲线的方程的基本方法.但是，我们这一堂课还要提出的问题是如何证明曲线y=x3-x关于点(1，2)的对称曲线的方程为4-y=(2-x)3-(2-x)呢?证明也留作课下研究.“曲线和方程”这一节，我们准备用两节课.这一堂课，着重研究了“曲线的方程”、“方程的曲线”这两个概念，以及必须具备的两个条件，这是我们用代数的方法研究几何问题的基础.下一堂课，我们将着重研究证明曲线C的方程及重要性.为此，我们留以下作业：书面作业：课本第51页练习，解答写在书本上；研究作业：(板书)1.证明曲线y=x2关于y=x的对称图形的方程是y2=x.2.证明曲线y=x3-x关于点(1，2)的对称曲线的方程是4-y=(2-x)3-(2-x).研究作业的解答请同学们储存在软盘内或写在投影片上.设计说明1.“曲线的方程”这一节，按教参要求是两课时，鉴于本节在解析几何中的重要地位，教案设计是第一堂课着重引出“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念；第二堂课着重研究证明某曲线C的方程是f(x,y)=0.由于在2.2节“求曲线的方程”中，指出了求曲线的方程的5个步骤，而课本中特别指明：“除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，步骤(5)可以省略不写”.同学们高兴的是步骤(5)可以省略不写，而忽略了“同解变形过程”及“如有特殊情况，可适当予以说明”.在提倡素质教育的今天，对学生应用能力的要求日益加强.就目前高中数学对学生的要求，已经到了某已知曲线经过多次平移，再求关于某已知点(带字母参数的)的对称曲线的方程，并加以证明.这样，高中数学中的8种基本对称关系：关于x轴、关于y轴、关于直线y=x、关于直线y=-x、关于直线x=α(α≠0)、关于直线y=b(b≠0)以及关于原点、关于除原点外的任一个定点(t,r)的对称曲线的方程的求法及证明已放到了教学日程上.那么这些问题放哪儿解决?由于这些问题在前一阶段的教学中已有了不同程度的渗透，所以在这一节中系统解决较好.为此，设计了例3和例4，为下一堂课铺垫，也为学生在学习“坐标变换”后解决某已知曲线经过多次平移，再求关于某已知点(或某已知直线)的对称曲线的方程，并加以证明打下良好的基础.关于除此之外的第9种对称关系，即除上述提到前8种对称关系外的任一直线Ax+by+C=0的对称曲线的方程则可在以后的学习中适时介绍.2.在锐意创新的时代，着重培养学生掌握数学的基本思想和提高学生的数学能力是本教案的出发点.在高中数学教学中，作为数学思想应向学生渗透、掌握、强化的有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想及运动变换思想.不是所有的课都能把这些思想自然地溶纳进去，但由于“曲线与方程”这一节在教材中的特殊地位，它把高中数学中的解析几何和代数这两个单科紧紧连在一起，为此能把以上数学思想溶纳大半，这不能不引起我们的高度重视.几何，原始的展现是形.解析几何，主要体现用数学研究形.为此，这一节教材中的“数形结合”应是涉及到数学思想中最多的一个，尽管侧重于用“数”研究“形”，同时对学生用“形”来研究“数”，解决某些代数问题起到了有益的启迪.由于曲线C中有很多的代数中函数的图象，曲线C 是点按某种条件运动而成的，所以在这一节的教学中应对函数与方程思想、运动变换思想加以足够的重视.在本教案中例1的直线l和抛物线的一部分C在计算机显示中均以点运动所成的轨迹出现.并与代数中一次函数和二次函数的图象和方程相联系，触类旁通提高学生的数学能力是高中教学的任务之一，而逻辑思维能力是所有数学能力的核心.为了实现这一目标，本教案力图让学生主体参与、主题参与.让学生动手、动脑，通过观察、联想、猜测、归纳等合情推理，鼓励学生多向思维、积极活动、勇于探索.在学生的活动中，老师谨慎驾驭，肯定学生的正确，指出学生的错误.引导学生，揭示内涵，从正反两方面认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义的两个条件，不断地培养和训练学生的逻辑思维能力。

曲线与方程教案

曲线与方程教案一、概述曲线与方程是高中数学中的一个重要的内容，它是研究数学对象（点、直线、圆等）的位置关系的一种方法。

在现实生活中，曲线与方程可以应用于各种问题的求解，例如物体的运动轨迹、电路的分析等。

二、教学目标1. 理解曲线与方程的基本概念和特点；2. 掌握一些常见曲线的方程；3. 能够通过方程确定曲线的位置和性质；4. 运用曲线与方程解决实际问题。

三、教学内容及教学步骤第一节曲线与方程的基本概念1. 引入：以一个物体的运动轨迹为例，由此导出曲线与方程的概念；2. 定义：介绍曲线与方程的基本概念，包括曲线、方程、坐标系等；3. 特点：讨论曲线与方程的一般特点，包括连续性、唯一性等。

第二节常见曲线与方程1. 直线的方程：介绍直线的一般方程和特殊情况的方程，如平行于坐标轴的直线等；2. 抛物线的方程：介绍抛物线的一般方程和特殊情况的方程，如开口方向、对称轴等；3. 圆的方程：介绍圆的一般方程和特殊情况的方程，如半径、圆心等；4. 椭圆的方程：介绍椭圆的一般方程和特殊情况的方程，如长轴、短轴等；5. 双曲线的方程：介绍双曲线的一般方程和特殊情况的方程，如焦点、渐近线等。

第三节方程与曲线的应用1. 方程与实际问题的转化：通过实际问题，让学生将问题转化为方程；2. 解方程求解问题：通过解方程，求解实际问题；3. 应用练习：让学生自己设计一些实际问题，并通过方程解决。

四、教学方法与手段1. 概念讲解法：通过讲解的方式介绍曲线与方程的基本概念和特点；2. 例题演示法：通过示例演示如何确定曲线的方程和解决实际问题；3. 合作学习法：让学生小组合作，共同解决实际问题，并归纳总结。

五、教学重点和难点1. 重点：直线、抛物线、圆、椭圆和双曲线的方程及其性质；2. 难点：方程与实际问题的转化。

六、教学评价与反思1. 评价方法：通过观察学生的思维、解题过程、课堂表现和小组讨论等方法进行评价；2. 反思：根据学生的反馈和评价结果，及时调整教学方法和教学内容，以提高教学效果。

曲线与方程教案

曲线与方程教案曲线与方程教案教学目标：1. 理解曲线和方程之间的关系；2. 能够根据给定的方程，画出相应的曲线；3. 掌握常见曲线的方程及其特点。

教学内容：1. 曲线的定义：曲线是指在平面上由一系列点连接而成的连续图形。

2. 方程的定义：方程是指数、代数、函数或者几何等方面的等式或不等式。

3. 曲线与方程的关系：方程可以表示曲线的几何特征，曲线是方程的图形解。

教学步骤：Step 1: 引入新知识执教教师可以使用简单的例子来引入曲线与方程之间的关系，比如以一元一次方程为例，通过给定方程y = 2x + 3，可以让学生画出与之对应的曲线并分析其几何特征。

Step 2: 曲线的方程与特征讲解常见曲线的方程及其特征：- 一次函数曲线：y = kx + b，斜率k决定曲线的斜率方向和变化趋势，截距b决定曲线的位置；- 二次函数曲线：y = ax² + bx + c，二次函数曲线的开口方向和大小由二次项的系数a决定；- 平方根函数曲线：y = √x，平方根函数曲线是一条从原点开始向右上方的开口曲线；- 绝对值函数曲线：y = |x|，绝对值函数曲线以y轴为对称轴，开口形状像字母V；- 正弦函数曲线：y = sinx，正弦函数曲线是一条周期性的波浪线。

Step 3: 案例演示与讲解以具体的曲线及其方程为例讲解如何绘制这些曲线，强调方程中的各个参数对曲线的影响，如斜率对曲线的倾斜程度，二次函数曲线的开口方向等。

Step 4: 练习与巩固开展练习活动，让学生根据给定的方程，画出相应的曲线，并分析其特征，如方程y = x² - 4x + 3对应的曲线的开口方向、顶点坐标等。

Step 5: 拓展应用引导学生思考如何利用方程来解决实际问题，如使用曲线方程来分析某种现象的趋势或者预测未来的发展方向。

Step 6: 总结与评价总结曲线与方程的关系，并评价本节课的学习情况。

可以通过提问或小测验的方式进行学生知识的巩固和检测。

数学《曲线与方程》教案

数学《曲线与方程》教案【教学目标】1.了解和掌握一次函数和二次函数的图像、性质和应用。

2.掌握一次方程和二次方程的基本知识、解题方法和应用。

3.掌握实际问题应用中解方程的方法。

【教学重点】1.掌握一次函数和二次函数的图像、性质和应用。

2.掌握一次方程和二次方程的基本知识、解题方法和应用。

3.掌握实际问题应用中解方程的方法。

【教学难点】1.一次函数和二次函数的图像、性质和应用的综合应用。

2.实际问题应用中解方程的方法。

【教学过程】一、引入新课教师可引导学生通过问答、引入故事等方式，调动学生的学习兴趣，引入新的知识领域。

二、概念的讲解和探究1.一次函数(1)定义：函数y=kx+b(x∈R)称为一次函数，其中k,b均为常数，k为非零实数。

(2)一次函数的图像：一次函数图像是由一条直线组成，图像有倾斜的趋势，当斜率k>0时，图像从左向右上升，k<0时，图像从左向右下降。

截距b为函数图像在y轴上的截距。

(3)应用：一次函数常常代表一种线性关系，如速度、距离、重量、价格等。

2.二次函数(1)定义：函数y=ax^2+bx+c(x∈R)称为二次函数，其中a,b,c为常数，且a≠0。

(2)二次函数的图像：二次函数图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，当a>0时，图像开口朝上；a<0时，图像开口朝下。

顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))（f(x)=ax^2+bx+c）。

(3)应用：二次函数常常在抛物线问题中使用，如炮弹的运动、神经元的发放等等。

三、基本解法的演示1.一次方程的解法(1)基本初等变形法：对等式两边进行加、减、乘、除等运算，化简方程，将未知数分离出来。

(2)解题步骤：Step1：用合适的字母表示未知数。

Step2：列出等式。

Step3：对等式进行变形。

Step4：将未知数分离出来。

Step5：检验解。

2.二次方程的解法(1)配方法：当方程右侧项不为0时，可以采用配方法将方程化为平方差的形式，从而求得方程的解。

高中数学曲线和方程教案（改）

高中数学曲线和方程教案（改）第一篇：高中数学曲线和方程教案(改)各位老师，大家好！我叫韩杨，今天我说课的课题是《曲线和方程》的第一课时。

下面我将从教材分析、教学目标、教学重难点、教法和学法、教学过程和教学效果等六个方面加以分析和说明。

一、教材分析《曲线和方程》是人教版高中数学第二册上册第七章第五小节的内容。

本节课的主要内容是了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，学会求解曲线的方程，因为学生已有了用方程表示曲线的感性认识，特别是二元一次方程表示直线，现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变量的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程。

它既是对前一节线性规划知识的延伸和发展，也为下一节圆的方程打下了基础，起到了承上启下的作用。

二、教学目标根据教学大纲的要求和高中学生的认知规律，以及新课标对教育目标的定位，我将本节课的教育目标确定为以下三点：►知识与技能目标：初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

►过程与方法目标（1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；（2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；（3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

►情感态度与价值观目标；课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生强烈的求知欲。

三、教学的重难点根据数学新课标标准，我确定本节课的重点是“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

为强化其认识，决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法、知其理。

高中数学曲线和方程教案

主题：曲线和方程目标：学生能够理解和应用曲线和方程的概念，能够绘制和分析各种曲线图形。

教学内容：1. 方程的基本概念2. 一元一次方程3. 一元二次方程4. 曲线的基本概念5. 直线的方程和性质6. 圆的方程和性质7. 椭圆、抛物线、双曲线的方程和性质8. 曲线的应用教学步骤：第一课：方程的基本概念1. 引入方程概念，让学生认识到方程在现实生活中的重要性2. 教授方程的定义和基本术语3. 讲解方程的解的概念和思维方式第二课：一元一次方程1. 讲解一元一次方程的定义和性质2. 演示如何求解一元一次方程3. 练习一元一次方程的相关题目第三课：一元二次方程1. 讲解一元二次方程的定义和性质2. 演示如何求解一元二次方程3. 练习一元二次方程的相关题目1. 引入曲线的概念，让学生认识到曲线在数学中的重要性2. 讲解曲线的定义和基本分类3. 演示如何绘制各种曲线图形第五课：直线的方程和性质1. 讲解直线的方程和性质2. 演示如何通过方程求解直线的相关问题3. 练习直线方程的相关题目第六课：圆的方程和性质1. 讲解圆的方程和性质2. 演示如何通过方程求解圆的相关问题3. 练习圆的方程的相关题目第七课：椭圆、抛物线、双曲线的方程和性质1. 讲解椭圆、抛物线、双曲线的方程和性质2. 演示如何通过方程求解这些曲线的相关问题3. 练习椭圆、抛物线、双曲线的方程的相关题目第八课：曲线的应用1. 讲解曲线在现实生活中的应用2. 演示如何通过曲线方程解决实际问题3. 练习应用题目课堂互动：1. 学生提出问题，老师解答并引导学生思考2. 老师布置课后作业和练习题，及时纠正学生的错误3. 小组合作解题，促进学生之间的交流和合作评估方式：1.2. 课后练习题和考试成绩3. 口头回答问题和解题思路的清晰度教学资源：1. 教科书及相关参考书籍2. 多媒体教学设备3. 课堂板书和示范绘图教学反思与改进：1. 结合学生实际情况，及时调整教学内容和方式2. 引导学生自主学习和解决问题的能力3. 关注学生的学习动态和进度，及时纠正错误和强化重点知识总结：通过本课程的学习，学生将掌握曲线和方程的基本概念和应用技能，从而提高数学素养和解决实际问题的能力。

曲线和方程教案

曲线和方程教案课题：曲线和方程（1）教学目标：知识与技能目标：1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3.学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

过程与方法目标：1.通过直线方程的复引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；2.在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；3.能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

情感与态度目标：1.通过概念的复引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；2.通过本节课的研究，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；3.学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。

教材分析：本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。

由于学生已经具备了用方程表示直线，抛物线等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例，揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义。

为强化其认识，又决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法、知其理。

教学重点：曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

教学难点：如何利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。

借助多媒体，让学生通过直观的方式深刻理解直线方程的特点：直线上的点的坐标都是方程的解，以及以方程的解为坐标的点都在直线上。

这种对应关系说明直线和方程是等价的。

数学教案-曲线和方程

数学教案－曲线和方程一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够： - 理解曲线和方程的关系 - 掌握曲线和方程的基本术语和概念 - 能够在具体问题中应用曲线和方程进行求解二、教学重点•曲线和方程的定义和特点•曲线的分类和方程的形式•利用曲线和方程解决实际问题的能力三、教学内容1. 曲线和方程的关系•曲线是由方程所描述出来的图形，方程是用来表示曲线的数学符号表达式。

•曲线和方程是密不可分的，通过曲线可以找到方程，通过方程可以绘制出曲线。

2. 曲线的分类•根据曲线所在的平面，可以分为二维曲线和三维曲线。

•根据曲线的形状，可以分为直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线等。

3. 方程的形式•一元方程：只含有一个未知数的方程，如x^2 + 3x - 2 = 0。

•二元方程：含有两个未知数的方程，如x + y = 5。

•多元方程：含有多个未知数的方程，如2x + 3y + 4z = 10。

4. 利用方程解决实际问题•实际生活中，许多问题可以通过建立方程来求解。

•例如，求解一个矩形的面积可以通过方程A = l * w来表示，其中A表示面积，l表示长，w表示宽。

四、教学方法•理论讲解结合实际问题，引导学生思考曲线和方程的关系。

•分组讨论，让学生通过小组合作解决实际问题，激发学生的学习兴趣。

•利用电子白板和计算机软件展示曲线和方程的图形，提高学生对于知识的直观理解。

五、教学步骤1. 导入新知识•引导学生回顾前几次课的内容，复习曲线和方程的定义和特点。

2. 讲解曲线和方程的关系•通过示意图展示曲线和方程之间的联系，让学生理解曲线是由方程所描述出来的。

3. 分组讨论•将学生分成小组，每个小组解决一个实际问题。

•通过建立方程，并利用方程求解实际问题。

4. 汇报和讨论•每个小组介绍他们的解决方案，并进行讨论和分享。

•教师引导学生总结各组的解决方法，形成全局性的认识。

5. 实际应用练习•提供多个实际问题，让学生独立解决，并将解题过程记录下来。

高二数学下7.5 曲线和方程教案

课题：7.5曲线和方程〔一〕曲线和方程教学目标：1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程〞与“方程的曲线〞的概念及其关系，并能作简单的判断与推理王新敞2．在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法王新敞3．培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神王新敞教学重点：理解曲线与方程的有关概念与相互联系王新敞王新敞教学难点：定义中规定两个关系〔纯粹性和完备性〕王新敞王新敞授课类型：新授课王新敞课时安排：1课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞教材分析：曲线属于“形〞的X畴，方程那么属于“数〞的X畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，“曲线和方程〞这节教材，揭示了几何中的“形〞与代数中的“数〞的统一，为“依形判数〞和“就数论形〞的相互转化奠定了扎实的基础．这正表达了几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响．曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃．本节教材中把曲线看成是动点的轨迹，蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法；把曲线看成方程的几何表示，方程看作曲线的代数反映，又包含了对应与转化的思想方法王新敞由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径．求曲线的方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一王新敞根据大纲要求，本节内容分为3个课时进行教学，具体的课时分配是：第一课时讲解“曲线与方程〞与“方程与曲线〞的概念及其关系；第二课时讲解求曲线方程的一般方法，第三课时为习题课，通过练习来总结、巩固和深化本节知识，并解决与曲线交点有关的问题。

考虑到本节内容的基础性和灵活性，可以对课本例题和练习作适当的调整，或进行变式训练王新敞针对第一课时概念强、思维量大、例题习题不多的特点，整节课以启发学生观察思考、分析讨论为主。

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教学目标
（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．
（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．
（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．
（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法．
（5）进一步理解数形结合的思想方法．
教学建议
教材分析
（1）知识结构
曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本
概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解
析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线
的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答
什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲线性质
则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大
基本问题．
（2）重点、难点分析
①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．
②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．
教法建议
（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集
之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是
点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．
（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何
的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑
上的和心理上的准备．
（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．
（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：
摘要：采取合作学习的方式，以学生活动为主线，本着“激趣、创新、应用、拓展”的原则开展教学，注重学生自主生成知识的过程教学，激发其学习
兴趣，调动学生积极性，充分体现了学生的主体地位。

关键词：种群；合作学习；教学设计一、教材分析及设计思路
“种群的特征”是人教版高中生物必修3《稳态与环境》模块第四章第一节的内容。

本节内容具有承上启下的作用，是在学生学习个体的稳态及其调节机
制的基础上，进一步从宏观层次来分析生命系统的特征。

通过本节的学习，对
种群的概念及特征将具有明确的认识，为群落、生态系统、生物圈及人类与环
境等生态学知识的学习奠定了基础。

针对教材的特点，本着“激趣、创新、应用、拓展”的原则做了如下尝试。

利用教材及补充的图片、资料等，将学生引入所设计的教学情境；充分利用和
开发生物课程资源，结合江西省本土资源，创设问题引领教学环节，使教学过
程成为学生主动探究的过程；采用任务型的教学途径，倡导合作学习，通过多
样化的活动，培养学生的动手能力、获取信息能力、分析问题能力和语言表达
能力，增强学生的学习兴趣。

二、教学目标
1.知识目标
描述种群及种群密度的概念，说出种群密度的两种调查方法。

2.能力目标
尝试应用样方法实地调查某种群的种群密度，通过模拟活动领悟标志重捕
法的原理，并根据所得数据进行计算，作出合理的分析和判断。

3.情感、态度与价值观目标
培养学生获取新知识和解决问题的能力，通过活动体验科学探究的过程，
提高学生的科学素养。

三、教学过程
1.创设情境，导入新课
利用多媒体播放《帝企鹅日记》影片的片段。

生物是有生命的个体。

从分子水平看，体现生命现象主要是核酸和蛋白质两种物质；从个体水平看，帝企鹅
机体要维持稳态，是通过神经―体液―免疫调节实现的；从帝企鹅群体水平看，帝企鹅的生长、发育和繁殖等行为与其他个体间有没有关系呢？任何生物在自
然界中都不是孤立存在的，该影片就是以南极帝企鹅种群为视角展现它们的生
命活动。

问题讨论：回忆种群的概念，并判断以下内容哪些是种群？
（1）鄱阳湖中的全部鲫鱼；
（2）鄱阳湖中的全部鱼；
（3）鄱阳湖和洞庭湖中的全部鲫鱼。

邀请学生提炼出种群概念的要点。

设计意图：通过优美的电影片段，激发学习的好奇心和求知欲望，使学生
容易融入学习和探究的氛围中。

2.种群的特征
问题引导：从群体水平来看，种群是个体的简单累加吗？个体的特征能代
表种群的特征吗？个体的生命是有限的，但对一个种群来说，会因为个体的消
失而消失吗？
设计意图：通过个体和种群之间的关系，使学生明白种群不是个体的简单
累加，种群的个体之间通过特定的关系组成一个整体，这时种群就表现出个体
不具有的特征，从而将教学内容自然过渡到种群的特征。

3.种群密度及种群密度的调查方法
利用多媒体展示热映影片《阿凡达》的海报和为了呼吁保护热带雨林而制作的西双版纳之“阿凡达”――《望天树?雨林之魂?待觉醒》的海报创设情境，后者是在我国云南西双版纳热带雨林国家公园望。

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