诺贝尔奖数学建模分析
数学建模解决金融问题例子
一、前言部分本次毕业设计，我们主要研究数学建模的方法及其在金融领域的应用，并结合实际生活中的某些具体的例子，分析数学建模在金融领域中的重要性以及如何应用。
数学建模(Mathematical Mode1)就是要用数学的语言、方法去近似地刻画实际，而数学模型是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。
也可以这样描述：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。
数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。
不论是用数学建模方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数模型，并加以计算求解。
现今，我们要在基本的数学建模方法上，找出适用于金融发展的数学建模方法。
而金融，顾名思义，融通资金、使资金融洽通达，是指在经济生活中，银行、证券或保险业者从市场主体（例如储户、证券投资者或者保险者等）募集资金，并借贷给其它市场主体的经济活动。
随着计算机应用的发展, 数学建模又成为高新技术的一种“数学技术”，发挥着关键性的作用，使高新技术不断取得丰硕成果。
时代的进步又使数学建模的内涵愈来愈丰富、深刻，其应用也日渐广泛。
不论是自然科学工作者、工程技术人员，还是社会科学工作者，数学建模方法都将为他们提供一种重要的研究手段。
因此，总结数学建模在各个领域特别是金融领域的应用是十分有价值的。
(参见文献[2]－[6])二、主题部分随着科学技术的快速发展，数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代化管理等方面得到了越来越广泛而深入的应用。
而在应用过程中，建立数学模型是其关键之步。
经济数学模型
1998年全国大学生数学建模竞赛题目
A题 投资的收益和风险
市场上有 n 种资产（如股票、债券、…）Si （ i=1，…，n）供投资者选择，某公司有数额为 M 的一笔 相当大的资金可用作一个时期的投资，公司财务分析人员对 这 n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平 均收益率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到 投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买 若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险 来度量。
y
2
1
x
0
2
4
6
8
-1
-2
这样一来,每一条与水平直线Y=-1相遇的折线唯一地确定
一条这种从（0，0）到（m+n ， n-m -2）的新折线。
设向上的线段条数为U,向下的线段条数为D,则对于新折线有
U+D=m+n
1*U+(-1)D=-(m-n)-2
两式相加即得
2U=2n-2 可见向上的线段条数为
U=n-1 向下的线段条数为
1.5
2
198
S3 23
5.5
4.5 52
S4 25
2.6
6.5 40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资
金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使 净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
2）试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据 进行计算。
Si
Ri(%) Qi(%) Pi(%) Ui（元）
(2) 若记存款为1,并用向上的线段来表示, 取款为-1 ,并用向下的线段来表示,
则这一天内2m个储户随意地来存取款的可能 排列分别对应一条从（0，b）到（2m，b）的折线，而无款可 取的情况当且仅当存取款余额出现负值时发生，此时其对应 的折线将穿过X而与水平直线Y=-1相遇。从而
从诺贝尔经济学奖看数学建模
从诺贝尔经济学奖看数学建模数学建模是通过运用数学方法和技巧来解决实际问题的一种方法。
数学建模的主要目标是将实际问题抽象为数学模型，并通过对模型进行数学分析和计算，得到问题的解决方案。
诺贝尔经济学奖是为了表彰在经济学领域做出重大贡献的学者而设立的奖项，其中不少获奖研究都涉及数学建模的方法和技巧。
本文将从诺贝尔经济学奖的角度来探讨数学建模在经济学中的应用。
数学建模在经济学中的应用可以追溯到20世纪40年代的线性规划理论的发展。
1945年，乔治·达尼尔·丹齐格和约翰·冯·诺伊曼提出了线性规划的方法，这一方法可以用来解决生产经济中的最优化问题。
他们的工作为后来的数学规划理论的发展奠定了基础，并获得了1975年的诺贝尔经济学奖。
线性规划的方法在经济学中得到了广泛的应用，例如在资源配置、供应链管理、市场竞争等领域。
另一个重要的数学建模方法是博弈论。
博弈论是研究决策制定者在相互关联的决策中如何进行选择的一种数学工具。
它可以用来分析经济中各方之间的决策互动和利益冲突。
1994年，约翰·纳什、约翰·赫斯夫勒和雷纳德·库珀获得了诺贝尔经济学奖，以表彰他们在博弈论发展中所做的贡献。
博弈论在经济学中的应用非常广泛，例如在市场竞争、价格战略、合作与非合作博弈等领域。
数学建模在金融经济学中也有着重要的应用。
1981年，罗伯特·梅顿和莱斯特·特雷利共同获得了诺贝尔经济学奖，以表彰他们在金融经济学建模中的贡献。
他们的研究主要关注金融市场的价格变动和风险管理的问题，并提出了著名的“布莱克-斯科尔斯-默顿模型”，该模型被广泛应用于期权定价和风险管理。
从诺贝尔经济学奖看数学建模
从诺贝尔经济学奖看数学建模数学建模在经济学领域的应用可以在多个诺贝尔经济学奖获得者的研究成果中看到。
2005年诺贝尔经济学奖获得者罗伯特·奥尔登（Robert J. Aumann）和托马斯·谢林（Thomas C. Schelling）等学者就是以游戏论为基础，在数学模型的框架下研究了博弈论、社会冲突和合作等问题，从而对这些问题进行了深入的分析和解释。
而 2010 年诺贝尔经济学奖获得者彼得·戴高迪（Peter A. Diamond）、丹尼尔·麦克菲尔森（Dale T. Mortensen）和克里斯托弗·平塞里迪斯（Christopher A. Pissarides）等学者则是以搜索理论为基础，构建了一系列的数学模型来研究劳动力市场中的失业和职业匹配等问题。
这些诺贝尔经济学奖获得者的研究成果充分展示了数学建模在经济学领域的重要应用和价值。
数学建模在经济学领域的应用可以帮助经济学家更好地理解和解释经济现象。
经济学研究的对象是一个复杂的系统，其中包含了大量的经济主体和相关的经济行为。
要想准确地描述和分析这些经济现象，并为政策制定和经济管理提供科学依据，就需要建立合理的数学模型来帮助经济学家理解和解释这些现象。
通过数学建模，经济学家可以将经济现象简化成数学模型，从而忽略复杂的细节，集中于分析关键的经济关系和机制。
通过这种方式，经济学家可以更清晰地理解和解释经济现象，并从中找到影响经济发展的关键因素。
数学建模在经济学领域的应用不仅可以帮助经济学家更好地理解和解释经济现象，还可以为他们提供更有效的分析工具和研究方法。
数学建模在经济学领域的应用还可以为经济政策的制定和实施提供科学依据。
经济政策的制定需要充分考虑到经济发展的复杂性和不确定性，同时还需要基于实际的数据和详细的经济分析。
在这种情况下，数学建模可以帮助经济学家对经济现象进行更深入的分析和预测，并为政策制定提供科学依据。
数学建模思想的实践
数学建模思想的实践刘华南【摘要】线性代数课程教学现状已经跟不上科技发展的要求,数学建模的方法和思想对于解决实际问题效果显著,将数学建模思想融入线性代数教学中不仅加强知识背景介绍,还可以有效提高抽象思维与实际问题之间的相互转化,增强学生对知识的理解以及主动学习能力和创新能力.【期刊名称】《中国科技信息》【年(卷),期】2013(000)014【总页数】1页(P60)【关键词】数学建模思想;线性代数【作者】刘华南【作者单位】黑龙江科技大学理学院,黑龙江哈尔滨150022【正文语种】中文【中图分类】G420线性代数课程是工科类专业非常重要的数学类主干课程，在机械、电子、建筑工程、交通运输、软件工程等工科专业的后继课程中大量涉及。
线性代数课程设置的初衷是培养和锻炼学生抽象思维能力、逻辑思维能力、探究、分析、解决问题的能力，并为各专业的后续课程做好知识储备，因此学好线性代数课程对于工科类学生是必然的要求。
1、工科线性代数教学现状线性代数课程理论内容十分抽象，出现了大量新的定义、新的数学符号，学生会觉得这门课程枯燥乏味，容易丧失学习热情，同时课堂上授课教师大多采用定义——定理——例题方式授课，学生很难参与到教学中，成为了一名旁观者，不利于学习积极性的培养还导致对内容理解不深刻“知其然，不知其所以然”，不能将所学知识转化为自身能力[1]。
这种情况背弃了线性代数的教学初衷，也是工科院校线性代数课程教学中普遍存在的问题。
2、数学建模思想和发展现状所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构。
我们常说的数学概念、数学性质、数学公式、数学法则等都是数学模型[2]，甚至可以是一个图表，一个图像，总之就是得到的结构一定要蕴含着数学意义，再经过不断的修改和检验，得到合理的结论。
这就是数学建模。
数学建模没有统一的数学工具，可以根据建模者知识水平决定采取何种数学手段，因此具有很大的开放性。
诺贝尔奖得主出生月份的统计分析
诺 贝 尔 奖 得 主 出 生 月 份 的 统 计 分 析
刘群锋 熊 辉
（ 莞理 工学 院 软件学 院， 广东 东莞 ５ ３ ０ ） 东 ２ ８ ８
摘要：以获得诺 贝尔奖的科学家和获得Ｆｅｄ ｅ ａ 和Ｗｏｆ ｒ ｅ ｉ ｓｍ ｄ ｌ ｌ ｌ Ｐ ｉ 的数学家为研究对 象，对他们的 ｚ
出生 月份 进行 了分析 和统 计检验 ，结论是 ：他们 的出生月份服 从 均 匀分 布 ，这 意味 着无论 哪个 月份 出生 的
Ｗｏｆ ｌ 基金 的官方 网站ｈｔ：ｗ ｗ ｗ ｌ ｕ ｄｏｇｉ ｔ ／ ｗ ． ｏｆ ｎ ． ． 。因为少数科 学家在 网站 中没 有介绍个 人的 出生月 ｐ／ ｆ ｒ ｌ
份 ，所 以这些科 学家被排 除 在后面 的分析 之外 。另外 ，￣ ２ ０ 年 为止 有９ Ｉ０２ Ｊ 名数 学家既获得 了Ｆｅ ｓ ｉ ｄ ｌ ｍｅ ａ ｄｌ 又获得 了Ｗｏｆ ｒ ｅ ｌＰｉ ，所 以在Ｆｅ ｓ ｄ ｌ ｚ ｉ ｄ ａ的获奖者 中把 这９ ｌ ｍｅ 名数学家排除 了。总的来说 ，本文 搜集到 了有效数据 共６ ０ ，如表 １ ５个 所示 ，数学家６ 位 ，物理学家 １２ ，化 学家 １７ ，生理和医学 ９ ５位 ２位 家 １５ ，文学家９ 位 ，经济学家４ 位 。 ５位 ８ ９
０ 引言
出生月份影响人生吗 ？这似乎是 一个很有趣但 是又很难 说清 楚的 问题 。很多人相信不同月份 出
生的人将有不 同的人生或者 说不 同月份 出生 的人适合于从事不 同的职业甚至行业 ，当然也有很多人
认为这些都是没有 “ 学”根据 的 。本 文试 图从统计学 的角度来 部分回答这一 问题 ，也就是说希望 科 能够利用统计分析工具提供某 些证据来说 明出生月份会不会 影响人生 。为此 ，本文 以优秀的科学家 为研究对象 ，当然优秀 的科 学家很多也很难定义 ，因此本文把焦 点集中在获得 了诺 贝尔奖的科学家 和获得 了Ｆｅ ｓ ｅ ａ 和Ｗｏｆ ｒ ｅ ｉ ｄ ｄ ｌ ｌ ｍ ｌＰｉ 的数学家身上 。这里要指 出，虽然没有诺 贝尔数学奖 ，但 是由于 ｚ 数学在整个科 学中的 中心地位和基础 作用 ，数学家的资料对 于本文 的分析 是必不可少 的，而Ｆｅ ｓ ｉｌ ｄ
数学建模背包问题的解法,程序,多项式的时间算法
max w＝∑yj j ∑aijyj≤1 j yj≥0 (j=1,2,„,n) (i=1,2,„,m)
不难验证，这两个线性规划问题互为对偶问题。当它们取得最优解 时必然有相同的目标值。 设上述线性规划问题的解为 x、y、z， 则矩阵对
策的解为： 对策的值 VG=1/z
局中人Ⅰ的最优策略 x*=VG x 局中人Ⅱ的最优策略 y*=VGy
是否有效的关键。即使是这种估算不很精准，究竟应该是 A ﹤ O(P^2)，A = O(P^2)，还是 A = O(P^3)就不太重要了，有待于进一步去深入分析，因为毕竟 目前还没有一种通用且有效的多项式时间算法存在。需要指出的是，在这种计算 的时间复杂度上， 我们完成的是对于所有小于 P 的奇数的因数分解。如果在此基 础上，需要再对单个的新奇数 P+2 进行因数分解，计算量将下降一个等级，变成 仅仅是 O(P)。 目前可用于因数分解的复杂度最低的算法是量子算法， 计算复杂度为 O （P^3） 的量级，空间复杂度为 O（P），但是它还不能被实际应用，常用主流算法的复 杂度又只是次指数时间复杂度，而本文给出的算法却声称可以达到 O（P^2）的 量级。 结论： 从经过计算机验证后得到的不同数值的运算时间，以及两 P 值运行时 间的比值看，该算法属于多项式的时间算法，复杂度为 O(P^2)。
2.多项式的时间算法：
假定任意一个奇数 O， 能够被某一个小于或者等于它的质数 j 所整除， 那么 k * O 或者 O + k * j，仍然能够被 j 所整除，其中 k = 1，2，3 „ 。假 设正整数 R >O，那么根据循序渐进的计算步骤，显然可有 A = O（O）+ O （O+2）+ O（O+4）+ „ + O（P）= O(P^2)。 A = O(P^2)，完全能够满足在对任意一个奇数 P 的因数分解时，对于计算量 的要求，所以这是一种多项式时间的算法。算法在时间上的复杂度，是这种算法
传染病数学建模
第 30 题传染病传播的数学模型由于人体的疾病难以控制和变化莫测，医学中的数学模型也是较为复杂的。
在研究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者 (或感染后痊愈者 )的多少等。
在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性：设 S 表示在开始观察传染病之后第 k 天易受感染者的k人数， H 表示在开始观察后第 k 天传染病人的人数， I 表kk示在开始观察后第 k 天免疫者 (或感染后痊愈者 ) 的人数，那么S+1=S-0.01S(1) kkk (2)H+1=H -0.2H＋0.01S kkkk I+1=I+0.2H(3) kkk其中 (1)式表示从第 k 天到第 k＋1 天有 1％的易受感染者得天的传 k+1 式表示在第 (2)病而离开了易受感染者的人群；染病人的人数是第 k 天的传染病人的人数减去痊愈的人数 0.2H(假设该病的患病期为 5 k(3)式表示在第 k＋ 1 天免疫者的人数是第 k 天免疫者的人数加上第 k 天后病人痊愈的人数。
将 (1)，(2)和(3)式化简得如果已知 S，H，I 的值，利用上式可以求得 S， H，10001I 的值，将这组值再代入上式，又可求得 S，H，I 的值，2221这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组S，H，kk I 的值。
因此，我们把 S，H， I 和 S，H，I 之间kkkkk+1k+11k＋的关系式叫做递推关系式。
现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为将上述数据 (5)代入 (4) 式右边得利用递推关系式 (4)反复计算得表 30-1。
在建立上述数学模型的过程中，如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出，人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素，那么传染病传播的数学模型变得非常复杂。
所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。
北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第4章 数学建模活动(三) 1 自主数学建模的结题报告
本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上,通过具体实例,建立一些基
于数学表达的经济模型和社会模型,包括存款贷款模型、投入产出模型、
经济增长模型、凯恩斯模型、生产函数模型、等级评价模型、人口增长
模型、信度评价模型等.在教学活动中,要让学生知道这些模型形成的背景、
数学表达的道理、模型参数的意义、模型适用的范围,提升数学建模、数
【数学建模】
数学建模活动的基本过程如下:
数学探究活动是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究并最
终解决问题的过程.具体表现为:发现和提出有意义的数学问题,猜测合理
的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主探索、合作研究论证数
学结论.数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动,
a
220
225
230
235
240
245
250
255
260
265
b
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
然后建立关系式b=0.2a-10.
(2)令b=30,代入公式b=0.2a-10,得a=200,脚的长度为200 mm.
(3)当a=282时,代入公式b=0.2a-10,解得b=46.4,所以分两种情况:如果简单
脚长a/mm
220
225
230
235
240
245
250
255
260
265
鞋号b
34
35
请解决下面的问题:
36
37
38
39
40
41
42
全国大学生数学建模竞赛简介
，结果的开放性。 – (3)实用性：问题和数据来自于实际，解决方法切合于实际
，模型和结果可以应用于实际。 – (4)即时性：国内外的大事，社会的热点，生活的焦点，近
期发生和即将发生被关注的问题。
竞赛题型
▪ 每年出两道题(甲组:A,B题; 乙组:C,D题), 任选一题.
▪ A,C 为连续型题目; B,D为开放型题目
评奖标准
▪ 假设的合理性、建模的创造性、结果的正 确性和文字表述的清晰程度。
竞赛意义
大学阶段难得的一次近似于“真刀真 枪”的训练，模拟了毕业后工作时的情况， 既丰富、活跃了广大同学的课外生活，也 为优秀学生脱颖而出创造了条件.
▪ 初等数学方法建模（代数、几何、初等概率方 法）；
▪ 量纲分析法建模； ▪ 微分法建模（静态优化模型）； ▪ 微分方程模型（动态模型，常微部分）； ▪ 差分方程模型； ▪ 层次分析法建模； ▪ 随机模型（概率分布方法建模）。
数学建模课程的内容安排 (待选部分)
▪ 微分方程模型（偏微部分）； ▪ 稳态模型（稳定性方法建模）； ▪ 图的方法建模（简单的图论方法的应用）； ▪ 逻辑方法建模（合作对策模型等）； ▪ 马氏链模型； ▪ 随机服务模型； ▪ 数学规划模型； ▪ 回归模型. ▪ 视学生、教师情况和课程设置而定
或改进； ▪ 根据建模的要求，可以增加、删除甚至修改题
目的条件； ▪ 把握好用现成的模型和方法，与自己创新的模
型和方法之间的关系； ▪ 论文主体由一人完成，并早些开始写作。
写好论文（答卷）的注意事项
▪ 完整——摘要；问题提出（用自己的语言）；问 题分析；模型假设；模型建立；模型求解（算法 设计和计算机实现）；结果（数据、图形）；结 果分析和检验（如误差分析、统计检验、灵敏性 检验）；优缺点，改进方向等，附录（程序、更 多的计算结果、复杂的推导、证明等）；
全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结概要
全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结概要第一篇：全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结概要邯郸学院本科毕业论文题目学生指导教师年级专业二级学院（系、部）全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨柴云飞闫峰教授 2009级本科数学与应用数学数学系2013年6月邯郸学院数学系郑重声明本人的毕业论文是在指导教师闫峰的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．论文经“中国知网”论文检测系统检测，总相似比为5.80%．毕业论文作者（签名）：****年**月**日全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨摘要全国大学生数学建模竞赛作为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，越来越受到人们的重视，所以建模竞赛的方法也就变得尤为重要．随着竞赛的不断发展，赛题的开放性逐步增大，一道赛题可用多种解法，各种求解的算法有时会相互融合，同时也在向大规模数据处理方向发展，这就对选手的能力提出了更高的要求．由于建模方法种类众多，无法一一介绍，所以本文主要介绍了四种比较常用的数学建模竞赛方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论方法，并结合历年赛题加以说明．关键词：数学建模竞赛统计学方法数学规划图论ICommonly Used Modeling Method ofChina Undergraduate Mathematical Contest in Modeling Chai yunfeiDirected by Professor Yan fengABSTRACTmore people as a basic subject of the largest national college competition.The method of modeling competition has become more and more important.Open questions gradually increased with the development of competition.Most of the games can be solved by lots of solutions.Sometimes these methods can be used together.And there is also a lot of data which puts forward higher requirement on the ability of players.The modeling methods is too numerous to mention, so this article mainly four kinds Commonly used modeling method are introduced that differential and difference equations modeling method, Mathematical programming modeling method, Statistics modeling method, graph theory and interprets with calendar year’s test questions.KEY WORDS：Mathematical contest in modeling Statistics method Mathematical programming Graph theoryII目录摘要........................................................................................................................... ...................I 英文摘要........................................................................................................................... . (II)前言........................................................................................................................... ..................1 1 微分方程与差分方程建模 (2)1.1 微分方程建模 (2)1.1.1 微分方程建模的原理和方法...............................................................................2 1.1.2 微分方程建模应用实例.......................................................................................3 1.2 差分方程建模 (4)1.2.1 差分方程建模的原理和方法...............................................................................4 1.2.2 差分方程建模应用实例.......................................................................................5 数学规划建模........................................................................................................................... ..52.1 线性规划建模的一般理论..............................................................................................6 2.2 线性规划建模应用实例.. (7)3 统计学建模方法 (8)3.1 聚类分析 (8)3.1.1 聚类分析的原理和方法.......................................................................................8 3.1.2 聚类分析应用实例...............................................................................................9 3.2 回归分析.. (9)3.2.1 回归分析的原理与方法.......................................................................................9 3.2.2 回归分析应用实例.............................................................................................10 图论建模方法...........................................................................................................................104.1 两种常见图论方法介绍 (11)4.1.1 模拟退火法的基本原理.....................................................................................11 4.1.2 最短路问题.........................................................................................................11 4.2 图论建模应用实例........................................................................................................12 5 小结........................................................................................................................... ................13 参考文献........................................................................................................................... ............14 致谢........................................................................................................................... . (15)前言全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛．参赛者需要根据题目要求，在三天时间内完成一篇包括模型假设、模型建立和求解、计算方法的设计和实现、模型结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文．通过参加竞赛的训练和比赛，可以提高学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，而且在培养团队精神和撰写科技论文等方面都会得到十分有益的锻炼．竞赛题目的涉及面比较宽，有工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等．竞赛选手不一定预先掌握深入的专业知识，而只需要学过高等数学的相关课程即可，并且题目具有较大的灵活性，便于参赛者发挥其创造能力．近年来，竞赛题目包含的数据较多，手工计算一般不能实现，所以就对参赛者的计算机能力提出了更高的要求，如2003年B题，某些问题的解决需要使用计算机软件；2001年A题，问题的数据读取需要计算机技术，并且对于给出的图像，需要用图像处理的方法获得；再如2004年A题则需要利用数据库数据，数据库方法，统计软件包等等．竞赛题目的总体特点可大致归纳如下：（1）实用性不断加强，问题和数据来自于实际，解决方法需要切合实际，模型和结果可以应用于实际；（2）综合性不断加强，解法多样，方法融合，学科交叉；（3）数据结构越来越复杂，包括数据的真实性，数据的海量性，数据的不完备性，数据的冗余性等；（4）开放性也越来越突出，题意的开放性，思路的开放性，方法多样，结果不唯一等．总体来说，赛题向大规模数据处理方向发展，求解算法和各类现代算法相互融合．纵观历年的赛题，主要用到的建模方法有：初等数学模型、微分与差分方程建模、组合概率、数据处理、统计学建模、计算方法建模、数学规划、图论方法、层次分析、插值与拟合、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、计算机模拟法、灰色系统理论、时间序列等．本文不一一列举竞赛题目中涉及的所有方法，只是重点讨论其中一些比较常用的方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论建模方法，并结合案例说明建模方法的原理及应用．微分方程与差分方程建模在很多竞赛题目中，常常会涉及很多变量之间的关系，找出它们之间的函数关系式具有重要意义．可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但可以得到含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程.建立微分方程或差分方程的数学模型是一种重要的建模方法.如1996年A题“最优捕鱼策略”，1997年A题“零件参数设计”，2003年A题“SARS的传播”，2007年A题“中国人口增长预测”，2009年A题“最优捕鱼策略”等赛题中，都用到了这种方法．1.1 微分方程建模1.1.1 微分方程建模的原理和方法一般来说，任何时变问题中随时间变化而发生变化的量与其它一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现．例1.1 有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v1注入该容器浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅拌均匀，并以v2的流量流出混合后的溶液，试建立反映容器内浓度变化的数学模型．解注意到溶液浓度=变化而发生变化．不妨设t时刻容器中溶质质量为s(t)，初始值为s0,t时刻容器中溶液体积为v(t)，初始值为v0，则这段时间(t,t+∆t)内有溶液质量，因此，容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积溶液体积⎧∆s=c1v1∆t-c2v2∆t，（1）⎨⎩∆V=v1∆t-v2∆t其中c1表示单位时间内注入溶液的浓度，c2表示单位时间内流出溶液的浓度，当∆t很小时，在(t,t+∆t)内有c2≈s(t)s(t)=.（2）V(t)V0+(v1-v2)t对式（1）两端同除以∆t，令∆t→0，则有⎧ds⎪dt=c1v1-c2v2⎪⎪dV.（3）=v1-v2⎨⎪dt⎪s(0)=s0,V(0)=V0⎪⎩即所求问题的微分方程模型．虽然它是针对液体溶液变化建立的，但对气体和固体浓度变化同样适用．实际应用中，许多时变问题都可取微小的时间段∆t去考察某些量之间的变化规律，从而建立问题的数学模型，这是数学建模中微分方程建模常用手段之一．常用微分方程建模的方法主要有：（1）按实验定律或规律建立微分方程模型．此种建模方法充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理，这种方法要求建模者有宽广的知识视野,这样才能对具体问题采用某些熟知的实验定律．（2）分析微元变化规律建立微分方程模型．求解某些实际问题时，寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数学模型．如例1.1中考察时间微元∆t，从而建立起反应溶液浓度随时间变化的模型．此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化，即微元分析，找出其他一些变量与该微元间的关系式，从微分定义出发建立问题的数学模型．（3）近似模拟法．在许多实际问题中，有些现象的规律性并非一目了然，或有所了解亦是复杂的，这类问题常用近似模拟方法来建立问题的数学模型．一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象，将问题做某些规范化处理后建立微分方程模型，然后分析、求解，并与实际问题作比较，观察模型能否近似刻画实际现象．近似模拟法的建模思路就是建立能够近似刻画或反映实际现象的数学模型，因此在建模过程中经常做一些较合理的模型假设使问题简化，然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型．1.1.2 微分方程建模应用实例例1.2（2003年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）SARS 传播的预测．2003年爆发的“SARS”疾病得到了许多重要的经验和教训，使人们认识到研究传染病的传播规律的重要性．题目给出了感病情况的三个附件，要求对SARS的传播建立数学模型：（1）对SARS的传播建立一个自己的模型，并说明模型的优缺点；（2）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测．问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[1]中的求解思路分析.传染病的传播模式可近似分为自由传播阶段和控后阶段，然后将人群分为易感者S，感病者I，移出者R三类．由三者之间的关系可得到下列微分方程：⎧dS⎪dt=-kIS⎪dI⎪⎪=kIS-hI，⎨dt⎪dR=hI⎪⎪dt⎪⎩S+I+R=N利用附件中给出的数据，可以将上述方程变形为dI=kNI-hI=λI，dt其中λ=kN-h，其解为I(t)=I0e-λt.其中I0为初始值．但此模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况，当病例数远小于总人口数时，感病人数将随时间以指数增长.这是按实验定律或规律建立的微分方程模型.为进一步改进模型，用计算机跟踪病毒的个体传播情况，又建立计算机模拟模型．然后用计算机模拟北京5月10日之前SARS的传播情况，并对5月10日以后的传播情况进行预测．但是得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差，所以统计数据，为参数的确定寻求医学上的支持，并以随机模拟取代完全确定性的模拟，对原模型进行改进，建立随机模拟模型．通过计算机编程，产生正态分布的随机数，并对传染情况进行500次模拟，即可进行预测，并可得出对SARS疫情控制提出的相应建议．1.2 差分方程建模1.2.1 差分方程建模的原理和方法差分方程在数学建模竞赛中应用的频率极高，所以要对这种方法引起足够的重视．它针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量．具体方法是：根据实际的规律性质、平衡关系等，建立离散变量所满足的关系式，从而建立差分方程模型．差分方程可以分为不同的类型，如一阶和高阶差分方程，常系数和变系数差分方程，线性和非线性差分方程等等．建立差分方程模型一般要注意以下问题：（1）注意题中的离散变化量，对过程进行分析，尤其要注意形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量；（2）通过对具体变化过程的分析，列出满足题意的差分方程，其中入手点是找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程．1.2.2 差分方程建模应用实例例1.3（2007年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）中国人口增长预测.题目要求从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考附录中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，特别要指出模型中的优点与不足之处.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[2]中的求解思路分析.通过分析题中相关的数据，考虑到我国近年来人口发展的总趋势，因为涉及到人口的增长和变换，所以可以先用微分方程来建立模型，并对我国人口增长的中短期和长期趋势做出预测．首先，根据灰色系统理论，使用灰色关联分析模型法对人口系统结构进行关联分析，找出影响人口增长的主要因素；其次使用年龄推算法进行短期预测.在建立和求解长期预测模型时，根据人口阻滞增长模型（Logistic模型），可以考虑对中国人口老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素建立新的人口增长的差分方程模型.但是它仅给出了人口总数的变化规律，反映不出各类人口的详细信息，所以我们需要建立离散化的模型，并进一步可以得到全面系统地反应一个时期内人口数量状况的差分方程，可以用微分和差分方程理论来表现和模拟人口数量的变化规律．从而对人口分布的状况、变化趋势、总体特征等有更加详细和科学的了解．在模型的求解过程中，用到了MATLAB软件，并做参数估计，利用所得结果和题目给出的近五年来的人口数据，对我国人口发展趋势进行了预测，得到了在老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素影响下，未来我国人口发展预测情况.数学规划建模数学规划是指在一系列条件限制下，寻求最优方案，使得目标达到最优的数学模型，它是运筹学的一个重要分支．数学规划的内容十分丰富，包括许多研究分支，如：线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划、0-1规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化、随机规划、模糊规划、多层规划问题等．在1993年A题“非线性交调的频率设计”，1993年B题“足球队排名”，1995年A题“飞行管理问题”，1996年B题“节水洗衣机”，1997年A题“零件的参数设计”，1998年A题“一类投资组合问题”，1999年B题“钻井布局”，2001年B题“公交车调度问题”，2002年A题“车灯线光源的优化”，2006年A题“出版社书号问题”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等赛题中，都用到了规划的方法．在此以线性规划为例，对规划的方法进行探讨．2.1 线性规划建模的一般理论线性规划建模方法主要用于解决生产实际中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法．一般的优化问题是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或利润最大．优化模型的一般形式为:min(或max) z=f(x)(4)s.t.g(x)≤0.(i=1,2,Λ,m)(5)(x=(x1,x2,Λ，xn).T)由（4）、（5）组成的模型属于约束优化．若只有（4）式就是无约束优化．f(x)称为目标函数，g(x)≤0称为约束条件．在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的g(x)都是线性函数，则该模型称为线性规划．建立实际问题线性规划模型的步骤如下：（1）设置要求解的决策变量．决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很可能事倍功半．（2）找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示．当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和信息，从而避免“遗漏”或“重复”所造成的错误．（3）明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，标出对函数是取极大还是取极小的要求．需要特别说明的是，要使用线性规划方法来处理一个实际问题，必须具备下面的条件：（1）优化条件：问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示．（2）选择条件：有多种可供选择的可行方案，以便从中选取最优方案．（3）限制条件：达到目标的条件是有一定限制的（比如，资源的供应量有限度等），而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来．此外，描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系，才有可能建立数学关系，这一点自然是不言而喻的．线性规划模型的求解可用图解法或单纯形法．随着计算机的普及和大量数学软件的出现，可以利用现成的软件MATLAB或LINGO等求解，在此不再叙述．2.2 线性规划建模应用实例例2.1（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目给出了美国某艾滋病医疗试验机构公布的两组数据，数据涉及到了病人CD4和HIV的浓度含量的测试结果.根据所给的资料需要参赛者完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（3）如果病人需要考虑4种疗法的费用，对评价和预测有什么影响.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.首先对题目所给数据进行分析,考虑到治疗的效果与患者的年龄有关，将患者按年龄分组，如14~25岁,25~35岁,35~45岁及45岁以上4组．每组中按照4种疗法和4个治疗阶段（如0~10周，10~20周，20~30周，30~40周），构造16个决策单元．取4种药品量为输入，治疗各个阶段末患者的CD4值与开始治疗时CD4值的比值为输出.然后建立相应的数学模型,利用相对有效性评价方法，建立分式规划模型并经过变换，转化为线性规划模型求解，对各年龄组患者在各阶段的治疗效率进行评价．计算结果：对第1年龄组疗法2和4在整个治疗中效率较高，在第4阶段仍然有效；对第2年龄组疗法1在第1，2阶段有效；对第3年龄组疗法1，2，3在第1阶段有效；对第4年龄组疗法1，2在第1，2阶段有效．表明只有14~25岁的年4种轻患者，才能在治疗的最后阶段仍然有有效的疗法．随后，由线性规划模型的对偶形式建立预测模型，对各年龄组各种疗法下一阶段的疗效进行预测．若由某决策单元得到的实际输出大于预测输出，则该决策单元相对有效；反之，说明该种疗法对该组患者在治疗的未来阶段不再有效，应该转换疗法．统计学建模方法在数学建模竞赛中，常常会涉及到大量的数据，因此，我们就需要用统计学建模方法对这些数据进行处理．此类方法主要包括统计分析、计算机模拟、回归分析、聚类分析、数据分类、判别分析、主成分分析、因子分析、残差分析、典型相关分析、时间序列等．如2004年A题“奥运会临时超市网点设计问题”，2004年B题“电力市场的输电阻塞管理问题”，2007年A题“人口增长预测问题”，2008年B题“大学学费问题”，2012年A题“葡萄酒的评价”等都用到了这种建模方法．在此选取其中两类方法进行阐述．3.1 聚类分析3.1.1 聚类分析的原理和方法该方法说的通俗一点就是，将n个样本，通过适当的方法选取m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法来聚类，从而可以得到聚类．结果利用sas 软件或者spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图．这种模型的的特点是直观，容易理解．聚类分析的类型可分为：Q型聚类（即对样本聚类）和R型聚类（即对变量聚类）．通常聚类中有相似系数法和距离法两种衡量标准.聚类方法种类多样，有可变类平均法、中间距离法、最长距离法、利差平均和法等.在应用时要注意,在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易,这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理．主要的方法步骤大致如下：（1）首先把每个样本自成一类；（2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵；（3）重新计算类间距离，得到衡量矩阵；（4）重复第2步，直到只剩下一个类.3.1.2聚类分析应用实例例3.1（2012年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）葡萄酒的评价.题目的附件中给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，和该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据.要求参赛者建立数学模型解决以下问题：（1）分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信；（2）根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级；（3）分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系；（4）分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[4]中的求解思路分析.由于给定了酿酒葡萄的理化指标，首先可将附录2和附录3中的一些数据进行处理.并可以据此对各种酿酒葡萄进行聚类分析，但是，由于题目中所给的数据庞大，所以可通过主成分分析法，简化并提取大部分有效信息，再用聚类分析对酿酒葡萄进行分级．最后根据酿酒葡萄对应葡萄酒质量的平均值大小进行比较，排序分级．接下来针对问题中分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系，及上面整理好的数据，采用回归分析原理，在SPSS中得到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系．再通过相关分析，得出相应的相关系数，从而得到相应的判断结论．在分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系时，还用到了多元线性回归分析．该模型用于生活实践中，也可以解决很多实际问题．3.2 回归分析回归分析是利用数据统计原理，对大量数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程，并加以外推，用于预测今后的因变量的变化的分析方法．3.2.1回归分析的原理与方法回归分析是在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制．回归分析主要包括一元线性回归、多元线性回归、非线性回归．回归分析的主要步骤为：（1）根据自变量和因变量的关系，建立回归方程．（2）解出回归系数．（3）对其进行相关性检验，确定相关系数．（4）当符合相关性要求后，便可与具体条件结合，确定预测值的置信区间.需要注意的是，要尽可能定性判断自变量的可能种类和个数，并定性判断回归方程的可能类型．另外，最好应用高质量的统计数据，再运用数学工具和相关软件定量定性判断．3.2.2 回归分析应用实例例3.2（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目同例2.1．问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.问题2的解决就用到回归模型.首先分析数据知，应建立时间的一次与二次函数模型，并经过统计分析比较，确定哪种较好．所以可建立一个统一的回归模型，也可对每种疗法分别建立一个模型．以总体回归模型为例，分别用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法1~3用一次模型较优，且一次项系数为负，即CD4在减少，从数值看疗法3优于疗法2和1；疗法4用二次模型较优，即CD4先增后减，在t 20左右达到最大．可以通过4条回归曲线进行比较，显示疗法4在30周之前明显优于其它．最后再用检验法作比较，结果是疗法1与2无显著性差异，而疗法1与3，2与3，3与4均有显著性差异．图论建模方法图论建模方法在建模竞赛中也经常涉及，应用十分广泛，并且解法巧妙，方法灵活多变．如1990年B题“扫雪问题”，1991年B题“寻找最优Steiner树”，1992年B题“紧急修复系统的研制”，1993年B题“足球队排名”，1994年A题“逢山开路问题”，1994年B题“锁具装箱问题”，1995年B题“天车与冶炼炉的作业调度”，1997年B题“截断切割的最优排列”，1998年B题“灾情巡视最佳路线”，1999年B题“钻井布局”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等都应用到了图论的方法．图论近几年来发展十分迅速，在物理、化学、生物学、地理学、计算机科学、信息论、控制论、社会科学、军事科学以及计算机管理。
从诺贝尔经济学奖看数学在经济中的应用
从诺贝尔经济学奖看数学在经济中的应用数学在经济中扮演着越来越重要的角色，经济学的许多研究方法都依赖于数学思维，许多重要的结论也来源于数学的推导。
这些可以从诺贝尔经济学奖的授予情况略见一斑。
诺贝尔经济学奖从1969年开始颁奖．上世纪末共颁奖32届，获奖者达46人。
从32届颁奖的学者以及颁奖的内容来看，贯穿着一条很明显的事实，那就是数学方法与经济学研究的巧妙结合。
几乎所有的获奖者（除了获1974年诺贝尔奖的哈耶克)获奖成果都用到了数学工具，有一半以上获奖者都是有深厚数学功底的经济学家，还有少数获奖者本身就是著名的数学家，特别像获1975年诺贝尔奖的苏联数学家康托洛维奇，获1983年诺贝尔奖的法籍美国数学家德布洛，获1994年诺贝尔奖的美国数学家纳什。
从诺贝尔经济学奖获得者，分析数学方法与经济学研究的内在联系，分析数学在经济学研究中的地位和作用，分析数学方法怎样在经济学研究中发挥作用，无疑对于从事经济学研究来说具有重要意义。
诺贝尔经济学奖实质上是对经济学理论的重大创新予以奖励。
因此对获奖成果的评价非常重视科学性与分析水平，而提高经济学理论的科学性与分析水平的重要工具即是数学。
第一届诺贝尔经济学奖即是奖给“计量经济学”的创始人弗里希和丁伯根．奖励他们“把经济学发展成为用数学来描述、用计量来决定的科学的先驱者．借助于成熟的理论和统计分析，创立了经济政策和计划的理论基础”。
弗里希不仅提出“计量经济学”的概念，还创办了计量经济学会和“计量经济学”杂志，他们两人的目标是“在经济理论中引入数学的严谨性，并使人们能对经济假设进行定量分析和统计检验”。
第二届诺贝尔经济学奖颁发给美国经济学家萨缪尔森，因为“他比其他任何当代经济学家更多地提高了经济科学中的一般分析和方法水平，指出了经济学中的问题和分析技巧的基本统一”。
萨缪尔森与弗里希不同，更重视经济分析形式化的基础理论研究，他出版的《经济分析基础》就是一本用严格的数学总结的数理经济学的划时代著作。
数学建模博弈论
博弈论的概念博弈论又被称为对策论（Games Theory),是研究具有斗争或竞争性质现象的理论和方法，它既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。
博弈论是指某个个人或是组织，面对一定的环境条件，在一定的规则约束下，依靠所掌握的信息，从各自选择的行为或是策略进行选择并加以实施，并从各自取得相应结果或收益的过程，在经济学上博弈论是个非常重要的理论概念。
博弈论的发展博弈论思想古已有之，我国古代的《孙子兵法》就不仅是一部军事著作，而且算是最早的一部博弈论专著。
博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题，人们对博弈局势的把握只停留在经验上,没有向理论化发展，正式发展成一门学科则是在20世纪初。
1928年冯·诺意曼证明了博弈论的基本原理，从而宣告了博弈论的正式诞生。
1944年，冯·诺意曼和摩根斯坦共著的划时代巨著《博弈论与经济行为》将二人博弈推广到n人博弈结构并将博弈论系统的应用于经济领域，从而奠定了这一学科的基础和理论体系。
谈到博弈论就不能忽略博弈论天才纳什，纳什的开创性论文《n人博弈的均衡点》（1950），《非合作博弈》（1951）等等，给出了纳什均衡的概念和均衡存在定理。
此外，塞尔顿、哈桑尼的研究也对博弈论发展起到推动作用。
今天博弈论已发展成一门较完善的的学科。
博弈论的基本概念博弈要素(1)局中人：在一场竞赛或博弈中，每一个有决策权的参与者成为一个局中人。
只有两个局中人的博弈现象称为“两人博弈”,而多于两个局中人的博弈称为“多人博弈”。
(2)策略：一局博弈中，每个局中人都有选择实际可行的完整的行动方案，即方案不是某阶段的行动方案，而是指导整个行动的一个方案，一个局中人的一个可行的自始至终全局筹划的一个行动方案，称为这个局中人的一个策略。
如果在一个博弈中局中人都总共有有限个策略，则称为“有限博弈”，否则称为“无限博弈”。
(3)得失：一局博弈结局时的结果称为得失。
每个局中人在一局博弈结束时的得失，不仅与该局中人自身所选择的策略有关，而且与全局中人所取定的一组策略有关。
经济数学模型
经济数学模型论文谢杜杜06信管（1）班2006429020149我们知道：数学与经济学息息相关，可以说每一项经济学的研究、决策，都离不开数学的应用。
特别是自从诺贝尔经济学奖创设以来，利用数学工具来分析经济问题得到的理论成果层出不穷，经济学中使用数学方法的趋势越来越明显。
当代西方经济学认为，经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系，建立经济模型，从中引申出经济原则和理论，进行预测、决策和监控。
在经济领域，数学的运用首要的问题是实用性和实践性问题，即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。
因而，数学模型分析已成为现代经济学研究的基本趋向，经济数学模型在研究许多特定的经济问题时具有重要的不可替代的作用，在经济学日益计量化、定量分析的今天，数学模型方法显得愈来愈重要。
一、经济数学模型的基本内涵数学模型是数学思想精华的具体体现，是对客观实际对象的数学表述，它是在一定的合理假设前提下，对实际问题进行抽象和简化，基于数学理论和方法，用数学符号、数学命题、图形、图表等来刻画客观事物的本质属性及其内在联系。
当数学模型与经济问题有机地结合在一起时，经济数学模型也就产生了。
所谓经济数学模型，就是把实际经济现象内部各因素之间的关系以及人们的实践经验，归结成一套反映数量关系的数学公式和一系列的具体算法，用来描述经济对象的运行规律。
所以，经济数学模型是对客观经济数量关系的简化反映，是经济现象和经济过程中客观存在的量的依从关系的数学描述，是经济分析中科学抽象和高度综合的一种重要形式。
经济数学模型是研究分析经济数量关系的重要工具，它是经济理论和经济现实的中间环节。
它在经济理论的指导下对经济现实进行简化，但在主要的本质方面又近似地反映了经济现实，所以是经济现实的抽象。
经济数学模型能起明确思路、加工信息、验证理论、计算求解、分析和解决经济问题的作用，特别是对量大面广、相互联系、错综复杂的数量关系进行分析研究，更离不开经济数学模型的帮助。
06年数学建模大赛获奖论文讲解(完整版)
• 由原始数据知，疗法分为4种，同时我们根据如下标准， 将年龄分为4组，时间分为6组。
• 利用SPSS进行多因素方差分析，得到
模型分析
增量成本-效果分析
• 增量成本-效果分析是对一系列成本增加与一系列效果增 加的比值进行比较，以选择其中一个最佳的治疗方案。 • 思想：先选择一个参照方案，可以使最小的总成本，也可 以是最小的总效果。将所有方案的总成本和总效果分别减 去参照方案的总成本与总效果而得出增量成本-效果比 • ，由每增加1个效果单位所增加的成本量来选择1 个增量成本-效果比最小的治疗方案。
模型求解
• 利用题目所给的数据可以计算出Ci、Ui相应的值 • 从4个治疗方案中，选择第一种疗法作为参照方案（总成 本最小）。其他疗法按总成本从小到大排序，然后将其总 成本和总效果分别减去参照疗法中的总成本与总效果而得 出3个增量成本-效果比。
C题 易拉罐形状与尺寸的最优设计
• 1、取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可 口可乐易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例 如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表并 加以说明；如果数据不是你们测量到的，那么必须注明出 处。 • 2、设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其 结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺 寸，例如说，半径和高之比，等等。 • 3、设易拉罐的中心纵断面如右图所示，即上面部分是是 一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优 设计？其结果是否可以合理说明你们所测量的易拉罐的形 状和尺寸。 • 4、利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你 们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
问题二的模型建立
• 方差分析用于判断控制变量的不同水平是否对观察变量产 生显著影响。如果控制变量的确对观察变量产生了显著影 响，我们还可以通过进一步分析找出究竟是控制变量的哪 个水平对观察变量产生了显著影响。
诺贝尔文学奖分析
摘要诺贝尔文学奖自开奖到2012年的112年间，全球共有109位作家获此殊荣，其中欧美国家有100人获奖，亚非国家有9人获奖。
长期以来，诺贝尔文学奖因其难脱本位主义、地域歧视、文化偏见之俗被世人所诟病，但其在世界文坛的地位依旧首屈一指。
若用动态的思维模式和发展变化的眼光来看待诺贝尔文学奖评奖活动，也有一个不断完善、逐渐向“诺贝尔精神”回归的过程。
本文将使用spss软件，对一百多年来诺贝尔文学奖的相关数据进行统计分析，以量化的方式观察并分析诺贝尔文学奖，阐述20世纪以来百年文坛创作理念的嬗变。
关键词：诺贝尔文学奖，spss软件，统计分析感谢阿尔弗雷特·诺贝尔。
遵从他的遗喊设立的诺贝尔文学奖起到了一个特殊的作用：它衍生了一个诺贝尔文学奖家族,促现了一种诺贝尔文学现象。
诺贝尔文学作为20世纪的重要文学现象，可以做为分析20世纪文学走向的一个范型。
诺贝尔文学奖按照诺贝尔先生授予“一年来对人类作出最大贡献的人”的遗嘱，每年颁发一次，自1901年法国诗人苏利·普吕多姆首次问鼎诺贝尔文学奖，到2012中国作家莫言摘取桂冠，应当颁发112次，实际颁发105次(1914、1918、1935、1940—1943年7年因故没有颁奖)。
计有109人获奖(1904、1917、1966、1974年均有2人分享该奖)，来自40个国家的109位作家获此殊荣。
如图1所示，在40个国家中，排在第一位的是法国，其获奖人数高达13名之多，而位居其后的美国、英国、德国和瑞典都属于欧美国家。
由表1的洲籍可以看出，在109位获奖人中，来自欧洲的作家有81位，占总人数的74.3%之多。
如果把几个大洲划分为东方与西方来看，来自东方国家（亚洲、非洲国家）的获奖者仅有9名，而来自西方国家（欧洲、美洲、大洋洲国家）的获奖者有100名之多。
而在26种语言中，如图2所示，其中有26名获奖者使用的语言为英语，占据语种中最大比例。
其次的德语、法语和西班牙语也都属于欧洲国家的语言。
【精选】数学建模案例分析
数学建模案例分析模型1 蠓虫分类问题背景 两种蠓虫和已由生物学家W.L.Grogon 和W.W.Wirth （1981）根据Af Apf 它们的触角长度、翅膀长度加以区分. 现测得只和只的触长、翅膀长的数据6Apf 9Af 如下：Apf()1.14,1.78()1.18,1.96()1.20,1.86()1.26,2.00()1.28,2.00()1.30,1.96Af()1.24,1.72()1.36,1.74()1.38,1.64()1.38,1.82()1.38,1.90()1.40,1.70()1.49,1.82()1.54,1.82()1.56,2.08问题 ⑴如何根据以上数据，制定一种方法正确区分两种蠓虫？⑵将你的方法用于触长、翅长分别为的个样本()()()1.24,1.80,1.28,1.84,1.40,2.043进行识别.如何考虑？该问题属于统计模型范畴！（属于黑洞问题）1.首先对已有数据进行分析.（测试）画出相应的散点图什么启发？从图中可以看出，两类蠓虫有明显的差别.问题是该如何识别.法1 用最小二乘法得到回归线：结果不理想.法2 用斜率的平均值构造直线结果？图中不同类别的蠓虫的区别还是比较明显的.如何做进一步的识别？用此方法对给定的三个蠓虫进行识别，若点在直线的上方，则判定为Apf，否则定为Af.由此建立识别函数dist.m. 对给定的样本进行识别，如果样本点在直线上方，则将该蠓虫识别为Apf（标示为1）,否则识别为Af（标示为0）.clear,clcApf1=[1.14,1.18,1.20 1.26 1.28 1.30];Apf2=[1.78 1.96 1.86 2.00 2.00 1.96];Af1=[1.24 1.36 1.38 1.38 1.38 1.40 1.48 1.54 1.56]; Af2=[1.72 1.74 1.64 1.82 1.90 1.70 1.82 1.82 2.08]; x=[Apf1,Af1];y=[Apf2,Af2];n=length(x);k=sum(y./x)/n;A=[1.24,1.80;1.28,1.84;1.40,2.04];n=size(A,1);p=[];for i=1:nd=A(i,2)-k*A(i,1);if d>0p=[p,1];elsep=[p,0];endenddisp(p)结果为1 1 1即：三个新样本的判定结果均为Apf！这样的判定是否有效？（模型解释）为解释判别法的有效性，引入交叉误判率.交叉误判率是每次剔除一个样品，利用其余的训练样本建立判别准则，根据建立的判别准则对删除的样品进行判定，以其误判的比例作为误判率. 具体过程如下：①从总体为的训练样本开始，剔除其中每一个样品，剩余的个样品与中的1G 1m -2G 全部样品建立判别函数；②用建立的判别函数对剔除的样品进行判别；③重复上述步骤，直到中的全部样品依次被剔除、判别，其误判的总数记为；1G 12m ④对的样品重复步骤①②③，直到中的样品全部被剔除、判别，其误判的个数2G 2G 记为21,m 交叉误判率的估计值为1221ˆ.m m pm n+=+程序为clear,clcApf1=[1.14,1.18,1.20 1.26 1.28 1.30];Apf2=[1.78 1.96 1.86 2.00 2.00 1.96];Af1=[1.24 1.36 1.38 1.38 1.38 1.40 1.48 1.54 1.56]; Af2=[1.72 1.74 1.64 1.82 1.90 1.70 1.82 1.82 2.08]; x=[Apf1,Af1];y=[Apf2,Af2];m1=length(Apf1);m2=length(Af1);n=length(x);k=sum(y./x)/n;A=[x',y'];p1=[];p2=[];for i=1:m1b=A(i,:);B=A;B(i,:)=[];b1=B(:,1);b2=B(:,2);k=sum(b2./b1)/(n-1);d=b(2)-k*b(1);if d>0p1=[p1,1];elsep1=[p1,0];endendfor i=m1+1:nb=A(i,:);B=A;B(i,:)=[];b1=B(:,1);b2=B(:,2);k=sum(b2./b1)/(n-1);d=b(2)-k*b(1);if d>0p2=[p2,1];elsep2=[p2,0];endenddisp(p1),disp(p2)结果为1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0结论：在这样的判定法则下，交叉误判率为零，说明方法还是有效的.模型2 饮酒驾车问题一、问题背景据报道，2003年全国道路交通死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例.针对这种严重的道路交通情况，国际质量监督检查检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准，新标准规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升、小于毫克/百毫升为饮酒驾车；2080血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升为醉酒驾车.大李在中午点喝了一瓶啤酒，8012下午点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为保险起见他6呆到凌晨点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，2为什么喝同样多的酒，两次检查结果却会不一样？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1.对大李的情况做出解释；2.在喝了瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情3况下回答：⑴酒是自很短时间内喝的；⑵酒是在较长一段时间（比如小时）内喝的.23.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间内最高？4.根据你的模型论证;如果天天喝酒，是否还能开车？5.根据你的论证并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车的忠告.参考数据⑴人的体液占人的体重左右，其中血液只占体重的7%左右.而药物（包括65%70%:酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大致相同.⑵体重在的某人在短时间内喝下瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含70kg 2量（毫克/百毫升），得到数据如下：时间/小时0.250.50.751 1.252 2.53 3.544.55酒精含量306875828277686858515041时间/小时678910111213141516酒精含量3835282518151210774（酒精含量单位：毫克/百毫升）二、问题分析显然，该问题是微分方程模型.饮酒后，酒精先从肠胃吸收进入血液与体液中，然后从血液与体液向外排泄.由此建立二室模型：大李在喝酒以后，酒精先从吸收室（肠胃）进入中心室（血液也体液），然后从中心室向体外排除.设在时刻时，吸收室的酒精含量为，中心室的酒精含量为，酒精t ()1x t ()2x t 从吸收室进入中心室的速率系数为，分别表示在时刻时两室的酒精含量1k ()()12,y t y t t （毫克/百毫升），为中心室的酒精向外排泄的速率系数.在适度饮酒没有酒精中毒的条2k 件下，都是常量，与饮酒量无关.12,k k假定中心室的容积（百毫升）是常量，在时刻时中心室的酒精含量为，而吸V 0t =0收室的酒精含量为，酒精从吸收室进入中心室的速率与吸收室的酒精含量成正比；大02g 李第二次喝一瓶啤酒是在第一次检查后的两小时后.三、建模与解模1.模型建立由已知条件得到吸收室酒精含量应满足的微分方程为，()111d d x k x t t=-做学相应的初始条件是；而中心室酒精含量应满足的微分方程为()1002x g =()()21122d d x k x t k x t t=-相应的初始条件为.()20x t =由此建立问题的数学模型：()()()()()11121122102,,02,00.x k x t x k x t k x t x g x ⎧=-⎪=-⎨⎪==⎩2.解模调用MatLab 下的求解函数，输入下面语句syms x1 x2 k1 k2 g0[x1,x2]=dsolve('Dx1=-k1*x1','Dx2=k1*x1-k2*x2','x1(0)=2*g0','x2(0)=0');x=simple([x1,x2]);该微分方程组的解为()()()12110012122e ,2e e .k t k t k t x t g g k x t k k ---⎧=⎪⎨=-⎪-⎩中心室的酒精含量（百毫升）()()()()21210122e e e e V k t k t k t k t g k y t k k k ----=---:其中，上式即为短时间内喝完两瓶啤酒后中心室酒精含量率所对应()()0112122V g k k k k k k =≠-的数学模型.为得到模型中的未知参数，采用非线性拟合方法.编写求解程序：k0=[2,1,80];fun=inline('k(3)*(exp(-k(2)*t)-exp(-k(1)*t))','k','t');[k,r]=nlinfit(t,x,fun,k0);disp(k)hold onx1=k(3)*(exp(-k(2)*t)-exp(-k(1)*t));plot(t,x1)此时相应的值为k 2.00790.1855 114.4325图形为图形表明，拟合效果不错.再画出相应的残差图：残差分析表明模型比较理想.将计算结果代入表达式，得到在时刻时中心室酒精含量（百毫升）的函数表达式t .()()0.1855 2.00792114.4325e e t t y t --=- 模型应用若大李仅喝一瓶酒，此时，因此相应的模型为12k k '=()()0.1855 2.0079257.2163e e t t y t --=-再将代入得6t =()()0.18556 2.0079626114.4325e e 18.799320y -⨯-⨯=-≈<即大李此时符合驾车标准.假设大李在晚上点迅速喝完一瓶啤酒，以和分别代表在时刻时吸收室及8()1z t ()2z t t 中心室的含酒量（代表晚上点），则，由此得到微分方程：0t =8()()10108z g x =+一）题()()()()()()()()()1112112210122d ,d d ,d 08,08.z t k z t t z t k z t k z t tz g x z x ⎧=-⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪=⎪⎩而由前面计算结果知：.将其代入到前面微分方()()()12188801102128e ,8e e k k k g k x g x k k ---==--程的初值问题中，则有()()()()()()()()1211112112281008801212d ,d d ,d 0e ,0e e .k k k z t k z t t z t k z t k z t t z g g g k z k k ---⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=+⎪⎪=-⎪-⎩在MatLab 下，编写相应的求解程序：clear,clcsyms z1 z2 k1 k2 g0[z1,z2]=dsolve('Dz1=-k1*z1','Dz2=k1*z1-k2*z2', ...,'z1(0)=g0*(1+exp(-8*k1))','z2(0)=(k1*g0/(k1-k2))*(exp(-8*k2)-exp(-8*k1))');z=simple([z1,z2]);此时问题的解为()()()1122118108802121e e ,1e e 1e e .k k t k k t k k tz g g z k k ------⎧=+⎪⎨⎡⎤=+-+⎪⎣⎦-⎩记，()()()()()2211221188880121e e 1e e 1e e 1e e V k k t k k t k k t k k tg z k k k --------⎡⎤⎡⎤'=+-++-+⎣⎦⎣⎦-:最后代入得到在时刻时大李中心室的酒精含量函数122.0079,0.1855,57.2163k k k '===t .()()1.48400.185516.0632 2.007957.21631e e 1e e t tz ----⎡⎤=+-+⎣⎦取，即有6t = z=57.2163*((1+exp(-1.4840))*exp(-0.1855*6)-(1+exp(-16.0632))*exp(-2.0079*6))返回值23.0618即此时中心室的酒精含量率大于规定标准，属于饮酒驾车.用同样的方法可以讨论其它问题，在此不一一叙述.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、问题分析
问题一分析：对于关于诺贝尔物理奖，化学奖，生物奖，文学奖和经济奖的名单， 国籍以及菲尔兹奖，图灵奖的名单，国籍等资料，可知这三个奖项 之间的关系与国籍的不同联系较大，于是可由随时间变化，以及在 不同国籍下的获得的数量，来比较这三个奖项之间的关系。 问题二分析：由问题一可推断获奖因素主要由该人所处的国家来决定，而我们衡 量一个国家的科技实力时，不仅要从该国家的科研投入、输出分析， 也应该对该国家现阶段所处的经济环境来着手，因此我们选择了 GDP、R&D，以及科研机构、综合大学在全球的比率来衡量该国家是 否能得奖的能力。 问题三分析：从问题二中所建立的模型，我们可以将中国历年的数据代入，粗略 地预测出大陆科学家获得诺贝尔奖的时间。
P = 494.13ln X 1664,6
x2 0.0352x1 276.08
最终建立的模型数据如下
y
10.11ln x
494.13ln x1x2 1664.6
1
1866.16 1910
100
满足限制条件x2 0.0352x1 276.08
四、符号说明
符号 符号所代表的意义 获奖人数 获奖情况的指标 L log m N 年份
N
L
t
x1 t
世界前30名科研机构数 /30
世界前100名高校数 /100
GDP t函数
R & D投入 t函数
拟合直线的相关系数 均为实验拟合的数据 常量，其中 m 10
8
x2 t
下面给出本次计算机模拟过程中的图表，原始数据将在附录中给出：
（3） 根据中国大陆的现有情况，我们修改了两个系数 , ，并将中国历年 GDP 与 R&D 投入情况作了函数拟合:
并根据（2）的结论得到下面的推断： 由于我们要借助（2）的模型计算出中国获奖的时间 t ，因此要将（2）中的因素转 化为时间的函数，我们给出计算结果：
题目：大陆科学家获得诺贝尔奖的时间
摘要
本文针对问题要求，通过利用最小二乘法多项式逼近，指数函数、对数函数 的逼近，在 excel 软件中得到各种需要的曲线的拟合，得出了较为合理的解答。 第一问中，我们通过对题目的理解以及合理假设，将问题转化为一个比较曲线与 曲线之间偏差程度的问题，并利用 excel 软件求得了在同一时间下诺贝尔奖的获 奖情况变量函数与图灵奖，菲尔兹奖的变量函数呈线性关系 ，并且拟合的相关系 数非常接近 1。 第二问中，通过在各种不同领域的比较中，我们认为诺贝尔奖与该国家的经 济发展、科技投入等因素有重要关系，我们通过对 GDP、R&D，以及科研机构、大 学等这些科技、经济因素的数据，最终建立了总的诺贝尔奖获奖情况与各种相关 因素的模型。 第三问中，我们将中国的相关数据整合出第二问中的函数关系，并且通过该 模型预测大陆科学家获得诺贝尔奖的时间为 2123 年。
M kt b
dL j dLi 8b k 2 dt dt t t0
这说明随着时间的增大，上式右端第二项时间的影响因素越来越小，因此我们仅 需考虑 k 对
dLi dL j 的影响.当二者比较趋同时， 说明两个奖项的获奖情况比较相 , dt dt
关，因此我们取 k 1 来判断其相关性， k 1 越小则说明相关性 越强，反之亦然. 下面给出 EXCEL 拟合计算得到的函数关系图像：
R2
k , b,U ,V , E, F
m, C , t0
Hale Waihona Puke , C 100, t0 1910
S , A, P
中间变量，其中
S logm N C ,
A
S
i 1
5
i
5
,
P A t t0
五、模型的建立与求解
根据已知数据筛选出各个国家在不同学科获奖情况，比较之后发现美国获 奖人数最多，而且由假设可知，美国作为世界上经济、科技、教育第一强国， 如果大陆想要在最短时间内获得诺贝尔奖， 那么大陆应该要与美国的这些因素 齐平，因此选择美国作为一个典型例子进行建模分析 （1） 1、不同学科的诺贝尔奖，菲尔兹奖和图灵奖的相关性： 首先要定义相关性，我们在这里考虑各学科获奖人数随时间变化趋势的相似度， 相似度越高则相关性越强。 对不同学科的获奖情况按照每年的获奖人数进行分类，一共有七项奖项，因 此可有七个独立的人数与时间的函数关系。在进行函数拟合的过程中，我们发现 人数随时间的波动非常大，其绝对振幅 N1 N 2 与相对振幅
N1 N 2 N1
都很大，
这令我们感到非常不满， 在拟合曲线的时候不能给出理想的拟合方程.因此首先要 降低绝对振幅.考虑如下的不等式：
logm N1 logm N 2≤N1 N 2 N1 N 2 其中m 1.
这样一个不等式就大大降低了绝对振幅，并且考虑到 函数 f m logm
实验我们得到当 C 100 时相对振幅变得很小， 因此我们得到一个与获奖人数 N 有关的变量 S logm N C ，这个变量的特点是绝对振幅和相对振幅都很小， 比较接近于一个常数.因此这样一个变量与时间的乘积将会与时间变量非常线性 相关，因此我们考虑与时间和获奖人数有关的一个变量
M logm N C t t0
关键词：最小二乘法拟合，函数的逼近，中国大陆，获得诺贝尔奖的时间
一、问题重述
诺贝尔奖的奖金总是以瑞典的货币瑞典克朗颁发，每年的奖金金额视诺贝尔 基金的投资收益而定， 1901 年第一次颁奖的时候， 每单项的奖金为 15 万瑞典克朗， 当时相当于瑞典一个教授工作 20 年的薪金。根据诺贝尔基金会章程，在评选的整 个过程中，获奖人不受任何国籍、民族、意识形态和宗教信仰的影响，评选的唯 一标准是成就的大小。 诺贝尔物理奖和化学奖由瑞典皇家科学院评定，生理或医学奖由瑞典皇家卡 罗林医学院评定，文学奖由瑞典文学院评定，经济奖委托瑞典皇家科学院评定。 最近，一年一度的诺贝尔科学奖不仅吸引国内科学家的注意，同样也引起大 众媒体的好奇和争议，中国科学家的学术水平距离诺贝尔奖励有多远。一个大家 都感兴趣的问题是，大陆科学家什么时间可以获得诺贝尔科学奖？ 本项研究旨在探究中国能否拿到诺贝尔奖与哪些重要因素有关，请建立数学 模型，回答下列问题： （1） 不同学科的诺贝尔奖，菲尔兹奖和图灵奖的相关性如何？ （2） 请你确定与诺贝尔奖相关的几个因素。 模型分析这些因素与诺贝尔奖的 关系。 （3） 杨振宁曾预测 20 年内大陆科学家的工作可以获得诺贝尔奖，用模型结 果回答他的观点是否正确。 写一篇 400 内的短文， 模型分析预测大陆科 学家获得诺贝尔奖的时间。
N1 ln N1 ln N 2 N2 ln m
将随着 m 的增大而减小.因此在这里我们将 m 从 10 增大到了 100，再进一步增大 到 10000，最终达到了 108 ，我们发现此时的绝对振幅已经很小了，若要再减少相 对振幅
logm N1 logm N 2 logm N1
就只能对函数增加一个很大的常数 C , 在这里经过
P u ln x v 的关系.也即有
P u1 ln x1 v1 P u2 ln x2 v2
又考虑到获奖人数 N 与 , 均呈线性关系，因此我们令
X x1 t x2 t
我们就可以断言 P 与 X 仍然保持很强的线性关系.通过计算机拟合我们得到 P 与
X 的函数关系，再将上面的结论带入这个函数，我们得到下面的方程：
5 log m Ni i 1 C t t0 U ln x1 t x2 t V 5
仿照（1） ，我们定义刻划总的诺贝尔奖获奖情况的变量 y
GDP t函数为x1 t ,R & D投入 t函数为x2 t
这两个函数可通过实验数据拟合得到，高校排名和科研机构排名由于是常数，我 们假设作为系数
世界前30名科研机构数 ， 30
世界前100名高校数 100
这里的 , 作为常系数.考虑到其的影响力，因此视获奖人数 N 与 , 均呈线性 关系， 同时我们需要定义新的变量， 用 A 来刻划获得诺贝尔奖的总情况.这样的定 义有其合理性，因为在（ 1）中刻划相关性时用到的变量 S logm N C 即是 刻划获奖情况的一个重要变量，因此我们沿用这一记号，而对总获奖情况采用了 算术平均.类似第一问， 我们对 A 也配上一个时间因子 t t0 变为我们在处理数据 时直接用到的变量 P A t t0 ，这样对函数拟合无疑是有很大帮助的，至少 在上一问就已经能够明显拟合出线性关系了. 拿同时间的 GDP 和 R&D 投入数据与 诺 贝 尔 获 奖 情 况 来 作 对 比 ， 经 计 算 机 拟 合 发 现 P与x1 t , x2 t 均 呈
y
log
i 1
5
m
Ni
5
lg N
i 1
5
i
40
作为诺贝尔奖获奖情况的评判函数，因此若中国拿到诺贝尔奖则此时的临界条件 应各奖项获奖人数的几何平均值为 1，也即 y 0 ，解上述方程，可得：
t 2123
其中由于文学奖的波动太小，我们在此不考虑其相关性.由上面的数据可以知道，物理，经济， 医学奖跟图灵奖极其相关，化学次之；经济，物理，医学和菲尔兹奖极其相关，化学次之.
（2） 模型分析 考虑科技经济因素，经济因素以 GDP 衡量之，科技因素包括 R&D 投入，高校 占世界前 100 名比例及科研机构占世界前 30 名比例.我们分别记
x1 t 5 1085 exp 0.1027t x2 t 10160 exp 0.1874t
0.016863, 0.06