描述的微观粒子运动的波函数

1 2 解： eU m0v 2
v
2eU m0
h h h 12.2 o A m0 v m0 2eU m0 2em0U U
说明：v较大时，需考虑相对论效应
eU Ek mc m0c
2
2
h mv
§3-2 不确定关系
经典力学：运动物体有确定的位置、动量、能
量、角动量等
推广到三维空间
2 --拉普拉斯算符 2 2 2 2 x x y z
2 2 2 2
2 ( r ) U ( r ) ( r ) E ( r ) 2m
引入能量算符
2
2
----三维定态S.Eq.
2 ˆ H U ( r ) ----哈密顿算符 2m

2
* ----粒子的概率密度
t时刻、在(x,y,z)附近单位体积内发现粒子 的概率
----粒子的概率幅
i 性质：复数函数--- e
归一化函数

2
d 1
对粒子出现的空间积分
为单值、连续、有限函数----波函数的标准条件 满足叠加原理 单开缝1---- 1 单开缝2---- 2
概率幅叠加： 12 c11 c22
c1 、c2 ----归一化系数
概率分布： P12 12 c11 c22
2 2
P1 P2 2c1c2 1 2 cos 2 1
----出现了干涉
二.有关量子力学哲学基础的争论
由波函数描述的微观粒子的运动，即使给定初 始条件、边界条件，也不可能精确地预制结果，而 只能预言可能结果的概率 ----与经典物理严格的因果律矛盾 1.哥本哈根学派： 描述的微观粒子运动的波函数，表明了自然 界的最终本质 2.爱因斯坦学派：

微观粒子：由于波动性，粒子以一定的概率 在空间出现----任一时刻不具有确定的位置 动量、能量和角动量等也不确定
电子单缝衍射：
设一束电子垂直入射到单缝上 只考虑中央明区 0 px p sin1
px p sin1
第一级暗纹满足：
p x x
x
p
py
x sin1 p x p x
与实物粒子相联系的波 ----德布罗意波(物质波)
1929年获诺贝尔物理学奖
二Hale Waihona Puke Baidu微观粒子波动性实验
1927年美国的戴维孙和革末 在实验中 观察到在晶体表面电子的衍 射现象与x射线的衍射现象相 类似 ----电子具有波动性
电子枪
探测器

加速 电极 镍单晶
同年，小汤姆逊用电子束穿 过多晶薄膜后的衍射实验 ， 得到了与 x 射线实验极其相似 的衍射图样
四.求解的方法及的用途 1.求的步骤： 由体系的势函数写出S.Eq. 解方程得一般解 根据标准条件、归一化条件确定有关常数 2. 的用途
6
v、v在数量级上相当，讨论原子中电子的 速度没有实际意义
§3-3 波函数 薛定谔方程
一.波函数 ----描述波动规律的数学表达式 描述德布罗意波的波函数无直接的物理意义 1926年德国物理学家玻恩首先指出： 德布罗意波是概率波 它描述粒子在某处出现的概率 由此定量描述微观粒子的状态 在某一时刻，空间某点附近粒子出现的 概率与该时、该处物质波的强度成正比。
之所以对描述的微观粒子运动不能精确描述， 是因为还有未找到的隐变量 上帝不是在跟宇宙玩掷骰子的游戏
三.薛定谔方程 ----描述微观粒子运动的动力学方程
与时间无关—定态
在势场U(x)中，粒子的总能量：
2
p U E Ek U 2m 2 2 U E 2 2m x 2 2 或 8 m( E U ) 0 x 2 h2 ----势场中一维运动粒子的定态S.Eq.
ˆ E 则有 H
由S.Eq.求得空间波函数后,
再由 e
i Et
即可求得总波函数
如果势函数与时间有关: U U ( r , t )
ˆ 直接求 只能由 i H t
S.Eq.方程的一般形式
说明：
S.Eq. 是量子力学的基本方程，其正确性由
方程的解与实验结果相符得到证实
戴维孙、小汤姆逊同获1937
年诺贝尔物理学奖
x-射线
电子
1961年约恩逊的电子衍射实验
单缝

双缝
三缝
四缝
大量实验证实：除电子外，中子、质子以及原子、 分子等都具有波动性，且符合德布罗意公式 ----一切微观粒子都具有波动性
[例]静止电子经电势差为U的电场加速，具有速 度v ，设v<<c。求德布罗意波长
[例]设电子在原子中运动速度为106 m/s，原子的 线度10-10m，求此电子速度的不确定量
解：电子位置的不确定量 x 10 10 m
34 p x h 6 . 63 10 v x 31 10 m mx 9.1 10 10
7.3 10 m/s
第 3 章
§3-1 微观粒子的波粒二象性
一.德布罗意波
实物粒子与光一样也具有波粒二象性
E mc h
2
p mv
h

2 E mc 2 m0c 或 2 2 h h h 1 v c
h h h 2 2 1 v c p mv m0v ----德布罗意公式


只要找到体系的经典能量表达 式，则可由S.Eq.求出波函数

1933年薛定谔获得诺贝尔物理学奖
讨论： 定态时，概率密度不随t变
2 r , t r e
i Et
2
2 r
定态时，解得的E为一些确定值----本征值， 相应的波函数----本征函数
1
y
xpx h
h p px h x
考虑其它高次衍射条纹有
xpx h ----位置、动量不确定关系
能量与时间之间：
Et h
----能级宽度和能级寿命之 间的不确定关系
1932年海森伯获诺贝尔物理学奖
说明：
不确定性关系是波粒二象性及统计关系的必然 结果，而不是测量仪器对粒子的干扰，也不是 仪器的误差所致