因式分解导学案
《因式分解》导学案
4.1 因式分解 导学案【学习导言】了解因式分解的概念和意义;了解因式分解与整式乘法的关系——互逆变形课前学习：尝试体验（对话课本，记下问题，尝试练习）【对话课本】阅读教材98页到99页【记下重点与问题】1. 什么是整式的乘法___________________________________.2. 看书本98页然后填写下表3.因式分解的概念:把一个多项式化成_____________的______的形式,叫做________.[记下问题]【尝试练习】1.请你写出整式相乘的两个例子(其中至少一个是多项)_______________________________________;____________________________________由此你能得到相应的两个多项式的因式分解吗?_______________________________________;____________________________________2.下列代数变形中,哪些是因式分解?哪些不是?写出为什么. 2(1)2()22m m n m mn -=- 211(2)(2)22ab ab ab b -=-x x x x-+=-+(4)31(3)1-+=-2(3)41(21)x x x422课内学习：合作体验（检评预习，审视问题，独立练习，纠错反审）【检评预习】同桌交换学案，检查评价批语：【审视问题】审视下面的学习要点，思考提出的问题【尝试例题】：例：检验下列因式分解是否正确22x x x(2)21(21)(21)-=+-(1)()x y xy xy x y-=-22++=++x x x x(3)32(1)(2)解：（1）（2）（3）想一想：检验因式分解是否正确的方法是【练习】检验下列因式分解是否正确(1)m2+nm=m(m+n) (2)a2－b2=(a+b)(a-b)(3)x2-x-2=(x+2)(x-1) (4)5x2y-10xy=5xy(x-2y)【独立练习】A组1.把左右两边相等的代数式连接起来：2a2-2a (2-a)(2+a)a2+6a+9 2a(a-1)4-a2 (a+2)23a2+12a 3a(a+4)2.把下列各式分解因式：(1)am+bm (2)a2-9 (3)a2+2ab+b23.计算下例各题,并说明你的理由(1)242+24 (2)872+87×13 (3)1012-992解：解：解：B组4.若x2+kx+1/4因式分解的结果为(x+1/2)2,则k=____________.5.关于x的二次三项式x2+px+q能分解成(x-1)(x+6)，求p+3q-2的值6.（1）已知x-y=2，x2-y2=12,求x+y的值（2）已知m+n=9,mn=14,求m2-mn+n2的值课后学习：反审体验（审查错误原因，检查练习，完成作业）【反思审查】再仔细审查学案，用红笔作出示意.【作业练习】作业本学案。
因式分解法导学案—2025学年人教版数学九年级上册
第21 章一元二次方程（5）——因式分解法一、复习回顾：1、解下列方程x²−7=0x²−2x−3=03x2−2√3x+2=02、因式分解的常见方法有那些?二、新知探究：从小学的知识我们知道：如果a·b=0；那么根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度为10x-4.9x²,根据上述规律，要求物体经过多少秒落回地面? 即高度为0m时，可列方程：10x−4.9x²=0由上可知，解一元二次时也可以不通过开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再得到两个一元一次方程，从而实现降次。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
三、典例分析：例1、解下列方程(1)2x²+3x=0 (2) x(x--2)+x-2=0 (3)5x2−2x−14=x2−2x+34注意：用因式分解法必须保证方程右边；一般当方程比较繁杂时，我们可以先将方程四、巩固练习：解下列方程(1)x²+x=0(2)x2−2√3x=0 (3) 3x(2x+1)=4x+2(4)3x²−6x=−3(5)4x²−121=0(6)x²+x−2=0五、拓展提升：例2、解方程((x−4)²=(5−2x)²(多种方法解)六、知识小结：1、解一元二次方程有哪些方法?2、如何尝试用因式分解法解一元二次方程? (因式分解法的选择)中午作业：1、解方程(1)x²+9x=0(2)x²+9=6x(3)(2+x)²−9=0(4)3x(x−2)=2(2−x) (5)(x−2)(x+3)=−6(6)(x−1)2=(2x−3)2(7)x²−x−6=0(8)x²−5x+6=02、若一个多边形共有20条对角线，求这是个几边形?。
最新《因式分解》复习课导学案
《因式分解》复习课导学案------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx《因式分解》复习课导学案一、教学目标:１、知识与技能:回顾因式分解的概念,复习用提公因式法、公式法以及十字相乘法和分组分解法分解因式，并能应用因式分解解决一些简单的数学问题,提高运算能力。
2、过程与方法:通过寻求乘法公式与因式分解的关系，理解因式分解的含义3、情感态度价值观：体会转换的作用，理解相反事物辩证的关系二、重点难点分析:1、重点:用提公因式法、公式法进行因式分解2、用十字相乘法和分组分解法进行因式分解三、教学过程（一）学习自己复习本章内容,回顾知识点。
教师出示本章知识结构框架图,并出示问题，引导学生自己复习２ 分组分解法：（多于三项的多项式，分组后能提公因式、运用公式或十字相乘）ｍa-m ｂ+na —ｎb=（a-b ）(ｍ+n ）1、什么叫因式分解?2、因式分解有哪几种方法?每种方法适合于分解什么形式的多项式?每种方法的基本步骤是什么？(二）检查提问,检测学生自己复习结果，1、提问:什么是因式分解？(把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解．)出示练习题: 多项式的因式分解(1)下列从左到右是因式分解的是(C)Ａ． x（a-b）=aｘ-ｂx B. x2-1+y2＝(x-1)（ｘ＋1）+y2Ｃ. x2－１=(ｘ+1）(x－１） D。
ax+ｂx+c＝x （a+ｂ)+c ﻩ(2）下列因式分解中，正确的是(C）Ａ．3m2－6m=m(３m-6）B．a2ｂ+ab+a=a（aｂ+b)C.－x２+2xy－ｙ2=-(ｘ－ｙ）2Ｄ．x2+y2=(x+y）２2、复习提取公因式法，提问什么是公因式？(一个多项式每一项都含有的相同的因式,叫做这个多项式各项的公因式。
）问题：９x3y2+12x２ｙ２－6ｘy3中各项的公因式是3xｙ2。
因式分解导学案
14.3 因式分解1．因式分解(1)定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．(2)因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：(a＋b)(a－b)a2－b2.即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用整式乘法来检验因式分解的正确性．谈重点因式分解的理解(1)因式分解专指多项式的恒等变形，等式的左边必须是多项式，右边每个因式必须是整式．(2)因式分解的结果必须要以积的形式表示，否则不是因式分解．(3)因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底．【例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()．A．a(x＋y)＝ax＋ayB．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4C．10a2－5a＝5a(2a－1)D．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y2．公因式(1)定义多项式的各项中都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．(2)确定多项式的公因式的方法确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数．解技巧确定公因式的方法确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取次数最低次，即取相同字母的最低次幂．最后还要根据情况确定符号．【例2】把多项式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式时，应提取的公因式是()．A．3a2b B．3ab2C．3a3b3D．3a2b23．提公因式法(1)定义一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．(2)提公因式的步骤①确定应提取的公因式；②用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式．警误区提公因式要彻底(1)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能还有公因式；(2)如果多项式的首项系数是负数，应先提出“－”号．可按下列口诀分解因式：各项有“公”先提“公”，首项有“负”先提“负”，某项提出莫漏“1”，括号里面分到“底”．【例3】用提公因式法分解因式：(1)12x2y－18xy2－24x3y3；(2)5x2－15x＋5；(3)－27a2b＋9ab2－18ab；(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)．4．用平方差公式分解因式(1)因式分解的平方差公式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．这个公式就是把整式乘法的平方差公式等号左右两边颠倒过来．(2)平方差公式的特点左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数(或整式)的和与这两个数(或整式)的差的积．凡是符合平方差公式左边特点的多项式都可以用这个公式分解因式．【例4】把下列多项式分解因式：(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.5．用完全平方公式分解因式(1)因式分解的完全平方公式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.这个公式就是把整式乘法的完全平方公式等号左右两边颠倒过来．(2)完全平方公式的特点左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号．【例5】把下列多项式分解因式：(1)x2＋14x＋49；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9；(3)3ax2＋6axy＋3ay2；(4)－x2－4y2＋4xy.6．因式分解的一般步骤根据多项式的特点灵活选择分解因式的方法，其一般步骤可概括为：一提、二套、三查．一提：如果多项式的各项有公因式，首先考虑提取公因式；二套：提公因式后或没有公因式可提，就要考虑运用公式法，即平方差公式或完全平方公式；三查：因式分解一定要分解到不能分解为止，要检查每个因式是否还可以继续分解．7．运用公式法分解因式易出现的错误在分解因式时，多项式的项数若是两项，且含有平方项，则考虑用平方差公式进行分解因式．若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式．在应用公式法分解因式时常出现的错误是：对公式的结构特征掌握不熟，理解不透彻，易出现符号、项数上的错误，二次项、一次项系数搞错，把两个公式混淆等．8 关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).事实上：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.例如：把x2+3x+2分解因式.(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)例3 把下列各式分解因式.(1)x2+7x+10；(2)x2-2x-8；(3)y2-7y+10；(4)x2+7x-18.【例6】 把下列各式分解因式：(1)18x 2y －50y 3；(2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2.【例7】 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )．①4x 2－4xy －y 2；②x 2＋25x ＋125；③－1－a －a 24；④m 2n 2＋4－4mn ；⑤a 2－2ab ＋4b 2；⑥x 2－8x ＋9.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 练习：（1）6a-a 2-9；2）-8ab-16a 2-b 2；（3）2a 2-a 3-a ；（4）4x 2+20（x-x 2）+25（1-x ）2 自我评价 知识巩固1.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于( )A.3B.-5C.7.D.7或-12.若(2x)n -81=(4x 2+9)(2x+3)(2x-3)，则n 的值是( )A.2B.4C.6D.83.把(a +b)-4(a 2-b 2)+4(a -b)2分解因式的结果是( )A.(3a -b)2B.(3b+a )2C.(3b-a )2D.(3a +b)24.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为( )A.2(5x-2y)2B.-2(5x-2y)2C.29(x 2+y 2)D.以上都不对5.若多项式x 2+pxy+qy 2=(x-3y)(x+3y)，则p,q 的值依次为( )A.-12,-9B.-6,9C.-9,-9D.0,-96.分解因式：4x 2-9y 2= .7.利用因式分解计算：2224825210000 = . 8.若x=3.2，y=6.8，则x 2+2xy+y 2= .9.把多项式4-4(a -b)+(a -b)2分解因式的结果是 .10.计算：12-22+32-42+52-62+72-82+92-102= .11.分解因式.(1)(x+y)2-9y 2；(2)a 2-b 2+a +b ；(3)10b(x-y)2-5a (y-x)2；(4)(a b+b)2-(a +1)2；(5)(a 2-x 2)2-4a x(x-a )2；(6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.12.已知x-y=1,xy=2，求x 3y-2x 2y 2+xy 3的值.13.已知x-y=2，x 2-y 2=6，求x 与y 的值.14.利用因式分解计算19992+1999-20002.15.解方程(65x+63)2-(65x-63)2=260.16.已知a ,b,c 是△ABC 的三边，且满足关系式a 2+c 2=2a b+2bc-2b 2，试说明△ABC 是等边三角形.17.当a ，b 为何值时，多项式a 2+b 2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.18利用因式分解计算下列各题.(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；(2)20022-4006×2002+20032；(3)5652×11-4352×11；(4)(543)2-(241)2.例10 计算200420032004200365654343212122222222+-+++-++-++- .2.已知多项式x 3+kx+6有一个因式x+3，当k 为何值时，能分解成三个一次因式的积？并将它分解.3.如果x+y=0，试求x 3+x 2y+xy 2+y 3的值.4.试说明无论m ，n 为任何有理数，多项式4m 2+12m+25+9n 2-24n 的值为非负数.11.分解因式.(1)(a -2b)2-16a 2； (2)x 3-x 2-4x+4.12.若3x 3-x=1，则9x 4+12x 3-3x 2-7x+2004的值等于多少？。
第一章因式分解导学案
因式分解【学习目标】：（1）了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. （2）通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养观察能力和语言概括能力. （3）通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，了解事物间的因果联系. 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．【学习重难点】重点：1.理解因式分解的意义.2.识别分解因式与整式乘法的关系.难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.【预习案】一．学习准备1．因式分解是：把 的形式。
2．请同学们阅读教材，预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；二．教材精读：1、整式乘法公式类：()()a b a b +-=2()a b += 2()a b -= (1)单⨯单：34a ab = (2) 单⨯多：(35)a a b -=(3) 多⨯多：(3)(2)x y x y -+= (4) 混合乘：(1)(1)a a a +-=2、把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式 如：⑴22a b -=()()a b a b +- ⑵222a ab b ++=2()a b +⑶222a ab b -+=2()a b - ⑷235a ab -=(35)a a b - ⑸3a a -=(1)(1)a a a +-定义解析：（1）等式左边必须是（2）分解因式的结果必须是以的形式表示；（3）分解因式必须分解到每个因式都有不能分解为止。
3、分解因式与整式乘法的关系是：【探究案】探究一：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）22111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()222424ab ac a b c +=+（3）24814(2)1x x x x --=--（4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=-（6）2(3)(3)9x x x +-=- 解:（7）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）A 、29)3)(3(x x x -=+-B 、))((2233n mn m n m n m ++-=-C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y yD 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242探究二：连一连：9x 2－4y 2 a （a ＋1）2 4a 2－8ab ＋4 b 2－3a （a ＋2）－3 a 2－6a 4（a －b ）2 a 3＋2 a 2＋a （3x ＋2y ）（3x －2y ）【检测案】1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）.A ．a （a －b ）＝a 2－ab ；B ．a 2－2a ＋1＝a （a －2）＋1C ．x 2－x ＝x （x －1）；D ．x 2－yy ⨯1＝（x ＋y 1）（x －y 1）2.连一连：a 2－1 (a +1)(a －1) a 2+6a +9(3a +1)(3a －1) a 2－4a +4 a (a －b ) 9a 2－1(a +3)2 a 2－ab(a －2)2【训练案】1.若分解因式x 2+mx-15=(x+3)(x+n),则m 、n 的值是多少？2．把下列各式分解因式正确的是（） A ．x y 2－x 2y ＝x （y 2－xy ）； B ．9xyz －6 x 2y 2＝3xyz （3－2xy ）C ．3 a 2x －6bx ＋3x ＝3x （a 2－2b ）；D ．21x y 2＋21x 2y ＝21xy （x ＋y ）【教（学）后反思】提公因式法（第一课时）【学习目标】：（1）经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式（单项式式）； （2）会用提取公因式法进行因式分解（单项式式）．（3）通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强直觉思维，培养观察能力；进一步发展类比思想；【学习方法】．自主探究与小组合作交流相结合．【学习重难点】重点:能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.难点：让学生识别多项式的公因式.【预习案】一．学习准备：1．请同学们阅读教材的内容，并完成书后习题2．预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；二．教材精读：1、一个多项式中各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的．2、公因式是各项系数的与各项都含有的字母的的积 多项式ma+mb+mc 都含有的相同因式是， 多项式3x 2－6xy+x 都含有的相同因式是。
因式分解法导学案
一元二次方程因式分解法因式分解法导学案一、新课导入1.导入课题：情景：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖起上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为：10x-4.9x2.问题1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？问题2：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程.问题3：你能用配方法或公式法解这个方程吗？是否还有更简单的方法呢？（板书课题）2.学习目标会用因式分解法解一元二次方程．3.学习重、难点：重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：熟练运用.二、分层学习第一层次学习1.自学指导（1）自学内容：课本P12——P13页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：可先解答②，再解答①.（4）自学参考提纲：①解方程10x-4.9x2=0.分解因式：左边提公因式，得___________=0，降次：把方程化为两个一次方程，得___________或___________，求解：解这两个一次方程，得x1= , x2= .②将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果ab=0，则__________或___________.③请小结因式分解法解一元二次方程的步骤：④解下列方程：(2)(3)0x x-⋅-=；24110x x-=.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：是否理解用因式分解法解一元二次方程的依据，用因式分解法解方程的步骤有哪些？②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.（2）生助生：小组内互相交流、研讨.4. 强化：第一步，把方程变形为的形式；第二步，把方程变形为的形式；第三步，把方程降次为两个一次方程( )=0或( )=0的形式；第四步，解两个一次方程求出方程的根.②点两名学生板演第④题，并点评.第二层次学习1.自学指导（1）自学内容：课本P14例3.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先独立作业，然后小组订正.（4）自学参考提纲：①方程x(x-2)+x-2=0左边可用____________法进行因式分解，分解为______________.②方程（2）左右两边都有含未知数的项，因式分解的方式不明确，因此，可先将其化为一般形式_____________________，再用____________法对左边进行因式分解.③说说运用因式分解法解一元二次方程要注意哪些问题.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生对运用因式分解法解一元二次方程的方法是否掌握了.②差异指导：指导学生观察题目特点，选用适当的方法分解因式.（2）生助生：同桌之间互相改错、分析错因.4.强化：（1）点6名学生板演，并点评.（2）运用因式分解法解一元二次方程要注意的问题.三、评价1.学生学习的自我评价：我知道哪些因式分解的方法？会运用因式分解法解一元二次方程吗？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习效果和存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.。
公式法分解因式导学案教学设计
公式法分解因式导学案教学设计【导学案】公式法分解因式一、知识导入1.引入问题：如何快速分解因式？2.引出学习方法：公式法分解因式，通过观察和运用一些常用的分解公式来分解因式。
二、学习内容1.分解因式的基本概念：将一个多项式因式分解为两个或多个单项式的乘积的过程。
2.分解因式的方法：公式法。
三、学习过程1.导入例题：分解因式x²+4x+4(1) 第一步：观察多项式是否满足公式a² + 2ab + b²。
(2)第二步：判断多项式是否可以分解为(x+a)²的形式。
(3)第三步：根据观察，将多项式分解为(x+2)²。
2.导入例题：分解因式x²-4x+4(1) 第一步：观察多项式是否满足公式a² - 2ab + b²。
(2)第二步：判断多项式是否可以分解为(x-a)²的形式。
(3)第三步：根据观察，将多项式分解为(x-2)²。
3.引导学生总结规律：(1) 公式a² + 2ab + b²表示的是一个完全平方的式子，可分解为两个相同因式的乘积。
(a + b)²。
(2) 公式a² - 2ab + b²表示的也是一个完全平方的式子，可分解为两个相同因式的乘积。
(a - b)²。
四、巩固练习1.例题：将多项式x²+8x+16分解因式。
答案：(x+4)²。
2.例题：将多项式x²-9分解因式。
答案：(x-3)(x+3)。
五、拓展延伸1.不满足公式的多项式如何分解？这些多项式不满足公式，无法使用公式法进行分解。
可以尝试其他分解方法，如提取公因式、分组分解等。
2.公式法分解因式的注意事项(1)观察多项式的形式，判断是否满足公式。
(2)必须熟练掌握常用的完全平方公式。
六、教学反思通过本节课的学习，学生能够掌握使用公式法分解因式的方法，能够快速分解满足公式的多项式，并能够理解和运用公式的意义。
中考复习(因式分解)导学案
第一轮复习《因式分解的复习》导学案【学习目标】1、什么叫因式分解？2、因式分解有哪几种方法？每种方法适合于分解什么形式的多项式？每种方法的基本步骤是什么？【学习重点】用提公因式法、公式法进行因式分解【学习难点】用十字相乘法和分组分解法进行因式分解【导学过程】一、独立自学，夯实基础(用6分钟时间，先浏览教材八上P165-172，再填空，小组内检查。
)【考点链接】1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式； 可以看出因式分解与 是相反方向的变形； 分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分组分解法：（多于三项的多项式，分组后能提公因式、运用公式或十字相乘）ma-mb+na-nb=(a-b)(m+n)2. 因式分解的方法：⑴ ；⑵ 。
3. 提公因式法：=++mc mb ma __________ _________.(各项有“公”先提“公”，首项有负常提负，某项提出莫漏“1”,括号里面分到“底”)。
4. 公式法: （1）=-22b a ； （2） =++222b ab a ； （3）=+-222b ab a ；（4）()=+++pq x q p x 2 ．5．因式分解的一般步骤: 一“提”（取公因式）； 二“套”（公式）．(先看有无公因式，再看能否套公式。
十字相乘试一试，分组分解要合适。
”）6．易错知识辨析：（1）注意因式分解与整式乘法的区别；（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式;7. 因式分解的作用:在初中，我们可以接触到以下几类应用：1．计算。
利用因式分解计算，比较简捷；多项式的因式分解2．与几何有关的应用题。
3．代数推理的需要。
二、合作互学，集思广益（先独立完成，然后在小组内部展示，由组长负责组员交流订正答案。
）【课前热身】1.若x －y ＝3，则2x －2y ＝ ．2.分解因式：3x 2－27= ．3.若x 2+ax+b=(x+3)（x-4 ,b= ．4. 简便计算：2200820092008-⨯ ＝ ．5.下列式子中是完全平方式的是（ ）A ．22b ab a ++B ．222++a aC ．222b b a +-D ．122++a a三、精讲导学，方法引导（独立完成后，由组长确定中心发言人，组织大家交流讨论，记下疑难点，教师点拨。
数学九年级上册《因式分解法》导学案
数学九年级上册《因式分解法》导学案设计人：审核人：【学习目标】1、了解因式分解法的概念，会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程；能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
2、通过新方法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想。
3、体会解决问题方法的多样性，体验数学逻辑推理的严密性。
【学习重点】能灵活地应用因式分解法解一元二次方程。
【学习难点】理解“或”、“且”的含义。
【学习方法】本节课主要采用了引导发现法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，引导学生自主探索、动手实践、合作交流。
有效地激发学生的思维积极性，学生在学习过程中调动各种感官，进行观察、比较、归纳、进而改进学生的学习方法。
自学一、知识准备1、将下列各题因式分解am+bm+cm= ；a2-b2= ;；a2+2ab+b2= 。
2、因式分解的方法有：①；②_____________。
二、阅读课本第12页至第14页练习, 完成下列问题：1、如果a·b=0，那么_______或________。
如果（x+1）(x-1)=0，那么x+1=0或_______，即x=-1或________。
2、解方程10x-4.9x2=0①，由①到②的过程是用什么方法达到降次的目的？在这个过程中运用了什么数学思想方法？3、例3（1）、（2）分别是用什么方法因式分解解方程的？4、用因式分解法解答14页练习1的（1）（3）我自学中的困惑：研学1.将自学内容中的收获与困惑与同伴交流。
2.能力提升还可用其他方法解例3的（1）和（2），选其中的一个解答。
中考聚焦（2013•宁夏）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A.-1B.2C.1和2D.-1和2示学展示一：展示自学部分问题较多的题目。
展示二：展示研学能力提升。
检学必做题：1、选用适当的方法完成课本40页练习1剩余题目选做题：1、一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为________和________，则方程的根是。
《因式分解》导学案
《因式分解》导学案【复习目标】1．了解因式分解的意义。
2．区别因式分解与整式乘法。
3．掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法（直接用公式不超过两次），十字相乘法，分组分解法。
4．能选择适当方法实行因式分解。
【复习难点】能选择适当方法实行因式分解【教学过程】一、课前热身1、计算①a(x+y+z) ②(a+b)(a-b)2、分解因式①ax+ay+az ②a2-b2二、旧知回顾1、分解因式①3a2-a ②3x2-6x2y+3xy ③(x+y)2-3(x+y)2、分解因式①a2-4 ②(x-1)2-9 ③（a+b）2-6（a+b）+93、分解因式①x2-2x-8 ②x2-5x+6 ③x2+3x-184、分解因式①x2+7x-xy-7y ②a2-b2-2a+1 ③m2-n2+2m-2n 三、归纳总结。
因式分解的一般步骤：一、因式分解1、因式分解：2、因式分解与整式乘法的关系二、因式分解的方法1、提公因式法公因式：2、公式法①平方差公式②完全平方公式3、十字相乘法4、分组分解法四、反馈检测（一）填空题：1、分解因式：16x 2 -9y 2 =2、分解因式：a 3 +2a 2 +a = （二）选择题3、下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A a(x +y) = ax + ay B x 2 -4x + 4 = x(x -4) +4 C 10x 2 -5x =5x(2x -1) D x 2 -16 +3x = (x +4)(x -4) +3x 5．下列各式中，能用提公因式法分解因式的是( ) A x 2 -y B x 2 +2x C x 2 +y 2 D x 2 -xy +y 2 （三）解答题 6、分解因式（1）2m(a-b)-3n(b-a) （2）x 3-9x .（3）a 2+a+ 41(4) 3（x －y ）3－6（y －x ）2（5）22()()a x y b x y --- （6）x 4 – 2x 2+1（7）x 2－7xy ＋12 y 2 （8）x 2- 2xy + y 2+ 2x - 2y + 17、已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状。
因式分解.导学案
8.4因式分解导学案学习目标：1、理解因式分解的意义，能区分整式的乘法与因式分解；认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。
2、会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解学习重点：理解因式分解的意义；判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解学习难点：多项式因式分解和整式乘法的关系学习内容：一、检测导入计算下列各式：(1)m(a+b+c)=_________ (2)(a+b)(a-b)=_________ (3)(a+b)2=___________二、自学新知：阅读课本P73的内容，思考下列问题：1、 因数：如8=2×4，则 与 都是8的一个因数。
2、 素数（质数）：因数只有1和它 的正整数叫作素数。
如：2，3,5,7，113、36与60的最大公因数是4、因式：一般地，对于两个多项式f 与g ，如果有多项式h 使得f=gh,那么 和 叫作f 的一个因式。
观察:下列整式乘法与因式分解之间由什么关系？（1） m(a+b+c)=ma+mb+mcma+mb+mc= m(a+b+c)（2） (a-7)2=a 2-14a+49a 2-14a+49=(a-7)2(3) (x+3)(x-3)=x 2-9x 2-9=(x+3)(x-3)因为ma+mb+mc = m(a+b+c)，所以ma+mb+mc 的因式是 和 ；因为(a-7)2=a 2-14a+49 ，则(a-7)2的因式是 、 和因为(x+3)(x-3)=x 2-9 ，则x 2-9的因式是 、 和5、因式分解：一般地，把一个多项式化为几个 的形式，称为把这个多项式因式分解。
如：a 3 -a= a(a+1)(a-1)，就叫把a 3-a 因式分解。
三、小组讨论探究一、整式乘法与因式分解的关系1、计算：公式：()()a b a b +-= 2()a b + =2()a b -= (1)单⨯单：34a ab ⨯=(2) 单⨯多：(35)a a b -= (3) 多⨯多：(3)(2)x y x y -+=2、因式分解：由上述计算可知：（1）22a b -= （2）222a ab b ±+=(3) 235a ab -= ( 4) 22253x xy y --=归纳：（1）、整式乘法与因式分解的关系是（2）、因式分解的特点是： 探究二、判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解下列变形是因式分解吗？为什么？（1）a+b=b+a （2）4x 2y –8xy+1=4xy(x –y)+1（3）a(a –b)=a 2–ab （4）a 2–2ab+b 2 =(a –b)2探究三、因式分解的简单应用：解方程（选做）解方程：x 2-4=0 (提示：如果A ×B=0，那么A=0或B=0)四、课堂展示展示小组讨论成果五、达标反思1、下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？ （1）22111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()222424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=- 2、解方程x 2-3x=08.4.1提公因式法导学案学习目标：1、能确定多项式各项的公因式；2、用提取公因式法进行因式分解．学习重点：用提取公因式法进行因式分解学习难点：确定各项的公因式以及各项的符号学习内容：一、检测导入下列从左到右的变形，是分解因式的为( )A、.x2－x=x(x－1) B.、a(a－b)=a2－abC.、(a+3)(a－3)=a2－9D.、x2－2x+1=x(x－2)+1二、自学新知阅读课本P74内容思考下列问题：1、公因式：几个多项式的的因式称为它们的公因式。
因式分解法导学案
一元二次方程因式分解法【自主性探究】一、自主学习：1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_________________的形式，再使________________________________，从而实现_________________，这种解法叫做__________________。
2、如果，那么或，这是因式分解法的根据。
如：如果，那么或_______，即或________。
二、注意点：1、因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边是0的一元二次方程。
2、因式分解法的根据是：如果，那么或。
据此把一元二次方程化为两个一元一次方程来解，达到降次的目的。
三、自我尝试：1、说出下列方程的根：（1）（2）2、解下列方程：(1) (2) (3)【例题选讲】例题 小明在解方程时，采用了下面的方法：两边同时除以，得∴他的解法对吗？如不对，请写出正确解法。
解：不对，正确解法：移项，得左边因式分解，得∴或∴【开放性作业】1、方程的根是（ ）A. B.C.D.2、下列方程适合用因式分解法的是（ ）A. B.C. D.3、方程的根是________________。
4、用因式分解法解下列方程：(1) (2)(3)(4)(5)(6)【拓展性学习】阅读下列式子回答问题：；；；；(1)若a,b是常数，则的结果是关于X的次项式，其中二次项系数是_________，一次项系数是__________，常数项是________。
(2)上面八个式子属于整式的乘法，反之也是成立的，如：；……，反过来就变成了因式分解，即将一个二次三项式分解成两个一次因式的乘积的形式，仔细观察原式，寻找规律，利用分解因式法解下列一元二次方程：① ②【知识总结】。
年级数学下导学案(因式分解)
1.1 多项式的因式分解导学案 总第 节漆河镇中学八年级数学备课组课题目标导航知识与技能1、了解因式分解的意义，理解它与多项式乘法是互逆变形.2、感受因式分解在解决相关问题中德作用.过程与方法通过比较因式分解与多项式乘法的异同，培养逆向思维的能力.情感态度与价值观通过自主学习、合作交流获取相关知识，体验学习的快乐，产生积极学习的情感.重点：理解因式分解的意义，准确地辨析整式乘法与因式分解这两种变形.难点：对因式分解与整式乘法关系的理解.自主学习方案（预习交流）预习教材的内容，完成下列各题. 1.说一说：6=2× ，2是6的一个 ，3也是6的一个 .2x －4=(x +2)(x －2),我们把x +2叫作多项式2x－4的一个 ，同理，x －2也叫作多项式2x －4的一个 .2.一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式 .3.试一试：你会解方程2x －4=0吗？ 课堂导学方案（合作探究）教学点1 因式分解的概念归纳：一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解. 例1 下面从左到右的变形是因式分解的是（ ）A.24=323⨯B.x +1=x （1+x1） C.)(22n m mn n m mn +=+ D.1)32(132223++=++x x x x E.）12(132223+=++x x x x 学生展示1.下面从左到右的变形是因式分解的是（ ）A.ac ab a c b a a +-=+-2)(B.)11()2(1222-++-=-+-y y y x x y xy x ）（ C.)2)(2(422y x y x x y -+=+- D.1))((122+-+=+-y x y x y x2.判断下列变形是否为因式分解.（1）2233c b a abc •••= （2）)43(432n m m m mn m -=+- （3）r n m y r ny my +-=+-)(（4）))((22b a b a b a -+=- （5）32)3)(1(2--=-+x x x x教学点2 因式分解与多项式乘法的关系归纳：多项式的因式分解与多项式的乘法是一个互逆的过程，因此，我们把多项式乘法的过程反过来，就可以得到因式分解的一些基本方法.例2 （1）计算：①=+2)(y x ；②=+-)1)(1(b a .（2）因式分解：①=+-222y xy x ；②=-162x . 学生展示3.因式分解与整式乘法与什么区别和联系？4.判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？（1）)2)(2(422y x y x y x -+=- （2）xy x y x x 62)3(22-=-（3）11025)15(22+-=-a a a （4）22)2(44+=++x x x 当堂评价方案（反馈与诊断）1.指出下列各式中从左到右的变形哪些是因式分解？（1）1)1)(1(22--+=-x x x （2）6)2)(3(2--=+-x x x x （3）)2(3632-=-m mn mn n m（4）mc b a m mc mb ma ++=++)( （5）222)2(44b a b ab a -=+-2.下列各式是因式分解的是（ ）A.222)(b a b a +=+B.)(m y x x xm xy +=++C.)11(22xx x x +=+ D.222)(2b a b ab a -=+- 3.（1）计算①=-+)143(2b a ab ；②=-+)2)(2(y x y x ；③=-2)23(n m ； ④=+2)21(a . （2）根据上面的计算对下面各式进行因式分解：①=-+ab ab b a 28622 . ②=-224y x . ③=+-224129n mn m . ④=++412a a . 课后作业方案（巩固与拓展）1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A.9)3)(3(2-=-+x x xB.1)2(122++=++a a a aC.)43(432n m m m mn m -=+-D.)2(2422-=-x x x x 2.已知=⨯=-a a 则,99991000112（ ）A.10001;B.9999;C.10000;D.不能确定3.如果多项式142-+mx x 分解因式为)7)(2(+-x x ，则x 的值为 .4.根据整式乘法与因式分解之间的联系和区别，解决下面问题：（1）m 为何值时，整式m y y +-42能进行因式分解，试写出一个符合条件的m 的值.（2）根据（1）中你确定的m 的值，把多项式m y y +-42因式分解. 课堂反思对照课堂目标导航思考：1.我今天学到了什么知识？2.我感受到了什么？3.还存在什么疑惑？教学反思1.课堂效果自评：2.我的教学心得：3.学生存在的问题或急需补救的问题：。
41因式分解导学案.doc
a 2-b 2内式分解整式乘法 (a + b)(a — b)(3) (5a-l) 2=25a 2-10a+l (4) X 2+4X +4=(X + 2)2(6) =3(^b6ac (4.1因式分解【学习目标】1.了解因式分解的概念和意义；2. 了解因式分解与整式乘法的关系。
一、提出问题：1、请你完成下列填空：(1) __________________________ T a(a +1) = _______________________ ； .I / + Q = _________________________________ ；(2) V(x+l)(x-l)= _________________ ; /.x 2 -1 =(x+l )( ________ ;(3) J(a+b)2 = ________________ ;・•・ a 2 +2ab+b 2 =( ________ )22、请观察上述代数式变形的例了，思考它们Z 间的关系。
归纳：把-个 _____________ 分解成几个整式的 ______________ ,像这样的式子变形叫做 把这个多项式 ___________ ，也叫做 ____________ .因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即3、说明： (1) 从右往左是积化和差，其特点是：由整式的积的形式化为和差的形式(多项式)；(2) 从左往右是 ____________ ,其特点是：由 _______ 的形式(多项式) ________ 为整式的 ______ 的形式；(3) 因式分解与整式乘法的相互关系是 _____________ ,它们是互逆过程。
二、新知体验：1. 判断下列各式哪些是整式乘法？哪些是因式分解？(1) x 2 - 4 y 2 = (x + 2y\x - 2y)(2) 2x (x~3y) =2 x 2 - 6xy(5) 2兀R+ 27ir = 2?i(R+r)- 2•下列从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是?(1) 丄ab 2 - ah =丄ab(b - 2)( (3) &-4x+l=(2x+矿( ))(2) (°一3)(。
因式分解导学案
多项式因式分解分层学习目标A 层、理解因式分解的意义，能区分整式的乘法与因式分解；B 层、认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。
2、会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解学习重点： 理解因式分解的意义；判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解 学习难点：多项式因式分解和整式乘法的关系教学过程一、检测导入计算下列各式：(1)m(a+b+c)=_________ (2)(a+b)(a-b)=_________ (3)(a+b)2=___________ 二、自学新知阅读课本P55——P57的内容，思考下列问题：1、 因数：如8=2×4，则 与 都是8的一个因数。
2、 素数（质数）：因数只有1和它 的正整数叫作素数。
如：2，3,5,7，113、36与60的最大公因数是4、因式：一般地，对于两个多项式f 与g ，如果有多项式h 使得f=gh, 那么 和 叫作f 的一个因式。
如：ma+mb+mc = m(a+b+c)则ma+mb+mc 的因式是 和 ；a 3-a = a (a +1)(a -1)，则a 3-a 的因式是 、 和 5、因式分解：一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个 的形式，称为把这个多项式因式分解。
如：a 3-a= a(a+1)(a-1)，就叫把a 3-a 因式分解。
三、小组讨论探究一、整式乘法与因式分解的关系1、计算：公式：()()a b a b +-= ，2()a b + =2()a b -= ， (1)单⨯单：34a ab ⨯=(2) 单⨯多：(35)a a b -= (3) 多⨯多：(3)(2)x y x y -+= 2、因式分解：由上述计算可知： （1）22ab -= 222a ab b ±+=(2) 235a ab -= ( 3) 22253x xy y --=归纳：（1）、整式乘法与因式分解的关系是（2）、因式分解的特点是： ，乘法的整式特点是：A 层、探究二、判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解 下列变形是因式分解吗？为什么？（1）a+b=b+a （2）4x 2y –8xy+1=4xy(x –y)+1 （3）a(a –b)=a 2–ab （4）a 2–2ab+b 2=(a –b)2B 层、探究三、因式分解的简单应用：解方程（选做） 解方程：x 2-4=0 (提示：如果A ×B=0，那么A=0或B=0)四、课堂展示 展示小组讨论成果五、达标反思 A 层、1、下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）22111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()222424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=-B 层、2、解方程x 2-3x=0六、自主反思提公因式法（1）分层学习目标主备课人：吴小珍，授课班级：139.140参与备课人：罗海建，唐思梁，杨树华，杨焕良A层、能确定多项式各项的公因式；用提取公因式法进行因式分解；B层、培养善于类比归纳，合作交流的良好品质；C层、培养逆向思维与解决问题的能力。
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因式分解
【学习目标】
因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常见考点介绍如下：
1．因式分解的意义；
2．直接提公因式分解；
3．直接利用公式因式分解；
4．提公因式后再用公式；
5．利用因式分解进行数字计算；
6．利用因式分解求值；
7．利用因式分解求解整除问题；
8．利用因式分解求解矩形、正方形问题；
9．利用因式分解求解实际问题；
【学习过程】
一、因式分解的意义
此类题大多以选择题的形式出现，求解时应严格的按照因式分解的定义和要求去分析、求解。
例1．下列各式的变形是因式分解的是（）
A、3x（2x+5）=6x2+15x
B、2x2－x+1=x（2x－1）+1
C、x2－xy=x（x－y）
D、a2+b2=（a－b）（a+b）
析解：根据因式分解的定义和要求，可知选项A、B应先排除，而选项D的右侧虽是因式积的形式。
但由平方差公式可知：其左侧应是a2－b2的形式，才能得（a－b）（a+b）。
故该式是错误的。
所以本题应选C。
练习：
下列各式的变形，哪一个是因式分解
A、x2－4x+7=x（x－4）+7
B、m（a+b）=m a+m b
C、（n－m）（b－a）=（b－a）（m－n）
D 、a （a +b +c ）+b （b +c+a ）+c （c+a +b ）=（a +b +c ）2
二、直接提公因式分解
此类题大多以选择或填空题的形式出现，其中找出公因式是关键。
求解时应按照提公因式法则将公因式提出即可。
例2．因式分解：=__________。
析解：本题的公因式为x ，所以本题的结果为x （x －1）。
练习：分解因式：ma ＋mb
三、直接利用公式因式分解
求解此类题掌握所学的几个公式的特点是关键，求解时应根据题目的特点选择合适的公式求解。
例3．分解因式:a 2－1=_______。
析解：本题符合平方差公式的特点，故可直接利用平方差公式求解。
其结果为：
（a －1）（a ＋1）
练习：分解因式：四、提公因式后再用公式
此类题大多以填空或选择题的形式出现，求解时应首先将公因式提出，再选择有关公式求解。
例4．把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（ ）
A (a+ab)(a －ab)
B a (a 2－b 2)
C a(a+b)(a －b)
D a(a －b)2
析解：本题首先将公因式a 提出，提出公因式后发现余下的部分符合平方差公式，故再利用平方差公式求解，其结果应选C.
练习∶分解因式：五、利用因式分解进行数字计算
此类题求解时，应首先观察题目的特点，利用有关法则或公式将所求式巧妙的组合，再运用因式分解求解。
例5．计算：2－22－23－……－218－219+220,
析解：我们注意到：－219+220=219（2－1）=219，而219－218=218。
按此规律采用“逆序”的方法，将218再与前面的数字作减法运算，并以此规律采用同样的方法继续运算下去，直至求出最后的结果为止。
其结果为：6。
2x x -22
4x y -244x y xy y -+=
练习：
算式可化为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 六、利用因式分解求值
此类题的常见的求解方法有
（1）利用因式分解的方法，求出求值中各字母的值，再将其代入求值式求解。
如本考点例6。
（2）不需求出求值式中字母的值，而是先将求值式进行因式分解，将其进行改造，以使其能充分的应用已知条件，再将已知条件整体代入求解，如本考点例7。
（3）与完全平方式有关的求值问题，求解此类题时，应紧密结合完全平方式的定义，根据各项的特点求解，注意求解时不要丢解。
如本考点例8。
例6．若非零实数a 、b 满足4a 2+b 2=4ab ，则=___________.
析解：因本题已知条件符合完全平方公式的特点，故应首先将已知条件变为：（2a －b ）2=0，据此得出a 、b 的关系：b =2a ，再将其代入求值式即得结果：=2。
练习：已知：x 2+4y 2－4x －4y +5=0,求：x －y 的值。
例7、（04山西）已知：x +y =1,求的值。
解析：本题无法直接求出字母x 、y 的值，可首先将求值式进行因式分解，使求值式中含
有已知条件式，再将其整体代入求解。
因=（x +y ）2，所以将x +y =1代入该式得：=练习：已知a +b =13,ab =40,求a 2b +ab 2的值。
例8．已知：多项式是一个完全平方式，求m 的值。
解析：本题的求解应紧扣“完全平方式”的特点进行分析，注意不要丢解。
由完全平方式各项的特点可知本题中m xy =±5xy ，所以m=±5。
练习：已知：x 2+2（m －3）x +16是一个完全平方式，求m 的值。
答案：7或－1。
22222222+++42288216
2b a
b a 222
121y xy x ++222121y xy x ++2
1222121y xy x ++2
122254
1y mxy x ++
七、利用因式分解求解整除问题
求解此类题时一般先将所考察的式子进行因式分解，看其因式分解后是否能出现作为除数的因式，再去判断。
例9．设n为整数．求证：（2n+1）2－25能被4整除。
解析：判断（2n+1）2－25能否被4整除，主要看其因式分解后是否能写成4与另一个因式积的形式，因（2n+1）2－25=4（n+3）（n－2），由此可知该式能被4整除。
练习：证明：817－279－913能被45整除。
（提示：原式=（34）7－（33）9－（32）13=326（32－3－1）=45×324）。
八、利用因式分解求解矩形、正方形问题
求解此类问题大多首先将所给式子进行因式分解，再根据题意求出矩形或正方形的边长求解。
例10．已知矩形的面积为6m2+60m+150（m>0），长与宽的比为3：2，求这个矩形的周长。
析解：由于矩形的面积等于长×宽，因此首先考虑将矩形的面积进行因式分解，再依据题意求出矩形的长与宽，继续求解。
因6m2+60m+150=6（m+5）2=3（m+5）·2（m+5）,又由于该矩形的长与宽的比为3：2，故知该矩形的长与宽分别为：3（m+5）、2（m+5）因此其周长为
10m+50。
练习：
已知：一正方形的面积为：9x2+12xy+4y2，且x>0,y>0,求该正方形的周长。
答案：
12x+8y。
九、利用因式分解求解实际问题
此类题的求解一般是先将求值式进行因式分解（大多采用提公因式法），目的是为了计算简便，再将有关条件代入简洁求解。
例11 ．已知电学公式：U=IR1+IR2+IR3，当R1=12.9, R2=18.5 R3=18.6, I=2时，求U的值。
解析：本题直接代入求解较麻烦，可首先将求值式进行因式分解，再将字母的值代入求解。
因U=IR1+IR2+IR3=I（R1+R2+R3），将条件R1=12.9, R2=18.5 R3=18.6, I=2代入上式得：原式= 100。
练习：某设计院在设计的建筑物中，需要绕制三个半径为0.24m,0.37m,0.39m的钢筋圆环，问所需钢筋有多少？（π取3.14）。