因式分解导学案

因式分解

【学习目标】

因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常见考点介绍如下：

1．因式分解的意义；

2．直接提公因式分解；

3．直接利用公式因式分解；

4．提公因式后再用公式；

5．利用因式分解进行数字计算；

6．利用因式分解求值；

7．利用因式分解求解整除问题；

8．利用因式分解求解矩形、正方形问题；

9．利用因式分解求解实际问题；

【学习过程】

一、因式分解的意义

此类题大多以选择题的形式出现，求解时应严格的按照因式分解的定义和要求去分析、求解。

例1．下列各式的变形是因式分解的是（）

A、3x（2x+5）=6x2+15x

B、2x2－x+1=x（2x－1）+1

C、x2－xy=x（x－y）

D、a2+b2=（a－b）（a+b）

析解：根据因式分解的定义和要求，可知选项A、B应先排除，而选项D的右侧虽是因式积的形式。但由平方差公式可知：其左侧应是a2－b2的形式，才能得（a－b）（a+b）。故该式是错误的。所以本题应选C。

练习：

下列各式的变形，哪一个是因式分解

A、x2－4x+7=x（x－4）+7

B、m（a+b）=m a+m b

C、（n－m）（b－a）=（b－a）（m－n）

D 、a （a +b +c ）+b （b +c+a ）+c （c+a +b ）=（a +b +c ）2

二、直接提公因式分解

此类题大多以选择或填空题的形式出现，其中找出公因式是关键。求解时应按照提公因式法则将公因式提出即可。

例2．因式分解：=__________。

析解：本题的公因式为x ，所以本题的结果为x （x －1）。

练习：分解因式：ma ＋mb

三、直接利用公式因式分解

求解此类题掌握所学的几个公式的特点是关键，求解时应根据题目的特点选择合适的公式求解。

例3．分解因式:a 2－1=_______。

析解：本题符合平方差公式的特点，故可直接利用平方差公式求解。其结果为：

（a －1）（a ＋1）

练习：分解因式：四、提公因式后再用公式

此类题大多以填空或选择题的形式出现，求解时应首先将公因式提出，再选择有关公式求解。

例4．把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（ ）

A (a+ab)(a －ab)

B a (a 2－b 2)

C a(a+b)(a －b)

D a(a －b)2

析解：本题首先将公因式a 提出，提出公因式后发现余下的部分符合平方差公式，故再利用平方差公式求解，其结果应选C.

练习∶分解因式：五、利用因式分解进行数字计算

此类题求解时，应首先观察题目的特点，利用有关法则或公式将所求式巧妙的组合，再运用因式分解求解。

例5．计算：2－22－23－……－218－219+220,

析解：我们注意到：－219+220=219（2－1）=219，而219－218=218。按此规律采用“逆序”的方法，将218再与前面的数字作减法运算，并以此规律采用同样的方法继续运算下去，直至求出最后的结果为止。其结果为：6。

2x x -22

4x y -244x y xy y -+=

练习：

算式可化为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 六、利用因式分解求值

此类题的常见的求解方法有

（1）利用因式分解的方法，求出求值中各字母的值，再将其代入求值式求解。如本考点例6。

（2）不需求出求值式中字母的值，而是先将求值式进行因式分解，将其进行改造，以使其能充分的应用已知条件，再将已知条件整体代入求解，如本考点例7。

（3）与完全平方式有关的求值问题，求解此类题时，应紧密结合完全平方式的定义，根据各项的特点求解，注意求解时不要丢解。如本考点例8。

例6．若非零实数a 、b 满足4a 2+b 2=4ab ，则=___________.

析解：因本题已知条件符合完全平方公式的特点，故应首先将已知条件变为：（2a －b ）2=0，据此得出a 、b 的关系：b =2a ，再将其代入求值式即得结果：=2。练习：已知：x 2+4y 2－4x －4y +5=0,求：x －y 的值。例7、（04山西）已知：x +y =1,求的值。解析：本题无法直接求出字母x 、y 的值，可首先将求值式进行因式分解，使求值式中含

有已知条件式，再将其整体代入求解。因=（x +y ）2，所以将x +y =1代入该式得：=练习：已知a +b =13,ab =40,求a 2b +ab 2的值。例8．已知：多项式是一个完全平方式，求m 的值。解析：本题的求解应紧扣“完全平方式”的特点进行分析，注意不要丢解。由完全平方式各项的特点可知本题中m xy =±5xy ，所以m=±5。

练习：已知：x 2+2（m －3）x +16是一个完全平方式，求m 的值。答案：7或－1。

22222222+++42288216

2b a

b a 222

121y xy x ++222121y xy x ++2

1222121y xy x ++2

122254

1y mxy x ++

七、利用因式分解求解整除问题

求解此类题时一般先将所考察的式子进行因式分解，看其因式分解后是否能出现作为除数的因式，再去判断。

例9．设n为整数．求证：（2n+1）2－25能被4整除。

解析：判断（2n+1）2－25能否被4整除，主要看其因式分解后是否能写成4与另一个因式积的形式，因（2n+1）2－25=4（n+3）（n－2），由此可知该式能被4整除。

练习：证明：817－279－913能被45整除。（提示：原式=（34）7－（33）9－（32）13=326（32－3－1）=45×324）。

八、利用因式分解求解矩形、正方形问题

求解此类问题大多首先将所给式子进行因式分解，再根据题意求出矩形或正方形的边长求解。

例10．已知矩形的面积为6m2+60m+150（m>0），长与宽的比为3：2，求这个矩形的周长。

析解：由于矩形的面积等于长×宽，因此首先考虑将矩形的面积进行因式分解，再依据题意求出矩形的长与宽，继续求解。因6m2+60m+150=6（m+5）2=3（m+5）·2（m+5）,又由于该矩形的长与宽的比为3：2，故知该矩形的长与宽分别为：3（m+5）、2（m+5）因此其周长为

10m+50。

练习：

已知：一正方形的面积为：9x2+12xy+4y2，且x>0,y>0,求该正方形的周长。答案：

12x+8y。

九、利用因式分解求解实际问题

此类题的求解一般是先将求值式进行因式分解（大多采用提公因式法），目的是为了计算简便，再将有关条件代入简洁求解。

例11 ．已知电学公式：U=IR1+IR2+IR3，当R1=12.9, R2=18.5 R3=18.6, I=2时，求U的值。

解析：本题直接代入求解较麻烦，可首先将求值式进行因式分解，再将字母的值代入求解。

因U=IR1+IR2+IR3=I（R1+R2+R3），将条件R1=12.9, R2=18.5 R3=18.6, I=2代入上式得：原式= 100。

练习：某设计院在设计的建筑物中，需要绕制三个半径为0.24m,0.37m,0.39m的钢筋圆环，问所需钢筋有多少？（π取3.14）