求逆矩阵与广义逆矩阵的统一方法
求逆矩阵的四种方法
求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。
但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。
下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。
而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。
伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。
3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。
当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。
假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。
4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。
当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。
综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。
初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A(E- A )(E+A + A 2+…+ AK 1)= E-A K(E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E，逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 .1. 利用定义求逆矩阵定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且证明因为E与A可以交换，所以因A K= 0 ,于是得同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ，因此E-A是可逆矩阵，且(E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且E-A 的逆矩阵.(E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1.由此可知，只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.例2 设 A =00 20 00 03,求0003 0000分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证00 2 00 0 0 6200 0 630 0 0 04A 2=■A 3=， A 4 =000 0 00 00 0000 00 0 0 0而 (E-A)(E+A+ A2+ A 3 )=E , 所以1 12 61230 12 6 (E-A)E+A+ A2+ A.0 0 1 30 00 12. 初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 •如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使（1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1右乘上式两端，得：（2） p 1 p 2 p s I= A 1比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1.用矩阵表示（ A I ）为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等变换 .同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵 .2 3 1例1 求矩阵A的逆矩阵•已知A= 0 1 31 2 52 3 1 1 0 0 1 2 5 0 0 1解[A I] 0 1 3 0 1 0 0 1 3 0 1 01 2 5 0 0 1 2 3 1 1 0 01 2 5 0 0 1 1 0 0 1/6 13/6 4/30 1 3 0 1 0 0 1 0 1/2 3/2 10 0 1 1/6 1/6 1/3 0 0 1 1/6 1/6 1/31/6 13/6 4/3故 A 1 = 1/2 3/2 11/6 1/6 1/3在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法•如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为 0，则意味着A不可逆，因为此时表明A =0，则A 1不存在.1 2 3例 2 求 A= 4 5 6.7 8 91 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0解[A E]= 4 5 6 0 1 0 0 3 6 4 1 07 8 9 0 0 1 0 6 12 7 0 11 2 3 1 0 00 3 6 4 1 0 .0 0 0 1 2 1由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3. 伴随阵法定理 n阶矩阵A=[a j ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且A n1A n2矩阵A 21.A n1A 22...A 12称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1=-A A 3'' ''' )A 2n.A nnB=A n A 2n 由此可知，若A 可逆，则AA 3.其中A j 是A 中元素a j 的代数余子式.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1=I ，有AA 1 = l |，则A A 1 =|l |，所以A 0 , 即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩其中a11 a12 ...a 1nA 11 A21...A n1 a 21a22...a2 n1 A 12A22A n2 AB=... ... ...A・・・an1an2...a nnA 1nA2n...A nnA 0...0 1 0=丄oA ...0 =010 = -1=A ... ... A ...1T0 0...A0 01同理可证BA=I.用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有A|2nAiA2 A inAI2A 22A nn证明 因为A =A ii0 0A22其中X A ii A 11A ii0 A 22=A 1i | |A22An 0 0A 22 i0,所以A 可逆.YW ，于是有X Y A ii ZWA22I n 00 I m n， 丫 A22 =0， ZA ii =0，W A 22 I m .又因为A ii 、A 22都可逆，用22 i 分别右乘上面左右两组等式得:规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对 角线的元素变号即可•若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过 AA 1=I 来检验.一 旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4 .分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A il 、A 22都是非奇异矩阵，且A il 为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵iiX= A ii ，Y=0，Z=0，W= A 22A 2i =Aii0 A 22 i把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即:iA i iA2 A2i42准三角形矩阵求逆命题设A11、A 22都是非奇异矩阵，则有A11 1 1A12 A111A11 A12 A22 10 A22 0 A22 1证明因为A11 A12 I 1A11 A12 =An 0 0 A22 0 I 0 A22两边求逆得I A11 1 1A12 A1 1 A12 1= A11 100 I 0 A22 0 A22 所以A11A12 1 _ I A11 A12 A1 100 A22 0 I 0 A22 1=A11 11 1 A11 A12 A220 A22 1 同理可证A1110 A11 10A21 A221 1A11 A21 A22 A22 1此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵•是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用•5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA 1=E，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵的运算法则
逆矩阵的运算法则“嘿，同学们，今天咱们来讲讲逆矩阵的运算法则。
”逆矩阵可是矩阵运算中非常重要的一个概念哦。
简单来说，对于一个 n 阶方阵 A，如果存在一个 n 阶方阵 B，使得 AB=BA=E（这里的 E 是单位矩阵），那么 B 就称为 A 的逆矩阵，记作 A^(-1)。
那逆矩阵有哪些运算法则呢？首先，如果 A 可逆，那么 A 的逆矩阵也是可逆的，而且 (A^(-1))^(-1)=A。
比如说，咱假设有个矩阵 A 是可逆的，那它的逆矩阵 A^(-1)也肯定是可逆的，它们相互之间的关系很紧密呢。
再来看，如果 A 和 B 都是可逆矩阵，那么 AB 也是可逆的，而且(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)。
这就好像是在说，两个可逆的矩阵相乘后得到的新矩阵，它的逆矩阵就等于这两个矩阵的逆矩阵按照一定顺序相乘。
举个例子吧，假设有矩阵 A 和矩阵 B 都是可逆的，它们相乘得到矩阵 C，那矩阵 C 的逆就等于矩阵 B 的逆乘以矩阵 A 的逆。
还有哦，如果 A 可逆，那么 A 的转置矩阵也是可逆的，而且 (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T。
这个就有点像镜子里的影像一样，矩阵 A 转置后再求逆，就等于先求 A 的逆再转置。
实际应用中，逆矩阵有很多用处呢。
比如在工程学中，解决线性方程组的时候就经常用到逆矩阵。
假设我们有一个线性方程组，可以用矩阵形式表示出来，那要求解这个方程组，很多时候就需要找到系数矩阵的逆矩阵，然后通过乘法运算就能得到解啦。
再比如在密码学中，逆矩阵也能发挥大作用。
通过对信息进行矩阵变换，然后利用逆矩阵进行还原，就能保证信息的安全传输和解读。
逆矩阵的运算法则是矩阵理论中非常关键的一部分，理解和掌握好这些法则，对于深入学习矩阵相关的知识和应用都有着至关重要的作用。
同学们一定要好好学哦，以后遇到相关问题就知道怎么处理啦。
求矩阵逆矩阵的常用方法
求矩阵逆矩阵的常用方法
1. 高斯-约旦法 (Gauss-Jordan Method)：将原矩阵与单位矩阵拼接起来，利用初等行变换将原矩阵变为单位矩阵，此时拼接后的结果矩阵即为所求逆矩阵。
2. LU分解法 (LU Decomposition)：将原矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，并利用矩阵乘法的分配律求得L和U的逆矩阵，再利用逆矩阵的乘法，求得原矩阵的逆矩阵。
3. 求伴随矩阵法 (Adjoint Matrix Method)：求得原矩阵的伴随矩阵，再除以原矩阵的行列式即可求得逆矩阵。
4. 初等变换法 (Elementary Transformation Method)：将原矩阵通过初等行/列变换变为单位矩阵，同时对单位矩阵进行同样的变换，此时的结果即为所求逆矩阵。
5. SVD分解法 (Singular Value Decomposition)：将原矩阵分解为三个矩阵的乘积U、D、V'，其中D为对角矩阵，对角线上的元素为原矩阵的奇异值的平方根。
则原矩阵的逆矩阵可以表示为V和UT的乘积，其中UT为U的转置矩阵。
广义逆矩阵求法
广义逆矩阵
定理：设 阵方程
A 是数域 K 上一个s n 矩阵，则矩
AXA A
(1)
总是有解。如果 rank( A) r ，并且
( I nn A A) A A
A ( A ) 0
所以 X ( I nn A A) Z 是方程组 的通解。
AX 0
利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的 另一种形式的通解。
推论：设数域 K 是 n 元非齐次线性方程组 AX 有解，则它的通解为
即
I r B 1 Q P C D 先分析 Q 与 P 1 之间的关系。由已知 A ，
因此我们有
I r 0 1 0 0 Q P 1 分别把 Q , P 分块，设 行 Y1 }r Q Y2 }n r行
伪逆矩阵
定义：设 A C mn，若 A C nm ，且同时有
AA A A ,
H
A AA A
( AA ) AA ,
( A A) A A
H
则称 A 是 A 的伪逆矩阵。上述条件称为 Moore－ Penrose 方程。 例：
1 设 A 0
取 B 0, D 0, C (0,,0, k Y ,0,,0)
1 i 2
则
Ir C
于是
0 1 Ir P C 0
1
广义逆矩阵
广义逆矩阵矩阵（Matrix）是数学中使用最广泛的数据结构，它包含了数学中许多基本概念，比如向量、空间、线性变换等，矩阵被广泛应用到物理、生物、经济、工程等领域。
广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix）是矩阵的基本概念，它的存在及性质的研究是现代矩阵论的一个重要分支，它在科学研究和工程应用中扮演着重要的角色。
一般而言，矩阵逆等价于矩阵乘积为单位矩阵。
矩阵A的逆被称为A的广义逆，它可以被定义为一个或多个矩阵变化，使得结果等于单位矩阵。
矩阵求逆是现代数学中最重要的问题之一，它是线性代数和几何学的基础。
只有求出矩阵的逆，才能对矩阵进行变换，从而更好地理解线性变换的意义。
此外，求逆矩阵的过程中存在极大的数学难题和技术挑战，尤其是当矩阵维度较高、矩阵元素灵活变化时，实际问题求解更为困难。
广义逆矩阵不仅仅能够分解矩阵，它还能够用来处理矩阵的特殊情况，比如非方阵、正定矩阵以及秩不足的情况，这些现实中的应用情况都可以有效的利用广义逆矩阵来进行处理。
例如，当求解矩阵的某些特殊情况时，矩阵的逆就可以使用广义逆矩阵：如果矩阵的秩不足，那么将该矩阵的广义逆算出来，就可以求出该矩阵的解析解；同理，当求解矩阵的特征值时，通过广义逆矩阵可以求出所有特征值，而不受矩阵形状限制。
另外，广义逆矩阵在数值计算中也有着巨大的用处，当用有限精度浮点数方式实现函数f(x)时，可以用广义逆矩阵来表示该函数，从而提高计算效率。
从上面可以看出，广义逆矩阵在现代数学和高等数学的研究中扮演着重要的角色，它可以用来求解矩阵的特殊情况，求解一般线性方程，甚至可以应用到数值计算中，极大的提高效率和准确度。
研究广义逆矩阵的方法非常多，主要有矩阵分解法、特征值分解法和最小二乘法等，其中，矩阵分解法是求解广义逆矩阵最常用的方法，它可以利用“矩阵特征分解法”来求得一个矩阵的广义逆，这种方法简单、高效、计算量小，所谓的“矩阵特征分解法”实质上是将n×n矩阵A分解为“固定矩阵M”和“可逆矩阵X”的乘积，即AX=M，可以看出，X就是A的广义逆，也就是说，广义逆矩阵可以通过将一个n×n矩阵分解成M和X两个矩阵得到。
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
线性代数中的广义逆
线性代数中的广义逆线性代数中的广义逆是一种特殊的矩阵运算，它在解决线性方程组、最小二乘问题以及矩阵逆的计算中具有重要作用。
本文将详细介绍广义逆的定义、性质和应用，以加深对该概念的理解。
一、广义逆的定义与性质广义逆是针对非方阵而言的。
对于一个m×n的矩阵A，在矩阵A的扩展实数域中，若存在一个n×m的矩阵B，使得AB和BA均为投影矩阵，则称B为A的广义逆，记作A^+。
广义逆具有以下性质：1. 幂等性：(A^+)^+ = A^+2. 逆性：(AB)^+ = B^+A^+3. 秩性：(A^+)A和A(A^+)的秩相等4. 唯一性：若A^+和B^+都是A的广义逆，则A^+ = B^+二、广义逆的应用广义逆在线性方程组的求解中扮演着重要角色。
对于一个m×n的线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为已知向量。
若A的行秩等于列秩，则该方程组有唯一解。
然而，在实际问题中，方程组常常出现行秩小于列秩的情况，此时无法直接求解。
利用广义逆的概念，我们可以构造最小二乘解。
最小二乘解是指使得||Ax-b||^2（欧氏范数下的二范数）最小的解。
通过广义逆的求解方法，可以找到最接近方程组Ax=b的解x*，即使得||Ax*-b||^2取得最小值。
特别地，当A的列秩等于n（A是满秩列）时，最小二乘解与精确解重合。
广义逆还在矩阵逆的计算中起到重要作用。
当方阵A不可逆时，可以使用广义逆来近似计算逆矩阵。
通过广义逆的逆性质，我们可以得到A的近似逆矩阵A^+的逼近解析表达式。
三、广义逆的计算方法1. 伪逆法：通过奇异值分解（SVD）求解广义逆，即A^+=VΣ^+U^T，其中U、Σ、V分别是A的左奇异向量矩阵、对角奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。
2. 矩阵分块法：将矩阵A分块，利用分块矩阵性质求解广义逆。
3. Moore-Penrose逆矩阵：Moore-Penrose逆矩阵是一种特殊的广义逆矩阵，是广义逆的一种常用表示形式。
逆矩阵的求法
1 n1 A a1 An2 an1E an
1
因此 A 方法9
1 n 1 A a1 An 2 an 1E an
三角矩阵的一种求逆法：
t11 t12 0 t22 定理：如果n阶矩阵 T 0 0
t1n 1 t2 n 1 0 0
α
n
, 其中α
1
i
= (α
i1
,α
n
i2
, ⋯,α in),(i =1 , 2 , ⋯, n),由定理1 得:α i=Σ aijε j(i = 1 , 2 , ⋯, n) .
解以ε
, ε
2
, ⋯, ε
为未知量的方程组,由于系数行列式D = | A| ≠0 (因为A 可逆),所以, 由克
莱姆法则可得唯一解: ε j=Dj/D= bj1α 1 + bj2α 2 + ⋯+ bjnα n(j = 1 , 2 , ⋯, n) .其中Dj是把行 列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α 1 ,α 2,⋯,α n而得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A- 1 = B.其中B = (bij).下面举例说明这种方法. 方法7 用行列式：定理：若n阶矩阵A = ( Aij) 为满秩矩阵,则A可逆，且
方法 4
13 4 6 3 3 1 2 1 1 6 3
用分块矩阵求逆矩阵：设 A、B 分别为 P、Q 阶可逆矩阵，则：
1
A1 A1CB 1 A O A1 A C 1 1 B 1 D B O B O B DA O O A 1 B O A
广义逆矩阵
1 0 0
10 0
1 0
0
0 1
0 1 0
0 0
0 1
把 y1 0,0,1,0T , y2 0,0,0,1T 扩充为R4 的一组标准正交基得：
y3 1,0,0,0T , y4 0,1,0,0T 再令 U y1, y2 , y3, y4 ,
设r 0,由满秩分解定理知，存在B Crmr ,C Crrn , 使得A BC
令X C H (CC H )1(BH B)1 BH
可以验证X满足广义逆矩阵方程
对于矩阵方程
几类弱逆
AXA A
(P1)
XAX X
AX H AX
(P2 ) ( P3 )
XAH XA (P4 )
则有唯一解 x A1b; 但当A是奇异方阵或长方矩阵时，它的解
不唯一，我们可以利用减号逆给出方程组的通解。
2）如果方程组相容，且其解有无穷多个，可求出具有极小范数的
解，即 min x , 其中 为欧氏范数，可以证明满足此条件 Axb
的解是唯一的，称为极小范数解。
3）若方程组不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际 问题中，需要求出这样的解：
Al --最小二乘广义逆
A{1,4},它的形式记为
Am 最小范数广义逆
广义逆A-
A{1}是指仅满足第一个Penrose方程的广义逆，即若
AA-1A=A, 则记 A A{1}
说明： 1)利用初等行变换，可以求得A-
2）A的减号逆A-不唯一。
例：设
A
1 1
0 0,
1 0
第七章 广义逆矩阵
广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求解有密切 联系。给定一个线性方程组 Ax=b，当矩阵A可逆时，线性 方程组的解可表示为x=A-1 b
矩阵广义逆的计算
矩阵广义逆的计算
矩阵广义逆是一种特殊的逆矩阵，其计算方法不同于普通矩阵的逆。
在矩阵不可逆或者奇异矩阵的情况下，广义逆矩阵的应用非常广泛。
计算矩阵广义逆的方法有很多种，其中最常用的有矩阵分解法、Moore-Penrose逆的定义法、伪逆矩阵的求解法等。
这些方法各有特点，适用于不同的应用场景。
矩阵广义逆在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，例如线性回归、信号处理、最小二乘法等。
因此，熟练掌握矩阵广义逆的计算方法对于学习和应用这些领域的知识都非常重要。
总之，矩阵广义逆的计算是线性代数中的一个重要课题，对于理解和应用线性代数的知识都有着重要的作用。
- 1 -。
广义逆矩阵
广义逆矩阵广义逆矩阵是研究线性代数和数值分析的非常重要的概念，它可以用来求解线性方程组和计算数值解。
本文介绍了广义逆矩阵的基本概念，具体的求解方法和一些相关的典型应用。
1.什么是广义逆矩阵广义逆矩阵（generalized inverse matrix）是一个矩阵的另一种特殊的逆矩阵，它被广泛应用于线性代数和数值分析中。
它是一种概念比较抽象的概念，定义如下：设A是一个n阶矩阵，它具有n个线性无关的列向量，若能够找到一个n阶矩阵G，使其能够满足： GA = AG = A则G称作A的广义逆矩阵。
2.广义逆矩阵的求解广义逆矩阵的求解方法有很多种，其中最常用的方法是Moore-Penrose伪逆矩阵法。
该法是采用矩阵分解的方法，将A分解为三个矩阵：A=L+D+U，其中L为下三角矩阵，D为对角矩阵，U为上三角矩阵，令P=L+D，Q=U+D，则G近似地可求得为：G = P-1Q-1；借助矩阵分解法，可将广义逆矩阵求解问题转化为求普通逆矩阵的问题，可大大简化求解步骤，成为一种非常有效的求解方法。
3.广义逆矩阵的应用广义逆矩阵的应用非常广泛，可以用来求解线性方程组，计算最小二乘法的数值解，解决数据压缩问题等。
（1）求解线性方程组广义逆矩阵可以用来求解线性方程组，若Ax=b，求x，则x=Gb，其中G是A的广义逆矩阵，这就是线性方程组的求解方法。
（2）计算最小二乘法的数值解对于最小二乘问题，若想求解精确的数值最优解，可以采用广义逆矩阵。
先将矩阵A进行矩阵分解，得G，然后将G代入，可以求出相应的数值最优解。
（3）数据压缩广义逆矩阵还可以应用在数据压缩中，可以采用广义逆矩阵加不完全正定矩阵取近似值来压缩数据，这样可以有效减少存储空间，提高计算效率。
综上所述，广义逆矩阵是研究线性代数和数值分析的一个重要概念，求解过程可以采用矩阵分解和不完全正定矩阵等方法，可以用来求解线性方程组，计算最小二乘法的数值解和进行数据压缩等。
第4章 矩阵的广义逆.
➢L和M是的不变子空间；L=I； M =0
投影变换的矩阵 投影的矩阵和变换性质：
{ 1,2 , , n}I0r
0 0
1. 定理4 .13（P . 101） 是投影 是幂等变换 2. 推论： 为投影变换的充要条件是变换矩阵是 幂等矩阵
二、正交投影和正交投影矩阵
1. 正交投影的定义：
定义4.5 （P . 103） 设 ：C nCn 是投影变换， C n =R（） N（），如果 R （） =N（），则称为正交投影。
A+=AH （AAH） –1。 5. A有满秩分解：A=BC，则A+=C+B+。
A +与A–1 性质的差异比较：
（AB）–1=B –1 A –1 ，一般不成立（AB）+=B+A+。（只有满秩分解成立）
（A–1）k =（Ak） –1 ，但不成立（A+）k=（Ak）+
§ 4. 3 投影变换（为讨论A + 的应用做准备
1. A。ACR1m n右可逆，则bCm，AX=b有解 2. X= b 是方程组AX=b的解。
二、单侧逆和求解线性方程组AX=b
• 2、左可逆矩阵
– 求解分析：
– 定理4 3 (P . 94)设矩阵A C m n左可逆，B是矩阵A
的任何一个左逆，则
1. AX=b有形如X=Bb的解的充要条件是
( Im–AB )b=0
– 定理4.8（P . 99）任何矩阵都有M-P广义逆 。
– 求法：
• 设A满秩分解A=BC， 则A + =CH （CCH ）–1（BH B）–1BH 。
AU• （0定理004V.9H），设A则奇异值A分解V：01 00UH
求逆矩阵的方法总结
求逆矩阵的方法总结
求逆矩阵是线性代数中常用的一种技术，可以帮助我们快速求解线性方程组，并解决很多实际问题。
下面我们就来总结一下求逆矩阵的方法。
首先，我们要判断矩阵是否可逆，也就是看它是否可秩为n（n为矩阵的阶数）。
只有当矩阵可秩为n时，才能求出它
的逆矩阵。
其次，我们要用行列式法求解矩阵的逆矩阵。
即求出矩阵的行列式，如果行列式的值不为
0，则此矩阵可逆，我们就可以继续求解其逆矩阵。
行列
式的值为0时，表示此矩阵不可逆，此时无法求解矩阵的逆矩阵。
接下来，我们要用逐元分解法求解矩阵的逆矩阵。
将矩阵A分解为n个方程，其中每一个方程由矩阵A的某一列（列
向量）和某一列（行向量）组成。
把n个方程分别转换成n个线性方程组，求解出n个未知数，将这些未知数按行组成新的矩阵，此矩阵即为矩阵A的逆矩阵。
最后，我们还要使用矩阵的乘法法求解矩阵的逆矩阵。
即用矩阵A乘以它的逆矩阵，得到单位矩阵。
根据乘法的性质，如果A乘以B得到单位矩阵，则B就是A的逆矩阵。
以上就是求逆矩阵的方法总结。
求逆矩阵是一种常用的技术，它可以帮助我们快速求解线性方程组，解决实际问题。
不过，在求逆矩阵的时候，我们要注意矩阵的可逆性，因为只有可逆矩阵才能求出逆矩阵。
此外，还要注意矩阵的计算过程，确保结果的准确性。
广义逆矩阵
广义逆矩阵广义逆矩阵，又称广义反矩阵，是一种在线性代数理论中研究基于多维向量空间的矩阵反置、求解方法。
它也可以把多维空间中多个向量组成的矩阵反置成一个单独的向量，并对多维空间中的变量进行分析及处理。
本文将介绍广义逆矩阵的定义、原理、应用以及实际计算方法。
首先，什么是广义逆矩阵？一般情况下，矩阵反置是指给定一个n×n矩阵A，求出另一个n×n矩阵B，使得 AB=I，其中I是单位矩阵，称矩阵B为矩阵A的逆矩阵。
而广义逆矩阵则是把上面的定义进行拓展，把n×n矩阵A拓展为m×n矩阵C，其中m>n，求出另一个n×m矩阵D，使得CD=I，而矩阵D则就是广义逆矩阵。
其次，广义逆矩阵的原理是什么？首先要知道，无论是矩阵反置还是广义逆矩阵，它们都需要满足输入与输出之间的一致性。
这也是矩阵反置和广义逆矩阵最主要的原理，即：根据输入的信息，找到一组输出的信息，使得它们组合在一起，能够恢复到原来的输入信息。
第三，广义逆矩阵的应用。
广义逆矩阵在多项式模型参数估计、统计模型中均有应用。
在多项式模型参数估计中，首先要得到输入数据的特征矩阵，然后用广义逆矩阵求取未知参数的传播矩阵。
在统计模型中，广义逆矩阵通常用于拟合样本点，解决参数估计问题。
另外，广义逆矩阵还能够用于求解线性方程组，尤其是非方阵的情况；可以用于分析多维数据，以及解决信息处理中的大型线性系统等问题。
第四，实际计算方法。
在实际中计算广义逆矩阵主要有两种方法，一种是线性规划方法，另一种是最小二乘法。
线性规划方法是通过线性规划模型，把问题转化为线性规划问题进行求解；使用最小二乘法则是通过求解几何分布最小二乘法，可以用广义逆矩阵求解出最优解。
总之，广义逆矩阵的定义、原理、应用及实际计算方法有着十分重要的作用。
它不仅能够用于多项式模型参数估计及统计模型，而且可以用于求解线性方程组，以及分析多维数据及信息处理中的大型线性系统等问题。
求λ-矩阵广义逆矩阵的初等变换法
１ 基 本概 念 与 引理
定义 １ １ 设 Ｆ是 一个 数域 ， 是一 个 文 字 ， 多 项 ． Ａ 作 式 环 Ｆ［ 。一 个 矩 阵 ， 果它 的元 素是 Ａ 的多 项 式 ， Ａ］ 如 即 Ａ］ 的元素 ， 就称 之为 Ａ一矩阵 。
定义 １２ 下面三 种初等变换 称为 Ａ一 阵的初 等 变 ． 矩
Ｂ（ 昔Ｑ（ ） Ａ） Ａ）是 （ Ａ） Ａ Ｘ（ Ｐ（ Ａ）的一个 广义逆矩 阵 。
ｄ（ ） Ａ
０
Ｄ
注： 引理 １３告 诉 我 们 ， 个 等 价 Ａ一矩 阵 Ａ（ ， ． 两 Ａ） Ｂ Ａ ， 果其 中一个 的广义 逆矩 阵可 以求 出来 ， 么另 一 （ ）如 那 个 的广 义逆矩 阵也 可 以求 出来 。进 而一 个 的全 部广 义 逆
上述 问题 作一些 探讨 。
，
ｒ ） 一１ 。
定义 １ 任给 Ａ ａ ＝ （ ）… ， （ ） Ｆ ａ ， ． ５ （ ） （ Ａ ） Ａ ∈ ［ ］如
果 存在 （ ）满足Ａ（ ｘ（ Ａ Ａ） Ａ Ａ）， ｘ（ ） Ａ Ａ） ａ） （ ＝ （ 则称 ａ 为
Ａ（ ） Ａ 的一个广义逆矩阵 ， 记为 Ａ Ａ） （ 。
矩阵求出来后， 另一个的全部广义逆矩阵也可以求出来。
【 收稿 日期】０７ ｌ一 ｌ ２０一 １ ２ 【 作者简介】 勇（９７ ） 男， 邓 １ 一 ， 四川遂 宁人 ， ６ 副教授 ， 主要从 事基础数学研 究。
１ １
维普资讯
２０ ０ ８年 第 ２期
求 入一 阵广 义 逆 矩 阵 的初 等 变换 法 矩
邓 勇
（ 喀什 师 范学 院 数 理 系， 疆 喀什 ８４ ０ ） 新 ４０６
【 摘