第31讲 平面向量的数量积(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第31讲：平面向量的数量积

一、课程标准

1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．

2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二、基础知识回顾 1．向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→

＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．

(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]． 当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向；

当θ＝π

2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ；

当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |·cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．

规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义

(1)一个向量在另一个向量方向上的投影

设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影． (2)a ·b 的几何意义

数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 4．向量数量积的运算律

(1)交换律：a·b ＝b·a .

(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb )．

(3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b·c .向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线． 5．平面向量数量积的性质

设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0.

(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b

|a ||b |.

(5)|a·b |≤|a||b|.

6．平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则

(1)|a |＝x 21＋y 2

1； (2)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；

(3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0;_ (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21 x 22＋y 2

2

.

三、自主热身、归纳总结

1、已知直角坐标平面内，OA →＝(－1，8)，OB →＝(－4，1)，OC →

＝(1，3)，则△ABC 是________．( )

A . 直角三角形

B . 等腰三角形

C . 等边三角形

D . 等腰直角三角形

2、已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π

3

，则b ·(2a －b )等于( ) A.2

B.－1

C.－6

D.－18

3、已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(a ＋c )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )

A.⎝⎛⎭⎫79，73 B ．⎝⎛⎭⎫－73，－7

9 C.⎝⎛⎭⎫73，79

D.⎝⎛⎭⎫－79

，－73

4、(2019·贵州省适应性考试)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，E 是BC 的中点，则AB ―→·(AC ―→＋AE ―→

)＝( )

A ．8

B ．12

C ．16

D ．20

6、在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →

等于( )

A . 48

B . 36

C . 24

D . 12

7、已知两个单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝3|b |，则a 与b 的夹角为________． 8、已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.

(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．

四、例题选讲

考点一 平面向量的数量积的运算

例1、(1)已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π

4

，则|b |＝( )

A ．6

B ．32

C ．2 2

D ．3

(2)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－1

2

，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )

A ．1

B ．1

2

C.34

D.32

变式1、（2020届山东实验中学高三上期中）已知向量,a b 满足3a =，2b = ，4a b +=，则a b -=