高中数学湘教版必修第二册第四章4.3向量与实数相乘练习题-普通用卷

高中数学湘教版必修第二册第四章4.3向量与实数相乘练习题一、选择题1. 如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 的中点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值是( )A. 14B. 1C. 12D. 322. 如图，Rt △ABC 中，∠ABC =π2，AC =2AB ，∠BAC的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. a ⃗ +b ⃗B. 12a ⃗ +b ⃗ C. a⃗ +12b ⃗ D. a ⃗ +23b ⃗ 3. 如图所示，已知在△ABC 中，D 是边AB 上的中点，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ C.−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗D. BC ⃗⃗⃗⃗⃗+12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，AC =2√3，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =29，则λ=( ) A. 18B. 17C. 16D. 155. 在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅P 0C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( )A. ∠ABC =90°B. ∠BAC =90°C. AB =ACD. BC =AC6. 在△ABC 中，∠ABC =60°，BC =2AB =2，E 为AC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −2B. −1C. 0D. 17. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a ⃗ +3b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3a ⃗ +3b⃗ ，则( ) A. A ，B ，C 三点共线 B. A ，B ，D 三点共线 C. A ，C ，D 三点共线D. B ，C ，D 三点共线8. 在▱ABCD 中，E 为AC 上一点，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，记AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −23a ⃗ +13b ⃗ B. 13a ⃗ −23b ⃗ C. 43a ⃗ +13b ⃗ D. −43a ⃗ +13b ⃗ 9. 下列各式不能化简为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) B. (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) C. QC ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗D. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 10. 平面上点P 与不共线三点A 、B 、C 满足关系式：PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列结论正确的是( )A. P 在CA 上，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗B. P 在AB 上，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗C. P 在BC 上，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗⃗D. P 点为△ABC 的重心二、填空题11. 已知圆O 半径为2，弦AB =2，点C 为圆O 上任意一点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是__________ ．12. 已知菱形ABCD 的边长为2，，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC =3BE ，DC =λDF ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则λ的值为_____． 13. 已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 ．14. 在△ABC 中，点M ，N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =___________．三、解答题15. 已知点G 是△ABO 的重心，M 是边AB 的中点．(1)求GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m a ⃗ ，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n b ⃗ ，求证：1m+1n=3．16. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，记a ⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，c ⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)用a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 表示AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若AB 1⊥BC 1，A 1C ⊥BC 1，求证：AB 1=A 1C .17. 如图，M,N 分别是四面体OA,BC 的棱OA,BC 的中点，P,Q 是MN 的三等分点．设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ．(1)用向量a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ 表示OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (2)若四面体OA,BC 的所有棱长都等于1，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．18. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为60∘，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，设m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −b ⃗ ，n ⃗ =t a ⃗ +2b ⃗ ．(1)试用t 来表示m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的值；(2)若m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为钝角，试求实数t 的取值范围．19. 在平面直角坐标系Oxy 中，已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3),OB 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),OB n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12OB n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (n ∈N ∗)．(1)判断ΔAB 0B 1的形状，并说明理由； (2)求数列{|B n−1B n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}(n ∈N ∗)的通项公式；(3)若ΔAB n−1B n 的面积为S ΔAB n−1B n =a n (n ∈N ∗)，求lim n→∞ (a 1+a 2+⋯+a n )．20. 平面内给定三个向量a ⃗ =(3,2)，b ⃗ =(−1,2)，c⃗ =(4,1)，回答下列问题： (1)求3a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ ;(2)求满足a ⃗ =m b ⃗ +n c ⃗ 的实数m ，n; (3)若(a ⃗ +k c ⃗ )//(2b ⃗ −a ⃗ )，求实数k 的值．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的加法，减法及几何意义，考查学生推理能力，属于基础题．利用向量的加法，减法运算得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量基本定理得m =12． 【解答】解：因为P 是BN 的中点，所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗=12BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以m =12． 故选C ．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．根据Rt △ABC 中的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO 为菱形，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ．【解答】解：设外接圆的圆心为O ，半径为r ，连接BD ，OD ． 在Rt △ABC 中，∠ABC =π2，AC =2AB ，所以∠BAC =π3，∠ACB =π6，AD 为∠BAC 的平分线， 所以∠ACB =∠BAD =∠CAD =π6， 则根据圆的性质知BD =AB ．又因为在Rt △ABC 中，AB =12AC =r =OD =OA ，所以四边形ABDO 为菱形，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ． 故选C ．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查平面向量的运算，共线定理，平面向量的基本定理，属于基础题． 方法一：由D 是AB 的中点，得到BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据平面向量的运算法则即可求解； 方法二：根据D 是AB 的中点，可以得到CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，然后根据平面向量的运算法则即可求解． 【解答】解：方法一：∵D 是AB 的中点，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 方法二：CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12[CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选B ．4.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，属于中档题．根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可． 【解答】解：作出图形，建立如图所示的坐标系，设N(x,y).因为AC =2√3，∠ABC =120∘，故BD =2， 则A(−√3,0)，M(√32,12)，D(0,−1)，C(√3,0)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√32,12)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1)=λDN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(x,y +1)． 由题可知λ≠0， 故N(√3λ,1λ−1)，所以AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3λ+√3,1λ−1)， 故AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5λ+4=29， 解得λ=15． 故选D ．5.【答案】D【解析】 【分析】本题考查平面向量的基本运算、垂直性质．先求出PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2和P 0B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅P 0C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 02，再根据PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅P 0C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得DP 0⊥AB ，进而分析即可． 【解答】解：如图，在△ABC 中取BC 的中点D ，AB 的中点E ，连接CE ，DP 0．故PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．同理P 0B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅P 0C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 02．由PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅P 0C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2≥DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 02，故DP 0⊥AB ． 由D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，且P 0B =14AB ，得CE//DP 0， 所以CE ⊥AB.又E 为AB 的中点，所以AC =BC ． 故选D ．6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了向量的加法、减法、数乘运算，向量的数量积，属于中档题.掌握向量的数量积运算是解题的关键，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得到答案． 【解答】 解：如图所示：因为E 是AC 的中点，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为BC =2AB =2，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗=−12−12=−1． 故选B ．7.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了向量的加法、减法、数乘运算，属于一般题．BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +6b ⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，且有公共点B ，则A ，B ，D 三点共线． 【解答】解：∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +6b ⃗ =2(a ⃗ +3b ⃗ )=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 故选B ．8.【答案】B【解析】 【分析】本题考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义以及向量的数乘运算． 直接通过向量的加法、减法、数乘运算，即可得到答案． 【解答】 解：如图，∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(a ⃗ +b ⃗ )． ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(a ⃗ +b ⃗ )−b ⃗ =13a ⃗ −23b ⃗ ．故选B ．9.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了平面向量加法、减法运算，属于基础题．由平面向量加法、减法运算，分别将A ，B ，C ，D 中的各式化简，即可得正确答案． 【解答】解：A 项中，原式=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; B 项中，原式=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; C 项中，原式=QC⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; D 项中，原式=PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选D ．10.【答案】A【解析】 【分析】本题考查向量加法的几何运算，向量共线的判断，属于基础题．将PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 中的PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 移向，再化简整理得出CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求解． 【解答】解：将PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 移向得：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再移向得CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，P 在CA 上． 故选：A ．11.【答案】6【解析】 【分析】本题考查圆心和弦中点的连线和弦垂直，三角函数的定义，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算及计算公式，余弦函数的最大值，向量夹角的概念．取AB 的中点D ，并连接OD ，OA ，OC ，则可根据条件求得cos∠OAD =12，而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，代入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 进行数量积的运算即可求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+2，从而便可得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值． 【解答】解：如图，取AB 中点D ，连接OD ，OA ，OC ，则：cos∠OAD =12；∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗，当，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向时取“=”；∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为6． 故答案为6．12.【答案】2【解析】【分析】本题主要考查平面向量基本定理的运用、向量的加法及数量积的运算，属于基础题． 先将向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来，然后利用数量积的运算建立方程，求解即可． 【解答】 解：如图，∵BC =3BE,DC =λDF ，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗=1λ|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+13|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+(13λ+1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4λ+43−(13λ+1)×2=1， ∴λ=2． 故答案为2．13.【答案】12【解析】 【分析】本题考查与面积有关的几何概型，根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量的充要条件，得P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，从而可得S △PBC =12S △ABC ，再根据几何概型公式，即可求解． 【解答】解：以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，所以点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12，所以S △PBC =12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为：P =S △PBCS△ABC=12． 故答案为12．14.【答案】13【解析】 【分析】本题考查了平面向量线性表示与运算问题，是基础题目． 根据平面向量的线性表示与运算法则，求出x 、y 的值即可． 【解答】解：△ABC 中，点M ，N 满足 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ − 16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x =12,y =−16，所以x +y =13． 故答案为13．15.【答案】解：(1)因为GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又2GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GO ⃗⃗⃗⃗⃗ =−GO ⃗⃗⃗⃗⃗ +GO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．(2)显然OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )，因为G 是△ABO 的重心， 所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(a ⃗ +b ⃗ )， 由P ，G ，Q 三点共线，得PG ⃗⃗⃗⃗⃗ //GQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以有且只有一个实数λ，使得PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λGQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，而PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(a ⃗ +b ⃗ )−m a ⃗ =(13−m)a ⃗ +13b ⃗ ， GQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n b ⃗ −13(a ⃗ +b ⃗ )=−13a ⃗ +(n −13)b ⃗ ， 所以(13−m)a ⃗ +13b ⃗ =λ[−13a ⃗ +(n −13)b ⃗ ]， 又因为a ⃗ ，b ⃗ 不共线，所以{13−m =−13λ13=λ(n −13)，消去λ，整理得3mn =m +n ， 故1m +1n =3．【解析】本题主要考查平面向量的运算和几何性质．(1)由向量加法的几何意义以及三角形重心几何性质性质，求出GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GO ⃗⃗⃗⃗⃗ ;， (2)根据已知及单位，零，共线，相反，相等向量的概念，向量的加法，减法，数乘运算，向量平行的判定与证明，平面向量的基本定理及其计算，可知1m +1n =3是否成立． 16.【答案】(1)解：AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −a ⃗ ， BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ ； (2)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ， ∴a ⃗ ·c ⃗ =0，a ⃗ ·b ⃗ =0， ∵AB 1⊥BC 1，∴(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，∴|a ⃗ |2−|b ⃗ |2+a ⃗ ·c ⃗ +b ⃗ ·c ⃗ =|a ⃗ |2−|b ⃗ |2+b ⃗ ·c ⃗ =0，∵A 1C ⊥BC 1，∴(c ⃗ −a ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，∴|c ⃗ |2−|a ⃗ |2−b ⃗ ·c ⃗ =0，∴|b ⃗ |2=|c ⃗ |2，∴|b ⃗ |=|c ⃗ |，即AB 1=A 1C .【解析】本题考查向量线性运算、向量数量积、向量的模，属于基础题． (1)由向量加减法可得BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ ； (2)由题意得(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，且(c ⃗ −a ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，化简得 |b ⃗ |2=|c ⃗ |2，即可得AB 1=A 1C .17.【答案】解：(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC ⃗⃗⃗⃗⃗=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=118OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+136OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +136OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +19OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +118OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+118OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +19OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +118OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +118OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=118+172+172+118+118+136+118+136+118=1336【解析】本题考查了向量的加减法的几何意义及数量积运算，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是解题关键，属于中档题． (1)用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)四面体OABC 的所有棱长都等于1时，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12.将(1)中的结论进行数量积运算即可． 18.【答案】解：(1)由已知a ⃗ ⋅b ⃗ =1×2×cos 60∘=1，m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(3a ⃗ −b ⃗ )⋅(t a ⃗ +2b ⃗ )=3t a ⃗ 2+(6−t)a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=3t +(6−t)−8=2t −2．(2)m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为钝角，则m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2t −2<0，t <1， 设m ⃗⃗⃗ =k n ⃗ ，即t a ⃗ +2b ⃗ =k(3a ⃗ −b ⃗ )，则{t =3k 2=−k ，解得{k =−2t =−6, 此时m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 方向相反． 所以t 的取值范围是{t|t <1且t ≠−6}．【解析】略19.【答案】解：(1)B 0A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)， OB 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 0A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1×2+2×1=0 所以为直角三角形。