单级倒立摆
单级倒立摆稳定控制
单级倒立摆稳定控制摘要单级倒立摆是一种受控系统，在工业控制和机器人技术中有着广泛的应用。
这篇文档将介绍单级倒立摆的结构、原理和控制方法，特别是借助PID控制系统来实现单级倒立摆的稳定控制。
单级倒立摆是一种类人形机器人，它通常由一个水平旋转的轮子和一个通过电机传动的滑移杆组成，最后再由摆杆上的陀螺控制实现倒立。
这种结构使得单级倒立摆成为了机器人应用领域中的一个挑战问题。
为了实现单级倒立摆的稳定控制，需要在控制系统中引入一个合适的控制机制。
PID控制算法是一种最为通用的控制算法之一，常被用于像单级倒立摆这样的机器人平衡控制。
PID控制PID控制是一种基于反馈的控制系统，在工业和机器人技术中得到了广泛的应用。
PID控制通过比较实际的输出值与期望的输入值之间的差异，来作出对输出值的控制。
PID控制可以对输出值的稳定性、可靠性和精度进行控制，适用于不同类型的工业和机器人控制系统。
PID控制通常由三个部分组成：比例(P)、积分(I)和微分(D)控制。
比例控制反馈调整输出值，使得实际输出值逼近期望输入值。
积分控制记录过去所有误差，并将这些误差相乘来调整输出值。
微分控制通过记录过去的误差变化率，来防止输出值的快速变化。
在单级倒立摆稳定控制中，采用PID控制可以较好地解决因摩擦力、惯性、重心偏移等因素导致的系统不稳定问题，进而实现系统的平衡控制。
单级倒立摆的稳定控制实现单级倒立摆的稳定控制需要进行以下步骤：步骤1：系统建模将单级倒立摆系统建模，根据运动学和动力学原理，得到系统的运动方程。
步骤2：PID参数调节通过对PID控制算法中比例、积分、微分三个部分的参数进行调整，得到较好的控制效果。
步骤3：PID控制实现将PID控制器与单级倒立摆系统进行连接，实现单级倒立摆的稳定控制。
本文档介绍了单级倒立摆的结构、原理和控制方法，分析了PID控制算法在单级倒立摆稳定控制中的应用。
通过对步骤进行深入的解析，得到了单级倒立摆的稳定控制方法。
单级倒立摆及其控制系统的研究和图形化仿真
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B
A
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图 1 倒立摆的物理模型
控制倒立摆的目的是使摆杆不到，滑块不动，即 为 0 且 不随时间变化。这里，控 制量被定义为作用在滑块 A 上沿 方向的力 。
根据以上物理模型得到系统的动力学方程：
(
)
将滑块速度 和摆杆角速度 分别定义为：
若控制作用 恒为 0，则由动力学方程可知，倒立摆是非线性自治系统。该系统的状
参考文献
1. 施颂椒, 陈学中, 杜秀华. 现代控制理论基础. 北京:高等教育出版社, 2005 2. 刘崇新. 非线性电路理论及应用. 西安:西安交通大学出版社, 2007
3.2. 碰撞过程
定义：设物体 A 与物体 B 以一定相对速率碰撞，碰撞前后，撞击点切面法线方向上的速 率分量分别为 和 ，则物体 A 与物体 B 之间的碰撞分离率 被定义为：
显然，碰撞分离率 与物体 A 和 B 的材质有关，其取值范围为 [ ]，当
生完全弹性碰撞，当
则发生完全非弹性碰撞。
则发
设墙壁与滑块之间的碰撞分离率为 速度 撞击墙壁后，将以速度 击地面后，将以角速度
4. 镇定控制
倒立摆接近平衡状态
时，有
(
)
，系统动力学方程线性化为
令 [] [ 其特征方程为：
⁄
]
[ ⁄ ]，系统可用状态空间表示为：
(
)⁄
⁄
̇
(
)
令̅
̅
其中
̅
，原状态方程变换为能控标准型：
̅̇ ̅ ̅ ̅
⁄
⁄
[
⁄
⁄]
根据给定的极点位置，可以求得期望的特征方程，形如
能控标准型状态方程的反馈向量为：
单级倒立摆
2011级自动化1班 杨辉云 P111813841一级倒立摆的模糊控制一．倒立摆的模型搭建1. 单级倒立摆系统的数学模型对于单级倒立摆，如果忽略了空气阻力和各种摩擦阻力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成沿着光滑导轨运动的小车和通过轴承链接的均质摆杆组成，如图所示，其中小车的质量M=1.40kg ，摆杆质量m=0.08kg ，摆杆质心到转动轴心距离L=0,.2m ，摆杆与垂直向下方向的夹角为，小车华东摩擦系数fc=0.1。
摆杆θ传送带导轨直线单级倒立摆2. 倒立摆控制系统数学模型的建立方法利用PID 控制和拉格朗日方程两种建模。
一级倒立摆系统的拉格朗日方程应为L （q ，。
.q ）=V （q ，。
q ）—G （q ，。
q ） （1）式中：L 是拉格朗日算子，V 是系统功能；G 系统势能。
dt d x ∂∂L — x ∂∂L + x∂∂D= fi （2）式中：D 是系统耗散能，fc为系统的第i 个广义坐标上的外力。
一级倒立摆系统的总动能为：V=θθcos x ml ml 32)(21222。
+++x m M （3）一级倒立摆系统的势能为：G=θcos mgl θ （4）一级倒立摆系统的耗散能为：D=221。
x fc（5）一级倒立摆系统的拉格朗日方程为：0=∂∂+∂∂-∂∂θθθDL L dt d (6) F XDX L X L dt d =∂∂+∂∂-∂∂ (7)将（1）到（5）式带入（6）式得到如下：0sin sin sin cos m 3422=-+。
——θθθθθθθθmgl x ml x ml x l ml （8）（M+m ）F x ml ml x fc=++θθθθsin cos 2。
— （9）一级倒立摆系统有四个变量：。
，，，θθx x 根据（7）式中的方程写出系统的状态方程，并在平衡点进行线性化处理，得到系统的状态空间模型如下：=。
X ⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000189.000748.01-- 579.20386.00⎥⎥⎥⎥⎦⎤0100+x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-8173.007467.00Y= ⎢⎣⎡01 010 ⎥⎦⎤00x二．倒立摆特性分析1. LQR 控制器的设计系统的能控性是控制器设计的前提，所以在设计前进行能控性分析，根据能控性矩阵[B TO =，AB ，B A 2，]B A 3，利用Matlab 中的rank 命令，可以得到r amk （TO ）=4。
ppt直线一级倒立摆
倒立摆系统的应用领域
01
02
03
控制理论
倒立摆系统是控制理论中 常用的实验平台，用于研 究控制算法和系统稳定性 问题。
系统稳定性
倒立摆系统可以用来研究 系统的稳定性问题，例如 如何设计控制器使系统保 持稳定。
PPT直线一级倒立摆
目录
• 倒立摆系统简介 • PPT直线一级倒立摆系统模型 • PPT直线一级倒立摆系统的控制
策略 • PPT直线一级倒立摆系统的实验
研究 • PPT直线一级倒立摆系统的应用
前景和发展趋势
01
倒立摆系统简介
倒立摆系统的定义
倒立摆系统是一种具有不稳定平衡状 态的物理系统，其特点是具有一个自 由度的直线运动和一个绕垂直轴的旋 转运动。
建模与仿真
建立倒立摆系统的数学模型，通过仿真验证控制策略的有效性。
硬件实现
将控制算法嵌入到倒立摆系统的硬件中，进行实时控制。
软件实现
通过编写程序实现控制算法，通过上位机与倒立摆系统进行通信 和控制。
04
PPT直线一级倒立摆系统的 实验研究
实验目的和实验设备
实验目的
通过实验研究PPT直线一级倒立摆系 统的动态特性，分析系统的稳定性、 响应速度和抗干扰能力。
PPT直线一级倒立摆系统的原理
当摆杆受到外力作用时，会绕着摆杆的固定点进行摆动。由于上、下质量块之间 的相互作用力，使得摆杆在摆动过程中同时进行倒立摆动。
通过控制电路的控制，驱动机构可以按照指令信号进行摆动，从而实现倒立摆的 稳定控制。
PPT直线一级倒立摆系统的特点
单级倒立摆系统课程设计
单级倒立摆系统课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解单级倒立摆系统的基本原理，掌握其数学模型和动力学特性；2. 学会分析单级倒立摆系统的稳定性，并掌握相应的控制策略；3. 掌握利用传感器和执行器实现单级倒立摆系统的实时控制方法。
技能目标：1. 能够运用所学的理论知识，设计并搭建单级倒立摆实验系统；2. 能够编写程序，实现对单级倒立摆系统的实时控制，使系统保持稳定；3. 能够分析实验数据，优化控制参数，提高系统性能。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对物理系统控制原理的兴趣，激发学生探索科学技术的热情；2. 培养学生的团队协作意识和解决问题的能力，增强学生的自信心；3. 引导学生关注科技创新，认识到所学知识在实际应用中的价值。
课程性质：本课程为理论与实践相结合的课程，旨在帮助学生将所学的理论知识应用于实际系统中，提高学生的实践能力和创新能力。
学生特点：学生具备一定的物理、数学基础，对控制原理有一定了解，但实践经验不足。
教学要求：注重理论与实践相结合，鼓励学生动手实践，培养解决实际问题的能力。
在教学过程中，注重引导学生自主学习，培养学生的创新意识和团队协作精神。
通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际系统，提高自身综合素质。
二、教学内容1. 理论知识：- 单级倒立摆系统的基本原理及数学模型；- 单级倒立摆系统的稳定性分析；- 控制策略及控制算法在单级倒立摆系统中的应用；- 传感器和执行器在单级倒立摆系统中的作用及选型。
2. 实践操作：- 搭建单级倒立摆实验系统；- 编写程序实现实时控制；- 调试优化控制参数；- 分析实验数据，提高系统性能。
3. 教学大纲：- 第一周：介绍单级倒立摆系统基本原理，学习数学模型，进行稳定性分析；- 第二周：学习控制策略及控制算法，探讨其在单级倒立摆系统中的应用；- 第三周：了解传感器和执行器，学习其在单级倒立摆系统中的作用及选型；- 第四周：分组搭建单级倒立摆实验系统，进行程序编写和实时控制；- 第五周：调试优化控制参数，分析实验数据，提高系统性能。
单级倒立摆
单级倒立摆单级倒立摆评分：_________ SHANGHAI UNIVERSITY课程论文COURSE PAPER 单级倒立摆学院机自学院专业电气工程及其自动化学号12121696 学生姓名王龙康课程现代控制理论打印日期目录一、倒立摆的概述··················3二、单级倒立摆····················4三、倒立摆状态空间描述················5四、使用MATLAB·················· 8（1）状态反馈系统的极点配置··········· 8 （2）状态观测器实现状态反馈极点配置·······10一、倒立摆的概述：倒立摆控制系统：Inverted Pendulum System （IPS）倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
单级倒立摆
倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。
常见的单级倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成。如下图
• 单级倒立摆的数学模型
图中u是施加于小车的水平方向的作用力，x是小车的位移，θ是摆的倾斜角。 若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现 偏角时，在水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持 在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。
xG x L sin yG L cos
则根据牛顿定律，建立水平和垂直运动状态方程。 摆杆围绕其重心的转动运动可用力矩方程来描述
J VL sin HL cos
式中，J为摆杆围绕其重心的转动惯量。
..
• 摆杆重心的水平运动由下式描述
d2 m 2 ( x L sin ) H dt
..
m gL J mL x u 2 2 ( M m) J MmL ( M m) J MmL
.. 2 2 2
式中， J
1 mL2 12
• 令
x (1) , x (2) , x (3) x, x (4) x
.
.
.
则上述单级
倒立摆方程可表示为
x Ax Bu
.. ..
• 由以上各式可得：
( M m) x mL u ( J mL ) mL x mgL
2 .. ..
..
..
• 将上述两式化简求解得பைடு நூலகம்级倒立摆方程
m(m M ) gL mL u 2 2 ( M m) J MmL ( M m) J MmL
为了建立倒立摆系统的数学模型，先作如下假设: ①倒立摆与摆杆均为匀质刚体。 ②可忽略摆与载体,载体与外界的摩擦，即忽略摆轴、轮轴、轮与接触 面之间的摩擦力等。 控制力u作用于小车上。摆杆长度为2L，质量为m，小车的质量为M， 小车瞬时位移为x，由以上假设可知，摆杆的重心位于其几何中心。 设输入为作用力u，输出为摆角θ,同时规定摆杆重心的坐标为 ( xG , yG ) ，则
单级倒立摆系统建模与控制器设计
得：
状态空间表达式
单级倒立摆系统的模型分析 根据小车质量，摆杆质量，摆杆转动轴心到杆质心的长度和 摆杆质量的具体数值，用Matlab 求出系统的状态空间方程 各矩阵。
程序1.M = 0.5; m = 0.2; I= 0.006; g = 9.8; l = 0.3; A=[0 1 0 0 0 0 3*M*g/(4*M+m) 0 00 0 1 0 0 3*(M+m)*g/((4*M+m)*l) 0]; C=[1 0 0 0 B=[0 0 0 1 0]; 4/(4*M+m) D=[0 0 0]; 3/((4*M+m)*l)];
摆杆不受外力干扰但是摆杆有一个小的初始偏角 程序2
系统开环初值响应曲线
由系统的开环初值响应曲线可知，系统是不稳定 的，这与我们的经验是相符合的。
摆杆初始位置在竖直状态，但是小车收到一个脉 冲干扰的情况。MATLAB程序如下：
系统开环脉冲响应曲线
由系统的开环脉冲干扰响应曲线可知， 系统是不稳定的，这与我们的经验也 是相符合的。
显然，因为系统有一个特征值为正实数5.5841， 故系统是不稳定的。
单级倒立摆系统的极点配置控制器设计
单级倒立摆系统控制器设计的目标 单级倒立摆系统控制器设计的目标是：通过对小 车的左右移动使得摆杆保持在竖直的位置。且对 于小车所给的阶跃输入信号，满足如下设计指标：
1、小车位置x和摆杆角度θ的稳定时间小于5秒； 2、位置x的上升时间小于0.5秒； 3、摆杆角度的超调量小于20度（0.35弧度）。
总结与收获
通过对单级倒立摆的建模与仿真学到了一 下知识
1、首先要将现实中系统转化相应的物理结构 2、充分掌握建立状态空间方程的过程 3、了解配置极点控制器以及PID控制器的方法 4、对MATLAB软件有了一个初步功能的了解
单级倒立摆控制系统设计及MATLAB中的仿真
单级倒立摆控制系统设计及MATLAB中的仿真第一步是建立单级倒立摆的数学模型。
单级倒立摆可以通过旋转关节将一根质量均匀的细杆与一个平台相连。
细杆的一端固定在平台上，另一端可以自由旋转。
细棒的旋转角度用θ表示，质心的位置用x表示。
根据牛顿力学和杆的动力学方程，可以得到如下数学模型：1.摆杆的运动方程：Iθ'' + mgl sin(θ) = u - F (1)其中，I是摆杆的转动惯量，m是摆杆的质量，g是重力加速度，l是摆杆的长度，u是控制输入（摆杆上的转动力矩），F是摩擦力。
2.质心的运动方程：m(x'' - lθ'²cos(θ)) = F (2)接下来是设计控制器来控制单级倒立摆。
一个常用的控制方法是使用线性化控制理论，其中线性化是将系统在一些工作点附近线性近似。
在这种情况下，将摆杆保持在垂直方向，并使质心静止作为工作点。
线性化系统的转移函数为：H(s) = θ(s)/u(s) = (ml²s² + mg)/(s(ml² + I))为了稳定单级倒立摆，可以使用自动控制理论中的反馈控制方法，特别是状态反馈。
状态反馈根据系统的状态变量来计算控制器输入。
为了设计状态反馈控制器，首先需要判断系统的可控性和可观测性。
根据控制系统理论，如果系统是可控和可观测的，则可以设计一个线性状态反馈控制器来稳定系统。
在MATLAB中，可以使用控制系统工具箱来设计单级倒立摆的控制系统。
首先，通过建立系统的传递函数模型（由线性化系统得到）来定义系统。
然后，使用控制系统工具箱中的函数来计算系统的稳定极点，并确定所需的反馈增益以稳定系统。
最后，可以使用MATLAB的仿真工具来模拟单级倒立摆的响应，并进行性能分析。
在进行仿真时，可以将倒立摆的初始状态设置为平衡位置，并应用一个输入来观察系统的响应。
可以通过调整控制器增益和系统参数来改变系统响应的性能，例如收敛时间、超调量和稳态误差。
基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制
基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制拉格朗日建模是一种经典的用来描述物体运动的数学方法。
倒立摆是一个典型的动态系统，在控制领域中有着广泛的应用。
通过拉格朗日建模可以描述单级倒立摆的运动方程，进而实现其起摆和稳定控制。
单级倒立摆由一个固定在支撑平面上的杆和一个可以沿杆轴旋转的质量小车组成。
杆的角度记为θ，小车的位置记为x。
首先，通过拉格朗日方程可以得到倒立摆的动力学方程：L = T - U其中，L为系统的拉格朗日函数，T为系统的动能，U为系统的势能。
对于单级倒立摆，可以将系统的动能和势能表示为：T = 1/2*m*ẋ^2 + 1/2*I*θ̇^2U = m*g*l*cos(θ)其中，m为小车的质量，I为杆的转动惯量，g为重力加速度，l为杆的长度。
ẋ和θ̇分别表示小车和杆的速度。
将动能和势能代入拉格朗日方程，即可得到系统的动力学方程：d/dt(∂L/∂ẋ) - ∂L/∂x = Fd/dt(∂L/∂θ̇) - ∂L/∂θ = 0其中，F为施加在小车上的外力。
经过计算，可以得到如下的方程：m*ẍ - m*l*θ̈*cosθ + m*l*θ̇^2*sinθ = FI*θ̈+ m*l*ẍ*cosθ - m*g*l*sinθ = 0这就是单级倒立摆的动力学方程，描述了杆的运动以及小车的受力等关系。
接下来，可使用控制理论中的各种控制方法，例如线性控制、非线性控制等，来实现单级倒立摆的起摆和稳定控制。
通过施加合适的控制输入F，使得杆保持在垂直位置附近，并稳定在指定的位置。
总之，基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制，通过分析系统的动能和势能，得到系统的动力学方程，然后使用控制理论中的方法进行控制设计，从而实现摆杆的起摆与稳定控制。
单级倒立摆系统
x1 x y = [1 0 0 0] 2 x3 x4
首先，使用 首先，使用MATLAB，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。 ，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。 输入以下程序 计算结 果为
根据判别系统能控性的定理，该系统的能控性矩阵满秩， 根据判别系统能控性的定理，该系统的能控性矩阵满秩，所以 该系统是能控的。因为系统是能控的，所以，可以通过状态反馈来 该系统是能控的。因为系统是能控的，所以， 任意配置极点。 任意配置极点。 不失一般性，不妨将极点配置在 不失一般性， s1 = −6 s 2 = −6.5 s3 = −7 在MATLAB中输入命令 中输入命令
3. 状态观测器实现状态反馈极点配置及其仿真 首先，使用 首先，使用MATLAB，判断系统的能观性矩阵是否为满秩。输 ，判断系统的能观性矩阵是否为满秩。 入以下程序
计算结果为 因为该系统的能观测性矩阵满秩，所以该系统是能观测的。 因为该系统的能观测性矩阵满秩，所以该系统是能观测的。因 为系统是能观测的，所以，可以设计状态观测器。 为系统是能观测的，所以，可以设计状态观测器。而系统又是能控 因此可以通过状态观测器实现状态反馈。 的，因此可以通过状态观测器实现状态反馈。
求解得： 求解得：
&& = − y
& & & x x & 选择状态变量 x1 = y ， 2 = x1 = y ， 3 = θ ，x4 = x3 = θ
u
& x1 0 x 0 & 2 = x3 0 & & x4 0
状态图为
为系统输入， 为系统输入， y 为系统输出
设计状态观测器矩阵，使的特征值的实部均为负， 设计状态观测器矩阵，使的特征值的实部均为负，且其绝对值 要大于状态反馈所配置极点的绝对值。通过仿真发现， 要大于状态反馈所配置极点的绝对值。通过仿真发现，这样才能保 证状态观测器有足够快的收敛速度， 证状态观测器有足够快的收敛速度，才能够保证使用状态观测器所 观测到的状态与原系统的状态充分接近。 观测到的状态与原系统的状态充分接近。不妨取状态观测器的特征 s3 = −22 s4 = −23 值为： 值为： s1 = −20 s2 = −21 输入以下命令 计算结果为
单级倒立摆
单倒置摆控制系统的状态空间设计摘要：倒置摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒置摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题，倒置摆的最初研究开始于二十世纪50年代，近年来，由于新的控制方法不断出现，人们试图通过倒置摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从加大了对这方面的研究。
本文主要采用状态反馈的控制方法，通过设计降维观测器和全维观测器对状态变量的重构，Matlab仿真进行了研究。
关键词：状态反馈、能控性、能观性、状态观测、极点配置、仿真一、引言倒置摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
倒置摆的最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒置摆实验设备。
倒置摆系统稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量、控制好坏一目了然。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒置摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
由于单级倒置摆的控制方法在军工,航天和机器人领域有广泛的用途,另外其控制方法和思路在处理一般工业过程中亦有广泛的应用。
机器人行走类似倒置摆系统，而机器人的关键技术至今仍未很好解决，单级倒置摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服平台的稳定有很大相似性，也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象。
因此，单级倒置摆机理的研究具有重要的应用价值，成为控制理论中很重要的研究课题。
二、单级倒置摆系统建模及分析2.1单级倒置摆系统模型单倒置摆系统的原理图，如图1所示。
设摆的长度为L、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。
小车由一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u相对参考系产生位移z。
若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此它是一个不稳定系统。
单级倒立摆实验报告
单级倒立摆实验报告1. 单级倒立摆系统的建模单级倒立摆系统的建模可采用受力分析或Lagrange 方程建立得到。
这里采用受力分析方法建模。
如图所示：根据牛顿第二定律：(cos )0Mx m x L u θθ++-= (2-1) cos sin 0mLxI mLg θθθ--= (2-2)以摆杆偏角θ、角速度θ 、小车的位移x 和小车速度x为状态变量，即令： ()TX x x θθ=(2-3)同时假设倒立摆摆杆的垂直倾斜角度θ与1（单位为rad ）相比很小，即1θ 。
则可以近似处理：cos θ≈1，sin 0θ≈，并忽略高阶小量，则可得：2222()()m L g Ix u I m M mML I m M mML θ=+++++ （2-4）22()()()mL m M g mLu I m M mML I m M mMLθθ+=-+++++ （2-5）摆杆系统的状态方程为： 12222122344122()()()()()x x m L g I x x u I m M mML I m M mMLx x mL m M g mL x x u I m M mML I m M mML =⎧⎪⎪=+⎪++++⎨=⎪⎪+=-+⎪++++⎩（2-6） 写成向量的形式为：XAX Bu y CX Du ⎧=+⎨=+⎩(2-7)其中0100000A 0001000a b⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 00c B d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,10000010C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,00D ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2-8） 参数a 、b 、c 、d 分别为：222()m L gb I m M mML =++ （2-9）2()()mL m M ga I m M mML +=-++（2-10）2()Ic I m M mML =++ （2-11）2()mLd I m M mML =++（2-12）选择摆杆的倾斜角度θ和小车的水平位移x 作为系统的输出，则输出方程为：y CX = (2-13)根据金棒-2型倒立摆系统实验平台的参数，m=0.2kg ，M=0.6kg ，L=0.158m ，I=0.001654kg.m 2 ，g=10N/kg.同时，这里建模时候使用的ｕ是以力作为输入信号的，实际上采用的是以电压作为输入信号，通过电机作了一定的转化，这里我们约定：先暂时以力作为输入信号，最后再统一处理。
单级旋转倒立摆系统
《现代控制理论》课程综合设计单级旋转倒立摆系统1 引言单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。
其中摆的长度1l =1m ，质量1m =0.1kg ，横杆的长度2l =1 m ，质量2m =0.1kg ，重力加速度20.98/g m s =。
以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出。
控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。
图1 单级旋转倒立摆系统模型单级旋转倒立摆可以在平行于纸面3600的范围内自由摆动。
倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。
在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。
作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。
本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。
2 模型建立本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；1m 为摆杆质量；1l 为摆杆长度；1I 为摆杆的转动惯量；2m 为横杆的质量；2l 为横杆的长度；2I 为横杆的转动惯量；1θ为横杆在力矩作用下转动的角度；2θ为摆杆与垂直方向的夹角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。
倒立摆模型受力分析如图2所示。
图2 倒立摆模型受力分析摆杆水平方向受力平衡方程：2111222(0sin )2l d N m l dt θθ=++（1θ2l —横杆的转动弧长即位移）摆杆垂直方向受力平衡方程：2111122(cos )22l l d H m g m dt θ-=-摆杆转矩平衡方程：22111222sin cos 22d l lJ H N dt θθθ=-横杆转矩平衡方程：21222d M Nl J dt θ-=考虑到摆杆在设定点12,=0θθ附近做微小振动，对上式进行线性化，即N22sin θθ≈，2cos 1θ≈ ，20θ≈&，其中23ml J =，近似线性化得到，()212222222120.10.50.98010.50.5130130d N dt H d H N dt d M N dt θθθθθ⎧=+⎪⎪-=⎪⎪⎨=⋅-⋅⋅⎪⎪⎪-=⎪⎩整理上式可得倒立摆的状态方程：21221114.71524110032M M θθθθθ∙∙∙∙∙∙∙∙⎧-+-⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩ 本文参数代入计算可得：12224.64211.05312.3799.474MMθθθθ∙∙⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩&& 取状态变量如下：11213242x x x x x θθθθ∙⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&112233440010000 4.642011.053000100012.37909.474x x x x M x x xx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&&故[]1211341000x x y x x θ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦3 稳定性和能控性分析3.1 稳定性分析判断一个系统是否稳定，只需判断该系统传递函数的极点是否都在左半平面。
单级倒立摆LQR控制
单级倒立摆LQR 控制1、建模在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示。
其中：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置φ 摆杆与垂直向上方向的夹角θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：2()cos sin ()sin cos M m x bx ml ml F I ml mgl mlx θθθθθθθ+++-=++=-倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设θπφ=+，φ为足够小的角度，即可近似处理得：cos 1θ=-，sin θφ=-，220tθ∂=∂。
用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个方程如下：2()()I ml mgl mlxM m x bx ml uφφφ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩取状态变量：1234x x x x x x x θθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。
则系统的状态方程为：122122342224122()()()()()x x mgl M m ml x x uI M m Mml I M m Mml x x m gl I ml x x u I M m Mml I M m Mml =⎧⎪+-⎪=+++++⎪⎨=⎪⎪+=+⎪++++⎩将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程：x Ax Bu y Cx x θ=+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦这里设：21.320.070.1//0.200.0009M Kgm Kgb N m s l m I Kgm ===== 将参数带入，有：010038.182500000010.384700002.803700.747710000010A B C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2、LQR 控制线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。
单级倒立摆稳定控制实验
单级倒立摆稳定控制实验一．实验目的1.了解单级倒立摆的原理与数学模型的建立；2.掌握LQR控制器的设计方法；3.掌握基于LQR控制器的单级倒立摆稳定控制系统的仿真方法。
二．实验内容图1 一级倒立摆原理图一级倒立摆系统的原理框图如上所示。
系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。
光电码盘1将连杆的角度、角速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。
计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策，并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，驱动电机转动，带动连杆运动，保持摆杆的平衡。
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示。
图2直线一级倒立摆系统其中：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
图3 （a ）小车隔离受力图； （b ）摆杆隔离受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：MxF bx N =-- (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()22sin d N m x l dtθ=+ (2)即：2cos sin N mxml ml θθθθ=+- 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：()22cos d P mg m l dtθ-= (3)即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=-- 力矩平衡方程如下：sin cos Pl Nl I θθθ--= (4) 注意：此方程中力矩的方向，由于θπφ=+，cos cos φθ=-，sin sin φθ=-故等式前面有负号。
单级倒立摆的数学模型的建立-参考
1单级倒立摆的数学模型的建立：小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。
电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。
导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。
轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。
图1 单级倒立摆系统数学模型倒立摆系统的模型参数如下[]：M 小车质量 1.096Kg ； m 摆杆质量 0.109Kgb 小车摩擦系数 0.1N/m /sec I 摆杆质量 0.0034kg*m*ml 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mT 采样频率 0.005s下面N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：N x b F xM --= (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()θθθθθsin cos sin 222ml ml xm N l x dtd m N -+=+= （2） 把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b xm M =-+++θθθθsin cos 2 （3） 为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程：()θcos 22l dtd m mg P =-θθθθcos sin 2 ml ml mg P --=- （4） 力矩平衡方程如下：θθ I Nl Pl =--cos sin （5） 方程中力矩的方向，由于φπθ+=，θφθφsin sin ,cos cos -=-=，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：()θθθcos sin 2x ml mgl ml I -=++ （6）综上：单级倒立摆的运动方程为：()F ml ml x b xm M =-+++θθθθsin cos 2 （3） ()θθθcos sin 2x ml mgl ml I -=++ （6）由于这2个方程式非线性的近似线性化处理：考虑一类非线性系统其镇定问题所研究的是设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统为稳定系统。
单级倒立摆系统课件
采用适当的数值方法求解状态方程，得到摆杆的 运动轨迹。
单级倒立摆系统的稳定性分析
稳定性判据
01
采用适当的稳定性判据，如李雅普诺夫稳定性判据，判断倒立
摆系统的稳定性。
控制器设计
02
根据稳定性分析结果，设计适当的控制器，使倒立摆系统保持
稳定。
仿真与实验验证
03
通过仿真和实验验证所设计的控制器的有效性。
多级倒立摆系统的研究
非线性模型与控制
实时控制与优化算法
实验平台搭建与验证
鉴于单级倒立摆系统的研究基 础，未来可进一步研究多级倒 立摆系统的稳定性、控制策略 和优化问题。这将有助于拓展 倒立摆系统在实际应用领域中 的应用范围。
目前的研究主要基于线性模型 ，但实际系统往往存在非线性 特性。未来可考虑建立更精确 的非线性模型，并研究相应的 控制策略。
单级倒立摆系统课件
CONTENTS 目录
• 倒立摆系统简介 • 单级倒立摆系统原理 • 单级倒立摆系统建模 • 单级倒立摆系统控制方法 • 单级倒立摆系统实验与仿真 • 结论与展望
CHAPTER 01
倒立摆系统简介
倒立摆系统的定义
倒立摆系统是一种典型的多变量、强耦合、非线性的自然不稳定系统，其动力学行 为非常复杂，具有多种平衡状态和不稳定状态。
神经网络控制
利用神经网络的自学习和自适应能力，实现对倒立摆系统的智能控 制。
遗传算法优化
利用遗传算法对控制器参数进行优化，提高倒立摆系统的性能指标 。
CHAPTER 05
单级倒立摆系统实验与仿真
单级倒立摆系统实验平台的搭建
实验平台组成
单级倒立摆实验平台通常由摆杆、导轨、电机、传感器等部分组成 。
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单级倒立摆系统的模糊控制问题姓名：卢兴宇学号： P101813456专业班级：自动化3班指导老师：刁晨日期：2013年10月28第一章绪论1．1 倒立摆系统的重要意义倒立摆系统是研究控制理论的一种典型实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点，是一个具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合特性的不稳定系统。
在控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。
倒立摆控制问题是展示智能控制方法优于传统控制方法的典型范例。
一级倒立摆的背景源于火箭发射助推器；二级倒立摆与双足机器人控制有关。
由于倒立摆系统的动态过程与人类的行走姿态类似，平衡过程与火箭的发射姿态调整类似，因此倒立摆的研究在实现双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整以及直升机飞行控制领域中都有着重要的现实意义，有关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域当中。
倒立摆的级数有一级、二级、三级、四级乃至多级；以下讨论的为一级倒立板。
1．2 倒立摆系统的控制方法自从倒立摆产生以后，国内外的专家学者就不断对它进行研究，其研究主要集中在下面两个方面：（1）倒立摆系统的稳定控制的研究（2）倒立摆系统的自起摆控制研究而就这两方面而言，从目前的研究情况来看，大部分研究成果又都集中在第一方面即倒立摆系统的稳定控制的研究。
目前，倒立摆的控制方法可分如下几类：(a)常规PID控制：该方法是最早发展起来的一种控制方法，由于其算法简单、鲁棒性好、速度快、可靠性高等优点，至今仍广泛应用于工业过程控制中。
这种方法方法虽然可以用来实现对倒立摆系统的控制但由于其线性的本质，对于一个非线性、绝对不稳定的系统是不能达到满意的控制效果的，振荡会比较厉害。
若结合其它控制算法一起使用可发挥出取长补短的作用。
(b)状态反馈控制：状态反馈的极点配置法便是众多倒立摆控制方法中的一种最基本的策略。
极点配置法就是通过设计状态反馈控制器，然后将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置之上，从而使系统满足实际应用当中所要求的瞬态和稳态的性能指标。
(c)线性二次型：这种系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。
这种方法是针对状态方程Bu Ax X+= 通过去顶最佳控制量()()t Kx t u -=中的矩阵K ，使得控制性能指标达到极小值：()⎰∞+=021dt Ru u Qx x J T T（1-1）将LQR 控制方法应用于倒立摆系统当中，首先应该考虑的问题便是其平衡问题，因此需引入全状态反馈。
线性二次型最优控制，可以实现对倒立摆系统的平衡控制，而且设计方案很简单、超调量也较小、响应速度较快；但是，线性二次型控制的抗干扰性能和鲁棒性不强，当存在大扰动时，小车的跟随能力有限，存在滞后，尤其对多级倒立摆进行稳定控制时，其困难更大。
(d)变结构控制：变结构控制系统的运动可以分为两个阶段，分别为能达阶段和滑动阶段。
其控制也分为两个部分：滑动模态域设计以及变结构控制律设计。
变结构控制方法对系统参数摄动和对外部扰动具有很强的鲁棒性，但是由于抖振的存在，使得在一定程度上影响了其控制效果。
抖振和鲁棒性是变结构控制方法的两大基本特点，也是变结构控制系统中的一对主要矛盾。
因而在实际应用中必须考虑到如何才能消除抖振带来的负面影响，否则不仅会影响控制效果，而且对仪器设备也会造成一定的破坏。
(e)自适应神经模糊推理系统(ANFIS)：这种方法是基于Sugeno 模糊模型，并采用类似于神经网络的结构，因此该方法既具有模糊控制方法不要求掌握精确的被控对象数学模型的优点，又具有神经网络控制方法可以自学习的特点，而且计算量小、收敛快，比较适合在微控制器的计算能力较差的场合下使用。
将ANFIS 控制器应用在倒立摆控制系统当中，在保证摆角较小的情况下(即小于±10°)，可有效地控制倒立摆系统，并且能跟踪目标位置信号、响应速度快、系统超调量较小，但这种方法的鲁棒性较差不如基于遗传算法所设计。
(f)神经网络控制：神经网络控制能够任意充分地逼近各种极其复杂的非线性关系，能够学习并且适应严重不确定性系统的动态特性，因此具有很强的鲁棒性与容错性，也可以将Q学习算法与BP神经网络算法有机的结合在一起，可以对实现状态未离散化倒立摆系统的无模型学习控制。
这种控制方法存在的主要问题就是缺乏一种专门的，适合于控制问题的动态的神经网络，而且多层网络层数的确定、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择等也缺乏有指导性原则等。
(g)模糊控制：在倒立摆系统的稳定控制的众多方法中，模糊控制方法无疑是其中一种比较优秀的解决途径，它的鲁棒性较好。
但是一般的模糊控制器的设计方法存在着很大的局限性，首先就建立一组比较完善的多维的模糊控制规则而言，就是一个很难解决的问题，即使凑成了一组不完整并且很粗糙的模糊控制规则，在实际控制过程中其控制效果也难以得到保证。
如果模糊控制方法能有效的结合其它控制方法就很有可能会产生比较理想的控制效果。
(h)遗传算法：遗传算法是美国密歇根大学Holland教授倡导发展起来的，是模拟生物学中的自然遗传和达尔文进化理论而提出的并行随机优化算法。
其基本思想是：随着时间的更替，只有最适合的物种才能得以进化。
对于倒立摆系统，需要找到一个可以使系统稳定，且由噪声产生的输出量最小的非线性控制器，也就是要得到的最优解。
有关研究表明，遗传算法具有较好的抗干扰特性，但是计算量较大，适合于微控制器计算能力较强的场合。
由于本文所采用的倒立摆系统模型为单级倒立摆系统模型，所以通过对上述各种控制方法之间，优缺点的比较，最终本文采用了模糊控制方法。
第二章倒立摆的建模及系统分析2.1 系统建模单级倒立摆系统的建模属于单一刚性铰链、两自由度动力学问题，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。
在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2-1所示。
图2-1 单级倒立摆模型示意图图2-1中，假设各量的含义如下： M 小车质量 0.5 Kg m 摆杆质量0.2 Kg l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3m I 摆杆惯量0.006 kg ²m 2F 加在小车上的力 x 小车位移φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）下面对这个系统进行受力分析。
下图2-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
图2-2 倒立摆模型受力分析应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下所述。
分析小车水平方向所受的力，可以得到以下方程：MxF N =- (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：)sin (22θl x dtd mN +=(2)即θθθθsin cos 2 ml ml x m N -+=(3)把式(3)代入式(1)中，得系统的第一个运动方程：2()cos sin M m xml ml F θθθθ++-= (4) 对摆杆垂直方向上的受力进行分析，可以得到下面方程：22(cos )d P mg m l dtθ-=(5)即2sin cos P mg ml ml θθθθ-=-- (6)摆杆的力矩平衡方程如下：θθθ I Nl Pl =--cos sin (7)合并方程(6)和(7)，约去P 和N ，并由231ml I =得到系统的第二个运动方程： θθθcos sin 234xml mgl ml -=+ （8） 设φπθ+=（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ<<1，则可以进行近似处理：1cos -=θ，φθ-=sin ，0)(2=dtd θ。
用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：43()l g xM m x ml u ϕϕϕ-=⎧⎨++=⎩（9） 方程组(9)对φ,x 解代数方程，得到解如下： 34(4)(4)3()3(4)(4)xx mg x uM m M m g M m u M m l M m l ϕϕϕϕϕ=⎧⎪⎪=+++⎪⎨=⎪⎪+=+⎪++⎩(10)令x x X ϕϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,x y ϕ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，01003000(4)00013()000(4)mg M m A g M m M m l⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦, 04(4)03(4)M m B M m l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦， 10000010C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 00D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦于是可得系统的状态空间表达式如下所示：XAX Bu y Cx Du⎧=+⎨=+⎩ (11)于是可以在MATLAB 的命令窗口中得到如下所示的系统状态空间方程的A ，B ，C 和D 矩阵：a =0 1 0 0 0 0 6.682 0 0 0 0 1 0 0 31.18 0 b =1.8184.545c =1 0 0 00 0 1 0d =根据经验可知，对于一阶倒立摆，如果没有加以控制，当摆杆有一个小的偏角时，或者摆杆初始位置在竖直状态但小车受到一个初始干扰外力，摆杆必然会倒下来，也就是说，上述倒立摆模型中的零平衡点是不稳定平衡点。
于是由A=[b a*b]A =0 1.81801.8180 00 4.54504.5450 0 可得rank(A)=2 满秩所以该系统是能控的，可以通过设计控制器来对该系统进行控制。
本文使用模糊控制的方法来进行控制。
2.2 控制前的动态特性我们知道，线性定常系统的稳定性由系统矩阵的特征值决定，若系统矩阵的特征值的实部均不大于零，则系统就是稳定的；否则系统就是不稳定的。
下面，我们将根据开环系统矩阵的特征值来判断开环系统的的稳定性。
求开环系统矩阵特征值的MATLAB源程序为：程序4：M = 0.5;m = 0.2;I= 0.006;g = 9.8;l = 0.3;A=[0 1 0 00 0 3*M*g/(4*M+m) 00 0 0 10 0 3*(M+m)*g/((4*M+m)*l) 0];B=[04/(4*M+m)3/((4*M+m)*l)];C=[1 0 0 00 0 1 0];D=[00];Eig(A)于是，我们可以得到如下结果：ans =5.5841-5.5841显然，因为系统有一个特征值为正实数5.5841，故系统是不稳定的。
第三章模糊控制器的设计3.1 MATLAB的使用Matlab模糊控制工具箱为模糊控制器的设计提供了一种非常便捷的途径，通过它我们不需要进行复杂的模糊化、模糊推理及反模糊化运算，只需要设定相应参数，就可以很快得到我们所需要的控制器，而且修改也非常方便。