拓扑学教案14
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例如，在前面讨论过的例子中， R 中图形 y sin 定理 6 道路连通空间的连续映象是道路连通的。
1
⇏（未必）道路连通
( y0 ), x1 f 1 ( y1 ) 。 由于 X 道路连通，故有道路 F ，使得 F (i ) xi , i 0,1 ，于是 f F 是 f ( X ) 中的道路，且 f F (i ) yi , i 0,1 。这即证明了 f ( X ) 是道路连通的。
证明： 设 X 是道路连通的，f : X Y 连续， 取 x0 f y0 , y1 f ( X ) ，
二、道路连通分支
在拓扑学中规定它的点之间的一个关系～：
若点 x 与 y 可用 X 上的道路连接，则说与 y 相关，记做 x y （弧连通的） 。 可以证明， ～是一个等价关系。 定义 7 拓扑空间 X 在等价关系～下分成的等价类，称为 X 是道路连通分支，简称道路分支。
拓扑学教案 14
§5-2 连通分支与局部连通空间
连通分支是研究不连通空间时引出的一个概念。 定义 3 拓扑空间 X 的一个子集称为 X 的连通分支，如果它是连通的，并且不是 X 其他连通子 集的真子集。 注释：说 A 是 X 的一个连通分支，即，若 X 的子集 B A ，且 B A ，则 B 一定不连通。 也 就是说，连通分支是极大连通子集。 如果 X 是连通的，则它只有一个连通分支，即 X 自身。 命题 1 连通分支是闭集。 证明： 设 A 是 X 的一个连通分支，由定理 2， A 也是连通的。由 A 的极大性推出 A A 。因 此， A 是闭集。 例如，在 E 中， ( a, b) 区间是连通的，则 [ a, b] 也是连通的。 定义 4 拓扑空间 X 称为局部连通的，如果 x X ， x 的所有连通邻域构成 x 的邻域基。
1
称 X 为道路连通的。 例： E 是道路连通的。因为对于任意 x, y E ，定义道路
f :[0,1] E1 ,
1
f (t ) x ( y x) t ， t [0,1]
▲ E 中任一区间也是道路连通的。 定理 5 若则 X 一定是连通的。
证明： 设 X 是道路连通的， x0 , x1 X ,则有 X 中的道路 f ，使得 f (0) x0 , f (1) x1 .于 是 x0 , x1 在 X 的同一连通子集 f ([0,1]) 中，从而它们属于同一连通分支。 由于 x0 , x1 的任意性，故 X 只有一个连通分支，即 X 连通。
1
注释：关于“局部连通的”有多种定义表达形式。
粗略地说：局部连通性就是每一点处都有一个“任意小”的连通邻域。 “对于 x X ， x 的每一个邻域 U ，存在 x 的一个连通邻域 V ，使得 V U ，此时称 x 处局 部连通的；如果 X 的每一点 x 都是局部连通的，称 X 是局部连通的” 。 这一解释可以从定义 4 直接推出。 ●连通与局部连通的关系： （1）局部连通的空间不一定是连通的。 例如， R 的子空间 [ 百度文库1, 0) (0,1] 是不连通的，但它是局部连通的。 （2）连通的空间未必是局部连通的。 例如，设是 R 的子空间： X A B ，其中
★ 注：定理 5 说明：
道路连通 连通，
2
但是连通
1 , (0 x 1) 记为 B ， Y 上闭区间 [1,1] 记 x 为 A 。我们知道 X A B B ，且 B 是连通的，则 B 也是连通的（即 X 连通） 。 但是， A 中任一点与 B 中任一点不能用道路连接，即 X 不是道路连通的。
所以 x 是 A 的内点。因此， A 为开集。
§5-3 道路连通性（弧连通性）
一、关于道路（或弧）的概念
道路是“曲线”概念的抽象化。 曲线可以看作点的运动轨迹。如果将运动的起点、终点时刻分别记为 0 和 1，则运动就是闭区 间 [0,1] 到空间的一个连续映射，曲线就是这个映射的象。 拓扑学中把这个连续映射称作道路或弧。 定义 5 设 X 为拓扑空间，从闭区间 [0,1] 到 X 的一个连续映射 f :[0,1] X 称为 X 中连接
点 f (0) 到 f (1) 的弧或道路。 f (0) 和 f (1) 分别称为道路 f 的起点和终点（统称端点） 。 注释： 道路或弧是指映射 f ，而不是它的象。象集 f ([0,1]) 是 X 中的曲线。两者不是同一个 概念，有区别。 定义 6
1
对于 X 中任意两点 x, y ，都存在 X 中的道路 f :[0,1] X , f (0) x , f (1) y ，则
2
X (0,1) A p (0,-1) B
A {( x, y ) x 0, 1 y 1} 1 B {( x, y ) 0 x 1, y sin } x
这里 X 被称为“拓扑学家的正弦曲线” ，事实上，可以看出
X
X B。 1 x
因为， B 是在连续映射 f ( x) ( x,sin ) 下的区间 (0,1] 的象，故 B 是连通的。 又 X B （即 A 是 B 的极限点或称聚点集合） ，故 X 也是连通的。而 X 在 A 的每一点 p 处都 不是局部连通的，因而， X 不是局部连通的。 命题 2 局部连通空间的连通分支是开集。 证明：设 X 局部连通， A 是 X 的一个连通分支， x A ， x 有一连通邻域 V 使得 V A ，
根据定义 7，下面的结论是显然的： （1） x X ， x 仅属于 X 的某一个（唯一的）道路分支。 （2） X 的每个道路连通子集包含在某个道路分支中。 （3） X 是道路连通的 它只有一个道路分支。 （4）拓扑空间的道路分支是它的极大道路连通子集。
1
⇏（未必）道路连通
( y0 ), x1 f 1 ( y1 ) 。 由于 X 道路连通，故有道路 F ，使得 F (i ) xi , i 0,1 ，于是 f F 是 f ( X ) 中的道路，且 f F (i ) yi , i 0,1 。这即证明了 f ( X ) 是道路连通的。
证明： 设 X 是道路连通的，f : X Y 连续， 取 x0 f y0 , y1 f ( X ) ，
二、道路连通分支
在拓扑学中规定它的点之间的一个关系～：
若点 x 与 y 可用 X 上的道路连接，则说与 y 相关，记做 x y （弧连通的） 。 可以证明， ～是一个等价关系。 定义 7 拓扑空间 X 在等价关系～下分成的等价类，称为 X 是道路连通分支，简称道路分支。
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§5-2 连通分支与局部连通空间
连通分支是研究不连通空间时引出的一个概念。 定义 3 拓扑空间 X 的一个子集称为 X 的连通分支，如果它是连通的，并且不是 X 其他连通子 集的真子集。 注释：说 A 是 X 的一个连通分支，即，若 X 的子集 B A ，且 B A ，则 B 一定不连通。 也 就是说，连通分支是极大连通子集。 如果 X 是连通的，则它只有一个连通分支，即 X 自身。 命题 1 连通分支是闭集。 证明： 设 A 是 X 的一个连通分支，由定理 2， A 也是连通的。由 A 的极大性推出 A A 。因 此， A 是闭集。 例如，在 E 中， ( a, b) 区间是连通的，则 [ a, b] 也是连通的。 定义 4 拓扑空间 X 称为局部连通的，如果 x X ， x 的所有连通邻域构成 x 的邻域基。
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称 X 为道路连通的。 例： E 是道路连通的。因为对于任意 x, y E ，定义道路
f :[0,1] E1 ,
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f (t ) x ( y x) t ， t [0,1]
▲ E 中任一区间也是道路连通的。 定理 5 若则 X 一定是连通的。
证明： 设 X 是道路连通的， x0 , x1 X ,则有 X 中的道路 f ，使得 f (0) x0 , f (1) x1 .于 是 x0 , x1 在 X 的同一连通子集 f ([0,1]) 中，从而它们属于同一连通分支。 由于 x0 , x1 的任意性，故 X 只有一个连通分支，即 X 连通。
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注释：关于“局部连通的”有多种定义表达形式。
粗略地说：局部连通性就是每一点处都有一个“任意小”的连通邻域。 “对于 x X ， x 的每一个邻域 U ，存在 x 的一个连通邻域 V ，使得 V U ，此时称 x 处局 部连通的；如果 X 的每一点 x 都是局部连通的，称 X 是局部连通的” 。 这一解释可以从定义 4 直接推出。 ●连通与局部连通的关系： （1）局部连通的空间不一定是连通的。 例如， R 的子空间 [ 百度文库1, 0) (0,1] 是不连通的，但它是局部连通的。 （2）连通的空间未必是局部连通的。 例如，设是 R 的子空间： X A B ，其中
★ 注：定理 5 说明：
道路连通 连通，
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但是连通
1 , (0 x 1) 记为 B ， Y 上闭区间 [1,1] 记 x 为 A 。我们知道 X A B B ，且 B 是连通的，则 B 也是连通的（即 X 连通） 。 但是， A 中任一点与 B 中任一点不能用道路连接，即 X 不是道路连通的。
所以 x 是 A 的内点。因此， A 为开集。
§5-3 道路连通性（弧连通性）
一、关于道路（或弧）的概念
道路是“曲线”概念的抽象化。 曲线可以看作点的运动轨迹。如果将运动的起点、终点时刻分别记为 0 和 1，则运动就是闭区 间 [0,1] 到空间的一个连续映射，曲线就是这个映射的象。 拓扑学中把这个连续映射称作道路或弧。 定义 5 设 X 为拓扑空间，从闭区间 [0,1] 到 X 的一个连续映射 f :[0,1] X 称为 X 中连接
点 f (0) 到 f (1) 的弧或道路。 f (0) 和 f (1) 分别称为道路 f 的起点和终点（统称端点） 。 注释： 道路或弧是指映射 f ，而不是它的象。象集 f ([0,1]) 是 X 中的曲线。两者不是同一个 概念，有区别。 定义 6
1
对于 X 中任意两点 x, y ，都存在 X 中的道路 f :[0,1] X , f (0) x , f (1) y ，则
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X (0,1) A p (0,-1) B
A {( x, y ) x 0, 1 y 1} 1 B {( x, y ) 0 x 1, y sin } x
这里 X 被称为“拓扑学家的正弦曲线” ，事实上，可以看出
X
X B。 1 x
因为， B 是在连续映射 f ( x) ( x,sin ) 下的区间 (0,1] 的象，故 B 是连通的。 又 X B （即 A 是 B 的极限点或称聚点集合） ，故 X 也是连通的。而 X 在 A 的每一点 p 处都 不是局部连通的，因而， X 不是局部连通的。 命题 2 局部连通空间的连通分支是开集。 证明：设 X 局部连通， A 是 X 的一个连通分支， x A ， x 有一连通邻域 V 使得 V A ，
根据定义 7，下面的结论是显然的： （1） x X ， x 仅属于 X 的某一个（唯一的）道路分支。 （2） X 的每个道路连通子集包含在某个道路分支中。 （3） X 是道路连通的 它只有一个道路分支。 （4）拓扑空间的道路分支是它的极大道路连通子集。