详解由递推公式求斐波那契数列的通项公式

详解由递推公式求斐波那契数列的通项公式 武汉市黄陂区第四中学 蔡从江

斐波那契数列的递推公式是121==a a ，11-++=n n n a a a （2≥n 且N n ∈），那么它的通项公式是怎样的呢？不少同学经常问到这个问题。

下面详细解答用待定系数法构造过渡数列求其通项公式。

由递推公式11-++=n n n a a a ，可设)(11-++=+n n n n a a a a λμλ，比较得1=-λμ且1=μλ，即012=-+λλ，解得251±-=

λ。若251+-=λ，则251+=μ；若251--=λ，则2

51-=μ。 先以2

51+-=λ，251+=μ求解， 此时)2)(2

15(21521511≥-++=-+-+n a a a a n n n n ， 所以)2()215()215()215(2151211≥+=-++=-+

-+n a a a a n n n n ， 即)2()2

15(2511≥++-=+n a a n n n ， 再另)2]()215([251)215(

11≥+--=+-++n x a x a n n n n 即n n n x x )2

15()215(215)215(1+=+-+++， 所以12

15215=-++x x 即55=x ， 所以

])215(55[251)215(5511n n n n a a +--=+-++， )2]()2

15(551[)251()215(552111≥+--=+--++n a n n n ，

所以)2]()2

15(551[)251()215(552111≥+--=+--++n a n n n ， )2]()251()251[(5

1])215(551[)251()215(55112111≥--+=+--++=++-++n a n n n n n 所以)3]()251()251[(5

1≥--+=n a n n n ， 又121==a a 适合上式，故

*)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+=， 同理可得251--=λ，2

51-=μ时，*)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+=， 因此斐波那契数列的通项公式是

*)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+=