2012-2016数学全国卷导数大题汇编(理科)
2016年高考理科导数大题
1. （2016年新课标Ⅰ理数）已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围；(II)设12x x ，是()f x 的两个零点，证明：12 2.x x +<2. （2016年新课标Ⅱ理数）(I)讨论函数2()2xx f x e x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)20;xx e x -++>(II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x-->（） 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.3. （2016年新课标Ⅲ理数）设设函数()()()cos21cos +1f x x x αα=+-，其中0α>，记()f x 的最大值为A .（Ⅰ）求'f x （）； （Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明()'2f x A ≤.4. （2016年北京理数）设函数()a xf x xebx -=+，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为()14y e x =-+， （I ）求,a b 的值；(I I) 求()f x 的单调区间。
5. （2016年江苏理数）已知函数()(0,0,1,1)x xf x a b a b a b =+>>≠≠.（1） 设122a b ==，. ① 求方程()=2f x 的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.6. （2016年山东理数）已知()221()ln ,x f x a x x a R x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立7. （2016年上海理数）已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.8. （2016年四川理数）设函数()2ln f x ax a x =--，其中a ∈R . （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x->-在区间1+∞（，）内恒成立(e 2.718=⋯为自然对数的底数)。
2016年高考数学理真题分类汇编：导数及其应用
2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A2、（2016年全国I 高考）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为【答案】D二、填空题1、（2016年全国II 高考）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln 2-2、（2016年全国III 高考）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程 是_______________。
【答案】21y x =--三、解答题1、（2016年北京高考） 设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+， （1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.【解析】 （I ）()e a x f x x bx -=+∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.2、（2016年山东高考）已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【解析】(Ⅰ) 求导数322)11(=)(′x x x a x f －－－ 322)(1(=x ax x )－－当0≤a 时，(0,1)∈x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈+∞x ，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x ax a x x a x ax x x f ))－－)－－（1） 当＜２＜a 0时，1>2a， (0,1)∈x 或),(∈+∞2a x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (2) 当２=a 时，1=2a， )(0,∈+∞x ，0≥)(′x f ，)(x f 单调递增， (3) 当２>a 时，1<2<0a， )(0,∈ax 2或∞)(1,∈+x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， ,1)(∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (Ⅱ) 当1=a 时，212+ln =)(x x x x x f －－，32322+11=2)(1(=)(′xx x x x x x f 2－－)－－于是)2+1112+ln =)(′)(322xx x x x x x x f x f 2－－－(－－－，－1－1－322+3+ln =xx x x x ，]2,1[∈x令x x x ln =)g(－ ，322+3+=)h(xx x x －1－1，]2,1[∈x ， 于是)(+(g =)(′)(x h x x f x f ）－， 0≥1=1=)(g ′xx x x －1－，)g(x 的最小值为1=g(1)；又42432+=+=)(h ′x x x x x x x 6－2－362－3－设6+23=)(θ2x x x －－，]2,1[∈x ，因为1=)1(θ，10=)2(θ－， 所以必有]2,1[0∈x ，使得0=)(θ0x ，且0<<1x x 时，0>)(θx ，)(x h 单调递增； 2<<0x x 时，0<)(θx ，)(x h 单调递减；又1=)1(h ，21=)2(h ，所以)(x h 的最小值为21=)2(h ． 所以23=21+1=)2(+1(g >)(+(g =)(′)(h x h x x f x f ））－． 即23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立．3、（2016年四川高考）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得f (x ) ＞-e 1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
2012年~2015年全国卷理科数学分类汇编-导数
2012年~2015年全国卷理科数学分类汇编-导数2012年~2015年全国卷理科数学分类汇编-导数一、选择题1.在曲线y=ln(2x)上，点Q在xe上，则PQ最小值为（）A。
1-ln2.B。
2(1-ln2)。
C。
1+ln2.D。
2(1+ln2)2.已知函数f(x)=(ln(x+1)-x)/x，则y=f(x)的图像大致为（）3.设点P在曲线y=x/(1+x^2)上，ABCD为正方形，其中AB与y轴平行，BC与x轴平行，且P在BC上，则P到AD的距离的最小值为（）4.设a=log3 6.b=log5 10.c=log7 14，则（）A。
c>b>a。
B。
b>c>a。
C。
a>c>b。
D。
a>b>c5.已知函数f(x)={-x^2+2x (x0)}，若|f(x)|>=ax，则a的取值范围是（）A。
(-∞。
0]。
B。
(-∞。
1]。
C。
[-2.1]。
D。
[-2.0]6.设函数f(x)=3sin(πx)，若存在f(x)的极值点x满足x^2+[m/2]^2<1，则m的取值范围是（）A。
(-∞。
-6)∪(6.∞)。
B。
(-∞。
-4)∪(4.∞)。
C。
(-∞。
-2)∪(2.∞)。
D。
(-∞。
-1)∪(1.∞)7.设曲线y=a*x-ln(x+1)在点(1.a-1)处的切线方程为y=2x，则a=（）A。
0.B。
1.C。
2.D。
38.已知函数f(x)=ax-3x+1，若f(x)存在唯一的零点x，且x>0，则a的取值范围是（）A。
(2.+∞)。
B。
(1.+∞)。
C。
(-∞。
-2)。
D。
(-∞。
-1)9.如图，图O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则f(x)的单调递增区间为（）图片无法复制，故省略）二、解答题1.已知函数f(x)=x^2-3x+2，g(x)=e^x-2，h(x)=ln(x+1)，则f(g(h(x)))的定义域为（）2.已知函数f(x)=x^3-3x+2，g(x)=sinx，则f(g(x))的最小正周期为（）3.已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中a,b,c,d均为常数，且f(-1)=0，f(0)=1，f(1)=2，f'(0)=0，则f(2)的值为（）4.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，其中a,b,c均为常数，若f(x)在x=1处取得极小值0，则a+b+c的值为（）5.已知函数y=e^x+e^-x，则y的最小值为（）6.已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中a,b,c,d均为常数，且f(1)=f'(1)=0，则f(0)+f''(0)的值为（）10．正确答案为B。
10套【高考真题】2012-2016年高考数学(理科)课标卷全国卷(一、二、三)(Word版,含答案解析)
（10套）【高考真题】2012-2016年高考数学（理科）课标卷（Word精校版，含答案解析）目录【高考真题】2012年高考数学（理科）课标卷【高考真题】2013年高考数学（理科）课标卷（一）Ⅰ【高考真题】2013年高考数学（理科）课标卷（二）Ⅱ【高考真题】2014年高考数学（理科）课标卷（一）Ⅰ【高考真题】2014年高考数学（理科）课标卷（二）Ⅱ【高考真题】2015年高考数学（理科）课标卷（一）【高考真题】2015年高考数学（理科）课标卷（二）2016年普通高等学校招生全国统一考试理科、全国卷一2016年普通高等学校招生全国统一考试理科、全国卷二2016年普通高等学校招生全国统一考试理科、全国卷三2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.102.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )A.12种B.10种C.9种D.8种3.下面是关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2, p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i, p4:z的虚部为-1.其中的真命题为( )A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p44.设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )A. B. C.D.5.已知{a n}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( )A.7B.5C.-5D.-76.如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,a N,输出A,B,则( )A.A+B为a1,a2,…,a N的和B.为a1,a2,…,a N的算术平均数C.A和B分别是a1,a2,…,a N中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,…,a N中最小的数和最大的数7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.188.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )A. B.2 C.4 D.89.已知ω>0,函数f(x)=sin在单调递减,则ω的取值范围是( )A. B. C.D.(0,2]10.已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )11.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( )A. B. C.D.12.设点P在曲线y=e x上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( )A.1-ln 2B.(1-ln 2)C.1+ln 2D.(1+ln 2)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .14.设x,y满足约束条件则z=x-2y的取值范围为.15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为.16.数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+asin C-b-c=0.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.19.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.(Ⅰ)证明:DC1⊥BC;(Ⅱ)求二面角A1-BD-C1的大小.20.(本小题满分12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(Ⅰ)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(Ⅱ)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)满足f(x)=f '(1)e x-1-f(0)x+x2.(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调区间;(Ⅱ)若f(x)≥x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:(Ⅰ)CD=BC;(Ⅱ)△BCD∽△GBD.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.D解法一:由x-y∈A,及A={1,2,3,4,5}得x>y,当y=1时,x可取2,3,4,5,有4个;y=2时,x可取3,4,5,有3个;y=3时,x可取4,5,有2个;y=4时,x可取5,有1个.故共有1+2+3+4=10(个),选D.解法二:因为A中元素均为正整数,所以从A中任取两个元素作为x,y,满足x>y的(x,y)即为集合B中的元素,故共有=10个,选D.评析考查了分类讨论的思想,由x-y∈A得x>y是解题关键.2.A2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有种选法,另2名学生分配给另1名教师,然后将2个小组安排到甲、乙两地,有种方案,故不同的安排方案共有=12种,选A.评析本题考查了排列组合的实际应用,考查了先分组再分配的方法.3.C z===-1-i,所以|z|=,p 1为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2为真命题;=-1+i,p3为假命题;p4为真命题.故选C.评析本题考查了复数的运算及复数的性质,考查了运算求解能力.4.C设直线x=a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,∴a-c=×2c,e==,故选C.评析本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要.5.D由a5a6=a4a7,得a4a7=-8,又a4+a7=2,∴a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4,∴q3=-或q3=-2.当q3=-时,a1+a10=+a4q6=+4×=-7,当q3=-2时,a1+a10=+a4q6=+(-2)·(-2)2=-7,故选D.评析本题考查了等比数列的基本运算,掌握等比数列的性质可简化计算.6.C不妨令N=3,a1<a2<a3,则有k=1,A=a1,B=a1,x=a1;k=2,x=a2,A=a2;k=3,x=a3,A=a3,结束.故A=a3,B=a1,选C.评析本题考查了流程图,考查了由一般到特殊的转化思想.7.B由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥,其底面△ABC为等腰三角形且BA=BC,AC=6,AC边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=××6×3×3=9.故选B.评析本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.8.C如图,AB为抛物线y2=16x的准线,由题意可得A(-4,2).设双曲线C的方程为x2-y2=a2(a>0),则有16-12=a2,故a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.9.A由<x<π得+<ωx+<ωπ+,又y=sin α在上递减,所以解得≤ω≤,故选A.评析本题考查了三角函数的单调性,考查了运用正弦函数的减区间求参数的问题.10.B令g(x)=ln(x+1)-x,g'(x)=-1=,∴当-1<x<0时,g'(x)>0,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)max=g(0)=0.∴f(x)<0,排除A、C,又由定义域可排除D,故选B.评析本题考查了函数的图象,考查了利用导数判断单调性,求值域,考查了数形结合的数学思想.11.A设△ABC外接圆的圆心为O1,则|OO1|===.三棱锥S-ABC的高为2|OO1|=.所以三棱锥S-ABC的体积V=××=.故选A.评析本题考查了三棱锥和球的基本知识,考查了空间想象能力.12.B由y=e x得e x=2y,所以x=ln 2y,所以y=e x的反函数为y=ln 2x,所以y=e x与y=ln 2x 的图象关于直线y=x对称,所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切点之间的距离,令(ln 2x)'==1,解得x1=1,令'=1,解得x2=ln 2,所以两点为(1,ln 2)和(ln 2,1),故d=(1-ln 2),选B.评析本题考查了导数的应用,互为反函数图象的性质,考查了数形结合的思想.二、填空题13.答案3解析|2a-b|=两边平方得4|a|2-4|a|·|b|cos 45°+|b|2=10.∵|a|=1,∴|b|2-2|b|-6=0.∴|b|=3或|b|=-(舍去).评析本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量问题转化为数量积问题是求解的关键.14.答案[-3,3]解析由不等式组画出可行域(如图所示).当直线x-2y-z=0过点B(1,2)时,z min=-3;过点A(3,0)时,z max=3.∴z=x-2y的取值范围是[-3,3].评析本题考查了简单线性规划知识;考查了数形结合的思想方法.15.答案解析由题意知每个电子元件使用寿命超过1 000小时的概率均为,元件1或元件2正常工作的概率为1-×=,所以该部件使用寿命超过1 000小时的概率为×=.评析本题考查了正态分布及相互独立事件的概率.16.答案 1 830解析当n=2k时,a+a2k=4k-1,当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3,∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+3+a2k+1=2,∴a2k-1=a2k+3,∴a1=a5=…=a61.∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)==30×61=1 830.评析本题考查了数列求和及其综合应用,考查了分类讨论及等价转化的数学思想.三、解答题17.解析(Ⅰ)由acos C+asin C-b-c=0及正弦定理得sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0.因为B=π-A-C,所以sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.由于sin C≠0,所以sin=.又0<A<π,故A=.(Ⅱ)△ABC的面积S=bcsin A=,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.解得b=c=2.评析本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想.灵活运用正、余弦定理是求解关键.正确的转化是本题的难点.18.解析(Ⅰ)当日需求量n≥16时,利润y=80.当日需求量n<16时,利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y=(n∈N).(Ⅱ)(i)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列为X的数学期望为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X的方差为DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.(ii)答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.Y的方差为DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然EX<EY,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.评析本题考查了利用样本频率估计总体概率以及离散型随机变量的期望与方差,掌握期望与方差的意义是解题关键,考查了运算求解能力.19.解析(Ⅰ)由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点,故DC=DC1.又AC=AA1,可得D+DC2=C,所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以DC1⊥平面BCD.BC⊂平面BCD,故DC1⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC⊥DC1,且BC⊥CC1,则BC⊥平面ACC1,所以CA,CB,CC1两两相互垂直.以C为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题意知A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).则=(0,0,-1),=(1,-1,1),=(-1,0,1).设n=(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量,则即可取n=(1,1,0).同理,设m是平面C1BD的法向量,则可取m=(1,2,1).从而cos<n,m>==.故二面角A1-BD-C1的大小为30°.评析本题考查了直线与平面垂直的证明及二面角的求法.属中等难度题,运算要准确.20.解析(Ⅰ)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为△ABD的面积为4,所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(Ⅱ)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0,解得b=-.因为m的截距b1=,=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.21.解析(Ⅰ)由已知得f '(x)=f '(1)e x-1-f(0)+x,所以f '(1)=f '(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f '(1)e-1,所以f '(1)=e.从而f(x)=e x-x+x2.由于f '(x)=e x-1+x,故当x∈(-∞,0)时, f '(x)<0;当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0.从而, f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(Ⅱ)由已知条件得e x-(a+1)x≥b.①(i)若a+1<0,则对任意常数b,当x<0,且x<时,可得e x-(a+1)x<b,因此①式不成立.(ii)若a+1=0,则(a+1)b=0.(iii)若a+1>0,设g(x)=e x-(a+1)x,则g'(x)=e x-(a+1).当x∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x)<0;当x∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0.从而g(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增.故g(x)有最小值g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1).所以f(x)≥x2+ax+b等价于b≤a+1-(a+1)ln(a+1).②因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h'(a)=(a+1)[1-2ln(a+1)].所以h(a)在(-1,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,故h(a)在a=-1处取得最大值.从而h(a)≤,即(a+1)b≤.当a=-1,b=时,②式成立,故f(x)≥x2+ax+b.综合得,(a+1)b的最大值为.评析本题考查了函数与导数的综合应用,难度较大,考查了分类讨论和函数与方程的思想方法,直线斜率以零为分界点进行分类是解题关键.22.证明(Ⅰ)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连结AF,所以ADCF是平行四边形,故CD=AF.因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(Ⅱ)因为FG∥BC,故GB=CF.由(Ⅰ)可知BD=CF,所以GB=BD.而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD.评析本题考查了直线和圆的位置关系,处理好两条线段平行的关系是解题的关键.23.解析(Ⅰ)由已知可得A,B2cos+,2sin+,C2cos+π,2sin+π,D2cos+,2sin+,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(Ⅱ)设P(2cos φ,3sinφ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].评析本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法.正确“互化”是解题的关键.难点是建立函数S=f(φ).24.解析(Ⅰ)当a=-3时,f(x)=当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时, f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}.(Ⅱ)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].评析本题考查了含绝对值不等式的解法,运用了零点法分类讨论解含绝对值不等式的方法,考查了学生的运算求解能力.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-<x<},则( )A.A∩B=⌀B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B2.若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( )A.-4B.-C.4D.3.为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x5.执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( )A.[-3,4]B.[-5,2]C.[-4,3]D.[-2,5]6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )A. cm3B. cm3C. cm3D. cm37.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=( )A.3B.4C.5D.68.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π9.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( )A.5B.6C.7D.810.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=111.已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]12.设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=,c n+1=,则( )A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b²c=0,则t= .14.若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n= .15.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ= .16.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(Ⅰ)若PB=,求PA;(Ⅱ)若∠APB=150°,求tan∠P BA.18.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;(Ⅱ)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.20.(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线y=4x+2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值;(Ⅱ)若x≥-2时, f(x)≤kg(x),求k的取值范围.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答,多选、多答,按所选的首题进行评分;不选,按本选考题的首题进行评分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>-1,且当x∈时, f(x)≤g(x),求a的取值范围.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.B化简A={x|x>2或x<0},而B={x|-<x<},所以A∩B={x|-<x<0或2<x<},B项错误;A∪B=R,B项正确;A与B没有包含关系,C项与D项均错误.故选B.2.D∵|4+3i|==5,∴z===+i,虚部为,故选D.3.C因为男女视力情况差异不大,而学段的视力情况有较大差异,所以应按学段分层抽样,故选C.评析本题考查了分层抽样,准确理解分层抽样的意义是解题关键.4.C∵===,∴C的渐近线方程为y=±x.故选C.5.A由框图知s是关于t的分段函数:s=当t∈[-1,1)时,s∈[-3,3);当t∈[1,3]时,s=4t-t2=4-(t-2)2∈[3,4],故s∈[-3,4],故选A.6.A设球心为O,正方体上底面中心为A,上底面一边的中点为B,在Rt△OAB中,|OA|=R-2(cm),|AB|=4(cm),|OB|=R(cm),由R2=(R-2)2+42得R=5(cm),∴V球=πR3=π(cm3).故选A. 评析本题考查了正方体和球的组合体,考查了空间想象能力.利用勾股定理求出球半径R是解题的关键.7.C解法一:∵S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,∴a m=S m-S m-1=2,a m+1=S m+1-S m=3,∴公差d=a m+1-a m=1,由S n=na1+d=na1+,得由①得a1=,代入②可得m=5.解法二:∵数列{a n}为等差数列,且前n项和为S n,∴数列也为等差数列.∴+=,即+=0,即m=5.故选C.评析本题考查等差数列前n项和的基本运算,若能掌握等差数列的性质,解决此题可简化运算.8.A由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为4、2、2,圆柱的底面半径为2,高为4.所以该几何体的体积为V=4×2×2+π×22×4=16+8π.故选A.9.B由题意得:a=,b=,所以13=7,∴=,∴=13,解得m=6,选B.10.D直线AB的斜率k==,设A(x1,y1),B(x2,y2),则①-②得=-·.即k=-×,∴=.③又a2-b2=c2=9, ④由③④得a2=18,b2=9.所以椭圆方程为+=1,故选D.评析本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了线段的中点问题.本题也可利用韦达定理解决中点问题.11.D由题意作出y=|f(x)|的图象:由题意结合图象知,当a>0时,y=ax与y=ln(x+1)在x>0时必有交点,所以a≤0.当x≥0时,|f(x)|≥ax显然成立;当x<0时,|f(x)|=x2-2x≥ax,则a≥x-2恒成立,又x-2<-2,∴a≥-2.综上,-2≤a≤0,故选D.评析本题考查了函数的综合应用,考查了数形结合的能力;借助基本初等函数的图象缩小参数范围是解题关键.12.B由b n+1=,c n+1=得b n+1+c n+1=a n+(b n+c n),①b n+1-c n+1=-(b n-c n),②由a n+1=a n得a n=a1,代入①得b n+1+c n+1=a1+(b n+c n),∴b n+1+c n+1-2a1=(b n+c n-2a1),∵b1+c1-2a1=2a1-2a1=0,∴b n+c n=2a1>|B n C n|=a1,所以点A n在以B n、C n为焦点且长轴长为2a1的椭圆上(如图).由b1>c1得b1-c1>0,所以|b n+1-c n+1|=(b n-c n),即|b n-c n|=(b1-c1)·,所以当n增大时|b n-c n|变小,即点A n向点A处移动,即边B n C n上的高增大,又|B n C n|=a n=a1不变,所以{S n}为递增数列.二、填空题13.答案 2解析解法一:∵b·c=0,∴b[t a+(1-t)b]=0,t a·b+(1-t)·b2=0,又∵|a|=|b|=1,<a,b>=60°,∴t+1-t=0,t=2.解法二:由t+(1-t)=1知向量a、b、c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=,则c=.把a、b、c的坐标代入c=t a+(1-t)b,得t=2.评析本题考查了向量的运算,利用三点共线的条件得到c的坐标是解题关键.14.答案(-2)n-1解析由S=a n+得:当n≥2时,S n-1=a n-1+,∴当n≥2时,a n=-2a n-1,又n=1时,S1=a1=a1+,a1=1,∴a n=(-2)n-1.15.答案-解析由辅助角公式得:f(x)==sin(x-φ),其中sin φ=,cos φ=,由x=θ,f(x)取得最大值得:sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+,k∈Z,即θ=φ++2kπ,∴cosθ=cos=-sinφ=-.评析本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.16.答案16解析由f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则有即解得a=8,b=15,∴f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=(1-x2)[(x+4)2-1],令x+2=t,则x=t-2,t∈R.∴y=f(t)=[1-(t-2)2][(t-2)2+8(t-2)+15]=(4t-t2-3)(4t+t2+3)=16t2-(t2+3)2=16t2-t4-6t2-9=16-(t2-5)2,∴当t2=5时y max=16.三、解答题17.解析(Ⅰ)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2××cos 30°=.故PA=.(Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得PB=sin α.在△PBA中,由正弦定理得=,化简得cos α=4sinα.所以tan α=,即tan∠PBA=.评析本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了运算求解能力和分析、解决问题的能力.题目新颖且有一定的难度,通过PB把△PBC和△PAB联系起来利用正弦定理是解题关键.18.解析(Ⅰ)取AB的中点O,连结OC,OA 1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(Ⅱ)由(Ⅰ)知OC⊥AB,OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两相互垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题设知A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0).则=(1,0,),==(-1,,0),=(0,-,).设n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,则即可取n=(,1,-1).故cos<n,>==-.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.19.解析(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=×+×=.(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1--=,P(X=500)=,P(X=800)=.所以X的分布列为EX=400×+500×+800×=506.25.20.解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r 1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(Ⅰ)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).(Ⅱ)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=.所以|AB|=|x2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.评析本题考查了直线和圆的位置关系,考查了椭圆的定义和方程,考查了分类讨论的方法和运算求解能力.利用数形结合的方法是解题的关键.在求曲线C的方程时容易忽视对左顶点和直线倾斜角为90°时的讨论而造成失分.21.解析(Ⅰ)由已知得f(0)=2,g(0)=2, f '(0)=4,g'(0)=4.而f '(x)=2x+a,g'(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2,则F'(x)=2ke x(x+2)-2x-4=2(x+2)(ke x-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F'(x)=0,得x1=-ln k,x2=-2.(i)若1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当x∈(-2,x1)时,F'(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F'(x)>0.即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增.故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.(ii)若k=e2,则F'(x)=2e2(x+2)(e x-e-2).从而当x>-2时,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增. 而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.(iii)若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时, f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是[1,e2].评析本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性,考查了分类与整合、函数与方程的思想;结合特值限定参数的范围,可减少分类的情况,有利于提高效率,掌握利用两根大小作为讨论的分界点,是解题关键.22.解析(Ⅰ)连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.23.解析(Ⅰ)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.(Ⅱ)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为,.24.解析(Ⅰ)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(Ⅱ)当x∈时, f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈都成立.故-≥a-2,即a≤.从而a的取值范围是.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=()。
2012年-—2016年导数及定积分小题汇编讲解
2012年-—2016年导数及定积分小题汇编一、选择题1、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A2、（2016年全国I 高考）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为【答案】D3、（2016年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y = （D ）3y x =【答案】A4、（2016年四川高考）已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a=(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D5、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= 图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B 则则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A6、（2016年全国I 卷高考）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C7.（15年福建理科）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111kf k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭ 【答案】C8.（15年福建文科）“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B9.（15年新课标1理科）设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ） A.[-，1） B. [-，） C. [，） D. [，1） 【答案】D10.（15年新课标2理科）设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，f （-1）=0，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 （A ） （B ）（C ） （D ）【答案】A11.（15年陕西理科）对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A12．[2014·全国卷] 曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】．C .13．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】．D 14．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3] 【答案】．C15．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1) 【答案】．C16．[2014·山东卷] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 22 B. 42 C. 2 D. 4【答案】．D17．[2014·陕西卷] 定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 【答案】．C181 ．（2013年高考湖北卷（理））已知a 为常数,函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2),则（ ）A ．121()0,()2f x f x >>- B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-【答案】D19 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是 （ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x = 【答案】C20 ．（2013年高考江西卷（理））若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为（ ）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S << 【答案】B21 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（ ）A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【答案】D22 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））设函数()f x 的定义域为R,00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D23 ．（2013年高考北京卷（理））直线l 过抛物线C: x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于 （ ）A ．43B ．2C ．83D 【答案】C24 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））已知e 为自然对数的底数,设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ,则（ ）A ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值【答案】C25.【2012高考真题重庆理8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 【答案】D26.【2012高考真题新课标理12】设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）()A 1ln2- ()Bln 2)- ()C 1ln2+()D ln 2)+【答案】B27.【2012高考真题陕西理7】设函数()x f x xe =，则（ ） A. 1x =为()f x 的极大值点 B.1x =为()f x 的极小值点 C. 1x =-为()f x 的极大值点 D. 1x =-为()f x 的极小值点[学 【答案】D.28.【2012高考真题辽宁理12】若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是(A)21x e x x ++ (211)124x x <-+(C)21cos 12x x -… (D)21ln(1)8x x x +-… 【答案】C29.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为A ．2π5B ．43C ．32D ．π2【答案】B30.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1 【答案】A 二、填空题31 ．（2013年高考江西卷（理））设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且()x x f e x e =+,则(1)x f =______________【答案】232 ．（2013年高考湖南卷（理））若209,Tx dx T =⎰则常数的值为_________. 【答案】333．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））若曲线y=kx+lnx 在点(1，k)处的切线平行于x 轴,则k=______. 【答案】-134.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距离，则实数a=_______。
2012年导数高考题汇编(含答案)
2012年导数高考题汇编一、选择题：1.（2012年辽宁文）函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为 A .(1,1]- B .(0,1] C .[1,)+∞ D .(0,)+∞解：1(1)(1),0x x y x x x x+-'=-=>.当01x <<时，0y '<，函数单调递减；当1x >时，0y '>，函数单调递增.故函数单调递减区间为(0,1]. 答案：B2.（2012福建理）如图所示，在边长为1的正方形O ABC 中任取一 点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A .14 B .15 C .16 D .17解：设阴影面积为S，则312120021211)|32326S x dx x x ==-=-=⎰，又正方形面积1S '=，∴由几何 概型知，P 恰好取自阴影部分的概率为16. 答案：C3.（2012年陕西理）设函数()e x f x x =，则A .1x =为()f x 的极大值点B .1x =为()f x 的极小值点C .1x =-为()f x 的极大值点D .1x =-为()f x 的极小值点解：()e e e (1)x x x f x x x '=+=+，当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增.故当1x =-时，函数()f x 有极小值.答案：C4.（2012年江西理）计算定积分121(sin )d x x x -+=⎰ .解：∵321cos sin 3x x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴11231112(sin )d cos 33x x x x x --⎛⎫+=-=⎪⎝⎭⎰. 答案：23. 5.（2012年江西文）设函数2()ln f x x x=+，则A .12x =为()f x 的极大值点 B .12x =为()f x 的极小值点 C .2x =为()f x 的极大值点 D .2x =为()f x 的极小值点6.已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c =A .2-或2B .9-或3C .1-或1D .3-或17.（2012重庆理）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A .函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB .函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC .函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D .函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f8.（2012重庆文）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是解：∵()f x 在2x =-处取得极小值，∴当2x <-时，()f x 单调递减，即()0f x '<；当2x >-时，()f x 单调递增，即()0f x '>. ∴当2x <-时，()0y xf x '=>；当2x =-时，()0y xf x '==；当20x -<<时，()0y xf x '=<；当0x =时，()0y xf x '==；当0x >时，()0y xf x '=>.答案：选C9.（2012年新课标理）设点P 在曲线1e 2x y =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为A .1ln2- Bln 2)- C .1ln2+ Dln 2)+解：函数1e 2x y =与ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称，故||PQ 的最小值就应是点P （或点）到直线y x =的最小距离的2倍.设函数1e 2x y =图象上点00(,)P x y 处的切线平行于直线y x =.则有0001|e 1ln212x x x k y x y ='===⇒=⇒=,因此，直线y x =与 曲线1e 2x y =ln 2)-ln 2)2ln 2)-⨯-. 答案：选B变式 设点P 在曲线e x y =上，点Q 在曲线11y x=-上，则||PQ 的最小值为 A1)- B1)- CD解：函数e x y =的反函数为ln y x =，考查函数ln y x =与图象11y x =-的公共点情况，即考查方程1ln 1x x=-的解的个数，即考查函数1()ln 1h x x x=+-的零点个数.1()ln 1h x x x =+-，22111()x h x x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<，()h x 递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 递增.故0x >时，()(1)0h x h ≥=，即1ln 1x x≥-，仅当1x =时，取等号.因此||PQ 最小值就是函数e x y =及其反函数ln y x =图象上两点距离最小值，易知A BC D此时(0,1)P ，(1,0)Q ，故||PQ .答案：选C10.（2012年湖南文）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是()f x 的导数，当[0,]x π∈时，0()1f x <<；当(0,)x π∈且2x π≠时，()02x f x π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭.则函数()sin y f x x=-在[2,2]ππ-上的零点个数为A .2B .4C .5D .8解：根据函数()f x 的性质，将()sin y f x x =-的零点个数转化为函数1()y f x =与2sin y x =图象的交点的个数. ∵()02πx f x ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，当2πx π<<时，()0f x '>，∴()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数；当02πx <<时，()0f x '<，∴()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数.设2πx π≤≤，则02πx π≤-≤.由()f x 是以2π为最小正周期的偶函数知(2)()f πx f x -=.故2πx π≤≤时，0()1f x <<. 依题意作出草图可知，1()y f x =与2sin y x =在[2,2]ππ-上有四个交点. 答案：选B11.（2012年辽宁理）若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 A .2e 1x x x ≤++ B 211124x x ≤-+ C .21cos 12x x ≥- D .21ln(1)8x x x +≥-解：对选项A ，在区间[0,)+∞上，函数e x y =和21y x x =++的增长速度不在同一个“档次”上，随着x 的增大，e x y =的增长速度越来越快，会超过并会远远大于21y x x =++的增长速度，故不等式2e 1x x x ≤++不能恒成立.对选项B ：令t ，则1t ≥，21x t =-.于是，原不等式对[0,)x ∈+∞是否恒成立534740t t t ⇔-+-≥对[1,)t ∈+∞是否恒成立.记53()4740,[1,)f t t t t t =-+-≥∈+∞，则42()51275(1)(1),[1,)f t t t t t t t t ⎛'=-+=+-∈+∞ ⎝，易知()f t 在⎛ ⎝内递减.当t ⎛∈ ⎝时，()(1)0f t f <=，故不等式534740t t t -+-≥对[1,)t ∈+∞不恒成立，从而排除选项B. 对选项C ：记21()c o s 1,[0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-≥在[0,)+∞上恒成立，故()f x 在[0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f ≥=，即当[0,)x ∈+∞时，不等式21cos 12x x ≥-+恒成立.对选项D ：取4x =，则左边2ln5lne 2=<==右边，此时21ln(1)8x x x +<-，从而排除选项D. 答案：选C12.（2012年福建文）已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<，且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论：①(0)(1)0f f >；②(0)(1)0f f <；③(0)(3)0f f >；④(0)(3)0f f <.其中正确结论的序号是A .①③B .①④C .②③D .②④13.（2012山东文）设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+，若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则下列判断正确的是A .120x x +>，120y y +>B .120x x +>，120y y +<C .120x x +<，120y y +>D .120x x +>，120y y +<解：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只需(0)0F =或203F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为(0)1F =，故必有203F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此得b 不妨设12x x <，则223x b =所以1()()(F x x x x =-，比较系数得1x -，故1x =120x x +，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<. 答案：B13.（2012全国大纲理）已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c = A .2-或2 B .9-或3 C .1-或1 D .3-或1解：∵2333(1)(1)y x x x '=-=+-，∴当1x <-时，0y '>，函数单调递增；当11x -<<时，0y '<，函数单调递减；当1x >时，0y '<，函数单调递增.因此，当1x =-时，函数取得极大值2c +；当1x =时，函数取得极小值2c -. 当函数图象与轴恰有两个公共点时，必有20c +=或20c -=，∴2c =-或2c =. 答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.（2012新课标文）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为 .提示：33ln 13ln 4y x x x x'=++⋅=+，故1|4x k y ='==，所求切线方程为14(1)y x -=-，即43y x =-. 答案：43y x =-.14.（2012年广东理）曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 .15.（2012年山东理）设0a >，若曲线y =x a =，0y =所围成封闭图形的面积为2a ，则a = .提示：3322202233S x x a a ====⎰，故49a =.答案：49. 16.（2012年浙江理、文）定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a = .曲线2C 是圆心为(0,4)-，半径r 圆心到直线:l y x =的距离1d 所以曲线2C 到直线l 的距离为1d r -.设曲线1C 上的点00(,)x y 到直线:l y x =的距离最短为d ，则过00(,)x y 的切线平行于直线y x =.已知函数2y x a =+，则0|21x xy x ='==，即012x =，014y a =+，点00(,)x y 到直线:l y x =的距离111||||a a d ⎛⎫-+- ⎪，由题意1||a -74a =-或94a =.当74a =-时，直线l 与曲线1C 相交，不合题意，故舍去.答案：49. 16.（2012年江西理）计算定积分121(sin )d x x x -+=⎰ .解：111112231111112(sin )d d sin d cos 33x x x x x x x x x -----+=+=-=⎰⎰⎰. 答案：23. 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.（2012年新课标文）设函数()e 2x f x ax =--.（1）求()f x 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()e x f x a '=-. 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增.若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>.所以，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.故()f x 的递减区间为(,ln )a -∞，递增区间为(ln ,)a +∞. （2）由于1a =，所以()()1()(e 1)1x x k f x x x k x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0)e 1x x k x x +<+>-.① 令1()e 1x x g x x +=+-，则22e 1e (e 2)()1(e 1)(e 1)x x x x x x x g x ----'=+=--. 由（1）知，函数()e 2x h x x =--在(0,)+∞上单调递增.而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点，故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点.设此零点为α，则(1,2)α∈.当(0,)x α∈时，()0g x '<；当(,)x α∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g α. 又由()0g α'=，可得e 2αα=+，所以()1(2,3)g αα=+∈. 由于①式等价于()k g α<，故整数k 的最大值为2.18.（2012年新课标理）已知函数121()(1)e (0)2x f x f f x x -'=-+.（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.解：（1）求导：1()(1)e (0)x f x f f x -''=-+，令1x =，则0(1)(1)e (0)1(0)1f f f f ''=-+⇒=. 在原函数中，令0x =，则01(0)(1)e 1(1)e f f f -''==⇒=，故21()e 2x f x x x =-+. 由于()e 1x f x x '=-+，故当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>. 从而，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，单调增区间为(0,)+∞.（2）由已知条件得e (1)x a x b -+≥.（*） ①若10a +<，则对任意实数b ，当0x <，且11bx a -<+时，可得e (1)x a x b -+<，因此（*）式不成立. ②若10a +=，则(1)0a b +=.③若10a +>，设()e (1)x g x a x =-+，则()e (1)x g x a '=-+.当(,ln(1))x a ∈-∞+时，()0g x '<；当(ln(1),)x a ∈++∞时，()0g x '>. 从而()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 故()g x 有最小值(ln(1))1(1)ln(1)g a a a a +=+-++.所以21()2f x x ax b ≥++等价于1(1)ln(1)b a a a ≤+-++.（**） 因此22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++.设22()(1)(1)ln(1)h a a a a =+-++，则()(1)[12l n (1)]ha a a '=+-+.所以()h a 在121,e 1⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在12e 1,⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，故()h a 在12e 1a =-处取得最大值.从而e ()2h a ≤，即e (1)2a b +≤.当12e 1a =-，12e 2b =时，（**）式成立，故21()2f x x ax b ≥++.综上，(1)a b +的最大值为e 2.19.（2012年江苏理）已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点. （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； （3）设()(())h x f f x c =-，其中[2,2]c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.解：（1）由题设知2()32f x x ax b '=++，且(1)320f a b '-=-+=，(1)320f a b '=++=，解得0a =，3b =-.（2）由（1）知3()3f x x x =-.因为2()2(1)(2)f x x x +=-+，所以()0g x '=的根为121x x ==，32x =-，于是函数()g x 的极值点只可能是1或2-.当2x <-时，()0g x '<；当21x -<<时，()0g x '>，故2-是()g x 的极值点. 当21x -<<或1x >时，()0g x '>，故1不是()g x 的极值点. 所以的极值点为2-.（3）令()f x t =，则()()h x f t c =-.先讨论关于x 的方程()f x d =根的情况，[2,2]d ∈-. 当||2d =时，由（2）可知，()2f x =-的两个不同的根为1和2-， 注意到()f x 是奇函数，所以()2f x =的两个不同的根为1-和2.当||2d <时，因为(1)(2)20f d f d d --=-=->，(1)(2)20f d f d d -=--=--<， 所以2-，1-，1，2都不是()f x d =的根. 由（1）知()3(1)(1)f x x x '=+-.①当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，于是()f x 是单调递增函数，从而()(2)2f x f >=， 此时()f x d =无实根.同理，()f x d =在(,2)-∞-上无实根.②当(1,2)x ∈时，()0f x '>，于是()f x 是单调递增函数.又(1)0f d -<，(2)0f d ->，()y f x d =-的图象不间断，所以()f x d =在(1,2)内有唯一实根.同理，()f x d =在(2,1)--内有唯一实根.③当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，故()f x 是单调减函数.又(1)0f d -->，(1)0f d -<，()y f x d =-的图象不间断，所以()f x d =在(1,1)-内有唯一实根.由上可知：当||2d =时，()f x d =有两个不同的实根1x ，2x 满足1||1x =，2||2x =；当||2d <时，()f x d =有三个不同的实根345,,x x x 满足||2,3,4,5i x i <=.现考虑函数()y h x =的零点.（ⅰ）当||2c =时，()f t c =有两个根12,t t 满足1||1t =，2||2t =，而1()f x t =有三个不同的根，2()f x t =有两个不同的根，故()y h x =有5个零点.（ⅱ）当||2c <时，()f t c =有三个不同的根345,,t t t 满足||2(3,4,5)i t i <=，而()(3,4,5)i f x t i ==有三个不同的根，故()y h x =有9个零点.综上可知，当||2c =时，函数()y h x =有5个零点；当||2c <时，函数()y h x =有9个零点.20.（2012山东）已知函数ln ()e xx kf x +=（k 为常数，e 2.71828= 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（1）求k 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）（理）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，2()1e g x -<+.（文）设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，2()1e g x -<+.解：（1）由ln ()e x k f x +=，得1ln (),(0,)e kx x xf x x x --'=∈+∞. 因为曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行， 所以(1)0f '=，因此1k =. （2）由（1）得1ln (),(0,)e xx x xf x x x --'=∈+∞， 当(0,1)x ∈时，10x ->，ln 0x ->，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，10x -<，ln 0x x -<，()0f x '<. 所以()f x 的单调增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞. （3）（文）因为()()g x xf x '=，所以1()(1ln ),(0,)e xg x x x x x =--∈+∞. 令()1ln ,(0,)h x x x x x =--∈+∞，则2()ln 2(ln ln e ),(0,)h x x x x -'=--=--∈+∞.因此，当2(0,e )x -∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当2(e ,)x -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减. 所以()h x 的最大值为22(e )1e h --=+，故2()1e h x -≤+. 又当(0,)x ∈+∞时，101e x<<， 故当(0,)x ∈+∞时，所以21()1e e h x -<+，即2()1e g x -<+. （理）证明：因为2()()()g x x x f x '=+，所以1()(1ln ),(0,)e xx g x x x x x +=--∈+∞. 因此，对任意0x >，2()1e g x -<+等价于2e 1ln (1e )1xx x x x ---<++.令()1ln ,(0,)h x x x x x =--∈+∞，则2()ln 2(ln ln e ),(0,)h x x x x -'=--=--∈+∞.因此，当2(0,e )x -∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当2(e ,)x -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减. 所以()h x 的最大值为22(e )1e h --=+，故21ln 1e x x x ---≤+.设()e (1)x x x ϕ=-+.因为0()e 1e e x x x ϕ'=-=-，所以当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，故当(0,)x ∈+∞时，()e (1)0x x x ϕ=-+>，即e 11xx >+. 所以22e 1ln 1e (1e )1x x x x x ----≤+<++.因此对任意0x >，2()1e g x -<+.21.（2012年安徽理）设函数1()e (0)e x xf x a b a a =++>. （1）求()f x 在[0,)+∞内的最小值；（2）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值. 解：（1）1()e e x f x a a '=-，当ln x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,ln )a -∞-上递减；当ln x a >-时，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a -+∞上递增.①若01a <<，ln 0a ->，()f x 在(0,ln )a -上递减，在(ln ,)a -+∞上递增，从而()f x 在[0,)+∞上的最小值为(ln )2f a b -=+； ②若1a ≥，ln 0a -≤，()f x 在(0,ln )a -上递增，从而()f x 在[0,)+∞上的最小值为1(0)f a b a=++.（2）依题意2213(2)e e 2f a a '=-=，解得2e 2a =或21e 2a =-（舍去）， 所以22e a =，代入原函数可得1232b ++=，即12b =，故22e a =，12b =. 变式 （2012年安徽文）设定义在(0,)+∞上的函数1()(0)f x ax b a ax=++>. （1）求()f x 的最小值；（2）设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值. 解：（1）2222211()()11()a x x a x a a f x a ax ax x +--'=-==，当10x a <<时，()0f x '<，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减；当1x a >时，()0f x '>，()f x 在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. 所以当1x a=时，()f x 取最小值为2b +. 解法二：由题设和均值不等式可知，1()2f x ax b b ax =++≥+，其中等号成立当且仅当1ax =，即1x a=时，()f x 取最小值为2b +. （2）21()f x a ax '=-，依题意13(1)2f a a '=-=，解得2a =或12a =-（舍去）， 将2a =代入13(1)2f ab a =++=，解得1b =-，故2ea =，1b =-.22.（2012年浙江理）已知0a >，b ∈R ，函数3()42f x ax bx a b =--+.（1）证明：当01x ≤≤时，①函数()f x 的最大值为|2|a b a -+；②()|2|0f x a b a +-+≥. （2）若1()1f x -≤≤对[0,1]x ∈恒成立，求a b +的取值范围.解：（1）①22()122126b f x ax b a x a ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭.当0b ≤时，有()0f x '≥，此时()f x 在[0,)+∞上单调递增； 当0b >时，()12f x a x x ⎛'= ⎝，此时()f x在⎡⎢⎢⎣上单调递减，在⎫⎪⎪⎭上单调递增. 所以当01x ≤≤时，max 3,2,()max{(0),(1)}max{,3}|2|,2a b b a f x f f a b a b a b a a b b a-≤⎧==-+-==-+⎨-+>⎩.②由于01x ≤≤，故当2b a ≤时，333()|2|()34224222(221)f x a b a f x a b ax bx a ax ax a a x x +-+=+-=-+≥-+=-+. 当2b a >时，3333()|2|()42(1)244(1)244(1)22(221)f x a b a f x a b ax b x a ax a x a ax a x a a x x +-+=-+=+-->+-->+--=-+. 设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2()626g x x x x ⎛'=-= ⎝⎭⎝⎭，于是()g x '，()g x 随x 的变化情况如下：所以，min ()10g x g ==.所以当01x ≤≤时，32210x x -+>.故3()|2|2(221)f x a b a a x x +-+≥-+. （2）由①知，当01x ≤≤时，m ax ()|2|f x a b a =-+，所以|2|1a b a -+≤.若|2|1a b a -+≤，则由②知()(|2|)1f x a b a ≥--+≥-.所以1()1f x -≤≤对任意01x ≤≤恒成立的充要条件是|2|1,0,a b a a -+≤⎧⎨>⎩即20,31,0a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪>⎩或20,1,0.a b b a a -<⎧⎪-≤⎨⎪>⎩（*）在直角坐标系aOb 中，（*）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC . 做一组平行直线()a b t t +=∈R ，得13a b -<+≤，所以a b +的取值范围是(1,3]-.23.（2012年浙江文）已知a ∈R ，函数3()42f x ax ax a =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当01x ≤≤时，()|2|0f x a +->.解：（1）依题意得2()122f x x a '=-.当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞； 当0a >时，()12f x a x x ⎛'= ⎝，此时()f x的单调增区间为,⎛-∞ ⎝和⎫⎪⎪⎭，递减区间为⎛ ⎝. （2）证明：由于当01x ≤≤时，故当2a ≤时，33()|2|422442f x a x ax x x +-=-+≥-+； 当2a >时，333()|2|42(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+. 设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2()626g x x x x ⎛'=-= ⎝⎭⎝⎭，于是()g x '，()g x 随x 的变化情况如下：所以，min ()10g x g ==.所以当01x ≤≤时，32210x x -+>.故3()|2|4420f x a x x +-≥-+>.24.（2012年辽宁理）设()ln(1)f x x ax b =++（,a b ∈R ，,a b 为常数），曲线()y f x =与直线32y x =在点(0,0)相切. （1）求,a b 的值；（2）证明：当02x <<时，9()6xf x x <+. 解：（1）由()y f x =过点(0,0)，得1b =-. 由()y f x =在(0,0)点的切线斜率为32，又0013||12x x y a x ==⎛'==+ +⎝，得0a =. （2）证法一：由均值不等式，当0x >时，112x x ++=+12x+.记9()()6x h x f x x =-+，则312(1)1545454(6)216(1)2()1(6)(6)2(1)(6)4(1)(6)x x x h x x x x x x x x +++-+'=<-=+++++++. 令3()(6)216(1)g x x x =+-+，则当02x <<时，2()3(6)2160g x x '=+-<. 因此()g x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0g =，得()0g x <，所以()0h x '<. 因此()h x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0h =，得()0h x <. 于是当02x <<时，9()6xf x x <+. （2）证法二：由（1）知()ln(1)1f x x =+.由均值不等式，当0x >时，112x x ++=+12x +.①记()ln(1)k x x x =+-，则(0)0k =，1()1011x k x x x -'=-=<++，故()0k x <，即ln(1)x x +<.② 由①②得，当0x >时，3()2f x x <. 记()(6)()9h x x f x x =+-，则当02x <<时，311()()(6)()9(6)(9[3(1)(6)(218(1)]212(1)h x f x x f x x x x x x x x x ''=++-<++-=+++-+++1[3(1)(6)(3)18(1)](718)02(1)24(1)x xx x x x x x x <++++-+=-<++. 因此()h x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0h =，得()0h x <.即9()6xf x x <+. 25.（2012年辽宁文）设()ln 1f x x =.证明：（1）当1x >时，3()(1)2f x x <-；（2）当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+.解：（1）证法一：记3()ln 1(1)2g x x x =--，则当1x >时，13()02g x x '=<.又(1)0g =，所以有()0g x <，即3()(1)2f x x <-.证法二：当1x >时，1x +122x+.① 令()ln 1k x x x =-+，则(1)0k =，1()10k x x'=-<，故()0k x <，即ln 1x x <-.②由①②得，当1x >时，3()(1)2f x x <-.（2）证法一：记9(1)()()5x h x f x x -=-+，由（1）得3112()1545454554(5)21622()(5)(5)2(5)4(5)4(1)(5)x x x x h x x x x x x x x x x ++++-'=<-=-=++++++. 令3()(5)216G x x x =+-，则当13x <<时，2()3(5)2160G x x '=+-<，因此()G x 在(1,3)上是减函数. 又由(1)0G =，得()0G x <，所以()0h x '<.因此()h x 在(1,3)内是递减函数.又(1)0h =，得()0h x <. 于是当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+. （2）证法二：记()(5)()9(1)h x x f x x =+--，则当13x <<时，由（1）得231111()()(5)()9(1)(5)(9[3(1)(5)(2)18](73255)022224x h x f x x f x x x x x x x x x x x x''=++-<-++-=-++++-=-+<.因此()h x 在(1,3)内是递减函数.又(1)0h =，得()0h x <.即9(1)()5x f x x -<+. 26.（2012年福建理）已知函数2()e e ()x f x ax x a =+-∈R .（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间；（2）试确定a 的取值范围，使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .解：（1）由于()e 2e x f x ax '=+-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率20k a ==，所以0a =，即()e e x f x x =-. 此时()e e x f x '=-.当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞.（2）设点00(,())P x f x ，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+，令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---，故曲线()y f x =在点P 处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于函数()g x 有唯一零点.因为0()0g x =，且000()()()e e 2()x x g x f x f x a x x '''=-=-+-.①若0a ≥，当0x x >时，()0g x '>，则0()()0g x g x >=；当0x x <时，()0g x '<，则0()()0g x g x >=. 故()g x 只有唯一零点0x x =.由P 的任意性知，0a ≥不合题意. ②若0a <，令00()e e 2()x x h x a x x =-+-，则0()0h x =，()e 2x h x a '=+.当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0h x '<，从而()h x 在(,ln(2))a -∞-内单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0h x '>，从而()h x 在(ln(2),)a -+∞内单调递增.（ⅰ）若0ln(2)x a =-，当(,ln (2))x a ∈-∞-时，0()()()0g x h x h x '=>=；当(ln (2),)x a ∈-+∞时，0()()()0g x h x h x '=>=.所以()g x 在R 上单调递增.所以函数()g x 在R 上有且只有一个零点ln(2)x a =-.（ⅱ）若0ln(2)x a >-，由于()h x 在(ln(2),)a -+∞内单调递增，且0()0h x =，则当(ln(2),)x a ∈-+∞时有0()()()0g x h x h x '=<=，0()()0g x g x >=；任取10(ln(2),)x a x ∈-有1()0g x >.又当1(,)x x ∈-∞时，易知122200000000()e (e ())()()e (e ())()()x x g x ax f x x f x x f x ax f x x f x x f x ax bx c ''''=+-+-+<+-+-+=++，其中0(e ())b f x '=-+，1000e ()()x c f x x f x '=-+. 由于0a <，则必存在21x x <，使得2220ax bx c ++<. 所以2()0g x <，故()g x 在21(,)x x 内存在零点，即()g x 在R 上至少有两个零点. （ⅲ）若0ln(2)x a <-，仿（ⅱ）并利用3e 6x x >，可证函数()g x 在上R 至少有两个零点. 综上，当0a <时，曲线()y f x =上存在唯一的点(ln(2),(ln(2)))P a f a --，曲线在该点处的切线与曲线有且只有一个公共点P .27.（2012福建文）已知函数3()sin ()2f x ax x a =-∈R ，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-.（1）函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明.28.（2012天津理）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >.（1）求a 的值；（2）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （3）证明：12ln(21)2()21ni n n i *=-+<∈-∑N .解：(1)()f x 的定义域为(,)a -+∞. 由()ln()f x x x a =-+，得1(1)()1x a f x x a x a--'=-=++，显然导函数零点1(,)x a a =-∈-+∞. 当1a x a -<<-时，()0f x '<，()f x 递减；当1x a >-时，()0f x '>，()f x 递增.故1x a =-时，()f x 有极小值(1)1f a a -=-，因为()f x 是单峰函数，故m in ()(1)10f x f a a =-=-=，得1a =. （2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥，则()0g x ≥对[0,)x ∈+∞恒成立当且仅当m in ()0(0)g x g ≥=，取1x =，则应有(1)1ln20g k =-+≥，从而0k >. 1[(12)]()2112(1)x x k g x kx x k x --'=-+=++. ①若120k -<，即12k >，则当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增. 这时有m in ()0(0)g x g ≥=，故12k >适合题意. ②若120k ->，即12k <，则当(0,12)x k ∈-时，()0g x '<，()g x 递减；当(12,)x k ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 递增. 取0(0,12)x k ∈-，有2000()(0)0()0g x g kx f x <=⇒-<，即200()f x kx ≤不成立.故102k <<不合题意.③若12k =，则2()01x g x x '=≥+在[0,)+∞上恒成立，仅当0x =时取等号，故()g x 递增. 综上，k 的最小值为12. （3）当1n =时，不等式左边2ln32=-<=右边，所以不等式成立. 当2n ≥时，1111122222ln 1[ln(21)ln(21)]ln(21)2121212121nn n n ni i i i i f i i n i i i i i =====⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+--=-+⎪ ⎪⎢⎥-----⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑. 在（2）中取12k =，得21()(0)2f x x x ≤≥，从而222(,2)21(21)(23)(21)f i i i i i i *⎛⎫≤<∈≥ ⎪----⎝⎭N ， 所以有112222221ln(21)(2)2ln32ln312212121(23)(21)21nn n ni i i i n f f f i i i i i n ====⎛⎫⎛⎫-+==+<-+=-+-< ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑. 综上，12ln(21)2()21ni n n i *=-+<∈-∑N . 29.（2012天津文）已知函数3211(),32a f x x x ax a x -=+--∈R ，其中0a >.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(2,0)-内恰有两个零点，求a 的取值范围；（3）当1a =时，设函数()f x 在区间[,3]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-，求函数()g t 在区间[3,1]--上的最小值.30.（2012陕西理）设函数()(,,)n n f x x bx c n b c *=++∈∈N R（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点；（2）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围；（3）在（1）的条件下，设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点，判断数列23,,,,n x x x 的增减性.30.（2012陕西文）设函数()(,,)n f x x bx c n b c *=++∈∈N R（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点；（2）设n 为偶数，|(1)|1f -≤，|(1)|1f ≤，求3b c +的最小值和最大值；（3）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有12|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围.31.（2012湖南理）已知函数()e ax f x x =-，其中0a ≠.（1）对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）在函数()f x 的图象上取定两点11(,())A x f x ，2212(,())()B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈，使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.32.（2012湖南文）已知函数()e x f x ax =-，其中0a >.（1）对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，求a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定两点11(,())A x f x ，2212(,())()B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k .证明：存在012(,)x x x ∈，使0()f x k '=成立.33.（2012北京理）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.34.（2012北京文）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当3a =，9b =-时，求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围.35.（2012江西理）若函数()h x 满足①(0)1h =，(1)0h =；②对任意[0,1]a ∈，有(())h h a a =；③在(0,1)上单调递减.则称()h x 为补函数.已知函数11()(1,0)1ppp x h x λp λx ⎛⎫-=>-> ⎪+⎝⎭. （1）判断函数()h x 是否为补函数，并证明你的结论；（2）若存在[0,1]m ∈，使()h m m =，称m 是函数()h x 的中介元.记1()p n n*=∈N 时()h x 的中介元为n x ，且1nn i i S x ==∑对任意的n *∈N ，都有12n S <，求λ的取值范围； （3）当0λ=，(0,1)x ∈时，函数()y h x =的图象总在直线1y x =-的上方，求p 的取值范围.36.（2012江西文）已知函数2()()e x f x ax bx c =++在[0,1]上单调递减且满足(0)1f =，(1)0f =. （1）求a 的取值范围；（2）设()()()g x f x f x '=-，求()g x 在[0,1]上的最大值和最小值.37.（2012湖北理）（1）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<.()f x 求的最小值；（2）试用（1）的结果证明如下命题：设10a ≥，20a ≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b ba a ab a b ≤+； （3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题.注：当α为正有理数时，有求导公式1()ααx αx -'=. 解：（1）11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-.当01x <<时，()0f x '<，故()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，故()f x 单调递增. 故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =.（2）由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)r x rx r ≤+-. ①若12,a a 中有一个为0，则12121122b ba a ab a b ≤+成立. 若12,a a 均不为0，由121b b +=，可得211b b =-，于是在①中令12a x a =，1r b =，可得1111122(1)b a a b b a a ⎛⎫≤⋅+- ⎪⎝⎭，即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-，亦即111121122b ba a ab a b -≤+. 综上，对10a ≥，20a ≥，12,b b 为正有理数，且121b b +=，总有111121122b ba a ab a b -≤+. ② （3）（2）中的命题推广形式为：设12,,,n a a a 为非负实数，12,,,n b b b 为正有理数，若121n b b b +++= ，则12121122n b b b n n n a a a a b a b a b ≤+++ .③用数学归纳法证明如下：（ⅰ）当1n =时，11b =，有11a a ≤，③成立.（ⅱ）假设当n k =时，③成立，即若12,,,k a a a 为非负实数，12,,,k b b b 为正有理数，且121k b b b +++= ，则12121122kb b bk k k a a a a b a b a b ≤+++ .当1n k =+时，已知121,,,,k k a a a a + 为非负实数，121,,,,k k b b b b + 为正有理数，且1211k k b b b b +++++= ， 此时101k b +<<，即110k b +->，于是12111111112121111121121121()()kkk kk k k k k k b b b b b b b b b b b b b b b bk k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++----+++==⋅ . 因为121111111k k k k b b b b b b ++++++=--- ，由归纳假设可得 12111111112212121211111111k k k k b b b b b b k k k kk k k k k b a b a b a b b b a a aa a ab b b b +++---+++++++≤⋅+⋅++⋅=---- . 从而1111211122121111k kk k b b b b b bk k k k k k a b a b a b a a a a a b +++-+++⎛⎫+++≤⋅ ⎪-⎝⎭.又因为11(1)1k k b b ++-+=，由②得11111221122111111221111(1)11k k b b k k k kk k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b ++-++++++++⎛⎫++++++⋅≤⋅-+=++++ ⎪--⎝⎭，从而112121112211kk b b b bk k k k k k a a a a a b a b a b a b ++++≤++++ .故当1n k =+时，③成立.由（ⅰ）、（ⅱ）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立.38.（2012湖北文）设函数()(1)(0)n f x ax x b x =-+>，n 为正整数，,a b 为常数，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.（1）求,a b 的值； （2）求函数()f x 的最大值； （3）证明：1()ef x n <. （1）解：因为(1)f b =，由点(1,)b 在直线1x y +=上，可得11b +=，即0b =. 因为1()(1)n n f x anx a n x -'=-+，所以(1)f a '=-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =.故1a =，0b =.（2）解：有（1）知1()(1)n n n f x x x x x +=-=-，1()(1)1n n f x n x x n -⎛⎫'=+-⎪+⎝⎭.当0,1n x n ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 单调递增；当,1n x n ⎛⎫∈+∞⎪+⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1111(1)nn n nn n f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （3）证明：令1()ln 1(0)φt t t t =-+>，则22111()(0)t φt t t t t-'=-=>. 当(0,1)t ∈时，()0φt '<，故()φx 单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0φt '>，故()φt 单调递增. 故在(0,)+∞上()φt 的最小值为(1)0φ=，所以()0(1)φt t >>，即1ln 1(1)t t t>->.令11t n =+，得11ln 1n n n +>+，两边取对数得11ln ln e n n n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11e n n n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11(1)en n n n n +<+. 由（2）知11()(1)en n n f x n n +≤<+.39.（2012大纲理）设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()1sin f x x ≤+，求a 的取值范围.解：（1）()sin f x a x '=-.①当1a ≥时，()0f x '≥，且仅当1a =，2x π=时，()0f x '=，所以()f x 在[0,]π上是增函数；②当0a ≤时，()0f x '≤，且仅当0a =，0x =，或x π=时，()0f x '=，所以()f x 在[0,]π上是减函数； 当01a <<时，方程()0f x '=有两实根1x ，2x . 当1[0,)x x ∈时，sin x a <，()0f x '>，()f x 是增函数； 当12(,)x x x ∈时，sin x a >，()0f x '<，()f x 是减函数； 当2(,]x x π∈时，sin x a <，()0f x '>，()f x 是增函数. （2）.40.（2012全国大纲文）已知函数321()3f x x x ax =++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值.41.（2012四川理）已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.（1）用a 和n 表示()f n ；（2）求对所有n 都有33()1()11f n n f n n -≥++成立的a 的最小值；（3）当01a <<时，比较11()(2)nk f k f k =-∑与27(1)()4(0)(1)f f n f f -⋅-的大小，并说明理由.解：（1）由已知得，交点A 的坐标为⎫⎪⎪⎭，对212ny x a=-+求导得2y x '=-，则抛物线在A 处的切线方程为y x =，即n y a =+，则()n f n a =.（2）由（1）知()n f n a =，则33()1()11f n n f n n -≥++成立的充要条件是321n a n ≥+.即知321n a n ≥+对所有n 成立.特别地，取2n =，得到a当a 3n ≥时，122331223332314(13)1C 3C 3C 31C 3C 3C 312[5(2)(25)]212n n n n n n n n n a n n n n n >=+=+⋅+⋅+⋅+≥+⋅+⋅+⋅=++-+->+ .当0,1,2n =时，显然321n n ≥+.故当a 3()1()11f n n f n n -≥++对所有自然数n 都成立.所以满足条件的a . （3）由（1）知()k f k a =，则21111()(2)nnk kk k f k f k a a ===--∑∑，(1)()(0)(1)1nf f n a a f f a--=--. 下面证明：1127(1)()()(2)4(0)(1)nk f f n f k f k f f =->⋅--∑.首先证明：当01x <<时，21274x x x ≥-. 设函数227()()1,014g x x x x x =-+<<，则812()43g x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.当203x <<时，()0g x '<；当213x <<时，()0g x '>. 故()g x 在区间(0,1)上的最小值min 2()03g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以，当01x <<时，()0g x ≥，即得21274x x x ≥-. 由01a <<知01()k a k *<<∈N ，因此21274k kka a a ≥-，从而 121111127272727(1)()()(2)441414(0)(1)n n nnn k k k k k k a a a a f f n a f k f k a a a a f f +===---=≥=⋅>⋅=⋅-----∑∑∑. 42.（2012四川文）已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.（1）用a 和n 表示()f n ； （2）求对所有n 都有()1()11f n nf n n -≥++成立的a 的最小值；（3）当01a <<时，比较111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n +++--- 与(1)(1)6(0)(1)f f n f f -+⋅-的大小，并说明理由.解：（1）由已知得，交点A 的坐标为⎫⎪⎪⎭，对212ny x a=-+求导得2y x '=-，则抛物线在A 处的切线方程为y x =，即n y a =+，则()n f n a =.。
2012年各地高考题导数专题汇编
2012年各地高考题导数专题汇编安徽（19）（本小题满分13分）设1()(0)x x f x ae b a ae=++> （I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =；求,a b 的值。
江苏18．（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；北京18．（本小题共13分）已知函数0)(a ax (x)2>+=1f ，bx g +=3x (x)（1） 若曲线(x)f y =与曲线(x)g y =在它们的交点c)(1,处具有公公切线，求a ，b 的值（2） 当b 4=2a 时，求函数g(x)(x)+f 的单调区间，并求其在区间],-(-1∞上的最大值天津（20）（本小题满分14分）已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2kx 成立，求实数k 的最小值；重庆(16) （本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.） 设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴.（Ⅰ） 求a 的值； （Ⅱ） 求函数()f x 的极值.全国新课标（21）（本小题满分12分）已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。
2012全国各地模拟试题理科数学分类汇编导数3
2012全国各地模拟分类汇编理：导数（3）【浙江省宁波四中2012届高三上学期第三次月考理】已知函数)0()1(2131)(23>++-=a x x aa x x f ，则)(x f 在点))1(,1(f 处的切线的斜率最大时的切线方程是______________ 【答案】31=y 【四川省绵阳南山中学2012届高三九月诊断理】函数()f x 在点0x x =处连续是()f x 在点0x x =处可导的A ．充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要的条件 【答案】B【四川省绵阳南山中学2012届高三九月诊断理】设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能的是【答案】C【四川省绵阳南山中学2012届高三九月诊断理】)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数 ，且满足()()'≤xf x f x ，对任意的正数b a 、，若b a <，则必有 A ．)()(a bf b af ≤ B ．)()(b bf a af ≥ C ．)()(b bf a af ≤ D ．)()(a bf b af ≥【答案】A【四川省绵阳南山中学2012届高三九月诊断理】曲线2313-=x y 以点（1，-错误！不能通过编辑域代码创建对象。
）为切点的切线的倾斜角为 【答案】450【四川省成都市双流中学2012届高三9月月考理】若()224ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．()1,0-B ．()()1,02,-⋃+∞C ．()2,+∞D ．()0,+∞ 【答案】C【四川省成都市双流中学2012届高三9月月考理】已知函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，0a b c ++=且(0)(1)0f f ⋅>，设1x ，2x 是方程()0f x =的两根，则12x x -的取值范围为A ．1[3B ．14[,)39C ． 2)3D ．11[,)93【答案】C【山西省康杰中学2012届高三上学期9月月考理】已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为（ ）A ．),1()2,(+∞⋃--∞B ．)2,1()2,(⋃--∞C ．),2()0,1()1,(+∞⋃-⋃--∞D ．),3()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞【答案】D【山东省临清三中2012届高三上学期学分认定理】已知a 为实数，函数))(23()(2a x x x f ++=，若函数f(x)的图象上有与x 轴平行的切线，则a 的取值范围是（A ）[)+∞--∞,2)223,(（B ）(]),223(2,+∞-∞- （C ）⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-223,（D ）),223(223,+∞⎥⎦⎤⎝⎛-∞- 【答案】D【山东省冠县武训高中2012届高三二次质检理】曲线x y e =在点2(2,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积（ ）A.29e 4B.22aC.2e D.2e 2【答案】D【山东省冠县武训高中2012届高三二次质检理】积分2e112x ()dx x+⎰的值是【答案】2e【山东省临清三中2012届高三上学期学分认定理】⎰=-=-4π,22)cos (sin a dx x a x则实数 .【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)(3)f x f x -=-．当l ≤x ≤2时，函数()f x 的导数()0f x '>，则()f x 的单调递减区间是 （ ）A ．[2,21]()k k k Z +∈B ．[21,2]()k k k Z -∈C ．[2,22]()k k k Z +∈D ．[22,2]()k k k Z -∈【答案】A【四川省绵阳南山中学2012届高三九月诊断理】(l2分)已知函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I) 当1a =时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ) 若函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值范围． 【答案】解：（I ）当1=a 时，x e x x x f -⋅+-=)12()(2，x x x e x x e x x e x x f ---⋅---=⋅+--⋅-=')3)(1()12()22()(2………………2分当x 变化时，)(x f ，)(x f '的变化情况如下表：所以，当1=a 时，函数)(x f 的极小值为0)1(=f ，极大值为34)3(-=e f .……………5分 （II ）]322[)12()22()(22+---=⋅+--⋅-='---x ax ax e e x ax e ax x f x x x令3)1(2)(2++-=x a ax x g ①若0=a ，则32)(+-=x x g ，在)11(，-内，0)(>x g ，即0)(<'x f ，函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减.………………7分②若0>a ，则3)1(2)(2++-=x a ax x g ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为11>+=aa x ，当且仅当0)1(≥g ，即10≤<a 时，在)11(，-内0)(>x g ，0)(<'x f ， 函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减.………………9分③若0<a ，则3)1(2)(2++-=x a ax x g ，其图象是开口向下的抛物线， 当且仅当⎩⎨⎧≥≥-0)1(0)1(g g ，即035<≤-a 时，在)11(，-内0)(>x g ，0)(<'x f ， 函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减.………………………11分 综上所述，函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减时，a 的取值范围是135≤≤-a ．…12分 【四川省成都市双流中学2012届高三9月月考理】（本小题满分12分）设函数()2ln b f x ax x x =-+，若()f x 在11,2x x ==处取得极值 （1）求,a b 的值；（2）存在01[,2]4x ∈使得不等式0()0f x c -≤成立，求c 的最小值； 【答案】解析：（1）()2ln bf x ax x x=-+ ，定义域为),0(+∞ 21'()2b f x a x x ∴=++。
2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用.doc
2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A2、（2016年全国I 高考）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为 【答案】D 二、填空题1、（2016年全国II 高考）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln2-2、（2016年全国III 高考）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________。
【答案】21y x =-- 三、解答题1、（2016年北京高考） 设函数()a xf x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+， （1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间. 【解析】 （I ）()e a x f x x bx -=+∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=- ∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.2、（2016年山东高考）已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【解析】(Ⅰ) 求导数322)11(=)(′xx x a x f －－－当0≤a 时，(0,1)∈x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈+∞x ，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x ax a x x a x ax x x f ))－－)－－（1）当＜２＜a 0时，1>2a，(0,1)∈x 或),(∈+∞2ax ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增，)(1,∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (2) 当２=a 时，1=2a， )(0,∈+∞x ，0≥)(′x f ，)(x f 单调递增， (3) 当２>a 时，1<2<0a， )(0,∈ax 2或∞)(1,∈+x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， ,1)(∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (Ⅱ) 当1=a 时，212+ln =)(x x x x x f －－，于是)2+1112+ln =)(′)(322x x x x x x x x f x f 2－－－(－－－，－1－1－322+3+ln =xx x x x ，]2,1[∈x令x x x ln =)g(－ ，322+3+=)h(xx x x －1－1，]2,1[∈x ， 于是)(+(g =)(′)(x h x x f x f ）－， 0≥1=1=)(g ′x x x x －1－，)g(x 的最小值为1=g(1)；又42432+=+=)(h ′x x x x x x x 6－2－362－3－设6+23=)(θ2x x x －－，]2,1[∈x ，因为1=)1(θ，10=)2(θ－， 所以必有]2,1[0∈x ，使得0=)(θ0x ，且0<<1x x 时，0>)(θx ，)(x h 单调递增； 2<<0x x 时，0<)(θx ，)(x h 单调递减；。
2016年高考数学理试题分类总汇编导数及其应用.doc
2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题一1 nx,0 ：： x ：： 1,1、 ( 2016年四川高考)设直线 l 1，l 2分别是函数f(x)=图象上点P i ，P 2In x,x A 1,处的切线，11与I 2垂直相交于点P,且|1，|2分别与y 轴相交于点A , B,则△ PAB 的面积的 取值范围是(A ) (0,1)( B ) (0,2) ( C ) (0,+ R ) ( D ) (1,+ R )【答案】A2、 ( 2016年全国I 高考)函数y=2x 2- e |x|在［-2,2］的图像大致为、填空题y = ln(x ■ 1)的切线，则 b 二 ________【答案】1 -1n 22、(2016年全国III 高考)已知f x 为偶函数，当x ：：： 0时，f(x) =ln(-x) • 3x ，则曲1、(2016年全国II 高考)若直线 y 二kx • b 是曲线y = In x • 2的切线，也是曲线线y二f x在点(1,-3)处的切线方程【答案】y=「2x_1 三、解答题1、(2016年北京高考) 设函数f(x)二xe a°・bx，曲线y = f (x)在点(2, f (2))处的切线方程为y =(e -1)x - 4，(1 )求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间.【解析】(I’)’ f(x)二xe a」・bx••• f (x) =e a- -xe a- b=(1—x)e a* b•••曲线y = f(X)在点(2, f (2))处的切线方程为y =(e -1)x 4••• f (2) =2(e -1) 4 , f (2) =e —1即f (2) =2e a2 2b =2(e -1) - 4 ①f (2) =(1—2)e a， b =e—1 ②由①②解得：a =2 , b =e(II )由(I)可知：f (x) =xe" ex, f (x) =(1 -x)e2」e令g(x) =(1-x)e2」,•- g (x) = -e2」一(1 _x)e2» =(x _2)e2丄• g(x)的最小值是g(2) =(1-2)e2' =-1•- f (x)的最小值为f ⑵=g(2) • e 二e「1 0 即f (x) 0对-x・R恒成立•f(x)在-::，；上单调递增，无减区间•“2x —12、(2016 年山东高考)已知f(x)二a x-I nx 2 ,a，R.x(I)讨论f (x)的单调性；(II )当a =1时，证明f(x)> f' x •孑对于任意的x，〔1,2 1成立.)求导数 f '(x)二 a(1— -)—2x — 2x (x —1)(ax 2—2)(n )当 a =1 时，f(x)= x — l nx+^F^ , xf(x) = (x —^=1— 1二+刍x x x是 f(x)— f (x) = x — In x +2x —1—(— 1 x x “ 3 1 2二 x — In x —1 + — + ~2 — 3 , x ：二[1,2]xx x31 2【解析】(Ix 3当a<0时,x €(o,1) , f '(x)>0 ,f (x)单调递增,f(x)单调递减;当a >f( x)=(x -1)(ax2-2)x 3a(xT )(x —、a )(x+； ax 3(1)当0v a <2时,2>1, ax €(0,1)或 x乙2，+马，f '(x)>°，f (x)单调递增,€(1,) , f (x) < 0 , f (x)单调递减; \ a⑵ 当a = 2时,2= 1, x €(0,+旳,f (x) >0 , f(x)单调递增, a(3)当 a>2时，0<十2<1 ,\ ax2鬥或 x 5…(x)>0，f (x)单调递增,x €(： 2,1), ■- af (x) < 0 , f (x)单调递减;令 g(x) = x — In x , h(x) = —l+_+p — 3 , x [1,2]x x x于是 f (x)— f '(x) = g(x ) + h(x),1 g'(x) = 1 ------------------- x—1 x>0 ,g(x)的最小值为g(1) = 1 ；x又 h(x)= 32 3 + x 6 —3 x 2—2 x + 6 " 2 x4= x4 x设 6(x) = —3x 2—2x+6, x [1,2]，因为 6(1) = 1 , 0(2) = —10 , 所以必有x 0 € [1,2]，使得0x 。
专题三 2012年高考真题理科数学导数与积分
2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分一、选择题．（2012年高考（新课标理））已知函数;则的图像大致为．（2012年高考（浙江理））设a>0,b>0.（ ）A．若,则a>b B．若,则a<bC．若,则a>b D．若,则a<b．（2012年高考（重庆理））设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是（ ）A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值．（2012年高考（陕西理））设函数,则（ ）A．为的极大值点 B．为的极小值点C．为的极大值点 D．为的极小值点．（2012年高考（山东理））设且,则“函数在上是减函数 ”,是“函数在上是增函数”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件．（2012年高考（湖北理））已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为（ ）yxO第3题图A．B．C．D．．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）A． B． C． D．．（2012年高考（大纲理））已知函数的图像与轴恰有两个公共点,则（ ）A．或2 B．或3 C．或1 D．或1二、填空题．（2012年高考（上海理））已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为_______ .．（2012年高考（山东理））设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.．（2012年高考（江西理））计算定积分___________.．（2012年高考（广东理））曲线在点处的切线方程为___________________.。
高考数学 真题分类汇编 导数及其应用(含解析)
导数2.（2012·山东高考卷·T9·5分）函数的图像大致为【答案】D【解析】函数x x x x f --=226cos )(，)(226cos )(x f xx f xx -=-=--为奇函数， 当0→x ，且0>x 时+∞→)(x f ；当0→x ，且0<x 时-∞→)(x f ； 当+∞→x ，+∞→--xx 22，0)(→x f ；当-∞→x ，-∞→--x x 22，0)(→x f .答案应选D 。
【点评】本题考查了函数的奇偶性的性质特点，结合图象语言，考查了数形结合法的思想，函数图象是考点中重要内容，估计明年还会继续考察。
5.( 2011年安徽) 函数()()m nf x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值 可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究y0.51xO0.5函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1,2m n ==，()()()f x ax x n x x x 232=1-=-2+g ，则 ()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由 ()()f a 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选B.7.（2011年福建）1(2)0x e x dx+⎰等于A ．1B ．1e -C ．eD ．1e +【答案】C8.（2011年福建）对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,,a b R c Z ∈∈)，选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2【答案】D9.（2011年福建）已知函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B10.（2011年福建）若关于x 的方程x2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是A ．（－1，1）B ．（－2，2）C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C13.（2011年广东）函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-+∞UD ．(,)-∞+∞ 【答案】C14.（2011年湖北）已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fA. 2B. 415C. 417D. 2a【答案】B【解析】由条件()()22222+-=+-a a g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即 ()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B.15.（2011年湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率是2ln 10-（太贝克/年），则()=60MA. 5太贝克B. 2ln 75太贝克C. 2ln 150太贝克D. 150太贝克 【答案】D【解析】因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600t t M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D.16.（2011年湖南）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12 C ．22-D ．22 【答案】B【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以2411'|2(sincos )44x y πππ===+。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)3：导数
2012高考真题分类汇编：导数一、选择题1.【2012高考真题重庆理8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 【答案】D【解析】由图象可知当2-<x 时，0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.当12<<-x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('<x f ，函数递减.当21<<x 时，0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)('<x f ，函数递减.当2>x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.所以函数)(x f 有极大值)2(-f ，极小值)2(f ,选D. 2.【2012高考真题新课标理12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ） 【答案】B 【解析】函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒= 由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-, 3.【2012高考真题陕西理7】设函数()xf x xe =，则（ ） A. 1x =为()f x 的极大值点 B.1x =为()f x 的极小值点 C. 1x =-为()f x 的极大值点 D. 1x =-为()f x 的极小值点 【答案】D.【解析】xx x xe e x f xe x f +=∴=)(',)( ，令0)('=x f ，则1-=x ，当1-<x 时0)('<x f ，当1->x 时0)('>x f ，所以1-=x 为)(x f 极小值点，故选D. 4.【2012高考真题辽宁理12】若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 (A)21xex x ++211124x x <-+(C)21cos 12x x - (D)21ln(1)8x x x +- 【答案】C【解析】设2211()cos (1)cos 122f x x x x x =--=-+，则()()sin ,g x f x x x '==-+ 所以()cos 10g x x '=-+≥，所以当[0,)x ∈+∞时，()()()(0)0,g x g x f x g '==为增函数，所以≥同理21()(0)0cos (1)02f x f x x =∴--≥，≥，即21cos 12x x -，故选C 【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。
2012年高考数学真题解析之导数真题(理科)
1．设函数 f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]。 （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）设 f（x）≤1+sinx，求 a 的取值范围。 2．已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x ) f (1)e x 1 f (0) x （1）求 f ( x ) 的解析式及单调区间； （2）若 f ( x )
（Ⅱ）求函数 f ( x ) 极值． 6．若函数 y f ( x ) 在 x x 0 处取得极大值或极小值，则称 x 0 为函数 y f ( x ) 的极值 点。已知 a，b 是实数，1 和 1 是函数 f ( x) x3 ax 2 bx 的两个极值点． （1）求 a 和 b 的值； （2）设函数 g ( x ) 的导函数 g ( x ) f ( x ) 2 ，求 g ( x ) 的极值点； （3）设 h( x) f ( f ( x)) c ，其中 c [2 ， 2] ，求函数 y h( x) 的零点个数． 7．已知 a＞0，b R，函数 f x 4ax3 2bx a b ． (Ⅰ)证明：当 0≤x≤1 时， (ⅰ)函数 f x 的最大值为|2a－b|﹢a；
2． （1） f ( x ) 的解析式为 f ( x ) e x x
1 2 x 且单调递增区间为 (0, ) ，单调递减区间为 2
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(, 0)
（2） a
e 1, b e 时， (a 1)b 的最大值为
得： f ( x ) e x x
1 2 x g ( x ) f ( x ) e x 1 x 2
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21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若，求（a+1）b的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ln（x+m）
（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0
21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx
（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．
21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2
21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g
（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．
21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．
（Ⅰ）求f′（x）；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．。