电势计算方法

6.4.5电势的计算方法

一般说来，计算电势的方法有两种。第一种方法是由电势的定义

式通过场强的线积分来计算；另一种方法是下面马上就要介绍的电势叠加原

理。对不同的带电体系，本质上讲上述两种方法都能够计算出电势，但是选

择不同的方法计算的难易程度是大不相同的。通过后面内容的学习，大家要

注意对不同的带电体系选择不同的计算方法。下面我们介绍电势迭加原理。

1、点电荷电场的电势

如右图所示，一个点电荷q处于O点处。在q所产生

的电场中，距离O点为r处P点的电势，可以根据电势的

定义式计算得到。选无穷远处作为电势零点，积分路径沿

O P方向由P点延伸到无穷远。由于积分方向选取得与场强

点电荷的电势的方向相同，P点电势可以很容易地计算出来

此式给出点电荷电场中任意一点的电势大小，称作点电荷电势公式。公式中视q的正负，电势V可正可负。在正点电荷的电场中，

各点电势均为正值，离电荷越远的点，电势越低，与r成反比。在负

点电荷的电场中，各点的电势均为负，离电荷越远的点，电势越高，

无穷远处电势为零。容易看出，在以点电荷为心的任意球面上电势

都是相等的，这些球面都是等势面。

2、电势的叠加原理

在前面的知识点中，大家学习了场强叠加原理。该原理告诉我们，任意一个静电场都可以看成是多个或无限多个点电荷电场的叠加，

即有

其中E表示总电场，E1，E2，…为单个点电荷产生的电场。根据电势的定义式，并应用场强叠加原理，电场中a点的电势可表示为

上式最后面一个等号右侧被求和的每一个积分分别为各个点电

荷单独存时在a点的电势。即有

式中V a i是第i个点电荷单独存在时在a点产生的电势。显然，如果我们将带电体系分成若干部分（不一定是点电荷），上述结论

仍然是正确的。即，任意一个电荷体系的电场中任意一点的电势，

等于带电体系各部分单独存在时在该点产生电势的代数和。这个结

论叫做电势叠加原理。

若一个电荷体系是由点电荷组成的，则每个点电荷的电势可以按上式进行计算，而总的电势可由电势叠加原理得到，即

式中r i是从点电荷q i到a点的距离。（应用这个公式时，电势

零点取在∞处）。

对一个电荷连续分布的带电体系，可以设想它由许多元电荷d q

所组成。将每个元电荷都当成点电荷，就可以由叠加原理得到求电

势的积分公式

式中r是从元电荷d q到a点的距离。（电势零点在∞处）。

3、计算电势的一般方法

计算电势一般有两种方法：根据已知电场强度计算电势和应用叠

加原理计算电势。现分别介绍如下。

如果一个电场的场强为已知，应用电势的定义式，可以根据已知

的场强直接计算电势。用这种方法计算电势时，电势零点可以任意

选定。如果电荷分布可以分解为几个分布，而每个分布在考察点的

电势为已知，则可应用叠加原理来计算电势。

【例1】一个电偶极子电量为q，相距l。点

电荷q0沿半径为R的半圆路径L从左端A点运

动到右端B点，如图所示，试求q0所受的电场力

所做的功。

【解】求解电场力做功，一般应该先求电势、

电势差，再通过电势差求做功。首先，根据电势

电偶极子电势叠加原理和点电荷产生电势的公式，我们分别可

得电偶极子在A、B两点的电势为

电势差为

所以，点电荷q0沿半径为R的路径L从左端A点运动到右端B 点电场力所做的功为

若R>>l并利用电矩的定义，则上式可以写成：

。

【例2】有一长度为L，电荷线密度为λ的均匀带电直线段（如下图所示），求其延长线上距离近端为R的P点的场强和电势。

【解】如图建立坐标系，将带电直线微

分，则有元电荷，它在P点处产生

的场强和电势分别为：

直线段外的场强和

电势

根据场强和电势的叠加原理，并考虑到场强方向都朝x轴方向，则有P点处的场强和电势分别为：

本题的电势也可以通过所求出的场强来计算。方法是先选择从P 点沿x轴到无限远的一条路径，然后对场强进行积分。在积分时考虑到距离R是一个变量，可以用x替换R，沿x进行积分

。

这个结果表明，用不同方法计算的电势是一样的。可以看出，用电势的叠加原理的计算过程要简单一些。

【例3】一半径为R的均匀带电细圆环，所带电量为q，求在圆环轴线上任意点P的电势。

带电圆环轴线上的电势

【解】

【例4】求均匀带电球面的电场中的电势分布。球面半径为R，总带电量为q。

【解】

均匀带电球面的场强分布很有规律性，本题适

宜用电势的定义式通过对场强的积分来求电势。以

无限远为电势零点。若场点P在球面外，由于在球

面外直到无限远处场强的分布都和电荷集中到球心

处的一个点电荷的场强分布一样，因此，把场强从

P点积分到无穷远的计算结果应与点电荷电场中的

计算结果相同，即球面外任一点的电势应为

（r>R）

若P点在球面内（r

场强的分布不同，所以定义式中的积分要分两段进

行，即

【例5】下图表示两个同心的均匀带电球面，半径分别为R A=5c m，R B=10c m，分别带有电量，，求距离球心距离为r1=15c m，r2=6c m，r3=2c m处的电势。

带电同心球面的电势分布

【解】

【例6】求电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线电场中的电势分布。

【解】

方向垂直于带电直线。如果仍选无限

远处作为电势零点，则由积分的结

果可知各点电势都将为无限大而失去意

义。这时我们可选距离带电直线为的

点（如图）为电势零点，则距带电直线为

r的P点的电势为

式中积分路径段与带电直线

平行，而段与带电直线垂直。由于

段与电场方向垂直，所以上式等号右侧第

一项积分为零。于是