二类型曲线积分——对坐标的线积分
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第二类曲线积分
分
λ0 i1
曲
线
注 1° 关于第二类曲线积分的几个术语
F(
x
,
y)
d
r
第二类曲线积分的向量形式
L
P( x, ( x, y)dx 对 x 的曲线积分;
L
Q(x, y)dy
对 y 的曲线积分.
L
2° 若 为空间曲线弧 ,
F ( x, y, z) (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z))
解 直线AB为:
内容小结
1.
定义 F ( x, y) d r
L
P( x, y)dx Q( x, y)d y
L
n
lim P(ξk , ηk ) xk Q(ξk , ηk ) yk ] λ0 i1
2. 性质 [α F 1( x, y) β F 2( x, y)] d r L
α F 1( x, y) d r β F 2( x, y) d r
(1)
2 当a b 时， 沿着L的方向移动时，参数 t 减少. d r r(t)d t
dt 0
故 d r 与r(t)方向相反，而与L的方向一致.
于是
d r ( e r ) d s
(2)
综合(1)、 (2)，得
d
r
e L
d
s
其中
eL
是与L同方向的单位切向量.
e L (cos , cos )
dx cos αds, dy cos ds,
ds 2(t) 2(t) dt
例1 将积分 P( x, y)dx Q( x, y)d y 化为对
L
弧长的积分, 其中L 沿上半圆周 x2 y2 2x 0
曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分-图文并茂-自学必备)
1 2 2 2 ( x y z )ds I 3 2 a 2a 3 ds 3 3
x 2d s y 2 d s z 2d s
( 2a ds , 球面大圆周长 )
18
对弧长的曲线积分
例5 曲线
是中心在
( R,0), 半径为R
2
的上半圆周.求 提示:用极坐标
此时需把它化为参数方程 (选择x , y, z中某一个 为参数), 再按上述方法计算.
14
对弧长的曲线积分
例1
求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到
L
( 2,2)的一段 .
2
对x积分?
2
y (0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 3
2
2
2
通过几何直观,还有更简单的方法吗?
21
x2 y 2 例6 求椭圆柱面 2 2 1, ( x 0, y 0) a b xy 介于xoy平面与空间曲面 z c
之间部分的面积.
提示:
xy A ds L c
x y L : 2 2 1 a b
2
2
22
对弧长的曲线积分
3
解 对称性,得
y
x 2 y 2 R2
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0
L L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于 x=0对称,
被积函数x是L上 关于x的奇函数 xds 0
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L
x 2d s y 2 d s z 2d s
( 2a ds , 球面大圆周长 )
18
对弧长的曲线积分
例5 曲线
是中心在
( R,0), 半径为R
2
的上半圆周.求 提示:用极坐标
此时需把它化为参数方程 (选择x , y, z中某一个 为参数), 再按上述方法计算.
14
对弧长的曲线积分
例1
求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到
L
( 2,2)的一段 .
2
对x积分?
2
y (0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 3
2
2
2
通过几何直观,还有更简单的方法吗?
21
x2 y 2 例6 求椭圆柱面 2 2 1, ( x 0, y 0) a b xy 介于xoy平面与空间曲面 z c
之间部分的面积.
提示:
xy A ds L c
x y L : 2 2 1 a b
2
2
22
对弧长的曲线积分
3
解 对称性,得
y
x 2 y 2 R2
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0
L L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于 x=0对称,
被积函数x是L上 关于x的奇函数 xds 0
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L
对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)PPT
L
AO
OB
0
1
1 x( x)dx 0 x 5
曲线积分与曲面积分
A(1,1) 12
(2) 化为对y的定积分，
x y2,
y从 1到1.
xydx xydx
L
AB
1 y2 y( y2 )dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
曲线积分与曲面积分
B(1,1)
(t
),
(t
)]
(t
)
Q[ (t), (t), (t)] (t)
R[ (t), (t), (t)] (t)}dt
曲线积分与曲面积分
11
例1 计算 xydx,其中L为抛物线 y2 x上从 L
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
解 (1) 化为对x的定积分，y x.
y2 x
xydx xydx xydx
L
a
(2) L : x x( y) y起点为c，终点为d .
则
d
Pdx Qdy {P[x( y), y]x( y) Q[x( y), y]}dy.
L
c
曲线积分与曲面积分
10
x (t)
(3) 推广
:
y
(t
),
t起点 ,终点 .
z (t)
Pdx Qdy Rdz
{
P[
(t
),
曲线积分与曲面积分
6
4.推广
空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.
n
P(
x,
y,
z)dx
lim
0
i 1
P ( i
,i
,
i
)xi
对坐标曲线积分资料
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
解决办法: “分割”
F A
W F AB cos
B F AB
“近似代替” “求和” “取极限”
1) “分割”.
F (x, y) (P(x, y), Q(x, y))
把L分成 n 个小弧段,F 沿
所做的功为
则
n
W Wk
k 1
2) “近似代替”
y F (k , k )
P(ξk
,
ηk
)Δxk
Q(ξk
,
ηk
)Δyk
(其中 为 n 个小弧段的
最大长度)
y F (k , k )
L
M ykk B
Mxkk1
A
x
2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
n
lim
0
解：(1)曲线参数方程： x y2 ， y :1 2 ，
(x y)dx ( y x)dy
Байду номын сангаас
．
L
2
[(
y2
y)2
y
(
y
y2
)]dy
1
2 (2 y3 y2 y)dy 34
1
3
例2. 计算 (x y)dx ( y x)dy ，其中 L 是： L (1) 抛物线 y2 x 上从点 (1,1) 到点 (4,2) 的一段弧； (2) 从点 (1,1) 到点 (4,2) 的直线段； (3) 先沿直线从点 (1,1) 到点 (1,2) ，然后再沿直线到点 (4,2) 的折线
L
M ykk B
对坐标的曲线积分的概念二对坐标的曲线积分的计算法三两类曲线-
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, ,n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L上对坐 标 x的积分, 记为
作用下, 沿曲线 L 从点 A移到点B, 则力F 所做的功为
W yzdx 3xzdy 2xydz.
而在曲线上, 有
dy dz
x dx, a2 x2
z
y a2 x2
yz0
O
y
x
W yzdx 3xz`dy 2xydz
yzdx xzdy
a
a2
x2
x
a2 x2
a
a a2dx 2a3. a
x dx
a2 x2
三、两类曲线积分的联系
变到 时, 点 M x, y 从 L的起点 A沿L移动到L 的终
点B, 则有
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
b
a
P
(t
),
(t
)
(t
)
Q
(t
),
(t
)
(t
)dt.
（8.7）
下面来推导该公式.
因 P x, y,Qx, y在 L 上连续, 故所给的曲线积分
定存在. 在 L上取取一一列点 A M 0 , M1, M 2 , , M n1,
故, 单位切向量为
y
e
1 1,2x.
1 4x2
y x2
O
x
2.变力沿曲线的作功问题
设一质点从点 A沿光滑的平面曲线 L移动到点 B, 在移
《高等数学教学课件》2011 第二节 第二型曲线积分
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角.
x2(t) y2(t)
cos sgn( )x(t) sin sgn( ) y(t) ;
x2(t) y2(t)
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角. 由定义得:
P( x, y)dx Q( x, y)dy [P( x, y)cos Q( x, y)sin]ds
的切向量的方向余弦为cos ,cos ,cos ,则上的三个第
二型(对坐标的)曲线积分可定义为:
P( x, y, z)dx P( x, y, z)cosds
Q( x, y, z)dy Q( x, y, z)cos ds
R( x, y, z)dz R( x, y, z)cosds 即 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
若曲线L
:
x y
x(t ) ,
y(t )
t
则
f ( x, y)ds
f [ x(t ), y(t )]
x 2 (t ) y 2 (t )dt
L
使用上述计算方法应注意 :
(1).曲线L必须表示为参数方程的形式.
(2).定限后的下限一定小于上限 .
特别地,当曲线L可用显函数表示为L : y y( x), x [a, b]
定理、设L是光滑的有向曲线(从A到B), L可用参数方程
表示为:
L
:
x
y
x(t ) ,
y(t )
t由变化到 , 其中t 对应L的
起点A( x( ), y( )), t 对应于L的终点B( x( ), y( )),
函数x(t ), y(t )导数连续, 设向量值函数
第二类曲线积分
B A
AC CB ，则
F ( M ) d r F ( M ) d r F ( M ) d r
A B
A C
C B
注意：第二类曲线积分没有第一类曲线积分的对称
性质及有关不等式的性质。
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第二类曲线积分的坐标表示
（1）若 F( x, y) P( x, y),Q( x, y)， L是平面曲线弧，
故
Pdx Qdy Rdz F 0ds
L
L
L(P cos Q cos Rcos )ds
其中 0 {cos,cos ,cos }是 L在点( x, y, z)处的
单位切向量，方向与 L的走向一致。
(2) 若 a b , 可u 令 t, 则 u: a b
而此 a时 b, 对参数u进行讨论，
二元函数 f ( x, y)的梯度为
gradf
f xi
f
y
j
f
三元函数 f ( x, y, z)的梯度为
gradf
f xi
f
y
j
fzk
f
定义：一个向量场F 称为保守场，如果它是某个数量函数的
梯度，即存在一个函数 f ，使得F f ，此时 f 称为
F 的势函数。
注意：不是所有的向量场都是保守场，但这种向量场在物理
M
i
，做数量积：
F(Mi )
ri
，(
i
1,2,n)，
求和：
n
F
(
M
i
)
ri
，令
i 1
miaxsi 0，若
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对坐标的曲线积分第二类曲线积分教学课件
x
常力所作的功 W ? F ?AB.
分割 A ? M0 , M1 ( x1 , y1 ),? , Mn?1 ( xn?1 , yn?1 ), Mn ? B.
?
?
Mi ? 1Mi ? (? xi )i ? (? yi ) j.
.
2
?
?y
取 F (? i ,? i ) ? P(? i ,? i )i ? Q(? i ,? i ) j,
.
5
2.存在条件： 当P( x, y), Q( x, y)在光滑曲线弧 L 上连续时, 第二类曲线积分存在 .
3.组合形式
?L P( x, y)dx ? ?LQ( x, y)dy
?
? ?L P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ? ?LF ?ds.
? ??
??
其中 F ? Pi ? Qj, ds ? dxi ? dyj.
y2 ? x
? ? ? xydx ? xydx ? xydx
L
AO
OB
0
1
? ?1 x(? x )dx ? ?0 x xdx
? ?
2
3 1
x 2dx
?
4.
0
5
.
A(1,? 1) 12
(2) 化为对 y的定积分，
x ? y2,
y从 ? 1到1.
? ? xydx ? xydx
L
AB
? ? 1 y2 y( y2 )?dy ?1
F (? i ,? i )
B
Mi M n?1
? yi
? Wi ? F (? i ,? i ) ?Mi ? 1Mi ,
L M i??1 x i
M2
A M1
最新102第二型曲线积分
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具一有阶连
续导数,且2(t) 2(t) 0,则曲线积分
L P(x, y)dx Q(x, y)dy存在,
且LP(x, y)dxQ(x, y)dy
{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt
特殊情形
(1 )L :yy(x ) x 起a 点 ，为 终 b . 点为
LPd Q x dL y 1Pd Q x dL 2 yPd Q x.dy
(2) 设 L是有向 ,L 曲 是L 线 与 方弧 向相反 有向 曲 , 则线 弧
L P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d L y P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d
Mi1 x i
M2
A M1
(4) 两类曲线积分之间的联系：
o
x
设有向平面曲 L： 线xy弧 为 ((tt)), L上点 (x, y)处的切线向量为 的 ,方 , 向角
则 L P Q d x L d ( P c y o Q c s o ) ds s
其中cos (t) , cos (t) ,
2(t)2(t)
d s t d { s d ,d x ,d y } 上 z 弧点 (长x,向y,量z)微处元的 ； 单位切向 A t为A 向 在量 t 向 上量 的 . 投影
例 1 ． 计 算 C x dy ， x 其 中 C 为 抛 物 线 y 2 x上 从
点 A ( 1 , 1 )到 点 B ( 1 ,1 )的 一 段 弧 。
L P (x ,y ,z)d x l i0 i m 1 P (i,i, i) x i.
n
L Q (x ,y ,z)d y l i0 i m 1 Q (i,i, i) y i.
第二型曲线积分
例 求曲线积分
I
∫
L
e
− ( x2 + y2 )
[cos(2 xy )dx + sin(2 xy )dy ] ,
2 2 x + y = 1, 逆时针. 其中 L 为单位圆周
BA
而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的 乘积，它与曲线 L 的方向无关. 这是两类曲线积分的 一个重要区别.
第二型曲线积分的性质 1. 若第二型曲线积分 存在，则
∫
L
P1dx + Q1dy ,
∫
L
P2dx + Q2dy
∫
L
P1dx + Q1dy + ∫ P2dx + Q2dy = ∫ ( P1 + P2 )dx + (Q1 + Q2 )dy
2 3 0 3
= 2∫
dθ ∫
r ⋅ rdr
2
4 1 = 4π ⋅ r = 9π . 4 0
2. 求半径为 a 的球的表面积 . 解
2 2 2 取上半球面方程为 z = a − x − y , 则它在 2 2 2
xOy 面上的投影区域 D = {( x , y ) | x + y ≤ a }. −y ∂ ∂z = z −x , = , 2 2 2 2 2 2 ∂x a −x −y a − x − y ∂y z z ∂ ∂ a 1+ + = . 2 2 2 ∂x ∂y a −x −y
n i =1
= lim
| |T | |→ 0
∑ [ P (ξ
i =1
n
i
, η i )∆ x i + Q ( ξ i , η i )∆ y i
第二型曲线积分论文
目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (1)2.3提出问题 (2)3预备知识 (2)3.1第二型曲线积分的定义 (2)3.2第二型曲线积分的性质 (3)4第二型曲线积分的计算 (4)4.1直接计算 (4)4.2利用格林公式计算 (12)4.3利用曲线与路径无关计算 (14)4.4利用奇偶对称性计算 (16)4.5利用数学软件Mathmatic进行计算 (16)5结论 (19)5.1主要观点 (19)5.2启示 (19)5.3局限性 (19)5.4努力方向 (19)参考文献 (20)1 引言第二型曲线积分与第一型曲线积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线积分可以看成是定积分的计算，其意义较容易理解，计算也相对简单.而第二型曲线积分又称为对坐标的积分，具有第一型曲线积分不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，变力分别在x轴，y轴沿曲线做功，这在物理学上有着重要的应用. 对于不同类型的被积函数，对应的计算方法也不同.为了使计算更为简单，本文阐述了第二类曲线积分的计算方法，不仅可以通过参数方程转化为定积分来计算，而且对于平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算，第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化计算或利用了数学软件Mathmatic进行计算.2 文献综述2.1 国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲线积分的计算.刘玉琏在文献[1]中论述了第二形曲线积分的概念及其性质；富景龙在文献[2]中概括了第二型曲线积分被积函数的类型；薛嘉庆在文献[3]中讲了被积函数的类型不同有不同的计算方法，并给出了相应的例子；刘国均等在文献[4-5]中探究了第二型曲线积分可以化为定积分来计算，并给出公式及相应的证明；刘莲芬等在文献[6-7]介绍了在第二型曲线积分的计算中将路径的参数方程表示出来；王景克在文献[8-9]简述了做题常用的技巧；陈先开在文献[11-12]研究了曲线积分与路径无关问题与如何判断曲线积分与路径无关；陈文灯，黄先开在文献[13]中介绍了格林公式，并提供了一定的实例，并通过实例总结了计算第二型曲线积分的一般步骤；武艳等在文献[14]给出利用对称性计算第二型曲线积分，使得计算简单；阳明盛及林建华在文献[15]中提出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式，使得复杂的计算简单化.2.2国内外现状评价从上面相关的研究中可以看出，许多对第二型曲线积分计算的研究者从不同的方面进行了相应的研究，但都只是从某一个方面进行讨论，大部分文献都没有结合数学软件Mathmatic进行空间画图及计算.2.3提出问题对于第二型曲线积分的计算方法有多种，那么它的计算方法具体有哪些呢？本文在参考相关文献的基础上对这一问题进行了综述，把数学软件Mathmatic 也应用在其中，并例举了一些具有针对性、典范性的例题.3预备知识为了更好的讲述第二型曲线积分的计算，我们下面来介绍第二型曲线积分的定义及其相关性质.3.1第二型曲线积分的定义设平面上有光滑有向曲线),(B A C 二元函数),(y x f 在曲线C 上有定义.用任意分法T ，将曲线C 依次分成n 个有向小弧：⌒10A A ，⌒21A A ,…，⌒n n A A 1-，其中B A A A n ==,0.设第k 个小弧⌒k k A A 1-的弦−→−-k k A A 1在x 轴与y 轴上投影区间的长分别是k x ∆与k y ∆.在第k 个小弧⌒k k A A 1-上任取一点),(k k k E ηε−→−.作和⋅∑=),(k k n k k F ηξ1k x ∆ ， ⋅∑=),(k k nk k F ηξ1k y ∆ ， （1）分别称为二元函数),(y x f 在曲线),(B A C 关于x 与y 的积分和.令},...,,m ax {)(n s s s T ∆∆∆=21λ。
二类型曲线积分——对坐标的线积分
同理，对三元函数二型曲线积分同样具有上述三条性质。
这里讲的是直 二、二型线积分的计算
接计算方法。
定 理
设有平面光L滑 :yx曲 xy((tt线 )) tt— —终 起点 点参 参； 数 数如 值 值P果 (x,y)、
1 Q(x,y)在L上连续 x (t)且 、y(t)在与之间连续P ，d则 xQ： dy
L
(PcosQcos)ds{P[x(t),y(t)]x (t)Q[x(t),y(t)]y(t)}dt
L
定理2
x x(t)
设有空间光滑Γ曲:线 y y(t)
z z(t)
t t
— —终 起点 点参 参数 数；值 值如果 P(x,
y,
z)、
Q(x, y,z)、R(x, y,z)在Γ上连续x 且(t)、y(t)、z(t)在与之间连续，
W d w F • l { P ,Q } • {c ,so i } d n ss
LL
L
A
W [P (x ,y )co Q s(x ,y )co ]d ss o
x
L
—L上的(x点 ,y)处的切向 X轴 量的 与正向
—L上的(x点 ,y)处的切向 Y轴 量的 与正向
1. 概念
一、二型线积分的概念与性质
PdxQdyRdz(PcosQcos Rcos)ds
Γ
Γ
{P[x(t),y(t),z(t)]x(t)Q[x(t),y(t),z(t)]y(t)R[x(t),y(t),z(t)]z(t)}dt
二型曲线积分直接法举例
例1 求 I(xy)d x(xy)dy ?L ,如下图
L
解 I ： L:/ 2(xycocstsiotn tssittn):0 ( sitn2)dt(t为参终1y数 点 L：） x2 y2 1 0
二类型曲线积分——对坐标的线积分
z
R
0
R Rx 2 2 R2 x dx R 4 2 2x
2 2 故：I I 1 I 2 R 2
x
y
L1
本节结束
其它的自学！
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x z R从A出发经第一卦限到 B再经第四卦限回到 A点 解：设L位于第一卦限内的部分 为L1 , 位于第四卦限内的部分
I1
0
R 2 x 2 x( R x) ( R x) x dx R 2 x ( R x )
R Rx 2 R 2 x dx R R 4 2 2x
二、二型线积分的计算
x x(t ) t — 起点参数值 定 设有平面光滑曲线 L: ；如果P( x, y )、 理 y y (t ) t — 终点参数值 1 (t )、y (t )在与之间连续，则： Q( x, y )在L上连续且x Pdx Qdy
第二节
二类(型)曲线积分 ——对坐标的线积分
一、二型线积分的概念与性质 1. 概念 F {P( x, y),Q( x, y)}沿光滑曲线 引例 设在XOY平面内有一变力： L 弧AB从A将物体移至 B，求变力F沿曲线L所作的功W。 解： (1) 已知常力 F0沿直线 l 所作的功 W F l ；
Γ
Γ
Q( x, y, z ) cos ds Q( x, y, z )dy
Γ
Γ
R( x, y, z ) cosds R( x, y, z )dz
Γ
分别叫做对X、Y、Z坐标的二型曲线积分
Γ
Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz
R
0
R Rx 2 2 R2 x dx R 4 2 2x
2 2 故：I I 1 I 2 R 2
x
y
L1
本节结束
其它的自学！
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x z R从A出发经第一卦限到 B再经第四卦限回到 A点 解：设L位于第一卦限内的部分 为L1 , 位于第四卦限内的部分
I1
0
R 2 x 2 x( R x) ( R x) x dx R 2 x ( R x )
R Rx 2 R 2 x dx R R 4 2 2x
二、二型线积分的计算
x x(t ) t — 起点参数值 定 设有平面光滑曲线 L: ；如果P( x, y )、 理 y y (t ) t — 终点参数值 1 (t )、y (t )在与之间连续，则： Q( x, y )在L上连续且x Pdx Qdy
第二节
二类(型)曲线积分 ——对坐标的线积分
一、二型线积分的概念与性质 1. 概念 F {P( x, y),Q( x, y)}沿光滑曲线 引例 设在XOY平面内有一变力： L 弧AB从A将物体移至 B，求变力F沿曲线L所作的功W。 解： (1) 已知常力 F0沿直线 l 所作的功 W F l ；
Γ
Γ
Q( x, y, z ) cos ds Q( x, y, z )dy
Γ
Γ
R( x, y, z ) cosds R( x, y, z )dz
Γ
分别叫做对X、Y、Z坐标的二型曲线积分
Γ
Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz
二型曲线积分
二型曲线积分二型曲线积分是微积分的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
在本文中，我们将详细介绍二型曲线积分的定义、性质和计算方法。
一、二型曲线积分的定义二型曲线积分可以分为两种情况：第一种情况是曲线积分沿曲线方向积分，这种情况下的二型曲线积分也叫做第一类曲线积分；第二种情况是曲线积分逆时针方向积分，这种情况下的二型曲线积分也叫做第二类曲线积分。
第一类曲线积分的定义如下：设曲线L是参数方程x=f(t)，y=g(t)，α≤t≤β，函数F(x,y)在曲线L上有定义，则称二型积分：∫L F(x,y)·ds为函数F(x,y)在曲线L上的第一类曲线积分。
第二类曲线积分的定义如下：设曲线L是参数方程x=f(t)，y=g(t)，α≤t≤β，函数P(x,y)和Q(x,y)在曲线L上有定义，则称二型积分：∫L P(x,y)dx + Q(x,y)dy为函数P(x,y)和Q(x,y)在曲线L上的第二类曲线积分。
二、二型曲线积分的性质二型曲线积分具有以下主要性质：1.线性性质：对于任意的标量k和函数F(x,y)，G(x,y)，有∫L (kF(x,y))·ds = k∫L F(x,y)·ds∫L (F(x,y) + G(x,y))·ds = ∫L F(x,y)·ds + ∫LG(x,y)·ds2.路径独立性质：如果曲线L是一个闭合曲线，即起点和终点重合，那么对于任意的函数F(x,y)，有∫L F(x,y)·ds = 0这意味着路径独立的曲线积分只与起点和终点之间的路径有关，与具体的路径无关。
3.曲线积分和曲面积分的关系：利用格林公式，可以将二型曲线积分转化为曲面积分。
这在解决一些复杂问题时非常有用。
三、二型曲线积分的计算方法计算二型曲线积分的方法有多种，常用的方法有参数法、直接计算法和格林定理法。
1.参数法：对于给定的曲线L，可以通过参数方程x=f(t)，y=g(t)来表示，其中α≤t≤β。
第二类曲线积分方案
3
3
则
0
例4 计算
2x ydx x2 d y, 其中L为
L
y
B(1,1)
(1) 抛物线 L : y x2, x : 0 1; x沿不y同2 的路径
(2) 抛物线 L : x y2, y : 0 1 ;
积分y，所x得2 到
(3) 有向折线 L : OA AB .
F ( x, y) (P( x, y), Q( x, y))
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
n
lim F (ξi ,ηi ) r i
λ0 i1
n
lim
0
i 1
P(i
, i
) xi
Q(i
, i
)
yi
]
都存在(与分化和取点无关), 其中 r i xi i yi j ,
F ( x, y, z) (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z))
3°如果L 是闭曲线, 则对坐标的曲线积分记为
F
d
r
P( x, y)dx Q( x, y)d y
L
L
4°对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
5° 变力沿曲线所作的功
第二节
第十章
第二类曲线积分
一、第二类曲线积分的概念及性质 二、两类曲线积分的联系 三、第二类曲线积分的计算法
一、第二类曲线积分的概念及性质
1. 问题引入 变力沿曲线所作的功.
设一质点受如下变力作用
F ( x, y) (P( x, y), Q( x, y))
对坐标的曲线积分的概念二对坐标的曲线积分的计算法三两类曲线
做的功Wi 近似于常力F i ,i
沿有向线段 Mi1Mi 所做的功, 即
Wi F i ,i M M i1 i
y
yi
L i,i Mi M i1
B Mn
M1
xi
A M0
O
x
Pi ,i xi Qi ,i yi ,
所以
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, , n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L 上对坐 标 x的积分, 记为
本节要点
一、对坐标的曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分的联系
一、第二类曲线积分的概念
1.有向曲线
在第一节中, 讨论的是对弧长的曲线积分, 这是一种 无方向的曲线积分. 例如曲线的弧长、转动惯量等等, 均与方向无关. 在这一节中, 我们讨论与“方向”有关 的曲线积分.
给定一条曲线, 如果规定了其中的一个走向作为曲线 的“方向”, 则此曲线称为有向曲线.
n
n
W Wi P i ,i xi Q i ,i yi ,
i1
i1
将所有小弧段长度的最大者记为, 并令 0, 所得上
述和式的极限
n
lim
0
i1
P i ,i
xi
Q i ,i
yi
即为变力F 沿有向曲线 L 所做的功.
P x, y,Q x, y 连续, 故在 M M i1 i 上, 可以用任一
沿有向线段 Mi1Mi 所做的功, 即
Wi F i ,i M M i1 i
y
yi
L i,i Mi M i1
B Mn
M1
xi
A M0
O
x
Pi ,i xi Qi ,i yi ,
所以
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, , n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L 上对坐 标 x的积分, 记为
本节要点
一、对坐标的曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分的联系
一、第二类曲线积分的概念
1.有向曲线
在第一节中, 讨论的是对弧长的曲线积分, 这是一种 无方向的曲线积分. 例如曲线的弧长、转动惯量等等, 均与方向无关. 在这一节中, 我们讨论与“方向”有关 的曲线积分.
给定一条曲线, 如果规定了其中的一个走向作为曲线 的“方向”, 则此曲线称为有向曲线.
n
n
W Wi P i ,i xi Q i ,i yi ,
i1
i1
将所有小弧段长度的最大者记为, 并令 0, 所得上
述和式的极限
n
lim
0
i1
P i ,i
xi
Q i ,i
yi
即为变力F 沿有向曲线 L 所做的功.
P x, y,Q x, y 连续, 故在 M M i1 i 上, 可以用任一
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L1 L2
(3) 曲线反向积分反号：
设L是与L反向的同一条曲线即： 弧AB，L 弧BA， L 则有：
L
Pdx Qdy Pdx Qdy
L
证：当L反向时，切线也随之反 向，因此cos、 也变号。 cos
同理，对三元函数二型曲线积分同样具有上述三条性质。
这里讲的是直 接计算方法。
L
所围平面区域的边界曲 线的逆时针方向。 解：设L L1 L2 L3且 L1 : y 0 O(0,0) A(1,0);
L2 : x2 y 2 1 A(1,0) B(0,1); L3 : x 0 B(0,1) O(0,0)
I xdx ydy xdx ydy xdx ydy I1 I 2 I 3
(2)分划弧AB得弧S (弧AB中的一段)，当弧S很小时，以点 x, y)处的 ( 有向切线段l 代替弧S；则F {P( x, y), Q( x, y)}在弧S上近似不变。 B l 与{cos, sin }同向且| l | s l {cosds, sin ds} y l ds dw F l P cosds Q cos ds (P cos Q cos )ds W dw F l {P, Q} {cos , sin }ds
二型曲线积分直接法举例
例1
求I ( x y)dx ( x y)dy ?, L如下图：
L
x cost 解： L : t :0 2 y sint
/2
0
(t为参数）
y
int )dt
L1
以x为参数 1
设
L2
L3
1 I1 xdx 0 0dx 0 y 0 2
I 2
y sint x cos t
y
B L3
1 L2
x2 y 2 1
/2
0
cos t ( sint ) dt sint cos tdt 0
1
1 I 3 0 0dy ydy ydy 1 0 x 0 2 1 1 I I1 I 2 I 3 0 0 2 2
定理2
Pdx Qdy Rdz ( P cos Q cos R cos )ds
Γ Γ
{P[ x(t ), y (t ), z (t )]x(t ) Q[ x(t ), y (t ), z (t )]y (t ) R[ x(t ), y (t ), z (t )]z (t )}dt
x z R从A出发经第一卦限到 再经第四卦限回到 点 B A 解：设L位于第一卦限内的部分 L1 , 位于第四卦限内的部分 为
I1
0
ydx zdy xdz
R 2x 2 x( R x) ( R x) x dx R 2 x( R x)
第二节
二类(型)曲线积分 ——对坐标的线积分
一、二型线积分的概念与性质 1. 概念 F 引例 设在XOY平面内有一变力： {P( x, y),Q( x, y)}沿光滑曲线 L 弧AB从A将物体移至 ，求变力F沿曲线L所作的功W。 B 解： 已知常力 0沿直线 所作的功 F l ； (1) F l W
由于 cos、 与L 弧AB的方向有关，故 与L 弧AB的 sin W 方向有关。在一型曲线 积分中，如果被积表达 式具有：
( P cos Q sin )ds的形式，则称其为二型 曲线积分。 y dx dy 又 cos , sin ds ds ds ( P cos Q sin )ds → dy
二、二型线积分的计算
x x(t ) t — 起点参数值 定 设有平面光滑曲线 : L ；如果P( x, y )、 理 y y (t ) t — 终点参数值 1 Q( x, y )在L上连续且x(t )、y (t )在与之间连续，则： Qdy Pdx
L L L
记为
一、二型线积分的概念与性质
定 义
设Γ 为光滑的空间有向弧段P( x, y, z )、Q( x, y, z )、 , R( x, y, z )在Γ 上连续, , , 分别是Γ 上点( x, y, z )处 与Γ 同向的切向量与 , Y和Z轴的正向夹角则积分 X ,
Γ
P( x, y, z ) cosds P( x, y, z )dx
/2
0
1
L：2 y 2 1 x
(cost sint ) costdt
o
起点1
x
/2
0
( sin 2t )dt 1
例2 求I
L
2 二型曲线积分直接法举例1 1) xydx, L : y x从A( ,
B(1,1)
x y 2 解： 以y为参数时L : yy
x
y
L1
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x 从O A(1,1)
2
x : 0(起) 1(终)
y A终点
而dy 2 xdx
1 0
I x (2 x)dx x dx 3 x dx
2 2 1
1
1
起点
x
1
注2：若曲线L的方程为y j ( x),则可以视x为参 数，用定理 公式。 1
o
例4
求I
直接法举例续 xdx ydy, L是x 2 y 2 1, x 0, y 0
R Rx 2 R 2 dx x R R 4 2 2x
0 2
L1
y
L1
x
直接法举例续
x x 而L2 : y 2 x( R x) z R x ( x : 0 R)
I 2 ydx zdy xdz
y : 1(起) 1(终)
y
终点
而dx 2 ydy
1 2 1 1
I y y 2 ydy 2 y dy
4 1
1
1
o
-1
注 1：若曲线 L 的方程为 x j ( y ), 则可以视 y 为参
数，用定理 1公式。
4 5 1 4 4 y dy y | 0 0 5 5
记为
2. 性质
对二元函数二型曲线积分具有如下三条性质：
(1) 对函数的可加性：
如： P ( x, y) P2 ( x, y)]dx P ( x, y)dx P2 ( x, y)dx 1 [ 1
L L L
(2) 对曲线L的可加性：
L1 L2
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
L
( P cos Q cos )ds {P[ x(t ), y(t )]x(t ) Q[ x(t ), y(t )]y(t )}dt
L
x x(t ) y y (t ) t — 起点参数值 设有空间光滑曲线 : Γ ；如果P( x, y, z )、 z z (t ) t — 终点参数值 Q( x, y, z )、R( x, y, z )在Γ上连续且x(t )、y (t )、z (t )在与之间连续，则：
L L L
A
W [ P( x, y) cos Q( x, y) cos ]ds
L
o
x
— L上的点 x, y)处的切向量与 轴的正向夹角； ( X — L上的点 x, y)处的切向量与 轴的正向夹角。 ( Y
1. 概念
一、二型线积分的概念与性质
F 引例 设在XOY平面内有一变力： {P( x, y),Q( x, y)}沿光滑曲线 L 弧AB从A将物体移至 ，求变力F沿曲线L所作的功W。 B
0
以y为参数
o
L1
1 A
x
例5
直接法举例续 求I ydx zdy xdz, 其中Γ 为沿着圆x 2 y 2 z 2 R2 ,
Γ
x x xx 为L2，则L1 : z R x 即： z R x ( x : R 0) 2 2 2 y 2 x( R x) y R z x z
L2
R
0
( R 2 x) 2 x( R x) ( R x) x dx 2 x( R x)
z
R
0
R Rx 2 2 R2 x dx R 4 2 2x
2 2 故：I I 1 I 2 R 2
设L为光滑的平面有向弧段 P( x, y)、Q( x, y)在L ，
P( x, y) cosds P( x, y)dx
L L
Q( x, y ) cos ds Q( x, y )dy
L L
分别叫做对X坐标、对Y坐标的二型曲线积分。
Pdx Qdy Pdx Qdy
4
y2 x 1 L：
起点
x
y x 解： 以x为参数时L : xx
L
Pdx Qdy {P[ x(t ), y(t )]x(t ) Q[2x(t ), y(t )]y(t )}dt
例3 求I
L
二型曲线积分直接法举例 xdy ydx, L : y
L
Δs
P cosds Q sin ds
L L 记为
dx o
L
x
W P( x, y )dx Q( x, y )dy Pdx Qdy
(3) 曲线反向积分反号：
设L是与L反向的同一条曲线即： 弧AB，L 弧BA， L 则有：
L
Pdx Qdy Pdx Qdy
L
证：当L反向时，切线也随之反 向，因此cos、 也变号。 cos
同理，对三元函数二型曲线积分同样具有上述三条性质。
这里讲的是直 接计算方法。
L
所围平面区域的边界曲 线的逆时针方向。 解：设L L1 L2 L3且 L1 : y 0 O(0,0) A(1,0);
L2 : x2 y 2 1 A(1,0) B(0,1); L3 : x 0 B(0,1) O(0,0)
I xdx ydy xdx ydy xdx ydy I1 I 2 I 3
(2)分划弧AB得弧S (弧AB中的一段)，当弧S很小时，以点 x, y)处的 ( 有向切线段l 代替弧S；则F {P( x, y), Q( x, y)}在弧S上近似不变。 B l 与{cos, sin }同向且| l | s l {cosds, sin ds} y l ds dw F l P cosds Q cos ds (P cos Q cos )ds W dw F l {P, Q} {cos , sin }ds
二型曲线积分直接法举例
例1
求I ( x y)dx ( x y)dy ?, L如下图：
L
x cost 解： L : t :0 2 y sint
/2
0
(t为参数）
y
int )dt
L1
以x为参数 1
设
L2
L3
1 I1 xdx 0 0dx 0 y 0 2
I 2
y sint x cos t
y
B L3
1 L2
x2 y 2 1
/2
0
cos t ( sint ) dt sint cos tdt 0
1
1 I 3 0 0dy ydy ydy 1 0 x 0 2 1 1 I I1 I 2 I 3 0 0 2 2
定理2
Pdx Qdy Rdz ( P cos Q cos R cos )ds
Γ Γ
{P[ x(t ), y (t ), z (t )]x(t ) Q[ x(t ), y (t ), z (t )]y (t ) R[ x(t ), y (t ), z (t )]z (t )}dt
x z R从A出发经第一卦限到 再经第四卦限回到 点 B A 解：设L位于第一卦限内的部分 L1 , 位于第四卦限内的部分 为
I1
0
ydx zdy xdz
R 2x 2 x( R x) ( R x) x dx R 2 x( R x)
第二节
二类(型)曲线积分 ——对坐标的线积分
一、二型线积分的概念与性质 1. 概念 F 引例 设在XOY平面内有一变力： {P( x, y),Q( x, y)}沿光滑曲线 L 弧AB从A将物体移至 ，求变力F沿曲线L所作的功W。 B 解： 已知常力 0沿直线 所作的功 F l ； (1) F l W
由于 cos、 与L 弧AB的方向有关，故 与L 弧AB的 sin W 方向有关。在一型曲线 积分中，如果被积表达 式具有：
( P cos Q sin )ds的形式，则称其为二型 曲线积分。 y dx dy 又 cos , sin ds ds ds ( P cos Q sin )ds → dy
二、二型线积分的计算
x x(t ) t — 起点参数值 定 设有平面光滑曲线 : L ；如果P( x, y )、 理 y y (t ) t — 终点参数值 1 Q( x, y )在L上连续且x(t )、y (t )在与之间连续，则： Qdy Pdx
L L L
记为
一、二型线积分的概念与性质
定 义
设Γ 为光滑的空间有向弧段P( x, y, z )、Q( x, y, z )、 , R( x, y, z )在Γ 上连续, , , 分别是Γ 上点( x, y, z )处 与Γ 同向的切向量与 , Y和Z轴的正向夹角则积分 X ,
Γ
P( x, y, z ) cosds P( x, y, z )dx
/2
0
1
L：2 y 2 1 x
(cost sint ) costdt
o
起点1
x
/2
0
( sin 2t )dt 1
例2 求I
L
2 二型曲线积分直接法举例1 1) xydx, L : y x从A( ,
B(1,1)
x y 2 解： 以y为参数时L : yy
x
y
L1
本节结束
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x 从O A(1,1)
2
x : 0(起) 1(终)
y A终点
而dy 2 xdx
1 0
I x (2 x)dx x dx 3 x dx
2 2 1
1
1
起点
x
1
注2：若曲线L的方程为y j ( x),则可以视x为参 数，用定理 公式。 1
o
例4
求I
直接法举例续 xdx ydy, L是x 2 y 2 1, x 0, y 0
R Rx 2 R 2 dx x R R 4 2 2x
0 2
L1
y
L1
x
直接法举例续
x x 而L2 : y 2 x( R x) z R x ( x : 0 R)
I 2 ydx zdy xdz
y : 1(起) 1(终)
y
终点
而dx 2 ydy
1 2 1 1
I y y 2 ydy 2 y dy
4 1
1
1
o
-1
注 1：若曲线 L 的方程为 x j ( y ), 则可以视 y 为参
数，用定理 1公式。
4 5 1 4 4 y dy y | 0 0 5 5
记为
2. 性质
对二元函数二型曲线积分具有如下三条性质：
(1) 对函数的可加性：
如： P ( x, y) P2 ( x, y)]dx P ( x, y)dx P2 ( x, y)dx 1 [ 1
L L L
(2) 对曲线L的可加性：
L1 L2
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
L
( P cos Q cos )ds {P[ x(t ), y(t )]x(t ) Q[ x(t ), y(t )]y(t )}dt
L
x x(t ) y y (t ) t — 起点参数值 设有空间光滑曲线 : Γ ；如果P( x, y, z )、 z z (t ) t — 终点参数值 Q( x, y, z )、R( x, y, z )在Γ上连续且x(t )、y (t )、z (t )在与之间连续，则：
L L L
A
W [ P( x, y) cos Q( x, y) cos ]ds
L
o
x
— L上的点 x, y)处的切向量与 轴的正向夹角； ( X — L上的点 x, y)处的切向量与 轴的正向夹角。 ( Y
1. 概念
一、二型线积分的概念与性质
F 引例 设在XOY平面内有一变力： {P( x, y),Q( x, y)}沿光滑曲线 L 弧AB从A将物体移至 ，求变力F沿曲线L所作的功W。 B
0
以y为参数
o
L1
1 A
x
例5
直接法举例续 求I ydx zdy xdz, 其中Γ 为沿着圆x 2 y 2 z 2 R2 ,
Γ
x x xx 为L2，则L1 : z R x 即： z R x ( x : R 0) 2 2 2 y 2 x( R x) y R z x z
L2
R
0
( R 2 x) 2 x( R x) ( R x) x dx 2 x( R x)
z
R
0
R Rx 2 2 R2 x dx R 4 2 2x
2 2 故：I I 1 I 2 R 2
设L为光滑的平面有向弧段 P( x, y)、Q( x, y)在L ，
P( x, y) cosds P( x, y)dx
L L
Q( x, y ) cos ds Q( x, y )dy
L L
分别叫做对X坐标、对Y坐标的二型曲线积分。
Pdx Qdy Pdx Qdy
4
y2 x 1 L：
起点
x
y x 解： 以x为参数时L : xx
L
Pdx Qdy {P[ x(t ), y(t )]x(t ) Q[2x(t ), y(t )]y(t )}dt
例3 求I
L
二型曲线积分直接法举例 xdy ydx, L : y
L
Δs
P cosds Q sin ds
L L 记为
dx o
L
x
W P( x, y )dx Q( x, y )dy Pdx Qdy