二类型曲线积分——对坐标的线积分

L
Δs
P cosds Q sin ds
L L 记为
dx o
L
x
W P( x, y )dx Q( x, y )dy Pdx Qdy
L L
一、二型线积分的概念与性质
定 义 上连续，、分别是L上点( x, y)处与L同向的切向
量与X轴和Y轴的正向夹角，则积分 ：
L
所围平面区域的边界曲 线的逆时针方向。 解：设L L1 L2 L3且 L1 : y 0 O(0,0) A(1,0);
L2 : x2 y 2 1 A(1,0) B(0,1); L3 : x 0 B(0,1) O(0,0)
I xdx ydy xdx ydy xdx ydy I1 I 2 I 3
L L L
A
W [ P( x, y) cos Q( x, y) cos ]ds
L
o
x
— L上的点 x, y)处的切向量与 轴的正向夹角； ( X — L上的点 x, y)处的切向量与 轴的正向夹角。 ( Y
1. 概念
一、二型线积分的概念与性质
F 引例 设在XOY平面内有一变力： {P( x, y),Q( x, y)}沿光滑曲线 L 弧AB从A将物体移至 ，求变力F沿曲线L所作的功W。 B
记为
2. 性质
对二元函数二型曲线积分具有如下三条性质：
(1) 对函数的可加性：
如： P ( x, y) P2 ( x, y)]dx P ( x, y)dx P2 ( x, y)dx 1 [ 1
L L L
(2) 对曲线L的可加性：
L1 L2
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
设L为光滑的平面有向弧段 P( x, y)、Q( x, y)在L ，
P( x, y) cosds P( x, y)dx
L L
Q( x, y ) cos ds Q( x, y )dy
L L
分别叫做对X坐标、对Y坐标的二型曲线积分。
Pdx Qdy Pdx Qdy
由于 cos、 与L 弧AB的方向有关，故 与L 弧AB的 sin W 方向有关。在一型曲线 积分中，如果被积表达 式具有：
( P cos Q sin )ds的形式，则称其为二型 曲线积分。 y dx dy 又 cos , sin ds ds ds ( P cos Q sin )ds → dy
x z R从A出发经第一卦限到 再经第四卦限回到 点 B A 解：设L位于第一卦限内的部分 L1 , 位于第四卦限内的部分 为
I1
0

ydx zdy xdz
R 2x 2 x( R x) ( R x) x dx R 2 x( R x)
第二节
二类(型)曲线积分 ——对坐标的线积分
一、二型线积分的概念与性质 1. 概念 F 引例 设在XOY平面内有一变力： {P( x, y),Q( x, y)}沿光滑曲线 L 弧AB从A将物体移至 ，求变力F沿曲线L所作的功W。 B 解： 已知常力 0沿直线 所作的功 F l ； (1) F l W
L1
以x为参数 1
设
L2
L3
1 I1 xdx 0 0dx 0 y 0 2
I 2
y sint x cos t
y
B L3
1 L2
x2 y 2 1

/2
0
cos t ( sint ) dt sint cos tdt 0
1
1 I 3 0 0dy ydy ydy 1 0 x 0 2 1 1 I I1 I 2 I 3 0 0 2 2
x
y
L1
本节结束
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Γ
Γ
Q( x, y, z ) cos ds Q( x, y, z )dy
Γ
Γ
R( x, y, z ) cosds R( x, y, z )dz
Γ
分别叫做对X、Y、Z坐标的二型曲线积分
Γ
Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz
Γ Γ Γ
4
y2 x 1 L：
起点
x
y x 解： 以x为参数时L : xx
L
Pdx Qdy {P[ x(t ), y(t )]x(t ) Q[2x(t ), y(t )]y(t )}dt
例3 求I
L
二型曲线积分直接法举例 xdy ydx, L : y
L
( P cos Q cos )ds {P[ x(t ), y(t )]x(t ) Q[ x(t ), y(t )]y(t )}dt
L

x x(t ) y y (t ) t — 起点参数值 设有空间光滑曲线 : Γ ；如果P( x, y, z )、 z z (t ) t — 终点参数值 Q( x, y, z )、R( x, y, z )在Γ上连续且x(t )、y (t )、z (t )在与之间连续，则：
R Rx 2 R 2 dx x R R 4 2 2x
0 2
L1
y
L1
x
直接法举例续
x x 而L2 : y 2 x( R x) z R x ( x : 0 R)
I 2 ydx zdy xdz
x 从O A(1,1)
2
x : 0(起) 1(终)
y A终点
而dy 2 xdx
1 0
I x (2 x)dx x dx 3 x dx
2 2 1
1
1
起点
x
1
注2：若曲线L的方程为y j ( x),则可以视x为参 数，用定理 公式。 1
o
例4
求I
直接法举例续 xdx ydy, L是x 2 y 2 1, x 0, y 0
L L L
记为
一、二型线积分的概念与性质
定 义
设Γ 为光滑的空间有向弧段P( x, y, z )、Q( x, y, z )、 , R( x, y, z )在Γ 上连续, , , 分别是Γ 上点( x, y, z )处 与Γ 同向的切向量与 , Y和Z轴的正向夹角则积分 X ,
Γ
P( x, y, z ) cosds P( x, y, z )dx


二型曲线积分直接法举例
例1
求I ( x y)dx ( x y)dy ?, L如下图：
L
x cost 解： L : t :0 2 y sint
/2
0
(t为参数）
y
终点
I
(cost sint )( sint )dt
/2
0
1
L：2 y 2 1 x
(cost sint ) costdt
o
起点1
x

/2
0
( sin 2t )dt 1
例2 求I
L
2 二型曲线积分直接法举例1 1) xydx, L : y x从A( ,
B(1,1)
x y 2 解： 以y为参数时L : yy
y : 1(起) 1(终)
y
终点
而dx 2 ydy
1 2 1 1
I y y 2 ydy 2 y dy
4 1
1
1
o
-1
注 1：若曲线 L 的方程为 x j ( y ), 则可以视 y 为参
数，用定理 1公式。
4 5 1 4 4 y dy y | 0 0 5 5
Biblioteka BaiduL2
R
0
( R 2 x) 2 x( R x) ( R x) x dx 2 x( R x)
z

R
0
R Rx 2 2 R2 x dx R 4 2 2x
2 2 故：I I 1 I 2 R 2
0
以y为参数
o
L1
1 A
x
例5
直接法举例续 求I ydx zdy xdz, 其中Γ 为沿着圆x 2 y 2 z 2 R2 ,
Γ
x x xx 为L2，则L1 : z R x 即： z R x ( x : R 0) 2 2 2 y 2 x( R x) y R z x z
L1 L2
(3) 曲线反向积分反号：
设L是与L反向的同一条曲线即： 弧AB，L 弧BA， L 则有：
L
Pdx Qdy Pdx Qdy
L
证：当L反向时，切线也随之反 向，因此cos、 也变号。 cos
同理，对三元函数二型曲线积分同样具有上述三条性质。
这里讲的是直 接计算方法。
定理2
Pdx Qdy Rdz ( P cos Q cos R cos )ds
Γ Γ
{P[ x(t ), y (t ), z (t )]x(t ) Q[ x(t ), y (t ), z (t )]y (t ) R[ x(t ), y (t ), z (t )]z (t )}dt
二、二型线积分的计算
x x(t ) t — 起点参数值 定 设有平面光滑曲线 : L ；如果P( x, y )、 理 y y (t ) t — 终点参数值 1 Q( x, y )在L上连续且x(t )、y (t )在与之间连续，则： Qdy Pdx
(2)分划弧AB得弧S (弧AB中的一段)，当弧S很小时，以点 x, y)处的 ( 有向切线段l 代替弧S；则F {P( x, y), Q( x, y)}在弧S上近似不变。 B l 与{cos, sin }同向且| l | s l {cosds, sin ds} y l ds dw F l P cosds Q cos ds (P cos Q cos )ds W dw F l {P, Q} {cos , sin }ds