概率统计A答案

东华理工大学 2009 — 2010学年第 2 学期 《概率论与数理统计》期末考试试卷（A1）

A.2-e

B.2

51e -

C.2

4

1e -

D.2

21e -

. 3．.已知~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，且,X Y 相互独立,记27,Z X Y =-+

~Z 则( A ).

A.)5,0(N

B.)12,0(N

C.)54,0(N

D.)2,1(-N 4．随机变量⎪⎩

⎪⎨⎧≤>=-0,00

,101)(~10

x x e x f X x ,则)12(+X E =( C ). A.1.5 B. 54 C. 21 D. 20

5．12,,,n X X X L 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,

则( C ).

A. )1,0(~N X

B. ~(0,1)nX N

C. 221~()n

i

i X x n =∑ D. ~(1)X t n S - 6．设总体X 的数学期望为μ，方差为2σ，),(21X X 是X 的一个样本，则在下述的４个估计量中，（ C ）是最优的.

(A) 2115451ˆX X +=μ (B) 2124

181ˆX X +=μ (C) 2132121ˆX X +=μ

(D) 2143

1

21ˆX X +=μ 7．关于检验水平α的设定,下列叙述错误的是( D ).

A. α的选取本质上是个实际问题,而非数学问题

B. 在检验实施之前, α应是事先给定的,不可擅自改动

C. α即为检验结果犯第一类错误的最大概率

D. 为了得到所希望的结论,可随时对α的值进行修正

题目 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分

一、 填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 1． 已知随机事件A 的概率P （A ）=，随机事件B 的概率P （B ）=及条件概率P （B|A ）=，则

P （AUB ）= 2．设)2,3(~2N X ，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c 3 .

3．设),,,,(~),(2221

21ρσσμμN Y X ，则Y X ,相互独立当且仅=ρ 0 . 4．X 为随机变量，()1,()3E X D X =-=，则2

[3()20]E X += 32 .

5．设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p q p A P -==1,)(，则对

任意区间],[b a 有⎪⎭⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-<∞→b npq np a P n n μlim ＝ ()()a b Φ-Φ . 6．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 独立性和代表性 . 7．某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：

已知原来直径服从)06.0,(N μ，则该天生产的滚珠直径的置信区间为 [，] ，（05.0=α，645.105.0=Z ，96.1025.0=Z ）. 二、 选择题（本大题共7小题，每小题2分，共14分） 1．将n 个小球随机放到)(N n N ≤个盒子中去,不限定盒子的容量,则每个盒子中至多有１个球的概率是( C ).

A.!!N n

B. n N

n ! C. n n

N N n C !⋅ D. N n

2.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( B ）.

说明：1.试题须用碳素墨水钢笔集中填在方格内，答题纸另附并装订于后，字迹须工整清晰；2.试题须经教研室或系（部）领导认真审核并签署本人代号；3.学生只须在第一页试题纸上填写姓名等

东华理工大学 2009 — 2010 学年第 2 学期

《概率论与数理统计》期末考试试卷（ A2 ）卷

五、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

()⎩

⎨

⎧

<<<<=其它

,020,10,1,x

y x y x f ，（1）求（X ，Y ）的边缘概率密度；（2）判断X 与Y

是否相互独立（8分）

解：（1）()()⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰∞+∞

-其它,01

0,21,20x x dy dy y x f x f x

x 3分 ()()⎪⎩

⎪⎨⎧<<-===⎰⎰

∞

+∞

-其它,02/10,2

11,1

2y y dy dx y x f y f y

y 6分 （2）因为()()()y f x f y x f y x ≠,，所以X 与Y 不是相互独立的。（8分）

六、设某种元件的使用寿命X 的概率密度为()⎩⎨⎧≤>=--θθθx x e x f x ,00

,2,)(2，其中0>θ为

未知参数，又设n x x x ,,,21Λ是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计量。（8分）

解：似然函数()()θθ;,,,21n x x x L L Λ==⎪⎩

⎪⎨⎧=≥-∑=-其他,0)

,,2,1(),(21

2n

i i i n n i x x e Λθθ （2分） 当θ≥i x 时，()0>θL ，取对数，得()()∑=--=n

i i x n L 1

22ln ln θθ。（4分）

因为

()02ln >=n d L d θ

θ，所以()θL 单调增加。（5分）

由于θ必须满足),,2,1(n i x i Λ=≤θ，因此当θ取n x x x ,,,21Λ中的最小值时，()θL 取最大值。所以θ的最大似然估计值为()n x x x ,,,m in 21^

Λ=θ。（8分）

三、病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率的概率为。若浇水则树死去的概率为。有的把握确定邻居会记得浇水。若主人回来树已经死去，求邻居忘记浇水的概率。（8分） 解：A 表示事件“浇水”，B 表示事件“树死去”，则由题意得：

()

)

|()()|()()

|()(|A B P A P A B P A P A B P A P B A P += （5分）

=

15

.09.08.01.08

.01.0⨯+⨯⨯ （7分）

= （8分）

四、设离散型随机变量X 的分布函数为： ⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=2

,21,3211,1,0)(x b a x a x a x x F 且21)2(==X p ，试确定b

a ,的取值.（8分）

解：由题意得：

⎪⎩⎪⎨

⎧=-=+213

21a b a （6分） 解得：6/5,6/1==b a （8分）