2019届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟卷(二)数学(理)试题
2019届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟(二)数学(理)试题(解析版)
2019届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟（二）数学（理）试题一、单选题1．集合10A x R x ⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭，{}2|10B x R x =∈-<，则A B =U （ ）A ．(]1,0-B ．()1,0-C ．(),1-∞D ．(),1-∞-【答案】C【解析】求出A 与B 中不等式的解集确定出A 与B ，利用并集定义求A 与B 的并集即可． 【详解】由题得{|0}A x x =<，{|11}B x x =-<<， 根据并集的定义知：{|1}A B x x ⋃=<， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了并集及其运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】由复数除法求出z ，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得 【详解】解析：()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+Q ，1122z i ∴=--， 对应点为11(,)22--，在第三象限． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．3．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等【答案】B【解析】由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论． 【详解】 对于甲，179888282939185.86x +++++=≈；对于乙，272748189969985.26x +++++=≈，故A 正确；甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误； 对于甲，方差2126S ≈.5，对于乙，方差22106.5S ≈，故C 正确； 甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189852+=，故D 正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．4．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r，若()//2c a b +r r r ，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．12【答案】A【解析】根据向量坐标运算求得2a b +rr，由平行关系构造方程可求得结果. 【详解】()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=rr()//2c a b +rr r Q 24λ∴=-，解得：2λ=-故选：A 【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.5．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ）A ．212B ．9C ．172D ．7【答案】A【解析】先由题意可得数列{}n a 为等差数列，再根据1239a a a ++=，48a =，可求出公差，即可求出5a ． 【详解】数列{}n a 满足*212()n n n a a a n N +++=∈，则数列{}n a 为等差数列， 1239a a a ++=Q ，48a =， 1339a d ∴+=，138a d +=，52d ∴=， 54521822a a d ∴=+=+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2π C ．52πD ．3π【答案】A【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱， 半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1． 则几何体的体积为32145111233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．7．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 【答案】B【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒>8．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．0个D ．无数个【答案】B【解析】圆心在FM 的中垂线上，经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆．【详解】因为点(2,2)M 在抛物线22y x =上， 又焦点1(2F ，0)，由抛物线的定义知，过点F 、M 且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点， 这样的交点共有2个，故过点F 、M 且与l 相切的圆的不同情况种数是2种． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．9．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ）A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-【答案】B【解析】根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可． 【详解】由(1)(1)f x f x +=-得()f x 关于1x =对称，若关于1x =对称，则函数()f x 在(0,)+∞上不可能是单调的， 故错误的可能是B 或者是D ， 若D 错误，则()f x 在(-∞，0]上是减函数，在()f x 在(0,)+∞上是增函数，则(0)f 为函数的最小值，与C 矛盾，此时C 也错误，不满足条件． 故错误的是B ， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．10．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ）A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】结合已知可知，112T =可求T ，进而可求ω，代入()f x ，结合1()03f =，可求ϕ，即可判断． 【详解】Q 图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足12||1x x -=，∴112T =即2T =，ωπ∴=，()sin()f x x πϕ=+，且11()sin()033f πϕ=+=，∴13k πϕπ+=，k Z ∈，1||2ϕπ<Q ，13ϕπ∴=-，1()sin()3f x x ππ=-，当16x =-时，1()16f -=-为函数的一个极小值点，而1(,0)66π-∈-．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用． 11．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．)+∞C ．(,-∞D ．(),3-∞-【答案】D【解析】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +)(0)t >，将其代入双曲线可解得． 【详解】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +)(0)t >，将其代入双曲线方程得：22(1))1t a ++=， 即2113t a -=+，由0t >得3a <-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．12．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】由不等式恒成立问题分类讨论：①当0a =，②当0a <，③当0a >，考查方程1lna ae=-的解的个数，综合①②③得解． 【详解】①当0a =时，1()00x f x e -=>…，满足题意， ②当0a <时，0x e a ->，01(x ae ∃∈-，)+∞，10ax e+<，故()0()f x x R ∈…不恒成立， ③当0a >时，设()x g x e a =-，1()h x ax e=+，令()0xg x e a =-=，得x lna =，1()0h x ax e =+=，得1x ae=-， 下面考查方程1lna ae=-的解的个数， 设ϕ（a ）alna =，则ϕ'（a ）1lna =+ 由导数的应用可得：ϕ（a ）alna =在1(0,)e为减函数，在1(e，)+∞为增函数，则ϕ（a ）1min e=-，即1lna ae=-有一解， 又()xg x e a =-，1()h x ax e=+均为增函数，所以存在1个a 使得()0()f x x R ∈…成立， 综合①②③得：满足条件的a 的个数是2个， 故选：C ．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.二、填空题13．设实数x ，y 满足020560x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值是______.【答案】3【解析】根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解． 【详解】作出实数x ，y 满足020560x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩……„表示的平面区域，如图所示： 由2z x y =-可得2y x z =-，则z -表示直线2z x y =-在y 轴上的截距，截距越小，z 越大.由0560x y x y +=⎧⎨--=⎩可得(1,1)C -，此时z 最大为3， 故答案为：3．【点睛】本题主要考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想． 14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若()*32n n a S n N +=∈，则5S=______.【答案】31【解析】由已知数列递推式可得数列{}n a 是以16为首项，以12为公比的等比数列，再由等比数列的前n 项和公式求解． 【详解】由32n n a S +=，得1232a =，116a ∴=． 且1132(2)n n a S n --+=…， 则110n n n n a a S S ---+-=，即11(2)2n n a n a -=…． ∴数列{}n a 是以16为首项，以12为公比的等比数列， 则55116(1)231112S -==-．故答案为：31． 【点睛】本题主要考查数列递推式，考查等比数列的前n 项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15．已知实数0a ≠，对任意x ∈R ，有()52501251ax a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，且1240a a +=，则0125a a a a +++⋅⋅⋅+=______.【答案】-1【解析】由二项式定理及展开式系数的求法得1122554()()0C a C a -+-=，又0a ≠，所以2a =，令1x =得：5012345(121)a a a a a a -⨯=+++++，所以0123451a a a a a a +++++=-，得解．【详解】由5250125(1)ax a a x a x a x -=+++⋯+，且1240a a +=，则1122554()()0C a C a -+-=， 又0a ≠， 所以2a =， 令1x =得：5012345(121)a a a a a a -⨯=+++++， 所以0123451a a a a a a +++++=-，故答案为：1-． 【点睛】本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱11A D ，11A B 的中点，P 是侧面正方形11BCC B 内一点（含边界），若//FP 平面AEC ，则线段1A P 长度的取值范围是______.【答案】2302⎣ 【解析】取11B C 中点G ，连结FG ，BG ，推导出平面//FGB 平面AEC ，从而点P 在线段BG 上运动，作1A H BG ⊥于H ，由111A H A P A B 剟，能求出线段1A P 长度的取值范围． 【详解】取11B C 中点G ，连结FG ，BG ，Q 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱11A D 、11A B 的中点，//AE BG ∴，//AC FG ， AE AC A =Q I ，BG FG G =I ，∴平面//FGB 平面AEC ，P Q 是侧面正方形11BCC B 内一点（含边界），//FP 平面AEC ， ∴点P 在线段BG 上运动，在等腰△1A BG 中，221215A G BG ==+=221222A B =+=， 作1A H BG ⊥于H ，由等面积法解得：22111()225223025A B A B BG A H -⨯-===g ， 111A H A P A B ∴剟，∴线段1A P 长度的取值范围是230[，22]．故答案为：230[，22]．【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为24sin aA.（1）求sin sin B C ；（2）若10cos cos 1B C =-，2a =ABC ∆的周长.【答案】（1）12（227 【解析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；（2）根据两角余弦公式可得cos A ，即可求出sin A ，再根据正弦定理可得bc ，根据余弦定理即可求出b c +，问题得以解决． 【详解】（1）由三角形的面积公式可得21sin 24sin ABC a S ac B A∆==， 2sin sin c B A a ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin sin C B A A =，sin 0A ≠Q ，1sin sin 2B C ∴=； （2）10cos cos 1B C =-Q ， 1cos cos 10B C ∴=-，3cos()cos cos sin sin 5B C B C B C ∴+=-=-，3cos 5A ∴=，4sin 5A =，Q 则由21sin 24sin a bc A A=，可得：2516bc =，由2222cos b c a bc A +-=，可得：22318b c +=，23125()788b c ∴+=+=，可得：7b c +=，经检验符合题意， ∴三角形的周长27a b c ++=+．（实际上可解得2734b -=，2734c +=符合三边关系）． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式、两角和的余弦公式、诱导公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了学生的运算能力，考查了转化思想，属于中档题． 18．已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.（1）求证：AB AC ⊥；（2）若侧面11ACC A 为正方形，求直线1B D 与平面1C AD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（225【解析】（1）取AB 的中点O ，连接OD ，1OB ，证明AB ⊥平面1ODB 得出AB OD ⊥，再得出AB AC ⊥；（2）建立空间坐标系，求出平面1C AD 的法向量n r ，计算cos n <r，1B D >u u u u r 即可得出答案． 【详解】（1）证明：取AB 的中点O ，连接OD ，1OB ，160B BA∠=︒Q，12B B=，112OB AB==，141221cos603OB∴=+-⨯⨯⨯︒=，22211OB OB BB∴+=，故1AB OB⊥，又1AB B D⊥，111OB B D B=I，11,OB B D⊂平面1ODB，AB∴⊥平面1ODB，AB OD∴⊥，OQ，D分别是AB，BC的中点，//OD AC∴，AB AC∴⊥．（2）解：Q四边形11ACC A是正方形，1AC AA∴⊥，又AC AB⊥，1AB AA A=I，1,AB AA⊂平面11ABB A，AC∴⊥平面11ABB A，在平面11ABB A内作直线AB的垂线AE，以A为原点，以AB，AC，AE为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz-，则(0A，0，0)，(1D，1，0)，1(1C-，2，3)，1(1B，0，3)，∴(1AD=u u u r，1，0)，1(1AC=-u u u u r，2，3)，1(0B D=u u u u r，1，3)-，设平面1C AD的法向量为(n x=r，y，)z，则1·0·0n ADn AC⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u vru u u u vr，即230x yx y z+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令1x=可得：(1n=r，1-，3)，cos n∴<r，11125||||5n B DB Dn B D>===-u u u u rru u u u r gu u u u rr．∴直线1B D与平面1C AD所成角的正弦值为|cos n<r，125|B D>=u u u u r．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题．19．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，且经过点31,2T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，斜率为()0k k >的直线1l 经过点()0,2M ，与椭圆C 交于G ，H 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在点(),0P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；实数m的取值范围是6⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）根据椭圆定义计算a ，再根据a ，b ，c 的关系计算b 即可得出椭圆方程；（2）设直线1l 方程为2y kx =+，与椭圆方程联立方程组，求出k 的范围，根据根与系数的关系求出GH 的中点坐标，求出GH 的中垂线与x 轴的交点横，得出m 关于k 的函数，利用基本不等式得出m 的范围． 【详解】（1）由题意可知1c =，1(1,0)F -，2(1,0)F ．又12352||||422a TF TF =+=+=，2a ∴=，b ∴==∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）若存在点(,0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形， 则P 为线段GH 的中垂线与x 轴的交点．设直线1l 的方程为：2y kx =+，1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得：22(34)1640k x kx +++=，△2225616(34)0k k =-+>，又0k >，故12k >． 由根与系数的关系可得1221634kx x k+=-+，设GH 的中点为0(x ，0)y ，则02834k x k =-+，0026234y kx k =+=+， ∴线段GH 的中垂线方程为：22186()3434k y x kk k =-++++， 令0y =可得2223344k x k k k -==-++，即234m k k=-+． 12k >Q，故34k k +=…，当且仅当34k k =即k =时取等号，m ∴-=…，且0m <． m ∴的取值范围是[0)．【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．20．在最新公布的湖南新高考方案中，“312++”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？（2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++（3）某高校A在其热门人文专业B的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备A高校B专业报名资格的人数为X，用样本的频率估计概率，求X的分布列与期望.【答案】（1）不需调整（2）列联表见解析；有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关（3）详见解析【解析】（1）可估计高一年级选修相应科目的人数分别为720，330，推理得对应开设选修班的数目分别为15，7．推理知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为120.340p==．用频率估计概率，则~(3,0.3)X B，根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望．【详解】（1）经统计可知，样本40人中，选修化学、生物的人数分别为24，11，则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为720，330．根据每个选修班最多编排50人，且尽量满额编班，得对应开设选修班的数目分别为15，7．现有化学、生物科目教师每科各8人，根据每位教师执教2个选修班，当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的一位教师执教一个班的条件，知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据表格中的数据进行统计后，制作列联表如下：则2240(191056)7.111 6.63525152416K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ∴有99%的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为120.340p ==． 用频率估计概率，则~(3,0.3)X B ，分布列如下：数学期望为()30.30.9E X np ==⨯=． 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 21．已知函数()()2ln 12a x f x x =++. （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，()'f x 为()f x 的导函数，设()()1212'18x m f x f x +=+⋅+，求m 的取值范围，并求m 取到最小值时所对应的a 的值.【答案】（1）单调递增区间为11,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（2）m 的取值范围是13ln ,1ln 224⎡⎫+-⎪⎢⎣⎭；对应的a 的值为163. 【解析】（1）当1a =-时，求()f x 的导数可得函数的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，利用导函数211,()11ax ax f x ax x x ++'=+=++，可得a 的范围，再表达1212()(1)8x m f x f x +'=++g ，构造新函数可求m 的取值范围，从而可求m 取到最小值时所对应的a 的值． 【详解】（1）函数2()(1)2a f x ln x x =++由条件得函数的定义域：{|1}x x >-， 当1a =-时，21()(1)2f x ln x x =+-，所以：211()11x x f x x x x --+'=-=++， ()0f x '=时，x =，当(x ∈-时，()0f x '>，当x ∈，)+∞时，()0f x <， 则函数()f x的单调增区间为：(-，单调递减区间为：，)+∞； （2）由条件得：1x >-，211,()11ax ax f x ax x x ++'=+=++， 由条件得2()10x ax ax ϕ=++=有两根：1x ，2x ，满足121x x -<<，∴△0>，可得：0a <或4a >；由(1)0a ϕ->g，可得：0a >． 4a ∴>，Q 函数()x ϕ的对称轴为12x =-，121x x -<<，所以：21(2x ∈-，0)；22210ax ax ++=Q ，可得：221(1)a x x =-+，2222222()(1)(1)22(1)x a f x ln x x ln x x ∴=++=+-+， 121x x +=-Q ，则：121x x =--，所以：212221222111(1)()8884(1)x x ax ax f x f x x +--+'+='-===+g ；所以：2222222211(1)(1)2(1)4(1)4(1)x x m ln x ln x x x x -=+-+=+-+++，令23()4x h x lnx x-=-，211(2x x =+∈，1)，则221343()44x h x x x x -'=-=， 因为：()0h x '=时，34x =，所以：()h x 在1(2，3)4上是单调递减，在3(4，1)上单调递增，因为：1()122h ln =-，h （1）14=，313()424h ln =+，1()2h h >（1），所以13()[24h x ln ∈+，12)ln -；即m 的取值范围是：13[24ln +，12)ln -；34x =，所以有2314x x =+=，则214x =-，22116(1)3a x x =-=+； 所以当m 取到最小值时所对应的a 的值为163； 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题，考查利用导数求函数的最值，体现了转化的思想方法，属于难题．22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出直线的倾斜角；（2）记直线l 与y 轴的交点为,Q M 是曲线C 上的动点，求点,M Q 的最大距离.【答案】（1）2216x y +=，2y x =+，直线l 的倾斜角为4π（2【解析】（1）由公式22sin cos 1αα+=消去参数得普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直角坐标方程后可得倾斜角；（2）求出直线l 与y 轴交点Q ，用参数表示M 点坐标，求出MQ ，利用三角函数的性质可得最大值． 【详解】（1）由,sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去α得C 的普通方程是： 2216xy +=由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，化简得2y x =+直线l 的倾斜角为4π（2）在曲线C 上任取一点),sin Mαα，直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为()0,2则MQ ==当且仅当2sin 5α=-时，MQ . 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．求两点间距离的最值时，用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题． 23． 设函数(),0f x x a a =+>.(Ⅰ)当2a =时，求不等式()2f x x <的解集；(Ⅱ)若函数()()()1g x f x f x =+- 的图象与直线11y =所围成的四边形面积大于20,求a 的取值范围.【答案】（1）()()12-∞-⋃+∞，，（2）()0,4 【解析】【详解】(Ⅰ)当2a =时，不等式为22x x +<.若2x ≥-，则22x x +<，解得2x >或1x <-，结合2x >-得2x >或21x -≤<-. 若2x <-，则22x x --<，不等式恒成立，结合2x <-得2x <-.第 21 页 共 21 页 综上所述,不等式解集为()()12-∞-⋃+∞，，. (Ⅱ)()21,1121,121,x x a g x x a x a a a x a x x a -≥+⎧⎪=++--=+-<<+⎨⎪-+≤-⎩则()g x 的图象与直线11y =所围成的四边形为梯形,令2111x -=,得6x =,令2111x -+=，得5x =-,则梯形上底为21a +, 下底为 11,高为()1121102a a -+=-.()()1121S 102202a a ⎡⎤++⎣⎦=->. 化简得2200a a +-<，解得5a 4-<<，结合0a >，得a 的取值范围为()0,4. 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2019届湖南省长沙市雅礼高三下学期一模数学（理）试题
2019届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期一模数学（理）试题一、单选题1．a 为正实数，i 为虚数单位，，则a=（ ）A ．2B ．C ．D ．1【答案】B 【解析】略2．已知集合123A x z z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，{}2450B x x x =--≤，则A B =（ ） A ．{}1,0,1,3- B ．1,0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2,3【答案】A【解析】分别求解出集合,A B ，再求解A B 即可【详解】{}{}15,9,7,6,5,4,2,1,0,1,3,9,|15A B x x =--------=-≤≤ {}1,0,1,3A B ∴⋂=-故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的求解，集合交集的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 3．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元． 【答案】C【解析】利用图表中的数据进行分析即可求解. 【详解】对于A 选项：2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A 正确；对于B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP 均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B 正确；对于C 选项：2017年第一季度GDP 总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C 错误； 对于D 选项：去年同期河南省的GDP 总量14067.43815.5740001 6.6%⨯≈<+，故D正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.4．设02x π≤≤，且sin cos x x =-，则（ ） A ．0x π≤≤ B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤【答案】C【解析】将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sin cos x x ，即可求出x 的范围. 【详解】1sin 2-==|sin cos |x x =- sin cos x x =-sin cos 0,x x ∴- 即sin cos x x 02x π544xππ∴故选：C 【点睛】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sin ,cos x x 的关系即可求解，属于简单题目. 5．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ）A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C【解析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确. 故选:C. 【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目. 6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ）A ．2B ．0C ．2-D ．2±【答案】B【解析】根据函数的奇偶性及题设中关于()g x 与()1f x -关系，转换成关于()f x 的关系式，通过变形求解出()f x 的周期，进而算出()2019f . 【详解】()g x 为R 上的奇函数，()()()()010,g f g x g x ∴=-=-=-()()()10,11f f x f x ∴-=--=--，()()2f x f x ∴-=--而函数()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()2f x f x ∴=--()()24f x f x ∴-=--，()()4f x f x ∴=-故()f x 为周期函数，且周期为4()()201910f f ∴=-=故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.7．若()*3nx n N ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a，则aa-=（ ）A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π【答案】C【解析】()*3x nn N ∈展开式的通项为()52133,0,1,,rn r n rrn r r r n n T C x C x r n ---+===，因为展开式中含有常数项，所以502n r -=，即25r n =为整数，故n 的最小值为5．所以5252aπ--⎰=⎰=.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.8．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，(1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（ ） A．BC ．6D ．【答案】D【解析】先根据向量坐标运算求出()3,3u v +=和cos ,u u v +，进而求出sin ,u u v +，代入题中给的定义即可求解.【详解】由题意()(1,3v u u v =--=，则()3,3u v +=，3cos,2u u v +=，得1sin ,2u u v +=，由定义知()1sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯=， 故选:D. 【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c bE x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．yx =± B ．2y x =±C ． y =D ．y =【答案】B【解析】先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，根据题意，得到1//EM PF ，再由22114F E F F =，根据勾股定理求出2b a =，从而可得渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形，所以1290F PF ∠=， 又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ，所以1//EM PF ，又22114F E F F =，所以144b PF b =⋅=， 因此22PF a b =+，因此有222(2)4b a b c ++=，所以2b a =，因此渐近线的方程为2y x =±. 故选B 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 10．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（ ） A ．3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 【答案】B【解析】根据函数()f x 的一个零点是3x π=，得出03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，再根据6x π=-是对称轴，得出,62k k Z ππωϕπ--=+∈，求出w 的最小值与对应的ϕ，写出()f x 即可求出其单调增区间. 【详解】 依题意得，2sin 1033f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1sin 32πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得1236k πωπϕπ+=+或25236k πωπϕπ+=+（其中1k ，2k ∈Z ）.① 又sin 16πωϕ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭，即362k πωπϕπ-+=+（其中3k ∈Z ）.②由①-②得()13223k k πωππ=--或()23223k k πωππ=-+，即()132223k k ω=--或()232223k k ω=-+（其中1k ，2k ，3k ∈Z ），因此ω的最小值为23.因为sin sin 169πωπϕϕ⎛⎫⎛⎫-+=-+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以92k ππϕπ-+=+（k ∈Z ）. 又0ϕπ<<，所以29ππϕ=+，所以()222sin 12cos 132939f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22239k x k ππππ-≤+≤（k ∈Z ），则53336k x k ππππ-≤≤-（k ∈Z ）. 因此，当ω取得最小值时，()f x 的单调递增区间是53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 故选：B 【点睛】此题考查三角函数的对称轴和对称点，在对称轴处取得最值，对称点处函数值为零，属于较易题目.11．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π【答案】A【解析】画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据13OO ，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC 和sin AEC ∠，即可求半径从而求外接球表面积； 【详解】如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==.法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =28S π=；法二：13OO =7R =28S π=；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，7AE =AC 33=cos 27427AEC∠==⋅⋅，33sin 27AEC ∠=，33227sin 3327AC R AEC ===∠7R =28S π=. 故选：A 【点睛】此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.12．已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()12128f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,1--B ．()2,1--C ．(],3-∞-D ．(],2-∞-【答案】D【解析】求解()f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数12,x x ，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()2221224ax a a f x ax x x+++'=+=， 当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,∞+单调递减；不妨设12x x <，而1a <-，知()f x 在()0,∞+单调递减， 从而对任意1x 、()20,x ∈+∞，恒有()()12128f x f x x x -≥-，即()()12128f x f x x x -≥-，()()()12218f x f x x x -≥-，()()112288f x x f x x ≥++，令()()8g x f x x =+，则()2248a g x ax x+'=++，原不等式等价于()g x 在()0,∞+单调递减，即1240a ax x+++≤， 从而()222214122121x x a x x ---≤=-++，因为()22212221x x --≥-+，所以实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：D. 【点睛】此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.二、填空题13．设变量x ，y ，z 满足约束条件3123x y x y x y +⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值是______. 【答案】7【解析】作出不等式组3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域,得到如图的△ABC 及其内部,其中A (2,1),B (1,2),C (4,5)设z =F (x ,y )=2x +3y ，将直线l :z =2x +3y 进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最小值 ∴z 最小值=F (2,1)=714．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________． 【答案】13. 【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值. 详解：由题意可知了，比赛可能的方法有339⨯=种，其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马， 田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马， 结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为3193p ==. 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 15．过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若MN =，则l 的斜率为______.【解析】分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A '，B '，N '，根据抛物线定义和MN AB =求得MNN '∠，从而求得直线l 的倾斜角. 【详解】分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A '，B '，N '，由抛物线的定义知AF AA '=，BF BB ='，()1122NN AA BB AB '''=+=，因为MN =，所以NN '=，所以30MNN '∠=︒，即直线MN 的倾斜角为150︒，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为60︒，3AB k =.故答案为：3 【点睛】此题考查抛物线的定义，根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解，属于较易题目.16．如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，65OC =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在BC 上，则裁出三角形面积的最大值为______.【答案】33【解析】分两种情况讨论：（1）斜边在BC 上，设PBC θ∠=，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，（2）若在若一条直角边在BC 上，设POH θ∠=，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值. 【详解】（1）斜边在BC 上，设PBC θ∠=，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则16cos 5PB θ=，16sin 5PC θ=， 从而116166464cos sin sin 22552525S θθθ=⋅⋅=≤. 当4πθ=时，max 6425S =此时85PH =，符合.（2）若一条直角边在BC 上，设POH θ∠=，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin PH θ=，2cos OH θ=， 由65OH OC ≤=知3cos 5θ≤. ()()()122cos 2sin 2sin 1cos 2S θθθθθ∴=+⋅=+， ()()()2cos 12cos 1S θθθ'=+-当πθ0,3时，()0S θ'>，()S θ单调递增， 当,32ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0S θ'<，()S θ单调递减， ()3364325S S πθ⎛⎫∴≤=>⎪⎝⎭.当3πθ=，即1cos 2θ=时，()S θ最大. 故答案为：332. 【点睛】此题考查实际问题中导数，三角函数和函数单调性的综合应用，注意分类讨论把所有情况考虑完全，属于一般性题目.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22181a a =+，公差0d >，1S 、4S 、16S 成等比数列，数列{}n b 满足()22log 1log n n b a x =-（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）已知11n n n c a a +=，求数列{}n n c b +的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-，1n n b x-=（0x >）；（2）11112211nn x T n x-⎛⎫=-+⎪+-⎝⎭. 【解析】（1）根据{}n a 是等差数列，22181a a =+，1S 、4S 、16S 成等比数列，列两个方程即可求出1,a d ，从而求得n a ，代入化简即可求得n b ；（2）化简n c 后求和为裂项相消求和，{}n n c b +分组求和即可，注意讨论公比是否为1. 【详解】（1）由题意知11S a =，4146S a d =+，16116120S a d =+，由42116S S S =⋅得()()21114616120a d a a d +=+，解得120d a =>.又()2221181a a d a =+=+，得211981a a =+，解得11a =或119a =-（舍）. 2d ∴=，21n a n =-.又()1222log 22log log n nb n x -=-=（0x >）， 1n n b x -∴=（0x >）.（2）()()111111212122121n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，①当1x =时，()()121n n n T c c c b b =++++++111221n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭. ②当1x ≠时，11112211nn x T n x-⎛⎫=-+⎪+-⎝⎭. 【点睛】此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目.18．如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是直角梯形,,//,AB AD AB CD PC ⊥⊥底面ABCD 224,2,AB AD CD PC a E ====,是PB的中点.（1）.求证:平面EAC ⊥平面PBC ; （2）.若二面角P AC E --的余弦值为63,求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）23. 【解析】试题分析：（1）根据PC ⊥平面ABCD 有PC AC ⊥，利用勾股定理可证明AC BC ⊥，故AC ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在C 点建立空间直角坐标系，利用二面角P AC E --的余弦值为6建立方程求得2PC =，在利用法向量求得PA 和平面EAC 所成角的正弦值. 试题解析：（Ⅰ）PC ⊥ 平面,ABCD AC ⊂平面,ABCD AC PC ∴⊥因为4,2AB AD CD ===,所以2AC BC ==,所以222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥,又BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ． （Ⅱ）如图，以点C 为原点， ,,DA CD CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,2,0,2,2,0C A B -.设()0,0,2(0)P a a >，则()1,1,E a -()()()2,2,0,0,0,2,1,1,CA CP a CE a ===-取()1,1,0m =-，则0,m CA m CP m ⋅=⋅=为面PAC 法向量．设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即{x yx y az+=-+=，取,,2x a y a z==-=-，则(),,2n a a=--依题意2cos,3m nm nm n a⋅〈〉===⋅+，则2a=．于是()()2,2,2,2,2,4n PA=--=-．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则2 sin cos,3PA nPA nPA nθ⋅=〈〉==⋅即直线PA与平面EAC19．已知圆M：(2264x y++=及定点()N，点A是圆M上的动点，点B在NA上，点G在MA上，且满足2NA NB=，0GB NA⋅=，点G的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线12y x=和12y x=-分别交于P、Q两点.当12k>时，求OPQ∆（O为坐标原点）面积的取值范围.【答案】（1）221164x y+=；（2）()8,+∞.【解析】（1）根据题意得到GB是线段AN的中垂线，从而GM GN+为定值，根据椭圆定义可知点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，即可求出曲线C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，表示处OPQ∆的面积代入韦达定理化简即可求范围.【详解】（1）2NA NBBGB NA⎧=⇒⎨⋅=⎩为AN的中点，且GB AN GB⊥⇒是线段AN的中垂线，AG GN∴=，又8GM GN GM GA AM MN+=+==>=，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，设椭圆方程为22221x yab+=（0a b>>），则4a=，c=，2b∴==，所以曲线C 的方程为221164x y +=.（2）设直线l ：y kx m =+（12k ≠±）， 由22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得()2221484160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以()()2222644144160km k m ∆=-+-=，22164m k =+.①又由20y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2,1212m m P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭；同理可得2,1212m m Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭.由原点O 到直线PQ的距离为d =P Q PQ x =-，可得22111222222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-.② 将①代入②得222224181441OPQm k S k k ∆+==--， 当214k >时，22241288184141OPQ k S k k ∆⎛⎫+⎛⎫==+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 综上，OPQ ∆面积的取值范围是()8,+∞. 【点睛】此题考查了轨迹和直线与曲线相交问题，轨迹通过已知条件找到几何关系从而判断轨迹，直线与曲线相交一般联立设而不求韦达定理进行求解即可，属于一般性题目. 20．超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii）若1p =-份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈ 【答案】（1）110（2）（i ）()111kp f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（k *∈N ，且2k ≥）.（ii ）最大值为4.【解析】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,利用古典概型、排列组合求解即可；（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,则可求得()21P ξ=,()21P k ξ=+,即可得到()2E ξ,进而由()()12E E ξξ=可得到p 关于k 的函数关系式；（ii ）由()()12E E ξξ>可得()11kp k<-,推导出1ln 3k k >,设()1ln 3f x x x =-（0x >）,利用导函数判断()f x 的单调性,由单调性可求出k 的最大值 【详解】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,则()232355A A 1A 10P A ==, ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为110（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,()()211k P p ξ∴==-,()()2111kP k p ξ=+=--,()()()()()2111111k k k E p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦,若()()12E E ξξ=,则()11kk k k p =+--,则()11kp k-=, 111k p k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111kp k ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭,∴p 关于k 的函数关系式为()111kp f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（k *∈N ,且2k ≥）（ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得()11k p k<-, 31p =-,1kk ∴<,1ln 3k k ∴>, 设()1ln 3f x x x =-（0x >）, 则()113f x x '=-,令()0f x '=,则13x =,∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减, 又ln 4 1.3863≈,41.33333≈, 4ln 43∴>, 又ln5 1.6094≈,51.66673≈, 5ln 53∴<,∴k 的最大值为4 【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性21．{}max ,m n 表示m ，n中的最大值，如{max =，己知函数{}2()max 1,2ln f x x x =-，2221()max ln ,242g x x x x a x a a ⎧⎫⎛⎫=+-+-++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.（1）设21()()3(1)2h x f x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，求函数()h x 在(]0,1上的零点个数；（2）试探讨是否存在实数()2,a ∈-+∞，使得3()42g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）个；（2）存在，ln 21(,2]4-. 【解析】试题分析：（1）设，对其求导，及最小值，从而得到的解析式，进一步求值域即可；（2）分别对和两种情况进行讨论，得到的解析式，进一步构造，通过求导得到最值，得到满足条件的的范围．试题解析：（1）设()()()()2211212ln ,2x x F x x x F x x x x-='+=---=，．．．．．．．．．．．．．1分 令()0F x '>，得()1,x F x >递增；令()0F x '<，得()01,x F x <<递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴()()min 10F x F ==，∴()0F x ≥，即212ln x x -≥，∴()21f x x =-．．．．．．．．．．．．．3分设()()21312G x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合()f x 与()G x 在(]0,1上图象可知，这两个函数的图象在(]0,1上有两个交点，即()h x 在(]0,1上零点的个数为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（或由方程()()f x G x =在(]0,1上有两根可得） （2）假设存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立， 则2223ln 42{1324422x x x a x a x a a x a+<+⎛⎫-+-++<+ ⎪⎝⎭，对()2,x a ∈++∞恒成立，即()()21ln 42{20x x ax x a -<+->，对()2,x a ∈++∞恒成立 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分①设()()1112ln ,222x H x x x H x x x'-=-=-=， 令()0H x '>，得()02,x H x <<递增；令()0H x '<，得()2,x H x >递减， ∴()()max 2ln 21H x h ==-，当022a <+<即20a -<<时，4ln 21a >-，∴ln 214a ->，∵0a <，∴4ln 21,04a -⎛⎫∈⎪⎝⎭． 故当ln 21,04a -⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当22a +≥即0a ≥时，()H x 在()2,a ++∞上递减，∴()()()12ln 212H x H a a a <+=+--． ∵()111ln 210222a a a '⎛⎫+--=-≤ ⎪+⎝⎭，∴()()20ln 210H a H +≤=-<， 故当0a ≥时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ②若()()220x x a+->对()2,x a ∈++∞恒成立，则22a a+≥，∴[]1,2a ∈-．．．．．．．．．．．11分 由①及②得，ln 21,24a -⎛⎤∈⎥⎝⎦．故存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立， 且a 的取值范围为ln 21,24-⎛⎤⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 【考点】导数应用.【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的的参数方程为4x aty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)P作直线l 的垂线交曲线C 于,D E 两点(D 在x 轴上方)，求11PD PE-的值. 【答案】（1）2y =-，24y x =；（2）12【解析】(1)利用代入法消去参数可得到直线l 的普通方程，利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得到曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线DE的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =得20t +-=，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果. 【详解】（1）由题意得点A的直角坐标为)，将点A代入4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩，则直线l的普通方程为2y =-.由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =. 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）设直线DE的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =得20t +-=．设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t ．则12t t +=-12t t =-，且120,0t t ><. 121212*********2t t PD PE t t t t t t +∴-=-=+==． 【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 23．已知函数()|2||23|f x x a x a =-+-+． （1）当2a =时，解关于x 的不等式()9f x ≤；（2）当2a ≠时，若对任意实数x ，()4f x ≥都成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|24}x R x ∈-≤≤（2）214(,][,)33-∞-+∞ 【解析】（1）当1a =时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对a 分成2a >和2a <两类，利用零点分段法去绝对值，将()f x 表示为分段函数的形式，求得()f x 的最小值，进而求得a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()31f x x =- 由()9f x ≤得13x -≤ 由13x -≤得313x -≤-≤ 解：313x -≤-≤，得24x -≤≤∴当2a =时，关于x 的不等式()9f x ≤的解集为{|24}x R x ∈-≤≤（2）①当2a >时，232aa <-，()333,233,232333,2x a x a a f x x a x a a x a x ⎧⎪-+>-⎪⎪=+-≤≤-⎨⎪⎪-+-<⎪⎩所以()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭是增函数，所以()min 3322a af x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由题设得3342a -≥，解得143a ≥.②当2a <时，同理求得23a ≤-. 综上所述，a 的取值范围为][214,,33⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.。
湖南雅礼中学2019届高三第五次模拟考试数学(理科)试题
湖南雅礼中学2019届高三第五次模拟考试数学（理科）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（）A. 3B. 4C. 31D. 32【答案】A【解析】【分析】求出集合，由此能求出集合A的真子集的个数．【详解】由题集合，∴集合A的真子集个数为．故选：A．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.命题：“，”的否定为A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，特称命题“”的否定为全称命题：，故选C.3.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先对两边取对数，求出的值，再根据对数的换底公式和运算性质计算，即可求出答案.详解：，，故选B.点睛：本题考查指对互化，对数的换底公式和运算性质，属于基础题.4.设，则等于（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】原积分化为根据定积分的计算法则计算即可【详解】由题故选：D．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题，5.已知曲线f(x)=lnx+在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为（）A. 1B. ﹣4C. ﹣D. ﹣1【答案】D【解析】分析：求导，利用函数f（x）在x=1处的倾斜角为得f′（1）=﹣1，由此可求a的值.详解: 函数（x＞0）的导数，∵函数f（x）在x=1处的倾斜角为∴f′（1）=﹣1，∴1+=﹣1，∴a=﹣1．故选：D．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．6.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（2）=﹣2，则满足f（x﹣1）≥﹣2的x的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C. [﹣1，﹣3]D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有，可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式．7.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A. B. （﹣2，1） C. D.【答案】C【解析】【分析】由是定义在上的奇函数，且满足，求出函数的周期，由此能求出实数的取值范围．【详解】∵是定义在上的奇函数，且满足，，函数的周期为4，则又，即，即解得故选C．【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=log a（|x|﹣1）的图象可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数在上为减函数，由此求得的范围，结合的解析式．再根据对数函数的图象特征，得出结论．【详解】由函数在上为减函数，故．函数是偶函数，定义域为函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，故选：C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题．9.已知函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1），则方程f（x）= 0在区间[0，6]上的解的个数是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】要求方程在区间上的解的个数，根据函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，可得一个周期内函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．【详解】∵时，令，则，解得，又∵是定义域为的的奇函数，∴在区间上，，又∵函数是周期为3的周期函数则方程在区间的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6共9个故选：D．【点睛】本题考查函数零点个数的判断，考查函数的奇偶性，周期性的应用，属中档题. 10.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【详解】：①当点P在AB上时，如图：②当点P在BC上时，如图：③当点P在CM上时，如图，综上①②③，得到的三个函数都是一次函数，由一次函数的图象与性质可以确定y与x的图形．只有A的图象是三个一次函数，且在第二段上y随x的增大而减小，故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．11.对于任意x∈R，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≥1时，函数f(x)＝lnx，若a＝f(2－0.3)，b＝f(log3π)，c＝f(－)，则a，b，c大小关系是( )A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称，当时，是单调增函数，∴在定义域上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．故选：A．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．12.设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，已知f'（x）＜f（x），且f'（x）=f'（4﹣x），f（4）=0，f（2）=1，则使得f（x）﹣2e x＜0成立的x的取值范围是（）A. （﹣2，+∞） B. （0，+∞） C. （1，+∞） D. （4，+∞）【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用的导数判断函数的单调性，求出不等式的解集即可．【详解】设则即函数在上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对称图形，且对称中心，由于，即函数过点，其关于点（的对称点（也在函数上，所以有，所以而不等式即即所以故使得不等式成立的的取值范围是故选：B．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的单调性和对称性解不等式的应用问题，属中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.已知命题p：“存在x∈R，使”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_____．【答案】【解析】试题分析：非p即：“对任意x∈R， 4x+2x+1+m0”，如果“非p”是假命题，即m－4x－2x+1，而令t=，y===，，所以m<0，故答案为。
2019年湖南高考模拟第二次教学质量检测数学理试题
2019年湖南高考模拟第二次教学质量检测数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2≤x}，则M ∩N=A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}2.命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1 C. 若tan α≠1，则α≠4π D. 若tan α≠1，则α=4π 3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是4.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg5. 已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为 A 220x -25y =1 B 25x -220y =1 C 280x -220y =1 D 220x -280y =16. 函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为A [ -2 ,2]B ]C [-1,1 ]D , ] 7. 在△ABC 中，AB=2 AC=3 AB ·BC =A B C D 8 ，已知两条直线l1 ：y=m 和 l2 ： y=821m +(m ＞0)，l1与函数y=|log2x|的图像从左至右相交于点A ，B ，l2 与函数y= y=|log2x|的图像从左至右相交于C,D 记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，b a的最小值为A B C D二 ，填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第9.10 11三题中人选两题作答案，如果全做，则按前两题记分 ）9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1：x=t+1 (t 为参数)与曲线C2 ：x=asin θY= 1-2t y=3cos θ(θ为参数，a ＞0 ) 有一个公共点在X 轴上，则a 等于 ————10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.11.如图2，过点P 的直线与圆O 相交于A ，B 两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O 的半径等于_______(二)必做题（12~16题）12.已知复数z=（3+i ）2(i 为虚数单位)，则|z|=_____.13.()6的二项展开式中的常数项为 。
湖南省雅礼中学2019届高三高考模拟卷(二)数学(文)试题 含解析
【点睛】本题 考点是数列的应用，主要考查的数列的求和，由于已知的数列 即不是等差数列，又不是等比数列，故无法直接采用公式法，我们可以采用分组求和法．
16.已知三棱锥 的各顶点都在球面上， , 平面 , ， ,若该球的体积为 ，则三棱锥 的表面积为__________．
【答案】27
【解析】
【解析】
【分析】
（1）推导出PQ⊥平面ABCD，PQ⊥AD，CD∥BQ，从而BQ⊥AD，进而AD⊥平面PBQ，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）连接AC与BQ交于点N，则N为AC中点，则点M到平面PAB的距离是点C到平面PAB的距离的 ，求出三棱锥P-ABC的体积V= ，PAB的面积为 ，设点M到平面PAB的距离为d，由VC-PAB=VP-ABC，能求出点M到平面PAB的距离．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可．
【详解】函数 是偶函数，排除选项B，当x=2时，f（2）= ＜0，对应点在第四象限，排除A，C；
故选：D．
【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力．
6.“ ”是“方程 为椭圆”的（ ）
【详解】如图：
由双曲线C的方程可知：a2=1，b2=8，∴c2=a2+b2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E（-3，0），右焦点F（3，0），
∵|AF|= ，所以当三角形APF的周长最小时，|PA|+|PF|最小．
由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，
又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A，P，E三点共线时，等号成立．
湖南省长沙市雅礼雨花中学2019年高三数学理模拟试题含解析
湖南省长沙市雅礼雨花中学2019年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，设，则的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：B略2. 若实数a，b满足，则ab的最小值为（）A．B．2 C．D．4参考答案：A【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：实数满足，∴a，b＞0，∴≥2，化为：ab，当且仅当b=2a=．则ab的最小值为．故选：A．3. 函数的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】求出函数的零点个数，图象所过象限及极限值，利用排除法，可得答案．【解答】解：令函数=0，则x=0，或x=，即函数有两个零点，故排除B；当0＜x＜时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由=0，可排除D，故选：A4. 已知函数有零点，则实数的取值范围是（）A、B、C、D、参考答案：B5. 已知M是抛物线上一点，F是抛物线C的焦点，若是抛物线的准线与轴的交点，则A. B. C. D.参考答案：B6. 在平面直角坐标系中，方程+=1所表示的曲线是（）A．椭圆B．三角形C．菱形D．两条平行线参考答案：C【考点】曲线与方程．【分析】去掉绝对值，可得方程+=1的曲线围成的封闭图形．【解答】解：x≥0，y≥0方程为+=1；x≥0，y≤0方程为﹣=1；x≤0，y≥0方程为﹣+=1；x≤0，y≤0方程为﹣﹣=1，∴方程+=1的曲线围成的封闭图形是一个以（0，4），（2，0），（0，﹣4），（﹣2，0）为顶点的菱形，故选：C．【点评】本题考查的知识点是曲线与方程，分析出几何体的形状是解答的关键，难度中档．7. 已知函数的反函数. 若的图象过点(3,4)，则a等于A． B． C． D．2参考答案：D8. 执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）A．3 B．126 C．127 D．128参考答案：C略9. 若函数则A. B. C.D.参考答案：D10. 设是等比数列{a n}的前n项和，，则的值为（）A．或-1 B．1或C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，满足且的最大值为7，最小值为1，则参考答案：略12. 在极坐标系中，直线与圆相交的弦长为＿＿＿＿参考答案：13. 将曲线，上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的倍后，得到的曲线的焦点坐标为 .参考答案：（±,0）14. 设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．参考答案：﹣8【考点】简单线性规划．【分析】作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8【解答】解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x﹣3y为将直线l：平移，因为直线l在y轴上的截距为﹣，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=﹣2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（﹣2，2）将A（﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值z min=﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣815. 曲线在点(0,1)处的切线方程为__________.参考答案：【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。
2019届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟数学(理)试题Word版含解析
2019届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟数学（理）试题一、选择题1．已知x R ∈，则“1x <”是“21x <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】B【解析】()()()()21,111,11,,11,1x x x x <∴+-<∴-<<∴-∞⊇- , 1x ∴< 时， 21x <的必要不充分条件，故选B.2．若复数z 为纯虚数且()1i z a i +=-（其中i 是虚数单位， a R ∈），则a z += （ ）【答案】A【解析】()()()()()1i i,1i 1i 1i i z a z a +=+∴-+=-+ , ()211i,z a a ∴=+-- 因为复数z 为纯虚数,所以10,1,,a a z i +==-= 则1+|a z i +==，故选A.3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为3，3，则输出v 的值为（ ）A. 16B. 18C. 48D. 143 【答案】C【解析】初始值3,3n x == ，程序运行过程如下表所示： 1,i=2v = ，满足条件i 0≥ ，执行循环体，1325,1v i =⨯+== ；满足条件i 0≥ ，执行循环体， 53116,0v i =⨯+== ；满足条件i 0≥ ，执行循环体， 163048,1v i =⨯+==- ，不满足条件i 0≥，退出循环，输出v 的值为48 ，故选C. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．已知非零向量,,a b c 满足0a b c ++=，向量,a b 的夹角为120°，且2b a =，则向量a 与c 的夹角为 （ ）A. 180°B. 150°C. 120°D. 90° 【答案】D【解析】0a b c c a b ++=⇒=-- ，设a 与c 的夹角为θ ，则根据向量的数量积可得()2···c o s ···a a b a a b a c a c a a b a a bθ----===--+，根据a与b关系，()22··cos120,a b a b a a b a b ==-+=--222?3a b a b a ++= ，代入可得cos 0θ= ，则为两向量垂直，夹角为90 ，故选D.5．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，且125,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A. 36 B. 49 C. 64 D. 81【答案】C 【解析】1252,6a aa a =-=+ ,()()22152226a a a a a ∴==-+ , 解得218873,1,82642a a S ⨯===+⨯= ，故选C. 6．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为 （ ）A. 88B. 98C. 108D. 168【答案】A【解析】由三视图知：几何体是直三棱柱，且三棱柱高为4 ，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6 ，高为4 ，所以腰长为5 ，所以底面三角形的周长为55616++= ，所以几何体的表面积()126455642464882S =⨯⨯⨯+++⨯=+= ，故选A. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2014年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据： lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30≈≈≈ ）（ ） A. 2017年 B. 2018年 C. 2019年 D. 2020年 【答案】D【解析】设经过年后全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得()13010.12200x+=，则1.1220log 13x =，即lg20lg131lg21lg1.30.3011194lg1.12lg1.120.055x -+---====≈，故201642020+=，应选答案D 。
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三5月考二数学(理)试题含解析
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三5月考试题数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的1.已知集合，则A B＝A. B. (1,2) C. (2, ) D. （，0）【答案】A【解析】【分析】解集合A与集合B，求得集合的交集即可。
【详解】解集合A可得集合B为}所以A B＝所以选A【点睛】本题考查了集合的简单并集运算，属于基础题。
2.设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个数大于1”是“x2＋y2＞2”成立的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分、必要条件的判断，分别作为条件推理即可。
【详解】若x，y中至少有一个数大于1（如x=1.1，y=0.1），则x2＋y2＞2不成立若x2＋y2＞2（如x=-2，y=-2）则x，y中至少有一个数大于1不成立所以“x，y中至少有一个数大于1”是“x2＋y2＞2”成立的既非充分又非必要条件所以选D【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，属于基础题。
3.已知直线m，n和平面，满足m⊥n，m⊥，⊥，则A. n⊥B. n∥C. n∥或nD. n∥或n【答案】D【解析】【分析】根据空间几何的垂直平行关系，找出反例即可。
【详解】根据条件，画出示意图反例如下图可分别排除A、B、C所以选D【点睛】本题考查了空间几何垂直平行关系的判断，注意解题方法的选择，属于基础题。
2019年湖南省长沙市高中学业水平考试模拟试卷二(附中版)数学(理)试题Word版含答案
2019年湖南省长沙市高中学业水平考试模拟试卷二(附中版)数学（理）试题数 学(Ⅱ)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量120分钟，满分100分．一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{}1， 3， 4，6，B ＝{}2， 4， 5，6，则A ∩∁U B 等于A.{}1， 3B.{}2， 5C.{}4 D2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的一个单调增区间为 A.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，7π4 B.⎝⎛⎭⎪⎫－π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π43．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18 4．已知直线l 1：()m ＋2x －()m －2y ＋2＝0，直线l 2：3x ＋my －1＝0，且l 1⊥l 2，则m 等于 A ．－1 B. 6或－1 C. －6 D. －6或15．已知{}a n 是等比数列，前n 项和为S n ，a 2＝2，a 5＝14，则S 5＝A.132 B.314 C.334 D.10186．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2，1)，若a 与b 的夹角大小为90°，则实数k 的值为 A ．－12 B.12C ．－2D ．27．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为A ．11B ．10C ．9D ．8.58．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为A.(－1，0) B ．(0，9．已知偶函数f (x )在区间}＝________． 三、解答题：本大题共5小题，共40分． 21．(本小题满分6分)已知函数f (x )＝log 21＋x1－x ，x ∈(－1，1)．(Ⅰ)判断f (x )的奇偶性，并证明；(Ⅱ)判断f (x )在(－1，1)上的单调性，并证明．22．(本小题满分8分)一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(Ⅰ)若直线l ：x ＋y －5＝0，求点P (b ，c )恰好在直线l 上的概率；(Ⅱ)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一个根属于集合{1，2，3，4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．23．(本小题满分8分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，SA ⊥底面ABCD ，M 为SA 的中点，N 为CD 的中点． (Ⅰ)证明：平面SBD ⊥平面SAC . (Ⅱ)证明：直线MN ∥平面SBC .24．(本小题满分8分)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，其中n ∈N *. (Ⅰ)写出a 2，a 3及a n ；(Ⅱ)记数列{a n }的前n 项和为S n ，设T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n，试判断T n 与1的关系；(Ⅲ)对于(Ⅱ)中S n ，不等式S n ·S n －1＋4S n －λ(n ＋1)S n －1≥0对任意的大于1的整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．25．(本小题满分10分)已知直线x ＋y －2＝0被圆C ：x 2＋y 2＝r 2所截得的弦长为8. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 切于点P ，当直线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点P 的坐标．附加题：(附加题不记入总分) 1．(本小题满分12分)已知定点A (0，1)，B (0，－1)，C (1，0)．动点P 满足：AP →·BP →＝k |PC →|2. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型； (Ⅱ)当k ＝2时，求|2AP →＋BP →|的最大、最小值．2．(本小题满分12分)已知数列{}a n ，{}b n 都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项)，则得到一个新数列{}c n .(Ⅰ)设数列{}a n 、{}b n 分别为等差、等比数列，若a 1＝b 1＝1，a 2＝b 3，a 6＝b 5，求c 20；(Ⅱ)设{}a n 的首项为1，各项为正整数，b n ＝3n，若新数列{}c n 是等差数列，求数列{}c n 的前n 项和S n ；(Ⅲ)设b n ＝qn －1(q 是不小于2的正整数)，c 1＝b 1，是否存在等差数列{}a n ，使得对任意的n ∈N *，在b n与b n ＋1之间数列{}a n 的项数总是b n ？若存在，请给出一个满足题意的等差数列{}a n ；若不存在，请说明理由．2019年湖南省长沙市高中学业水平考试模拟试卷二(附中版)数学（理）试题参考答案一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.13.D 【解析】因为40800＝120，故各层中依次抽取的人数分别是16020＝8，32020＝16，20020＝10，12020＝6.14．B 【解析】由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 16．120 17．318.π3 【解析】由已知，sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，可求cos β＝cos ＝12，所以β＝π3.19.221320．－5三、解答题：本大题共5小题，共40分．21．【解析】(Ⅰ)证明：f (－x )＝log 21＋（－x ）1－（－x ）＝log 21－x1＋x＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－log 21＋x 1－x＝－f (x )，又x ∈(－1，1)，所以函数f (x )是奇函数．(3分) (Ⅱ)设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x 2)－f (x 1)＝log 21＋x 21－x 2－log 21＋x 11－x 1＝log 2（1－x 1）（1＋x 2）（1＋x 1）（1－x 2）因为1－x 1＞1－x 2＞0；1＋x 2＞1＋x 1＞0所以（1－x 1）（1＋x 2）（1＋x 1）（1－x 2）>1，所以log 2（1－x 1）（1＋x 2）（1＋x 1）（1－x 2）>0所以函数f (x )＝log 21＋x 1－x在(－1，1)上是增函数．(6分)22．【解析】(Ⅰ)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个，(1分)当b ＋c ＝5时，(b ，c )的所有取值为(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(2分) 所以所求概率为P 1＝416＝14.(3分)(Ⅱ)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1，2)，(2，3)，(3，4)， 所以方程为“漂亮方程”的概率为P 2＝316.(8分)23．【解析】证明：(Ⅰ)∵底面ABCD 是菱形， ∴BD ⊥AC ，∵SA ⊥底面ABCD ，∴BD ⊥SA ， ∵SA 与AC 交于A, ∴BD ⊥平面SAC ， ∵BDSBD ，∴平面SBD ⊥平面SAC .(4分)(Ⅱ)取SB 中点E ，连接ME ，CE, ∵M 为SA 中点，∴ME ∥AB 且ME ＝12AB ，又∵ABCD 是菱形，N 为CD 的中点， ∴CN ∥AB 且CN ＝12CD ＝12AB ，∴CN ∥EM ，且CN ＝EM,∴四边形CNME 是平行四边形， ∴MN ∥CE ， 又MNSBC, CE SBC ，∴直线MN ∥平面SBC .(8分)24．【解析】(Ⅰ) 依题可得a 2＝a 1＋2＝4，a 3＝a 2＋2＝6, 依题可得{a n }是公差为2的等差数列，∴a n ＝2n .(2分)(Ⅱ) ∵ S n ＝n (n ＋1)，∴1S n＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.(5分) (Ⅲ)依题可得n (n ＋1)·(n －1)n ＋4n (n ＋1)－λ(n ＋1)(n －1)n ≥0, 即(n －1)n ＋4－λ(n －1)≥0， 即λ≤n ＋4n －1对大于1的整数n 恒成立，又n ＋4n －1＝n －1＋4n －1＋1≥5， 当且仅当n ＝3时，n ＋4n －1取最小值5, 所以λ的取值范围是(－∞，5]．(8分) 25．【解析】(Ⅰ)因为圆C 的圆心到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|0＋0－2|12＋12＝2，(1分) 所以r 2＝d 2＋(82)2＝(2)2＋42＝18.(2分)所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝18.(3分)(Ⅱ)设直线l 与圆C 切于点P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)， 则x 20＋y 20＝18.(4分)因为k OP ＝y 0x 0，所以圆的切线的斜率为－x 0y 0.则切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝18.(5分)则直线l 与x 轴正半轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18x 0，0，与y 轴正半轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，18y 0.所以围成的三角形面积为S ＝12×18x 0×18y 0＝162x 0y 0.因为18＝x 20＋y 20≥2x 0y 0，所以x 0y 0≤9. 当且仅当x 0＝y 0＝3时，等号成立．(8分) 因为x 0>0，y 0>0，所以1x 0y 0≥19， 所以S ＝162x 0y 0≥1629＝18.所以当x 0＝y 0＝3时，S 取得最小值18.所以所求切点P 的坐标为(3，3)．(10分) 附加题：(附加题不记入总分)1．【解析】(Ⅰ)设动点坐标为P (x ，y )，则＝(x ，y －1)，＝(x ，y ＋1)，＝(1－x ，－y )．因为·＝k ||2， 所以x 2＋y 2－1＝k ，(1－k )x 2＋(1－k )y 2＋2kx －k －1＝0. 若k ＝1，则方程为x ＝1，表示过点(1，0)且平行于y 轴的直线．若k ≠1，则方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 1－k 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－k 2，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，0为圆心，以1|1－k | 为半径的圆． (Ⅱ)当k ＝2时，方程化为(x －2)2＋y 2＝1，因为2＋＝(3x ，3y －1)， 所以|2＋|＝9x 2＋9y 2－6y ＋1.又x 2＋y 2＝4x －3，所以|2＋|＝36x －6y －26.因为(x －2)2＋y 2＝1，所以令x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ， 则36x －6y －26＝637cos(θ＋φ)＋46∈． 所以|2＋|的最大值为46＋637＝3＋37， 最小值为46－637＝37－3.2．【解析】(Ⅰ)设等差数列{}a n 的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q21＋5d ＝q 4，解得d ＝0或3，因数列{}a n ，{}b n 单调递增， 所以d >0，q >1，所以d ＝3，q ＝2，所以a n ＝3n －2，b n ＝2n －1.因为b 1＝a 1，b 3＝a 2，b 5＝a 6，b 7>a 20，所以c 20＝a 17＝49. (Ⅱ)设等差数列{}c n 的公差为d ，又a 1＝1，且b n ＝3n，所以c 1＝1，所以c n ＝dn ＋1－d . 因为b 1＝3是{}c n 中的项， 所以设b 1＝c n ，即d (n －1)＝2. 当n ≥4时，解得d ＝2n －1<1，不满足各项为正整数； 当b 1＝c 3＝3时，d ＝1，此时c n ＝n ，只需取a n ＝n ，而等比数列{}b n 的项都是等差数列{}a n 中的项，所以S n ＝12n (n ＋1)；当b 1＝c 2＝3时，d ＝2，此时c n ＝2n －1，只需取a n ＝2n －1，由3n＝2m －1，得m ＝3n＋12，3n 是奇数，3n＋1 是正偶数，m 有正整数解，所以等比数列{}b n 的项都是等差数列{}a n 中的项，所以S n ＝n 2.综上所述，数列{}c n 的前n 项和S n ＝12n (n ＋1)或S n ＝n 2.(Ⅲ)存在等差数列{}a n ，只需首项a 1∈(1，q )，公差d ＝q －1.下证b n 与b n ＋1之间数列{}a n 的项数为b n .即证对任意正整数n ，都有⎩⎪⎨⎪⎧b n <ab 1＋b 2＋…＋b n －1＋1b n ＋1>ab 1＋b 2＋…＋b n，即⎩⎪⎨⎪⎧b n <a 1＋q ＋q 2＋…＋qn －2＋1b n ＋1>a 1＋q ＋q 2＋…＋qn －1成立． 由b n －a 1＋q ＋q 2＋…＋qn －2＋1＝qn －1－a 1－(1＋q ＋q 2＋…＋qn －2)(q －1)＝1－a 1<0，b n＋1－a1＋q＋q2＋…＋qn－1＝q n－a1－(1＋q＋q2＋…＋q n－2＋q n－1－1)(q－1)＝q－a1>0.a n符合题意．所以首项a1∈(1，q)，公差d＝q－1的等差数列{}。
配套K12湖南省长沙市雅礼中学2019届高三数学上学期月考试题二 理
雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是合题目要求的1．已知集合{}{}220,lg(1)A x x x B x y x =-<==-，则AUB ＝A ．(0,)+∞B ．(1,2)C ．(2, +∞)D ．（-∞，0） 2．设x ，y 是两个实数，则“x ，y 中至少有一个数大于1”是“x 2＋y 2＞2”成 立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 3．已知直线m ，n 和平面a ，B 满足m ⊥n ，m ⊥α，a⊥β，则A ．n ⊥βB ．n ∥αC ．n ∥β或n β⊂D ．n ∥α或n α⊂ 4．△ABC 中，点D 在AB 上，满足2AD DB =．若,CB a CA b ==，则CD = A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b +D ．4355a b +5．设lg a e =，2(lg )b e =，lg c =A ． a >b >cB ．a >c >bC ． c >a >bD ． c >b >a6，现有四个函数：①sin y x x =，②cos y x x =，③cos y x x =，④2xy x =⋅的 图像（部分）如下，但顺序打乱了，则按照从左到右将图象对应的序号排列正确的组是A ．①③②④B ．②①③④C ．③①④②D ．①④②③7．数列{}n a 满足：a 1＝1，a 2＝－1，a 3＝－2，a n ＋2＝a n+1－a n （n N ∈），则数列{}n a 的前2019项的和为A ．1B ．—2C ．-1514D ．-1516 8．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3b 的取值范围是 A．[1,1-+ B．[1-+ C．[1- D．[1- 9．若sin ,(0,),()cos ,x x aa f x x x aπ>⎧∈=⎨≤⎩的图像关于点（a ，0）对称，则f (2a )=A ．1-B ．12-C ．0 D．2-10．已知圆O 的半径为2，A ，B 是四上两点且∠AOB 23π=，MN 是一条直径点C 在圆内且满足(1)(01)OC OA OB λλλ=+-<<，则CM CN ⋅的最小值为A ．-3 B．．0 D ．2 11．正三棱锥S －ABC 的外接球半径为2，底边长AB ＝3，则此棱锥的体积为 AB或4C12．已知函数(),()ln(2)4x aa x f x x eg x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使得00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为A ．ln 21--B ．ln21-C ．ln 2-D ． l n 2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知实数x ，y ，z 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则z ＝x ＋2y 的最小值为___________。
2019届湖南省雅礼高考模拟（二）数学（文）试题
2019届湖南省雅礼中学高考模拟（二）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}1,0,1,|1A B x N x =-=∈<，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{1,-0，1}D ．(),1-∞【答案】C【解析】首先简化集合B ，然后根据并集的定义得结果. 【详解】B={x ∈N|x ＜1}={0}，A ∪B={-1，0，1}∪{0}={-1，0，1}． 故选：C ． 【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 2．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．2(1)i i + B ．()21i i -C ．2(1)i +D ．()1i i +【答案】C【解析】2i 1+i)i 2i=-2,=⋅（2i (1i)1i -=-+ ,2(1i)2i += ,i(1i)1i +=-+ ,所以选C.3．在正方体1111ABCD A B C D -中, 1AD 与BD 所成的角为（ ） A ．45? B ．90C ．60D ．120【答案】C【解析】通过平移直线作出异面直线AD 1与BD 所成的角，在三角形中即可求得． 【详解】如图，连结BC 1、BD 和DC 1，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，由AB=D 1C 1，AB ∥D 1C 1，可知AD 1∥BC 1， 所以∠DBC 1就是异面直线AD 1与BD 所成角，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 1、BD 和DC 1是其三个面上的对角线，它们相等． 所以△DBC 1是正三角形，∠DBC 1=60° 故异面直线AD 1与BD 所成角的大小为60°． 故选：C ． 【点睛】本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面角．4．设x ，y 满足约束条件则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z 取得最大值，故，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．5．函数()24412x f x x-+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可． 【详解】函数2441()2x f x x -+=是偶函数，排除选项B ，当x=2时，f （2）=1532-＜0，对应点在第四象限，排除A ，C ； 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力．6．“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：若方程22126x ym m+=--表示椭圆，则20{6026m m m m->->-≠-，解得26m <<且4m ≠，所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．【考点】椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．7．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比净利润占比则下列判断中不正确．．．的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器营销亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B【解析】结合表中数据，对选项逐个分析即可得到答案。
2019届湖南省长沙市高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019届湖南省长沙市高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求再求即可【详解】因为，，所以，.故选：D【点睛】本题考查集合的运算，熟记并集与补集的定义，准确计算是关键，是基础题2．已知复数，则复数在复平面内对应点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先化简z,再求即可【详解】因为，所以，对应点的坐标为.故选：A【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，熟记定义，准确计算是关键，是基础题3．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【答案】C【解析】先求渐近线的斜率，再求e即可【详解】依题意可得，则，所以.故选：C【点睛】本题考查双曲线的几何性质，渐近线，熟记性质，准确计算是关键，是基础题4．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为，则，分别为（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案.【详解】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为数据的平均数为：，数据的方差为，数据的方差为：故选C.【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．已知变量满足约束条件，则的最小值为（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】先画出可行域，再结合z的几何意义，数形结合求解即可【详解】作出可行区域（如图阴影所示），化直线为,可知当直线经过点A取得最小值,此时解得A，∴的最小值为6故选：D【点睛】本题考查线性规划，数形结合思想，准确作图，熟练计算是关键，是基础题6．已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则（）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】C【解析】先确定为等差数列，由等差的性质得进而求得的通项公式和的通项公式，则可求【详解】由题意知为等差数列，因为，所以，因为，所以公差，则，即，故，于是.故选：C【点睛】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关键，是基础题7．已知是函数的极值点，则（）A．B．1 C．D．2【答案】B【解析】对函数求导，利用已知条件求得a,得到导函数，由极值点的定义求解即可【详解】，由，得.又，当x>0<x<故是函数的极值点，故成立故选：B【点睛】本题考查极值的定义，熟练计算是关键，注意检验，是基础题8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意首先确定几何体的结构特征，然后结合体积公式求解其体积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半柱而形成的几何体.故该几何体的体积为.故选：A.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9．已知，则的值域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】化为利用二次函数求值域即可【详解】因为，所以，由，得，所以.故选：B【点睛】本题考查二倍角公式，二次型函数求值域，熟记公式，准确计算是关键，是基础题10．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.设其中直角三角形中较小的锐角为，且，如果在弦图内随机抛掷1000米黑芝麻（大小差别忽略不计），则落在小正方形内的黑芝麻数大约为（）A．350 B．300 C．250 D．200【答案】D【解析】由二倍角的正切公式推导出，设大正方形为ABCD，小正方形为EFGH 边长为a，由tanθ，得大正方形边长为2a,利用大小正方形的面积比能求出落在小正方形内的黑芝麻数【详解】由，得，设大正方形为ABCD，小正方形为EFGH，且，由，得，，则，.落在小正方形内的黑芝麻数大约为.故选：D【点睛】本题考查三角函数的实际应用，二倍角的正切公式，直角三角形计算，熟记公式，准确计算是关键，是基础题11．已知函数，若实数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题,得为奇函数且单调递增，化为利用单调性求解即可【详解】由题，可知则为奇函数又,当x>0,故在单调递增，又为奇函数且连续，故在R上单调递增，所以可化为，∴，所以的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，考查抽象不等式的解法，熟练运用函数性质是关键，是中档题12．直线与抛物线C：交于A，B两点，直线，且l与C相切，切点为P，记的面积为S，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】设出坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求得到的距离，得到的面积为，作差后利用导数求最值．【详解】设，，联立，得则，则由，得设，则，则点到直线的距离从而．令当时，；当时，故，即的最小值为本题正确选项：【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.二、填空题13．已知，若的展开式中的系数比x的系数大30，则______．【答案】2【解析】利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得的值．【详解】展开式通项为：且的展开式中的系数比的系数大，即：解得：（舍去）或本题正确结果：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．已知两个单位向量和的夹角为，则在方向上的投影为__________．【答案】【解析】运用向量数量积的定义和性质，先求的值，再利用向量的投影公式，计算即可得到所求值．【详解】因为，所以在方向上的投影为.故答案为【点睛】本题考查向量的投影，数量积运算，数量积定义，熟记公式，准确计算是关键，是基础题15．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．【答案】【解析】利用导数的几何意义求a，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出．【详解】由题意知，则，，故，，故，.故答案为【点睛】本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题16．如图，在长方体中，，，点在棱上，当取得最小值时，，则棱的长为__________.【答案】【解析】把长方形展开到长方形所在平面，利用三点共线时取得最小值，利用勾股定理列方程组，解方程组求得的值.【详解】把长方形展开到长方形所在平面，如图，当，，在同一条直线上时，取得最小值，此时，令，，，则，得.【点睛】本小题主要考查空间中的最短距离问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题17．在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据余弦定理直接求解可得，进而可得；（2）由正弦定理角化边可得，再利用面积公式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，从而.（2）因为，所以，即.因为的面积为，所以，即，所以，解得.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.18．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为2的正三角形，，为的中点，为的中点.（1）证明：平面.（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）当时，直线与平面所成角的正弦值为. 【解析】（1）设为的中点，连接，，证明OE为三角形BPF的中位线，得即可证明（2）证明平面，由，过分别作，的平行线，分别以它们作为轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的法向量，假设线段上存在一点，设，得，由直线与平面所成角的正弦值为列的方程求解即可【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，则.∵，，，∴四边形为正方形.∵为的中点，∴为，的交点，∴为的中点，即OE为三角形BPF的中位线∴.∵平面，平面，∴平面.（2）∵，为的中点，∴.∵，∴，∴，.在中，，∴.又∵，∴平面.又因为，所以过分别作，的平行线，分别以它们作为轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.假设线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为.设，则，即.设平面的一个法向量为，则，即.取，得平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，令，得，化简并整理得，解得（舍去），或.所以，当时，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定，空间向量求线面角，空间想象力和推理能力，准确计算是关键，是中档题19．唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为.如果，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果，再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验.假设这批唐三彩的优质品概率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独立.（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；（2）已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为元，求的分布列及数学期望.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】（1）分两种情况研究唐三彩通过检验的概率相加即可求解（2）先列出可能的取值，再分别求概率列出分布列求解即可【详解】（1）设第一次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品为事件，第一次取出的3件唐三彩全是优质品为事件，第二次取出的3件唐三彩都是优质品为事件，第二次取出的1件唐三彩是优质品为事件，这批唐三彩通过检验为事件，依题意有，所以.（2）可能的取值为300，400，600，，，.所以的分布列为.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，概率加法公式，理解题意准确计算是关键，是基础题20．设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知点，过的直线交曲线于两点，交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）设点，，由条件的线段比例可得，，代入圆的方程中即可得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立得得，设，，由，结合韦达定理代入求解即可. 【详解】（1）设点，，因为，点在直线上，所以，.①因为点在圆：上运动，所以.②将①式代入②式，得曲线的方程为.（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，令，得的坐标为.由，得.设，，则有，.③记直线，，的斜率分别为，，，从而，，.因为直线的方程为，所以，，所以.④把③代入④，得.又，所以，故直线，，的斜率成等差数列.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学思想，考查了计算能力，属于中档题.21．设函数，.（1）证明：.（2）若恒成立，求的取值范围；（3）证明：当时，.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）令函数，证明其最小值大于等于0即可（2）原题转化为恒成立，令，求导求其最小值即可；（3）由（1），令，得，裂项相消求和得即可【详解】（1）证明：令函数，，，所以为单调递增函数，，故.（2），即为，令，即恒成立，，令，即，得.当，即时，在上单调递增，，所以当时，在上恒成立；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以不恒成立.综上所述：的取值范围为.（3）证明：由（1）知，令，，，，即，故有，，…，上述各式相加可得.因为，，，所以.【点睛】本题考查导数与函数的最值，利用导数求解恒成立问题，利用导数证明不等式，分类讨论思想，分析求解能力，第三问关键是利用（1）令,裂项求和，是中档题22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），其中，.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；（2）已知曲线与曲线交于两点，点，求的取值范围.【答案】（1）曲线的普通方程，其中，；曲线的直角坐标方程.（2）【解析】（1）根据参数方程与普通方程的互化，可得曲线的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得曲线的直角坐标方程.（2）将直线的参数方程代入曲线，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解，得到答案.【详解】（1）曲线的普通方程，其中，；曲线的直角坐标方程.（2）将代入，化简得，因为，所以.设两点对应的参数分别为，，则有，，，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及合理利用直线参数方程参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力属于基础题.23．已知函数.（1）解不等式；（2）若，，.证明：.【答案】(1) 或(2)见解析【解析】（1）根据不等式，分类讨论，即可求解不等式的解集，得到答案.（2）转化为证明，根据，即可得到证明. 【详解】（1）由题意，函数当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得.所以原不等式的解集为.（2）证明：要证，即证.因为，，所以，所以.故所证不等式成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及不等式的证明问题，其中解答中熟记含绝对值的不等式的求解方法，以及合理转化不等式的证明是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。
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绝密★启用前2019届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟卷(二)数学(理)试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题 1．集合10A x Rx ⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭，{}2|10B x R x =∈-<，则A B =U （ ） A ．(]1,0-B ．()1,0-C ．(),1-∞D ．(),1-∞-2．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等4．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r ，若()//2c a b +rr r ，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．125．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ）A ．212B ．9C ．172D ．76．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2π C ．52πD ．3π7．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 8．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个9．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ）A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-10．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ）A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．)+∞C ．(,-∞D ．(),3-∞-12．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．设实数x ，y 满足020560x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值是______.14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若()*32n n a S n N+=∈，则5S=______.15．已知实数0a ≠，对任意x ∈R ，有()52501251ax a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，且1240a a +=，则0125a a a a +++⋅⋅⋅+=______.16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱11A D ，11A B 的中点，P 是侧面正方形11BCC B 内一点（含边界），若//FP 平面AEC ，则线段1A P 长度的取值范围是______.三、解答题17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为24sin aA.（1）求sin sin B C ；（2）若10cos cos 1B C =-，a =ABC ∆的周长.18．已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.（1）求证：AB AC ⊥；（2）若侧面11ACC A 为正方形，求直线1B D 与平面1C AD 所成角的正弦值.19．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，且经过点31,2T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，斜率为()0k k >的直线1l 经过点()0,2M ，与椭圆C 交于G ，H 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在点(),0P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由.20．在最新公布的湖南新高考方案中，“312++”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？ （2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（3）某高校A 在其热门人文专业B 的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备A 高校B 专业报名资格的人数为X ，用样本的频率估计概率，求X 的分布列与期望.21．已知函数()()2ln 12a x f x x =++. （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，()'f x 为()f x 的导函数，设()()1212'18x m f x f x +=+⋅+，求m 的取值范围，并求m 取到最小值时所对应的a 的值.22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出直线的倾斜角；（2）记直线l 与y 轴的交点为,Q M 是曲线C 上的动点，求点,M Q 的最大距离. 23． 设函数(),0f x x a a =+>.(Ⅰ)当2a =时，求不等式()2f x x <的解集；(Ⅱ)若函数()()()1g x f x f x =+- 的图象与直线11y =所围成的四边形面积大于20,求a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】求出A 与B 中不等式的解集确定出A 与B ，利用并集定义求A 与B 的并集即可． 【详解】由题得{|0}A x x =<，{|11}B x x =-<<， 根据并集的定义知：{|1}A B x x ⋃=<， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了并集及其运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 2．C 【解析】 【分析】由复数除法求出z ，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得 【详解】 解析：()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+Q ，1122z i ∴=--， 对应点为11(,)22--，在第三象限． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键． 3．B 【解析】 【分析】由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论． 【详解】对于甲，179888282939185.86x +++++=≈；对于乙，272748189969985.26x +++++=≈，故A 正确；甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误； 对于甲，方差2126S ≈.5，对于乙，方差22106.5S ≈，故C 正确； 甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189852+=，故D 正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 4．A 【解析】 【分析】根据向量坐标运算求得2a b +rr，由平行关系构造方程可求得结果. 【详解】()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=rr()//2c a b +rr r Q 24λ∴=-，解得：2λ=-故选：A 【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=. 5．A 【解析】 【分析】先由题意可得数列{}n a 为等差数列，再根据1239a a a ++=，48a =，可求出公差，即可求出5a ． 【详解】数列{}n a 满足*212()n n n a a a n N +++=∈，则数列{}n a 为等差数列， 1239a a a ++=Q ，48a =，1339a d ∴+=，138a d +=，52d ∴=， 54521822a a d ∴=+=+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 6．A 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱， 半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1． 则几何体的体积为32145111233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 7．B 【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒>8．B 【解析】 【分析】圆心在FM 的中垂线上，经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆． 【详解】因为点(2,2)M 在抛物线22y x =上， 又焦点1(2F ，0)，由抛物线的定义知，过点F 、M 且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点共有2个，故过点F 、M 且与l 相切的圆的不同情况种数是2种． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上． 9．B 【解析】 【分析】根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可． 【详解】由(1)(1)f x f x +=-得()f x 关于1x =对称，若关于1x =对称，则函数()f x 在(0,)+∞上不可能是单调的， 故错误的可能是B 或者是D ， 若D 错误，则()f x 在(-∞，0]上是减函数，在()f x 在(0,)+∞上是增函数，则(0)f 为函数的最小值，与C 矛盾，此时C 也错误，不满足条件． 故错误的是B ， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键． 10．A 【解析】 【分析】结合已知可知，112T =可求T ，进而可求ω，代入()f x ，结合1()03f =，可求ϕ，即可判断． 【详解】Q 图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足12||1x x -=， ∴112T =即2T =，ωπ∴=，()sin()f x x πϕ=+，且11()sin()033f πϕ=+=，∴13k πϕπ+=，k Z ∈，1||2ϕπ<Q ，13ϕπ∴=-，1()sin()3f x x ππ=-，当16x =-时，1()16f -=-为函数的一个极小值点，而1(,0)66π-∈-．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用． 11．D 【解析】 【分析】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +)(0)t >，将其代入双曲线可解得． 【详解】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +)(0)t >，将其代入双曲线方程得：22(1))1t a ++=， 即2113t a -=+，由0t >得3a <-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 12．C 【解析】 【分析】由不等式恒成立问题分类讨论：①当0a =，②当0a <，③当0a >，考查方程1lna ae=-的解的个数，综合①②③得解． 【详解】①当0a =时，1()00x f x e -=>…，满足题意， ②当0a <时，0x e a ->，01(x ae ∃∈-，)+∞，10ax e+<，故()0()f x x R ∈…不恒成立， ③当0a >时，设()xg x e a =-，1()h x ax e=+，令()0xg x e a =-=，得x lna =，1()0h x ax e =+=，得1x ae=-， 下面考查方程1lna ae=-的解的个数， 设ϕ（a ）alna =，则ϕ'（a ）1lna =+ 由导数的应用可得：ϕ（a ）alna =在1(0,)e为减函数，在1(e，)+∞为增函数，则ϕ（a ）1min e=-，即1lna ae=-有一解， 又()xg x e a =-，1()h x ax e=+均为增函数，所以存在1个a 使得()0()f x x R ∈…成立， 综合①②③得：满足条件的a 的个数是2个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型. 13．3 【解析】 【分析】根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解． 【详解】作出实数x ，y 满足020560x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩……„表示的平面区域，如图所示： 由2z x y =-可得2y x z =-，则z -表示直线2z x y =-在y 轴上的截距，截距越小，z 越大. 由0560x y x y +=⎧⎨--=⎩可得(1,1)C -，此时z 最大为3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想． 14．31 【解析】 【分析】由已知数列递推式可得数列{}n a 是以16为首项，以12为公比的等比数列，再由等比数列的前n 项和公式求解． 【详解】由32n n a S +=，得1232a =，116a ∴=． 且1132(2)n n a S n --+=…， 则110n n n n a a S S ---+-=，即11(2)2n n a n a -=…． ∴数列{}n a 是以16为首项，以12为公比的等比数列， 则55116(1)231112S -==-．故答案为：31． 【点睛】本题主要考查数列递推式，考查等比数列的前n 项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 15．-1【解析】 【分析】由二项式定理及展开式系数的求法得1122554()()0C a C a -+-=，又0a ≠，所以2a =，令1x =得：5012345(121)a a a a a a -⨯=+++++，所以0123451a a a a a a +++++=-，得解． 【详解】由5250125(1)ax a a x a x a x -=+++⋯+，且1240a a +=，则1122554()()0C a C a -+-=， 又0a ≠， 所以2a =， 令1x =得：5012345(121)a a a a a a -⨯=+++++， 所以0123451a a a a a a +++++=-， 故答案为：1-． 【点睛】本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．⎣ 【解析】 【分析】取11B C 中点G ，连结FG ，BG ，推导出平面//FGB 平面AEC ，从而点P 在线段BG 上运动，作1A H BG ⊥于H ，由111A H A P A B 剟，能求出线段1A P 长度的取值范围． 【详解】取11B C 中点G ，连结FG ，BG ，Q 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱11A D 、11A B 的中点，//AE BG ∴，//AC FG ， AE AC A =Q I ，BG FG G =I ，∴平面//FGB 平面AEC ，P Q 是侧面正方形11BCC B 内一点（含边界），//FP 平面AEC ， ∴点P 在线段BG 上运动，在等腰△1A BG中，1A G BG ===1A B == 作1A H BG ⊥于H ，由等面积法解得：1A H ===111A H A P A B ∴剟，∴线段1A P长度的取值范围是，．故答案为：，．【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 17．（1）12（2【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；（2）根据两角余弦公式可得cos A ，即可求出sin A ，再根据正弦定理可得bc ，根据余弦定理即可求出b c +，问题得以解决． 【详解】（1）由三角形的面积公式可得21sin 24sin ABC a S ac B A∆==， 2sin sin c B A a ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin sin C B A A =，sin 0A ≠Q ，1sin sin 2B C ∴=； （2）10cos cos 1B C =-Q ， 1cos cos 10B C ∴=-， 3cos()cos cos sin sin 5B C B C B C ∴+=-=-，3cos 5A ∴=，4sin 5A =，Q 则由21sin 24sin a bc A A=，可得：2516bc =，由2222cos b c a bc A +-=，可得：22318b c +=，23125()788b c ∴+=+=，可得：b c +∴三角形的周长a b c ++=．（实际上可解得4b =4c =． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式、两角和的余弦公式、诱导公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了学生的运算能力，考查了转化思想，属于中档题．18．（1）证明见解析（2 【解析】 【分析】（1）取AB 的中点O ，连接OD ，1OB ，证明AB ⊥平面1ODB 得出AB OD ⊥，再得出AB AC ⊥；（2）建立空间坐标系，求出平面1C AD 的法向量n r，计算cos n <r，1B D >u u u u r即可得出答案．【详解】（1）证明：取AB 的中点O ，连接OD ，1OB ， 160B BA ∠=︒Q ，12B B =，112OB AB ==，1OB ∴=，22211OB OB BB ∴+=，故1AB OB ⊥，又1AB B D ⊥，111OB B D B =I ，11,OB B D ⊂平面1ODB ，AB ∴⊥平面1ODB ，AB OD ∴⊥，O Q ，D 分别是AB ，BC 的中点，//OD AC ∴，AB AC ∴⊥．（2）解：Q 四边形11ACC A 是正方形，1AC AA ∴⊥， 又AC AB ⊥，1AB AA A =I ，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，AC ∴⊥平面11ABB A ，在平面11ABB A 内作直线AB 的垂线AE ，以A 为原点，以AB ，AC ，AE 为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz -，则(0A ，0，0)，(1D ，1，0)，1(1C -，2，1(1B ，0，∴(1AD =u u u r ，1，0)，1(1AC =-u u u u r ，2，1(0B D =u u u u r，1，，设平面1C AD 的法向量为(n x =r ，y ，)z ，则1·0·0n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u v r u u u u v r，即020x y x y +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1x =可得：(1n =r，1-， cos n ∴<r，111||||n B D B D n B D >===u u u u r r u u u u r g u u u u r r∴直线1B D 与平面1C AD 所成角的正弦值为|cos n <r，1|B D >=u u u ur ．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题．19．（1）22143x y +=（2）存在；实数m的取值范围是6⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义计算a ，再根据a ，b ，c 的关系计算b 即可得出椭圆方程；（2）设直线1l 方程为2y kx =+，与椭圆方程联立方程组，求出k 的范围，根据根与系数的关系求出GH的中点坐标，求出GH 的中垂线与x 轴的交点横，得出m 关于k 的函数，利用基本不等式得出m 的范围． 【详解】（1）由题意可知1c =，1(1,0)F -，2(1,0)F ．又12352||||422a TF TF =+=+=，2a ∴=，b ∴=∴椭圆C 的方程为：22143x y +=． （2）若存在点(,0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形， 则P 为线段GH 的中垂线与x 轴的交点．设直线1l 的方程为：2y kx =+，1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得：22(34)1640k x kx +++=，△2225616(34)0k k =-+>，又0k >，故12k >． 由根与系数的关系可得1221634kx x k+=-+，设GH 的中点为0(x ，0)y ， 则02834k x k =-+，0026234y kx k =+=+， ∴线段GH 的中垂线方程为：22186()3434k y x kk k =-++++， 令0y =可得2223344k x k k k -==-++，即234m k k=-+． 12k >Q，故34k k +=…，当且仅当34k k =即k =时取等号，m ∴-=…，且0m <．m ∴的取值范围是[0)．【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．20．（1）不需调整（2）列联表见解析；有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）可估计高一年级选修相应科目的人数分别为720，330，推理得对应开设选修班的数目分别为15，7．推理知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为120.340p ==．用频率估计概率，则~(3,0.3)X B ，根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望．【详解】（1）经统计可知，样本40人中，选修化学、生物的人数分别为24，11，则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为720，330．根据每个选修班最多编排50人，且尽量满额编班，得对应开设选修班的数目分别为15，7．现有化学、生物科目教师每科各8人，根据每位教师执教2个选修班，当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的一位教师执教一个班的条件，知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整． （2）根据表格中的数据进行统计后，制作列联表如下：则2240(191056)7.111 6.63525152416K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ∴有99%的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为120.340p ==． 用频率估计概率，则~(3,0.3)X B ，分布列如下：数学期望为()30.30.9E X np ==⨯=．【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．21．（1）单调递增区间为⎛- ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭（2）m 的取值范围是13ln,1ln 224⎡⎫+-⎪⎢⎣⎭；对应的a 的值为163. 【解析】【分析】（1）当1a =-时，求()f x 的导数可得函数的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，利用导函数211,()11ax ax f x ax x x ++'=+=++，可得a 的范围，再表达1212()(1)8x m f x f x +'=++g ，构造新函数可求m 的取值范围，从而可求m 取到最小值时所对应的a 的值．【详解】（1）函数2()(1)2a f x ln x x =++ 由条件得函数的定义域：{|1}x x >-，当1a =-时，21()(1)2f x ln x x =+-， 所以：211()11x x f x x x x --+'=-=++， ()0f x '=时，x =，当(x ∈-时，()0f x '>，当x ∈，)+∞时，()0f x <， 则函数()f x的单调增区间为：(-，单调递减区间为：，)+∞； （2）由条件得：1x >-，211,()11ax ax f x ax x x ++'=+=++， 由条件得2()10x ax ax ϕ=++=有两根：1x ，2x ，满足121x x -<<，∴△0>，可得：0a <或4a >；由(1)0a ϕ->g，可得：0a >． 4a ∴>，Q 函数()x ϕ的对称轴为12x =-，121x x -<<， 所以：21(2x ∈-，0)； 22210ax ax ++=Q ，可得：221(1)a x x =-+， 2222222()(1)(1)22(1)x a f x ln x x ln x x ∴=++=+-+， 121x x +=-Q ，则：121x x =--， 所以：212221222111(1)()8884(1)x x ax ax f x f x x +--+'+='-===+g ； 所以：2222222211(1)(1)2(1)4(1)4(1)x x m ln x ln x x x x -=+-+=+-+++， 令23()4x h x lnx x -=-，211(2x x =+∈，1)， 则221343()44x h x x x x -'=-=， 因为：()0h x '=时，34x =，所以：()h x 在1(2，3)4上是单调递减，在3(4，1)上单调递增， 因为：1()122h ln =-，h （1）14=，313()424h ln =+，1()2h h >（1）， 所以13()[24h x ln ∈+，12)ln -；即m 的取值范围是：13[24ln +，12)ln -； 34x =，所以有2314x x =+=， 则214x =-，22116(1)3a x x =-=+； 所以当m 取到最小值时所对应的a 的值为163； 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题，考查利用导数求函数的最值，体现了转化的思想方法，属于难题．22．（1）2216x y +=，2y x =+，直线l 的倾斜角为4π （2【解析】【分析】（1）由公式22sin cos 1αα+=消去参数得普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直角坐标方程后可得倾斜角；（2）求出直线l 与y 轴交点Q ，用参数表示M 点坐标，求出MQ ，利用三角函数的性质可得最大值．【详解】（1）由,sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去α得C 的普通方程是： 2216x y +=由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，化简得2y x =+ 直线l 的倾斜角为4π（2）在曲线C上任取一点),sin M αα， 直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为()0,2 则MQ == 当且仅当2sin 5α=-时，MQ 取最大值5. 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．求两点间距离的最值时，用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题．23．（1）()()12-∞-⋃+∞，，（2）()0,4 【解析】 【详解】(Ⅰ)当2a =时，不等式为22x x +<.若2x ≥-，则22x x +<，解得2x >或1x <-，结合2x >-得2x >或21x -≤<-. 若2x <-，则22x x --<，不等式恒成立，结合2x <-得2x <-. 综上所述,不等式解集为()()12-∞-⋃+∞，，. (Ⅱ)()21,1121,121,x x a g x x a x a a a x a x x a -≥+⎧⎪=++--=+-<<+⎨⎪-+≤-⎩则()g x 的图象与直线11y =所围成的四边形为梯形,令2111x -=,得6x =,令2111x -+=，得5x =-,则梯形上底为21a +, 下底为 11,高为()1121102a a -+=-.()()1121S 102202a a ⎡⎤++⎣⎦=->. 化简得2200a a +-<，解得5a 4-<<，结合0a >，得a 的取值范围为()0,4.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。