高中数学-平面向量的基本定理及坐标表示-新人教A版必修4PPT课件
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若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.用坐标表示向量的基本原理是什么？
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向 量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
-
23
3.用坐标表示向量，使得向量具有代数 特征，并且可以将向量的几何运算转化 为坐标运算，为向量的运算拓展一条新 的途径.我们需要研究的问题是，向量 的和、差、数乘运算，如何转化为坐标 运算，对于共线向量如何通过坐标来反 映等.
-
11
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可
以作基底的向量有多少组？关键是?不同 基底对应向量a的表示式是否相同？
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
-
16
思考5：相等向量的坐标必然相等，作向 量 OA a，则 OA (x，y)，此时点A是坐 标是什么？
λ=0时，λa=-0.
2
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线
存在唯
一实数λ，使b＝λa.
4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重
力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
F1
G
F2
-
3
5.在物理中，力是一个向量，力的合成 就是向量的加法运算.力也可以分解， 任何一个大小不为零的力，都可以分解 成两个不同方向的分力之和.将这种力 的分解拓展到向量中来，就会形成一个 新的数学理论.
b
a
-
14
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
a 2 3i 2j
B a
j
Oi
-
P A
15
思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
y
Aa
A(x,y)
j
Oi
x
-
17
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
e1
e2
C
B
3e2
A －2.5e1 O
-
18
例2 如图，写出向量a，b，c，d的坐标.
b=(-2,3)
5y b2 a
a=(2,3)
－4 －2 O 2
c=(-2,-3) c －2 d
－5
4x
d=(2,-3)
2.向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量，平行向量的夹角是 0°或180°，垂直向量的夹角是90°.
-
21
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标 的对应关系，它使得向量具有代数意义. 将向量的起点平移到坐标原点，则平移 后向量的终点坐标就是向量的坐标.
-
22
问题提出
1.平面向量的基本定理是什么？
-
19
例3 如图，在平行四边形ABCD中，
A B =a，A D =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表A示B 23 AC向量 A M 和 E F .
AM 1 a b 2
EF a 1 b 6
BF C M
A ED
-
20
小结作业
1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理， 同时又是向量坐标表示的理论依据，是 一个承前起后的重要知识点.
-
12
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
-
13
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
-
1
问题提出
t
p
1 2
5730
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？
2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
e2
a
a=0e1+λ2e2
-
10
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
M
AO
M
ON O M 1 e 1 , O N 2 e 2 , a 1 e 1 2 e 2
思考5：若上述向量e1，e2，a都为定向量，
且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？
是否唯一？
-
9
思考6：若向量a与e1或e2共线，a还能用 λ1e1＋λ2e2表示吗？
e1
a
a=λ1e1+0e2
-
24
-
25
探究（一）：平面向量的坐标运算
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
-
7
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
思考4：在上图中，设 O A =e1，O B =e2， O C =a，则向量OM,ON分别与e1，e2的 关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如
何？O M 1 e 1 ,O N 2 e 2 . a1e12e2.
-
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8
B
N
C
B
N
C
O
OM
A
-
4
-
5
探究（一）：平面向量基本定理
思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2， 如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e1-2e2
B
e2
2e2
C
e1
O e1 D
3e1 A
3e1＋- 2e2
6
思考3：在下列两图中，向量 OA,OB,OC 不共线，能否在直线OA、OB上分别找一
点M、N，使 O MO NO C ？
2.用坐标表示向量的基本原理是什么？
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向 量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
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23
3.用坐标表示向量，使得向量具有代数 特征，并且可以将向量的几何运算转化 为坐标运算，为向量的运算拓展一条新 的途径.我们需要研究的问题是，向量 的和、差、数乘运算，如何转化为坐标 运算，对于共线向量如何通过坐标来反 映等.
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若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可
以作基底的向量有多少组？关键是?不同 基底对应向量a的表示式是否相同？
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
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思考5：相等向量的坐标必然相等，作向 量 OA a，则 OA (x，y)，此时点A是坐 标是什么？
λ=0时，λa=-0.
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3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线
存在唯
一实数λ，使b＝λa.
4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重
力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
F1
G
F2
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5.在物理中，力是一个向量，力的合成 就是向量的加法运算.力也可以分解， 任何一个大小不为零的力，都可以分解 成两个不同方向的分力之和.将这种力 的分解拓展到向量中来，就会形成一个 新的数学理论.
b
a
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思考3：把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
a 2 3i 2j
B a
j
Oi
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P A
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思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
y
Aa
A(x,y)
j
Oi
x
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理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
e1
e2
C
B
3e2
A －2.5e1 O
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例2 如图，写出向量a，b，c，d的坐标.
b=(-2,3)
5y b2 a
a=(2,3)
－4 －2 O 2
c=(-2,-3) c －2 d
－5
4x
d=(2,-3)
2.向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量，平行向量的夹角是 0°或180°，垂直向量的夹角是90°.
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3.向量的坐标表示是一种向量与坐标 的对应关系，它使得向量具有代数意义. 将向量的起点平移到坐标原点，则平移 后向量的终点坐标就是向量的坐标.
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问题提出
1.平面向量的基本定理是什么？
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19
例3 如图，在平行四边形ABCD中，
A B =a，A D =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表A示B 23 AC向量 A M 和 E F .
AM 1 a b 2
EF a 1 b 6
BF C M
A ED
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小结作业
1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理， 同时又是向量坐标表示的理论依据，是 一个承前起后的重要知识点.
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12
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
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思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
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问题提出
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1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？
2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
e2
a
a=0e1+λ2e2
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思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
M
AO
M
ON O M 1 e 1 , O N 2 e 2 , a 1 e 1 2 e 2
思考5：若上述向量e1，e2，a都为定向量，
且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？
是否唯一？
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思考6：若向量a与e1或e2共线，a还能用 λ1e1＋λ2e2表示吗？
e1
a
a=λ1e1+0e2
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探究（一）：平面向量的坐标运算
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
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B
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C
B
N
C
OA M
AO
M
思考4：在上图中，设 O A =e1，O B =e2， O C =a，则向量OM,ON分别与e1，e2的 关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如
何？O M 1 e 1 ,O N 2 e 2 . a1e12e2.
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B
N
C
B
N
C
O
OM
A
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探究（一）：平面向量基本定理
思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2， 如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e1-2e2
B
e2
2e2
C
e1
O e1 D
3e1 A
3e1＋- 2e2
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思考3：在下列两图中，向量 OA,OB,OC 不共线，能否在直线OA、OB上分别找一
点M、N，使 O MO NO C ？