高中数学-平面向量的基本定理及坐标表示-新人教A版必修4PPT课件
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高中数学 2.3平面向量基本定理及坐标表示课件2 新人教
= 2i 3 j∴
r a
=(2,3)
c
-2
-3
d
-4
-5
r
r
ur
同理， b =(-2,3) c =(-2,-3) d =(2,-3)
2.3.3平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )，b ( x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
说明
uv uuv
1.我们把不共线向量 e1 、e2 叫做表示这一平面内所有向量的
一组基底，记为｛euv1，euuv2｝。a1euv1
+
a2
uuv e2 叫做向量关于基底的分解式。
uv uuv
2.v定理中，e1 ，e2 是两不共线向量。 3.a 是平面内的任一向量，且实数对 a1、a2 是惟一的。
4.平面内任意两个不共线向量都可作为一组基底。
向量加法与减法
实数与向量的积
向量坐标与表示向量的有向 线段的起点、终点的坐标之 间的关系
向量的夹角:
使两个向量的起点重合. [0, ] (1)当 0时, a与b _同__向_; (2)当 时, a与b _反_向__; (3)当 时, a与b _垂_直__ . 记作 a⊥b
2
新课
引例 如图,光滑斜面上一个木块受到重力 G的作用.
O
F1 F2
G
一.向量正交分解的概念:
把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解.
（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a=(x,y)
r a
=(2,3)
c
-2
-3
d
-4
-5
r
r
ur
同理， b =(-2,3) c =(-2,-3) d =(2,-3)
2.3.3平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )，b ( x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
说明
uv uuv
1.我们把不共线向量 e1 、e2 叫做表示这一平面内所有向量的
一组基底，记为｛euv1，euuv2｝。a1euv1
+
a2
uuv e2 叫做向量关于基底的分解式。
uv uuv
2.v定理中，e1 ，e2 是两不共线向量。 3.a 是平面内的任一向量，且实数对 a1、a2 是惟一的。
4.平面内任意两个不共线向量都可作为一组基底。
向量加法与减法
实数与向量的积
向量坐标与表示向量的有向 线段的起点、终点的坐标之 间的关系
向量的夹角:
使两个向量的起点重合. [0, ] (1)当 0时, a与b _同__向_; (2)当 时, a与b _反_向__; (3)当 时, a与b _垂_直__ . 记作 a⊥b
2
新课
引例 如图,光滑斜面上一个木块受到重力 G的作用.
O
F1 F2
G
一.向量正交分解的概念:
把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解.
（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a=(x,y)
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
明目标、知重点
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
高中数学必修四人教A版 课件《2-3平面向量的基本定理及坐标表示-1》
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-6-
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “√”,错误的 打“×”. (1)平面内任意两个不共线的向量都可作为一组基底 . ( ) (2)基底中的向量可以是零向量. ( ) (3)平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分 解形式也是唯一确定的. ( ) (4)若 ae1+be 2=ce1+de2(a,b,c ,d∈R),则 a=c,b=d. ( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×
思 维 脉 络
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-3-
1.平面向量基本定理 定 理 基 底 条 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向 件 量 结 对于这一平面内的任意向量 a,有且 论 只有一对实数 λ 1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e 2 把不共线的向量 e 1,e 2 叫做表示这一平 面内所有向量的一组基底
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-4-
2.两向量的夹角与垂直 定义 图示 θ=0° a 与 b 同向 θ=180° a 与 b 反向 θ=90° a 与 b 垂直 ,记作 a⊥b 已知两个非零向量 a 和 b, 作 ������������=a,������������ =b,则 ∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
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-1-
2.3.1
平面向量基本定理
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-2-
学 习 目 标 1.了解 平面基底的含义,并能判断基 底. 2.理解 并掌握 平面向量基本定理,会 用基底表示平面内的任一向量. 3.掌握 两个向量夹角的定义以及两 个向量垂直的定义 .
人教A版高中数学必修4课件2.3平面向量的基本定理及坐标表示(一)课件
C
B
(2) 如图，平面内有A、B两 3
点，能否用坐标来表示向 2 a
量AB 呢？
1
j
Ax
Oi1 2 3 4
平面向量的坐标表示
(1) 如图，若| i || j | 1，以向量i、j为基
底 表 示 向 量a .
y
a 2i 3 j 即：a （2,3） 4
C
B
(2) 如图，平面内有A、B两 3
a
A'
M
C
N
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形？
Ca
A
e1
O
e2 B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形？
A
C
a
e1
e1
O
A' e2
B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形？
B' e2 A
C
a
e1
(2) 同一平面内的任一向量是否都可以用
形如 1e1 2 e2 的向量表示？
平面向量基本定理：
观察如图三个不
共线向量e1 、a 、e2 , 它 们之间会有怎样的关 系呢？
e1 a e2
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、a 、e2 , 它
e1 a
们之间会有怎样的关
系呢？
e2
给定基底后，任意一个向量的 表示是唯一的．
定理的应用：
例1. 如图，已知向量e1、 e2 , 求作向量a，
使
a
2 e1
3e2
.
人教A版必修四 2.3.1 平面向量基本定理 课件(34张)
其中正确的说法是( B )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②
【解析】因为不共线的两个向量都可以作为一组基 底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和 任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本 题中，①错，②、③正确，故选 B.
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
r ur uur 即 a 1e1 +2 e2.
e1
e2
a
N A
B
C O
uuur uuuur uuur
如图, OC OM ON,
M
uuuur uuur ur uuur uuur uur
因为OM 1OA 1e1,
uuur ur uur
ON 2 OB 2 e2,
所以OC 1e1 2 e2,
数λ1,λ2 ,使
a 1e1 2 e2
说明：① ②
areur1是，e平uur2 面是内两的个任不意共向线量的；向量；
③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
我们把不共线的向量
ur e1
，euur2
叫做这一平面内所有向量
的一组基底.
不共线向量有不同方向，它们的位置关系可用夹角
来表示.关于向量的夹角,我们规定:
那么对于这一平面内的任意向量 有且只有
一对实数
使
.
不共线的向量 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
r ur uur
即 a 1e1 +2 e2.
r ur uur
a 1e1 +2e2
这就是说平面内任 r
一向量a都可以表示 ur uur ur uur
成1e1 2 e2 (e1, e2 不共线)的形式.
《平面向量的基本定理及坐标表示(一)》新人教数学A版必修四课件
Ca
A
e1
O
e2 B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又 该 如 何 构 成 平 行 四 边形？
A
C
a
e1
e1
O A'
e2
B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又 该 如 何 构 成 平 行 四 边形？
B' e2 A
C
a
e1
e1
O A'
e2
B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又 该 如 何 构 成 平 行 四 边形？
问题二： 向量a给的定表基示底是e1不，e是2 之唯后一，的任呢？意一个
问题二： 向量a给的定表基示底是e1不，e是2 之唯后一，的任呢？意一个
给定基底后，任意一个向量的 表示是唯一的．
定理的应用：
例1. 如图，已知向量e1、 e2 , 求作向量a，
使
a
2e1
3e2
.
e1
e2
定理的应用：
1
j
Ax
Oi1 2 3 4
平面向量的坐标表示
(1) 如图，若| i || j | 1，以向量i、j为基
底 表 示 向 量a .
y
a 2i 3 j 即：a （2,3） 4
C
B
(2) 如图，平面内有A、B两 3
点，能否用坐标来表示向 2 a
量AB 呢？
1
j
Ax
AB OB OA （4i 4 j） (2i 1 j)
Oi1 2 3 4
(4 2)i (4 1) j 2i 3 j
数学：2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》课件(新人教a版必修4)
1 5、若 a ( ,sin ) 为单位向量，则符合 2
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
解 (2 x y 1) (2) ( x y 2) 2 0 2 x y 1 ( x y 2)
1 x 解得： 3 y R
1 x 3 (2)解得： y 1 3
又问：x, y为何值时， a与b相等？
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
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题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
解 (2 x y 1) (2) ( x y 2) 2 0 2 x y 1 ( x y 2)
1 x 解得： 3 y R
1 x 3 (2)解得： y 1 3
又问：x, y为何值时， a与b相等？
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
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高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
新课标高中数学人教A版必修四全册课件2.3平面向量的基本定理及坐标表示(三)
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
向量 AB的坐标与以原点为始点、
点P为终点的向量的坐标是相同的.
第十页，编辑于星期日：十三点 十九分。
练习
1. 若M (3,2), N (5,1)且MP 1 MN , 2
求P点的坐标.
2. 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4), 则
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
不能,
x1
,
x
有可能为
2
0
.
3. 向量共线有哪两种形式 ?
第二十页，编辑于星期日：十三点 十九分。
探究：
1. 消去时能不能两式相除 ?
不能 两式相除， y1, y2有可能为 0， 又b 0, x2 , y2中至少有一个不为 0 .
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
第二十六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、 P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
P的坐标； (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点
时，求点P的坐标.
第二十七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
第二十八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
练习
教材P.101练习第4、5、6、7题.
第二十九页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课堂小结
1. 平面向量共线的坐标表示；
2. 平面上两点间的中点坐标公式及
定点坐标公式；
3. 向量共线的坐标表示.
第三十页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课后作业
1. 阅读教材P.98到P.100；
向量 AB的坐标与以原点为始点、
点P为终点的向量的坐标是相同的.
第十页，编辑于星期日：十三点 十九分。
练习
1. 若M (3,2), N (5,1)且MP 1 MN , 2
求P点的坐标.
2. 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4), 则
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
不能,
x1
,
x
有可能为
2
0
.
3. 向量共线有哪两种形式 ?
第二十页，编辑于星期日：十三点 十九分。
探究：
1. 消去时能不能两式相除 ?
不能 两式相除， y1, y2有可能为 0， 又b 0, x2 , y2中至少有一个不为 0 .
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
第二十六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、 P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
P的坐标； (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点
时，求点P的坐标.
第二十七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
第二十八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
练习
教材P.101练习第4、5、6、7题.
第二十九页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课堂小结
1. 平面向量共线的坐标表示；
2. 平面上两点间的中点坐标公式及
定点坐标公式；
3. 向量共线的坐标表示.
第三十页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课后作业
1. 阅读教材P.98到P.100；
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的基本定理及坐标表示
的坐标.
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2020年12月27日星期日
解：1OP 1 2
OP1 OP2
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，
所以点P的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
.
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2020年12月27日星期日
2 如果P1P
1 2
PP2，那么
OP
OP1
P1P
OP1
1 2
P1P2
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2020年12月27日星期日
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面 向量的 基本定 理及坐 标表示
向量的坐标表示
• 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方 向相同的两个单位向量i、j作为基底， 则对于平面内的一个向量a，有且只有
一对实数x、y使得a=xi+yj，
• 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记 作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
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2020年12月27日星期日
练一练 • 已知O是坐标原点，点A在第 • 一象限，xOA 60 ,
| OA | 4 3 ，求向量 OA 的坐标.
解：设点A x, y ，则
x 4 3 cos 60 2 3, y 4 3 sin 60 6
即A 2 3, 6 ，所以OA 2 3, 6 .
必修4 高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的基本定理及坐标表示
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2020年12月27日星期日
解：1OP 1 2
OP1 OP2
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，
所以点P的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
.
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2020年12月27日星期日
2 如果P1P
1 2
PP2，那么
OP
OP1
P1P
OP1
1 2
P1P2
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2020年12月27日星期日
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面 向量的 基本定 理及坐 标表示
向量的坐标表示
• 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方 向相同的两个单位向量i、j作为基底， 则对于平面内的一个向量a，有且只有
一对实数x、y使得a=xi+yj，
• 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记 作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
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2020年12月27日星期日
练一练 • 已知O是坐标原点，点A在第 • 一象限，xOA 60 ,
| OA | 4 3 ，求向量 OA 的坐标.
解：设点A x, y ，则
x 4 3 cos 60 2 3, y 4 3 sin 60 6
即A 2 3, 6 ，所以OA 2 3, 6 .
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高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示 第3课时 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4
❖ [答案] 2
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
人教A版高中数学必修4PPT课件：.1平面向量基本定理
=1 3 =-2
=1 =-
2 3
所以不存在，故a,b不共线，可以作为一组基底。
(2)解:设c = m a+ nb(m,n R)得
3e1 - e2 m(e1 - 2e2 ) n(e1 + 3e2 )=(m+n)e1+(-2m+3n)e2
所以m2mn33n 1 nm12,所以c = 2a+ b
λ2是实数 C.对实数λ1、λ2，λ1e1+λ2e2不一定在平面α内 D.对平面α中的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1、
λ2有无数对
人 教 A 版 高中 数学必 修4PP T课件： .1平面 向量基 本定理
人 教 A 版 高中 数学必 修4PP T课件： .1平面 向量基 本定理
类型一：作图
检测：
1.设e1 ,e2是同一平面内所有向量的一组基底，则
AC以.. ee下11++各2ee2组2和和向2e量1e1+-中ee2，2 不DB..3能ee11作+-e为22 和e基2 和e底24的e2是-6（e1 ）
2.在△ABC中，设AB =m, AC =n，D、E是边
BC上的三等分点，则 AD =____________2__, 1
一组基底(base) 平面向量基本定理 如果e1 ,e2是同一平面内 两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的
任一向量a, 有且只有一对实数1 ,2 ,使 a 1e1 2e2.
人 教 A 版 高中 数学必 修4PP T课件： .1平面 向量基 本定理
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刀 试类型二：知基底，表向量 例2 如图, ABCD的对角线AC和BD交于点M ,
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
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27
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°.
∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
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16
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹
角为 π－∠CAB.
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17
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
B.45°
C.60°
D.120°
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31
1234
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1 ＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1； ④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号 是__①__②__④___.(写出所有满足条件的序号) 解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2 ＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
第二章 平面向量
高中数学 第二章 平面向量第25课时平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4
答案：C
4知.[20三识13点·安徽检测]若平面三内点三共点 A线(－问2,3题)，B(3，－2)，C(12，
m)共线，则 m 为( )
1 A.2
B．－12
C．－2
D．2
解析：∵A、B、C 三点共线， ∴A→B∥A→C. 又A→B＝(5，－5)，A→C＝(52，m－3)， ∴5(m－3)＋225＝0. 得 m＝12，选 A.
第二章
平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
第25课时 平面向量共线的坐标表示
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
课堂对点训练
• 1知.下一识列各点组向量中，共线判的断一向组是量(共线)
• A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) • B．a＝(2,3)，b＝(3,2) • C．a＝(1,2)，b＝(7,14) • D．a＝(－3,2)，b＝(6，－14) • 解析：A中，－2×6－3×4＝－24≠0，故A错；B中，
答案：A
• 5．已知三点A(0，－1)，B(2,3)，C(3,5)，求证：A、B、 C三点共线．
证明：∵A(0，－1)，B(2,3)，C(3,5)， ∴A→B＝(2,4)，A→C＝(3,6)． ∵2×6－3×4＝0，∴A→B∥A→C. ∴A→B与A→C共线，∴A、B、C 三点共线．
C.16
D．12
解析：∵a∥b， ∴(2x＋1)·3－4·(2－x) ＝10x－5＝0. ∴x＝12，选 D. 答案：D
3．已知向量 a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且 a∥b，则 tanα
＝( )
4 A.3
B．－43
3 C.4
D．－34
解析：由 a∥b，得 3cosα＝4sinα，∴tanα＝34.
人教版高中数学必修四《平面向量基本定理》课件
B M A O
观察：上述三个向量等式中的 向量的系数，你能得出什么结 论？这个结论对于直线AB上的 任意一点P都适用吗？
T
例 2已知A、B是直线l上确定两点，O为直线外一点,
求证：对于直线l上任意一点P，存在实数t，使 OP 关于基底 ｛OA, OB｝的分解式为 OP (1 t )OA tOB ① 并且，满足①式的点P一定在l上
B
M O B H M O A
OM =
OA, OB}的分解式 2.如右图，点H为线段MB的中点，求 OH 关于基底｛
1 1 OA + OB 2 2
A
OH =
1 3 OA + OB 4 4
ห้องสมุดไป่ตู้
3.如右图，点T在直线l上且MA=AT,求 OT 关于基底｛ OA, OB }的分解式
3 1 OT = OA - OB 2 2
平面向量基本定理
（1）向量的线性运算有哪些？向量的加法法
复习:
则有哪些？
（2）平行向量基本定理 向量 a 与非零向量 b 共线
存在唯一一个实数 λ ， 使得 a =λ b.
引入:
探究一：任意给定一个向量 a ,是否可以用 “一个”已知的非零向量 来表示呢？ b 探究二：平面内任意给定一个向量 a ，是否 能够用“两个”平行向量 e1 , e2 来表示？
② a1e1 +a2 e2 叫做向量
a
关于基底
{ e } 的分解式。 1 , e2
定理深化
判断正误： （1）平面内任意两个向量都可以作为基底（ × ） （2）平面内的一组基底可以表示出这个平面内的所有向 量， 包括零向量（√ ） （3）一个平面内只有一对不共线的向量可以作为基底（ ×） （4）零向量不可以作为基底中的向量（ √ ）
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2.向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量，平行向量的夹角是 0°或180°，垂直向量的夹角是90°.
-
21
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标 的对应关系，它使得向量具有代数意义. 将向量的起点平移到坐标原点，则平移 后向量的终点坐标就是向量的坐标.
-
22
问题提出
1.平面向量的基本定理是什么？
-
4
-
5
探究（一）：平面向量基本定理
思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2， 如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e1-2e2
B
e2
2e2
C
e1
O e1 D
3e1 A
3e1＋- 2e2
6
思考3：在下列两图中，向量 OA,OB,OC 不共线，能否在直线OA、OB上分别找一
点M、N，使 O MO NO C ？
-
19
例3 如图，在平行四边形ABCD中，
A B =a，A D =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表A示B 23 AC向量 A M 和 E F .
AM 1 a b 2
EF a 1 b 6
BF C M
A ED
-
20
小结作业
1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理， 同时又是向量坐标表示的理论依据，是 一个承前起后的重要知识点.
-
24
-
25
探究（一）：平面向量的坐标运算
e2
a
a=0e1+λ2e2
-
10
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
-
12
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
-
13
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.用坐标表示向量的基本原理是什么？
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向 量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).
-
23
3.用坐标表示向量，使得向量具有代数 特征，并且可以将向量的几何运算转化 为坐标运算，为向量的运算拓展一条新 的途径.我们需要研究的问题是，向量 的和、差、数乘运算，如何转化为坐标 运算，对于共线向量如何通过坐标来反 映等.
b
a
-
14
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
a 2 3i 2j
B a
j
Oi
-
P A
15
思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
-
7
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
思考4：在上图中，设 O A =e1，O B =e2， O C =a，则向量OM,ON分别与e1，e2的 关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如
何？O M 1 e 1 ,O N 2 e 2 . a1e12e2.
-
8
B
N
C
B
N
C
O
OM
A
-
11
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可
以作基底的向量有多少组？关键是?不同 基底对应向量a的表示式是否相同？
y
Aa
A(x,y)
j
Oi
x
-
17
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
e1
e2
C
B
3e2
A －2.5e1 O
-
18
例2 如图，写出向量a，b，c，d的坐标.
b=(-2,3)
5y b2 a
a=(2,3)
－4 －2 O 2
c=(-2,-3) c －2 d
－5
4x
d=(2,-3)
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
-
16
思考5：相等向量的坐标必然相等，作向 量 OA a，则 OA (x，y)，此时点A是坐 标是什么？
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
-
1
问题提出
t
p
1 2
5730
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？
2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
M
AO
M
ON O M 1 e 1 , O N 2 e 2 , a 1 e 1 2 e 2
思考5：若上述向量e1，e2，a都为定向量，
且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？
是否唯一？
-
9
思考6：若向量a与e1或e2共线，a还能用 λ1e1＋λ2e2表示吗？
e1
a
a=λ1e1+0e2
λ=0时，λa=-0.
2
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线
存在唯
一实数λ，使b＝λa.
4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重
力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
F1
G
F2
-
3
5.在物理中，力是一个向量，力的合成 就是向量的加法运算.力也可以分解， 任何一个大小不为零的力，都可以分解 成两个不同方向的分力之和.将这种力 的分解拓展到向量中来，就会形成一个 新的数学理论.