江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学(理)试题

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江西省赣州市赣县区第三中学2020_2021学年高二数学9月月考试题文实验重点班2

江西省赣州市赣县区第三中学2020-2021学年高二数学9月月考试题文（实验重点班）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．不等关系已知c b a ,,满足c b a <<且0<ac ，则下列选项中一定成立的是（）A ．ac ab <B ．0)(>-b a c C.22cb ab < D ．0)22(>-c a ac2．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于( ) A.63 B.62 C.12 D.323.下列说法正确的是( )A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（） A. 122 B. 22 C. 12 D. 21 5．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A ．一定平行B ．一定异面C ．相交或异面D ．一定相交6．圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4410C x y x y +---=的位置关系是（）．A. 内含B. 外离C. 外切D. 相交7．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1211953=+++a a a a ，则13S 等于（）39.A 54.B 56.C 42.D8．已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝( )A ．－7或－1B ．7或1C ．－7D ．－19．在ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ab c b a -=+222，则角C 为（） 6.πA 3.πB 65.πC 32.πD 10．直线2y kx 与圆2220x y x 只在第二象限有公共点，则实数k 的取值范围为（）A.[43，1]B.[43，1）C. [43，+∞） D.（－∞，1） 11.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,下列判断正确的是( ) A.平面BME ∥平面ACN B.AF ∥CNC.BM ∥平面EFDD.BE 与AN 相交12．设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函()0,0z ax by a b =+>>的最大值为2则23a b+的最小值为（） A ．252B ．25 C．．50 二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。

江西省赣州市赣县第三中学2021学年下学期高二年级3月月考数学试卷(理科)

江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年下学期高二年级3月月考数学试卷（理科）一、选择题1复数是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数m 的值是或3 或2或32曲线在处的切线的斜率为A 1B 2C -1D -2 3某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为,则其正视图中的值为4已知函数，则函数的单调递增区间是 A ． B ．（0，1） C ． D ． 5已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则A ．B ．C ．3D ．26已知函数,那么A 有极小值,也有大极值B 有极小值,没有极大值C 有极大值,没有极小值D 没有极值 7函数图象大致是A B()()22563i()m m m m m -++-∈R ln y x x =e x=12π+x 2()ln f x x x x =-+f x （）1∞（-，）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭1,∞（+）2:8C y x =F l P l Q PF C 3FP FQ =QF =83523()xx f x e=()f x ()f x ()f x ()f x 6()22x xxf x -=+C D8已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A B ． C ． D ．9有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母现规定：当卡片的一面为字母||取得最大值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为y=﹣1，代入2=4y ，可得2=4（﹣1），即2﹣44=0，∴△=162﹣16=0，∴=±1，∴P （2，1），∴双曲线的实轴长为PA ﹣PB=2（﹣1），e ()xf x ax x=-),0(∞+∈x 12x x >1221)()(x x f x x f <a (,e]-∞(,e)-∞e(,)2-∞e (,]2-∞,,2,3P Q ()()000,P x y x a ≠±2222:1(0)x y C a b a b+=>>PO PM⊥30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()0,12,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭O ,,,A B C D 2,22AB BC ==π4ABC ∠=B ACD -423AD O O 8π12π16π18πR ()f x (3)16f =()f x '()41f x x <-2()21f x x x <-+{}|33x x -<<{}|3x x >-{}|3x x >{|3x x <-}3x >z 2i z z +=+z =321()ln 2f x ax x x x x =-+-S ABC -P Rt ABC △ABSA ⊥ABC S ABC -4,4,4AC BC SC ===SC ⊥ABC S ABC -323π3,4,3AC BC SC ===S ABC ABC△S ABC-3,4,3AC BC SA ===SA ⊥ABC PS SBC 60︒a b c >>0a b c ++=23b aca-<()32f x x ax bx c =+++()y f x =()()0,0f 4a b ==()f x ()2222:10x y C a b a b +=>>33C 32(,)22C C l C A B、222x y +=2AB EF⋅ABCDEF ABF△BF A BF '△A BF '⊥BCDEF O H ，，BFA C'//OH A EF 'A BC 'A DE'xOy 3(1)M ,A B ,14y x =-BM n NB AM m NA ==,n m +)(1ln )(R a a x x a x x f ∈-+-+=)(x f 1>x xx x x f -<+1)(a∴双曲线的离心率为=1．15【解析】由题意得因为函数有两个极值点，所以有两个变号零点由得，即令则易知函数是减函数，且当时，，所以当时，单调递增；当时，单调递减故又当时当时所以要使有两个零点，需，即16①②③【解析】对于①，因为平面，所以，，，又，所以平面，所以，故四个面都是直角三角形，①正确；对于②，若，平面，三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，，体积为，②正确；对于③，设内心是，则平面，连接OC ，则有，又内切圆半径，所以，，故，三棱锥的体积为，③正确；对于④，若，平面，则直线与平面所成的最大角时，点与点重合，在中，，，即直线与平面所成的最大角为，④不正确三、解答题17解：因为,且,所以,,要证明原不等式成立,,即证, 从而只需证明,即,因为,, 所以成立,故原不等式成立18解：（1）由得,∵所以曲线在点处的切线方程为（2）当时, ,所以令,得,解得或与在区间上的情况如下:10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2()3ln ,f x ax x x '=--()f x ()f x '()0f x '=23ln ax x x =+3a =2ln .x x x +2ln (),x x g x x +=312ln (),x x g x x '-+-=12ln y x x =-+-1x =0y =01x <<()0,()g x g x '>1x >()0,()g x g x '<max ()(1)1,g x g ==10e x <<,()0,g x <1x >,()0g x >()f x '031a <<103a <<SA ⊥ABC SA AC ⊥SA AB ⊥SA BC ⊥BC AC ⊥BC ⊥SAC BC SC ⊥∴4,4,4AC BC SC ===SC ⊥ABC ∴S ABC -∴2R R =∴343V π==∴ABC △O SO ⊥ABC 222SO OC SC +=1(345)12r =+-=OC =222321SO SC OC =-=-=1SO =∴S ABC -1113412332ABC V S SO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△∴3SA =SA ⊥ABC PS SBC P A Rt SCA △3tan 15ASC ∠==45ASC ∴∠=︒PS SBC 45︒∴a b c >>0a b c ++=0a >0c <<223b ac a -<()223a c ac a +-<()() 2? 0a c a c -+>0a c ->2?b 0ac a c a a +=++=->()()2? 0a c a c -+>32()f x x ax bx c =+++2()32f x x ax b '=++'(0),(0)f c f b ==(x)y f =()0,(0)f y bx c =+4a b ==()3244f x x x x c =+++()2'384f x x x =++()'0f x =23840x x ++=2x =-23x =-()f x ()'f x (),-∞+∞当且时,存在,,,使由的单调性知,当且仅当时,函数有三个不同零点19解：1由已知可得所以椭圆的方程为将点代入方程得，所以。

考点3.3 立体几何的新定义问题(解析版)

考点3.3 立体几何的新定义问题立体几何问题是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的立体几何问题在高考中逐步成为热点。

通过具体的问题背景或新的定义，考察立体几何知识等在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值，学科素养，关键能力，必备知识。

本专题以单选题，多选题，填空题及解答题等形式体现立体几何在新定义问题中的应用。

解决立体几何的新定义问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决新定义问题。

解题要点：根据题目给出的新定义，建立立体几何模型，研究模型时需注意：根据新定义进行由特殊到一般的规律总结，最后解决问题。

立体几何的新定义问题（1）单选题1．（2020·济南市·山东省实验中学高二期中）空间直角坐标系O xyz -中，经过点()000,,P x y z ，且法向量为(),,m A B C =的平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=，经过点()000,,P x y z 且一个方向向量为()(),,0n μυωμυω=≠的直线l 的方程为x x y y z z μυω---==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3570x y z -+-=，经过()0,0,0的直线l 的方程为321xy z ==-，则直线l 与平面a 所成角的正弦值为（）A B C D 【答案】B 【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线l 与平面a 所成角的正弦值. 【详解】因为平面α的方程为3570x y z -+-=，故其法向量为()3,5,1n =-，因为直线l 的方程为321x y z ==-，故其方向向量为()3,2,1m =-，故直线l 与平面a35==，故选：B. 【点睛】关键点点睛：此题为材料题，需从给定的材料中提炼出平面的法向量和直线的方向向量的求法，这是解决此题的关键.2．（2020·全国高三专题练习（文））将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），ϕ为该地的纬度值，如图．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即[]2326,2326δ''∈-︒︒．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬395427'''︒，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（）A ．北纬5527'''︒B ．南纬5527'''︒C ．北纬5533'''︒D ．南纬5533'''︒【答案】D 【分析】首先根据题意理解太阳高度角、该地纬度、太阳直射纬度的概念，然后由太阳高度角()9039542745θδ'''=︒-︒-=︒可得结果.【详解】由题可知，天安门广场的太阳高度角()9039542750533θδδ''''''=︒-︒-=︒+，由华表的高和影长相等可知45θ=︒，所以45505335533δ''''''=︒-︒=-︒. 所以该天太阳直射纬度为南纬5533'''︒，故选：D.3．（2020·赣州市赣县第三中学高二月考（理））设1P 、2P 、…、n P 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到1P 、2P 、…、n P 点的距离之和最小，则称点P 为1P 、2P 、…、n P 点的一个“中位点”，有下列命题：①A 、B 、C 三个点共线，C 在线段AB 上，则C 是A 、B 、C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直线三角形三个顶点的中位点；③若四个点A 、B 、C 、D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；其中的真命题是（） A ．②④ B ．①②C ．①④D ．①③④【答案】C 【分析】根据中位点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可. 【详解】①若三个点,,A B C 共线,C 在线段AB 上,根据两点之间线段最短, 则C 是,,A B C 的中位点,正确；②举一个反例,如边长为3,4,5的直角三角形ABC ,此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5 2.57.5+=,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7,∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点,故它们的中位点存在但不唯一；故错误；④如图,在梯形ABCD 中,对角线的交点,O P 是任意一点,则根据三角形两边之和大于第三边得PA PB PC PD AC BD OA OB OC OD +++≥+=+++,∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确．故①④正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了新定义问题的运用,需要根据题意根据几何性质找到反例或直接证明.属于难题.4．（2020·北京高三专题练习）若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C 、1C 不重合）()1Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，()2Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是1,22⎡⎢⎣⎭；②存在点P 使得1//PQ 平面β；③存在点P 使得12PQ PQ .其中，所有正确结论的序号是（） A ．①②③ B ．②③C ．①③D ．①②【答案】D 【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设点P 的坐标为()()0,1,01a a <<，求出点1Q 、2Q 的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误. 【详解】取1C D 的中点2Q ，过点P 在平面11AB C D 内作1PE C D ⊥，再过点E 在平面11CC D D 内作1EQ CD ⊥，垂足为点1Q .在正方体1111ABCD A BC D -中，AD ⊥平面11CC D D ，PE ⊂平面11CC D D ，PE AD ⊥∴，又1PE C D ⊥，1AD C D D =，PE ∴⊥平面11AB C D ，即PE β⊥，()f P E β∴=，同理可证1EQ γ⊥，CQ β⊥，则()()1f f P f E Q γβγ⎡⎤==⎣⎦，()()2f f P f C Q βγβ⎡⎤==⎣⎦.以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设()01CP a a =<<，则()0,1,P a ，()0,1,0C ，110,,22a a E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,02a Q +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2110,,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭.对于命题①，2PQ =01a <<，则111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，212PQ ⎡=⎢⎣⎭，命题①正确；对于命题②，2CQ β⊥，则平面β的一个法向量为2110,,22CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，110,,2a PQ a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令211130424a a a CQ PQ --⋅=-==，解得()10,13a =∈，所以，存在点P 使得1//PQ 平面β，命题②正确；对于命题③，21120,,22a PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()12211042a a a PQ PQ --⋅=+=，整理得24310a a -+=，该方程无解，所以，不存在点P 使得12PQ PQ ，命题③错误.故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.5．（2021·山东高三专题练习）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成角的正切值为（）AB ．12CD ．2【答案】D 【分析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面N 到底面B 的距离1BN =，再由边长关系可得四边形1NPC H 是平行四边形，从而侧面11CDD C 与桌面所转化成侧面11CDD C 与平面11HC D 所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值. 【详解】由题意知，水的体积为44232⨯⨯=，如图所示，设正方体水槽绕CD 倾斜后，水面分别与棱1111,,,,AA BB CC DD 交于,,,,M N P Q 由题意知3PC =，水的体积为32BCPN S CD ⋅=322BN PC BC CD +∴⋅⋅=，即344322BN +⨯⨯=， 1BN ∴=在平面11BCC B 内，过点1C 作1//C HNP 交1BB 于H ，则四边形1NPC H 是平行四边形，且11NH PC ==又侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角，即侧面11CDD C 与平面11HC D 所成的角,其平面角为111HC C B HC ∠=∠, 在直角三角形11B HC 中，111114tan 22B C B HC B H ===.【点睛】本题考查了利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角.（2）多选题6．（2020·江苏南通市·海安高级中学高一月考）平面中两条直线l 和n 相交于O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 和n 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”.则下列说法正确的（）A ．若p =q =0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有一个B ．若pq =0，且p +q ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有2个C ．若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个D ．若p =q ，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线【答案】ABC 【分析】根据“距离坐标”的定义对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】首先点到直线的距离是唯一确定的.对于A 选项，由于0p q ==，所以()0,0表示O 点，有且仅有一个，故A 选项正确. 对于B 选项，由于0pq =，且0p q +≠，当00p q =⎧⎨≠⎩或0p q ≠⎧⎨=⎩时，分别表示点()0,q 或(),0p ，有且仅有两个，故B 选项正确.对于C 选项，由于l 和n 相交与O ，所以直线l 和直线n 确定一个平面α，根据对称性可知，在平面α的上方和下方，各有两个“距离坐标”为(),p q 的点.故“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个，所以C 选项正确. 对于D 选项，设l 和n 相交与O ，直线l 和直线n 相交所形成的两组对角的角平分线上的点，都满足p q =，所以点M 的轨迹不只是一条过O 点的直线，所以D 选项错误. 由于p q =，故选：ABC本小题主要考查空间点与直线的位置关系，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题. 7．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知单位向量i ，j ，k 两两的夹角均为0,2πθθπθ⎛⎫<<≠⎪⎝⎭，若空间向量a 满足(,,)a xi y j zk x y z R =++∈，则有序实数组(,,)x y z 称为向量a 在“仿射”坐标系Oxyz （O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(,,)a x y z θ=，则下列命题是真命题的有（）. A ．已知(1,3,2)a θ=-，(4,0,2)b θ=，则0a b ⋅= B ．已知(,,0)3a x y π=，(0,0,)3b z π=，其中,,0x y z >，则当且仅当x y =时，向量a ，b 的夹角取得最小值C ．已知()111,,a x y z θ=，()222,,b x y z θ=，则()121212,,a b x x y y z z θ+=+++D ．已知(1,0,0)3OA π=，(0,1,0)3OB π=，(0,0,1)3OC π=，则三棱锥O ABC -的表面积S =【答案】BC 【分析】根据“仿射”坐标的定义逐项判断即可. 【详解】(1,3,2)(4,0,2)(32)(42)421268412cos a b i j k i k i k i j j k k i θθθ⋅=-⋅=+-⋅+=+⋅+⋅+⋅-⋅-=因为0θπ<<，且2πθ≠，所以0a b ⋅≠，故A 错误；如图所示，设OB b =，OA a =，则点A 在平面xOy 上，点B 在z 轴上，由图易知当x y =时，AOB ∠取得最小值，即向量a 与b 的夹角取得最小值，故B 正确；根据“仿射”坐标的定义可得，()()()()()()()()111222111222121212121212,,,,,,a b x y z x y z x i y j z k x i y j z k x x i y y j z z k x x y y z z θθθ+=+=+++++=+++++=+++，故C 正确；由已知可得三棱锥O ABC -为正四面体，棱长为1，其表面积214122S =⨯⨯⨯=D 错误. 故选：BC. 【点睛】新定义概念题，考查对新概念的理解能力以及运算求解能力，基础题.8．（2020·江苏高二期中）20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为1，则（）A ．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B ．它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直 CD ．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等【答案】ACD 【分析】利用立方八面体与正方体之间的关系计算出正方体的棱长，可判断A 、C 选项的正误；计算出不共面的棱所成角的大小可判断B 选项的正误，计算相邻的两个面所成二面角的大小可判断D 选项的正误. 【详解】如下图所示，由题意可知，立方八面体的顶点为正方体1111ABCD A BC D -各棱的中点，故立方八面体的棱为正方体1111ABCD A BC D -相邻两条棱的中点的连线，=由对称性可知，立方八面体的外接球球心为正方体1111ABCD A BC D -的中心，外接球的直径为正方体1111ABCD A BC D -的面对角线长2，该球的半径为1，A 选项正确；设MN 、PQ 为立方八面体的两条不共面的棱，如下图所示，则11//MN B D ，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//BB DD 且11BB DD =，则四边形11BBD D 为平行四边形， 11//BD B D ∴，//MN BD ∴，由于1//PQ BC ，易知1BC D 为等边三角形，则160C BD ∠=，所以，MN 与PQ 所成角为60，B 选项错误；立方八面体的体积为331183223V ⎛⎫=-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭C 选项正确；设正方体1111ABCD A BC D -底面的中心为点O ，连接OC 交立方八面体的棱PF 于点E ，连接EQ ，则E 为PF 的中点，且PFQ △为等边三角形，所以，EQ PF ⊥，CD BC =，O 为BD 的中点，OC BD ∴⊥，P 、F 分别为BC 、CD 的中点，则//PF BD ，OC PF ∴⊥，所以，OEQ ∠为立方八面体的底面与由平面PFQ 所成二面角的平面角，立方八面体的棱长为1，12OE EC ∴==，112CQ CC ==，3sin 602EQ PQ == 1CC ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，1CC CE ∴⊥，在Rt CEQ 中，cos CE CEQ EQ ∠==所以，()cos cos 180cos OEQ CEQ CEQ ︒∠=-∠=-∠=同理可知，立方八面体的相邻两个面所成二面角的余弦值为-D 选项正确. 故选：ACD.【点睛】作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．9．（2020·夏津县教育和体育局高二月考）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中四边形ABCD 为矩形，其中8AB =，AD =ADE 与BCF △都是等边三角形，且二面角E AD B --与F BC A --相等且大于3π，则EF 长度可能为（）A ．1B ．5C ．9D ．13【答案】CD 【分析】取两个极限情况：二面角E AD B --与F BC A --相等，且为平角时，14EF =，二面角为3π时，5EF =，即可得出结果. 【详解】等边三角形ADE 603︒=，同理等边三角形BCF 边上的高为3．二面角E AD B --与F BC A --相等，且为平角时，6814EF =+=，因此14EF <，二面角E AD B --与F BC A --相等，且为3π时，EF 最小，如图所示，此时取BC ，AD 的中点,O Q ，连接OQ ，FO ，由图形的对称性可得F 点在底面的投影必在OQ 上，由于OF BC ⊥，OH BC ⊥，所以FOH ∠即为二面角F BC A --的平面角，即3FOH π∠=，故32OH =，此时38252EF =-⨯= 由于二面角大于3π，因此5EF >，即可得EF 长度可能为9,13，故选：CD.【点睛】本题主要考查了空间角、运动思想方法、空间位置关系，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题.（3）填空题10．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为()2220,,,,0Ax By Cz D A B C D R A B C +++=∈++≠，点()000,,P x y z 到平面α的距离d =，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于________．【分析】以底面中心O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，求出点,,,O A B P 的坐标，求出侧面的方程，最后利用所给公式计算即可．【详解】如图，以底面中心O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0O，(1A ，1，0)，(1B -，1，0)，(0P ，0，2)，设平面PAB 的方程为0Ax By Cz D +++=，将,,A B P 坐标代入计算得0020A B D A B D C D ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩解得0A =，B D =-，12C D =-，102Dy Dz D ∴--+=，即220y z +-=，d ∴==【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．11．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V ，棱数E 及面数F 满足等式2V E F -+=，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮，简洁的公式之一.如图是一个面数为26的多面体（其表面仅由正方形和正三角形围成），根据欧拉多面体公式可求得其棱数E =_______.【答案】48 【分析】根据图形可知顶点数，代入欧拉多面体公式可求得结果. 【详解】该多面体面数26F =，由图知，顶点数24V =，根据欧拉多面体公式2V E F -+=得：棱数22426248E V F =+-=+-=. 故答案为：48. 【点睛】本题考查立体几何中的新定义运算的求解问题，关键是能够充分理解已知所给公式，属于基础题.（4）解答题12．（2021·全国高三八省联考）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数．【答案】（1）4π；（2）证明见解析. 【分析】（1）四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++=，按照公式计算总曲率即可. 【详解】（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形. 所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，则其总曲率为：()25424ππππ⨯-+=.（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，所以有2n l m -+= 设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++=所以总曲率为：()()()122222m n x x x ππ--+-++-⎡⎤⎣⎦()222n l m ππ=--()24n l m ππ=-+=所以这类多面体的总曲率是常数. 【点睛】本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键．13．（2020·北京101中学高二期中）已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1n n i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ①若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；②在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ③在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83. 【答案】（1）①；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【分析】（1）①根据新定义直接计算．②根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；③由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =；（2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得．【详解】（1）当2n =时，①若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，①正确；②在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，②错误；③在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在②中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，③错误．空格处填①（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．, （3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，∴04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤，又,,x y z Z ∈，∴,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =．这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立．14．（2016·上海市实验学校高二期末）（1）如图，对于任一给定的四面体1234A A A A ，找出依次排列的四个相互平行的平面1α，2α，3α，4α，使得()1,2,3,4i i A i α∈=，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面1α，2α，3α，4α，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体1234A A A A 的四个顶点满足：()1,2,3,4i i A i α∈=，求该正四面体1234A A A A 的体积．【答案】（1）见解析；（2 【分析】（1）根据题意要作出相互平行且相邻距离相等的平面，所以先作直线平行，且取等分点，例如可取41A A 的三等分点2P ，3P ，13A A 的中点M ，24A A 的中点N ，则有223//A P NP ，332//A P MP ，从而可得面面平行；（2）先将正四面体补形为正方体，结合条件确定正方体的棱长，即可求正四面体1234A A A A 的体积．【详解】（1）取41A A 的三等分点2P ，3P ，13A A 的中点M ，24A A 的中点N ，过三点2A ，2P ，M 作平面2α，过三点3A ，3P ，N 作平面3α，因为223//A P NP ，332//AP MP ，所以平面2//α平面3α，再过点1A ，4A 分别作平面1α，4α与平面2α平行，那么四个平面，2α，3α，4α依次相互平行，由线段41A A 被平行平面1α，2α，3α，4α截得的线段相等知，每相邻两个平面间的距离相等，故1α，2α，3α，4α为所求平面．（2）如图，将此正四面体补形为正方体1111ABCD A BC D -（如图），分别取AB 、CD 、11A B 、11C D 的中点E 、F 、1E 、1F ，平面11DEE D 与11BFF B 是分别过点2A 、3A 的两平行平面，若其距离为1，则正四面体1234A A A A 满足条件，右图为正方体的下底面，设正方体的棱长为a ，若1AM MN ==，因为12AE a =，DE =，在直角三角形ADE 中，AM DE ⊥，所以1122a a a =⋅，所以a ==，所以此正四面体的体积为3311432V a a =-⋅⋅=．【点睛】本题考查面面平行判定以及补形法求体积，考查空间想象能力以及基本分析论证与求解能力，属较难题.。

江西省赣州市赣县第三中学高二数学下学期3月月考试题文

学习资料江西省赣州市赣县第三中学2020—2021学年高二数学下学期3月月考试题文一、选择题1、若i 是虚数单位,则复数11ii+=-( ） A ．—1 B ．1 C ．i - D ．i2、已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有．．一次准确预报的概率为( ） A ．0.8B ．0.7C ．0.56D ．0.384、函数32()391f x x x x =--+有（）A ．极大值1-,极小值3B ．极大值6，极小值3C ．极大值6，极小值26-D ．极大值1-，极小值26-5、现在，很多人都喜欢骑“共享单车”,但也有很多市民并不认可。

为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查 AB总计认可 13 5 18 不认可 7 15 22 总计202040附:2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. ()2P K k0.1 0.05 0。

010 0。

005 k2。

7063。

8416.6357.879A ．没有95％以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关"B ．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C ．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D ．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 63，焦点到渐近线的距离为22 ） A ．2 B ．2 C ．4 D ．437、观察下列各式：55＝3 125， 56＝15 625， 57＝78 125，…,则52 011的末四位数字为 ( )．A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1258、函数()f x 的导函数为()f x ',若已知()f x '的图象如图，则下列说法正确的是（）A ．()f x 一定为偶函数B ．()f x 在()0,∞+单调递增C ．()f x 一定有最小值D ．不等式()0f x <一定有解9、已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点,F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（） A ．240x y +-= B ．240x y --= C ．20x y +-=D ．20x y --=10、已知定义在R 上的可导函数()f x ,对于任意实数x 都有()()2f x f x x -=-成立，且当(],0x ∈-∞时,都有()21f x x '<+成立。

江西省赣州市赣县区第三中学2020-2021学年高二(实验重点班)九月月考数学(文)试题

江西省赣州市赣县区第三中学2020-2021学年高二（实验重点班）九月月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．不等关系已知,,a b c 满足a b c <<且0ac <，则下列选项中一定成立的是（） A ．ab ac < B ．()0c a b -> C ．22ab cb <D ．(22)0a c ac ->2．在ABC 中，45,60,1︒︒===B C c ，则最小边长等于（）.A B C ．12D 3．下列说法正确的是（） A ．三点确定一个平面 B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．不重合的平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点4．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A ．2+B ．122C ．22D ．15．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（） A ．一定平行B ．一定异面C ．相交或异面D ．一定相交6．圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4410C x y x y +---=的位置关系是（）． A ．内含B ．外离C ．外切D ．相交7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3591112a a a a +++=，则13S 等于（） A ．39B ．54C ．56D ．428．已知直线1:(3)4530++-+=l a x y a 与2:2(5)80++-=l x a y 平行，则a 等于（）. A ．-7或-1B ．7或1C ．-7D ．-19．在ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c ab +=-，则角C 为（）A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 10．直线2y kx =+与圆2220x y x ++=只在第二象限有公共点，则实数k 的取值范围为（） A ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(),1-∞11．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是（）A ．平面BME //平面CANB ．AF CN //C ．//BM平面EFDD ．BE 与AN 相交12．设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为2，则23a b+的最小值为（） A ．252B ．25C．D ．50二、填空题13．设等比数列{}n a 满足24a =，34128a a =，则6a =________. 14．过点()2,3A 且垂直于直线250x y +-=的直线方程为______．15．在空间直角坐标系O xyz -中，设点M 是点()2,3,5N -关于坐标平面xoy 的对称点，点()1,2,3P 关于x 轴对称点Q ，则线段MQ 的长度等于__________．16．如图在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号)AC BD ⊥①， AC BD =②， //AC ③截面PQMN ，④异面直线PM 与BD 所成的角为45．三、解答题17．若不等式210ax bx +->的解集是{|12}x x <<．（1）试求a b ，的值；（2）求不等式101ax bx +>-的解集． 18．已知圆22:414450C x y x y +--+=及点(2,3)Q -．（1）若(,1)P a a +在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；（2）若M 为圆C 上的任一点，求||MQ 的最大值和最小值．19．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =时，求直线的方程. 21．如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形，M N G ，，分别是AB AD EF ，，的中点，求证：（1）BE 平面DMF ；（2）平面BDE平面MNG .22．已知a ，b ，c 是ABC 三内角A ，B ，C 的对边，且2cos 2b C c a +=. （1）求角B 的大小（2）若2b =，且ABC ABC 周长.参考答案1．D 【解析】分析：要判断选项的对错，应判断,,a b c 的正负．由0ac <，可得,a c 异号．再因为a b c <<，可得0,0a c <>，b 的正负不确定．对于选项A ，因为b c <，由不等式性质可得ab ac >，所以选项A 错；对于选项B ，因为a b <，所以0a b -<，由不等式的性质可得()0c a b -< ，故选项B 错；对于选项C ，取特殊值，当0b =时，22ab cb = ，故选项C错；对于选项D ，因为a c <，由指数函数的性质可得220a c -<，因为0ac <，由不等式的性质可得()220a cac ->．故选项D 正确．详解：因为0ac <，所以,a c 异号．因为a b c <<，所以0,0a c <>．对于选项A ，因为b c <，所以ab ac >，所以选项A 错；对于选项B ，因为a b <，所以0a b -<，所以()0c a b -< ，故选项B 错；对于选项C ，当0b =时，22ab cb = ，故选项C 错；对于选项D ，因为a c <，所以220a c -<，因为0ac <，所以()220a cac ->．故选项D正确．故选D ．点睛：比较代数式的大小或判断代数式的正负，注意不等式性质的运用．在不等式的两边乘以一个数，应注意所乘数的正负．若,0a b c ><，则ac bc <．若,0a b c >>，则ac bc >． 2．A 【分析】先由题意，得到75A ︒=，根据三角形大边对大角的性质，得到b 最小，由正弦定理，即可求出结果. 【详解】因为在ABC 中，45,60,1︒︒===B C c ，所以18075B C A ︒︒--==，由三角形大边对大角的性质，可得：b 最小，由正弦定理得：sin sin c bC B =，即sin sin c B b C ===故选：A. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型. 3．C 【分析】本题首先可通过三点共线判断出A 错误，然后根据对边异面判断出B 错误，再然后根据两条平行线可以确定一个平面判断出C 正确，最后根据三个不共线的点能确定一个平面判断出D 错误. 【详解】A 项：当三点共线时，无法确定一个平面，故A 错误；B 项：一个四边形，若对边异面，则为一个立体图形，故B 错误；C 项：因为梯形有一组对边平行，两条平行线可以确定一个平面，所以梯形一定是平面图形，故C 正确；D 项：若不重合的平面α和β有不在同条直线上的三个公共点，由于三个不共线的点能确定一个平面，则平面α与平面β重合，与已知矛盾，故D 错误，故选：C. 【点睛】本题考查平面的概念的应用，考查点线面之间的位置关系，考查学生的空间想象能力，考查推理能力，是简单题. 4．A 【分析】根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，根据梯形面积公式即可求解. 【详解】如图，恢复后的原图形为一直角梯形，所以1(11)222S =⨯=+故选：A. 【点睛】本题考查斜二测直观图的特点，属于基础题. 5．C 【分析】根据空间两条直线的位置关系分别判断即可【详解】解：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交，故选：C 【点睛】此题考查空间异面直线的性质和空间两直线的位置关系的判断，属于基础题 6．B 【详解】圆1C 的标准方程即：()()221425x y +++=，圆2C 的标准方程即：()()22229x y -+-=，=两圆的半径为：125,3r r ==，满足121282r r r r +>>-==，故两圆相交. 本题选择D 选项.点睛：(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长． 7．A 【分析】根据等差中项的性质求得73a =，再由等差数列的前n 项和公式可得选项. 【详解】因为359117124a a a a a +++==，所以73a =,()113713713132133922+a a a S a ⨯⨯∴====. 故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的等差中项的性质，等差数列前n 项和公式，属于基础题. 8．C 【分析】由两直线平行的条件求解．【详解】由题意(3)(5)420a a ++-⨯=，解得1a =-或7a =-，1a =-时，两直线方程为2480x y +-=，2480x y +-=，重合，舍去，7a =-时，两直线方程为44260x y -+-=，2280x y --=，平行．故选：C. 【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，但在由平行求参数量，一般用必要条件12210A B A B -=求解，然后代入检验． 9．D 【分析】根据题意，由余弦定理，即可得出结果. 【详解】由222a b c ab +=-得222a b c ab +-=-，由余弦定理，可得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，因此23C π=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由余弦定理解三角形，属于基础题型. 10．B 【分析】先作出圆的图形，再由直线过定点(0,2)，根据两者交点只在第二象限，结合图象易得结论．【详解】由题得直线2y kx =+过定点(0,2)P ，圆的方程为22(1)1x y ++=，它表示以(1,0)-为圆心，以1为半径的圆.直线2y kx =+与圆22(1)1x y ++=只在第二象限有公共点，如图所示：当直线20kx y -+=31,4PA k =∴=. 当直线处于PB 位置时，212PB k ==. ∴实数k 的取值范围为3[4，1)故选：B【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．A 【分析】将正方体的平面展开图复原为几何图形，进而判断选项的正误即可. 【详解】解：将正方体的平面展开图复原为几何图形，选项A ，如图可知//AN BM ，且BM ⊂平面BME ，//AN 平面BME ，NC BE //，且BE ⊂平面BME ，//NC 平面BME ，所以平面BME //平面CAN ，故正确.选项B ，如图，可知AF 与CN 为异面直线，不平行，故错误.选项C ，如图可知平面EFD 与BM 会相交，并不平行，故错误.选项D ，如图可知BE 与AN 为异面直线，不相交，故错误.故选：A.【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系，考查空间想象能力，属于基础题.12．B【分析】先根据条件画出可行域，设z ax by =+，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z ax by =+，过可行域内的点(4,6)时取得最大值，从而得到一个关于a ，b 的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【详解】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大2，即231a b +=，而 2323136136251a b b a a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当b a a b =，即15a b ==时取等号；故选：B ．【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，本题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，属于中档题．13．64【分析】设公比为q ，由题意可得4q ×4q 2＝128，解得q ＝2，则a 6＝a 2q 4，问题得以解决.【详解】解：设公比为q ，∵a 2＝4，a 3a 4＝128，∴4q ×4q 2＝128，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 6＝a 2q 4＝4×24＝64，故答案为：64.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，关键是求出公比q ，属于基础题.14．x －2y ＋4＝0【解析】试题分析：直线2x+y –5=0的斜率为2-，所以所求直线斜率为2-，直线方程为()322y x -=--，整理得240x y -+=考点：直线方程15【分析】按照点关于坐标轴和平面对称的规律求出,M Q 的坐标，然后利用空间两点的距离公式进行求解即可.【详解】因为点M 是点()2,3,5N -关于坐标平面xoy 的对称点，所以()2,3,5M --，又因为点()1,2,3P 关于x 轴对称点Q ，所以()1,2,3Q --.因此MQ ==【点睛】本题考查了空间的点关于坐标轴和平面对称的规律，考查了空间两点距离公式的应用，考查了数学运算能力.16．①③④【分析】由截面PQMN 是正方形出发，利用线面平行的判定和性质，可以推出////PQ AC MN ，////PN BD MQ ,从而得到//AC 平面PQMN ,异面直线PM 与BD 所成的角和PM 与PN 所成角相等为45，AC BD ⊥，M N P Q 、、、不一定是中点从而AC BD ，不一定相等．【详解】解：在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，//PQ MN ∴，PQ ⊄平面ACD ，MN ⊂平面ACD ，//PQ ∴平面ACD ．平面ACB ⋂平面ACD AC =，//PQ AC ∴，可得//AC 平面PQMN ．同理可得//BD 平面PQMN ，//BD PN ．PN PQ ⊥，AC BD ∴⊥．由//BD PN ，MPN ∴∠是异面直线PM 与BD 所成的角，且为45．由上面可知：//BD PN ，//PQ AC ．PN AN BD AD ∴=，MN DN AC AD=，而AN DN ≠，PN MN =，BD AC ∴≠．综上可知：①③④都正确．故答案为①③④．利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可得出．【点睛】本题考查了线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角，属于基础题．17．(1)13 22a b =-=， (2)3 22⎛⎫ ⎪⎝⎭，【分析】（1）由解集得到方程210+-=ax bx 的根，利用韦达定理可求,a b ．（2）利用（1）中的结果并把分式不等式转化为一元二次不等式可求解集．【详解】（1）因为不等式210ax bx +->的解集是()1,2．所以0a <且210+-=ax bx 的解是1和2．故12121b a a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪⎩，解得 1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．（2）由（1）得1120312x x -+>-，整理得到2032x x -<-即()()2320x x --<，解得322x <<，故原不等式的解集为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】（1）一元二次不等式的解集的端点是对应的方程的根，也是对应的二次函数图像与x 轴交点的横坐标，解题中注意利用这个关系来实现三者之间的转化．（2）一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()00f x g x g x ⎧≥⎪⎨≠⎪⎩，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.18．（1）13；（2）【分析】（1）将点(,1)P a a +代入圆的方程可求得,a ，确定点P 的坐标，可得答案；（2）由已知得圆心C 的坐标为(2,7)，计算||CQ ，可得||MQ 的最大值和最小值．【详解】（1）因为点(,1)P a a +在圆上，所以22(1)414(1)450a a a a ++--++=，所以4,(4,5)a P =，因此||PQ ==PQ 的斜率351243PQ k -==--．（2）因为圆心C 的坐标为(2,7)，所以||CQ ==，又圆的半径是Q 在圆外，所以max ||MQ ==，min ||MQ ==【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆上的点与定点的距离的最值，属于中档题.19．（1）21n a n =+，22n S n n =+；（2）13112124n n ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭+. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意，列出方程组求解，得出首项和公差，进而可求出通项公式和前n 项和；（2）由（1）得22n S n n =+，得出111122n n n S ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，根据裂项相消的方法，即可求结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由37a =，5726a a +=，可得112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13a =，2d =，所以()32121n a n n =+-=+；()213222n n n S n n n -=+⨯=+；（2）由（1）可知，22n S n n =+，所以111122n n n S ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ ∴123111111n n nT S S S S S -=+++⋅⋅⋅++ 11111111111232435112n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭ 11113111122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查求等差数列的通项和前n 项和；考查裂项相消法求数列的和，属于常考题型. 20．（1）34a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程.【详解】（1）圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2，当直线l 与圆C2=，解得34a =-；（2）由题意知，圆心C 到直线l的距离为d ==由点到直线的距离公式可得d ==整理得2870a a ++=，解得1a =-或7-.因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题.21．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：(1)连接AE ，结合题意证得BE MO ，利用线面平行的判断定理即可证得BE 平面DMF .(2)结合题意首先证得线面平行：DE 平面MNG ，BD 平面MNG ，且DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线，据此可得平面BDE 平面MNG .试题解析：（1）如图，连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为ABE ∆的中位线，所以BE MO ，又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ，所以BE 平面DMF .（2）因为N G ，分别为平行四边形ADEF 的边,AD EF 的中点，所以DE GN ，又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以DE 平面MNG .又M 为AB 中点，所以MN 为ABD ∆的中位线，所以BD MN ，又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ，所以BD 平面MNG ，又DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线，所以平面BDE 平面MNG .点睛：证明两个平面平行的方法有：①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；④借助“传递性”来完成．22．（1）3B π=；（2）2【分析】（1）先由正弦定理化边为角，即可化简求出B ；（2）先由余弦定理和三角形面积公式可得到关于,a c 方程，进而求出a c +，即可得出周长.【详解】解：（1）由正弦定理：2sin cos sin 2sin B C C A +=∵sin sin()sin()sin cos cos sin A A B C B C C B π=-=+=+∴sin 2cos sin C B C =又∵(0,)C π∈，sin 0C ≠∴1cos 2B =又∵(0,)B π∈，所以3B π=（2）由余弦定理：222222cos 4b a c ac B a c ac =+-=+-=①，由三角形面积公式：1sin 2S ac B ===，即2ac =②，由①②2222()3()64a c ac a c ac a c +-=+-=+-=，所以a c +=，则三角形周长为：2【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，属于基础题.。

江西省赣州市赣县三中2018-2019学年高二下学期3月月考数学(理)试卷

赣县第三中学高二年级2018—2019学年下学期三月考数学（理科）试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是( )A ．归纳推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．特殊推理 2.如图，方程x ＝－y 表示的曲线是( )3．已知函数f (x )＝1x2，则f ′⎝⎛⎭⎫12＝( ) A ．－14 B ．－18C ．－8D ．－164．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．1995．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x ＋5C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x 6. 抛物线与直线有一个公共点是直线与抛物线相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.148．若函数f (x )满足f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．－19．用数学归纳法证明等式：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋110.已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π11.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．812.以F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1B.x 29＋y 28＝1C.x 25＋y 24＝1D.x 23＋y 22＝1 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．14.已知BC 是圆x 2＋y 2＝25的动弦且|BC |＝6，则BC 的中点的轨迹方程是________． 15．根据所给图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n 个图中点的个数为________．16．以下关于圆锥曲线的命题中：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，||PA |－|PB ||＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若OP ＝12(OA ＋OB )，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x235＋y 2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求下列函数的导数： (1)y ＝(x 2＋2)(3x －1)；(2)y ＝x ·e －x ；(3)y ＝12sin 2x .(4)y ＝11－2x 2；(5)y ＝x ln(1－x )．18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y－12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．19.(本小题满分12分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＋c ＝0，f (x )在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－52. 求证：a ≠0且⎪⎪⎪⎪b a <2.20．(本小题满分12分)数列{a n }满足a 1＝16，前n 项和n n a n n S 2)1(+=.(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．21.(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．22．(本小题满分12分)如图所示，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的短轴长．C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E . (1)求C 1，C 2的方程； (2)求证：MA ⊥MB ；(3)记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝λ，求λ的取值范围．2018—2019学年下学期高二三月考理科数学规范答题一、选择题1．A2.解析：选D. x ＝－y ，∴x ≥0，y ≤0∴x 2＝－y ，表示开口向下的抛物线y 轴右边的部分．3．解析：∵f ′(x )＝(x －2)′＝－2x －3，∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝－2×⎝⎛⎭⎫12－3＝－16.答案：D 4．解析：记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.归纳得f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N ＋，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. 答案：C5．解析：依题意得，y ′＝－3x 2＋6x ，y ′|x ＝1＝－3×12＋6×1＝3，即所求切线的斜率等于3，故所求直线的方程是y －2＝3(x －1)，整理得y ＝3x －1. 答案：A6.解析：选B.当直线与抛物线的对称轴平行时，与抛物线也有一个公共点．7.解析：选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2.∴－1m ＝b 2＝4.∴m ＝－14，故选A.8．解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x －1，所以f ′(1)＝1－2f ′(1)－1，则f ′(1)＝0. 答案：A 9．解析：当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)，所以，增乘的式子为k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：B10.解析：选B.设P (x ，y )，代入|P A |＝2|PB |，得(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，则点P 的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，所以点P 的轨迹所围成的图形的面积等于4π.11.解析：选C.由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP→＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.12. 解析：选C.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1x －y ＋3＝0，得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋(10a 2－a 4)＝0，由Δ≥0，得a ≥5，∴e ＝c a ＝1a ≤55，此时a ＝5，故椭圆方程为x 25＋y 24＝1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝(S 1S 2)·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶814.解析：由已知可知圆心与BC 中点的距离为定值4，由圆的定义知轨迹为以(0，0)为圆心4为半径的圆．答案：x 2＋y 2＝1615．解析：图中点的个数依次为：1,3,7,13,21.又1＝1＋0×1；3＝1＋1×2；7＝1＋2×3,13＝1＋3×4,21＝1＋4×5.猜想第n 个图中点的个数为：1＋(n －1)n ，即为n 2－n ＋1(n ∈N ＋)．答案：n 2－n ＋1(n ∈N ＋)16．解析：对于①，其中的常数k 与A ，B 间的距离大小关系不定，所以动点P 的轨迹未必是双曲线；对于②，动点P 为AB 的中点，其轨迹为以AC 为直径的圆；对于③④，显然成立．答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．解析：(1)y ′＝(x 2＋2)′(3x －1)＋(x 2＋2)(3x －1)′＝2x (3x －1)＋3(x 2＋2)＝9x 2－2x ＋6.……………2分(2)y ′＝x ′·e －x ＋x ·(e －x )′＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x .……………4分（3）y ′＝12(sin 2x )′＝12×2·cos 2x ＝cos 2x .……………6分(4)法一：设y ＝u-12，u ＝1－2x 2，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(－12u -32)(－4x )＝－12(1－2x 2)－32(－4x )＝2x (1－2x 2)-32＝2x－2x 21－2x 2.法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－2x 2′＝[(1－2x 2)－12]′＝－12(1－2x 2) -32·(1－2x 2)′＝2x (1－2x 2) -32＝2x－2x 21－2x 2.……………8分(5)y ′＝x ′ln(1－x )＋x [ln(1－x )]′＝ln(1－x )＋x ·－11－x ＝ln(1－x )－x1－x .……………10分18．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，则f (2)＝12. 又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，故f (x )＝x －3x. ……………6分(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.……………12分故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.19.[证明] 假设a ＝0或⎪⎪⎪⎪b a ≥2.(1)当a ＝0时，由a ＋c ＝0，得f (x )＝bx ，显然b ≠0.由题意得f (x )＝bx 在[－1,1]上是单调函数，所以f (x )的最大值为|b |，最小值为－|b |.由已知条件，得|b |＋(－|b |)＝2－52＝－12，这与|b |＋(－|b |)＝0相矛盾，所以a ≠0.……………6分(2)当⎪⎪⎪⎪b a ≥2时，由二次函数的对称轴为x ＝－b 2a，知f (x )在[－1,1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得．所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝a ＋b ＋c ＝2，f －＝a －b ＋c ＝－52，或⎩⎪⎨⎪⎧f ＝a ＋b ＋c ＝－52，f －＝a －b ＋c ＝2.又a ＋c ＝0，则此时b 无解，所以⎪⎪⎪⎪b a <2.由(1)(2)，得a ≠0且⎪⎪⎪⎪b a <2. ……………12分20．解 (1)令n ＝2，∵a 1＝16，∴S 2＝＋2a 2，即a 1＋a 2＝3a 2.∴a 2＝112.令n ＝3，得S 3＝＋2a 3，即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，∴a 3＝120.令n ＝4，得S 4＝＋2a 4，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，∴a 4＝130. ……………6分(2)猜想a n ＝1n ＋n ＋，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1时，a 1＝16＝1＋＋，结论成立．②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝1k ＋k ＋，则当n ＝k ＋1时，S k ＝k k ＋2a k ＝k k ＋2·1k ＋k ＋＝kk ＋，S k ＋1＝k ＋k ＋2a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝k ＋k ＋2a k ＋1.∴kk ＋＋a k ＋1＝k ＋k ＋2a k ＋1.∴a k ＋1＝k k ＋k ＋k ＋2－1＝k k k ＋k ＋＝1k ＋k ＋.当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切n ∈N *都有a n ＝1n ＋n ＋.……………12分21.解：(1)证明：如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1）消去x 后，整理，得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得 y 1·y 2＝－1.∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上， ∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2.∴y 21·y 22＝x 1x 2.∴k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB . ……………6分(2)设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，则x ＝－1，即N (－1，0)．∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|，∴S △OAB ＝12·1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，∴10＝12 1k 2＋4，解得k ＝±16.……………12分 22．解：(1)由题意，知c a ＝22，所以a 2＝2b 2.又2b ＝2b ，得b ＝1.所以曲线C 2的方程为y ＝x 2－1，椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.……………4分(2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知M (0，－1)．则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1⇒x 2－kx －1＝0，故x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1， MA ·MB ＝(x 1，y 1＋1)·(x 2，y 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－(1＋k 2)＋k 2＋1＝0，所以MA ⊥MB . ……………8分(3)设直线MA 的方程为y ＝k 1x －1，直线MB 的方程为y ＝k 2x －1，k 1k 2＝－1，M (0，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －1，y ＝x 2－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1，y ＝k 21－1，所以A (k 1，k 21－1)．同理，可得B (k 2，k 22－1)．故S 1＝12|MA |·|MB |＝121＋k 21·1＋k 22|k 1||k 2|. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，x 22＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 11＋2k 21，y ＝2k 21－11＋2k 21，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 11＋2k 21，2k 21－11＋2k 21. 同理，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋2k 22，2k 22－11＋2k 22.故S 2＝12|MD |·|ME |＝121＋k 21·1＋k 22·16|k 1k 2|＋2k 21＋2k 22，S 1S 2＝λ＝＋2k 21＋2k 2216＝5＋2⎝⎛⎭⎫1k 21＋k 2116≥916，当且仅当1k 21＝k 21，即k 1＝±1时取等号．则λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫916，＋∞. ……………12分。

江西省赣州市赣县三中2018-2019学年高二下学期3月月考数学(文)试卷含答案

赣县第三中学高二年级2018-2019学年第二学期3月考数学（文科）试题命题人：谢慧芬本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．命题“，“的否定是 A ．， B ．， C ．，D ．，2．设，则“”是“”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．给出下列三个命题： ①命题“，”是真命题； ②命题“若，则”的否命题为“若，则”；③命题“若，则”的逆否命题是真命题.其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 4．对于函数21)(x x f =，其导数值等于函数值的点是（） A ． B ． C ． D ． 5．下列说法中错误的是（）A ．先把高二年级的2000名学生编号为1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50m +， 100m +， 150m +的学生，这样的抽样方法是系统抽样法B ．线性回归直线y b x a ∧∧∧=+一定过样本中心点(),x yC ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．若一组数据1、a 、3的平均数是2，则该组数据的方差是236．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )A ．B ．C ．D ．7．已知抛物线上的点到焦点的距离为5，则点的横坐标为（） A ．1 B ．4 C ．6 D ．108．已知ax x x f -=3)(在[1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线与轴所成的锐角为，则该双曲线的离心率是( )A ．2或332B ．C ．2D ．33210．函数的图象是（）A ．B ．C ．D ．11．是定义在R 上的可导函数，且满足0)()(>+'x f x f x ．对任意正数，若，则必有（）A ．B ．C ．D ．12．直线过椭圆1222=+y x 的左焦点，且与椭圆交于两点，为的中点，为原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（） A ．33±B ．22± C ． D ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上） 13．焦距为8，短轴长为6，且焦点在轴上的椭圆的标准方程为________. 14.已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______15．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．16．以下三个关于圆锥曲线的命题中： ①设为两个定点，为非零常数，若,则动点的轨迹是双曲线；②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线192522=-y x 与椭圆13522=+y x 有相同的焦点； ④已知抛物线，以过焦点的一条弦为直径作圆，则此圆与准线相切，其中真命题为__________．（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分)已知命题曲线1)1(2+-+=x m x y 与轴没有交点；命题方程11422=---m x m y 表示焦点在轴上的双曲线 (1)若命题同为真命题，求实数的取值范围(2)若命题同为假命题，求实数的取值范围。

2021-2022学年江西省赣州市赣县第三中学高二下学期期中复习考试数学(理)试题(Word版)

赣州市赣县第三中学2021-2022学年高二下学期期中复习考试数学（理）试卷时间：2022年4月一、单选题 1．空间三点()0,1,0A，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则（）A ．AB 与AC 是共线向量B ．AB 的单位向量是()1,1,0C ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-D ．AB 与BC2．已知为抛物线2:4C y x =的焦点，过作两条互相垂直的直线1l 、2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则AB DE +的是小值为( )A ．B ．C ．D ．3．在平面直角坐标系中，已知椭圆1C 和双曲线2C 有相同的焦点1F ，2F ，点是1C 与2C 的一个交点，满足122PO F F =.设椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则221211e e +=（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知抛物线2:4C x y =的焦点为，若直线过点，且与抛物线C 交于，两点，过点作直线1y =-的垂线，垂足为点M ，点在轴上，线段AF ，MN 互相垂直平分，则||AB =（）A ．43B ．163C ．D ．5．)11sin x dx -=⎰（）A．π3+B．π3C．2π3D．π6．已知2(1)a x dx =+⎰，2b -=，22x c e dx =⎰，则a b c，，的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a c b <<7．若复数满足()12i 5z -=，则（） A ．12z i =-B ．1z +是纯虚数C ．复数在复平面内对应的点在第二象限D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则cos α=8．曲线()x f x e =在点(1,(1))f 处的切线与该曲线及轴围成的封闭图形的面积为（）A ． 2eB ．C ． 1e -D ． 12e-9．曲线y =直线x ＝1以及坐标轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为（）A ．B ．2π C ．2 D ．32π10．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是（） A ．[0，1) B ．(0，1)C ．(－1，1)D ．1(0,)211．过曲线S ：33y x x =-上一点()2,2A -的切线方程为（）A ．9160x y --=或2y =-B ．9160x y +-=C ．9160x y +-=或2y =-D ．9160x y --=12．设()y f x =是定义在上的函数，若下列四条性质中只有三条是正确的，则错误的是（）A ．()y f x =为[)0,∞+上的减函数B ．()y f x =为(],0-∞上的增函数C ．(1)y f x =+为偶函数D ．(0)f 不是函数的最大值二、填空题13．若方程221510x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．14．已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根，β，若3αβ-=，则m 的值是___________.15．已知点P 是曲线4e 1x y =-+上一动点，则曲线在点P 处的切线的斜率最大为________．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别是棱1111A B A D ，的中点，点在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形；②直线11B D 到平面CMN 2； ③存在点，使得11=90B PD ∠︒； ④△1PDD 55．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题17．已知虚数满足2122z i z i +-=+-. （1）求z 的值；（2）若1mz R z+∈，求实数的值．18．先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：求()()135121nn -+-+⋅⋅⋅+--的和.19．已知函数()1ln x f x e x -=-.（1）求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x a >恒成立.求a 的取值范围.20．如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，1AD =，2BC =，为CD 上一点，为BE 的中点，且1DE =，2EC =，现将梯形沿BE 折叠(如图2)，使平面BCE ⊥平面ABED .（1）求证：平面ACE 平面BCE .（2）能否在边AB 上找到一点 (端点除外)使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值为6若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.21．如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>：经过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率12e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设AB 是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线AB 与直线：4x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列．22．已知函数()x f x e =.（1）若函数()f x 和直线2y x b =+相切，求b 的值：（2）令()()sin 1g x f x x ax =+--，当[)1,2a ∈时，判断()g x 零点的个数并证明.参考答案1-5 CABBC 6-10 BDDDB 11-12CA13．15(5,)2 14．5215．116．①③17．（12（2）12m =.18．猜想：()()()1351211nnn n -+-+⋅⋅⋅+--=-；证明：（1）当1n =时，左边1=-，右边1=-，等式成立；（2）假设当(n k k =∈)N*时，等式成立，即()()()1351211kkk k -+-+⋅⋅⋅+--=-，则当1n k =+时，左边()()()()11351211211kk k k +=-+-+⋅⋅⋅+---+-+⎡⎤⎣⎦()()()11121k k k k +=-+-+()()121kk k =--+⎡⎤⎣⎦()()11kk =---()()111k k +=-+右边，所以当1n k =+时，等式成立，由（1）（2）可知对于任意的n ∈N *时，()()()1351211nnn n -+-+⋅⋅⋅+--=-. 19．（1）1y =；（2）(,1)-∞. 20．（1）在直角梯形ABCD 中，作于DM BC ⊥于M ，连接AE ，则211CM=-=，123CD DE CE =+=+=，则22DM AB ==1cos 3CM C CD ==，则221432cos 442223BE CE CB CE CB C =+-⋅+-⨯⨯⨯ 在直角CDM ∆中，可得1sin CM CDM CD ∠==，则221262cos 112113AE AD DE AD DE ADE =+-⋅∠=++⨯⨯⨯=，所以222AE BE AB +=，故AE BE ⊥，且折叠后AE 与BE 位置关系不变.又因为平面BCE 平面ABED ，且平面BCE 平面ABED BE ，所以AE ⊥平面BCE ，因为AE 平面ACE ，所以平面ACE 平面BCE . （2）在BCE 中，由2BC CE ==，为BE 的中点，可得CF BE ⊥. 又因为平面BCE 平面ABED ，且平面BCE 平面ABED BE ，所以CF 平面ABED ，则以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则2623(A ，26C ，23(0,E ，则262326(AC =，2326(0,)CE =，设平面ACE 的法向量为(,,)m x y z =，则26232603232603m AC x y m CE y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，令1z =，可得平面ACE 的法向量为(0,2,1)m =-，假设AB 存在点使平面ACE 与平面PCF 6，且AP AB λ=(R λ∈)， ∵23B ，∴2643(AB =，故2643(,0)AP =，又262326(3CA =，∴262326(1),3CP λλ=--，又由26FC =，设平面PCF 的法向量为(,,)n x y z =，可得260262326)1)0x y λλ⎧=⎪⎪--=，令21x λ=-得(22(1),0)n λλ=--，∴222(1)6cos ,3(21)2(1)m n λλλ-<>==⋅-+-，解得12λ=，因此存在点且为线段AB 中点时使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值为6. 21．（1）22143x y +=；（2）由（1）知，椭圆的方程为22143x y +=，可得椭圆右焦点坐标()1,0F ，显然直线AB 斜率存在，设AB 的斜率为，则直线AB 的方程为()1yk x =-，联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()2222438430kx k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2122843kx x k +=+，()21224343k x x k -=+，由直线AB 的方程为()1y k x =-，令4x =，可得3y k =，即()4,3M k ，从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==--，又因为,,A F B 共线，则有AF BF k k k ==，即有121211y y k x x ==--，所以12121212121233311221111211y y y y k k x x x x x x --⎛⎫+=+=+-+ ⎪------⎝⎭()12121223221x x k x x x x +-=-⋅-++，将()22121222438,4343k k x x x x k k -+==++，代入得()2212222282343221243814343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++，又由312k k =-，所以1232k k k +=，即1k ，3k ，2k 成等差数列． 22．（1）22ln 2b =-；（2）由()sin 1xg x e x ax =+--，可得()cos x g x e x a '=+-，当0x =时，()00g =，所以0x =是()g x 的一个零点，设()()cos xh x g x e x a '==+-，可得()sin x h x e x '=-，当0x >时，0()sin sin 1sin 0x h x e x e x x '=->-=-≥，所以()h x 在(0,)+∞上时单调递增函数，所以()()020g x g a ''>=->，所以()gx 在(0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g >=，所以()gx 在(0,)+∞上没有零点；当x π≤-时，因为12a ≤<，可得21a -<-≤-，所以ax π-≥，可得()sin 10xg x e x π≥++->，所以()gx 在(,]π-∞-上没有零点；当0x π-<<时，sin 0x <，可得()sin 0x h x e x '=->，所以()g x '在(),0π-上单调递增，又由()()cos()0,020g e a g a πππ-''-=+--<=->，所以在(),0π-内存在唯一0x ，使得0()=0g x '，所以()gx 在()0,x π-上单调递减，在()0,0x 上单调递增，又因为()10,(0)0g e a g πππ--=+->=，所以()g x 在(),0π-内有一个零点，综上可得，函数()g x 有两个零点.。

江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二6月份考试数学(理)试题

江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二6月份考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设复数21iz i=+ （其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列说法不正确的是（）A ．命题“若a b >，则ac bc >”是真命题B ．命题“若220a b +=，则,a b 全为0”是真命题C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a ≠，则0ab ≠”D ．命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是“若0ab ≠，则0a ≠” 3．已知函数()52ln 33x f x x -=，则()()011lim x f f x x∆→-+∆=∆（）A ．1B ．-1C ．43-D ．53-4．22(x dx -+=⎰（）A ．πB ．4πC ．2D ．2π5．若实数数列：1，a ，81成等比数列，则圆锥曲线221yx a+=的离心率是（）A 3B C D ．13或10 6．已知三次函数y=f(x)的图像如下图所示，若'()f x 是函数f(x)的导函数，则关于x 的不等式()()7xf x f '>的解集为（）A ． {}014x x x <<<或 B ．{}7x x <C ． {}14x x <<D ．{}401x x x ><<或7．已知双曲线221(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）A ．22124x y -=B ．22148x y -=C ．2218y x -=D ．22128x y -=8．下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的性质（2）由11,21,n a a n ==-求出123,,S S S ，猜测出n S（3）M,N 是平面内两定点，动点P 满足2PM PN a MN +=>,得点P 的轨迹是椭圆．（4）由三角形的内角和是180，四边形内角和是360，五边形的内角和是540，由此得凸多边形的内角和是(2)180n -⋅结论正确的是（） A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(2)(4)D ．(1)(2)(3)(4)9．已知函数()f x lnx =，若关于x 的方程()f x kx =恰有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．1(0,)eB ．(0，1]eC ．1(2D ．1(210．如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点.设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大11．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f =，当0x >时，有()()f x xf x '>恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（）. A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(1,0)(1,)D ．(1,0)(0,1)-12．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（）A ．43B ．53C ．2D ．259二、填空题13．曲线()22ln y x x =-在1x =处的切线方程为__________________.14>或<填写）.15．如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________16．如图，二面角l αβ--等于120︒，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且1AB AC BD ===，则CD 的长等于______．三、解答题17．设p:实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题:q 实数x 满足 |x-3|≤1 .(1)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.18．设函数2()1ln f x x x =+- （1）求() f x 的单调区间；（2）求函数()()g x f x x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．19．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，EC =2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30．（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；（2）求二面角A CE B --的余弦值．20．如图所示，ABCD 是边长24AB cm =，9AD cm =的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，M 、N 是AB 上被切去的小正方形的两个顶点，设()AM x cm =.（1）将长方体盒子体积3()V cm 表示成x 的函数关系式，并求其定义域；（2）当x 为何值时，此长方体盒子体积3()V cm 最大？并求出最大体积. 21．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为边长为2的菱形，,,3BAD PA PB Mπ∠==为AB 中点，连接MD .（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PMD ；（Ⅱ）若平面PAB ⊥平面ABCD ，且二面角B AP D --，求四棱锥P ABCD -的体积.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），12AF F △（1）求椭圆C的方程；=+与椭圆C相交于点,A B两点，问y轴上是否存在点M，使（2）若直线:l y x m得ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．A 【解析】试题分析：，对应的点为，在第一象限，故答案为A.考点：复数的四则运算及几何意义. 2．A 【分析】根据不等式性质，真命题，否命题，逆否命题性质逐一判断各个选项即可．【详解】A 选项，若a b >，当0c ≤时，ac bc >不成立，所以命题为假命题，所以A 不正确B 选项，若220a b +=，则,a b 全为0正确，所以命题为真命题，正确C 选项，否命题否定结论和条件，本选项满足否命题形式，正确D 选项，命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是“若0ab ≠，则0a ≠”满足逆否命题的形式. 所以答案选A 【点睛】本题考查了不等式的性质，真命题的判断，否命题和逆否命题的知识.属于基础题目. 3．B 【分析】先对函数求导,然后根据导数在某点的极限值,即可得到答案. 【详解】解：()3'523x f x -=，()52133'1f =-=， ()()()()()()001111lim lim 111'1x x f f f x f f x x x∆→∆→-+∆-+∆==--∆=+∆，∴()()11lim1x f f x x∆→-+∆=-∆.故选： B【点睛】此题考查导数的定义,考查函数在某点处的导数,考查转化思想,属于基础题. 4．D 【分析】由定积分的运算性质，得到22222(x dx xdx ---+=+⎰⎰⎰，再结合定积分的计算公式和定积分的几何意义，即可求解. 【详解】由定积分的运算性质，可得22222(x dx xdx ---+=+⎰⎰⎰，又由2222222111|2(2)0222xdx x --==⨯-⨯-=⎰，根据定积分的几何意义，可知定积分2-⎰表示y = 即224x y +=所表示的上半圆的面积，其中面积为2π，所以22(2x dx π-+=⎰.故选：D. 【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记定积分的运算性质和定积分的几何意义是解答的关键，着重考查运算能力. 5．A 【分析】由等比数列的性质可得a 的值，分类讨论可求曲线的离心率．【详解】由1，a ，81成等比数列有：281a =，所以9a =±，当9a =时，方程为2219y x +=，表示焦点在y 轴的椭圆，其中13a =，1c ==，故离心率113c e a ==；当9a =-时，方程为2219y x -=，表示焦点在x 轴的双曲线，其中21a =，2c =，故离心率22c e a ==, 故选择A . 【点睛】本题考查知识点有等比数列的性质和圆锥曲线的离心率，属于综合题型，根据题意得出未知量代入圆锥曲线方程即可求离心率，难度不大，注重基础的应用，属于简单题. 6．A 【解析】分析：结合导函数和原函数的关系即可得求得结论.详解：有图可知()70f =，所以即解()xf x '>0，当0x >时，等价于()f x '>0，故满足条件的为14x <<，当0x <时,等价于()f x '<0,故满足条件的为0x <，所以综合可得()()7xf x f '>的解集为{}014x x x <<<或故选A.点睛：考查导函数与原函数的关系，导函数大于零则原函数递增，导函数小于零则原函数递减，属于中档题. 7．D 【分析】由题意得到关于m 的方程，解方程求得m 的值即可确定双曲线方程. 【详解】由题意可得：22,6a m b m ==+，则实轴长为：由题意有：2=，解得：2m =，代入2216x y m m -=+可得双曲线方程为22128x y -=.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．C【分析】根据归纳推理和类比推理的概念，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意知，（1）中由圆的性质类比出球的性质是两类事物之间的推理过程是类比推理，属于合情推理；（2）由11,21,n a a n ==-求出123,,S S S ，猜测出n S ，体现了特殊到一般的推理，是归纳推理，属于合情推理；（3）由M,N 是平面内两定点，动点P 满足2PM PN a MN +=>,得点P 的轨迹是椭圆，属于演绎推理.（4）由三角形的内角和是180，四边形内角和是360，五边形的内角和是540，由此得凸多边形的内角和是(2)180n -⋅，属于归纳推理，是合情推理. 综上所述，属于合情推理有(1)(2)(4)，故选C. 【点睛】本题主要考查了归纳推理与类比推理的概念及判定，其中解答中熟记归纳推理和类比推理的概念，逐项准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 9．A 【分析】f （x ）＝kx 可变形为k lnxx=，关于x 的方程f （x ）＝kx 的实数根问题转化为直线y ＝k 与函数g （x ）g （x ）lnxx=的图象的交点个数问题，由导数运算可得函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数，又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=，画草图即可得解．【详解】设g （x ）()f x lnx xx==，又g ′（x ）21lnxx -=，当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，当x ＞e 时，g ′（x ）＜0，则函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数，又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=，即直线y ＝k 与函数g （x ）的图象有两个交点时k 的取值范围为（0，1e），故选A ．【点睛】本题考查了导数的运算及方程与函数的互化及极限思想，属于中档题. 10．D 【分析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，,02AE x x =≤≤，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，确定出,,B D E 点的坐标，求出平面BDE 的法向量m ，底面ABC 的法向量坐标为(0,0,1)n =，将cos α表示为关于x 的函数，通过讨论cos α的增减变化，即可求出结论. 【详解】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BDm ED ⎧⊥⎨⊥⎩，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =33,1t x s x =-=+，所以平面BDE的一个法向量(m x =+，底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，cos |cos ,|m n α=<>==当1(0,)2x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小，当1(,2)2x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大. 故选：D.【点睛】本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题. 11．D 【分析】由已知当0x >时，有()()f x xf x '>恒成立，可判断函数()f x g x x=（）为减函数，由()f x 是定义在R 上的奇函数，可得g （x ）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g （x ）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，结合g （x ）的图象，解不等式即可【详解】设()f x g x x=（）则g （x ）的导数为()()2'xf x f x g x x-=，（） ∵当x ＞0时总有xf′（x ）＜f （x ）成立，即当x ＞0时，g′（x ）＜0，∴当x ＞0时，函数()f xg x x=（）为减函数，又()()f x f x g x g x x x--===-（）（），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数又∵()1101f g ==（）∴函数g （x ）的图象如图：数形结合可得∵xf （x ）＞0且，f （x ）=xg （x ）（x≠0）∴x 2•g （x ）＞0∴g （x ）＞0 ∴0＜x ＜1或-1＜x ＜0 故选D ．【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题． 12．B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值. 【详解】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=,||BP ∴==9255=， ||5tan ||3AB BP θ∴=， tan θ∴的最大值为53.故选：B . 【点睛】本题主要考查的是线面所成角，解题的关键是找到线面所成角的平面角，是中档题. 13．10x y +-= 【分析】根据条件求出x ＝1时y 、y ′的值即可表示出切线方程．【详解】解：根据题意可得y ′＝2xlnx +x ﹣2x，则当x ＝1时，y ＝0，y ′＝﹣1，所以曲线在x ＝1处的切线方程为y ＝﹣（x ﹣1），整理得x +y ﹣1＝0，故答案为：x +y ﹣1＝0．故答案为：10x y +-=. 【点睛】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题． 14．> 【分析】平方作差比较可得结果. 【详解】0≥0≥，且2-225(25)x x =-+--2=0>，所以2>2>+故答案为：>. 【点睛】本题考查了作差法比较大小，属于基础题. 15． y=-0.5x+4 【详解】设弦为AB ，且()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程得222211221,1369369x y x y +=+=，两式作差并化简得2112211212y y x x x x y y -+=-=--+，即弦的斜率为12-，由点斜式得()1242y x -=--，化简得0.54y x =-+. 16．2 【分析】由已知中二面角α﹣l ﹣β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，由22()CD CA AB BD =++，结合向量数量积的运算，即可求出CD 的长．【详解】∵A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，又∵二面角α﹣l ﹣β的平面角θ等于120°，且AB ＝AC ＝BD ＝1， ∴0CA AB AB BD ⋅=⋅=，CA DB =＜，＞60°，1160CA BD cos ⋅=⨯⨯︒ ∴22()CD CA AB BD =++2222422=CA AB BD CA AB AB BD CA BD =+++⋅+⋅+⋅||2CD =故答案为2．【点睛】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用22()CD CA AB BD =++，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键． 17．（1）23x <<；（2）423a <<. 【解析】试题分析：求出,p q 对应的集合：:{|3}p x a x a <<，:{|24}q x x ≤≤ （1）p q ∧为真，则,p q 均为真，求交集可得x 的范围；（2）p ⌝是⌝ q 的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，因此有集合{|24}x x ≤≤是集合{|3}x a x a <<的真子集．试题解析：（1）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<当1a =时，1<3x <,即p 为真时实数x 的取值范围是1<3x <.由|x-3|≤1, 得-1≤x -3≤1, 得2≤x≤4即q 为真时实数x 的取值范围是2≤x≤4,若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<. (2) 由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<， p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒ q ⌝,且q ⌝ ⇒ p ⌝, 设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则A B ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x>4 or x<2}，则3a>4且a<2其中0a >所以实数a 的取值范围是423a <<.18．（1）单调递减区间为0,2⎛ ⎝⎭，单调递增区间为2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）1. 【分析】（1）直接求导，由()0f x '>得单调递增区间即可；（2）判断()g x 的单调性即可求出最值. 【详解】解：（1）定义域为(0,)+∞， 1()2f x x x'=-，由()0f x '>得 2x >，∴()f x 的单调递减区间为0,2⎛ ⎝⎭，单调递增区间为2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）2(l )1n x g x x x +-=-1(21)(1)()21x x g x x x x '+-=--=，由()0g x '>得1x >，∴()g x 在1(,1)2上单调递减，在(1,2)上单调递增，∴()g x 的最小值为(1)1g =.【点晴】此题考利用导数求单调区间和最值，属于简单题. 19．(Ⅰ)见证明； (Ⅱ) 13．【分析】（Ⅰ）先证得EF FC ⊥，再证得EF BD ⊥，于是可得EF ⊥平面BCD ，根据面面垂直的判定定理可得平面EFC ⊥平面BCD ．（Ⅱ）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解即可得到所求．【详解】（Ⅰ）在t R BCD ∆中，F 是斜边BD 的中点，所以112FC BD ==. 因为,E F 是,AD BD 的中点，所以112EF AB ==，且EC = 所以222EF FC EC +=，所以EF FC ⊥.又因为,//AB BD EF AB ⊥，所以EF BD ⊥，又BD FC F ⋂=，所以EF ⊥平面BCD ，因为EF ⊂平面EFC ，所以平面EFC ⊥平面BCD ．（Ⅱ）方法一：取AC 中点M ，连ME ，则//ME CD ，因为12CE AD == 所以CD AC ⊥.又因为CD BC ⊥，AC BC C ⋂=，所以CD ⊥平面ABC ，所以ME ⊥平面ABC ．因此ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角．故22cos306AC MC EC ==⋅=所以CD BC ==过点B 作BN AC ⊥于N ，则BN ⊥平面ACD ，且AB BC BN AC ⋅==．过点B 作BH EC ⊥于H ，连接HN ，则BHN ∠为二面角A CE B --的平面角．因为BE BC EC ===，所以BH BE HN ====，所以1cos 3HN BHN BH ∠==，因此二面角A CE B --的余弦值为13．方法二：如图所示，在平面BCD 中，作x 轴⊥BD，以B 为坐标原点，BD ，BA 所在直线为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ．因为CD BC ==同方法一,过程略)则()1,1,0C ，()0,0,2A ,()0,1,1E ．所以()=1,0,1CE -,()0,1,1BE =,()0,1,1AE =-，设平面ACE 的法向量()111,,m x y z =，则·0C ?0AE m E m ⎧=⎨=⎩，即111100y z x z -=⎧⎨-+=⎩，取11x =,得()1,1,1m =．设平面BCE 的法向量()222,,n x y z =则·0·0BE n CE n ⎧=⎨=⎩，即222200y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取21x =,得()1,1,1n =-．所以·1cos ,33m n m n m n ==⨯，由图形得二面角A CE B --为锐角，因此二面角A CE B --的余弦值为13．【点睛】利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交替运用．利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系． 20．（1）32466216V x x x =-+，90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）当2x =时长方体盒子体积()3V cm 最大，此时最大体积为3200cm . 【分析】（1）分别由题意用x 表示长方体的长宽高，代入长方体的体积公式即可表示该函数关系，再由实际长方体的长宽高都应大于零构建不等式组，即可求得定义域. （2）利用导数分析体积在定义域范围内的单调性，进而求函数的最大值. 【详解】长方体盒子长(242)EF x cm =-，宽(92)FG x cm =-，高EE xcm '=. （1）长方体盒子体积(242)(92)V x x x =--，32466216V x x x =-+由02420920x x x >⎧⎪->⎨⎪->⎩得902x <<，故定义域为90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知长方体盒子体积32466216V x x x =-+ 则()()2121322161229V x x x x '=-+=--，在90,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内令0V '>，解得(0,2)x ∈，故体积V 在该区间单调递增；令0V '<，解得92,2x ⎛∈⎫⎪⎝⎭，故体积V 在该区间单调递减； ∴V 在2x =取得极大值也是最大值.此时323426622162200V cm =⨯-⨯+⨯=. 故当2x =时长方体盒子体积()3V cm 最大，此时最大体积为3200cm .【点睛】本题考查实际生活中的最优解问题，涉及数学建模与利用导数求函数的最大值，属于简单题. 21．(Ⅰ)见证明；(Ⅱ)2. 【分析】（Ⅰ）连接BD ，在菱形ABCD 中可得DM AB ⊥，又PM AB ⊥，进而可得AB ⊥平面PMD ，于是得到CD ⊥平面PMD ，所以可得结论成立．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设PM a =，二面角B AP D --a =PM =，然后根据椎体的体积公式求解即可．【详解】（Ⅰ）连接BD ，∵菱形ABCD 中，3BAD π∠=，∴ABD ∆为等边三角形，又M 为BC 中点， ∴DM AB ⊥．又PA PB =，则PM AB ⊥，又DM PM M ⋂=， ∴AB ⊥平面PMD ，又//AB CD ， ∴CD ⊥平面PMD ，又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PMD .（Ⅱ）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，且交线为AB ，PM AB ⊥，PM ⊂平面PAB , ∴PM ABCD ⊥平面，以M 为原点，,,MB MD MP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Mxyz ，设(0)PM a a =>，则()()()0,0,,1,0,0,0,P a A D -，则()()1,3,0,1,0,AD AP a ==，设平面ADP 的一个法向量为(),,n x y z =，则•0•0AD n AP n ⎧=⎨=⎩，即00x x az ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，可取(3,,n a a =-又平面PAB 的法向量可取()0,1,0m =，由题意得2•cos ,34m n m n m na ===，解得a =PM =，又菱形ABCD的面积2AB DM ⨯=， ∴四棱锥P ABCD -的体积为11233ABCD V S PM =⨯⨯=⨯=．【点睛】空间向量的引入，为解决立体几何中的角度问题提供了工具，可将几何问题转化为数的运算的问题处理，但解题中需要注意向量的夹角与空间角的关系，在进行代数运算后还需要再转化为几何问题，属于中档题．22．（1）2214x y +=；（2）存在，点30,5M ⎛⎫± ⎪⎝⎭，使得ABM是以M 为直角顶点的等腰直角三角形. 【分析】（1）由已知得bc =又2c e a ==，222a b c =+，可解得,,a b c ，得椭圆C 的方程；（2）假设y 轴上存在点()0,M t ，设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,N x y ，联立直线l 方程与椭圆的方程消去y 可得：2258440x mx m ++-=，由交点的韦达定理求得4,55m m N ⎛⎫-⎪⎝⎭，再由AM BM ⊥，MN l ⊥，可求得,m t ，得出结论.【详解】解:（1）12AF F △，则：()122b c ⨯⨯=bc = 又2c e a ==，222a b c =+，解得：24a =，21b =，∴椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）假设y 轴上存在点()0,M t ，ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,N x y ，由2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得：2258440x mx m ++-=，()()2226420441650m m m ∆=--=->，解得：25m <，1285m x x ∴+=-，212445m x x -=，120425x x m x +∴==-，005m y x m =+=，4,55m m N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，依题意有AM BM ⊥，MN l ⊥，由MN l ⊥可得：5114015mt m -⨯=-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭，可得：35m t =-，由AM BM ⊥可得：12121y t y tx x --⋅=-，11y x m =+，22y x m =+，代入上式化简可得：()()()2121220x x m t x x m t +-++-=，则：()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1m =±，当1m =时，点30,5M ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足题意；当1m =-时，点30,5M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意,故y 轴上存在点30,5M ⎛⎫± ⎪⎝⎭，使得ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形. 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的方程，以及直线与椭圆的位置关系之存在问题，属于较难题.。

高二数学3月月考试题理试题 11

赣县第三中学高二年级2021—2021学年下学期三月考数学〔理科〕试卷班级姓名学号得分一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是( )A ．归纳推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．特殊推理，方程x ＝－y 表示的曲线是( )3．函数f (x )＝1x 2，那么f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．－14 B ．－18C ．－8D ．－164．观察以下各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，那么a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．1995．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x 6. 抛物线与直线有一个公一共点是直线与抛物线相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，那么m 的值是( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D.148．假设函数f (x )满足f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，那么f ′(1)的值是( )A ．0B ．2C ．1D ．－19．用数学归纳法证明等式：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋110.两定点A (－2，0)，B (1，0)，假如动点P 满足|PA |＝2|PB |，那么点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π11.假设点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，那么OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．812.以F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公一共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( ) A.x 220＋y 219＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分)13．在平面上，假设两个正三角形的边长比为1∶2，那么它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，假设两个正四面体的棱长比为1∶2，那么它们的体积比为________． 14.BC 是圆x 2＋y 2＝25的动弦且|BC |＝6，那么BC 的中点的轨迹方程是________． 15．根据所给图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中点的个数为________．16．以下关于圆锥曲线的命题中：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，||PA |－|PB ||＝k ，那么动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，假设OP ＝12(OA ＋OB )，那么动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有一样的焦点．其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17．(本小题满分是10分)求以下函数的导数： (1)y ＝(x 2＋2)(3x －1)； (2)y ＝x ·e －x ； (3)y ＝12sin 2x .(4)y ＝11－2x2；(5)y ＝x ln(1－x )．18．(本小题满分是12分)设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．19.(本小题满分是12分)f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，假设a ＋c ＝0，f (x )在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－52. 求证：a ≠0且⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <2.20．(本小题满分是12分)数列{a n }满足a 1＝16，前n 项和n n a n n S 2)1(+=.(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．21.(本小题满分是12分)抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．22．(本小题满分是12分)如下图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的短轴长．C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E . (1)求C 1，C 2的方程； (2)求证：MA ⊥MB ；(3)记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2，假设S 1S 2＝λ，求λ的取值范围．2021—2021学年下学期高二三月考理科数学标准答题一、选择题 1．A2.解析：选D. x ＝－y ，∴x ≥0，y ≤0∴x 2＝－y ，表示开口向下的抛物线y 轴右边的局部．3．解析：∵f ′(x )＝(x －2)′＝－2x －3，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝－16.答案：D4．解析：记a n＋b n＝f (n )，那么f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋ff (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N ＋，n ≥3)，那么f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋fa 10＋b 10＝123. 答案：C5．解析：依题意得，y ′＝－3x 2＋6x ，y ′|x ＝1＝－3×12＋6×1＝3，即所求切线的斜率等于3，故所求直线的方程是y －2＝3(x －1)，整理得y ＝3x －1. 答案：A 6.解析：选B.当直线与抛物线的对称轴平行时，与抛物线也有一个公一共点．7.解析：选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，那么双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，那么a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2.∴－1m ＝b 2＝4.∴m ＝－14，应选A.8．解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x －1，所以f ′(1)＝1－2f ′(1)－1，那么f ′(1)＝0. 答案：A9．解析：当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)，所以，增乘的式子为2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：B10.解析：选B.设P (x ，y )，代入|PA |＝2|PB |，得(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，那么点P 的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，所以点P 的轨迹所围成的图形的面积等于4π.11.解析：选C.由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，那么OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →获得最大值6.12. 解析：选C.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1x －y ＋3＝0，得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋(10a 2－a 4)＝0，由Δ≥0，得a ≥5，∴e ＝c a ＝1a ≤55，此时a ＝5，故椭圆方程为x 25＋y 24＝1.二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分) 13．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝(S 1S 2)·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶814.解析：由可知圆心与BC 中点的间隔为定值4，由圆的定义知轨迹为以(0，0)为圆心4为半径的圆．答案：x 2＋y 2＝1615n 个图中点的个数为：1＋(n －1)n ，即为n 2－n ＋1(n ∈N ＋)．答案：n 2－n ＋1(n ∈N ＋)16．解析：对于①，其中的常数k 与A ，B 间的间隔大小关系不定，所以动点P 的轨迹未必是双曲线；对于②，动点P 为AB 的中点，其轨迹为以AC 为直径的圆；对于③④，显然成立．答案：③④三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤) 17．解析：(1)y ′＝(x 2＋2)′(3x －1)＋(x 2＋2)(3x －1)′＝2x (3x －1)＋3(x 2＋2)＝9x 2－2x ＋6.……………2分(2)y ′＝x ′·e －x＋x ·(e －x)′＝e －x－x e －x＝(1－x )e －x.……………4分〔3〕y ′＝12(sin 2x )′＝12×2·cos 2x ＝cos 2x .……………6分(4)法一：设y ＝u -12，u ＝1－2x 2，那么y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(－12u -32)(－4x )＝－12(1－2x 2)－32(－4x )＝2x (1－2x 2) -32＝2x 1－2x21－2x2.法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－2x 2′＝[(1－2x 2)－12]′＝－12(1－2x 2) -32·(1－2x 2)′＝2x (1－2x 2) -32＝2x 1－2x21－2x2.……………8分(5)y ′＝x ′ln(1－x )＋x [ln(1－x )]′＝ln(1－x )＋x ·－11－x ＝ln(1－x )－x1－x.……………10分 18．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，那么f (2)＝12. 又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，故f (x )＝x －3x. ……………6分(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.……………12分故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.19.[证明] 假设a ＝0或者⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2.(1)当a ＝0时，由a ＋c ＝0，得f (x )＝bx ，显然b ≠0. 由题意得f (x )＝bx 在[－1,1]上是单调函数，所以f (x )的最大值为|b |，最小值为－|b |. 由条件，得|b |＋(－|b |)＝2－52＝－12，这与|b |＋(－|b |)＝0相矛盾，所以a ≠0.……………6分 (2)当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2时，由二次函数的对称轴为x ＝－b2a ，知f (x )在[－1,1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处获得．所以⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝2，f －1＝a －b ＋c ＝－52，或者⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝－52，f －1＝a －b ＋c ＝2.又a ＋c ＝0，那么此时b 无解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <2.由(1)(2)，得a ≠0且⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <2. ……………12分20．解 (1)令n ＝2，∵a 1＝16，∴S 2＝2×2＋12a 2，即a 1＋a 2＝3a 2.∴a 2＝112.令n ＝3，得S 3＝3×3＋12a 3，即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，∴a 3＝120. 令n ＝4，得S 4＝4×4＋12a 4，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，∴a 4＝130. ……………6分 (2)猜测a n ＝1n ＋1n ＋2，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1时，a 1＝16＝11＋11＋2，结论成立．②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝1k ＋1k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，S k ＝k k ＋12a k ＝k k ＋12·1k ＋1k ＋2＝k2k ＋2，S k ＋1＝k ＋1k ＋22a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝k ＋1k ＋22a k ＋1.∴k 2k ＋2＋a k ＋1＝k ＋1k ＋22a k ＋1.∴a k ＋1＝k2k ＋2k ＋1k ＋22－1＝kk k ＋3k ＋2＝1k ＋2k ＋3.当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切n ∈N *都有a n ＝1n ＋1n ＋2.……………12分21.解：(1)证明：如下图，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k 〔x ＋1〕消去x 后，整理，得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得y 1·y 2＝－1.∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上， ∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2.∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∴k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB . ……………6分(2)设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，那么x ＝－1，即N (－1，0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|，∴S △OAB ＝12·1·〔y 1＋y 2〕2－4y 1y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，∴10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.……………12分 22．解：(1)由题意，知c a ＝22，所以a 2＝2b 2. 又2b ＝2b ，得bC 2的方程为y ＝x 2－1，椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.……………4分(2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知M (0，－1)．那么⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1⇒x 2－kx －1＝0，故x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1，MA ·MB ＝(x 1，y 1＋1)·(x 2，y 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－(1＋k 2)＋k 2＋1＝0，所以MA ⊥MB . ……………8分(3)设直线MA 的方程为y ＝k 1x －1，直线MB 的方程为y ＝k 2x －1，k 1k 2＝－1，M (0，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y ＝x 2－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或者⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1，y ＝k 21－1，所以A (k 1，k 21－1)．同理，可得B (k 2，k 22－1)．故S 1＝12|MA |·|MB |＝121＋k 21·1＋k 22|k 1||k 2|.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，x 22＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或者⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k11＋2k 21，y ＝2k 21－11＋2k 21，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 11＋2k 21，2k 21－11＋2k 21. 同理，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋2k 22，2k 22－11＋2k 22. 故S 2＝12|MD |·|ME |＝121＋k 21·1＋k 22·16|k 1k 2|1＋2k 211＋2k 22， S 1S 2＝λ＝1＋2k 211＋2k 2216＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋k 2116≥916，当且仅当1k 21＝k 21，即k 1＝±1时取等号．那么λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫916，＋∞. ……………12分励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。