数列求和专题

解：由通项an=
1 (2n-1)×(2n+1)
=
1（ 1 2 2n-1
-
1） 2n+1
∴Sn=
1（121
1 3
+
1 3
-
1 +……+
5
= 1 （1 - 1 ） = n
2
2n+1
2n+1
1 -
2n-1
1 )
2n+1
裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二 项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项， 进而达到求和的目的。
*④12＋22＋32＋…＋n2＝61n(n＋1)(2n＋1)． *⑤13＋23＋33＋…＋n3＝41n2(n＋1)2.
2.分组求和法：
若数列 { a n } 的通项可转化为 an bn cn
的形式，且数列 { b n } { c n } 可求出前n项和 s b s c
则
2.分组求和法：
例1.求下列数列的前n项和
既{anbn}型
等差
等比
例３、求和Sn =1+2x+3x2+ ……+nxn-1 (x≠0,1)
解：∵ Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1
∴xSn =
x + 2x2 + … + (n-1)xn-1+nxn
∴பைடு நூலகம்① -②，得：
(1-x) Sn =1+x+x2+ … + xn-1 - nxn
2(1 1 ) 2 n n 1 n 1
常见的拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n1) n n1
2. 1 1(1 1 ) n(nk) k n nk
3 . 1 1( 11) (2 n 1 )2 (n 1 ) 22 n 12 n 1
4. 1 1 ( ab) ab ab
5 . 1 1 [ 1 1 ] n ( n 1 )n ( 2 ) 2n ( n 1 ) ( n 1 )n ( 2 )
=
1-xn 1-x
-…nxn
=
1-(1+n)xn+nxn+1 1-x
∴
Sn=
1-(1+n)xn+nxn+1 (1-x)2
４、错位相减法
练习
通项
1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=？
５、裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之 差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数项 之和，这一求和方法称为裂项相消 法.（见到分式型的要往这种方法联 想）
21 4,41 8,611 6,L,2n21 n1
解（1）：该数列的通项公式为
an
2n
1 2n1
11 1
1
sn 24 48 6 1 6 L (2 n2 n 1)
(2 4 6 L 2 n ) (1 4 8 1 L 2 1 n 1 )
n(2 2n)
1 4
1
1 2n
2
1 1
6.奇偶并项法
例 求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋ (－1)n(2n－1)．
分析 通项中含符号数列(－1)n，按 n 为奇数、偶数分类讨论后，再并项 求和．
解 当 n 为奇数时， Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋ [(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1) ＝2·n－2 1＋(－2n＋1)＝－n. 当 n 为偶数时， Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]
数列求和专题
张明选
1.公式法：即 直 接 用 求 和 公 式 ， 求 数 列 的 前 n 和 S n
①等差数列的前n项和公式：
Snn (a 12 a n)n a 1n (n 2 1 )d
②等比数列的前n项和公式
na1(q1)
Sn
a1(1qn) 1q
a1anq(q1) 1q
常见求和公式有：
①1＋2＋…＋n＝n(n2＋1). ②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2. ③2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n.
练 习 ： 求 和
先求通项 再处理通
项
1+1+ 1 +.....+
1
11+21+2+3 1+2+3+4+....+n
解 ： an123 1 Ln
2 n (n 1)
2(1 1 ) n n 1
S n 2 [ ( 1 1 2 ) ( 1 2 1 3 ) L ( 1 n n 1 1 ) ]
2
n(n1)1 221 n1
练.求数列
1 + 2 ,2 + 2 2 ,3 + 2 3 ， L ， n + 2 n
的前n项和 项的特征
cn=an+bn
({an}、{bn}为等差或等比数列。）
3、倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末两项等
距的两项之和等于首末两项之和 （都相等，为定值），可采用把正 着写和与倒着写和的两个和式相加， 就得到一个常数列的和，这一求和 的方法称为倒序相加法.
类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
3.倒序相加法
例2、已知
lg(xy) 2
S=lgxn+lg(xn-· 1y)+...+lg(x· 1yn-1)+lgyn,
(x>0,y>0)求S
解：
Q S = l g x n + l g ( x n - · 1 y ) + . . . + l g y n
S = l g y n + l g ( y n - · 1x ) + . . . + l g x n 2 S = l g ( x y ) n + l g ( x y ) n + . . . + l g ( x y ) n
=2n(n+1)
S=n(n+1)
４、错位相减法：
如果一个数列的各项是由一个 等差数列与一个等比数列对应 项乘积组成，此时求和可采用 错位相减法.
例４、Sn=
1 1×3
+
1 3×5
1 +……+ (2n-1)×(2n+1)
[分析]：观察数列的通项：
裂项相 消法
1 (2n-1)×(2n+1)
=
1（ 1 2 2n-1
-
1） 2n+1
这时我们就能把数列的每一项裂成 两项再求和．
例４、Sn=
1 1×3
+
1 3×5
1 +……+ (2n-1)×(2n+1)
＝2·2n＝n. ∴Sn＝(－1)nn (n∈N*)．
数列求和的一般步骤：
等差、等比数列直接应用公式法求和。 非等差、等比的数列，通过通项化归的思 想设法转化为等差、等比数列，常用方法 有分组求和法、倒序相加法、错位相减法 不能转化为等差、等比的数列，往往通过 裂项相消法求和,当奇数与偶数项合并后 可以构成新的等差等比数列时用并项法。