第3章 随机向量 练习题

断随机变量 X 与 Y 是否相互独立。 （
x 0, y 0 其它
）
，求（1）常数 c； （2）判
分布与边缘分布； （2）随机变量 X1 与 X2 的相关系数 X1 X 2 ； （3）D ( X1 X2 )、D ( X1 + X2 ) 。
（1） X2 X1 0 1
2 pX j
0 1 / 10 8 / 10 9 / 10
1 1 / 10 0 1 / 10
piX1
1/5 4/5
（2） 2 / 3 ； （3）41 / 100，9 / 100
P( X i , Y j )
1 / 28 0 0
i C3 C2j C32i j , i, j 0,1,2 C82
（2） X PX 0 10 / 28 1 15 / 28 2 3 / 28 Y PY 0 15 / 28 1 12 / 28 3 1 / 28
2、 将一枚均匀的硬币连续掷三次， 以随机变量 X 表示三次中出现正面的次数， 随机变量 Y 表 示三次中出现正面的次数与反面的次数的差的绝对值，求（1）随机向量（X，Y）的联合分布以及 关于 X、Y 的边缘分布，并判断 X 与 Y 的独立性， （2）条件概率 P ( Y = 1 X < 2 ) 。 （1） Y X 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 （2） 3/4 不独立 X PX 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 Y PY 1 3/4 3 1/4
求（1）随机向量 ( X1 , X2 ）的概率分布与边缘概率分布； （2）X1 = 0 的条件下，X2 的条件概率分布和条件数学期望； （3）随机向量 ( X1 , X2 ）的协方差矩阵； （4）判断随机变量 X1 与 X2 的独立性，说明理由 . （1） （2）
X2 X1 0 1
2 pX j
0 e
试问：X 与 Y 是否相互独立？ （ （1） P ( X x) ）
14、设方程 x2 + Bx + C = 0 中的 B、C 分别表示连续掷均匀的骰子先、后出现的点数，求此 方程有重根的概率。 （ 1 / 18 ）
15、设随机变量 X 、Y 相互独立，X ~ N ( 1 , 5 )，Y ~ N ( 0 , 5 )，求 P ( 4 < X 2Y < 1 ) 的 值，并求 Z = X 2Y 的密度函数。 （ 0.3413 ； f Z ( z)
9、设离散型随机变量 X 与 Y 的概率分布如下： X P 0 1/3 1 2/3 Y P 1 1/3 0 1/3 1 1/3
且 P ( X 2 = Y2 ) = 1 ， 求（1）随机向量 ( X , Y ) 的概率分布； （2）随机变量 Z = X Y 的概率分布；
（3）随机变量 X 与 Y 的相关系数 X ,Y ； （4）判断随机变量 X 与 Y 的独立性（说明理由）. （1） Y 1 X 0 1 0 1/3 1/3 0 0 （3） 1/3 0 ； （4） 不独立 0 1 P 1/3 1/3 1/3 （2） Z = XY 1 0 1
求： （1）随机变量 X 与 Y 的联合概率分布律； （2） （X，Y）的协方差矩阵； （3）判断 X 与 Y 是否独立、是否线性相关。 （1） Y X 0 1 1 1 / 10 3 / 10 2 1/5 1 / 10 3 1 / 10 1/5
0.24 0.04 ； （2） V （3）不独立、线性相关 0.04 0.69
（
（1）3，1，1，1，0； （2）不相关，独立性无法判断
）
18、已知随机变量 X ~ N ( 1 , 32 )，Y ~ N ( 0 , 42 )，X 与 Y 的相关系数 X，Y = 1 / 2，设
U X Y ，求（1）U 的数学期望与方差； （2）X 与 U 的相关系数 X，U ，并判断 X 与 U 是否 3 2
3、将一枚均匀的骰子掷两次，记 X 为掷出的偶数点的次数，Y 为掷出 3 点或 6 点的次数。求 （1） （X，Y）的联合分布； （2）X 与 Y 是否相互独立； （3）Z = X Y 的分布列和分布函数。 （1） Y X 0 1 2 0 1/9 2/9 1/9 1 1/9 2/9 1/9 2 1 / 36 1 / 18 1 / 36
ax by 0 x y 1 2 21、设（X，Y）~ f ( x, y ) ，且 EXY ，求（1）a，b 的值； （2） 5 其它 0
概率 P ( X + Y 1 ) 的值 。 （ （1）a = 6，b = 0 ； （2）1 / 4 ）
22、设（X，Y）服从区域 D = { ( x , y ) ：x 0 , 0 y 2 2x } 上的均匀分布，求： （1） （X，Y）的联合分布密度及关于 X、Y 的边缘分布密度； （2）计算 P ( Y X ) 。
2 x 6, 0 y 5 其它
）
，试求： （1）
（1）23 / 28 ； （2）19 / 70
e y 20、 设随机变量 X 与 Y 独立， X 在 （0， 2） 上服从均匀分布， Y 的密度为 f ( y ) 0
y0 ， y0
求（1）P ( 1 < X < 1 , 0 < Y < 2 ) ； （2）P { ( X + Y )2 > 1 } 。 （ （1）( 1 e2 ) / 2 ； （2）1 1 / 2e ）
y 2 2 x 0 x 1 1 ( x, y ) D 1 （ （1） f ( x, y ) ， f X ( x) ， f Y ( y) 2 其它 其它 0 0 0 0 y2 其它
；
（2）2 / 3
）
cxe x ( y 1) 23、设（X，Y）的联合密度函数 f ( x, y) 0
1 5 2
e

( z 1) 2 50
，z R
）
16、设随机向量（X，Y）服从二元正态分布，其密度函数为
( x, y)
( x2 y2 ) 1 e 200 ， < x < + ， < y < + 。求概率 P ( X < Y ) 及随机向量（X，Y） 200
1
的协差阵 V。
2
1 e e
1 2
piX1
e
1
X2 P ( X2 = k X1 = 0 )
0 e1
1 1 e1
0 e2
1 e1 1 e2
1 e1 E [ X2 X1 = 0 ] = 1 e1
e 1 e 2 （3） V e 2 e 3
7、袋内有标号 1，2，2，3 的四个小球，从中任取一个球，不再放回，然后再从袋中任取一个 球，若用 X、Y 分别表示第一、二次取到球上的号码数，试求： （1） （X，Y）的联合分布表； （2） X 与 Y 是否相互独立； （3）协方差 cov ( X , Y ) 。 （1） Y X 1 2 3 1 0 1/6 1 / 12 2 1/6 1/6 1/6 3 1 / 12 1/6 0
1 2 3
不独立； 1 1/9 2/9 2/9 0 1/9 2/9 2 3 0 0 1/9 （2） 1 / 3 。
Байду номын сангаас
6、某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，先从箱中随机抽
1, 若取到 i 等品 取一件产品，记 X i （i = 1，2，3） ，试求： （1）随机变量 X1 与 X2 的联合 其它 0,
第3章
随机向量练习题
1、设一个袋子中装有 3 个红色、2 个白色、3 个蓝色球，从袋中任取两个球，记 X 为取到的 红球数，Y 为取到的白球数，求（1） （X，Y）的联合分布； （2）关于 X、Y 的边缘分布律。 （1） Y X 0 1 2 0 3 / 28 9 / 28 3 / 28 1 6 / 28 6 / 28 0 2
（2）相互独立；
（3） Z PZ 2 1 / 36 1 1/6 0 13 / 36 1 1/3 2 1/9
z 2 0 1 / 36 2 z 1 7 / 36 1 z 0 FZ ( z ) 0 z 1 5/9 8/9 1 z 2 z2 1
e 2 e 3 ； e 2 e 4
（4）不独立
13、已知随机变量 X 与 Y 的联合分布列为
P ( X x, Y y ) 1 (16 4 x 4 y xy ) ( x 1,2,3; y 1,2,3) ， （1）求出 X 与 Y 的边缘分布列； （2） 36 2 1 2 1 x ( x 1,2,3) ， P (Y y ) y ( y 1,2,3) ； （2）相互独立 3 6 3 6
0 100 （ 0.5 ； 0 100
）
17、设随机向量（X，Y）服从二元均匀分布，且 X + Y 与 X Y 相互独立， 已知 E ( X + Y ) = 4，与 E ( X Y ) = 2；D ( X + Y ) = 2，与 D ( X Y ) = 2，求（1）EX，DX， EY，DY，X，Y ； （2）判断 X 与 Y 的独立性和相关性。
9 / 25 6 / 25 ； （2） V （3） X , Y = 2 / 3 。 6 / 25 9 / 25
11、将两个球随机地放入三个盒子中，设 X 表示第一个盒子中球的个数，Y 表示放有球的盒 子数。 求： （1） （X，Y ）的概率分布； （2）判断 X 与 Y 是否独立，并说明理由。 （1） Y X 0 1 2 1 2/9 0 1/9 2 2/9 4/9 0
（2）不独立 。
12、设 A、B 为随机事件，且 P ( A ) = 1 / 6，P ( B ) > 0，P ( B A ) = 1 / 3，P ( A B ) = 1 / 6，
0 , Y k 又令设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，随机变量 X k ，k = 1 , 2 . 1 , Y k
4、设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从参数 p Z = max ( X , Y ) 的分布律.
1 的（ 0 – 1 ） 分布，求随机变量 3
Z P
0 4/9
1 5/9
5、 设随机变量 X 与 Y 相互独立、 同分布， P ( X = i ) = 1 / 3， i = 1， 2， 3。 又设 = max ( X , Y )， = min ( X , Y )。 （1）写出（，）的联合分布列，并判断 与 的独立性； （2）计算概率 P{X+Y3} 。 （1）
（2）不独立； （3） 1 / 6
8、已知随机变量 X 服从两点分布，且 p = 0.6，在 X = 0 和 X = 1 的条件下，关于 Y 的条件 分布分别为 Y P ( Y = yj X = 0 ) 1 1/4 2 1/2 3 1/4 Y P ( Y = yj X = 1 ) 1 1/2 2 1/6 3 1/3
10、设袋中有三个白球、两个黑球，甲、乙两人依次从袋中一次取两个球，设 X、Y 为甲、乙 两人各取到的白球数，求（1） （X，Y）的联合分布； （2） （X，Y）的协差阵 V； （3）X 与 Y 的 相关系数。 （1） Y X 0 1 2 0 0 0 1 / 10 0 2/5 1/5 1 2 1 / 10 1/5 0
线性相关； （3）写出（X，U）的协差阵。
（
9 0 （1）1 / 3，3； （2）0，不相关； （3） 0 3
）
2x y 19、设随机向量（X，Y）具有联合分布表： f ( x, y) 210 0
P(X>3) ； （2）P ( 1 < X < 4 , Y > 2 ) 。 （