柯西不等式的证明

柯西不等式的证明

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柯西不等式的证明及应用

（河西学院数学系０1（２)班 甘肃张掖 ７３４000)

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式,解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。

关键词：柯西不等式 证明 应用

中图分类号： Ｏ178

Ident ｉficatio ｎ a ｎd ap ｐli ｃation ｏｆ Cau ｃｈy ine ｑuali ｔy

Ch ｅn B ｏ

(dep ａｒｔment of ｍａt ｈem ａtics , Hexi ｕni ｖersi ｔｙ ｚhangye ga ｎsu 7３4000） A ｂstract : Cauchy-ine ｑuali ｔy is ａ v ｅｒｙ imp ｏrtant in equ ａti ｏn, flex ｉb ｌe ｉnge ｎi ｏus ａpplication ｉt, can ｍａke some compar ａtively difficul ｔ p ｒobl ｅｍs ｅasily sol ｖed . This ｔｅxt p ｒo ｖｅ inequality ， s ｏlv ｅ ｔｒiangle ｒｅｌｅv ａnt pro ｂlem, ｉs it ｗorth most to ａsk, t ｈe ａｐp ｌica ｔio ｎ whi ｃh ｓｏlve ｓ ｓuch ｑuestio ｎs as the eq ｕat ｉon ,ｅtc. ｐrov ｉｄes severa ｌ ｅxamp ｌes.

K ｅｙw ｏrd :inequat ｉｏn p ｒove ap ｐlication

柯西(Ｃａuc ｈy ）不等式

[][]12

()22211n n b a b a b a +++ ()()222221222221n n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i i 2,1,=∈ 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下:

证明1：构造二次函数 ()()()2

222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()22222121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b ++

+++++++++ 22120n n a a a +++≥

()0f x ∴≥恒成立

()()()2222211221212440n n n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=++

+-++++++≤ 即()()()2222211221212n n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++ 当且仅当()01,2

i i a x b x i n +== 即1212n n

a a a

b b b ===时等号成立 证明(2)数学归纳法 （1)当1n =时 左式=()211a b 右式=()2

11a b

显然 左式=右式

当 2n =时,

右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式

仅当即 2112a b a b = 即1212

a a

b b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立

（２)假设n k =(),2k k ∈N ≥时,不等式成立

即 ()()()2222211221212k k k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++

当 i i ka b =，ｋ为常数，1,2

i n = 或120k a a a ====时等号成立 设22212k a a a A ==== 22212k b b b B ==== 1122k k C a b a b a b =+++ 则()()2222211111k k k k k a b b a b +++++A +B +=AB +A +

()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+

()()22222222121121k k k k a a a a b b b b ++∴++++++++

()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++

当 i i ka b =,k 为常数，1,2

i n = 或120k a a a ====时等号成立 即 1n k =+时不等式成立

综合(1）（2)可知不等式成立

柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐,应用灵活广泛,利用柯西不等式可处理以下问题:

1） 证明相关命题

例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式[]3。

已知点()00,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()

220A +B ≠ 设点p 是直线l 上的任意一点, 则

0x x C A +B += (１） ()()22120101p p x x y y =-+- (2）

点12p p 两点间的距离12p p 就是点p 到直线l 的距离，求(２）式有最小值，有