黎曼积分的可积性研究_单国莉

2 .2 可积的充要条件
定义 2 设 f (P)为可求体积的闭域 Ψ上的有界函数 , 有 Ψ的一分割 T∶Ψ1 , Ψ2 …Ψn ,
记
Mi
=sup
Pi
∈Ψ i
{f (P
i
)},
mi
= inf {f(P
Pi
∈Ψ i
i)}.
f (P)关于分割
T∶Ψ1 ,
Ψ2 …Ψn
的大和S
+(f
,
n
T)=∑ i =1
S +(f , T)≥S +(f , T′). 3＊ 对 Ψ的任意两个分割 T 1 , T2 , 都有 S -(f , T1)≤S +(f , T2 ).
证明 1＊ ∵mi ≤f(Pi )≤Mi ,(Pi)∈ Ψi
n
n
n
∴ i
∑
=1
Mi
V(Ψi )≤ i
∑
=1
f
(P
i
)V(Ψi )≤i ∑=1
MiV(Ψi ).
1 6 泰 山 学 院 学 报 第 26 卷
f(Pk ) >MΔ+VkG , 于是有
∑
i =1
f(P
i)ΔVi
≥ f(Pk )ΔVk
- i∑≠kf(Pi )ΔVi
>MΔ+VkGΔVk -G =M .
由 M 的任意性知 , 和式不可能存在极限 , 这与 f(P)在 Ψ上可积矛盾 , ∴f (P)在 Ψ上有界 .
确界 , M′1 为区域 Ψ′1 的上确界 , M′2 为区域 Ψ1 -Ψ′1 的上确界 .则 S +(f , T)-S +(f , T′)=M1 V(Ψ1)-M′1 V(Ψ′1 )-M′2 V(Ψ1 -Ψ′1)
=M1[ V(Ψ′1 )+V(Ψ1 -Ψ′1)] -M′1 V(Ψ′1)-M′2 V(Ψ1 -Ψ′1)
第 26 卷第 6 期 2004 年 11 月
泰山学院学报
JOURNAL OF TAISHAN UNIVERSITY
Vol .26 NO .6 Nov. 2004
黎曼积分的可积性研究
单国 莉
(烟台教育学院 计算机与信息科学系 , 山东 烟台 264000 )
[ 摘 要] 分析了诸多积分概念的共性 , 抽象 出黎曼积分的定义 , 给出了黎曼可积的条件 . [ 关键词] 黎曼积分 ;上积分 ;下积分 [ 中图分类号] O177 .8 [ 文献标识码] A [ 文章编 号] 1672-2590(2004)06-0015-05
有 S +(f , T)-S -(f , T) <ε,
即 S +(f , T)-S -(f , T)<ε.
∴对 ε>0 , Ψ的一个分割 T , 只要 ‖ T ‖ <δ, 有 S +(f , T)-S -(f , T)<ε.
∴结论成立 .
″ ″由上 、下积分定义知
-
∫ ∫ S -(f , T)≤ f (P)dV ≤ f (P)dV ≤S +(f , T) Ψ
∫ ∫ 记 I =
f (P)dV =
Ψ
f(x
Ψ
1
, x2
,
…,
xn )dV
,
∫ n
即
‖
lim
T ‖ ※0i
∑
=1
f(Pi
)ΔVi
=
百度文库
f(P)dV .
Ψ
若 f (P )在 Ψ上 黎 曼 可 积 , 可 由 直 面 网 来 代 替 曲 面 网 , Ψi 的 体 积 d V =d x1 d x2 … d xn ,
∫ 于是 I = Ψf(x1 , x 2 , …, xn )dx1 d x2 …dxn .
2 黎曼可积的条件
2 .1 可积的必要条件 定理 1 设 Ψ为 Rn 的可求体积的闭区域 , 函数 f(P)在 Ψ上黎曼可积 , 则 f(P)在 Ψ上有界 . 证明 (反证)若不然 , 设 f (P)在 Ψ上无界 , 则对 Ψ上任意分割 T∶Ψ1 , Ψ2 …Ψn , 必存在属于 T 的某
)V(Ψi )>i∑=1(Mi
-ε)V(Ψi )=i∑=1 MiV(Ψi)-εV
.
由于
ε的任意性
,
有
S
+(f
,
n
T)为
所有 ∑ i =1
f(P
i)V(Ψi )的上
确界
.(下确界同理可证).
2＊ 取任意分割 T∶Ψ1 , Ψ2 …Ψn 的细分为 T′∶Ψ′1 , Ψ1 -Ψ′1 , Ψ2 …Ψn , 且 Ψ′1 Ψ1 , 令 M1 为区域 Ψ1 的上
∫ ∫ ″ ″设 f(P)dV = f(P)dV =I , 由引理 2 知 Ψ
Ψ
-
lim S +(f
‖ T ‖ ※0
,
T)= lim S ‖T ‖ ※0
-(f
,
T)=I
.
∵S
-(f
,
n
T)≤ i
∑
=1
f(P
i)V(Ψi)≤S
+(f
,
T), 由极限的迫敛性定理知
(2) (3)
1 8 泰 山 学 院 学 报 第 26 卷
-
Ψ
-
∫ ∫ 再由(1)及 2＊条件得 0 ≤ f(P)dV - f (P)dV ≤S +(f , T)-S -(f , T)<ε. Ψ
Ψ
-
-
∫ ∫ 故由 ε的任意性 f(P)dV = f(P)dV . Ψ
Ψ
-
由 1＊ 知 , f (P)在 Ψ上黎曼可积 .
(4)
3＊
n
∵∑ i =1
n
ωiV(Ψi)= i
进一步证明
S
-(f
,
T)与
S
+(f
,
n
T)不仅
是 i
∑
=1
f
(P
i
)V(Ψi )的
下
界和
上
界
,
n
而且
也
是∑ i =1
f(P
i)V(Ψi )的
下确界和上确界 .
∴ ε<0 , 在 Ψi 上Mi 为 f(Pi)的上确界 ,
故存在 Pi ∈ Ψi 有 f(Pi )>Mi -ε.
n
n
n
∴∑ i =1
f
(P
i
-
∫ 即 ‖lTim‖ ※0 S +(f , T)= f(P)dV . Ψ
∫ 同理可证 :‖lTim‖ ※0S -(f , T)=
f(P)d V .
Ψ
-
定理 2 设 Ψ为 Rn 的可求体积的闭域 , f(P)为 Ψ上有界函数 , 则 f (P)在 Ψ上黎曼可积的三个等
价的充要条件 :
-
∫ ∫ 1＊ f(P)dV = f(P)d V ; Ψ
T∶Ψ1 , Ψ2 …Ψn .
n
当 ‖T ‖ <δ, 对
Pi ∈ Ψi 有
∑
i =1
f(P
i
)V(Ψi )-I
<ε, 即
n
I
-ε<∑ i =1
f(Pi
)V(Ψi )<I
+ε
再由引理 1 的 1 .及(1)得
(1)
n
I
-ε≤S
-(f ,
T)≤ i
∑
=1
f(P
i
)V(Ψi)<I
+ε
I
n
-ε<∑ i =1
‖T ‖ ※0
Ψ
‖ T ‖ ※0
-Ψ
-
∫ 证明 由 I1 = f (P)dV =inf{S +(f , T)}, 则由下确界定义有 ε>0 , 分割 T0 , 使 T Ψ
S +(f , T0 )<I1 +ε, 且对 Ψ的任意分割 T , 有 S +(f , T)≥I1 >I1 -ε.
设上述分割 T0 的细度为 δ, 则当 ‖T ‖ <δ时 , 有 I1 -ε<S +(f , T)<I1 +ε.
个小区域 Ψk , 使 f (P)在 Ψk 上无界 , 对于 i ≠k 的各个 Ψi 上任取介点 Pi , 使得
i ∑≠kf(Pi)ΔVi =G . 对 M >0 , 由于 f (P)在 Ψ上无界 , 故总可选取 Pk ∈ Ψk , 使得
[ 收稿日期] 2004 —10 —08 [ 作者简介] 单国莉(1961-), 女 , 山东威海人 , 烟台教育学院计算机与信息科学系副教授 .
引理 1 设 f (P)为 Ψ上的有界函数 , 而 Ψ为 Rn 的可求体积的闭域 .
1＊对
Ψ的任一分割
T∶Ψ1 ,
Ψ2 …Ψn
n
,
有
sup
ξi ∈ Ψi
i
∑
=1
f(P
i
)V(Ψi )=S
+(f ,
T);
n
inf
ξ∈ i
Ψi i
∑
=1
f(P
i)V(Ψi)=S
-(f
,
T).
2＊ 如果 T′为 T 的细分 , 则S -(f , T)≤S -(f , T′);
由引理 2＊ 得 S -(f , T1 )≤S -(f , T 3)≤S +(f , T3 )≤S +(f , T 2). 即 S -(f , T1 )≤S +(f , T 2)证毕 .
第 6 期 单国莉 :黎曼积分的可积性研究 1 7
定义 3 由引理 3＊知 , 数集合{S +(f , T)}和{S -(f , T)}有下界和上界 .由确界定理知 , 分别有上确
=(M1 -M′1)V(Ψ′1)+(M1 -M′2)V(Ψ1 -Ψ′1).
由 Ψ′1 Ψ1 ∴M1 ≥M′1 , M1 ≥M′2 , 知上式 ≥0 .
∴S +(f , T)≥S +(f , T′);同理可证 S -(f , T)≤S -(f , T′) 3＊ 任取两分割 T1 与 T2 , 令 T3 =T1 ∪ T2 , 则 T3 既为 T1 的细分又为 T2 的细分 .
Ψ
-
＊
2
ε>0 ,
Ψ的一个分割 T , 使 S +(f , T)-S -(f , T)<ε;
3＊
lim [
‖ T ‖ ※0
S +(f ,
T)-S
-(f
,
T)]
n
= ‖
lim
T ‖ ※0i
∑
=1
ωi V(Ψi )=0
.
其中 ωi =Mi -mi 表 f(P)在 Ψi 上的振幅 .
证明 1＊″ ″f (P)在 Ψ上黎曼可积 , 由定义知 , ε>0 , δ>0 ,
1 黎曼积分的概念
定义 1 设 f(P)为定义在 Rn 上的一个可度量的闭区域 Ψ上的实值函数 , 用 Rn 中的任意曲面网将
n
Ψ分成有限个可度量的闭子区域
Ψ1 ,
Ψ2 …Ψn
,
且 i
∪
=1
Ψi
=Ψ,
Ψi
∩
Ψj
只有界点(i
≠j
,
i
,
j
=1
,2
…n), 得到
一个分割
T∶Ψ1
,
Ψ2 …Ψn
.记
Ψi
的体积为
Mi
V(Ψi ),
n
其中V(Ψi )为可求体积的小区域
Ψi
的容积 .小和
S
-(f ,
T)= i
∑
=1
MiV(Ψi ).
设 T∶Ψ1 , Ψ2 …Ψn 为 Ψ的一个分割 , 如果另一分割 T′∶Ψ′1 , Ψ′2 …Ψ′m 的任一 Ψ′i (1 ≤i ≤m)都包含
在 Ψj 中(1 ≤j ≤n)称 T′为 T 的细分 .
n
‖
lim ∑
T ‖ ※0i =1
f(Pi
)V(Ψi )=I
,
∴f (P)在
Ψ上黎曼可积
.
2＊″ ″f (P)在 Ψ上黎曼可积 , 由 1＊ 知
‖
lim
T ‖ ※0
S
+(f
,
T)= lim S ‖T ‖ ※0
-(f
,
T), 即
lim [
‖ T ‖ ※0
S
+(f
,
T)-S
-(f ,
T)]
=0
.
∴ ε>0 , δ>0 , 对 Ψ的任意分割 T∶Ψ1 , Ψ2 …Ψn , 当 ‖T ‖ <δ时 ,
f
(P
i
)V(Ψi )≤S
+(f ,
T)≤I
+ε
由(2)式 S -(f , T)-I
<ε, 即
lim S
‖T ‖ ※0
-(f
,
T)=I
.
由(3)式 S +(f , T)-I <ε, 即 ‖lTim‖ ※0S +(f , T)=I .
-
∫ ∫ 由引理 2 得 f(P)dV = f(P)dV .
Ψ
-Ψ
-
积分学是《数学分析》的主要研究内容之一 .在《数学分析》中 , 我们学习了定积分 、二重积分 、三重积 分 、曲线积分 、曲面积分等诸多积分的概念与相关性质 , 这些积分定义中 , 被积函数 、积分区域虽不一样 , 但它们的数学结构特征却是相同的 .即它们都是某种和式的极限 , 都是通过“分割” 、“求和” 、“取极限”三 步得出的 , 因此可以将此共性抽象出来 , 便得到黎曼积分的概念和可积的条件 .
界和下确界 .
-
∫ 故定义上积分为 f(P)dV =inf{S +(f , T)};
Ψ
(T)
∫ 下积分为 f (P)dV =sup{S -(f , T)}.
-Ψ
(T)
引理 2 设 Ψ为 Rn 的可求体积的有界闭域 , f(P)为 Ψ上有界函数 ,
-
∫ ∫ 则 lim S +(f , T)= f(P)dV ;lim S -(f , T)= f (P)dV .
ΔVi
,
Ψi
的直径为 d(Ψi ),
‖T
‖
=max {d 1 ≤i ≤n
(Ψi )}为分割
T
的细
度 , 若存在一个常数 I , 对 ε>0 , δ>0 , 只要 ‖T ‖ <δ, 在每一个闭子区域 Ψi 上任取一点 Pi ,
n
总有
i
∑
=1
f(P
i)ΔVi
-I
<ε,
则称 f(P)在 Ψ上黎曼可积 , I 称为 f(P)在 Ψ上的黎曼积分 ,
∑=1(Mi
-mi)V(Ψi)=S
+(f
,
T)-S
-(f
,
T),
″ ″证明过程同 2＊中的″ ″;
″ ″证明过程同 2＊中的″ ″.
2 .3 可积的充分条件
定理 3 若 f (P)在可求体积的有界闭域 Ψ上是连续函数 , 则 f (P)在 Ψ上黎曼可积 .
证明 令 Ψ的体积为 V , 由于 f(P)在可求体积的闭域 Ψ上是连续函数 , 则 f (P)在 Ψ上一致连续 .