第二章 波动方程和平面波解

k 0 0
vphase
2 p p 2 1 2 1 2 c p

k

1 p
0 0
1
2 p 2

c
1
k c
2 p 2
vphase c vgroup c
k
1 p 1 vgroup c 1 2 k k O 《高等电磁场理论》
和
E r E0 exp ik r exp ik r E0 ik exp ik r E0 ik E0 exp ik r ik E r
E i H H i E E 0 H 0
真空 0 377 0

ˆ k 为传播方向单位矢，波阻抗η
E
k
《高等电磁场理论》
H
无耗介质时，波矢量k也可能是复数
若
k kR ikI
则
k k k 2 2
E r E0 exp ik r E0 exp kI r exp ikR r exp kI r 表示振幅衰减， 为波衰减方向； kI
则
k I 0 0
2 p 1 2
E r E0 exp ik r
《高等电磁场理论》
可得
( f F ) f F F f ( fF ) f F f F
E r E0 exp ik r E0 exp ik r ik E0 exp ik r ik E r
平面波情形有以下算子对应关系 ik
ik E i H H E 1

1
kE kH
ik H i E
kE 0 和 kH 0

《高等电磁场理论》
E
1 1 k k E 2 k k E E k k 1 2 E k k 1
第二章 波动方程 &平面波解
高 等 电 磁 场 理 论
2.1介质中平面波
1、均匀介质中时谐场无源Maxwell方程
E i H H i E E 0 H 0
电场的波动方程（Helmholtz方程）
2 E k 2 E 0,
平面波解为
k k k 2 2
kR
exp ikR r 代表波的相位传播；
为波的传播方向
kR2 kI2 2 则 2kR kI 0
《高等电磁场理论》
kR kI
可见在无耗介质中，如 果波矢量k是复数，波 的衰减方向必定与其传 播方向相互垂直，或者 说波的等振幅面与等相 位面相互垂直。
情形二：有耗介质中平面波。
高度范围 电子浓度最大值（个/m3） 电子浓度最大值所在高度
60～90 km 109~1010 约70 km
《高等电磁场理论》
对于非磁性等离子体
2 p k k k 2 2 2 0 0 1 2 设波矢量k沿z方向
情形一：电磁波频率大于等离子体频率， p
q 1.6 1019 C m 9.11031 kg
《高等电磁场理论》
5000
F2
1000
白天 夜间
电离层电子密度的典型高度分布
F1
100 50
10
7
C
130km E 90km D 70km
50km
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10
9
10
11
3
10
13
电子数 m
电离层各层电子浓度的最大值
D层 E层 90～150 km 109~1011 约110 km F1层 150～200 km 1011 190～200 km F2层 200～500 km 1011~1012 约300 km
kR2
2
2
2
《高等电磁场理论》
2 1 kI2 1 2
with ace Su r f p ha s e e sa m
t kt
1 1
趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能
存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。 趋肤深度（）：
Em
1
Em e

Em e

1


1 π f
Em e

趋肤深度
铜：
4π 10 7H/m
5.8 S/m 10 7
《高等电磁场理论》
6.6 102 f 50Hz， 9.33 103 m 50 2 6.6 10 f 1MHz ， 6.6 10 5 m 106 2 6.6 10 f 10GHz ， 6.6 10 7 m 10 109
银
紫铜 铝 钠 黄铜 锡 石墨
6.17×107
5.8×107 3.72×107 2.1×107 1.6×107 0.87×107 0.01×107
0.064 / f 0.066 / f 0.083/ f 0.11/ f 0.13/ f 0.17 / f 1.6 / f
5.01107 f
《高等电磁场理论》
振幅因子


dk E 2 E0 cos z t exp i k 0 z 0t d 0


上式表明窄带信号的传播应当区分两种传播速度：其 一为相速，即相位因子传播速度；其二为群速，即振 幅因子传播速度。 0 vphase k 0 k 0
E E0 exp i k 1 z 1t E0 exp i k 2 z 2t




且
1 0 2 0
利用Taylor展开
其中 0 , 0 为中心频率。
dk E 2 E0 cos z t exp i k 0 z 0t d 0 相位因子 《高等电磁场理论》
2
设波沿z传播
E E0 exp kI z exp i kR z t
波的衰减长度（透入深度）为 波的相速
1 dp kI vphase

kR
《高等电磁场理论》
10
金、银、铜、铁、铝等金属
3、良导体中的均匀平面波(特例) 良导体： 1
对于无线电波均是良导体。
z y2 cos 2 t , 2 49 c 《高等电磁场理论》
18
dk E 2 E0 cos z t exp i k 0 z 0t d 0

色散关系
k k k 2 2
表示：平面波波矢量与介质本构参数之间关系
《高等电磁场理论》
2、无耗和有耗介质中的平面波特征
情形一 ：无耗介质中平面波
、 为实数,k为实数
ˆ 1 ˆ H kE kE kE
1
表明电磁场方向和传播方向三者相互垂直，成右手螺旋关系
vgroup 1 dk d 0 d dk 0
若波数k不是频率ω的线性函数，这时 vphase vgroup，且和 频率有关，这一类介质称为色散介质。 《高等电磁场理论》
z y1 cos 1 t , 1 51 c
exp kI r
kI
exp i kR r t
表示振幅衰减， 为等振幅面的传播方向 ； 代表波的相位传播； 为等相位面的传播方向
kR
《高等电磁场理论》
非均匀平面波 y ——在有耗介质中等振幅面与等相位面可能不一致
k k
2 R 2 I 2
趋肤深度
2
1/ 2




2
(1 x)


x 1 2
弱导电媒质中均匀平面波的特点 相位常数近似于理想介质中的相位常数
透入深度和频率无关 《高等电磁场理论》
5、相速群速和等离子体介质 设平面波沿z传播，信号为携带有多个频率成分的窄带信号
假设仅包含两个相近的频率成分， 1 和 2 ，即


包络波，速度vg
z
载波，速度vp
《高等电磁场理论》
等离子体（plasma）是一种色散介质，其介电系数为
plasma
p
2 p 0 1 2
Nq 2 m 0
朗缪尔
等离子体频率，或等离子体电子震荡频率，或Langmuir频率
N
其中：
为电子浓度 为电子电量 为电子质量
良导体： 1

c j 1 j j
j
本征阻抗
c c


2π f

e
j45o
(1 j)
πf

良导体中电磁波的磁场强度的相位滞后于电磁强度45o。
令
c (1 j)
14
4、 弱导电媒质中的均匀平面波(特例)
x 1/ 2 (1 x) 1 弱导电媒质： 1 2 1/ 2 jk j (1 ) j j 2
1/ 2 c (1 ) (1 j ) c j 2
1
表示厚度为
πf

RS jX S Z S
表面阻抗
RS

的导体每平米的电阻，称为导体的表面电阻率
X S 称为表面电抗
《高等电磁场理论》
13
表 一些金属材料的趋肤深度和表面电阻
材料名称 电导率σ /(S/m) 趋肤深度δ /m
表面电阻RS /(Ω/m2)
2.52 107 f 2.61107 f 3.26 107 f
ki
i r
kr
x
2kR kI
Media 1 Media 2
Surface with same amplitude
kR kI 之间的夹角为未知。 在半空间介质反折射情况需要通过边界条件才可确定。
若 k // k 例如平面波垂直于有耗介质表面入射时的透射波 R I
kR2 kI2 2 2kR kI
i
2 R 2 I
k kR ikI
k k k k i2kR kI i
2 2
E E0 exp kI r exp i kR r t
2
vphase vgroup c2
若 p 则 k 0 0
p
2 2 p p 1 2 1 2 c 2
k c
1
O
等离子体色散关系曲线
k
《高等电磁场理论》
情形二：电磁波频率小于等离子体频率， p

良导体中的参数
1.04 1018 例如铜： f
j e
j45
12 jk j (1 j )


2
(1 j)

相速： v

2 π f
π f
2

f

《高等电磁场理论》
11