复习：一维随机变量函数的分布
一维随机变量的分布函数
一维随机变量的分布函数
一维随机变量的分布函数是指在实数轴上，对于任意实数x，随机变量X小于等于x的概率，即F(x)=P(X<=x)，其中P为概率。
分布函数具有以下性质：
1. F(x)是一个单调不减的函数，即随着x的增大，F(x)也会增大或不变。
2. F(x)的取值范围是[0,1]，因为概率的取值范围也是[0,1]。
3. F(x)是右连续的，即对于任意x，F(x)的左右极限相等，且F(x)在x处连续。
4. 若X是一个连续型随机变量，则F(x)可以表示为X的概率密度函数f(x)的积分，即F(x)=∫f(t)dt，其中积分下限为负无穷，上限为x。
5. 若X是一个离散型随机变量，则F(x)可以表示为X的概率质量函数p(x)的累加和，即F(x)=∑p(t)，其中t取遍所有小于等于x 的离散值。
分布函数是描述随机变量的一个重要工具，可以用来求解各种概率问题，例如求解随机变量X落在某个区间内的概率，或者求解X的统计特征值等。
- 1 -。
§3.5 随机变量函数的分布
( ii ) 若Y = X 2 , 则有 1 fY ( y ) = [ f X ( y ) + f X ( − y )], y ∈ R(Y ). 2 y 这里a , b为常数 且a ≠ 0, R(Y )为Y的值域 .
证明 由于 R(Y ) = [0,+∞ ), 取 y ≥ 0, 有
FY ( y ) = P ( X ≤ y ) = P ( − y ≤ X ≤
2 2 ∑ ci X i ~ N ( ∑ ci µi , ∑ ci σ i ). n i =1 n i =1 n i =1
其中, 为常数. 其中 c1 , c2 ,⋯, cn为常数
3.5.2 二维随机变量函数的分布 一、一般方法 是二维连续型随机变量,其联合密 设 ( X ,Y )是二维连续型随机变量 其联合密 的函数, 度为 f ( x , y ).又设Z = g( X ,Y ) 是 ( X ,Y ) 的函数 又设 类似于一维,求 的密度的一般方法为 的密度的一般方法为: 类似于一维 求Z的密度的一般方法为 (i)确定 的值域 R(Z )； 确定Z的值域 确定 (ii)对任意 z ∈ R(Z )， 对任意 求出Z的分布函数 的分布函数； 求出 的分布函数；
f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( x , z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( z − y , y )dy .
+∞ +∞
当 X与Y 独立时 则 与 独立时,则
f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( x ) fY ( z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( z − y ) fY ( y )dy .
−1 −1
用上述定理求例3.5.1中Y的密度函数 例3.5.3 用上述定理求例 中 的密度函数
一维随机变量函数的分布(PPT课件)
y}
①
1 2π
y
y
e
x2 2
dx
2 2π
y
0
e
x2 2
dx
所以 当y 0时, fY ( y ) FY ( y )
y0 0, y 即 fY ( y ) 1 2 e ,y0 2 πy
概率统计（ZYH）
y 1 e 2 2πy
②
y =0时可任 意规定其值
概率统计（ZYH）
例2 设随机变量X的分布律为
1 P{ X k } k , k 1, 2, 2
求随机变量函数 Y sin X 的分布律． 解
2 1 2 P{Y 1} P{ X 4k 1} 4 k 1 15 k 1 k 1 2 1 1 P{Y 0} P{ X 2k } 2 k 3 k 1 k 1 2 1 8 P{Y 1} P{ X 4k 3} 4 k 3 15 k 1 k 1 2
yb a
e
( x ) 2 2
dx
[ y ( a b )]2 2 ( a ) 2
所以 fY ( y ) FY ( y )
1 e 2π a
定理1 的推论
亦即Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a2 2)
定理2 X ~ N ( , )
2
Y
X
本例正是连续型随机变量函数分布密度的计算方法
定理1 设 X 服从正态分布N( , 2), 则随机变
量Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a2 2)
证 （以a >0为例证明）
一维连续型随机变量函数的分布
解
1 1 fY ( y ) fX ( y 2) 3 3
1 2 y 3 2 y 2 2e 0 3 3 0 其它
2 2( y3 2） e 3 0
y2 其它
x , 0 x4 例： X ~ f ( x) 8 时，定理为真
例1.已知 X 的 d.f.为 f X ( x), Y aX b, a, b为常数，且 a 0, 求 fY ( y ) 解 y b
y g ( x) ax b, x h( y ) 1 h( y) . a
a
,
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
一维连续型随机变量 函数的分布
一般地,对 y= g(x)是严格单调函数,有下面的结论.
定理 设X是一个连续型随机变量，其密度函数
为 f(x), 又函数 y= g(x) 严格单调，其反函数 h ( y ) 有连续导数，则 Y = g (X) 也是一个连续型随机 变量，且其密度函数为
f X [ h( y )] h( y ) fY ( y ) 0
1 3
Y X 3， fY ( y )。 求
y g ( x) x3， x y h ( y ) 解：
g '( x) 3x 0， fY ( y) 1 y f X ( y ) 3
2
2 3 1 3
1 1 y 3 , 0 y 64 fY ( y ) 24 0, 其他
Y ~ N (a b, a )
2 2
一般若X ~ N ( , 2 )， aX b Y ~ N (a b, a 2 2 ) Y
特别地 ，若
一维随机变量函数及其分布
Y
-5 -1 20
概率 0.16 0.16 0.68
二、 二维离散型随机变量函数的分布
设二维离散型随机变量（X，Y）的联合分 布
pij P(Xxi,Yyj)
设Z为X、Y的函 Zg(X,Y) 数
如何确定Z的分布？
分析： 由于X，Y的取值是有限的或可数的 而Z为X，Y的函数 因此，Z的取值是有限的或可数的
ex, x0
fX (x) 0,
x0
第四步，代公式求Y的密度函数
fY(y)fX(h (y))|h (y)|
e
ln
y
|
1 y
|,
y 1
0,
y 1
1 y2
,
0 ,
y 1 y 1
h(y) ln y h ( y ) 1
y
例5 设
X~N(11,1)
Y~05.2
7 0.5
13 0.3
一般地，若离散型 r.v ，X 的分布律
X
～
x1
p1
x2 xn
p2
pn
则 Y=g(X) ～ g(xp11) g(px22) gp(nxn)
如果g(xk)中有一些相同的值，把它们做适 当的并项即可
例
1 0 1 如果, X ～ 0.3 0.6 0.1
关
键
fZ(z) FZ(z)
P(Z z) P(g(X,Y)z)
分
布
P((X,Y)Dg)
函 数
f (x, y)dxdy
的 定
Dg
义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一维随机变量函数及其分布
z
1
v2
e22(
1
u2
e2du)dv
22
2
FZ (z)
1
z v2
e 2 2dv
2 2
FZ (z)
1
z v2
e 2 2dv
2 2
第三步 计算Z的密度函数
fZ(z) FZ(z)
1
z2
e 22
2 2
结论：
X ~ N ( 0 , 1 ) ,Y ~ N ( 0 , 1 ) ,X ,Y 独 立
计算每一取值点发生的概率即可得到概率分布
Z 概率
z1 z2 … p1 p2 …
方法： 列出（X，Y）的所有取值点 计算这些点对应的Z值 （如：Z=X+Y） 利用联合分布律确定相应的概率
将相同的z值进行合并，其概率值作相应合并
概率
p11 p12 … p21 p22 … pi1 pi2 …
（X,Y） （x1,y1）（x1,y2) … (x2,y1) (x2,y2) … (xi,y1) (xi,y2) …
z
(
1
(x2(vx)2)
e 2 dv)dx
2
1 z
x2(vx)2
(
e 2 dx)dv
2
FZ (z)
z
1
(
2xv )2 2
v2
(
e 2 e22dx)dv
2
令 u 2x v
2
P (Y 5 )P (X 1 2 )
Y
-5 -1 20
概率 0.16 0.16 0.68
二、 二维离散型随机变量函数的分布
一维随机变量函数的分布
fX
2 ye
y
y 2
y fX y
1 0 ey
y
y0
2y
求随机变量Y=g(X)的密度函数的 另一种方法：公式法
定理2.4.1 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的
密度函数分别为 f X (x)， fY (y),
当 y=g(x) 是严格单调可微函数，且g´(x) ≠0
x0 x0
试求：Y X 2 的密度函数
当 y 0 时, FY (y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y} FX y FX y
fY
(
y)
FY
(
y
)
y
FX
y FX
y
y
.
P{aX b y} P{X y b}
a
yb FX ( a )
a 0
a 0
例2. 已知随机变量X ~ U(2,4) ,
求Y X 2的概率密度函数。
1
f (x)
2
2 x4
0, 其它
1.当y≤0时， FY ( y) P{Y y} P{ X 2 y} =0
(2)Y ln X
x0 x0
(3)Y e 2X
y3
(1)Y 2X 3
x h( y) 2
fY
( y)
fX (
y
2
3 )
y
3 2 y
1 4
e
(
y3 4
)
,
0
一维随机变量函数的分布
如果随机变量的取值范围是某个区间上的所有实 数，则称该随机变量为连续随机变量。
随机变量的分类
离散型随机变量
根据其取值特点，可以分为二项 式、泊松、几何、超几何等类型 。
连续型随机变量
根据其概率密度函数的特点，可 以分为均匀、指数、正态等类型 。
随机变量的分布函数
分布函数
对于任意实数x，分布函数F(x)表示随机变量 X小于或等于x的概率。
性质的应用
这些性质在概率论和统计学中有着广泛的应用，如概率密度函数的计算、随机变量的期望和方差的计 算等。
05
CATALOGUE
随机变量的运算性质
随机变量的和与积
要点一
随机变量的和
若X和Y是两个随机变量，则X+Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
要点二
随机变量的积
若X和Y是两个随机变量，则X×Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
均匀分布
均匀分布是一种特殊的连续随机 变量，其概率密度函数在一定区 间内保持恒定，常用于描述某些 物理量在一定范围内的均匀分布 情况。
04
CATALOGUE
随机变量的函数
随机变量函数的定义
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个或多个随机 变量作为输入，经过某种运算或变换 后得到另一个随机变量。
离散随机变量的所有可能取 值的集合。
离散随机变量的值域
离散随机变量取到的所有可 能值的集合。
离散随机变量的分布律
01
分布律
描述离散随机变量取各个可能值 的概率的表格。
02
分布律的性质
分布律中的概率值总和为1，即 所有概率值的和等于1。
一维随机变量函数的分布
， x ．
由定理 4.1， Y 的概率密度为
y b 1 1 1 fY ( y) f X ( ) e a a a 2
其中 y ．
y b 2 ) a 2 2 (
1 1 4
0 1 6 0
1
1 1 4 1 1
2 1 3 4 2
1 1
②适当合并，得 0 1 4 Y ~ 1 1 1， 6 2 3 1 2 Z ~ 2 1． 3 3
3
1 例 4.2 随机变量 X 的分布律为 P{ X k} k , k 1, 2,3, ． 2
第二步： 对其中 Y 取值相同的项适当进行概率合并， 即得Y 的分布律．
2
1 0 1 2 例 4.1 设随机变量 X ~ 1 1 1 1 ， 分别求出 4 6 4 3
Y X 2 和 Z max{X ,1} 的概率分布．
解 ①作下列列表计算
X
P Y Z
解 由于 Y 的取值为 1, 0 和 1 ， 所以 Y 为离散型随机变量， 求Y 的概率分布就是要求 Y 的分布律．因为
1 P{Y 1} P{ X 0} ， P{Y 0} P{ X 0} 0 ， 3 1 0 1 2 ． P{Y 1} P{ X 0} ，故 Y 的分布律为 Y ~ 1 2 3 0 9 3 3
2
解
X S 的分布函数为 FS (s) P{S s } P{
当 s 4 时， FS (s) 0 ；
2
s } ．
当 s 9 时， FS ( s) 1 ；当 4 s 9 时，
一维随机变量及其分布知识点
一维随机变量及其分布知识点 一、 随机变量的分类：二、 分布函数定义 设X 是随机变量,对任意实数x,事件{}X x ≤的概率{}P X x ≤称为随机变量X 的分布函数.记为F(x),即(){},F x P X x x =≤-∞<<∞。
性质 单调不减性：若x 1<x 2, 则 12()();F x F x ≤ 归一性：对任意实数x ，0()1F x ≤≤ ，且()lim ()0,()lim ()1;x x F F x F F x →-∞→+∞-∞==+∞==右连续性：000(0)lim ()()x x F x F x F x +→+==.运算 P {a<X ≤b}＝P{X ≤b}－P{X ≤a}＝ F(b)－F(a). 三、 离散型随机变量定义 若随机变量X 取值12,,...x x ，且取这些值的概率依次为12,,...p p , 则称X 为离散型随机变量,而称{},1,2,...k k P X x p k === 为X 的分布律. 性质 非负性：0,1,2,...k p k ≥=归一性：11k k p +∞==∑.常见问题1．通过分布律求事件的概率若随机变量X 的分布律为{},1,2,...k k P X x p k ===，则{}k kx DP X D p∈∈=∑,即随机变量落在区域D 的概率等于所有的⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩离散型随机变量随机变量连续型非离散型奇异型（混合型）{},1,2,...k X x k ==的概率之和.2. 通过分布律求分布函数例1 设随机变量X 具有分布律如表试求出X 的分布函数及P{X ≤1},P{0.5<X ≤1.5}, P{1≤X ≤2}. 解：P{X ≤1}=F(1)=0.7,P{0.5<X ≤1.5}=F(1.5)-F(0.5)=0.7-0.1=0.6, P{1≤X ≤2}=P{X=1}+P{X=2}=0.6+0.3=0.9. 三类重要离散型随机变量 1.(0-1)分布若以X 表示进行一次试验事件A 发生的次数,X 只取0和1,其分布律为P{X ＝k}＝p k (1－p)1－k , (0<p<1, k ＝0,1,)则称X 服从(0－1)分布(两点分布) .2. n 重伯努利试验, 二项分布设将试验独立重复进行n 次,每次试验都只有两种可能的结果A 和A,设事件A 发生的概率为p ,则称这n 次试验构成的试验为n 重伯(){}F x P X x ≤＝0,00.1,010.7,121,2x x x x <⎧⎪≤<⎪⎨≤<⎪⎪≥⎩＝0,0{0},01{0}{1},12{0}{1}{2},2x P X x P X P X x P X P X P X x <⎧⎪=≤<⎪⎨=+=≤<⎪⎪=+=++≥⎩＝努利试验.若以X 表示n 重伯努利试验事件A 发生的次数，则称X 服从参数为n,p 的二项分布.记作X 〜b （n,p),其分布律为：{}(1),(0,1,...,)kk n k n P X k p p k n C -==-=.3. 泊松(Poisson)分布若随机变量X 的分布律为{}!kP X k e k λλ-==，k ＝0, 1, 2, … (λ>0),则称X 服从参数为λ的泊松分布,记为~()X πλ.四、连续型随机变量定义 对于随机变量X ，若存在非负函数f(x)，(-∞<x<+∞)，使对任意实数x ，都有()()xF x f u du -∞=⎰，则称X 为连续型随机变量, f(x)为X的概率密度函数,简称概率密度或密度函数. 性质 非负性： f(x)≥0，(-∞<x<∞)；归一性：()1f x dx +∞-∞=⎰;若x 是f(x )的连续点，则()()dF x f x dx=. 运算 {}{}{}{}()baP a X b P a X b P a X b P a X b f x <≤=≤≤=<<=≤<=⎰常见问题 1.确定未知参数 2.求分布函数 3.求事件的概率例2 已知随机变量X 的概率密度为01()2120kx x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，求1) 常数k;2) X 的分布函数F(x); 3)求P{X ∈(0.5,1.5)}. 解：1)由概率密度函数的归一性可知，12131()1(2)(2)112222k k f x dx kxdx x dx k ∞-∞=⇒+-=+-=+=⇒=⎰⎰⎰. 2) ()()xF x f u du -∞=⎰000101012012(),0()(),01()()(),12()()()(),2xxxxf u du x f u du f u du x f u du f u du f u du x f u du f u du f u du f u du x -∞-∞-∞-∞⎧<⎪⎪+≤<⎪=⎨⎪++≤<⎪⎪+++≥⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰220,01,012121,1221,2x x x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩. 3) 1 1.50.513{(0.5,1.5)}(2)4P X udu u du ∈=+-=⎰⎰或者3{(0.5,1.5)}(1.5)(0.5)4P X F F ∈=-=. 三类重要连续型随机变量1.均匀分布 若随机变量X 的概率密度函数为1,()0a x bf x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，其它则称X 在(a,b)内服从均匀分布.记作 X~U(a,b).注：在(a,b)上服从均匀分布的随机变量X 落在(a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的.2.指数分布若随机变量X的概率密度函数为1,0, ()0,,xe xf xθθ-⎧>⎪⎨⎪⎩＝其它则称X服从参数为θ(>0)的指数分布.3.正态分布若随机变量X的概率密度函数为22()2(),.xf x xμσ--=-∞<<+∞其中μ为实数, σ>0 ,则称X服从参数为μ ,σ的正态分布,记为N(μ, σ2),可表为X～N(μ, σ2).标准正态分布参数μ＝0，σ2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0, 1).其密度函数表示为22(),.xx xϕ--∞<<+∞分布函数表示为22(){},txx P X x e dt x--∞Φ=≤=-∞<<+∞.注：(1) Φ(x)＝1－Φ(－x)；(2) 若X～N(μ, σ2)，则~(0,1)XZ Nμσ-=即有,(){}()xF x P X xμσ-=≤=Φ,{}()()b aP a X bμμσσ--<<=Φ-Φ.。
一维随机变量函数的概率分布PPT课件
例3设 X 具有概率密度 fX (x),求Y=X2的概率密度. 解： 设Y和X的分布函数分别为FY ( y)和FX(x)，
注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，FY(y)0
当 y>0 时, F Y(y)P (Yy)P(X2y)
P( yX y)
求导可得
FX( y)FX(y)
fY(y)dd YF (yy ) 0 2 ,1yfX( y)fX(y),
稍事休息
x/8,
fX(x)
0,
0x4 其它
求 Y=2X+8 的概率密度.
解：设Y的分布函数为 FY(y)，
FY(y)=P{ Yy } = P (2X+8y )
=P{ X
y8 2
} = FX(
y 8) 2
于是Y 的密度函数
fY(y)dd Y F (y y)fX(y2 8)1 2
x/8, 0x4
fX(x)
0, 其它
f(y)dd F (y y)f (y2 8)1 2 Y
Y
X f (y8)0 X2 f (y8)y8 X 2 16
Y=2X+8
注意到 0 < x < 4 时， fX(x)0
即 8 < y < 16 ，
fX
(
y8) 2
0
此时
fX(y2 8)
y8 16
故
fY(y)y328, 8y16
0, 其它
y0 y0
fY(y)dd YF (yy ) 0 2 ,1yfX( y)fX(y),
y0 y0
若
e fX(x)
1
2
x2 2
x
则 Y=X2 的概率密度为：
y e
一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量 X 的分布律如下表所示
X -1 0 1 2
pk 0.1 0.4 0.2 0.3
求随机变量 Y ( X 1)2 的分布律。
二、一维连续型随机变量函数的分布
设随机变量 X 的概率密度为 fX (x)，则 X
的函数 Y g(X ) 的分布函数为：
FY y P{Y y} P{g(X ) y} fX (x)dx g(x) y
fY ( y) .
例4 设随机变量 X ~ N (, 2) ，试证明 X
的线性函数 Y aX b(a 0) 也服从正态分布.
例5 设随机变量 X 的分布函数 F(x) 严格单调连续， (1) 求随机变量 Y F X 的概率密度；
(2) 求随机变量 Z 2ln F(X ) 的概率密度.
1 1
x0 x0
概率论与数理统计
例6 若函数 g(x) 在区间 (x0, x1] 内取常量，即
g(x) yi
x (x0, x1]
试用随机变量X的分布函数 FX (x) 和 g(x) 表示事件
{Y yi} 的概率.
例7 若随机变量 X ~ Exp(0.5)，求随机变量
.
Y g(X ) 的分布函数 FY ( y) ，其中
g(x)
h( y) 是函数 g(x) 的反函数.
注1：若 X 的概率密度 fX (x) 在有限区间 a,b
以外等于零，则只需假设在 a,b 上有 g(x) 0（或
g(x) 0）此时 min g(a), g(b), maxg(a), g(b)
注2：如果函数 y g(x) 非单调变化，则先将 y g(x) 的单调区间求出，在每个单调区间上都使用这个公式， 然后再将各单调区间的结果相加可得 fY ( y) 。
第二章 一维随机变量及其分布
注：一般X(ω) 简单记为X，
{ω∣X(ω) ≤ x} 记为{X ≤ x}
一维随机变量的分布函数
分布函数
设X是一个随机变量，x是任意实数，函 数F(x)=P{ω∣X(ω) ≤ x}称为随机变量X的分 布函数，记作FX(x)或F(x)。 X 的分布函数也常简记为FX(x)= P{X≤x}
分布函数的性质
任一随机变量X的分布函数F(x)，x∈(－∞， ＋∞)，具有下列性质：
(1) 0≤ F(x) ≤ 1
(2) 若x1<x2，则 F(x1) ≤ F(x2) 证明： 若x1<x2 ，则有
X x2 X x1
根据概率的性质，得P{X<x2} ≥P{X<x1} 即 F(x2) ≥F(x1)
0.0169
19
若用泊松近似公式(λ=np=20×0.01=0.2) ，
则有
PX 2
k 2 k!
20
k
e
k 2
20 0.2 k
k!
e
0.2
0.0176
（2）设Y表示同一时刻发生故障的设备数，则
Y～B(80,0.01)。 当同一时刻至少有４台设备发生故障时，就不 能及时维修。 用泊松近似公式 (λ=np=80×0.01=0.8) ，得 80 k 80 0.8 k 0.8
(2) 0≤F(x) ≤1 ，且
x x
lim F x F 0
lim F x F 1
对任意实数 x0 ，有
(3) 右连续性
F x0 0 F x0 其中F x0 0 lim F x
一维随机变量函数的分布
y
x1 +
∆y
y
x2 x2 + (∆x)2
=P(x1 +(∆x)1 ≤ X <x1)+P(x2 < X ≤x2 +(∆x)2)
即
fY (y)∆ y = fX (x1)[−(∆x)1]+ fX (x2)(∆x)2
fY
(
y)
=
fX ( − dy
x1
)
+
f X (x2 ) dy
dx x=x1 dx x=x2
FY ( y) = P(Y < y)
当 y < 0 时，FY (y) = 0
当 y > 0 时，
[[
FY ( y) = P( X 2 < y)
y
= P(− y < X < y)
[ −y
y] y
= FX ( y) − FX (− y)FY(y) Nhomakorabea=
⎧ ⎨ ⎩
0, FX (
y) −FX (−
y),
y≤0 y>0
fY(y) 或分布律
如ξ是随机变量，在y=f(x)连续、分段 连续或单调时，则 η=f(ξ) 也是随机变量。
方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件
离散型随机变量函数的分布
设随机变量 X 的分布律为 P( X = xk ) = pk , k = 1,2,L
由已知函数 g( x)可求出随机变量 Y 的 所有可能取值，则 Y 的概率分布为
已知 X 的密度函数 f (x) 或分布函数 求 Y = g( X ) 的密度函数 方法：
（1） 从分布函数出发 （2）用公式直接求密度函数
例2 设随机变量ξ具有连续的分布密度
2.1.3 一维随机变量的分布函数
第一一节维随机变量的分布函数
市场现状分析
第二章
问题提出：对于连续型随机变量，如{a X b},如何分析其分布？
分析： P{a X b} P{ X b} P{ X a} P{a X b} P{X b} P{X a} P{X b} P{X a}
X 2
1 1
P 0 .1 0 .3 0 .6
市场现状分析
求X的分布函数 .
*
第二章
3
第一一节维随机变量的分布函数 特别地，对于离散型 . .，其分布函数为
市场现状分析
第二章
0
⋯
⋯
⋯
⋯
1
*
4
第一节一维随机变量的分布函数 1
0
⋯
第二章
*
第一节一维随机变量的分布函数
市场现状分析
一维随机变量分布函数的性质
P{a X b} P{X b} P{X a} P{X a} P{a X b} P{X b} P{X a} P{X b} 定义 设X为一维随机变量，x是任意实数， 则函数 F ( x) P{X x}称为一维随机变量 X的分布函数 .
(1) -∞
∞是任意实数，0 F
1;
(2) 当x x 时， x
x，
即 为 的单调非减函数；
(3) ∞ F∞
lim F x 0
⟶
lim F x 1;
⟶
(4) lim F x
⟶
，即处处右连续。*来自第二章6*
1
第一节一维随机变量的分布函数
市场现状分析
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二、离散型随机变量函数的分布
1 2 5 例1 设r.v.X的分布律为 p 0.2 0.5 0.3
X 求 Y= 2X + 3 的概率函数. 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生 的事件，两者具有相同的概率.
5 Y 故
2
1 f X ( y ) f X ( y ) , dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy 0,
y0 y0
1 f X ( y ) f X ( y ) , y 0 dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy y0 0, 2 1 x 2 fX ( x) 若 x e 2
例４已知XN(,2),求
解：Y X 关于x严单,反函数为
Y
X
的概率密度。
h( y ) y
故
fY ( y) f X [h( y)] | h( y) | f X (y )
1 e 2
y 2
2 2
1 e 2
=P( X
y8 2
) = FX(
y8 ) 2
于是Y 的密度函数
dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) dy 2 2
x / 8, 0 x 4 fX ( x) 0, 其它 dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) Y=2X+8 dy 2 2
2x
2
dx
解： 当0<y<1时,
FY ( y ) P(Y y ) P(sin X y )
=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）
(
而
arcsin y
2x
0
dx arcsin y 2
2
2x
dx6 0.1
则 Y=X2 的概率函数为： Y
0 1 p 0.6 0.4
即
P(Y yn ) P{
Y的分布律为
Y
g ( xi ) yn
( X x )} p
i g ( xi ) yn
i
y1
g(x i ) y1 i
y2
g(x i ) y 2 i
思考 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格 单增的连续函数, 证明Y=F(X)服从[0,1]上的 均匀分布. 证明: 设Y的分布函数是G(y), 由于
0 y1
于是 对y<0 , G(y)=0; 对y>1, G(y)=1;
又由于X的分布函数F是严格递增的连续函 数, 其反函数 F-1 存在且严格递增.
代入 fY ( y ) 的表达式中
即Y服从参数为1/2的指数分布.
练习２ 设X～U(0,1),求Y=ax+b的概率密 度.(a≠0)
y b 解: Y=ax+b关于x严单,反函数为 h( y ) a
故
y b 1 fY ( y ) f [h( y )] | h( y ) | f X ( ) a a 而 1 0 x 1 f X ( x) 0 others 故 y b 1 0 1 fY ( y ) a a others 0
dh( y ) , y x=h(y)是 f X [h( y )] fY ( y ) dy y=g(x)的 0, 其它 反函数
其中， min g ( x ), max g ( x ),
a x b a x b
此定理的证明与前面的解题思路类似.
7 13 p 0.2 0.5 0.3
一般，若X是离散型 r.v ，X的分布律为
X x1
x2 xk
p2 pk
p p1
Y
则Y=g(X)的分布律为
g ( x1 ) g ( x2 ) g ( xk )
p
p1
p2 pk
如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
如：X的分布律为 X
2x 2 f ( x) 0
0 x 其它
求Y=sinX的概率密度.
解：当0<y<1时,
FY ( y ) P(Y y ) P(sin X y )
=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）
arcsin y
2x
0
2
dx arcsin y
第四节
随机变量函数的分布
一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.
例如，已知圆轴截面直径 D 的分布， 求截面面积 A= 的分布.
D
4
2
设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求 出 Y 的分布？
这个问题无论在实践中还是在理论 上都是重要的.
则 Y=X2 的概率密度为：
1 fY ( y ) 2 0,
X ~ N (0,1)
y0
2
y e
1 2
y 2
,
y0
此时称Y服从自由度为1的 分布。记为 2
Y ~ (1)
从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过 程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X, 从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X的不等式 .
对0≤y≤1,
G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y)
=P(X ≤ F (y))
1
=F(F 1(y))= y 即Y的分布函数是 y0 0, G ( y) y, 0 y 1 1, y 1
求导得Y的密度函数
1, 0 y 1 g( y) 其它 0,
y2 2
例5 设随机变量X的概率密度为
2x 2 f ( x) 0
0 x 其它
求Y=sinX的概率密度.
不合定理条件 解：注意到, 当 0 x 时 0 y 1
故
当 y 0时, FY ( y ) 0,
当 y 1时, FY ( y ) 1
例5 设随机变量X的概率密度为
dFY ( y) fY ( y) dy
arcsin y 2 ) 1 ( )
dFY ( y) fY ( y) dy arcsin y 2 arcsin y 2 FY ( y) ( ) 1 ( ) 2 , 0 y 1 求导得: fY ( y ) 1 y 2 0, 其它
yn
g(x i ) y n i
p
p p
p
三、连续型随机变量函数的分布 1、一般方法 x / 8, 0 x 4 例2 设 X ~ f X ( x ) 求 Y=2X+8 的概率密度. 解：设Y的分布函数为 FY(y)，
0, 其它
FY(y)=P(Y y ) = P (2X+8 y )
已知X在(0,1)上服从均匀分布，
1, 0 x 1 fX ( x) 其它 0,
y/2 ) y / 2 d (e , 0 ey/2 1 f X (e ) fY ( y) dy 0, 其它 1 y/2 e , y0 得 fY ( y) 2 其它 0,
可见, Y 服从[0，1]上的均匀分布. 本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.
f ( 0)28
X
y
f ( )28 16
X
y y 8
注意到 0 < x < 4 时， f X ( x ) 0
y8 即 8 < y < 16 时， f X ( 2 ) 0 y8 y8 ) 此时 f X ( 2 16
故
y8 , 8 y 16 fY ( y) 32 0, 其它
例3设 X 具有概率密度 f X ( x ),求Y=X2的概率密度.
解： 设Y和X的分布函数分别为FY ( y)和FX ( x) ，
注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，FY ( y) 0
当 y>0 时, FY ( y ) P(Y y ) P( X y ) P ( y X y ) FX ( y ) FX ( y ) 求导可得
然后再求Y的密度函数
g ( x ) y
f ( x) dx
dFY ( y ) fY ( y ) dy
2、公式法：
下面给出一个定理，在满 足定理条件时可直接用它求出 随机变量函数的概率密度 .
定理 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率 密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且 对于任意x, 恒有 g ( x ) 0 或恒有g ( x ) 0 ，则 Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为
注：1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才 可用以上公式推求Y的密度函数。
2 注意定义域的选择 如 例2
x / 8, 0 x 4 设 X ~ fX ( x) 0, 其它
求 Y=2X+8 的概率密度.
y8 , 8 y 16 fY ( y) 32 0, 其它
或 FY ( y ) FX (arcsin y ) FX (0) FX ( ) FX ( arcsin y )
这一讲我们介绍了随机变量函数的分布. 对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的 分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转 化为X在一定范围内取值的形式，从而可以 利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }.