高二数学竞赛试题

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高二数学竞赛试题

高二数学竞赛试题一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择，仅有一个选择正确．请把正确选择号填在答题表的相应位置．）1．若集合},,{c b a M =中的元素是ABC ∆的三边长，则ABC ∆一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．设k =︒100cos ，则︒80tan =（）A ．k k 21-B ．k k 21--C ．k k 21-±D ．21kk -±3．如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的体积为（）A ．61B ．31C ．21D ．14．若A 、B 两点分别在圆044840481662222=--++=-+-+y x y x y x y x 和上运动，则||AB 的最大值为（）A ．13B ．19C ．32D ．385．设21,x x 是函数()2008xf x =定义域内的两个变量，且21x x <，若)(2121x x a +=，那么，下列不等式恒成立的是（） A ．|)()(||)()(|21a f x f x f a f ->- B ．)()()(221a f x f x f >C ．|)()(||)()(|21a f x f x f a f -=-D ． |)()(||)()(|21a f x f x f a f -<-6．已知函数*)(5n cos)(N n n f ∈=π，则=++++++)43()32()21()10()2008()2()1(f f f f f f f （） A ．1B ．0C ． -1D ．4二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．） 7．右图的发生器对于任意函数()x f ，D x ∈可制造出一系列的数据，其工作原理如下：①若输入数据D x ∉0，则发生器结束工作；②若输入数据D x ∈0时，则发生10x x =输出1x 是)(01x f x =D x ∈输入0x正视图左视图俯视图器输出1x ，其中()01x f x =，并将1x 反馈回输入端.现定义()12+=x x f ,)50,0(=D .若输入10=x ,那么, 当发生器结束工作时,输出数据的总个数为．8．若点（1,1）到直线2sin cos =+ααy x 的距离为d ，则d 的最大值是． 9. 从[0，1]之间选出两个数，这两个数的平方和小于0.25的概率是_______．10．函数212y x x =++（[]1,+∈n n x ，其中n 为正整数）的值域中共有2008个整数，则正整数=n .11. 把1，2，3，…，100这100个自然数任意分成10组，每组10个数，将每组中最大的数取出来，所得10个数的和记为S .若S 的最大值为M ，最小值为N ，则=+N M . 12．设集合[]{}22=-=x x x A ，{}2<=x x B ，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则=B A .三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 13．（本小题满分14分）已知向量)tan 1,tan 1(x x AB -+=，))4sin(),4(sin(ππ+-=x x AC ．（1）求证：BAC ∠为直角；（2）若]4,4[ππ-∈x ，求ABC ∆的边BC 的长度的取值范围．14．（本小题满分14分）已知函数1)2()(2++-=x a ax x f .若a 为整数，且函数()f x 在(2,1)--内恰有一个零点，求a 的值.15．（本小题满分14分）设A 、B 是函数x y 2log =图象上两点, 其横坐标分别为a 和4+a , 直线2:+=a x l 与函数x y 2log =的图象交于点C , 与直线AB 交于点D .(1)求点D 的坐标；(2)当ABC ∆的面积大于1时, 求实数a 的取值范围. 16．（本小题满分16分）已知以点)0,)(2,(≠∈t R t tt C 为圆心的圆与x 轴交于A O 、两点，与y 轴交于O 、B 两点，其中O 为坐标原点.（1）求证：OAB ∆的面积为定值；（2）设直线42+-=x y 与圆C 交于点N M 、，若||||ON OM =，求圆C 的方程.17．（本小题满分20分）对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”，若()()f f x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}|A x f x x ==，()(){}|B x f f x x ==.（1）求证：A B ⊆；（2）若()()21,f x ax a R x R =-∈∈，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 是R 上的单调递增函数，0x 是函数的稳定点，问0x 是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.高二数学竞赛参考答案一、选择题D B A C D C 二、填空题7．5 8．22+ 9．16π10．1003 11．1505 12．}3,1{- 三、解答题13．（1）证明：因为)4sin()tan 1()4sin()tan 1(ππ+-+-+=⋅x x x x AC AB=2cos sin cos sin [(sin cos )(sin cos )]2cos cos x x x x x x x x x x+--++ =0， …………4分所以AC AB ⊥，即︒=∠90BAC ． …………5分所以ABC ∆是直角三角形． …………6分（2）解：1)4(sin )4(sin ||22=-++=ππx x AC ，因为ABC ∆是直角三角形，且AC AB ⊥，所以x AC AB BC 2222tan 23||||||+=+= …………9分又因为]4,4[ππ-∈x ，1tan 02≤≤x ，所以5||3≤≤BC ．所以，BC 长度的取值范围是[]5,3． …………12分14．解：（1）0=a 时，令012)(=+-=x x f 得21=x ，所以()f x 在(2,1)--内没有零点；2分（2）0≠a 时，由2()(2)1,f x ax a x =-++044)2(22>+=-+=∆a a a 恒成立，知1)2()(2++-=x a ax x f 必有两个零点． …5分若0)2(=-f ，解得Z a ∉-=65；若0)1(=-f ，解得Z a ∉-=23，所以0)1()2(≠--f f ． ……7分又因为函数()f x 在(2,1)--内恰有一个零点，所以(2)(1)0f f --<即(65)(23)0a a ++<． …………10分解得 35,26a -<<- 由,1a Z a ∈∴=-综上所述，所求整数a 的值为1-． …………12分15．解：（1）易知D 为线段AB 的中点, 因)log ,(2a a A ，)log ,4()4(2++a a B ，所以由中点公式得)log ,2()4(2++a a a D ． …………2分（2）连接AB ，AB 与直线2:+=a x l 交于点D ，D 点的纵坐标为))4(log (log 2122++=a a y D ． …………4分所以BCD ACD ABC S S S ∆∆∆+=)22(||21+⋅=CD ||2CD =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=))4(log (log 21)2(log 2222a a a= log 2)4()2(2++a a a …………8分由S △ABC = log 2)4()2(2++a a a >1, 得2220-<<a ， …………10分因此, 实数a 的取值范围是2220-<<a . …………12分 16．解：（1）O C 过原点圆，2224t t OC +=∴．设圆C 的方程是 22224)2()(tt ty t x +=-+- 令0=x ，得ty y 4,021==；令0=y ，得t x x 2,021==. …………2分 4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即：OAB ∆的面积为定值. ………4分（2）|,||||,|||CN CM ON OM ==OC ∴垂直平分线段MN .21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21=. …………6分 t t 212=∴，解得：22-==t t 或. …………8分当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离551<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点． …………10分当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去． …………13分∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x . …………14分17．解：（1）若A =∅，则A B ⊆显然成立；若A ≠∅，设t A ∈，则()()()(),f t t f f tf t t ===，t B ∴∈，故A B ⊆. …………4分（2）2,1A ax x ≠∅∴-=有实根，14a ∴≥-.又A B ⊆，所以()2211a ax x --=，即3422210a x a x x a --+-=的左边有因式21ax x --，从而有()()222110ax x a x ax a --+-+=. …………6分A B =，2210a x ax a ∴+-+=要么没有实根，要么实根是方程210ax x --=的根.若2210a x ax a +-+=没有实根，则34a <；若2210a x ax a +-+=有实根且实根是方程210ax x --=的根，则由方程210ax x --=，得22a x ax a =+，代入2210a x ax a +-+=，有210ax +=.由此解得12x a =-，再代入得111042a a+-=，由此34a =，故a 的取值范围是13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. …………10分（3）由题意：0x 是函数的稳定点则()()00f f x x =，设()00f x x >，()f x 是R 上的单调增函数，则()()()00f f x f x >，所以()00x f x >，矛盾.若()00x f x >，()f x 是R 上的单调增函数，则()()()00f x f f x >，所以()00f x x >，矛盾，故()00f x x =，所以0x 是函数的不动点.。

高二数学竞赛试题及答案广东

高二数学竞赛试题及答案广东高二数学竞赛试题及答案（广东）试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)在区间[-1,2]上的最大值和最小值。

2. 解方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。

答案：1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)的导数为\( f'(x) = 4x - 3 \)。

令\( f'(x) = 0 \)得\( x = \frac{3}{4} \)。

在区间[-1, 2]上，\( f(x) \)在\( x = \frac{3}{4} \)处取得最小值\( f\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{8} \)，在区间端点\( x = -1 \)和\( x = 2 \)处分别取得最大值\( f(-1) = 4 \)和\( f(2) = 5 \)。

2. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)可以分解为\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，解得\( x = 2 \)或\( x = 3 \)。

试题二：不等式1. 证明不等式\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \)在\( a, b > 0 \)时成立。

2. 解不等式\( |x - 1| + |x - 3| \geq 4 \)。

答案：1. 由于\( a, b > 0 \)，根据调和平均数与几何平均数的关系，有\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} =2\sqrt{\frac{1}{ab}} \cdot 2 \geq 4 \)。

2. 根据绝对值的性质，\( |x - 1| + |x - 3| \)表示数轴上\( x \)到1和3两点的距离之和。

当\( x \)在区间[1, 3]之外时，距离之和大于4。

2023高中数学竞赛决赛试题

2023高中数学竞赛决赛试题2023高中数学竞赛决赛试题一、选择题设集合A = {x | x = 3k + 1, k Z}∈，B = {x | x = 3k + 2, k Z}∈，则集合A 和B 的关系是：A. A B ⊆B. B A ⊆C. A = B D. A ∩ B = ∅已知 x > 1，则函数 y = x + (1/x) 的最小值为：A. 2√2B. √2C. 4D. 不存在若函数 f(x) = (x - a)/(x^2 + 1) 在区间 (-2,2) 上是奇函数，则 a 的取值范围是：A. a = ±√2B. a = -√2C. a = ±1D. a = -1下列各组中的两个函数是同一函数的是：A. f(x) = x^2 和 g(x) = (√x)^2B. f(x) = x 和 g(x) = √x^2C. f(x) = |x| 和 g(x) = (√(x^2))D. f(x) = x 和 g(x) = (√(x))^2在等差数列 {an} 中，a3 + a8 > 0，则有：A. a1 + a10 > 0B. a2 + a9 > 0C. a4 + a7 > 0D. a5 + a6 > 0若实数 x, y 满足 x^2 + y^2 = 1，则 (x + 2)^2 + (y + 2)^2 的最小值为：A. 4√5/5B. √5 - 1C. √5 + 1D. 5/4下列各式中正确的是：A. lim(x→∞) (sin x/x) = 0B .lim(x→∞) (x·sin x/x) = 1C .lim(x→∞) (sin x/x^2) = 0D .lim(x→∞) ((sin x)/x)^x = e^(-1)下列说法中正确的是：A. “直线 l 在平面 α 内”等价于“直线 l 与平面 α 有公共点”B. “直线 l 与直线 l' 在平面 α 内相交”等价于“直线 l 与直线 l' 有公共点”C. “直线 l 与平面 α 的平行”等价于“直线 l 与平面 α 没有公共点”D. “直线 l 与直线 l' 在平面 α 内平行”等价于“直线 l 与直线 l' 没有公共点”一个袋子中有大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的球各一个，现有放回地依次取出三个球，则取到红、黄、蓝三种颜色的球各一个的概率为：A. 1/8B. 1/6C. 1/4D. 1/3在等比数列 {an} 中，a7 · a11 = 6，a3 + a13 = 5，则 a23 + a27 的值为：A. -5/6 B. -1 C. -6 D. -5/4二、填空题11. 若 f(n) = (n - a)/(n + a)，则 f(4) + f(9) + ... + f(99) + f(104) 的值为 _______。

高二数学竞赛(含答案)

高二数学竞赛试题一、选择题（本题满分60分，每题5分） 1．复数()()212z i i =++的虚部为()A. 2i -B. 2-C. 4iD. 42．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋a 2y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y)|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是( ) A. 3或-1 B. 0 C. －1 D. 0或－1 3．()423a b c +-的展开式中2abc 的系数为（）A. 208B. 216C. 217D. 218 4.某公司在2013-2017年的收入与支出情况如下表所示：根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a ∧∧=+，依此估计如果2018年该公司收入为7亿元时的支出为( ) A. 4.5亿元 B. 4.4亿元 C. 4.3亿元 D. 4.2亿元5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -= ）的点的个数的估计值为( )A. 5000B. 6667C. 7500D. 78546. 函数2cos 3sin cos y x x x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（） A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 122,3⎡-⎢⎣⎦C. 0,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 2,301⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”.已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是（）A. 小明B. 小马C. 小红D. 小方8.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为收入x （亿元） 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 支出y （亿元）0.21.52.02.53.8A.94πB. 9πC. 4πD. π 9．我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202-1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是（）开始结束是,,n v x1i n =-0?i ≥输出v 1i i =-1v v x =⋅+否输入A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++10．设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为（） A. 2 B. 3 C.32 D. 5311．已知抛物线C ： 22(0)y px p =>和动直线l ： y kx b =+（k ， b 是参变量，且0k ≠， 0b ≠）相交于()11,A x y ， ()22,B x y 两点，直角坐标系原点为O ，记直线OA ， OB 的斜率分别为OA k ， OB k ，若3OA OB k k ⋅=恒成立，则当k 变化时直线l 恒经过的定点为（）A. ()3,0B. ()23,0- C. 3p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.23,0p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12. 已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩（lnx 是以e 为底的自然对数，e=2.71828...），若存在实数m,n(m<n)，满足f(m)=f(n)，则n-m 的取值范围为( ) A.B.C.D.二、填空题（本题满分20分，每题5分）13.已知实数,x y 满足约束条件222441 x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为 .14. 如图，矩形ABCD 中，AB=2AD ，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则在ADE 翻折过程中，下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的编号）①线段BM 的长是定值；②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；③点M 的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，使 MB 平面A 1DE ．15. 已知双曲线22221x y a b -= （0a > ， 0b > ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交双曲线右支于P ，Q 两点，且1PQ PF ⊥ ，若1512PQ PF =，则双曲线的离心率为__________ . 16．九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,...,a a a ，若13579a a a a a ++++是一个平方数，2468a a a a +++是一个立方数，则1239...a a a a ++++的最小值是 .三、解答题（本题满分70分）17．（本小题满分10分）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若33ABC S ∆=+,求,a c .18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N *+=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：12231 (2)n n a a a na a a ++++<. 19．（本小题满分12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征召《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[]20,45的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示．（1）求图中x的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．20. （本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆，⊙O交BC于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）在（2）条件下，若CD=1，EH=3，求BF及AF长．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，并且过点P（2，﹣1）（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．22. （本小题满分12分）已知函数()ln mx nf x x x-=-，,m n R ∈. （1）若函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，求实数n 的值；（2）试讨论函数()f x 在区间[1,)+∞上最大值；（3）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：122x x +>.高二数学竞赛试题参考答案1．D 2．D 3．B 4．B 5. B 6. C 7．A 8．A 9．A 10．B 11．D 12. C13. []1,6 14．①③ 1516．18000 17．解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-. ....................2分所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). ．即 2C A B =+, 得3C π=，所以.23B A π+=.................. 4分又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56B A π-=（舍去）得5,412A B ππ== ．.................. 6分(2)1sin 32ABC S ac B ∆===，又sin sin a cA C =, 即22=，．.................. 8分得a c == .................. 10分（1）由已知6B π=， 2220a ab b --=结合正弦定理得：22sin sin 10A A --=，于是sin 1A =或1sin 2A =-（舍）．因为0A π<<，所以2A π=， 3C π=．（2）由题意及余弦定理可知22196a b ab ++=，由（1）2220a ab b --=得()()20a b a b +-=即2a b =，联立解得27b =， 47a = 所以， 1sin 1432ABC S ab C ∆==. 18．（1）∵.∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴，即................... 6分（2）证明：∵1121212112122112(21)2k k k n k k kn a a ++---=<==-⋅---，，∴................... 12分19．（1）根据频率分布直方图可得()0.010.020.040.0751x ++++⨯=，解得0.06x =.........2分（2）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，.................. 4分故X 的可能取值为0,1,2,3．()343101030C P X C ===， ()12643103110C C P X C ===， ()2164310122C C P X C ===， ()36310136C P X C ===．故X 的Y 0 1 2 3P130 310 12 16.................. 10分()13110123 1.8301026E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．..................12分 20.证明：（1）如图，连接OE ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE=∠OBE ， ∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ， ∴∠OEB=∠CBE ， ∴OE ∥BC ，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC 是⊙O 的切线；．..................3分（2）如图，连结DE ．∵∠CBE=∠OBE ，EC ⊥BC 于C ，EH ⊥AB 于H ， ∴EC=EH ．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE ．在△CDE 与△HFE 中，90CDE HFE C EHF EC EH ∠=∠∠=∠=⎪⎨⎩=⎧⎪， ∴△CDE ≌△HFE （AAS ）， ∴CD=HF ．．..................7分（3）由（2）得，CD=HF ．又CD=1 ∴HF ＝1在Rt △HFE 中，EF =2231+＝10 ∵EF ⊥BE ∴∠BEF =90°∴∠EHF =∠BEF =90° ∵∠EFH =∠BFE ∴△EHF ∽△BEF ∴EF HFBF EF =，即10110BF =∴BF =10∴152OE BF ==, 514OH =-=,∴在Rt △OHE 中， 4cos 5EOA ∠=,∴在Rt △EOA 中， 4cos 5OE EOA OA ∠==,∴545OA = ∴254OA =∴255544AF =-=. ．..................12分21．（1）解：由，得，即a 2=4b 2，∴椭圆C 的方程可化为x 2+4y 2=4b 2．又椭圆C过点P （2，﹣1），∴4+4=4b 2，得b 2=2，则a 2=8．∴椭圆C 的方程为；..................4分（2）证明：由题意，直线PA 斜率存在，设直线PA 的方程为y +1=k （x ﹣2），联立，得（1+4k 2）x 2﹣8（2k 2+k ）x +16k 2+16k ﹣4=0．∴，即．∵直线PQ 平分∠APB ，即直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数，设直线PB 的方程为y+1=﹣k （x ﹣2），同理求得． ..........8分又，∴y 1﹣y 2=k （x 1+x 2）﹣4k ．即=，.................. 10分∴直线AB 的斜率为．..................12分22.（1）由'2()n x f x x -=，'2(2)4n f -=，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，故214n -=，解得6n =. .................. 2分（2）'2()(0)n xf x x x-=>，由'()0f x <时，x n >；'()0f x >时，x n <，所以①当1n ≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减，故()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)n 上单调递增，在(,)n +∞上单调递减，故()f x 在[1,)+∞上的最大值为()1ln f n m n =--；综上①当1n ≤时，()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)+∞上的最大值为()1ln f n m n =--；.................. 6分（3）函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，则1211221211()ln 0,()ln 0mx mx f x x f x x x x --=-==-=，可得121211ln ln m x x x x =+=+. 于是21221121ln ln ln x x x x x x x x -=-=. 令211x t x =>，则1111ln ,ln t t t x tx t t --==，于是21211(1)ln t x x x t t t-+=+=，.................. 8分∴21212(ln )22ln t t t x x t--+-=，记函数21()ln 2t h t t t -=-，因2'2(1)()02t h t t -=>， ∴()h t 在(1,)+∞递增，∵1t >，∴()(1)0h t h >=，又211x t x =>，ln 0t >，故122x x +>成立. .................. 12分。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为．答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是．答案：1,0(0,2)4．解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q．由条件知211211a a q q，化简得11a q ．当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为．答案：34．解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为．答案：421．解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ．事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ．事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ．于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ．由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆的焦点，在上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则的离心率的最小值为．答案解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ．记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ．由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以的离心率d e u v ．当::u v d 时，的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论．情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组．综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分）在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾．所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值．解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ．当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ．计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。

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高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。

假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。

高二数学竞赛试题及答案

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。

______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。

______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。

______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。

______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。

高二年级数学竞赛试题含答案

高二年级数学竞赛试题一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的是（） (A) tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使(B) tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使 (C) tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使(D) tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使 2. 设a R ∈，则1a >是11a< 的（）（A ）充分但不必要条件（B ）必要但不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是（）（A ）（a , 0）（B ）(－a , 0) （C ）（0, a ）（D ）（0, －a ）4（文）=∆∆--∆+→∆xx x f x x f 2)()(lim000x （）(A).)(210x f ' (B). )(0x f ' (C). )(20x f ' (D). )(-0x f ' 4（理）有以下命题：①如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面； ③已知向量,,是空间的一个基底，则向量,,-+也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③ 5（文）已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（）（A ）e 1-（B ）e 1 （C ）e 2 （D ）e2- 5（理）已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）56（文）设210,,k k k 分别表示正弦函数x y sin =在2,4,0ππ===x x x 附近的平均变化率，则（）(A ). 012k k k << (B). 120k k k << (C). 210k k k << ( D). 201k k k <<6（理）如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

丽水高二数学竞赛试题及答案

丽水高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. 0.1010010001...D. 22/72. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点坐标是？A. (3/4, -1/8)B. (-3/4, 1/8)C. (3/2, -1/4)D. (-3/2, 1/4)3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的结果。

A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}4. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，第10项a10的值是多少？A. 29B. 32C. 35D. 425. 直线y = 2x - 4与x轴的交点坐标是？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (4, 0)D. (0, -4)二、填空题（每题4分，共20分）6. 圆的半径为5，圆心到直线x + 2y - 3 = 0的距离是_________。

7. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g'(x) = ________。

8. 已知等比数列的首项a1=8，公比q=2，求第5项a5的值是_________。

9. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标是_________。

10. 已知正弦函数y = sin(x)，求其在x=π/4处的导数值是_________。

三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

12. 已知椭圆的方程为x^2/9 + y^2/4 = 1，求椭圆的长轴和短轴长度。

13. 解不等式：|2x - 1| + |x + 2| ≥ 5。

14. 已知函数f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 5x + 6，求其极值点。

15. 已知向量a = (2, -1)，b = (-1, 3)，求向量a在向量b上的投影。

四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。

遵义数学竞赛高二试题及答案

遵义数学竞赛高二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(1) \)的值。

A. 1B. -1C. 3D. 52. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形的三边长，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，该三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形3. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，则直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 包含4. 若\( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \)，且\( \alpha \)和\( \beta \)均不为0，求\( \beta \)的值。

A. \( \frac{\pi}{2} \)B. \( -\frac{\pi}{2} \)C.\( \frac{\pi}{4} \) D. \( -\frac{\pi}{4} \)二、填空题（每题4分，共16分）5. 若\( \cos(\theta) = \frac{1}{3} \)，求\( \sin(\theta) \)的值（结果保留根号）。

6. 将\( 8^3 \)写成\( 2 \)的幂次形式。

7. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

8. 已知\( \log_{10} 100 = 2 \)，求\( \log_{10} 0.01 \)的值。

三、解答题（每题14分，共40分）9. 证明：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是正数，且\( a + b + c =1 \)，则\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \)。

10. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 4 \)。

11. 已知点A(-1, 2)，B(2, -1)，C(3, 6)，求三角形ABC的面积。

2023-2024学年安徽省高二竞赛数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年安徽省高二数学竞赛模拟试题一､填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.如果函数()()42231f x cx c x =+-+在区间(),1∞--上单调递减，在区间()1,0-上单调递增，则c 的值为__________.2.已知命题p ：对任意的正数x ，有212ax x >-+，命题q ：不存在实数x ，使223x a x <<-.若命题,p q 都为假命题，则实数a 的取值范围是__________.3.在立方体中放人9个球，一个与立方体6个面都相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个切，已知8个相等的球的半径都为2，则立方体的体积为__________.4.圆222(0)x y R R +=>上有一定点(),0,,A R B C 是该圆上的两动点.如果2AB AC r ⋅=为常数(0)r R <<，可证BC 必与某个圆Ω相切，则Ω的方程为__________.5.对26⨯的长方形方格带的某些11⨯小方格染色（染成红色），要求任何一个22⨯的正方形方格中至少有一个11⨯的小方格未被染色，这样的染色方式有__________种.6.一离散型随机变量X 的分布列为：X 0123P0.1a b c其中,a b 为变数，c 为正常数，且当0a b =≠时方差()D X 有最大值，则c 的值为__________.7.已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的右焦点为F ，过F 的直线与双曲线右支交于,A B 两点，若以AB 为直径的圆过原点，则双曲线离心率e 的取值范围是__________.8.__________.2482cos 12cos 12cos 1999πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二､解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明､证明或演算步骤.9.（本小题满分16分）已知函数()()2,,f x ax bx c a b c =++∈R ，且对一切x ∈R ，都有()2428124x f x x x +++.（1）将,b c 分别表示成关于a 的函数，并求出a 的取值范围；（2）对于给定的,a k ，求()f x 在区间[],k k -上的最小值.10.（本小题满分20分）某游戏公司开发了一款游戏，共有两关，公司组织了水平相当的()*3,n n n ∈N位玩家测试这款游戏.玩家按预先指定的顺序依次上场，每位玩家的测试都是相互独立的.他们通过第一关测试的概率都为(01)p p <<，通过第二关测试的概率都为(01)q q <<.若玩家通不过第一关测试，则他下场，由下一位玩家继续上场测试，若玩家通过第一关测试，则继续第二关的测试，若第二关测试通过，则游戏测试终止，若第二关测试通不过，则下一位玩家直接从第二关开始测试.当p q ≠时，求第()*11,k k n k -∈N 位玩家终止测试的概率（用含,,p q k 的式子表示）.11.（本小题满分20分）已知函数3y x ax =-（a 为常数）的图象上存在四个点(),i i i A x y ，过i A 的切线为(1,2,3,4i l i =，其中)13l l ∥，且1234,,,l l l l 围成的图形是正方形.（1）求证：132423x x x x -；（2）试求a 的取值范围.数学答案一､填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.1由题意得，()()32423f x cx c x =+-'，由()10f '-=，得()24230c c ---=，解得3c =-或1c =.当3c =-时，()()()1211f x x x x =--+'，当1x <-时，()0f x '>，则()f x 在区间(),1∞--上单调递增，不满足条件，舍去；当1c =时，()()()411f x x x x =-+'，则()f x 在区间(),1∞--上单调递减，在区间()1,0-上单调递增，满足题意，故1c =.2.(]0,1当命题p 为真命题时，对任意的正数22211,11,1,x x a a x x -⎛⎫>=--+∴>∴ ⎪⎝⎭命题p 为假命题时，1a ；当命题q 为假命题时，存在实数x ，使223x a x <<-，03a ∴<<，故命题,p q 都为假命题时，实数a 的取值范围是(]0,1.3.8设立方体的边长为a (212a =++-，解得2a =，则立方体的体积为8.4.2222()2r x R y R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭设A 到BC 的距离为,h BAC ∠α=，则11sin sin 22AB AC BC h R h αα⋅==⋅，又22,,2r AB AC r h BC R ⋅=∴=∴与圆2222()2r x R y R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切.5.3105考虑()21n ⨯+个方格的染色情况.最后2个方格如果没有染色或只有一个染色（它有3种可能的情况），前面的2n ⨯个方格有n a 种染色方式，共有3n a 种染色方式；如果最后两个方格都染色，则与它相邻的2个方格或者没有染色或者只有一格染色，前面的()21n ⨯-方格有1n a -种染色方式，共有13n a -种染色方式，故()113n n n a a a +-=+，其中()4232115,315457a a =-==⨯+=，由此可知()431557216a =⨯+=，()()56357216819,32168193105a a =⨯+==⨯+=.6.0.1由题意得，()()()20.9,230.92,490.938,a b c E X a b c b c E X a b c b c D X ++==++=++=++=++()()222[]0.938(0.92)E X E X b c b c =-=++-++()221.240.09 4.44,b c b c c =-+-++-∴当0.62b c =-时有最大值，此时1.240.9c c -+=，解得0.1c =.7.512+⎣当AB x ⊥轴时，2b c a =，解得512e +=.当AB 不与x 轴垂直时，设():AB y k x c =-，与22221x y a b-=联立得()()222222222220a k b x a ck x a c k b --++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22222212122222222,a c k b a ck x x x x a k b a k b++==--，则()()2421212222k b y y k x c x c a k b=--=--.由题意得，()222224222222121222242242210131a c k b k b a b e b x x y y k e a k b b a c e e a+--+==⇒==>=----+42103112e e e +⇔<-+<⇔<<.综上，双曲线离心率e的取值范围是12⎣.8.1方法一：令29πθ=，()()()22cos 12cos 14cos 12cos2112cos21θθθθθ-+=-=+-=+ ，2cos212cos 12cos 1θθθ+∴-=+，同理得2cos412cos212cos21θθθ+-=+，2cos812cos412cos41θθθ+-=+，以上三式相乘有：162cos 124892cos 12cos 12cos 1129992cos 19πππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+.方法二：令2248116sin cos cos cos sin2481999989coscos cos 229998sin sin 99a ππππππππππ===-.令248cos cos cos 999b πππ=++，2468cos cos cos cos 9999ππππ+++=24682cos sin 2cos sin 2cos sin 2cos sin999999992sin9πππππππππ+++=3537597sin sin sin sin sin sin sin sin 999999992sin9πππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=sin12489,cos cos cos 029992sin 9b πππππ-=-∴=++=.令244828248cos cos cos cos cos cos cos cos cos 999999999c πππππππππ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭24826248248cos cos 2cos cos cos cos cos cos cos cos 9999999999ππππππππππ=+=-+=412411cos cos cos 1399922224πππ--+--+==-，2482cos 12cos 12cos 1842113011999a c b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=-+-=-++-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二､解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明､证明或演算步骤.9.（本小题满分16分）（1）原不等式可化为()()()424222x f x x x +++.取12x =-，则有1100022f f ⎛⎫⎛⎫-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴令()()12f x x ax n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因此有()()111481222x x ax n x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当12x >-时，由上式知恒有()481ax n ax n x +⎧⎨++⎩，42a n ∴-+，且1814,4222a a n n ⎛⎫-+-+=∴-+= ⎪⎝⎭.同理，当12x -时，也有42an -+=，()14,44,22224a a a n f x x ax b a c ⎛⎫⎛⎫∴=+∴=+++⇒=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由题意得，()()()()22222114204218124802ax b x c a x x a x a x b x c a x ⎧⎛⎫⎛⎫+-+-=++=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+-+-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩①②，①②两式恒成立，[]0,8a ∴∈.（2）当0a =时，()42f x x =+，此时()f x 在[],k k -上的最小值为()42f k k -=-+；当(]0,8a ∈时，()f x 图象的对称轴方程为4022b a x a a+=-=-<，此时442a f a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.记()f x 的最小值为m ，当(]4,2a k a∞+-∈--时，得()214k a -⑤，故当12k 时，⑤成立，此时()()()121284k k a m f k ⎡⎤--+⎣⎦=-=.当12k >时，()421421k a a k -⇒-.注意到：4343138,821421424k k k k k ⇔>⇔<⇒<<--，∴当1324k <<时，⑥戊立，此时()()121284k k a m ⎡⎤--+⎣⎦=.当34k 时：当4821a k <-时，(]4,2a k k a +-∈-，此时4m a=-.当421ak -时，(]4,2a k a ∞+-∈--，此时()()()121284k k a m f k ⎡⎤--+⎣⎦=-=.综上，()f x 在区间[],k k -上的最小值如下：当304k <<时，()()121284k k a m ⎡⎤--+⎣⎦=；当34k 时，()()121284,042144,821k k a ak m a a k ⎧⎡⎤--+⎣⎦⎪⎪-=⎨⎪-<⎪-⎩.10.（本小题满分20分）设第()*11,k k n k -∈N 位玩家终止测试的概率为kp .当p q ≠且第()*11,k kn k -∈N 位玩家终止测试时，第k 位玩家必通过第二关测试.若前面()1k -位玩家都没有通过第一关测试，其概率为'1(1)k k p p pq -=-，若前面()1k -位玩家中人第()*11,,i i k k i -∈N位玩家才通过第一关测试，则前面()1i -位玩家无人通过第一关测试，其概率为1(1)i p --，第i 位玩家通过第一关测试，但没有通过第二关测试，其概率为()1p q -，第()1i +位玩家到第()1k -位玩家中都没有通过第二关测试，其概率为1(1)k i q ---.∴前面()1k -位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：111111111(1)(1)(1)(1)1i k k i k i k k i i p p p p q q q pq q q ---''----==⎛⎫-=---=- ⎪-⎝⎭∑∑()11111111(1)(1)(1)111k k k k p pq q q pq q q p p p qq ----⎛⎫--⎪--⎝⎭⎡⎤=-=---⎣⎦----111(1)(1)(1)(1)k k k kk k pq q p p p pq p q p p q'''----⎡⎤∴=+=-+---⎣⎦-()11(1)(1)(1)(1)k k k kpq q pq pq pq p q q p p q p q p q -⎡⎤-⎡⎤=--+-=---⎢⎣⎦---⎣⎦因此，第()*11,k k n k -∈N 位玩家终止测试的概率为(1)(1)k k pq q p p q⎡⎤---⎣⎦-.11.（本小题满分20分）（1）设直线i l 的斜率为()1,2,3,4i k i =，又23y x a '=-，则()231,2,3,4i i k x a i =-=，121k k =-1324,l l l l ∥∥，则2222132413241324,,,,k k k k x x x x x x x x ==∴==⇒=-=-，22132412121113332x x x x x x k k k k ∴-=-=-=+，即132423x x x x -.（2）若0a ，则()212301,2,3,4,1i i k x a i k k =-==-不成立，0a ∴>.不失一般性，可设12120,0,0,0x x k k >>><.()()31:201,2,3,4i i i i l y y k x x y k x x i -=-⇔--==.1l 与3l 的距离2l ､与4l 的距离分别设为d 与d '，则3333121d d k k '⎧===∴=-⎩33112x k x ∴=⋅，令31k t =，则12(0)x tx t =>.222232122132313111113,3x x a k a x at t a at k t t t t t-==-=-∴-=-⇒=-⇒+=- ，431t a t t +∴=-，又0,0a t >>，可得1t >.方法一：令()431(1)x f x x x x+=>-，则()()()()()()2226422233122331xx x x x x f x xxxx++---+==--'，易知当22x =+时，()f x 取得最小值，从而a 取得最小值，2mina a∴==∴的取值范围是)∞⎡+⎣.方法二：令()431(1)xf x xx x+=>-，则()2211211xxf x xxx xx x+==-+--，当且仅当22x=+时，取得等号，mina∴=，a∴的取值范围是)∞⎡+⎣.。

全国高中数学竞赛试题及答案

全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。

2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。

3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。

试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。

2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。

3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。

试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。

2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。

3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。

试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。

2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。

3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。

2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

2022-2023学年高二下学期数学竞赛试题(解析版)

太和中学2022-2023学年度高二下学期数学竞赛试卷满分:150分考试时间:120分钟一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列导数运算正确的是（）A. B.2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()122x x x -'=⋅C. D. ()cos sin x x '=()22ln xx'=【答案】D 【解析】【分析】根据基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则逐项计算即可判断【详解】；；；. 2111x x x'⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()22ln 2x x '=()cos sin x x '=-()2222ln x x x x '==故选：D.2. 已知数列满足，且，则（）{}n a 214a =1212n n na a a +-=2023a =A.B.C.D.141-3223【答案】B 【解析】【分析】计算，，，，，确定为周期是的数列，计算得到123a =214a =31a =-432a =523a ={}n a 4答案.【详解】，故，，，， 1212n n n a a a +-=12121124a a a -==123a =2322112a a a -==-34321322a a a -==，，故为周期是的数列，. 45421223a a a -==L {}n a 4202331a a ==-故选：B3. 函数在上的图象大致为（）()sin f x x x =-[0,2π]x ∈A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据导数与函数的单调性的关系及导数的几何意义结合图象即得.【详解】因为，所以在为增函数，()1cos0f x x'=-≥()f x[]0,2π令，且，()()g x f x'=()sing x x='当时，，为增函数，图象上切线的斜率逐渐增大；[]0,πx∈()0g x'≥()g x()f x当时，，为减函数，图象上切线的斜率逐渐减小.[]π,2πx∈()0g x'≤()g x()f x故选：D．4. 在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（）A. 11.5尺B. 13.5尺C. 12.5尺D. 14.5尺【答案】B 【解析】【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,()0d d >3d d 冬至的晷长为,根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得.x 【详解】解：设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4()0d d >3d ,冬至的晷长为,则,解得,d x 49.510.53x d d x -=⎧⎨+=⎩113.5d x =⎧⎨=⎩故选：B.5. 在等差数列中，若，，则和的等比中项为（）{}n a 38137a a a ++=2111414a a a ++=8a 9a A.B.C. D.±【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质计算出，再根据等比中项的定义即可求出答案 89,a a 【详解】由题意得：，所以，，所以.3813837a a a a ++==873a =211149314a a a a ++==9143a =，所以和的等比中项为 89989a a ⋅=8a 9a 故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质（若则），以及等比中项，属于m n p q +=+m n p q a a a a +=+基础题。

高二数学竞赛练习(附答案)

高二数学练习一、选择题：1.若指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠的部分对应值如右表：则不等式1()0fx -<的解集为A ．{11}x x -<<B ．{11}x x x <->或C ．{01}x x <<D ．{1001}x x x -<<<<或2．设数列1{2}n -按“第n 组有个数()n N ∙∈”的规则分组如下：（1），（2，4），（8，16，32），…，则第100组中的第一个数 A ．49512B ．49502C ．50512D ．505023．若数列{}n a 满足1121,2,(3)n n n n a a a a n a --===≥，则17a 等于 A ．1 B ．2 C ．12D ．9872- 4．已知函数()2sin f x x ω=在区间[,]34ππ-上的最小值为2-，则ω的取值范围是 A ．9(,][6,)2-∞-+∞ B ．93(,][,)22-∞-+∞C ．(,2][6,)-∞-+∞D ．3(,2][,)2-∞-+∞二、填空题：5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,3,(1,2)n n a a S n +=== ，则410log S =_____6．设()2x x e e f x -+=，()2x xe e g x --=，计算(1)(3)(1)(3)(4)fg g f g +-=________，(3)(2)(3)(2)(5)f g g f g +-=________，并由此概括出关于函数()f x 和()g x 的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是_______________三、解答题：本大题共6个小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

7．已知函数2()2sin ()21,4f x x x x R π=+--∈。

全国高二高中数学竞赛测试带答案解析

全国高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知函数则函数的反函数是A．y=B．y=C．y="2X+5"D．y=2X+22.设０，则a和b的大小关系是A．a B．C．a D．不确定的。

3.已知X y且bx. ,lnx成等比列，则xy的A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是4.如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。

可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方体容器容量的。

A．B．C．D．5.函数y=的最小值是A．B．C．D．6.Ahyperbola(双曲线)wjthvertices(顶点)（-2，5）and(-2,-3),has an asynptote(渐近线)thatpasses the point(2.5) Then an equarionk of the hyperbola isA．B．C．D．7.等差数列中有两项和，满足、，则该数列前mk项之和是A．B．C．D．8.当x.yi满足条件时，变量U=的取值范围是A．B．C．D．9.设为椭圆上一点，且,，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于A．B．C．D．10.Suppose the least distance fron poinrs of the xurve(曲线)to the y-axis is then the velue of a isA．B．C．or D．or11.已知函数则函数的反函数是A．y=B．y=C．y="2X+5"D．y=2X+212.设０，则a和b的大小关系是A．a B．C．a D．不确定的。

13.已知X y且bx. ,lnx成等比列，则xy的A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是14.如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。

高二数学竞赛试卷及参考答案

高二数学竞赛试卷考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分。

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．（1）12,F F 是椭圆22:184x y C +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为（） (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D) 4个（2）已知实数集合A 满足条件：若a A ∈，则11aA a+∈-，则集合A 中所有元素的乘积的值为（）(A ) 1 (B ) 1- (C ) 1± (D) 与a 的取值有关（3）若ABC ∆的三边长a 、b 、c 满足2220a a b c ---=且0322=+-+c b a ，则它的最大内角的度数是（）(A )150 (B )135 (C )120 (D)90（4）已知定点()7,8A 和抛物线24y x =，动点B 和P 分别在y 轴上和抛物线上，若0O B P B ⋅=（其中O 为坐标原点），则PB PA +的最小值为（）(A ) 9 (B ) 10 (C ) (D)、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．（5）高二数学竞赛获一等奖的人数在30到55人之间，颁奖典礼上给获一等奖的学生照相．按3列排，多出2人；按5列排，多出4人；按7列排，多出2人，则获一等奖的人数有人．（6）若函数()f x 的图像经过点()()1,1,1,0,2,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，试写出两个．．满足上述条件的函数的解析式、．（7）已知点()b a P ，在直线01443=--y x 上，则()()2211-+-b a 的最小值为．（8）正三棱锥ABC P -中，30=∠=∠=∠APC BPC APB ，2===CP BP AP ，过点A 作平面分别交PB 、PC 于E 、F ，则AEF ∆的周长的最小值为．（9）现代社会对破译密码的要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a 、b 、c 、…、z 的26个字母（不论大小写）依次对应1、2、3、…、给出如下一个变换公式：()()221126213 1262x x x x x x x x x +⎧∈≤≤⎪⎪'=⎨⎪+∈≤≤⎪⎩N N 不能被整除能被整除，　，，　，将明文转换成密文，如1613266＝＋→即f 变为p ；52199＝+→即i 变为e ．按上述规定，明文good 的密文是，密文gawqj 的明文是．（10）对一切实数x ，所有的二次函数()()b a c bx ax x f <++= 2的值均为非负实数，则cb a ab ++-的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．已知函数()a x x x x f ++=2cos cos sin 3（a 为常数）．（Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期，并指出其单调减区间；（Ⅱ）若函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，　上恰有两个x 的值满足()2=x f ，试求实数a 的取值范围．如图，点P 是矩形ABCD 所在平面外一点且⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面⊥PDC 平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点Q ，使得D 点到平面PAQ 的距离为1．若存在，求出BQ 的值；若不存在，请说明理由．如图，将一块直角三角形板ABO 放置于平面直角坐标系中，已知2==BO AB ，OB AB ⊥．点⎪⎭⎫ ⎝⎛211，　P 是三角板内一点，现因三角板中阴影部分（即△POB ）受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成AMN ∆，设直线MN 的斜率为k ．（Ⅰ）试用k 表示AMN ∆的面积S ，并指出k 的取值范围；（Ⅱ）试求S 的最大值．已知数列{}n a 的各项均为正数，且11=a ，当2≥n 时，都有121n n a a n -=+-，记1211n T a a =++ (1)na +．（Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：2<n T ；（Ⅲ）令111n n b a +=-，12n B b b =……n b ，试比较13n n -与n B 的大小．设定义在R 上的函数()e dx cx bx ax x f ++++=234，当1-=x 时，()x f 取得极大值32，并且函数()1-=x f y 的图象关于点()01，　对称．（Ⅰ）求()x f 的表达式；（Ⅱ）试在函数()x f 的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎡⎣上；（Ⅲ）若212t t x -=，)133t ty -= ()t +∈R ，求证：()()43f x f y -<．\参考答案及评分标准一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．（1）B （2）A （3）C （4）A 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．（5）44 （6）本小题答案不唯一，只要满足题设条件即为正确答案。

2024宜宾市高中数学联赛高二组(初赛)试题

2024宜宾市高中数学联赛（初赛）试题（高二组）（考试时间120分钟满分120分）一、填空题（本小题满分64分，每小题8分）1. 定义域是一个函数的三要素之一。

已知函数()x Jzzx 的定义域为[]211,985，则函数()()x Jzzx x Jzzx 20242018+的定义域为2. 在长方体1111D C B A ABCD -中，1,21===AD AB AA ，点G F 、分别是1CC AB ，的中点，则点1D 到直线GF 的距离为3. 点C B A ，，在圆O 上，若︒=∠=302ACB AB ，，则AB OC ⋅的最大值为4. 已知直线02=-+y ax 与圆0322:222=-+--+a ay x y x C 相交于B A ，两点，且ABC ∆为钝角三角形，则实数a 的取值范围为5. 已知21F F 、是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引21PF F ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最短距离为 6. 若D C B A 、、、四点均在同一球面上，BCD BAC ∆=∠，32π是边长为2的等边三角形，则ABC ∆的面积的最大值为7. 九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家用于数学研究的课堂和例子。

现假设有n 个圆环，用n a 表示某种规则n 下个圆环所需的最小移动次数.已知数列{}n a 满足下列条件：）（，，*--∈≥+===N n n a a a a n n n ,32211221，记{}n a 的前项n 和为n S ，则=9a ；=100S8. 已知函数()()()R x x x x f x∈++-++=，21221log 22，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃30πθ，，使关于θ的不等式()()2cos 2sin 24cos sin 2<---+m f f θθθθ成立，则实数m 的取值范围是二、（本大题满分16分）9. 已知抛物线()022>=p px y ，过抛物线的焦点且斜率为22的直线交抛物线于()()()212211,,,x x y x B y x A <、两点，且9=AB .（1）求该抛物线的方程（2）若O为坐标原点，C 为抛物线上一点，且OB OA OC λ+=，求λ的值.三、（本大题满分20分）10.交比是射影几何中最基本的不变量，在欧式几何中亦有应用。

高二数学竞赛试题及答案

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，下列说法正确的是（）A. 函数f(x)的最小值是-1B. 函数f(x)的图像与x轴有两个交点C. 函数f(x)的对称轴是x=2D. 函数f(x)在区间(-∞, 2)上单调递减答案：C2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1 = 1，a_2 = 4，下列说法正确的是（）A. 公差d = 3B. S_3 = 15C. 第三项a_3 = 7D. 所有项的和S_n = n^2答案：A3. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，点P(1, 2)到圆心的距离是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 已知函数g(x) = 2^x - 1，x ∈ [0, 1]，下列说法正确的是（）A. 函数g(x)在区间[0, 1]上单调递增B. 函数g(x)在区间[0, 1]上单调递减C. 函数g(x)在区间[0, 1]上先增后减D. 函数g(x)在区间[0, 1]上先减后增答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = _______。

答案：3x^2 - 6x2. 已知等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_1 = 2，公比q = 3，求T_3 = _______。

答案：343. 已知直线方程为y = 2x + 3，求与该直线垂直的直线方程为_______。

答案：y = -1/2x + b（其中b为任意常数）4. 已知复数z = 1 + i，求z^2 = _______。

答案：2i三、解答题（每题15分，共30分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的单调区间。

答案：函数f(x)的单调递增区间为(-∞, 1)和(3, +∞)，单调递减区间为(1, 3)。

2. 已知圆心在(0, 0)，半径为r的圆与直线y = x + 1相切，求圆的半径r。

台州高二数学竞赛试题及答案

台州高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 3x^2 - 4x + 5 \)，求\( f(2) \)的值。

A. 7B. 9C. 11D. 132. 根据题目给出的数列\( a_n = 2n - 1 \)，求第5项的值。

A. 3B. 5C. 7D. 93. 若\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。

A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{12}{13} \)C. \( \frac{16}{25} \)D. \( \frac{24}{25} \)4. 已知三角形ABC，\( AB = 5 \)，\( AC = 7 \)，\( BC = 8 \)，求\( \cos(\angle A) \)的值。

A. \( \frac{49}{85} \)B. \( \frac{56}{85} \)C. \( \frac{40}{63} \)D. 无法确定5. 已知圆的方程为\( x^2 + y^2 = 9 \)，求圆心到直线\( 2x - 3y+ 6 = 0 \)的距离。

A. 1B. 2C. 3D. 46. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

A. 29B. 32C. 35D. 38二、填空题（每题5分，共20分）7. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形ABC的三边，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则三角形ABC是_________。

8. 已知函数\( g(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2 \)，求\( g(-1) \)的值。

9. 若\( \tan(\beta) = -1 \)，求\( \sin(\beta) \)和\( \cos(\beta) \)的值。

10. 已知函数\( h(x) = \log_2(x) \)，求\( h(16) \)的值。