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高中数学高考总复习导数的概念及运算习题及详解

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高中数学导数知识点归纳总结及例题

高中数学导数知识点归纳总结及例题

高中数学导数知识点归纳总结及例题导数考试知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量y f(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)称为函数y f(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极限x xf(x0x)f(x0)y存在，则称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做lim x0x x0xlim记作f’(x0)或y’|x x0，即f’(x0)=limy f(x)在x0处的导数，f(x0x)f(x0)y. lim x0x x0x注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.②以知函数y f(x)定义域为A，y f’(x)的定义域为B，则A与B关系为A B.2. 函数y f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：⑴函数y f(x)在点x0处连续是y f(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果y f(x)在点x0处可导，那么y f(x)点x0处连续.事实上，令x x0x，则x x0相当于x0.1于是limf(x)limf(x0x)lim[f(x x0)f(x0)f(x0)] x x0x0x0 lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)x f(x0)]lim lim limf( x0)f’(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0x xy|x|，当x＞0时，x x⑵如果y f(x)点x0处连续，那么y f(x)在点x0处可导，是不成立的. 例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导，因为y y y不存在. 1；当x＜0时，1，故lim x0x x x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f’(x0)，切线方程为y y0f’(x)(x x0).4. 求导数的四则运算法则：(u v)’u’v’y f1(x)f2(x)...fn(x)y’f1’(x)f2’(x)...fn’(x) (uv)’vu’v’u(cv)’c’v cv’cv’（c为常数）vu’v’u u(v0) 2v v’注：①u,v必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设f(x)2sinx22，g(x)cosx，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们和xx f(x)g(x)sinx cosx在x0处均可导.5. 复合函数的求导法则：fx’((x))f’(u)’(x)或y’x y’u u’x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f’(x)＞0，则y f(x)为增函数；如果f’(x)＜0，则y f(x)为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数y f(x)在区间I内恒有f’(x)=0，则y f(x)为常数.注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x）= 0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必2要条件.②一般地，如果f（x）在某区间(sinx)cosx (arcsinx)’1 x2(xn)’nxn1（n R）(cosx)’sinx (arccosx)’ 1x2 1’11’(arctanx)II. (lnx)(logax)logae xxx21’(ex)’ex (ax)’axlna (arccotx)’III. 求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)’1x2 1 (x a1)(x a2)...(x an)1.②形如y(x a1)(x a2)...(x an)或y两(x b1)(x b2)...(x bn)x边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如y xx这类函数，如y xx取自然对数之后可变形为lny xlnx，对两边y’1lnx x y’ylnx y y’xxlnx xx. 求导可得yx 3导数中的切线问题例题1：已知切点，求曲线的切线方程曲线y x33x21在点(1，1)处的切线方程为（）例题2：已知斜率，求曲线的切线方程与直线2x y40的平行的抛物线y x2的切线方程是（）注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y2x b，代入y x2，得x22x b0，又因为0，得b1，故选Ｄ．例题3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．求过曲线y x32x上的点(1，1)的切线方程．例题4：已知过曲线外一点，求切线方程1求过点(2，0)且与曲线y相切的直线方程．x4练习题：已知函数y x33x，过点A(016) ，作曲线y f(x)的切线，求此切线方程．看看几个高考题1.（2009全国卷Ⅱ）曲线y x在点1,1处的切线方程为2x 122.（2010江西卷）设函数f(x)g(x)x，曲线y g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y2x1，则曲线y f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为3.（2009宁夏海南卷）曲线y xe2x1在点（0,1）处的切线方程为。

高中数学一轮复习重难点 导数的概念和运算(十年高考)

高中数学一轮复习重难点 导数的概念和运算(十年高考)

第四章一元函数的导数及其应用4.1导数的概念及运算考点导数的概念和运算1.(2023全国甲文，8）曲线e 1=+xy x 在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A.e4y x =B.e 2y x =C.e e 44y x =+ D.e 3e24y x =+【答案】C【解析】设曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为()e 12y k x -=-，因为e 1xy x =+，所以()()()22e 1e e 11x x xx x y x x +-'==++，所以1e|4x ky ='==，所以()e e 124y x -=-，所以曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为e e 44y x =+，故选：C2.(2016四川理,9,5分)设直线l 1,l 2分别是函数f(x)=−lns 0<<1,lns >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A,B,则△PAB 的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案A 设l 1是y=-ln x(0<x<1)的切线,切点P 1(x 1,y 1),l 2是y=ln x(x>1)的切线,切点P 2(x 2,y 2),l 1:y-y 1=-11(x-x 1),①l 2:y-y 2=12(x-x 2),②①-②得x P =1−2+211+12,易知A(0,y 1+1),B(0,y 2-1),∵l 1⊥l 2,∴-11·12=-1,∴x 1x 2=1,∴S △PAB =12|AB|·|x P |=12|y 1-y 2=12·(1−2+2)21+212=12·(−ln 1−ln 2+2)21+2=12·[−ln(12)+2]21+2=12·41+2=21+2,又∵0<x 1<1,x 2>1,x 1x 2=1,∴x 1+x 2>212=2,∴0<S △PAB <1.故选A.思路分析设出点P 1,P 2的坐标,进而根据已知表示出l 1,l 2,然后求出点A 、B 的坐标及x P ,最后利用点在曲线上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.评析本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.3.(2014课标Ⅱ理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3答案D y'=a-1r1,当x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.4.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a ,b )可以作曲线y =e x 的两条切线,则()A.e b <aB.e a <bC.0<a <e bD.0<b <e a答案D 解法一:当x →-∞时,曲线y =e x 的切线的斜率k >0且k 趋向于0,当x →+∞时,曲线y =e x 的切线的斜率k >0且k 趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x 轴上方,且在曲线y =e x 的下方,∴0<b <e a ,故选D .解法二:易知曲线y =e x 在点P (t ,e t )处的切线方程为y -e t =e t (x -t ),∵切线过点(a ,b ),∴b -e t =e t (a -t ),整理得e t (t -a -1)+b =0.令f (t )=e t (t -a -1)+b ,则f '(t )=e t (t -a ),当t <a 时,f '(t )<0,当t >a 时,f '(t )>0,∴f (t )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增,∴当t =a 时,f (t )取得最小值f (a )=-e a +b.由已知得,f (t )的零点的个数即为过点(a ,b )的切线条数,∴f(t)有且仅有2个零点.∴f(a)=-e a+b<0,即b<e a.①若b≤0,则当t<a时,t-a-1<0,e t(t-a-1)<0,则f(t)<0,∴f(t)在(-∞,a)上无零点,而f(t)在[a,+∞)上至多有一个零点,不合题意.②若0<b<e a,由以上讨论可知,f(t)在(-∞,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数,∴f(t)min=f(a)=-e a+b<0,且limm−∞f(t)=b>0,f(a+1)=b>0,由零点存在性定理可知f(t)在(-∞,a)和[a,+∞)上各有一个零点,结合f(t)的单调性知f(t)有且只有两个零点.综上,0<b<e a.故选D.5.(2021全国甲理,13,5分)曲线y=2K1r2在点(-1,-3)处的切线方程为.答案y=5x+2解题指导:利用导数的几何意义求切线的斜率,利用点斜式得切线方程.解析y=2(r2)−5r2=2−5r2,所以y'=5(r2)2,所以k=y'|x=-1=5,从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.易错警示:①对分式型函数求导要注意公式的使用,先对分式进行化简可降低出错率.②要注意“在点处”和“过某点”的区别.6.(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.答案y=1e x;y=-1e x(不分先后)解析由题意可知,函数的定义域为{x|x≠0}.易证函数y=ln|x|为偶函数,当x>0时,y=ln x,设切点坐标为(x0, ln x0),∵y'=1,∴切线斜率k=y'|J0=10,故切线方程为y-ln x0=10(x-x0),又知切线过原点(0,0),∴-ln x0=-1,∴x0=e,故切线方程为y-1=1e(x-e),即y=1e x.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=-1e x,故过坐标原点的两条切线方程为y=1e x和y=-1e x.7.(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.答案(-∞,-4)∪(0,+∞)解析设f(x)=(x+a)e x,则f'(x)=(x+a+1)e x,设切点为(x0,(x0+a)e0),因此切线方程为y-(x0+a)e0=(x0+a+1)e0(x-x0),又∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)e0=(x0+a+1)·e0(-x0),整理得02+ax0-a=0,又切线有两条,∴关于x0的方程02+ax0-a=0有两不等实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.8.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x-2在点(0,1)处的切线方程为.答案x+2y-2=0解析本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的几何意义的理解和掌握程度.∵y=cos x-2,∴y'=-sin x-12,∴y'|x=0=-12,即曲线在(0,1)处的切线斜率为-12,∴切线方程为y-1=-12(x-0),即x+2y-2=0.方法总结求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:①求导函数;②把该点横坐标代入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;③用点斜式写出切线方程.9.(2018课标Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=2x解析本题主要考查导数的几何意义.因为y'=2r1,所以y'|x=0=2,又(0,0)为切点,所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.10.(2018课标Ⅱ文,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.答案2x-y-2=0解析本题主要考查导数的几何性质.由y=2ln x得y'=2.因为k=y'|x=1=2,点(1,0)为切点,所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.11.(2018课标Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案-3解析本题考查导数的综合应用.设f(x)=(ax+1)e x,则f'(x)=(ax+a+1)e x,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=a+1=-2,解得a=-3.12.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+1在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=0解析本题考查导数的几何意义.∵y=x2+1,∴y'=2x-12,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.13.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案1解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.由题意可知f'(x)=a-1,所以f'(1)=a-1,因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.易错警示不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.14.(2016课标Ⅱ理,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案1-ln2解析直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得y'=1,由y=ln(x+1)得y'=1r1,∴k=11=12+1,∴x1=1,x2=1-1,∴y1=-ln k+2,y2=-ln k.即−ln+2−1,−ln,∵A、B在直线y=kx+b上,∴2−ln=1+b,−ln=b1+b⇒=1−ln2, =2.评析解决本题的关键是知道切点既在曲线上,又在切线上.15.(2015课标Ⅰ文,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.答案1解析由题意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.16.(2015课标Ⅱ文,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案8解析令f(x)=x+ln x,求导得f'(x)=1+1,f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y'|J0=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-12,又a02+(a+2)x0+1=2x0-1,即a02+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x0=-12,此时a=8.评析本题主要考查导数的几何意义,能够利用点斜式求出切线方程是解题关键.17.(2015陕西理,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析∵函数y=e x的导函数为y'=e x,∴曲线y=e x在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y=1的导函数为y'=-12,∴曲线y=1(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-102,则有k1k2=-1,即1·−解得02=1,又x0>0,∴x0=1.又∵点P在曲线y=1(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).18.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.答案y=4x-3解析y'=3ln x+1+x·3=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.19.(2020新高考Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=a e x-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.解析f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x-1-1.(1)当a=e时,f(x)=e x-ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为−2e−1,2.因此所求三角形的面积为2e−1.(2)当0<a<1时,f(1)=a+ln a<1.当a=1时,f(x)=e x-1-ln x,f'(x)=e x-1-1.当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.当a>1时,f(x)=a e x-1-ln x+ln a≥e x-1-ln x≥1.综上,a的取值范围是[1,+∞).名师点评:本题第(2)问中,由不等式成立求参数的取值范围,常规解法是分离参数转化为求函数的最值问题,而本题中参数分布范围较广,无法分离,所以要对参数进行分类讨论,怎样分类是本题的一个难点,特别是当a>1时,证明f(x)≥1需要用到a=1时的结论,思路很窄,技巧性较强.20.(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.解析解法一:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)=13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(13-x1)=(312-1)(x-x1),即y=(312-1)x-213①.因为曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以=(312−1)−213,=2+有且仅有一组解,即方程x2-(312-1)x+213+a=0有两个相等的实数根,从而Δ=(312-1)2-4(213+a)=0⇔4a=914−813−612+1.(1)若x1=-1,则4a=12⇔a=3.(2)4a=914−813−612+1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h'(x)>0,得-13<x<0或x>1,令h'(x)<0,得x<-13或0<x<1,所以h(x)在−130和(1,+∞)上单调递增,在−∞,0,1)上单调递减,又h(1)=-4,h−=2027,所以h(x)≥-4,所以a≥-1.解法二:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)=13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(13-x1)=(312-1)(x-x1),即y=(312-1)x-213①,设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2,22+a),又g'(x2)=2x2,则切线可表示为y-(22+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x-22+a②,因为①②表示同一直线方程,所以312−1=22,−213=−22+s则(312-1)2-813=4⇔4=914−813−612+1.下面同解法一.易错警示:不能认为两曲线的公切线切点相同.21.(2022全国乙理,21,12分)已知函数f(x)=ln(1+x)+ax e-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=ln(1+x)+x e-x,其定义域为(-1,+∞),f'(x)=1r1+(1-x)e-x,又f(0)=0,f'(0)=2,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)f(x)=ln(1+x)+ax e-x有零点,即方程ln(x+1)=-ax e-x有根,设g(x)=ln(x+1),h(x)=-ax e-x,因为f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,所以g(x)和h(x)的图象在(-1,0),(0,+∞)上各恰有一个交点.易知g'(x)=1r1,h'(x)=-a(1-x)e-x,g(0)=h(0)=0.当x∈(-1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.①若a=0,显然不满足.②若a>0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,此时g(x)和h(x)在(-1,0)上无交点.③若a<0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)>0,h(x)在(-1,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减.(i)当x→+∞时,h(x)→0,g(x)→+∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(0,+∞)上有一个交点,需g'(0)<h'(0),解得a<-1;(ii)当x=-1时,h(-1)=a e,当x→-1时,g(x)→-∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(-1,0)上有一个交点,也需要g'(0)<h'(0),解得a<-1.综上所述,a的取值范围为(-∞,-1).。

(完整版)高三复习导数专题

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导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 2、导数的公式： 0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nxx （R n ∈） xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+ （ 0a > ，0b >） 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：()k f x'=（2）导数的物理意义：()v s t'=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；()0()b]f x f x'≥⇔在[a,上递增()0()b]f x f x'≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性；()f x c≠（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。

2023届全国高考数学复习：专题(导数的运算)重点讲解与练习(附答案)

2023届全国高考数学复习：专题(导数的运算)重点讲解与练习(附答案)

2023届全国高考数学复习：专题（导数的运算）重点讲解与练习1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[cf (x )]′＝cf ′(x )；[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； 3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ꞏu ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导； 具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导． 【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．[例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a ．若f ′(1)＝e4，则a ＝________．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x (4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x(5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x 6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ． 12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－213．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2．参考答案【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．解析 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x ．(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x ． (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12sin4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ꞏ4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x ． (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ．则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5ꞏ2＝22x －5，即y ′＝22x －5． [例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e xx ＋a．若f ′(1)＝e 4，则a ＝________． 答案 1 解析 f ′(x )＝e x (x ＋a )－e x (x ＋a )2＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2，则f ′(1)＝a e (a ＋1)2＝e 4，整理可得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．答案 －74 解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54．∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ．故选C ．(4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x答案 AB 解析 对于A ：f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴f ″(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故A 正确．对于B ：f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故B 正确；对于C ：f ′(x )＝3x 2＋2，f ″(x )＝6x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故C 错误；对于D ：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故D 错误．故选AB ． (5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 答案 C 解析 由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′(x )－f (x )x 2＝1＋1x ，即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝1＋1x ，故f (x )x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x ．又f (1)≥1，则c ≥0，故选C ．【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 1．答案 B 解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确． 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 2．答案 B 解析 y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ． 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则知B ，C ，D 正确，故选BCD ．4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．4．答案 1cos 2x －2x 3 解析 f ′(x )＝(sin x )′ꞏcos x －sin x ꞏ(cos x )′cos 2x＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x 3． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x5．答案 D 解析 由题意，f (x )＝x sin x ，f 1(x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x ＋cos x －x sin x ＝2cos x －x sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－3sin x －x cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－4cos x ＋x sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝5sin x ＋x cos x ，…，据此可知f 2 019(x )＝－2 019sin x －x cos x ，f 2 021(x )＝2 021sin x ＋x cos x ，所以f 2019(x )＋f 2 021(x )＝2sin x ，故选D ．6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e6．答案 B 解析 f ′(x )＝2 021＋ln x ＋x ×1x ＝2 022＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 022，得2 022＋ln x 0＝2 022，则ln x 0 ＝0，解得x 0＝1．7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．7．答案 2 解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1， 则a ＝2．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．8．答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3ꞏ(2x －3)′＋a e －x ＋ax ꞏ(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．949．答案 C 解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x 所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94．10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．10．答案 －4 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4． 11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．11．答案 1＋e 解析 因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e ．12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－212．答案 C 解析 因为f ′(x )＝f ′(1)ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)ꞏ2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2． 13．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x13．答案 BC 解析 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意． 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．414．答案 C 解析 f ′(x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，f ′(－x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，所以f ′(x )为偶函数，f ′(2019)－f ′(－2019) ＝0，因为f (x )＋f (－x )＝31＋e x＋x 3＋31＋e －x －x 3＝31＋e x ＋3e x 1＋e x ＝3，所以f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)＝3．故选C ．15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______．15．答案 8 解析 因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7．所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14．又f ′(2 020)＝6，所以f ′(－2 020)＝14－6＝8． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2． 16．解析 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ꞏ1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x ． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3． (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12ꞏ11＋2x ꞏ(1＋2x )′＝11＋2x．(5)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2．所以f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3．。

高考数学专题《导数的概念、运算及导数的几何意义》习题含答案解析

高考数学专题《导数的概念、运算及导数的几何意义》习题含答案解析

专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义1.（2021·浙江高三其他模拟）函数312x y +=在0x =处的导数是（ ）A ．6ln 2B ．2ln 2C ．6D ．2【答案】A 【解析】利用符合函数的求导法则()()()()()()f g x '''f g x g x =⋅，求出312x y +=的导函数为3131'223322x x y ln ln ++=⋅⋅=⋅，代入x =0，即可求出函数在x =0处的导数.【详解】312x y +=的导函数为3131'223322x x y ln ln ++=⋅⋅=⋅,故当x =0时，'62y ln =.故选：A2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））曲线2cos sin y x x =+在(,2)π-处的切线方程为（）A ．20x y π-+-=B ．20x y π--+=C ．20x y π++-=D ．20x y π+-+=【答案】D 【解析】先求得导函数,根据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程.【详解】'2sin cos y x x=-+当x π=时,2sin cos 1k ππ=-+=-所以在点(),2π-处的切线方程,由点斜式可得()21y x π+=-⨯- 化简可得20x y π+-+=故选:D练基础3．（2021·全国高三其他模拟（理））曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线方程为（ ）A ．0x y -=B ．10ex y e --+=C ．10ex y e ---=D ．20x y --=【答案】D 【解析】根据切点和斜率求得切线方程.【详解】因为12sin()2x y ex π-=-，所以1cos()2x y e x ππ-'=-，当1x =时，1y '=，所以曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线的斜率1k =，所以所求切线方程为11y x +=-，即20x y --=.故选：D4．（2021·山西高三三模（理））已知a R ∈，设函数()ln 1f x ax x =-+的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 过定点（ ）A ．(0,2)B ．(1,0)C ．(1,1)a +D ．(,1)e 【答案】A 【解析】根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解【详解】由()1()ln 1'f x ax x f x a x=-+⇒=-，()'11f a =-，()11f a =+，故过(1,(1))f 处的切线方程为：()()()11+112y a x a a x =--+=-+，故l 过定点(0,2)故选：A5．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））设曲线()xf x ae b =+和曲线()cos2xg x c π=+在它们的公共点()0,2M 处有相同的切线，则b c a +-的值为（ ）A ．0B ．πC ．2-D ．3【答案】D 【解析】利用导数的几何意义可知()()00f g '='，可求得a ；根据()0,2M 为两曲线公共点可构造方程求得,b c ，代入可得结果.【详解】()x f x ae '= ，()sin22xg x ππ'=-，()0f a '∴=，()00g '=，0a ∴=，又()0,2M 为()f x 与()g x 公共点，()02f b ∴==，()012g c =+=，解得：1c =，2103b c a ∴+-=+-=.故选：D.6.（2021·重庆高三其他模拟）曲线()ln f x ax x x =-在点()()1,1f 处的切线与直线0x y +=垂直，则a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a 的方程，解方程可得所求值．【详解】解：()f x ax xlnx =-的导数为()1f x a lnx '=--，可得在点()()1,1f 处的切线的斜率为()11k f a '==-，由切线与直线0x y +=垂直，可得11a -=，解得2a =，故选：D ．7．（2021·重庆八中高三其他模拟）已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足ln a fx x =-，若曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线斜率为2，则()1f =（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．2【答案】C 【解析】先由换元法求出()f x 的解析式，然后求导，利用导数的几何意义先求出a 的值，然后可得出()1f 的值.【详解】设t =，则()22ln t f t t a =-，()22at tf t '=-．由()2212a f =-='，解得0a =，从而()10f a =-=，故选: C ．8．（2018·全国高考真题（理））设函数f (x )=x 3+(a ―1)x 2+ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y =f (x )在点(0 ， 0)处的切线方程为( )A ．y =―2xB ．y =―xC ．y =2xD ．y =x 【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得a =1，进而得到f (x )的解析式，再对f (x )求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数f (x )是奇函数，所以a ―1=0，解得a =1，所以f (x )=x 3+x ，f′(x )=3x 2+1，所以f′(0)=1,f (0)=0，所以曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ―f (0)=f′(0)x ，化简可得y =x ，故选D.9.（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（理））设曲线2xy x =-在点()3,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a 等于（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-【答案】B 【解析】利用导数求出曲线 2xy x =-在点()3,3处的切线的斜率，利用两直线平行可得出实数a 的值.【详解】对函数2x y x =-求导得()()222222x x y x x --'==---，由已知条件可得32x a y ='-==-，所以，2a =.故选：B.10．（2020·河北高三其他模拟（文））已知曲线()xax e f x x =+在点()()0,0f 处的切线斜率为2，则a =___________.【答案】1【解析】求导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，解方程即可求解.【详解】解：()xax e f x x =+的导数为()()1xf x a x e =++'，可得曲线()xax e f x x =+在点()()0,0f 处的切线斜率为12a +=，解得1a =.故答案为：1.1．（2021·浙江金华市·高三三模）已知点P在曲线y =θ为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则θ的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】首先根据导数的几何意义求得切线斜率的取值范围，再根据倾斜角与斜率之间的关系求得倾斜角的取值范围.【详解】因为y =='，由于124xxe e ++≥，所以[y ∈'，根据导数的几何意义可知：tan [θ∈,所以2[,)3πθπ∈，故选：D.练提升2．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数()2xf x ae x =+的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是()22y e x b =++，那么ab =（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D 【解析】根据导数的几何意义确定斜率与切点即可求解答案.【详解】因为()2xf x ae x =+，所以()2x f x ae x '=+，因此切线方程的斜率(1)2k f ae '==+，所以有222ae e +=+，得2a =，又切点在切线上，可得切点坐标为(1,22)e b ++，将切点代入()f x 中，有(1)2122f e e b =+=++，得1b =-，所以2ab =-.故选：D.3．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知直线l 为曲线sin cos y x x x =+在2x π=处的切线，则在直线l 上方的点是（ ）A ．,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．()2,0C ．(),1π-D ．()1,π-【答案】C 【解析】利用导数的几何意义求得切线的方程，进而判定点与切线的位置关系即可.【详解】'cos cos sin 2cos sin y x x x x x x x =+-=-,22x y ππ==-',又 当2x π=时，1y =，所以切线的方程为122y x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,对于A,当2x π=时，1y =，故点,12π⎛⎫⎪⎝⎭在切线上；对于B,当2x =时，2921π11 3.2502244y πππππ⎛⎫=--+=-++>-++=-> ⎪⎝⎭，故点()2,0在切线下方；对于C,当x π=时，2π91111,2512244y πππ⎛⎫=--+=-+<-+=-<- ⎪⎝⎭，故点(),1π-在切线上方；对于D,当x =1时，211122242y ππππππ⎛⎫=--+=-++>->- ⎪⎝⎭,故点()1,π-在切线下方.故选：C.4．（2021·甘肃高三二模（理））已知函数()ln f x x x =，()2g x x ax =+()a ∈R ，若经过点()0,1A -存在一条直线l 与()f x 图象和()g x 图象都相切，则a =（ ）A ．0B ．-1C ．3D ．-1或3【答案】D 【解析】先求得过()0,1A -且于()f x 相切的切线方程，然后与()()2g x x ax a =+∈R 联立，由0∆=求解.【详解】设直线l 与()ln f x x x =相切的切点为(),ln m m m ，由()ln f x x x =的导数为()1ln f x x '=+，可得切线的斜率为1ln m +，则切线的方程为()()ln 1ln y m m m x m -=+-，将()0,1A -代入切线的方程可得()()1ln 1ln 0m m m m --=+-，解得1m =，则切线l 的方程为1y x =-，联立21y x y x ax=-⎧⎨=+⎩，可得()2110x a x +-+=，由()2140a ∆=--=，解得1a =-或3，故选：D .5．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））若点P 是曲线2ln 1y x x =--上任意一点，则点P 到直线3y x =-的最小距离为（ ）A ．1BCD ．2【答案】C 【解析】由已知可知曲线2ln 1y x x =--在点P 处的切线与直线3y x =-平行，利用导数求出点P 的坐标，利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】因为点P 是曲线2ln 1y x x =--任意一点，所以当点P 处的切线和直线3y x =-平行时，点P 到直线的3y x =-的距离最小，因为直线3y x =-的斜率等于1，曲线2ln 1y x x =--的导数12y x x'=-，令1y '=，可得1x =或12x =-（舍去），所以在曲线2ln 1y x x =--与直线3y x =-平行的切线经过的切点坐标为()1,0，所以点P 到直线3y x =-的最小距离为d .故选：C.6．（2021·安徽省舒城中学高三三模（理））若函数()ln f x x x =+与2()1x mg x x -=-的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线21y x =+平行，则实数m =（ ）A ．178B ．176C ．174D ．172【答案】A 【解析】设函数()ln f x x x =+图象上切点为00(,)x y ，求出函数的导函数，根据0()2f x '=求出切点坐标与切线方程，设函数()21x m g x x -=-的图象上的切点为11(,)x y 1(1)x ≠，根据1()2g x '=，得到211244m x x =-+，再由1112211x mx x --=-，即可求出1x ，从而得解；【详解】解：设函数()ln f x x x =+图象上切点为00(,)x y ，因为1()1f x x'=+，所以001()12f x x '=+=，得01x =， 所以00()(1)1y f x f ===，所以切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，设函数()21x mg x x -=-的图象上的切点为11(,)x y 1(1)x ≠，因为222(1)(2)2()(1)(1)x x m m g x x x ----'==--，所以1212()2(1)m g x x -'==-，即211244m x x =-+，又11111221()1x m y x g x x -=-==-，即211251m x x =-+-，所以221111244251x x x x -+=-+-，即2114950x x -+=，解得154x =或11x =（舍），所以25517244448m ⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭．故选：A7．（2021·全国高三其他模拟）已知直线y ＝2x 与函数f （x ）＝﹣2lnx +xe x +m 的图象相切，则m ＝_________.【答案】2ln 4-+【解析】设出切点()00000,2ln ,0xx x x e m x -++>，根据切线方程的几何意义，得到()00000002ln 2212x x x x e m x x e x ⎧-++=⎪-⎨++=⎪⎩，解方程组即可.【详解】因为()2ln xf x x xe m =-++，所以()()21x f x x e x-'=++设切点为()00000,2ln ,0xx x x e m x -++>，所以切线的斜率为()()000021x k f x x e x -'==++又因为切线方程为y ＝2x ，因此()00000002ln 2212x x x x e m x x e x ⎧-++=⎪-⎨++=⎪⎩，由()000212x x e x -++=，得()000210x x e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为010x +≠，所以02x ex =，又00ln 2ln x x =-，所以()000022ln 2ln 2ln x x m x x -+⋅+=-，得2ln 4m =-+.故答案为：2ln 4-+.8．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））若两曲线y ＝x 2+1与y ＝a ln x +1存在公切线，则正实数a 的取值范围是_________．【答案】（0，2e ]【解析】设公切线与曲线y ＝x 2+1和y ＝a ln x +1的交点分别为（x 1，x 12+1），（x 2，a ln x 2+1），其中x 2＞0，然后分别求出切线方程，对应系数相等，可以得到122122111a x x x a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，然后转化为﹣2224a x ＝a ln x 2﹣a ，，然后参变分离得到a ＝4x 2﹣4x 2ln x ，进而构造函数求值域即可.【详解】解：设公切线与曲线y ＝x 2+1和y ＝a ln x +1的交点分别为（x 1，x 12+1），（x 2，a ln x 2+1），其中x 2＞0，对于y ＝x 2+1，y ′＝2x ，所以与曲线y ＝x 2+1相切的切线方程为：y ﹣（x 12+1）＝2x 1（x ﹣x 1），即y ＝2x 1x ﹣x 12+1，对于y ＝a ln x +1，y ′＝ax，所以与曲线y ＝a ln x +1相切的切线方程为y ﹣（a ln x 2+1）＝2a x （x ﹣x 2），即y ＝2ax x ﹣a +1+a ln x 2，所以122122111a x x x a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，即有﹣2224a x ＝a ln x 2﹣a ，由a ＞0，可得a ＝4x 2﹣4x 2ln x ，记f (x )＝4x 2﹣4x 2ln x （x ＞0），f ′(x )＝8x ﹣4x ﹣8x ln x ＝4x （1﹣2ln x ），当x时，f ′(x )＞0，即f (x )在（0x时，f ′(x )＜0，即f (x )，+∞）上单调递减，所以f (x )max ＝f）＝2e ，又x →0时，f (x )→0，x →+∞时，f (x )→﹣∞，所以0＜a ≤2e ．故答案为：（0，2e ]．9．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知函数()2ln f x x x =+，点P 为函数()f x 图象上一动点，则P 到直线34y x =-距离的最小值为___________.(注ln 20.69≈)【解析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线与已知直线平行时切点坐标，然后转化为求点到直线的距离即可求解．【详解】解：()12f x x x'=+，()0x >，与直线34y x =-平行的切线斜率132k x x ==+，解得1x =或12x =，当1x =时，()11f =，即切点为()1,1，此时点P 到直线34y x =-的距离为d 当12x =时，11ln 224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即切点为11,ln 224⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点P 到直线34y x =-的距离为d =>10．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）已知1P ，2P 是曲线:2|ln |C y x =上的两点，分别以1P ，2P 为切点作曲线C 的切线1l ，2l ，且12l l ⊥，切线1l 交y 轴于A 点，切线2l 交y 轴于B 点，则线段AB 的长度为___________.【答案】44ln 2-【解析】由两切线垂直可知，1P ，2P 两点必分别位于该函数的两段上，故可设出切点坐标111222(,),(,)P x y P x y ，表示出两条切线方程，根据两切线垂直，可得124x x =，又两切线分别与y 轴交于1(0,22ln )A x -，2(0,22ln )B x -+，则可求出44ln 2AB =-.【详解】曲线2ln ,01:2ln ,1x x C y x x -<<⎧=⎨≥⎩ ，则2,012,1x x y x x⎧-<<⎪⎪=⎨'⎪≥⎪⎩，设111222(,),(,)P x y P x y ，两切线斜率分别为1k ，2k ，由12l l ⊥得121k k =-，则不妨设1201,1x x <<³，111(,2ln )P x x \-，112k x =-，11112:2ln ()l y x x x x +=--，令0x =，得1(0,22ln )A x -222(,2ln )P x x ，222k x =，22222:2ln ()l y x x x x -=-，令0x =，得2(0,22ln )B x -+由121k k =-，即12221x x -×=-，得124x x =，则1242ln()44ln 2AB x x =-=-.故答案为：44ln 2-.1.（2021·全国高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a<B ．e a b <C ．0e ba <<D ．0e ab <<【答案】D【解析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；练真题解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线x y e =上任取一点(),t P t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()tt y e e x t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()t f t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.2.（2020·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.3．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D【解析】43()2f x x x =-(1(1))f ，21y x =--21y x =-+23y x =-21y x =+()432f x x x =- ()3246f x x x '∴=-()11f ∴=-()12f '=-()121y x +=--21y x =-+设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =的导数为y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D.4.（2020·全国高考真题（文））设函数．若，则a =_________．【答案】1【解析】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.5．（2019·全国高考真题（文））曲线在点处的切线方程为___________．【答案】.【解析】所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．6．（2020·全国高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.e ()xf x x a =+(1)4e f '=()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++()241ae e a =+2210a a -+=1a =123()e x y x x =+(0,0)30x y -=/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++/0|3x k y ===23()e x y x x =+(0,0)3y x =30x y -=【答案】2y x=【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x =++'=+，00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =.故答案为：2y x =.。

导数高中试题及解析答案

导数高中试题及解析答案

导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。

解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。

根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。

2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。

解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。

因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。

3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。

解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。

首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。

对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。

2023年高考数学一轮总复习第14讲：导数的概念与运算

2023年高考数学一轮总复习第14讲：导数的概念与运算

2023年高考数学一轮总复习第14讲：导数的概念与运算【教材回扣】1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx→0ΔyΔx ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作________，即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数，记作f ′(x )或y ′.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝________．3．基本初等函数的导数运算基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝________f (x )＝x α(α∈Q *)f ′(x )＝________f (x )＝sin x f ′(x )＝________f (x )＝cos x f ′(x )＝________f (x )＝e x f ′(x )＝________f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝________f (x )＝ln x f ′(x )＝________f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝□10________4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝□11________________；(2)[f (x )g (x )]′＝□12________________；(3)f (x )g (x )′＝□13________________(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝□14________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()2．导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同．()3．曲线f (x )＝x 3在原点(0,0)处的切线方程为y ＝0.()4．函数f (x )＝ln(1－x )的导数是f ′(x )＝11－x.()题组二教材改编1．(多选题)下列导数运算正确的是()A ．(x n e x )′＝nx n －1e x ＋x n e x′＝2x ＋1－x22x ＋12x ＋1＝3x ＋22(2x ＋1)2x ＋1′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x ＋sin x )(sin x ＋cos x )2＝cos x －sin x sin x ＋cos xD ．[(3x ＋1)2ln(3x )]′＝[(3x ＋1)2]′ln(3x )＋(3x ＋1)2·(ln 3x )′＝6(3x ＋1)ln(3x )＋(3x ＋1)2x2．曲线y ＝x 2＋3x在点(1,4)处的切线方程为________．3．已知函数f (x )满足f (x )＝f x －cos x ，则f ________.题组三易错自纠1．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是()2．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于()A.193 B.163C.133 D.1033．(一题两空)已知函数f (x )＝(bx －1)e x ＋a (a ，b ∈R )．若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ，则a ，b 的值分别为a ＝________，b ＝________.题型一导数的运算[例1](1)函数f (x )＝2x ＋1的导函数f ′(x )＝()A ．22x ＋1 B.22x ＋1C.122x ＋1D.12x ＋1(2)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)等于()A.92B.94C.174D.178(3)[2021·山东师大附中模拟]设f (x )＝a e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e，则a ＋b ＝________.[听课记录]类题通法(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的求导，这样可以减少运算，提高运算速度减少差错．(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.巩固训练1：(1)已知f (x )＝－2cos f ′(x )＝________.(2)设f ′(x )是函数f (x )＝cos xex ＋x 的导函数，则f ′(0)的值为________．(3)若函数f (x )＝e ax＋ln(x ＋1)，f ′(0)＝4，则a ＝________.题型二导数的几何意义高频考点角度|求切线方程[例2][2021·山东新高考质量测评联考]设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －1)x ，(x ∈R )为奇函数，则曲线y ＝f (x )x2在点(1,0)处的切线方程为()A ．y ＝－2x ＋2B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝2x －2D ．y ＝x －1[听课记录]类题通法求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.巩固训练2：[2020·全国卷Ⅰ]函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为()A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1角度|求切点坐标[例3]设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为()A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)[听课记录]类题通法求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式，求出切点的纵坐标.巩固训练3：设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋aex 的导数是f ′(x )，且f ′(x )是偶函数．若曲线y＝f (x )的一条切线的斜率是52，则切点的横坐标为________．角度|求参数的值(或范围)[例4]函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)[听课记录]类题通法利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒](1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)切点既在切线上，又在曲线上.巩固训练4：直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于()A ．2B ．－1C ．1D ．－2角度|两曲线的公切线问题[例5]若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.[听课记录]类题通法解决公切线问题的思路分别设出两切线的切点坐标，然后求导得到切线的斜率，则求得两条切线方程，接着让两切线方程的斜率和截距分别相等，得到两个关于切点的方程组，解方程组即可.巩固训练5：已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为________．[预测1]核心素养——逻辑推理若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是()－12，＋∞ B.－12，＋∞C ，＋∞D ．[0，＋∞)[预测2]新题型——一题两空已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x 3－3x 2＋a ，则f (－2)＝________；曲线y ＝f (x )在点(－2，f (－2))处的切线方程为________________．状元笔记明晰求切线方程中“在”与“过”的不同求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，应先设切点，求切点坐标．[典例]若存在过点O(0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值为________．【解析】易知点O(0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上．(1)当O(0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x.＝2x ＝x 2＋a得x 2－2x ＋a ＝0.依题意，Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x.＝－14x ，＝x 2＋a得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.【答案】1或1642023年高考数学一轮总复习第14讲：导数的概念与运算答案[教材回扣]□1f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0□2f ′(x 0)□30□4αx α－1□5cos x □6－sin x □7e x □8a x ln a □91x□101x ln a□11f ′(x )±g ′(x )□12f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )□13f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2□14y ′u ·u ′x [题组练透]题组一1．× 2.× 3.√ 4.×题组二1．答案：AD2．解析：∵y ′＝2x －3x 2，∴y ′|x ＝1＝2－3＝－1.∴所求切线方程为：y －4＝－(x －1)，即x ＋y －5＝0.答案：x ＋y －5＝03．解析：∵f (x )＝fsin x －cos x ，∴f ′(x )＝fcos x ＋sin x ，∴f＝fcos π4＋sinπ4，即f＝22，∴f＝221－22＝2＋1.答案：2＋1题组三1．解析：由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C ；又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B ，故选D.答案：D2．解析：f ′(x )＝3ax 2＋6x ，又f ′(－1)＝4，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.故选D.答案：D3．解析：∵f (x )＝(bx －1)e x ＋a ∴f ′(x )＝e x (bx ＋b －1)又f ′(0)＝1，f (0)＝0∴f ′(0)＝b －1＝1，－1＋a ＝0解得a ＝1，b ＝2.答案：12课堂题型讲解题型一例1解析：(1)∵f (x )＝2x ＋1＝(2x ＋1)12，∴f ′(x )＝12(2x ＋1)－12×2＝(2x ＋1)－12＝12x ＋1.故选D.(2)f ′(x )＝4x －3f ′(2)＋1x ，∴f ′(2)＝4×2－3f ′(2)＋12，∴f ′(2)＝178.故选D.(3)f ′(x )＝a e x ＋b x，（1）＝a e ＋b ＝e ，（－1）＝a e －1－b ＝1e ，＝1，＝0，∴a ＋b ＝1.答案：(1)D (2)D (3)1巩固训练1解析：(1)f (x )＝sin x2cos＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x ，∴f ′(x )＝－12cos x .(2)f ′(x )＝（－sin x ）e x －cos x ·e x（e x ）2＋1＝－sin x －cos xe x＋1，∴f ′(0)＝－1＋1＝0.(3)f ′(x )＝a e ax ＋1x ＋1，∴f ′(0)＝a ＋1＝4，∴a ＝3.答案：(1)－12cos x (2)0(3)3题型二例2解析：由题意知a ＝0，∴y ＝f （x ）x 2＝x 3－x x2＝x －1x ，∴y ′＝1＋1x 2，∴y ′|x ＝1＝2，故所求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2.故选C.答案：C巩固训练2解析：f ′(x )＝4x 3－6x 2，则f ′(1)＝－2，易知f (1)＝－1，由点斜式可得函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选B.答案：B例3解析：f ′(x )＝(x 3＋ax 2)′＝3x 2＋2ax ，由题意得f ′(x 0)＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，x 20＋2ax 0＝－1，①0＋x 30＋ax 20＝0，②由①知x 0≠0，故②可化为1＋x 20＋ax 0＝0，所以ax 0＝－1－x 20代入①得3x 20＋2(－1－x 20)＝－1，即x 20＝1，解得x 0＝±1.当x 0＝1时，a ＝－2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝－1；当x 0＝－1时，a ＝2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝1，所以点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).故选D.答案：D巩固训练3解析：∵f ′(x )＝e x －a e x ，且f ′(x )是偶函数，∴e －x －a e－x ＝e x －a e x ，得a ＝－1.设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e x 0＋1e x 0＝52，解得x 0＝ln 2或x 0＝－ln 2.答案：±ln 2例4解析：函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x.因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2).故选B.答案：B巩固训练4解析：依题意知y ′＝3x 2＋a 3＋a ＋b ＝3，×12＋a ＝k ，＋1＝3，＝－1，＝3，＝2.所以2a＋b ＝1，故选C.答案：C例5解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln (x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln (x 2＋1)).则切线方程分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln (x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，依题意，＝1x 2＋1，x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.答案：1－ln 2巩固训练5解析：设l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，e x 1)，与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，ln x 2＋2).因f ′(x )＝e x ，g ′(x )＝1x ，所以l ：y ＝e x 1·x －x 1·e x 1＋e x 1y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1.x 1＝1x 21－x 1）e x 1＝ln x 2＋11＝0，2＝1，1＝1，2＝1e．∴切线方程为y ＝x ＋1或y ＝e x .答案：y ＝e x 或y ＝x ＋1高考命题预测预测1解析：f′(x)＝1x＋2ax＝2ax2＋1x(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－1x2(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞).故选D.答案：D预测2解析：f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝a＝0，故a＝0，f(－2)＝－f(2)＝－(16－12)＝－4，当x<0时，－x>0，故f(－x)＝－2x3－3x2.f(x)＝－f(－x)＝2x3＋3x2，f′(x)＝6x2＋6x，f′(－2)＝12，故切线方程为：y＝12(x＋2)－4，即12x－y＋20＝0.答案：－412x－y＋20＝0。

【新高考数学】导数的概念及计算导数的概念及计算(含答案)

【新高考数学】导数的概念及计算导数的概念及计算(含答案)

【新高考数学】导数的概念及计算【套路秘籍】一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ 0lim x ∆→ ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 二.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式三.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 数f ′(x )＝0lim x ∆→ f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数. 【套路修炼】考向一 导数的概念【例1】设)(x f 是可导函数，且3)2()(lim 000=∆∆+-∆-→∆xx x f x x f x ，则=')(0x f 。

2025年高考数学总复习课件19第三章第一节导数的概念及运算

2025年高考数学总复习课件19第三章第一节导数的概念及运算
(1)f ′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率．( × )
(2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0)．( × )
(3)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( × )
第一节
导数的概念及运算
必备知识
落实“四基”
2．已知函数f (x)在x＝x0处的导数为12，则 lim
变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线
越“陡峭”．
第一节
导数的概念及运算
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
自查自测
知识点二 导数的运算
1．(多选题)(教材改编题)下列导数的运算中正确的是( ABD )
A．(3x)′＝3x ln 3
x sin x－ cos x
导数的概念及运算
考向3
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
求参数的值或取值范围
【例3】(1)(2024·江门模拟)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0
－sin x
f ′(x)＝_________
f (x)＝cos x
f (x)＝ex
f (x)＝ax(a>0，且a≠1)
f (x)＝ln x
f (x)＝log x(a>0，且a≠1)
ex
f ′(x)＝____
ax ln a
f ′(x)＝_________
1
f ′(x)＝____
x
1
x ln a
f ′(x)＝____
在点(0，f (0))处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。

二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

2024届新高考数学复习：专项(导数的概念及运算)历年好题练习(附答案)

2024届新高考数学复习：专项(导数的概念及运算)历年好题练习(附答案)

2024届新高考数学复习：专项（导数的概念及运算）历年好题练习[基础巩固]一、选择题1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－42．已知函数f (x )＝g (x )＋2x 且曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为( )A ．2B ．4C ．6D ．83．已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)ꞏ(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．2155．设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x6．已知曲线y ＝x 24 －3ln x 的一条切线的斜率为－12 ，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．127．f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′⎝⎛⎭⎫π4 ＝2 ，则实数a 的值为( ) A ．23 B ．12C ．34D ．18．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与二次曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a 等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．89．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对于任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)二、填空题10．已知物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s＝12t3－t，则当t＝2时，该物体的瞬时速度为________．11．已知函数f(x)＝e x ln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．12．若曲线y＝e－x在点P处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则点P的坐标是________．[强化练习]13．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3 D．y＝2x＋114．(多选)已知函数f(x)＝－x3＋2x2－x，若过点P(1，t)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则t的取值可以是()A．0 B．1 27C．128D．12915．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝(x－1)e x＋3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则直线l的横截距为________．16．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．参考答案1．D ∵f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，∴f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2，∴f (x )＝－4x ＋x 2，∴f ′(x )＝－4＋2x ，∴f ′(0)＝－4.2．B ∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝2.∵函数f (x )＝g (x )＋2x ，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2＝g ′(1)＋2，∴f ′(1)＝2＋2＝4，即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为4.故选B.3．D 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以当x ＝1时，y ′＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1b ＝－1. 4．C ∵函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)，∴f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)ꞏ…ꞏ(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.5．D ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，∴a －1＝0，得a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x ，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ，故选D.6．B 令y ′＝2x 4 －3x ＝－12 ，解得x ＝－3(舍去)或x ＝2.故切点的横坐标为2，故选B.7．B ∵f ′(x )＝cos x －a sin x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4 ＝22 －22 a ＝24 ，得a ＝12 . 8．D 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，∴当x ＝1时，y ′＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，得ax 2＋ax ＋2＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝a 2－8a ＝0， 得a ＝8. 9．B 设g (x )＝f (x )－2x －4，g ′(x )＝f ′(x )－2，由题意得g ′(x )>0恒成立，∴g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，又g (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝0，又f (x )>2x ＋4等价于g (x )>0，∴原不等式的解为x >－1.10．5答案解析：由题知s ′＝32 t 2－1，故当t ＝2时，该物体的瞬时速度为32 ×22－1＝5.11．e答案解析：f ′(x )＝e x ꞏln x ＋e x x ，∴f ′(1)＝e.12．(－ln 2，2)答案解析：∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，设P (x 0，y 0)，由题意得－e －x 0＝－2，∴e －x 0＝2，∴－x 0＝ln 2，x 0＝－ln 2，∴P (－ln 2，2).13．B f ′(x )＝4x 3－6x 2，则f ′(1)＝－2，易知f (1)＝－1，由点斜式可得函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选B.14．CD ∵f (x )＝－x 3＋2x 2－x ，∴f ′(x )＝－3x 2＋4x －1.由已知得，过点P (1，t )作曲线y ＝f (x )的三条切线，情况如下：①点P (1，t )在曲线上，此时切点为P (1，t )，把P 点坐标代入函数答案解析式可得P (1，0)，利用切线公式得y ＝f ′(1)(x －1)，所以切线为x 轴，但此时切线只有一条，不符合题意．②点P (1，t )不在曲线上，设切点为(x 0，y 0)，又切线经过点P (1，t )，所以切线方程为y －t ＝f ′(x 0)(x －1). 因为切线经过切点，所以y 0－t ＝(－3x 20 ＋4x 0－1)(x 0－1).又因为切点在曲线上，所以y 0＝－x 30 ＋2x 20 －x 0.联立方程得化简得t ＝2x 30 －5x 20 ＋4x 0－1. 令g (x )＝2x 3－5x 2＋4x －1，即t ＝g (x )有三个解，即直线y ＝t 与y ＝g (x )的图象有三个交点．令g ′(x )＝6x 2－10x ＋4＝2(x －1)(3x －2)＝0，可得两极值点为x 1＝1，x 2＝23 .所以x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，23 和(1，＋∞)时，g (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫23，1 时，g (x )单调递减， 所以当g (1)＝0＜t ＜127 ＝g ⎝⎛⎭⎫23 时，满足直线y ＝t 与y ＝g (x )的图象有三个交点，而0＜129 ＜128 ＜127 ，故选CD.15．－2答案解析：因为f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x ＝x e x ，所以切线l 的斜率为f ′(1)＝e ，由f (1)＝3e 知切点坐标为(1，3e)，所以切线l 的方程为y －3e ＝e(x －1).令y ＝0，解得x ＝－2，故直线l 的横截距为－2.16．(－∞，－4)∪(0，＋∞)答案解析：设切线的切点坐标为(x 0，y 0).令f (x )＝(x ＋a )e x ，则f ′(x )＝(x ＋1＋a )e x ，f ′(x 0)＝(x 0＋1＋a )e x 0.因为y 0＝(x 0＋a )e x 0，切线过原点，所以f ′(x 0)＝y 0x 0，即(x 0＋1＋a )ꞏe x 0＝（x 0＋a ）e x 0x 0.整理，得x 20 ＋ax 0－a ＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a 2＋4a ＞0，解得a ＜－4或a ＞0.。

第4章+第2讲+导数的概念及运算2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)

第4章+第2讲+导数的概念及运算2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)

＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex，错误；对于 C，(xcosx)′＝cosx
－xsinx，错误；对于 D，x－1x′＝1－1x′＝1＋x12，错误．故选 A．
解析 答案
x－3 (2)(2021·贵阳模拟)已知 f(x)的导函数为 f′(x)，f(x)＝ ex ＋2f′(1)·x， 则 f′(1)＝________. 答案 －3e 解析 ∵f(x)＝x－ex 3＋2f′(1)·x，∴f′(x)＝4－ex x＋2f′(1)，∴f′(1)＝3e＋ 2f′(1)，解得 f′(1)＝－3e.
解析 由导函数图象可知两函数的图象在x0处的切线斜率相等,故选D.
解析 答案
4. (2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋3 是 曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线，令 h(x)＝fxx，h′(x)是 h(x)的导函数，则 h′(1) 的值是( )
A．2
B．1
解
导数的运算方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分 式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
的值，即ΔΔyx有极限，则称 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，并把这个确定的值叫做 y
＝f(x)在 x＝x0 处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即
f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0

2023年高考数学总复习：导数(附答案解析)

2023年高考数学总复习：导数(附答案解析)

2023年高考数学总复习：导数一．选择题（共8小题）1．（2022春•合肥期末）f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（）A．B．C．D．2．（2022春•东城区期末）已知函数f（x）＝x3﹣sin x，若对于任意x1，x2∈R，满足x1+x2＝0，且x1≠x2，则一定有（）A．f（x1）+f（x2）＝0B．f（x1）﹣f（x2）＝0C．f（x1）＜f（x2）D．f（x1）＞f（x2）3．（2022春•揭阳期末）函数f（x）的图象与其在点P处的切线如图所示，则f（1）﹣f'（1）等于（）A．﹣2B．0C．2D．44．（2022春•丰台区校级期末）已知f（x）的导数存在，y＝f（x）的图象如图所示，则在区间[a，b]上（）A．f'（x）的最大值是f'（a），最小值是f'（c）B．f'（x）的最大值是f'（a），最小值是f'（b）C．f'（x）的最大值是f'（c），最小值是f'（b）D．f'（x）的最大值f'（b），最小值是f'（c）5．（2022春•顺义区期末）已知x0（x0≠0）是函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的极大值点，则下列结论不正确的是（）A．∃x∈R，f（x）＞f（x0）B．f（x）一定存在极小值点C．若a＝0，则﹣x0是函数f（x）的极小值点D．若b＝0，则a＜06．（2022春•南充期末）若曲线y＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+2＝0，则（）A．a＝﹣1，b＝﹣2B．a＝1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝2 7．（2022•南京模拟）已知f（x）＝（1﹣x）e x﹣1，g（x）＝（x+1）2+a，若存在x1，x2∈R，使得f（x2）≥g（x1）成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．（0，e）D．8．（2022春•丰台区校级期末）若函数f（x）＝xlnx﹣ax+1在[e，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022•南京模拟）设函数f（x）＝xe x+a+bx，曲线y＝f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程为y＝（e﹣1）x﹣4，则（）A．f（﹣2）＝﹣2e﹣2B．a＝2C．a＝3D．f（x）在R上单调递增（多选）10．（2022•南京模拟）已知函数f（x）＝x2﹣e x+a有两个极值点x1与x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．a＜ln2﹣1B．0＜x1＜1C．﹣1＜f（x1）＜0D．（多选）11．（2022春•石家庄期末）已知f（x）＝﹣lnx，f（x）在x＝x0处取得最大值，则（）A．f（x0）＜x0B．f（x0）＝x0C．f（x0）＜D．f（x0）＞（多选）12．（2022春•乐昌市校级月考）已知，函数，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．三．填空题（共4小题）13．（2022春•海南期末）已知函数f（x）＝alnx﹣x3，f'（x）为f（x）的导函数，若f'（1）＝4，则实数a＝．14．（2022春•龙岩期末）已知定义在R上的函数f（x）满足：xf′（x）+f（x）＞0，且f （1）＝1，则xf（x）＞1的解集为．15．（2022春•沈阳期末）对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），有如下定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导函数，f''（x）是f'（x）的导函数．若方程f''（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．而某同学探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”恰为该三次函数图象的对称中心．对于函数，依据上述结论，可知f（x）图象的对称中心为，而＝．16．（2022春•济南期末）已知函数f（x）＝log2（x+1）﹣k2kx+k（k＞0），若存在x＞0，使得f（x）≥0成立，则k的最大值为．四．解答题（共6小题）17．（2022春•朝阳区期末）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调区间．18．（2022春•达州期末）已知函数．（1）若函数f（x）在x＝1处的切线是x+y﹣1＝0，求a+b的值；（2）当a＝1时，讨论函数f（x）的零点个数．19．（2022春•平谷区期末）已知函数在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣6，且当x＝2时，f（x）取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间．20．（2022春•滨海新区校级期末）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x，g（x）＝a+lnx，其中e 是自然对数的底数．（1）若对于任意实数x，不等式f（x）≥k恒成立，求实数k的取值范围；（2）设h（x）＝bf（x）﹣g（x）+a，求证：当时，h（x）恰好有2个零点；（3）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与曲线y＝g（x）也相切．判断函数φ（x）＝f （x）+e|g（x）|的单调性．21．（2022春•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣（2a+1）x+a+1，其中a∈R．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝f′（x），求函数g（x）在区间[1，2]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间[1，2]上的最大值为2ln2﹣1，直接写出a的值．22．（2022春•朝阳区期末）已知函数f（x）＝xe x﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若y＝f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，判断0是否为函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅲ）若存在三个实数x1＜x2＜x3，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），求实数a的取值范围．2023年高考数学总复习：导数参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2022春•合肥期末）f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象的变换．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算．【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：x＜﹣2时，f′（x）＜0，则f（x）单减；﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，则f（x）单增；x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）单减．则符合上述条件的只有选项A．故选：A．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．重点是理解函数图象及函数的单调性．2．（2022春•东城区期末）已知函数f（x）＝x3﹣sin x，若对于任意x1，x2∈R，满足x1+x2＝0，且x1≠x2，则一定有（）A．f（x1）+f（x2）＝0B．f（x1）﹣f（x2）＝0C．f（x1）＜f（x2）D．f（x1）＞f（x2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】由题可得函数为奇函数可判断A，利用特值可判断BCD．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣sin x，∴f（﹣x）＝﹣x3+sin x＝﹣f（x），函数为奇函数，又x1+x2＝0，x1≠x2，∴f（x2）＝﹣f（x1），即f（x1）+f（x2）＝0，故A正确；当时，，，此时f（x1）﹣f（x2）≠0，f（x1）＞f（x2），当时，f（x1）＜f（x2），故BCD不合题意．故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查特殊值法的应用，是基础题．3．（2022春•揭阳期末）函数f（x）的图象与其在点P处的切线如图所示，则f（1）﹣f'（1）等于（）A．﹣2B．0C．2D．4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；数形结合法；导数的概念及应用；数学运算．【分析】由图形求出切线的斜率与方程，可得f′（1）与f（1），则答案可求．【解答】解：由图可知，切线的斜率k＝，即f'（1）＝﹣2，切线方程为y＝﹣2x+4，取x＝1，得y＝2．∴f（1）＝2，则f（1）﹣f'（1）＝2﹣（﹣2）＝4．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义及应用，考查数形结合思想，是基础题．4．（2022春•丰台区校级期末）已知f（x）的导数存在，y＝f（x）的图象如图所示，则在区间[a，b]上（）A．f'（x）的最大值是f'（a），最小值是f'（c）B．f'（x）的最大值是f'（a），最小值是f'（b）C．f'（x）的最大值是f'（c），最小值是f'（b）D．f'（x）的最大值f'（b），最小值是f'（c）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】对应思想；数形结合法；导数的概念及应用；直观想象．【分析】由导数的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由导数的几何意义，即曲线在该点处的切线的斜率可知，f'（a）＞0，f'（c）＝0，f'（b）＜0，且在区间[a，b]上，f′（x）逐渐减小，则在区间[a，b]上，f'（x）的最大值是f'（a），最小值是f'（b）．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数形结合思想，是基础题．5．（2022春•顺义区期末）已知x0（x0≠0）是函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的极大值点，则下列结论不正确的是（）A．∃x∈R，f（x）＞f（x0）B．f（x）一定存在极小值点C．若a＝0，则﹣x0是函数f（x）的极小值点D．若b＝0，则a＜0【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理．【分析】根据极大值点概念，直接判断．【解答】解：选项A，∵x→+∞时，f（x）→+∞，∴∃x∈R，f（x）＞f（x0），选项A正确；选项B，∵x0（x0≠0）是函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的极大值点，∴方程f′（x）＝3x2+2ax+b ＝0有两个不等根，∴f（x）一定存在极小值点，选项B正确；选项C，∵a＝0，∴方程f′（x）＝3x2+b＝0有相异两根，﹣x0是f（x）的极小值点，选项C正确；选项D，∵b＝0，∴方程f′（x）＝3x2+2ax＝0两根0或﹣，∴a＜0错误，选项D 错误．故选：D．【点评】本题考查了运用导数判断函数的极值点，是中档题．6．（2022春•南充期末）若曲线y＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+2＝0，则（）A．a＝﹣1，b＝﹣2B．a＝1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．【分析】求出原函数的导函数，利用函数在x＝0处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求得a与b的值．【解答】解：由y＝x2+ax+b，得y′＝2x+a，∵曲线y＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+2＝0，∴，即a＝1，b＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．7．（2022•南京模拟）已知f（x）＝（1﹣x）e x﹣1，g（x）＝（x+1）2+a，若存在x1，x2∈R，使得f（x2）≥g（x1）成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．（0，e）D．【考点】利用导数研究函数的最值．【专题】转化思想；分析法；导数的综合应用；数学运算．【分析】原问题等价于f（x）max≥g（x）min，利用导数求得f（x）的最大值，根据二次函数的性质求得g（x）的最小值，代入上述不等式，即可得解．【解答】解：∃x1，x2∈R，使得f（x2）≥g（x1）成立，等价于f（x）max≥g（x）min，因为f（x）＝（1﹣x）e x﹣1，所以f′（x）＝﹣e x﹣1+（1﹣x）e x﹣1＝﹣xe x﹣1，当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（0）＝；因为g（x）min＝g（﹣1）＝a，所以≥a，即实数a的取值范围是（﹣∞，]．故选：B．【点评】本题考查利用导数求函数的最值，理解函数的单调性与导数之间的联系，会将恒成立存在性问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．（2022春•丰台区校级期末）若函数f（x）＝xlnx﹣ax+1在[e，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．【分析】求出原函数的导函数，把问题转化为a≤lnx+1在[e，+∞）上恒成立，由单调性求得lnx+1的最小值，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）＝xlnx﹣ax+1，得f′（x）＝lnx+1﹣a，∵函数f（x）＝xlnx﹣ax+1在[e，+∞）上单调递增，∴lnx+1﹣a≥0在[e，+∞）上恒成立，即a≤lnx+1在[e，+∞）上恒成立，∵lnx+1在[e，+∞）上单调递增，∴（lnx+1）min＝2，可得a≤2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022•南京模拟）设函数f（x）＝xe x+a+bx，曲线y＝f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程为y＝（e﹣1）x﹣4，则（）A．f（﹣2）＝﹣2e﹣2B．a＝2C．a＝3D．f（x）在R上单调递增【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【分析】求出函数f（x）的导函数，得到函数在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程，结合题意可得a与b的值，得到函数解析式，然后逐一分析四个选项得答案．【解答】解：由f（x）＝xe x+a+bx，得f′（x）＝e x+a+xe x+a+b，∵曲线y＝f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程为y＝（e﹣1）x﹣4，∴f′（﹣2）＝e a﹣2﹣2e a﹣2+b＝e﹣1，且﹣2（e﹣1）﹣4＝﹣2e a﹣2﹣2b，解得a＝2，b＝e，∴f（x）＝xe x+2+ex，则f（﹣2）＝﹣2e0﹣2e＝﹣2e﹣2，f′（x）＝e2﹣x﹣xe2﹣x+e＝（1﹣x+e x﹣1）e2﹣x，令h（x）＝1﹣x+e x﹣1，则h′（x）＝﹣1+e x﹣1，可得当x∈（﹣∞，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）≥h（1）＝1＞0，可得f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，综上可知，ABD正确．故选：ABD．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．（多选）10．（2022•南京模拟）已知函数f（x）＝x2﹣e x+a有两个极值点x1与x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．a＜ln2﹣1B．0＜x1＜1C．﹣1＜f（x1）＜0D．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．【分析】分析可知函数f'（x）有两个异号的正零点，可知直线y＝a与函数g（x）＝lnx ﹣x+ln2的图象有两个交点，数形结合可判断A选项；利用函数g（x）的单调性可判断B 选项；利用极值点满足的条件结合二次函数的基本性质可判断C选项；利用不等式的性质可判断D选项．【解答】解：因为f（x）＝x2﹣e x+a，该函数的定义域为R，f'（x）＝2x﹣e x+a，由已知可得，所以，函数f'（x）有两个异号的正零点，由2x＝e x+a，其中x＞0，可得x+a＝ln2+lnx，可得a＝lnx﹣x+ln2，构造函数g（x）＝lnx﹣x+ln2，其中x＞0，．当0＜x＜1时，g'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，当x＞1时，g'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，所以，函数g（x）的极大值为g（1）＝ln2﹣1，如下图所示：当a＜ln2﹣1时，直线y＝a与函数g（x）的图象有两个交点，即函数f（x）有两个极值点，A对；对于B选项，x1、x2为直线y＝a与函数g（x）图象两个交点的横坐标，因为函数g（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，且x1＜x2，故0＜x1＜1，x2＞1，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，因为0＜x1＜1，，则，因为可得，所以，，D错．故选：ABC．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究双变量问题等知识，属于中等题．（多选）11．（2022春•石家庄期末）已知f（x）＝﹣lnx，f（x）在x＝x0处取得最大值，则（）A．f（x0）＜x0B．f（x0）＝x0C．f（x0）＜D．f（x0）＞【考点】利用导数研究函数的最值．【分析】，x∈（0，+∞），，令g（x）＝1+x﹣xlnx，然后利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出结论．【解答】解：，x∈（0，+∞），，令g（x）＝1+x﹣xlnx，g'（x）＝1﹣1﹣lnx＝﹣lnx，可得函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．x→0+时，g（x）→1；g（x）max＝g（1）＝2；g（3）＝4﹣3ln3＞0，g（4）＝5﹣4ln4＜0，∴存在唯一x0∈（3，4），满足g（x0）＝1+x0﹣x0lnx0＝0．使得函数f（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+∞）上单调递减．∴函数f（x）在x＝x0处取得极大值即最大值，满足，故选：BC．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值等知识，属于中等题．（多选）12．（2022春•乐昌市校级月考）已知，函数，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的最值．【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理．【分析】先对函数求导，由导函数，确定函数在的单调性，再结合最大值，最小值即可判断．【解答】解：当时，f'（x）＝1﹣sin x＞0，此时f（x）在上递增，又，，所以时，恒成立．因此AC错，BD正确．故选：BD．【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值的应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2022春•海南期末）已知函数f（x）＝alnx﹣x3，f'（x）为f（x）的导函数，若f'（1）＝4，则实数a＝7．【考点】导数的运算．【专题】计算题；对应思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算．【分析】根据导数的公式即可得到结论．【解答】解：∵f（x）＝alnx﹣x3，∴，∴f'（1）＝a﹣3＝4，解得a＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．14．（2022春•龙岩期末）已知定义在R上的函数f（x）满足：xf′（x）+f（x）＞0，且f （1）＝1，则xf（x）＞1的解集为（1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【分析】设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x）＞0，即函数g（x）为R上的增函数，又xf（x）＞1等价于g（x）＞g（1），然后求解集即可．【解答】解：设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x）＞0，即函数g（x）为R上的增函数，又f（1）＝1，即g（1）＝1，则xf（x）＞1等价于g（x）＞g（1），则xf（x）＞1的解集为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了导数的应用，重点考查了利用导数研究函数的单调性，属基础题．15．（2022春•沈阳期末）对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），有如下定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导函数，f''（x）是f'（x）的导函数．若方程f''（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．而某同学探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”恰为该三次函数图象的对称中心．对于函数，依据上述结论，可知f（x）图象的对称中心为（，），而＝1011．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．【分析】根据题中结论，二次求导后可求得函数的拐点，即函数y＝f（x）的对称中心；利用对称性可得所求．【解答】解：因为f'（x）＝3x2﹣3x+3，f''（x）＝6x﹣3，令f''（x）＝6x﹣3＝0，得，因为，所以f（x）图象的对称中心为，由对称性可知，所以，故答案为：，1011．【点评】本题主要考查函数的对称性，新定义知识的应用等知识，属于中等题．16．（2022春•济南期末）已知函数f（x）＝log2（x+1）﹣k2kx+k（k＞0），若存在x＞0，使得f（x）≥0成立，则k的最大值为．【考点】利用导数研究函数的最值．【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．【分析】由f（x）≥0，可得，同构函数g （x）＝x log2x，结合函数的单调性，转化为的最大值问题．【解答】解：由，可得，即，，构造函数g（x）＝x log2x，显然在（1，+∞）上单调递增，∴x+1≥2k（x+1），即，令，即求函数的最大值即可，，∴在（1，e﹣1）上单调递增，在（e﹣1，+∞）上单调递减，∴h（x）的最大值为，∴，即k的最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质，利用导数研究不等式能成立问题等知识，属于中等题．四．解答题（共6小题）17．（2022春•朝阳区期末）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】对应思想；定义法；导数的综合应用；数学运算．【分析】（Ⅰ）求导，根据导函数在某点处的导数值是切线的斜率即可求解；（Ⅱ）根据导函数的正负即可确定y＝f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）由，得，故f'（﹣1）＝0，f（﹣1）＝2ln2+1，所以切线方程为y＝2ln2+1．（Ⅱ）y＝f（x）的定义域为（﹣∞，1），由（Ⅰ）知当x＜﹣1，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当，f'（x）＜0，f（x）单调递减，故y＝f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与切线方程，属基础题．18．（2022春•达州期末）已知函数．（1）若函数f（x）在x＝1处的切线是x+y﹣1＝0，求a+b的值；（2）当a＝1时，讨论函数f（x）的零点个数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）通过切点（1，f（1））在切线x+y﹣1＝0上，列出方程求解a，b，即可．（2）当a＝1时，化简函数的解析式，利用函数的导数，①当﹣2≤b≤2时，②当b＜﹣2时，③当b＞2时，判断函数的单调性求解函数的最值，推出零点个数即可．【解答】解：（1）∵切点（1，f（1））也在切线x+y﹣1＝0上，∴1﹣a+1﹣1＝0，即a＝1.，f'（1）＝1+a﹣b＝﹣1，即b＝3，∴a+b ＝4．（2）当a＝1时，，∴x＞0，．①∵当﹣2≤b≤2时，f'（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（1）＝0，∴f（x）在（0，+∞）上有且只有1个零点．②当b＜﹣2时，设x1，x2为方程x2﹣bx+1＝0的两根，x1+x2＝b＜0，x1x2＝1＞0，即x1＜0，x2＜0，f'（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上有且只有1个零点．③当b＞2时，设x1，x2（x1＜x2）为方程x2﹣bx+1＝0的两根，x1+x2＝b＞0，x1x2＝1＞0，即0＜x1＜1＜x2，当0＜x＜x1时，f'（x）＞0，当x1＜x＜x2时，f'（x）＜0，当x＞x2时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．∴f（x1）＞f（1）＝0＞f（x2），∴在b∈（2，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，x1）上有且只有1个零点．∵f（1）＝0，∴f（x）在（x1，x2）上有且只有1个零点．∵在b∈（2，+∞）上恒成立，∴f（x）在（x2，+∞）上有且只有1个零点．综上所述，当b≤2时，f（x）在（0，+∞）上有且只有1个零点，当b＞2时，f（x）在（0，+∞）上有3个零点．【点评】本题考查函数导数的应用，切线方程的求法，函数的单调性的应用，零点个数的求法，是中档题．19．（2022春•平谷区期末）已知函数在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣6，且当x＝2时，f（x）取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，c的方程组，求出a，c的值，求出函数的解析式即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）∵f（x）＝x3+4cx，∴f′（x）＝ax2+4c，结合题意得：f′（1）＝a+4c＝﹣6，f′（2）＝4a+4c＝0，解得a＝2，c＝﹣2，∴f（x）＝x3﹣8x；（2）由（1）f（x）＝x3﹣8x，得f′（x）＝2x2﹣8，令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜2，故f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣2），（2，+∞），递减区间是（﹣2，2）．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的意义，是基础题．20．（2022春•滨海新区校级期末）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x，g（x）＝a+lnx，其中e 是自然对数的底数．（1）若对于任意实数x，不等式f（x）≥k恒成立，求实数k的取值范围；（2）设h（x）＝bf（x）﹣g（x）+a，求证：当时，h（x）恰好有2个零点；（3）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与曲线y＝g（x）也相切．判断函数φ（x）＝f （x）+e|g（x）|的单调性．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．【分析】（1）问题转化为只需k≤f（x）min，即可得出答案．（2）根据题意可得h（x）＝b（x﹣1）e x﹣lnx，求导得h′（x）＝bxe x﹣＝，分析h（x）的单调性，再利用零点的存在定理证明函数h（x）的极小值小于0，即h（ln）＞0，即可得出答案．（3）利用导数的几何意义求出在x＝1处的切线方程，再利用切线与曲线也相切，可求得a的值，进而可得φ（x）的解析式，对绝对是内的数进行分类讨论，再利用导数分别研究分段函数的单调性．【解答】解：（1）f′（x）＝e x+（x﹣1）e x＝xe x，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）min＝f（0）＝﹣1，所以对于任意实数x，不等式f（x）≥k恒成立，实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]．（2）证明：根据题意可得h（x）＝bf（x）﹣g（x）+a＝b（x﹣1）e x﹣lnx，所以h′（x）＝bxe x﹣＝，令m（x）＝bx2e x﹣1，x＞0，所以当0＜b＜时，m′（x）＝（2bx+bx2）e x＞0，所以m（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为m（1）＝be﹣1＜0且m（ln）＝b（ln）2•﹣1＝（ln）2﹣1＞0，所以m（x）＝0在（0，+∞）上有唯一解，从而h′（x）＝0在（0，+∞）上有唯一解，不妨设x0，则1＜x0＜ln，所以当x∈（0，x0）时，h′（x）＝＜＝0，所以h（x）在（0，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＝＞＝0，所以h（x）在（x0，+∞）上单调递增，所以x0是h（x）的唯一极值点，令t（x）＝lnx﹣x+1，所以t′（x）＝﹣1＝，所以当x＞1时，t′（x）＜0，t（x）单调递减，从而当x＞1时，t（x）＜t（1）＝0，即lnx＜x﹣1，所以h（ln）＝b（ln﹣1）e﹣ln（ln）＝ln﹣1﹣ln（ln）＝﹣t（ln）＞0，又因为h（x0）＜h（1）＝0，所以h（x）在（x0，+∞）上有唯一零点，又因为h（x）在（0，x0）上有唯一零点，为x＝1，所以h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点．（3）因为f（x）＝（x﹣1）e x，所以f′（x）＝xe x，所以切线的斜率k＝f′（1）＝e，因为切点为（1，0），所以切线的方程为y＝e（x﹣1），设曲线y＝g（x）的切点的坐标为（x1，y1），由g（x）＝a+lnx得g′（x）＝，所以g′（x1）＝＝e，得x1＝，所以切点坐标为（，a﹣1），因为点（，a﹣1）也在直线y＝e（x﹣1）上，所以a＝2﹣e．所以φ（x）＝（x﹣1）e x+e|2﹣e+lnx|，当x≥e e﹣2时，φ（x）＝（x﹣1）e x+e（e﹣2+lnx），φ′（x）＝xe x+＞0恒成立，所以φ（x）在[e e﹣2，+∞）上单调递增，当0＜x＜e e﹣2时，φ（x）＝（x﹣1）e x﹣e（2﹣e+lnx），所以φ′（x）＝xe x﹣，因为[φ′（x）]′＝（x+1）e x+＞0恒成立，所以φ′（x）在（0，e e﹣2）上单调递增，又φ′（1）＝0，所以x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，x∈（1，e e﹣2）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，综上所述，函数φ（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．21．（2022春•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣（2a+1）x+a+1，其中a∈R．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝f′（x），求函数g（x）在区间[1，2]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间[1，2]上的最大值为2ln2﹣1，直接写出a的值．【考点】利用导数研究函数的最值．【专题】分类讨论；综合法；导数的综合应用；数学运算．【分析】（Ⅰ）求导后，计算f'（1）和f（1）的值，即可得解；（Ⅱ）求导得g'（x）＝﹣+2a，再分a≤0和a＞0两种情况，讨论g'（x）与0的大小关系，可得g（x）的单调性，进而知其最小值，其中当a＞0时，还需再分三类，结合二次函数的图象与性质，进行讨论；（Ⅲ）先猜测最大值为f（2）＝2ln2﹣1，可得a＝ln2，再证明当a＝ln2时，f（x）在区间[1，2]上的最大值为2ln2﹣1，即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝lnx+ax2﹣（2a+1）x+a+1，所以f'（x）＝+2ax﹣（2a+1），所以f'（1）＝1+2a﹣（2a+1）＝0，而f（1）＝ln1+a﹣（2a+1）+a+1＝0，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝0．（Ⅱ）g（x）＝f′（x）＝+2ax﹣（2a+1），所以g'（x）＝﹣+2a，当a≤0时，g'（x）＜0恒成立，所以g（x）在[1，2]上单调递减，最小值为g（2）＝+2a•2﹣（2a+1）＝2a﹣；当a＞0时，令g'（x）＝0，则x＝±，若≤1，即a≥时，g（x）在[1，2]上单调递增，所以最小值为g（1）＝1+2a•1﹣（2a+1）＝0；若1＜＜2，即＜a＜时，g（x）在[1，）上单调递减，在（，2]上单调递增，所以最小值为g（）＝+2a•﹣（2a+1）＝2﹣2a﹣1；若≥2，即0＜a≤时，g（x）在[1，2]上单调递增，所以最小值为g（2）＝2a﹣；综上所述，当a≤时，g（x）的最小值为2a﹣；当＜a＜时，g（x）的最小值为2﹣2a﹣1；当a≥时，g（x）的最小值为0．（Ⅲ）因为f（1）＝0，所以不妨猜测最大值为f（2）＝ln2+a﹣1，因为f（x）在区间[1，2]上的最大值为2ln2﹣1，所以a＝ln2，下面证明当a＝ln2时，f（x）在区间[1，2]上的最大值为2ln2﹣1：因为a＝ln2＞ln＝，所以由（Ⅱ）知，f'（x）＝g（x）≥0，即f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）max＝f（2）＝ln2+a﹣1＝2ln2﹣1，符合猜想，故a＝ln2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，理解函数的单调性与导数之间的联系，导数的几何意义是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．22．（2022春•朝阳区期末）已知函数f（x）＝xe x﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若y＝f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，判断0是否为函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅲ）若存在三个实数x1＜x2＜x3，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；函数思想；分析法；导数的综合应用；数学运算．【分析】（I）对函数求导，若y＝f（x）在R上是增函数，即f′（x）≥0恒成立，得a ≤（1+x）e x，设g（x）＝（1+x）e x，求导后利用单调性求得函数的最小值，即可求得结果；（II）对函数二次求导后求得导数的单调性即可判断出结果；（III）若存在三个实数x1＜x2＜x3，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则函数f（x）存在3个单调区间，结合（I）中函数g（x）的单调性且x→﹣∞时，g（x）→0，利用单调性解得结果．【解答】解：（I）∵f（x）＝xe x﹣ax（a∈R），则f′（x）＝（1+x）e x﹣a，若y＝f（x）在R上是增函数，即f′（x）≥0恒成立，得a≤（1+x）e x，设g（x）＝（1+x）e x，g′（x）＝（x+2）e x，g′（x）＞0得x＞﹣2，g′（x）＜0得x＜﹣2，即g（x）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，+∞）递增，则，故．即a∈[﹣，+∞），（II）当a＝1时，f′（x）＝（1+x）e x﹣1，f′（x）＝（x+2）e x，f′（x）＞0得x＞﹣2，则f′（x）递增，f′（0）＝0，则x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣2，0）上递减，在（0，+∞）上递增，故x＝0是函数的极小值点．（III）∵f′（x）＝（1+x）e x﹣a，令f′（x）＝0，得（1+x）e x＝a，由（I）得g（x）＝a，又g（x）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，+∞）递增，则，且x→﹣∞时，g（x）→0，g（﹣1）＝0，当x＜﹣1时，g（x）＜0，若存在三个实数x1＜x2＜x3，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），故当g（x）＝a有两根x4，x5使得x4＜﹣2＜x5＜﹣1，故x＜x4或x＞x5时，g（x）＞a，此时f（x）递增，x4＜x＜x5时，g（x）＜a，此时f（x）递减，且x→+∞时，f（x）→+∞，则必有f（x）先增后减再增，故必存在x1＜x2＜x3，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），故g（﹣2）＜a＜0，即．故a∈（﹣，0）．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于难题．。

(完整版)高中导数经典知识点及例题讲解

(完整版)高中导数经典知识点及例题讲解

§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题自学引导1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为ΔyΔx＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则ΔyΔx＝________，表示函数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率.1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1答 案2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.如何理解Δx ，Δy 的含义Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．2．求平均变化率的步骤求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，π2]上的平均变化率为sin π2－sin0π2－0＝2π.在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.典例剖析题型一求函数的平均变化率例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求t＝0到t＝1的平均速度．分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔSΔt就可以得到平均速度．解(1)由于v＝St＝3t－t2t＝3－t.∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1∴v＝ΔSΔt＝21＝2.∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝( )A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx.∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3答案D题型二平均变化率的快慢比较例2 求正弦函数y＝sin x在0到π6之间及π3到π2之间的平均变化率．并比较大小．分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．解设y＝sin x在0到π6之间的变化率为k1，则k 1＝sinπ6－sin0π6－0＝3π.y ＝sin x 在π3到π2之间的平均变化率为k 2，则k 2＝sin π2－sin π3π2－π3＝1－32π6＝32－3π.∵k 1－k 2＝3π－32－3π＝33－1π>0，∴k 1>k 2.答：函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为32－3π，且3π>32－3π.变式训练2 试比较余弦函数y ＝cos x 在0到π3之间和π3到π2之间的平均变化率的大小．解 设函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率是k 1，则k 1＝cos π3－cos0π3－0＝－32π.函数y ＝cos x 在π3到π2之间的平均变化率是k 2，则k 2＝cosπ2－cos π3π2－π3＝－3π.∵k 1－k 2＝－32π－(－3π)＝32π>0，∴k 1>k 2.∴函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率大于在π3到π2之间的平均变化率．题型三 平均变化率的应用例3 已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．分析 由物体运动方程―→写出位移变化量Δs ―→ΔsΔt解 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量 Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4ΔtΔt＝4＋Δt .变式训练3 一质点作匀速直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝t 2＋1，该质点在[2,2＋Δt ](Δt >0)上的平均速度不大于5，求Δt 的取值范围．解 质点在[2,2＋Δt ]上的平均速度为v －＝s 2＋Δt －s 2Δt＝[2＋Δt 2＋1]－22＋1Δt＝4Δt ＋Δt2Δt＝4＋Δt .又v －≤5，∴4＋Δt ≤5. ∴Δt ≤1，又Δt >0，∴Δt 的取值范围为(0,1]. § 1.1 函数的单调性与极值 1.1.2 导数的概念自学引导1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．3．掌握函数f (x )在某一点x 0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x 0处的导数.课前热身1.瞬时速度．设物体的运动方程为S ＝S (t )，如果一个物体在时刻t 0时位于S (t 0)，在时刻t 0＋Δt 这段时间内，物体的位置增量是ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)．那么位置增量ΔS 与时间增量Δt 的比，就是这段时间内物体的________，即v ＝S t 0＋Δt －S t 0Δt.当这段时间很短，即Δt 很小时，这个平均速度就接近时刻t 0的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻t 0的速度，当Δt →0时，这个平均速度的极限v ＝lim Δt →0ΔS Δt ＝lim Δt →0S t 0＋Δt －S t 0Δt就是物体在时刻t 0的速度即为________． 2．导数的概念．设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近0时，比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，这个常数A 就是函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.用符号语言表达为f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝________1.平均速度 瞬时速度 答 案2.lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.求瞬时速度的步骤(1)求位移增量ΔS ＝S (t ＋Δt )－S (t )；(2)求平均速度v ＝ΔS Δt；(3)求极限limΔt→0ΔSΔt＝limΔt→0S t ＋Δt－S tΔt；(4)若极限存在，则瞬时速度v＝limΔt→0ΔS Δt.2．导数还可以如下定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx＝limΔx→0ΔyΔx.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.3．对导数概念的理解(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义．(2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包含着两层含义：①limΔx→0ΔyΔx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值；②limΔx→0ΔyΔx不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导．(3)Δx称为自变量x的增量，Δx可取正值也可取负值，但不可以为0.(4)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x)＝limx→x0f x－f xx－x与定义中的f′(x0)＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx意义相同．4．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率：ΔyΔx＝f x＋Δx－f x0Δx；(3)取极限，得导数：f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.典例剖析题型一物体运动的瞬时速度例1 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．分析先求出Δs，再用定义求ΔsΔt，当Δt→0时的极限值．解∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t＋Δt)2－(v0t0－12gt2)＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，∴ΔsΔt＝v0－gt0－12g·Δt.∴当Δt→0时，ΔsΔt→v0－gt0.故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.规律技巧瞬时速度v是平均速度v在Δt→0时的极限.因此，v＝limΔt→0v＝limΔt→0ΔsΔt.变式训练1 一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝5t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度。

高考复习 第3篇 第1讲 导数的概念及运算知识点+例题+练习 含答案

高考复习 第3篇 第1讲 导数的概念及运算知识点+例题+练习 含答案

第1讲 导数的概念及运算知 识 梳 理1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．可表示为“当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→A ”．(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的切线的斜率．2．函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数．该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．辨 析 感 悟1．对导数概念的理解(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．(×) 2．对导数的几何和物理意义的理解(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)(4)物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t ＝0.(×) (5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．(×)3．导数运算问题(6)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2a －2x .(×)(7)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x ＝2.(×) (8)函数y ＝e xx 的导数是y ′＝x e x ＋e x x 2.(×) [感悟·提升]1．一个区别 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线唯一，若斜率存在时，切线的斜率k ＝f ′(x 0)；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．2．三个防范 一是并不是所有的函数在其定义域上的每一点处都有导数，如函数y ＝|x |在x ＝0处就没有导数．二是曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别，如(3)．三是对函数求导要看准自变量，是对自变量的求导，而不是对其它参数的求导，如(6)．考点一 导数的运算【例1】 (1)求下列函数的导数：①y ＝x 2sin x ； ②y ＝ln x e x .(2)(2014·济宁模拟)已知f (x )＝x (2 012＋ln x )，f ′(x 0)＝2 013，则x 0＝________.规律方法 (1)进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混．(2)求导前应利用代数、三角恒等变形将函数先化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．【训练1】 (1)已知f (x )＝ln xx 2＋1，则f ′(1)＝________.(2)已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．考点二 利用导数的几何意义求曲线的切线方程【例2】 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．规律方法 利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，注意区分是曲线在某点处的切线，还是过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．求过某点的切线方程时需设出切点坐标，进而求出切线方程．【训练2】 (1)(2014·扬州期末)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．考点三利用曲线的切线方程求参数【例3】(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值．规律方法已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键是这个点不仅在曲线上也在切线上.【训练3】(2013·福建卷改编)设函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值．1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．易错辨析3——求曲线切线方程考虑不周【典例】(2014·杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x 和y＝x2＋a都相切，则a的值是________．[防范措施] (1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P处的切线与在点P处的切线的差异．(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算．【自主体验】若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋154x－9都相切，则a等于________．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·深圳中学模拟)曲线y＝x3在原点处的切线方程为________．2．已知f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.3．(2014·辽宁五校联考)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是________．4．(2014·烟台期末)设函数f(x)＝x sin x＋cos x的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为________．5．曲线y＝sin xsin x＋cos x－12在点M⎝⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为________．6．(2013·广东卷)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.7．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.8．(2013·江西卷)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.二、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x 2； (4)y ＝(x ＋1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1.10．(2014·南通二模)f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数． (1)求曲线y ＝g (x )在点P (1，g (1))处的切线l .(2)是否存在常数a ，使l 也是曲线y ＝f (x )的一条切线．若存在，求a 的值；若不存在，简要说明理由．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·盐城一模)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围是________．2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N *，则f 2 013(x )＝________.3．(2014·武汉中学月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为________．二、解答题4．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．答案基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·深圳中学模拟)曲线y＝x3在原点处的切线方程为________．解析∵y′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0，∴曲线y＝x3在原点处的切线方程为y＝0.答案y＝02．已知f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.答案 e3．(2014·辽宁五校联考)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是________．解析由题意知y′＝3x＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是(1,3)．答案(1,3)4．(2014·烟台期末)设函数f(x)＝x sin x＋cos x的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为________．解析函数f(x)的导函数为f′(x)＝(x sin x＋cos x)′＝x cos x，即k＝g(t)＝t cos t，则函数g(t)为奇函数，图象关于原点对称，排除①，③.当0＜t＜π2时，g(t)＞0，所以排除④，选②.答案 ②5．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为________． 解析 y ′＝cos 2x ＋sin 2x (sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x， 故所求切线斜率k ＝＝12.答案 126．(2013·广东卷)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.解析 y ′＝2ax －1x ，∴y ′|x ＝1＝2a －1＝0，∴a ＝12.答案 127．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________.解析 由题意得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2.答案 －28．(2013·江西卷)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.解析 y ′＝αx α－1，∴斜率k ＝y ′|x ＝1＝α＝2－01－0＝2，∴α＝2. 答案 2二、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x 2； (4)y ＝(x ＋1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1. 解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)先使用三角公式进行化简，得y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . (4)先化简，y ＝x ·1x －x ＋1x－1＝∴y ′＝＝－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x . 10．(2014·南通二模)f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求曲线y ＝g (x )在点P (1，g (1))处的切线l .(2)是否存在常数a ，使l 也是曲线y ＝f (x )的一条切线．若存在，求a 的值；若不存在，简要说明理由．解 (1)由题意知，g (1)＝0，又g ′(x )＝1x ，g ′(1)＝1，所以直线l 的方程为y ＝x－1.(2)设y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线为l ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ ax 0－1x 0＝x 0－1，a ＋1x 20＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2，a ＝34，此时f (2)＝1，即当a ＝34时，l 是曲线y ＝f (x )在点Q (2,1)的切线．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·盐城一模)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围是________． 解析 设P (x 0，y 0)，倾斜角为α，y ′＝2x ＋2，则k ＝tan α＝2x 0＋2∈[0,1]，解得x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N *，则f 2 013(x )＝________.解析 f 1(x )＝f 0′(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f 2 013(x )f 1(x )＝cos x .答案 cos x3．(2014·武汉中学月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为________．解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 012＝12×23×34×…×2 0112 012×2 0122 013＝12 013，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012＝log 2 013(x 1x 2…x 2 012)＝－1.答案 －1二、解答题4．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.。

2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》导数的概念及运算

2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》导数的概念及运算

2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》§3.1导数的概念及运算最新考纲1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数．记作f ′(x )或y ′.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0f (x )＝x α(α∈Q *)f ′(x )＝αx α－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1xf(x)＝log a x(a>0，a≠1)f′(x)＝1 x ln a4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．概念方法微思考1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(×)(3)(2x)′＝x·2x－1.(×)题组二教材改编2．若f(x)＝x·e x，则f′(1)＝.答案2e解析∵f′(x)＝e x＋x e x，∴f′(1)＝2e.3．曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为．答案2x－y＋1＝0解析∵y′＝2(x＋2)2，∴y′|x＝－1＝2.∴所求切线方程为2x－y＋1＝0.题组三易错自纠4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()答案D解析由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5．若f (x )＝sin xx ，则f ′π2＝________.答案－4π2解析∵f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，∴f ′π2＝－4π2.6．(2017·天津)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为．答案1解析∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )，∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)．令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.题型一导数的计算1．已知f (x )＝sin x 21－2cos 2x4f ′(x )＝.答案－12cos x 解析因为y ＝sin x 2－cos x2＝－12sin x ，所以y ′＝－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .2．已知y ＝cos xe x，则y ′＝________.答案－sin x ＋cos x e x解析y ′＝cos xe x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x.3．f (x )＝x (2019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2020，则x 0＝.答案1解析f ′(x )＝2019＋ln x ＋x ·1x＝2020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2020，得2020＋ln x 0＝2020，∴x 0＝1.4．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝.答案－4解析∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.思维升华1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．2．(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例1(1)(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为()A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案A解析由f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，知f (x )＝2x －1x ＝2－1x .∴f ′(x )＝1x2，∴f ′(1)＝1.由导数的几何意义知，所求切线的斜率k ＝1.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．答案x －y －1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴0＝x 0ln x 0，0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.命题点2求参数的值例2(1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝.答案1解析由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ，3＋a ＋b ＝3，×12＋a ＝k ，＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝.答案－2解析∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，∴m ＝－2.命题点3导数与函数图象例3(1)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是()答案B解析由y ＝f ′(x )的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝.答案0解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋30.思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，1＝f (x 1)，0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．跟踪训练(1)(2018·全国Ⅰ)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是．答案y ＝0或4x ＋y ＋4＝0解析设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)，∴x 20＝2x 0(x 0＋1)，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)，即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.(2)设曲线y ＝1＋cos xsin x 在点x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝.答案－1解析∵y ′＝－1－cos xsin 2x，∴y ′π2x =＝－1.由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.(3)(2018·开封模拟)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．答案(－∞，2)解析函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x<2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ()A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π答案C解析因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ＝－1π＋2π×(－1)＝－3π.2．(2018·衡水调研)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为()A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2答案B解析由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知，ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，即x 0＝e.3．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是()A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0答案C解析y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能是()答案C解析原函数的单调性是当x <0时，f (x )单调递增；当x >0时，f (x )的单调性变化依次为增、减、增，故当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )的符号变化依次为＋，－，＋.故选C.5．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.3π4， B.π4，，3π4 D.0答案A解析求导可得y ′＝－4e x ＋e －x ＋2，∵e x ＋e －x ＋2≥2e x ·e －x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时，等号成立，∴y ′∈[－1,0)，得tan α∈[－1,0)，又α∈[0，π)，∴3π4≤α<π.6．(2018·广州调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为()A ．eB ．－e C.1eD ．－1e答案C解析y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|0x x ＝＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.7．(2018·鹰潭模拟)已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为．答案(－2,9)解析∵f (x )＝2x 2＋1，∴f ′(x )＝4x ，令4x 0＝－8，则x 0＝－2，∴f (x 0)＝9，∴点M 的坐标是(－2,9)．8.已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________.答案2解析设切点坐标为(m ，n )(m >0)，对y ＝14x 2－3ln x 求导得y ′＝12x －3x ，可令切线的斜率为12m－3m ＝－12，解方程可得m ＝2(舍去负值).9．若曲线y ＝ln x 的一条切线是直线y ＝12x ＋b ，则实数b 的值为．答案－1＋ln 2解析由y ＝ln x ，可得y ′＝1x，设切点坐标为(x 0，y 0)，由曲线y ＝ln x 的一条切线是直线y＝12x ＋b ，可得1x 0＝12，解得x 0＝2，则切点坐标为(2，ln 2)，所以ln 2＝1＋b ，b ＝－1＋ln 2.10．(2018·云南红河州检测)已知曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，则a ＝______.答案1－e解析因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以曲线f (x )＝x ln x 在x ＝e 处的切线斜率为k ＝2，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e.由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故y ＝x 2＋a 可联立y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e.11.已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为．(用“<”连接)答案(1)1(2)h (0)<h (1)<h (－1)解析(1)由题图可得f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2，故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，所以f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1，得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12x2－13x3＋c－n，则有h(－1)＝56＋c－n，h(0)＝c－n，h(1)＝16＋c－n，故h(0)<h(1)<h(－1)．12．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．解(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)·(x－2)，又切线过点P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.13．已知函数f(x)＝e x－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝e x垂直的切线，则实数m的取值范围是()D．(e，＋∞)答案B解析由题意知，方程f′(x)＝－1e有解，即ex－m＝－1e有解，即ex＝m－1e有解，故只要m－1e>0，即m>1e即可，故选B.14．(2018·泰安模拟)若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，求a＋b的值．解依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，得b ＝0.又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.15．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝5x ＋4sin x －cos x 的“拐点”是M (x 0，f (x 0))，则点M ()A ．在直线y ＝－5x 上B ．在直线y ＝5x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上答案B 解析由题意，知f ′(x )＝5＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由f ″(x 0)＝0，知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝5x 0，故点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝5x 上．16．已知函数f (x )＝x －3x.(1)求曲线f (x )过点(0，－3)的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解(1)f ′(x )＝1＋3x2，设切点为(x 0，y 0)，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0x －x 0)，∵切线过(0，－3)，∴－30－x 0)，解得x 0＝2，∴y 0＝12，∴所求切线方程为y －12＝74(x －2)，即y ＝74x －3.(2)设P (m ，n )为曲线f (x )上任一点，由(1)知过P 点的切线方程为y －n x －m )，即y x －m )，令x ＝0，得y ＝－6m，从而切线与直线x ＝0令y ＝x ，得y ＝x ＝2m ，从而切线与直线y ＝x 的交点为(2m,2m )，∴点P (m ，n )处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12·|－6m |·|2m |＝6，为定值．。

导数的概念及运算-2025高考数学复习

导数的概念及运算-2025高考数学复习

第三章 导数及其应用
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2．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ___y_＝__1e_x___y_＝__－__1e_x________.
[解析] 先求当 x>0 时，曲线 y＝ln x 过原点的切线方程，设切点坐 标为(x0，y0)，则由 y′＝1x，得切线斜率为x10，又切线的斜率为yx00，
xx′＝－sin
x·sin x－cos sin2x
x·cos
x＝－sin12x，C
错误；
(x23x)′＝(x2)′·3x＋x2×(3x)′＝2x3x＋x23xln 3，D 正确．
第三章 导数及其应用
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2．求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋1x； (3)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2； (4)f(x)＝ 2x＋1.
导数的概念及运算
知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 名师讲坛·素养提升 提能训练 练案[15]
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知识梳理 · 双基自测
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知识梳理 知识点一 导数的概念与导数的运算 1．函数的平均变化率 一般地，已知函数 y＝f(x)，把式子fxx22－－fx1x1称为函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，还可以表示为ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
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(4)sin
π3′＝cos
π 3.(×)来自(5)(2x)′＝x·2x－1．( × )
(6)[ln(－x)]′＝(ln x)′.( × )
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第三章 导数及其应用
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高中数学高考总复习导数的概念及运算习题及详解一、选择题1．(文)2010·瑞安中学)函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋Δx 2[答案] C[解析] Δy Δx ＝[(1＋Δx )2＋1]－(12＋1)Δx＝Δx ＋2.(理)二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b 2a ，－b 24a )在第三象限，故选C.2．(2010·江西文，4)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0[答案] B[解析] f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2要善于观察，故选B.[点评] 由f ′(x )＝4ax 3＋2bx 知，f ′(x )为奇函数， ∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．(2010·金华十校)曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 是原点)是以A 为顶点的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 解法一：设B (x 0，x 03)，则k OB ＝tan ∠AOB ＝x 02，∵AB ＝AO ，∴∠BAx ＝2∠BOA ，曲线y ＝x 3在B 处切线斜率k AB ＝3x 02＝tan ∠BAx ＝tan2∠BOA ＝2x 021－x 04，∴x 02＝33，∴k AB ＝3，∴切线l 倾斜角为60°. 解法二：设B (x 0，x 03)，由于y ′＝3x 2，故曲线l 的方程为y －x 03＝3x 02(x －x 0)，令y ＝0得点A ⎝⎛⎭⎫2x 03，0，由|OA |＝|AB |得⎝⎛⎭⎫2x 032＝⎝⎛⎭⎫x 0－2x 032＋(x 03－0)2，当x 0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x 04＝13，故x 02＝33，直线l 的斜率k ＝3x 02＝3，故直线l 的倾斜角为60°.4．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A[答案] A[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a ，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导函数f ′(x )的最大值为3，则f (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2[答案] A[解析] f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最大值为3， 即ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1. 由3x ＋π6＝π2＋k π得，x ＝π9＋k π3 (k ∈Z )．故A 正确．6．(文)(2010·深圳市九校)下图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝4时，f (x )取极大值 [答案] C[解析] 由图象可知，在区间(4,5)上，f ′(x )>0， ∴f (x )在(4,5)上是增函数，故选C.(理)(2010·厦门三中，2011·吉林省实验中学模拟)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )A.12B ．1C ．2D ．0[答案] C[解析] 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2.7．(文)(2010·广东汕头一中)函数f (x )＝e 2x 的图象上的点到直线2x －y －4＝0的距离的最小值是( )A. 3B. 5C.322D.355[答案] B[解析] 设l 为与直线2x －y －4＝0平行的函数f (x )＝e 2x 的图象的切线，切点为(x 0，y 0)，则k l ＝f ′(x 0)＝2e 2x 0＝2，∴x 0＝0，y 0＝1，∴切点(0,1)到直线2x －y －4＝0的距离d ＝55＝5即为所求．(理)(2010·海南五校联考)点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最小距离是( )A.22(1－ln2) B.22(1＋ln2) C.22(12＋ln2)D.12(1＋ln2)[答案] B[解析] 将直线4x ＋4y ＋1＝0作平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，直线l 与曲线切于点P (x 0，y 0)，由x 2－y －2ln x ＝0得y ′＝2x －1x ，∴直线l 的斜率k ＝2x 0－1x 0＝－1⇒x 0＝12或x 0＝－1(舍去)，∴P (12，14＋ln2)，所求的最小距离即为点P (12，14＋ln2)到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离：d ＝|2＋(1＋4ln2)＋1|42＝22(1＋ln2)．8．(文)(2010·广东检测)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a >－1eD ．a <－1e[答案] A[解析] 由y ′＝(e x ＋ax )′＝e x ＋a ＝0得，e x ＝－a ， 即x ＝ln(－a )>0⇒－a >1⇒a <－1.(理)若函数f (x )＝x 3－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞)D ．(－1,0)[答案] B[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－3b .令f ′(x )＝0，得x ＝±b ，易知f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上单调增，在(－b ，b )上单调减，因此函数f (x )在区间(0,1)内有极小值即b ∈(0,1)，所以b ∈(0,1)．[点评] 函数和导数的复合问题能有效实现函数性质与导函数结构之间的相互转化，导函数在分析函数的单调性及单调区间、极值和最值方面有较强的优势；同时导数也可以在解释函数性质的基础上，解决诸如不等式的恒成立问题、实际问题的最优解问题、函数零点的判定问题等等；因此，导数与函数性质的结合始终是高考命题的重点．9．(文)(2010·黑龙江省哈三中)已知y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，当y ′＝2时，x 等于( ) A.π3 B.23π C.π4D.π6[答案] C[解析] y ′＝(tan x )′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ＝2，∴cos 2x ＝12，∴cos x ＝±22， ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x ＝π4. (理)(2010·东北师大附中模拟)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．α>β>γB ．β>α>γC ．γ>α>βD ．β>γ>α[答案] C[解析] 由g (x )＝g ′(x )得，x ＝1，∴α＝1，由h (x )＝h ′(x )得，ln(x ＋1)＝1x ＋1，故知1<x ＋1<2，∴0<x <1，即0<β<1，由φ(x )＝φ′(x )得，x 3－1＝3x 2，∴x 2(x －3)＝1， ∴x >3，故γ>3，∴γ>α>β. [点评] 对于ln(x ＋1)＝1x ＋1，假如0<x ＋1<1，则ln(x ＋1)<0，1x ＋1>1矛盾；假如x ＋1≥2，则1x ＋1≤12，即ln(x ＋1)≤12，∴x ＋1≤e ，∴x ≤e －1与x ≥1矛盾．10．(文)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，排除C ； ∵f ′(0)＝1，排除D ；由f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－π2<0，f ′(2π)＝1>0，排除B ，故选A. (理)(2010·胶州三中)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4D ．f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 [答案] A[解析] f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，由f ′(x )的图象知，Aω＝2，设周期为T ，则T 2＝3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π，∴T ＝2πω＝4π，∴ω＝12，∴A ＝4，∵f ′(x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π2，0，∴2cos ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＝0，∴π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A.二、填空题11．(文)若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为________．[答案] (1,0)[解析] ∵f ′(x )＝4x 3－1，由题意4x 3－1＝3， ∴x ＝1.故切点P (1,0)．(理)(2010·广东实华梧州联考)已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，则x 0的值为________．[答案] 0或－23[解析] 由条件知， 2x 0＝－3x 02，∴x 0＝0或－23.12．(文)(2010·湖北黄冈模拟)已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________.[答案] 6[解析] f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)，令x ＝2得， f ′(2)＝12＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝－12，∴f (x )＝3x 2－24x ，∴f ′(x )＝6x －24，∴f ′(5)＝6.(理)(2010·山东省实验中学模拟)若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则⎠⎛03f (x )d x＝________.[答案] －18[解析] ∵f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，∴f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝－4，∴f (x )＝x 2－8x ＋3， ∴⎠⎛03f (x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2＋3x 03＝－18. [点评] 注意f ′(2)是一个常数．13．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝________. [答案] ±1[解析] 因为y ′＝3x 2，所以曲线在(a ，a 3)处切线斜率为3a 2， 切线方程为：y －a 3＝3a 2(x －a )所围成三角形如右图所示的阴影部分．设切线与x 轴交于A 点，则A ⎝⎛⎭⎫23a ，0；x ＝a 与x 轴交于点B (a,0)；设切线与x ＝a 交于M (a ，a 3)，S △ABM ＝12⎝⎛⎭⎫a －2a 3·a 3＝16，得a ＝±1. 14．(文)已知f (x )＝x ＋ln x ，g (x )＝x 3＋x 2－x (x >0)，h (x )＝e x －x ，p (x )＝cos2x,0<x <π的导函数f ′(x )，g ′(x )，h ′(x )，p ′(x )的零点依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则将x 1，x 2，x 3，x 4按从小到大用“<”连接起来为________．[答案] x 1<x 3<x 2<x 4[解析] 由f ′(x )＝1＋1x ＝0得x ＝－1；由g ′(x )＝3x 2＋2x －1＝0得x ＝－1或x ＝13，∵x >0，∴x ＝13；由h ′(x )＝e x －1＝0得，x ＝0；由p ′(x )＝－2sin2x ＝0得，2x ＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k π2，∵0<x <π，∴x ＝π2，∴x 1＝－1，x 2＝13，x 3＝0，x 4＝π2，故有x 1<x 3<x 2<x 4.(理)设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则φ＝________. [答案] π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， 由条件知cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－3x －φ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ－π6为奇函数，且0<φ<π，∴φ＝π6. 三、解答题15．(文)(2010·吉林市质检)定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件：①f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数； ②f (x )的导函数是偶函数；③f (x )在x ＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直． 求函数y ＝f (x )的解析式． [解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∵f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数， ∴f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0① 由f (x )的导函数是偶函数得：b ＝0②又f (x )在x ＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直， ∴f ′(0)＝c ＝－1③由①②③得：a ＝13，b ＝0，c ＝－1，即f (x )＝13x 3－x ＋3.(理)(2010·湖南考试院调研)已知函数f (x )＝1－m ＋ln xx ，m ∈R .(1)求f (x )的极值；(2)若ln x －ax <0在(0，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． [解析] (1)由导数运算法则知，f ′(x )＝m －ln xx 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e m .当x ∈(0，e m )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(e m ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 故当x ＝e m 时，f (x )有极大值，且极大值为f (e m )＝e －m .(2)欲使ln x －ax <0在(0，＋∞)上恒成立，只需ln xx <a 在(0，＋∞)上恒成立，等价于只需ln xx在(0，＋∞)上的最大值小于a . 设g (x )＝ln x x (x >0)，由(1)知，g (x )在x ＝e 处取得极大值1e .所以a >1e，即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 16．(2010·北京市延庆县模考)已知函数f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，(0<a <b )． (1)若函数f (x )在点(1,0)处的切线的倾斜角为3π4，求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，求f (x )在区间[0,3]上的最值； (3)设f (x )在x ＝s 与x ＝t 处取得极值，其中s <t ， 求证：0<s <a <t <b .[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，tan 3π4＝－1.由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0f ′(1)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－(a ＋b )＋ab ＝03－2(a ＋b )＋ab ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2或a ＝2，b ＝1， 因为a <b ，所以a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，f ′(x )＝3x 2－6x ＋2， 令f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0，解得x 1＝1－33，x 2＝1＋33. 在区间[0,3]上，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(3)证明：f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，依据题意知s ，t 为二次方程f ′(x )＝0的两根． ∵f ′(0)＝ab >0，f ′(a )＝a 2－ab ＝a (a －b )<0， f ′(b )＝b 2－ab ＝b (b －a )>0，∴f ′(x )＝0在区间(0，a )与(a ，b )内分别有一个根． ∵s <t ，∴0<s <a <t <b .17．(文)(2010·北京东城区)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． [解析] (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋bx.又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0f (1)＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0a ＝12， 可得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．(理)(2010·北京东城区)已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)＋(x ＋1)2在x ＝1处有极值． (1)求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)令g (x )＝f ′(x )，若曲线g (x )在(1，g (1))处的切线与两坐标轴分别交于A 、B 两点(O 为坐标原点)，求△AOB 的面积．[解析] (1)因为f (x )＝a ln(x ＋1)＋(x ＋1)2， 所以f ′(x )＝ax ＋1＋2x ＋2.由f ′(1)＝0，可得a2＋2＋2＝0，∴a ＝－8.经检验a ＝－8时，函数f (x )在x ＝1处取得极值， 所以a ＝－8.(2)f (x )＝－8ln(x ＋1)＋(x ＋1)2， f ′(x )＝－8x ＋1＋2x ＋2＝2(x －1)(x ＋3)x ＋1.而函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，f (x )的单调减区间为(－1,1)单调增区间为(1，＋∞)． (3)由于g (x )＝f ′(x )＝－8x ＋1＋2x ＋2，所以g ′(x )＝8(x ＋1)2＋2， 当x ＝1时，g ′(1)＝4，g (1)＝0. 所以切线斜率为4，切点为(1,0)，所以切线方程为y ＝4(x －1)，即4x －y －4＝0.高考总复习含详解答案 令x ＝0，得y ＝－4，令y ＝0，得x ＝1.所以△AOB 的面积S ＝12×|－4|×1＝2.。

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