高中数学高考总复习导数的概念及运算习题及详解

高中数学高考总复习导数的概念及运算习题及详解

一、选择题

1．(文)2010·瑞安中学)函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋Δx

D ．2＋Δx 2

[答案] C

[解析] Δy Δx ＝[(1＋Δx )2＋1]－(12＋1)Δx

＝Δx ＋2.

(理)二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

[答案] C

[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b 2a ，－b 2

4a )在第三象限，

故选C.

2．(2010·江西文，4)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2

D ．0

[答案] B

[解析] f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2

要善于观察，故选B.

[点评] 由f ′(x )＝4ax 3＋2bx 知，f ′(x )为奇函数， ∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.

3．(2010·金华十校)曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 是原点)是以A 为顶点的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．120°

[答案] C

[解析] 解法一：设B (x 0，x 03)，则k OB ＝tan ∠AOB ＝x 02，

∵AB ＝AO ，∴∠BAx ＝2∠BOA ，曲线y ＝x 3在B 处切线斜率k AB ＝3x 02＝tan ∠BAx ＝tan2∠BOA ＝2x 02

1－x 04

，

∴x 02＝

3

3

，∴k AB ＝3，∴切线l 倾斜角为60°. 解法二：设B (x 0，x 03)，由于y ′＝3x 2，故曲线l 的方程为y －x 03＝3x 02(x －x 0)，令y ＝0得点A ⎝⎛⎭⎫2x 03，0，由|OA |＝|AB |得⎝⎛⎭⎫2x 032＝⎝⎛⎭⎫x 0－2x 0

32＋(x 03－0)2，当x 0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x 04＝13，故x 02＝3

3

，直线l 的斜率k ＝3x 02＝3，故直线l 的倾斜角为60°.

4．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )

A ．A >

B >

C B ．A >C >B C ．B >A >C

D ．C >B >A

[答案] A

[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )

(a ＋1)－a ，表

示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .

5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π

6－1(ω>0)的导函数f ′(x )的最大值为3，则f (x )图象的一条对称轴方程是( )

A ．x ＝π

9

B ．x ＝π

6

C ．x ＝π

3

D ．x ＝π

2

[答案] A

[解析] f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π

6的最大值为3， 即ω＝3，

∴f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎫3x ＋π

6－1. 由3x ＋π6＝π2＋k π得，x ＝π9＋k π

3 (k ∈Z )．

故A 正确．

6．(文)(2010·深圳市九校)下图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )

A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数

B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数

C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数

D ．当x ＝4时，f (x )取极大值 [答案] C

[解析] 由图象可知，在区间(4,5)上，f ′(x )>0， ∴f (x )在(4,5)上是增函数，故选C.

(理)(2010·厦门三中，2011·吉林省实验中学模拟)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )

A.12

B ．1

C ．2

D ．0

[答案] C

[解析] 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2.

7．(文)(2010·广东汕头一中)函数f (x )＝e 2x 的图象上的点到直线2x －y －4＝0的距离的最小值是( )

A. 3

B. 5

C.322

D.355

[答案] B

[解析] 设l 为与直线2x －y －4＝0平行的函数f (x )＝e 2x 的图象的切线，切点为(x 0，y 0)，则k l ＝f ′(x 0)＝2e 2x 0＝2，∴x 0＝0，y 0＝1，∴切点(0,1)到直线2x －y －4＝0的距离d ＝55

＝5即为所求．

(理)(2010·海南五校联考)点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最小距离是( )

A.2

2

(1－ln2) B.

2

2

(1＋ln2) C.

22(1

2

＋ln2)

D.1

2

(1＋ln2)