高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系

高中数学总复习-

第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系

【知识结构图】

第3课空间中的平行关系

【考点导读】

1 •掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。

2 •明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。

3. 要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。

【基础练习】

1. 若a、b为异面直线，直线c // a,则c与b的位置关系是异面或相交

2 •给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行•②垂直于同一平面的两个平面互相平

行.

③若直线1(2与同一平面所成的角相等，则1」2互相平行.

④若直线1(2是异面直线，则与1(2都相交的两条直线是异面直线.

其中假命题的个数是_4 _______ 个。

3•对于任意的直线I与平面a,在平面a内必有直线m使m与I 垂直。:

4. 已知a、b、c是三条不重合的直线，

a、B、r是三个不重合的平面，下面

六个命题：

①a// c, b// c a// b；②a // r, b II r a // b；③a// c, B // c a// B ;

④a// r, B // r a// B ;⑤a// c,a// c a//a；⑥a // r ,a// r a //a.

其中正确的命题是①④________

【范例导析】例1.如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形.

求证：AB//平面EFG

证明：•面EFGH是截面.

•••点E, F, G, H分别在BC, BD, DA AC上.

••• EH 面ABC GF 面ABD

由已知,EH// GF. • EH// 面ABD

又T EH，—面BAC 面AB6面ABD=AB

•EH// AB.

•AB// 面EFG

例2. 如图，在正方体ABC—A1B1C1D中，点N在BD上，点M在BC上，并且CM=DN. D

C

求证:MN//平面AABB.

分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。本题可以采 用任何一种转化方式。

简证：法1:把证“线面平行”转化为证“线线平行”。

即在平面ABBA i 内找一条直线与MN 平行，如图所示作平行线即可

法2:把证“线面平行”转化为证“线线平行”。连CN 并延长交直线BA 于点P , 连B i P ,就是所找直线，然后再设法证明 MN B i P.

法3:把证“线面平行”转化为证“面面平行”。

过M 作MQ//BB 交BC 于B i ,连NQ 则平面MNQ

与平面ABBA i 平行，

从而证得MN/平面ABBA.

点评：证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。

【反馈演练】 i •对于平面 和共面的直线m 、n,下列命题中真命题是(3)。

(i)

若 m ,m n,则 n// (2)若 m// ,n // ,则 m//

n (3)若m ,n// ,则m// n (4)若m 、n 与 所成的角相等，则m// n

2. 设a 、b 是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 (2) 0 (1) 经过直线a 有且只有一个平面平行于直线 b

(2) 经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线 b

(3) 存在分别经过直线a 和b 的两个互相平行的平面

(4) 存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面

3. 关于直线a 、b 、I 及平面M N.下列命题中正确的是(4)

。

(i) 若 a // M, b // M,则 a // b C i

C

(2) 若 a II M b ±a ,则 b ± M

(3) 若a^M 瞎M 且I 丄a , l 丄b ,贝U l 丄M

(4) 若 a 丄 M a I N,则 Ml N

4•“任意的a ,均有all ”是“任意b ,均有b// ”的 充要条件 5. 在正方体AG 中,过A i C 且平行于 AB 的截面是

面AB i CD . 6. 在长方体ABC —AB 1CD 中,经过其对角线BD 的平面分别与棱AA,CG 相交于 E,F 两点，则四边形EBFD 勺形状为 _______________ 。

7. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 为PE 的中点, 求证：PD//平面MAC.

证明连AC 交BD 于O,连MO,

则MO 为APED 的中位线，

• ••PD//MO,tPD

•••PD// 平面 MAC. 8 •如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、

N 分别是AB 、PC 的中点+ (1)求证：MN //平面PAD ; (2) 若MN BC 4 , PA 4.3 ,求异面直线PA 与MN 所成的角的

大小+ 略证：(1)取PD 的中点H,连接AH,

1 NH//DC,NH DC 2

NH // AM , NH AM AMNH 为平行四边形

MN //AH ,MN PAD , AH PAD MN // PAD (2):连接AC 并取其中点为O,连接OM ON 则OM 平行且等于BC 的一半， ON 平行且等于PA 的一半，所以 ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角，由 MN BC 4 , PA 4.3 得，OM=2 ON=2・ 3

所以 ONM 30°,即异面直线PA 与MN 成30°的角.

9•两个全等的正方形 ABC 併口 ABEF 所在平面相交于 AB, M€ AC , N€ FB,且AMtFN, 求证：MN/平面BCE

平面MAC,M O 平面MAC,

P H N

D C