初等数学研究答案
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2.对自然数证明乘法单调性：设a，b，c∈N则
（1）若a＝b，则ac＝bc
（2）若a＜b，则ac＜bc
（3）若a＞b，则ac＞bc
证明：（1）设命题能成立的所有c组成的集合M.
∵a·1=b·1
∴1∈M假设c∈M即则(ac) ′= (bc) ′﹤＝﹥ac + 1 = bc + 1 重复以上过程a次，可得到ac + a = bc + a = bc + b
即a(c+1) = b(c+1)
∴c∈M由归纳公理知M = N.所以命题对任意自然数c成立(2)若a < b,则有k∈N,使得a + k = b,由(1) (a + k)c = bc
ac + kc = bc﹤＝﹥ac < bc
(3)依据(2)由对逆性可得。
7.设α=(3+13) / 2 , β=( 3-13) / 2 , An= (αn-βn)/ 13(n=1,2,…..).
(1) 以α,β为根作一元二次方程;
(2) 证明A n+2=3A n+1+A n;
(3) 用数学归纳法证明A3n 是10的倍数；
解：
(1) α+ β=3, α β=-1,
∴由韦达定理得以α,β为根作一元二次方程为：
X2-3X-1=0
(2) 证：3A n+1+A n
=3(αn+1-βn+1)/13+(αn-βn)/13
=( α+ β) (αn+1-βn+1) /13+(αn-βn)/13
= (αn+2 -βn+2 - α βn+1 + β αn+1 + αn- βn)/13
= (αn+2 -βn+2)/13
=A n+2
(3) 证：
①当n=1时，有A3 =10，则10| A3。
②假设当n=k时，有10| A3k
则当n=k+1时，
A3k+3 = 3A 3k+2+A3k+1
=3(3A 3k+1+A3k) +A3k+1
=10 A 3k+1 +3 A3k
10|10 A 3k+1 , 10| 3A3。
∴ 10|10 A 3k+3
由①②得，对∀n∈N*,有10| A3n。
9.证明整数集具有离散性。