2020年中考数学动态问题分项破解专题09 动点类题目图形最值问题探究(教师版)

专题09 动点类题目图形最值问题探究

题型一：矩形中的相似求解

例1.（2019·绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，MN 、EF 交于点P . 记k =MN :EF .

（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值.

（2）若a ：b 的值为2

1，求k 的最大值和最小值. （3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE =60°，MP =EF =3PE 时，求a ：b 的值.

B

M

F N

【分析】（1）当a ：b =1时，可得四边形ABCD 为正方形，由MN ⊥EF ，可证MN =EF ，即k =1；（2）先确定MN 和EF 的取值范围，当MN 取最大值，EF 取最小值时，k 的值最大，否则反之；（3）根据N 是矩形顶点，分两种情况讨论，即N 分别与D 点和C 点重合，依据不同图形求解.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）当a ：b =1时，即AB =BC ，

∵四边形ABCD 是矩形，

∴四边形ABCD 是正方形，

过F 作FG ⊥BC 于G ，过M 作MH ⊥CD 于H ，如下图所示，

B

D

N

H

∵MN ⊥EF ，

∴∠NMH =∠EFG ，

∵∠MHN =∠FGE =90°，MH =FG ，

∴△MNH ≌△FEG ，

∴MN =EF ，即k =1；

（2）由题意知：b =2a ，

所以得：a ≤EF

，2a ≤MN

,

所以当MN 取最大值，EF 取最小值时，k

；

当MN 取最小值，EF 取最大值时，k

取最小值，为5；

（3）如下图所示，

B

E M

F N

连接FN ，ME ，

设PE =x ，则EF =MP =3x ，PF =2x ，MN =3EF =9x ，PN =6x ，

∴PF PN

PE PM

又∵∠FPN =∠MPE ，

∴△FPN ∽△EPM ，

∴∠PFN =∠PEM ，

∴FN ∥ME ，

①当N 点与D 点重合时，由FN ∥ME 得，M 点与B 点重合，

B

E （M ）（N ）

过F 作FH ⊥BD 于H ，

∵∠MPE =60°，

∴∠PFH =30°，

∴PH =x ，FH ，BH =BP +PH =4x ，DH =5x ，

在Rt △DFH 中，tan ∠FDH

=5

， 即a :b

②当N 点与C 点重合时，过

B

（N ）

过点E 作EH ⊥MN 于H ，连接

EM ，

则PH =x ，EH ，CH =PC +PH =13x ，

在Rt △ECH 中，tan ∠ECH ∵ME ∥FC ，

∴∠MEB

=∠FCB =∠CFD ，

∵∠B =∠D ，

∴△MEB ∽△CFD ，

∴CD FC MB ME

==2,

即a :b =213

CD BM BC BC ==; 综上所述，a :b 的值为

5或13. 题型二：二次函数中几何图形最值求解

例2.（2019·衡阳）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．

（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，

求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入二次函数解析式求解；（2）由△POE ∽△CBP 得出比例线段，可表示OE 的长，利用二次函数的性质可求出线段OE 的最大值；（3）过点M 作MH ∥y 轴交BN 于点H ，由S △MNB ＝S △BMH +S △MNH 即可求解．

【答案】见解析.

【解析】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0），

10930

b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩

， 抛物线函数关系表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；

（2）由题意知：AB ＝OA +OB ＝4，

在正方形ABCD 中，∠ABC ＝90°，PC ⊥BE ，

∴∠OPE +∠CPB ＝90°，

∠CPB +∠PCB ＝90°，

∴∠OPE ＝∠PCB ，

又∵∠EOP ＝∠PBC ＝90°，

∴△POE ∽△CBP ， ∴BC OP BP OE

=， 设OP ＝x ，则PB ＝3﹣x ， ∴

43x x OE =-，

∴OE ＝()221139344216

x x x ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭， 当32x =时，即OP =32时线段OE 长有最大值，最大值为916

． （3）存在．

如图，过点M 作MH ∥y 轴交BN 于点H ，

∴N 点坐标为（0，﹣3），

设直线BN 的解析式为y ＝kx +b ，

∴303k b b +=⎧⎨=-⎩

， ∴直线BN 的解析式为y ＝x ﹣3，

设M （m ，m 2﹣2m ﹣3），则H （m ，m ﹣3），

∴MH ＝m ﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣m 2+3m ，

∴S △MNB ＝S △BMH +S △MNH ＝()221132732228

m m m ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭， ∴a ＝32时，△MBN 的面积有最大值，最大值是278，此时M 点的坐标为（31524

-，）． 题型三：二次函数中面积最值的求解

例3.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线2

:2C y ax x c =++相交于点A （-1,0）和点B （2,3）两点.

（1）求抛物线C 函数表达式；

（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；