2020年中考数学动态问题分项破解专题09 动点类题目图形最值问题探究(教师版)
专题09 动点类题目图形最值问题探究
题型一：矩形中的相似求解
例1.（2019·绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，MN 、EF 交于点P . 记k =MN :EF .
（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值. （2）若a ：b 的值为
2
1
，求k 的最大值和最小值. （3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE =60°，MP =EF =3PE 时，求a ：b 的值.
B
M F
N
【分析】（1）当a ：b =1时，可得四边形ABCD 为正方形，由MN ⊥EF ，可证MN =EF ，即k =1；（2）先确定MN 和EF 的取值范围，当MN 取最大值，EF 取最小值时，k 的值最大，否则反之；（3）根据N 是矩形顶点，分两种情况讨论，即N 分别与D 点和C 点重合，依据不同图形求解.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）当a ：b =1时，即AB =BC ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴四边形ABCD 是正方形，
过F 作FG ⊥BC 于G ，过M 作MH ⊥CD 于H ，如下图所示，
B
D N
H
∵MN ⊥EF ， ∴∠NMH =∠EFG ，
∵∠MHN =∠FGE =90°，MH =FG ， ∴△MNH ≌△FEG ，
∴MN =EF ，即k =1； （2）由题意知：b =2a ，
所以得：a ≤EF
，2a ≤MN
,
所以当MN 取最大值，EF 取最小值时，k
；
当MN 取最小值，EF 取最大值时，k
取最小值，为5
； （3）如下图所示，
B
E
M F
N
连接FN ，ME ，
设PE =x ，则EF =MP =3x ，PF =2x ，MN =3EF =9x ，PN =6x ， ∴
PF PN
PE PM
又∵∠FPN =∠MPE ， ∴△FPN ∽△EPM ， ∴∠PFN =∠PEM ， ∴FN ∥ME ，
①当N 点与D 点重合时，由FN ∥ME 得，M 点与B 点重合，
B
E
（M ）
（N ）
过F 作FH ⊥BD 于H ， ∵∠MPE =60°， ∴∠PFH =30°，
∴PH =x ，FH ，BH =BP +PH =4x ，DH =5x ，
在Rt △DFH 中，tan ∠FDH
=
5
， 即a :b
②当N 点与C 点重合时，过
B
（N ）
过点E 作EH ⊥MN 于H ，连接
EM ， 则PH =x ，EH ，CH =PC +PH =13x ，
在Rt △ECH 中，tan ∠ECH ∵ME ∥FC ，
∴∠MEB
=∠FCB =∠CFD ， ∵∠B =∠D ， ∴△MEB ∽△CFD ，
∴
CD FC
MB ME
=
=2,
即a :b =
213
CD BM BC BC ==; 综上所述，a :b 的值为
5或13
. 题型二：二次函数中几何图形最值求解
例2.（2019·衡阳）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，
求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入二次函数解析式求解；（2）由△POE ∽△CBP 得出比例线段，可表示OE 的长，利用二次函数的性质可求出线段OE 的最大值；（3）过点M 作MH ∥y 轴交BN 于点H ，由S △MNB ＝S △BMH +S △MNH 即可求解． 【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0），
10
930b c b c -+=??
++=?， 解得：23b c =-??=-?
，
抛物线函数关系表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3； （2）由题意知：AB ＝OA +OB ＝4，
在正方形ABCD 中，∠ABC ＝90°，PC ⊥BE ， ∴∠OPE +∠CPB ＝90°， ∠CPB +∠PCB ＝90°， ∴∠OPE ＝∠PCB ， 又∵∠EOP ＝∠PBC ＝90°， ∴△POE ∽△CBP ， ∴
BC OP
BP OE =
， 设OP ＝x ，则PB ＝3﹣x ， ∴
43x
x OE
=
-，
∴OE ＝()2
21139
344216
x x x ??-+=--+ ???，
当32x =
时，即OP =32时线段OE 长有最大值，最大值为916
． （3）存在．
如图，过点M 作MH ∥y 轴交BN 于点H ，
∴N 点坐标为（0，﹣3）， 设直线BN 的解析式为y ＝kx +b ， ∴30
3k b b +=??
=-?
，
∴直线BN 的解析式为y ＝x ﹣3，
设M （m ，m 2﹣2m ﹣3），则H （m ，m ﹣3）， ∴MH ＝m ﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣m 2+3m ，
∴S △MNB ＝S △BMH +S △MNH ＝()2
21132732228
m m m ??-+=--+ ???，
∴a ＝
32时，△MBN 的面积有最大值，最大值是27
8，此时M 点的坐标为（31524
-，）． 题型三：二次函数中面积最值的求解
例3.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线2
:2C y ax x c =++相交于点A （-1,0）和点B （2,3）两点.
（1）求抛物线C 函数表达式；
（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；
（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线4
17
=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）把A （-1,0），B （2,3）代入抛物线得：
20443a c a c -+=??
++=?
解得??
?=-=3
1
c a
∴抛物线的函数表达式为：y =－x 2+2x +3 （2）∵A （-1,0），B （2,3）， ∴直线AB 的解析式为：y =x +1，
如下图所示，过M 作MN ∥y 轴交AB 于N ，
设M (m ,－m 2+2m +3)，N (m ,m +1)，（-1＜m ＜2） ∴MN =－m 2+m +2，
∴S △ABM =S △AMN +S △BMN =1
()2
B A x x MN - ∴S △ABM =2213127(2)3()2228
m m m -++?=--+，
∴当21=
m 时，△ABM 的面积有最大值827，而S □MANB =2S △ABM =427，此时17(,)22
M （3）存在，点15
(1,)4
F
理由如下：抛物线顶点为D ，则D （1,4），则顶点D 到直线417=y 的距离为4
1
， 设(1,)F n 、2
(,23)P x x x -++，设P 到直线4
17
=y 的距离为PG . 则PG =
22175(23)244
x x x x --++=-+， ∵P 为抛物线上任意一点都有PG =PF ， ∴当P 与顶点D 重合时，也有PG =PF .
此时PG =41，即顶点D 到直线4
17=y 的距离为14，
∴PF =DF =41
，
∴)4
15,1(F ，
∵PG =PF ， ∴PG 2=PF 2， ∵2222222153(1)(
23)(1)(2)44
PF x x x x x x =-++--=-+-+ 2225
(2)4PG x x =-+
∴222222153(1)(23)(1)(2)44x x x x x x -++--=-+-+225
(2)4
x x =-+
整理化简可得0x =0， ∴当)4
15
,
1(F 时，无论x 取任何实数，均有PG =PF . 题型四：反比例函数中面积最值的求解
例4.（2018·扬州一模） 如图1，反比例函数y = k
x （x ＞0）的图象经过点A （23，1），射线AB 与反比例
函数图象交于另一点B （1，a ），射线AC 与y 轴交于点C ，∠BAC =75°，AD ⊥y 轴，垂足为D ． （1）求k 的值；
（2）求tan ∠DAC 的值及直线AC 的解析式；
（3）如图2，M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过M 作直线l ⊥x 轴，与AC 相交于点N ，连接CM ，求△CMN 面积的最大值．
图1 图2 【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵将A（23，1）代入反比例函数y＝k
x
，
∴k＝23；
（2）由（1）知，反比例函数解析式为y＝23
，
∵点B（1，a）在反比例函数y＝23
的图象上，
∴a＝23，
∴点B（1，23）
过B作BE⊥AD于E，如下图所示，
则AE＝BE＝31．
∴∠ABE＝∠BAE＝45°
又∵∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝30°
∴DC＝tan30°·AD 3
232，
∴OC＝1，即C（0，﹣1）
设直线AC的解析式为y＝kx+b
∴
231
1
k b
b
?+=
?
?
=-
??
，
解得
3
3
1
k
b
?
=
?
?
?=-
?
∴直线AC的解析式为y＝
3
3
x﹣1
（3）设M（m，
23
m
），N（m，
3
3
m﹣1）
则MN＝
23
m
－（
3
3
m﹣1）＝
23
m
﹣
3
3
m+1，
∴S△CMN＝1
2
（
23
m
﹣
3
3
m+1）m＝﹣m2+m+
＝﹣
3
（m﹣
3
）2+
93
当m＝
3
时，△CMN的面积有最大值，最大值为
93
.
题型五：反比例函数中面积最值的求解
例5.（2019·达州）如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c过点A(1,0)，B(－3,0).
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）=4时，求点D的坐标；
（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A交BE于点M，交y 轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m－n的最大值.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
01
093
b c
b c
=-++
?
?
=--+
?
，
解得b＝﹣2，c＝3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝－（x+1）2+4，
∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；
（2）由（1）知：抛物线对称轴为x ＝﹣1， 设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，H （﹣1，0）， 在Rt △CHO 中，CH ＝4，OH ＝1， ∴tan ∠COH ＝
CH
OH
＝4， ∵∠COH ＝∠CAO +∠ACO ， ∴当∠ACO ＝∠CDO 时，
tan （∠CAO +∠CDO ）＝tan ∠COH ＝4， 如下图所示，当点D 在对称轴左侧时，
∵∠ACO ＝∠CDO ，∠CAO ＝∠CAO ， ∴△AOC ∽△ACD ， ∴
AC AO
AD AC
=， ∵AC ＝25AO ＝1， ∴AD ＝20，OD ＝19， ∴D （﹣19，0）；
当点D 在对称轴右侧时，点D 关于直线x ＝1的对称点D '的坐标为（17，0）， ∴点D 的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；
（3）设P （a ，﹣a 2﹣2a +3），设直线P A 的解析式为：y =kx +b ， 将P （a ，﹣a 2﹣2a +3），A （1，0）代入y ＝kx +b ，
223
0ak b a a k b ?+=--+?
+=?
， 解得，k ＝﹣a ﹣3，b ＝a +3， ∴y ＝（﹣a ﹣3）x +a +3， 当x ＝0时，y ＝a +3， ∴N （0，a +3），
如下图所示，
∵m=S△BPM＝S△BP A﹣S四边形BMNO﹣S△AON，n=S△EMN＝S△EBO﹣S四边形BMNO，∴m－n＝S△BP A﹣S△EBO﹣S△AON
＝1
2
×4×（﹣a2﹣2a+3）﹣
1
2
×3×3﹣
1
2
×1×（a+3）
＝﹣2（a+9
8
）2+
81
32
，
∴当a＝﹣9
8
时，m－n有最大值
81
32
.
题型六：二次函数中最值及最短路径题型
例6.（2019·绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+3
5
P A的最小值．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由平移知，平移后得到的抛物线解析式为y=a（x-1）2-2，
∵OA =1，
∴点A 的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得，4a -2=0， 得：a =1
2
，
∴抛物线的解析式为()2
1122y x =
--，即21322
y x x =--． 令y =0，解得x 1=-1，x 2=3， ∴B （3，0）， ∴AB =OA +OB =4， ∵△ABD 的面积为5， ∴S △ABD =12
AB ·y D =5 ∴y D =5
2，
2513
222
x x =--，解得x 1=-2，x 2=4， ∴D （4，5
2
），
设直线AD 的解析式为y =kx +b ，
∴5420k b k b ?+=???-+=?，解得：12
12
k b ?
=????=??，
∴直线AD 的解析式为：y =12x +12
.
（2）过点E 作EM ∥y 轴交AD 于M ，如下图所示， 设E （a ，12
a 2－a －32
），M （a ，12
a +12
），
∴ME =－12a 2+32
a +2，
∴S△ACE=S△AME－S△CME=－1
4
（a2－3a－4）=－
1
4
（a－
3
2
）2+
25
16
，
∴当a=3
2
时，△ACE的面积有最大值，最大值是
25
16
，此时E点坐标为（
3
2
，
15
8
-）．
（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交轴于点P，
∴AG=5
2
，EG=
15
8
，
∴
4
3 AG
EG
=,
∵∠AGE=∠AHP=90°
∴sin∠EAG=
3
5 PH EG
AP AE
==，
∴PH=3
5 AP，
∵E、F关于x轴对称，∴PE=PF，
∴PE+3
5
AP=FP+HP=FH，此时FH最小，
∵EF=15
4
，∠AEG=∠HEF，
∴sin∠AEG=sin∠HEF=
4
5 AG FH
AE AE
==
∴FH=3．
即PE+3
5
PA的最小值是3．
例7.（2019·潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO 的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．
（1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以
PE 为半径的⊙P 与直线AD 相交于另一点F ．当EF ＝45时，求点P 的坐标．
【答案】见解析．
【解答】解：（1）∵AC 为△ABO 的中线，点B （0，4）， ∴点C （0，2）， ∵点A （4，0）， 点M 为线段AC 的中点， 即M （2，1）；
（2）∵⊙P 与直线AD ，则∠CAD ＝90°， 设∠CAO ＝α，则∠CAO ＝∠ODA ＝∠PEH ＝α，
tan ∠CAO ＝
12
OC OA =＝tan α，则sin α5cos α25
， AC 10CD ＝sin AC
α
＝10，
则D （0，﹣8），
设直线AD 的解析式为：y ＝mx +n ： 得：8
40b k b =-??
+=?
，解得：k =2，b =－8，
直线AD 的表达式为：y ＝2x ﹣8；
（3）抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣2）2+1， 将点B 坐标代入上式并解得：a ＝34
， 故抛物线的表达式为：y ＝34
x 2﹣3x +4， 过点P 作PH ⊥EF ，则EH ＝1
2EF ＝5
cos∠PEH＝
25
cos
EH
PE
α
==
得：PE＝5，
设点P（x，3
4
x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），
则PE＝3
4
x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，
解得x＝14
3
或2（舍），
则点P（14
3
，
19
3
）．
中考数学动点问题专题练习(含答案)
动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年2山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y
C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年2上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H
(完整)初三数学几何的动点问题专题练习
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度， 点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四 边形的第四个顶点M的坐标．
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
中考数学动点问题十大题型
1、如图，已知ABC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中 AB AC △中，10 点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △ 与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速 度为多少时，能够使BPD △全等？ △与CQP （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？
2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，364y x =-+A B 、P Q 、O A Q OA
速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动． （1）直接写出两点的坐标； （2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式； （3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． P O B A A B 、Q t OPQ △S S t 485S P O P Q 、、M
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
初三数学动点问题
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考： 如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF， AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展： （3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中， PQ 的中点O所经过的路径的长。
中考数学综合题专题复习[几何中的动点问题]专题解析
中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析 【真题精讲】 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD II BC , AD 3 , DC 5 , BC 10，梯形的高为4 ?动 点M 从 B 点出发沿线段B C 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点 出发沿线段C D 以 每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动?设运动的时间为t （秒）? （1）当MN I AB 时，求t 的值； 2）试探究：t 为何值时，△ MNC 为等腰三角形. 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分 析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间， 就本题而言，M N 是在动，意味着 BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些 动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所 以当题中设定 MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自 然得出结果。 【解析】 解：（1 ）由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，如图①，过 D 作DE II AB 交BC 于E 点，则 四边形ABED 是平行四边形. ??? AB II DE , AB II MN . ??? DE II MN . （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将 内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） MN 放在三角形 ? MC NC EC CD （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） 即可，于是就漏掉了 MN=MC,MC=C ^两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三 （2）分三种情况讨论： ①当MN NC 时，如图②作 NF BC 交BC 于F ,则有MC 2FC 即.（利用等腰三角形 底边高也是底边中线的性质） .4丄?解得t 50 . 10 3 5 17 【思路分析2】第二问失分也是最严重的， 很多同学看到等腰三角形， 理所当然以为是 MN=NC 角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了 较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】
中考数学常见题型几何动点问题
中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题 例1：在△ABC 中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积； (2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发，沿射线CB 也向点B 方向运动。如果点P 的速度是4CM/秒，点Q 的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半 (3)在第（2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少 例2: ()已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点， P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿 A → B → C →E 运动，到达点 E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ， （1）写出y 与x 的关系式 (2)求当y ＝ 1 3 时，x 的值等于多少 例3：如图1 ，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿梯形的边由B →C → D → A 运动，设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y , 如果关于x 的函数y 的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ） A ．32 B ．18 C ．16 D ．10 例4：直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．（1）直接写出两点的坐标； （2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式； （3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 例5：已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． （1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 例6：如图（3），在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒． （1）求边的长； 图（3） B A C P Q B A M N
(完整版)中考数学动点问题专题讲解
动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.
中考数学常见题型几何动点问题
中考数学压轴题型研究(一）——动点几何问题 例１：在△ABC 中，∠Ｂ=60°,B Ａ=２4CM,BC=16CM ， (1）求△A ＢC 的面积； (2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发,沿射线CB 也向点Ｂ方向运动。如果点P 的速度是４ＣＭ/秒,点Q 的速度是２CM ／秒，它们同时出发,几秒钟后,△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半？ (3)在第(2)问题前提下,Ｐ,Q 两点之间的距离是多少？ 例２： ()已知正方形A ＢCD 的边长是1，Ｅ为ＣD 边的中点, P 为正方形AB ＣD 边上的一个动点，动点Ｐ从 Ａ点出发,沿A →B → Ｃ →Ｅ运动,到达点E.若点Ｐ经过的路程为自变量ｘ，△APE 的面积为函数ｙ, （1）写出y 与x 的关系式 (2)求当y = 1 3 时，x 的值等于多少？ 例3：如图1 ，在直角梯形AB ＣＤ中,∠B ＝90°,DC ∥A Ｂ，动点P 从B 点出发，沿梯形的边由B →C → D → A 运动，设点P 运动的路程为x ,△AB Ｐ的面积为y , 如果关于ｘ 的函数y 的图象如图2所示 ,那么△ＡＢC 的面积为（ ） A.32 B ．1８ Ｃ．1６? Ｄ．１0 例4:直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发,同时到达A 点，运动停止.点Q 沿线段OA 运动,速度为每秒1个单 位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．（1)直接写出A B 、两点的坐标; (2)设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式； (3)当48 5 S =时，求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标. 例５:已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米,长为１厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动(运动开始时，点M 与点A 重合,点N 到达点B 时运动终止),过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点,线段MN 运动的时间为t 秒． (1）线段MN 在运动的过程中,t 为何值时,四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积; (2)线段MN 在运动的过程中,四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t .求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围. A C B x A O Q P B y C Q
2017中考数学备考专题复习动点综合问题含解析
1 / 20 动点综合问题 一、单选题（共12题；共24分） 1、（2016?安徽）如图，Rt △ ABC 中，AB 丄BQ AB=6, BC=4 P 是厶ABC 内部的一个动点，且满足 / PAB 2 PBC 则线段 CP 长的最小值为（ ） B 、 2 C.]+1 C 、 9 D — 3、（ 2016?十堰）如图，将边长为 10的正三角形 OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中，C 是AB 边上 的动点（不与端点 A , B 重合），作CDLOB 于点D,若点C, D 都在双曲线y= 上（k > 0, x > 0）, C D 5、（ 2016?宜宾）如图，点 P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点, AC 和 BD 的距离之和是（ B 、2 4、（2016?娄底）如图，已知在 Rt △ ABC 中，/ ABC=90，点 C 不重合），作 BE 丄AD 于E , CF 丄AD 于F ,贝U BE+CF 勺值（ D 沿BC 自B 向C 运动（点D 与点B ） 13 2、（2016?台州）如图，在△ ABC 中，AB=10 AC=8 BC=6以边 AB 的中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点P, Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接 PQ 贝U PQ 长的最大值与最小值的和是（ ） C 6 D 7.2 不变 增大 减小 先变大 再变小 矩形的两条边 AB BC 的长分别是 ） D 9 B 5
6、( 2016?龙岩)如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1, AF=2,若P为对角线BD上一动点, 则EP+FP的最小值为( ) A、1 B、2 C、3 D 4 O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点 7、(2016?漳州)如图，在△ ABC中，AB=AC=5 BC=8, D是线段BC上的动点(不含端点B、C).若线段 AD长为正整数，则点D的个数共有( 沿折线A- B- M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s .设P点的运动时间为P的 运动路径与OA OP所围成的图形面积为S (cm?),则描述面积S (cm2)与时间t P由A开始 t (s)，点 (s)的关系 的图象可以是( ) D______________ C A 、 B 、 C 、 D 5个 4个 3个 2个 8、(2016?荆门)如图，正方形ABCD的边长为的 方向运动到点C停止，设点P的运动路程为关于 x (cm)的函数关系的图象是( ) 2cm,动点P从点A出发，在正方形的边上沿A T B-C x( cm)，在下列图象中，能表示△ ADP的面积y( cm2)
中考数学--动点问题题型方法归纳
图 B 图 B 图动点问题 题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的 平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析 汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以cm/s 的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）． （2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN 上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE 上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： ①当2＜t＜4时，如图（3）a所示。 DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。 ∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。 ∴FM=AM=t． 运动型问题 第17课时 几何图形中的动点问题 (58分) 一、选择题(每题6分，共18分) 1．[·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △ PAB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为( D )13A. B. C.5 D. 2934241 图6－1－1 第1题答图 【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △PAB ＝S 矩形ABCD ，得×5h ＝×5131213 ×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D. 52＋42412．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩 形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经 过的路径长为x ，PD 2＝y ，则下列能大致反映y 与x 的 函数关系的图象是 ( D )【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝ x ，∴y ＝x 2＋a 2；② 图6－1－2 当2a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ， ∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝∴能大致反映y {x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），x 2－6ax ＋13a 2（2a 2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： 动点问题专题训练 1、（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ································································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． · ·················································································· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得15 32104 x x =+?， 解得80 3 x = 秒． x A O Q P B y 动点问题题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 图（3） A B C O E F A B C O D 图（1） A B O E F C 图（2） y M C D 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 动点综合问题一 【例1】（2016广东梅州）如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛 物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为． （3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围． 【例2】（2016四川攀枝花）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心 Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方 向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，P A长为半径的⊙P 与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC． （1）当t为何值时，点Q与点D重合？ 【例3】（2016山东济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、 E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折 线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其 中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大 致图象为（） （2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长． 5．（2016青海西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=3 同步练习 一、选择题 1．（2016山东泰安）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）4．（2016湖北荆州）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线P A、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O 于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接A D、CD，若∠APB=80°，则∠ADC 的度数是（） A．15°B．20°C．25°D．30° 2．（2016山东烟台）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发 （P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大 致是（） 4，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB 向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分 别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（） A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2 3．（2016广东省）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）二、填空题 6．（2016四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C （1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是． 最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总 近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题． 最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。 （1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 （2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。 （3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。 （4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最 2021中考数学总复习动点问题 年班姓名成绩： 1.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°． （1）求ED、EC的长； （2）若BP＝2，求CQ的长； （3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长． 图1 备用图 解：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5，所以 315 tan5 44 ED CD C =?∠=?=， 25 4 EC=． （2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3． 由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN． 所以 4 3 PM DM QN DN ==．所以 3 4 QN PM =， 4 3 PM QN =． 图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． 此时 33 44 QN PM ==．所以 319 4 44 CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5． 此时 315 44 QN PM ==．所以 1531 4 44 CQ CN QN =+=+=． （3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中， 3 tan 4 QD DN QPD PD DM ∠===． 在Rt△ABC中， 3 tan 4 BA C CA ∠==．所以∠QPD＝∠C． 由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ． 因此△PDF∽△CDQ． 当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形． ①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时 44 33 PM QN ==．所以 45 3 33 BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC＝QD时，由cos CH C CQ =，可得5425 258 CQ=÷=． 所以QN＝CN－CQ＝ 257 4 88 -=（如图2所示）． 此时 47 36 PM QN ==．所以 725 3 66 BP BM PM =+=+=． ③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）． 图5 图6 2.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 解：（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由 BH PH BO CO =，BO＝CO，得PH＝BH＝2． 所以点P的坐标为(1, 2)． 图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6 -)或(1,0)．中考数学压轴题专题：动点问题
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