2009年广州市高三第一次模拟考试试题答案

2009年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，

如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，每小题5分，满分20分，其中14～

15题是选做题，考生只能选做一题．第12题第一个空2分，第二个空3分． 11．

2

3 12．1；1

2-n 13．80 14．34 15．1 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力）

解：从3名男生c b a 、、和2名女生e d 、中任选3名代表的可能选法是：c b a ,,；d b a ,,；e b a ,,；d c a ,,；

e c a ,,；e d a ,,；e c b ,,；d c b ,,；e d b ,,；e d c ,,共10种.

（1）男生a 被选中的的情况共有6种，于是男生a 被选中的概率为

5

3

106=. （2）男生a 和女生d 至少有一人被选中的情况共有9种，故男生a 和女生d 至少有一人被选

中的概率为10

9

.

16．（本小题满分14分）

（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力）

解: (1)∵053cos >=

B , 且π<

4

cos 1sin 2=-=B B . 由正弦定理得B b A a sin sin =， ∴524542sin sin =⨯

==b B a A . (2)∵,4sin 21==∆B ac S ABC ∴45

4

221=⨯⨯⨯c . ∴ 5=c .

由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=，

∴ 175

3

52252cos 22222=⨯

⨯⨯-+=-+=

B ac c a b . 18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间中线面的位置关系、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

（1）证明：∵C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，且AB 为底面圆的直径，

∴BC AC ⊥． …… 2分

∵1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，

∴1BC AA ⊥. …… 4分 ∵⊂=11,AA A AC AA 平面AC A 1,⊂AC 平面AC A 1, ∴BC ⊥平面1A AC ． …… 6分

（2）解法1:设AC x =,在Rt △ABC 中，BC 0＜x ＜2)，

故1

11111332

A ABC ABC V S AA AC BC AA -∆=⋅=⨯⋅⋅13=0＜x ＜2),

即113A ABC

V -= ∵2

02,04x x <<<<,

∴当2

2x =，即x =1A ABC -的体积的最大值为

3

2

． 解法2: 在Rt △ABC 中，42

22==+AB BC AC ,

BC AC A A A A S V ABC ABC A ⨯⨯⨯⨯=⋅=

-213131111∆ BC AC ⨯⨯=3

1

23122BC AC +⨯≤2

312AB ⨯

=32

=. 当且仅当BC AC =时等号成立，此时2=

=BC AC . ∴三棱锥ABC A -1的体积的最大值为3

2

.

19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查圆、抛物线、直线、导数等基础知识和数学探究，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识）

（1）解：由2

4x y =，得214y x =

，则1

2

y x '=，

∴抛物线24x y =在点11(,)A x y ，22(,)B x y 处的切线的斜率分别为

112

x ，21

2x .

∵0AC BC ⋅=，∴AC BC ⊥. ∴抛物线24x y =在点11(,)A x y ，22(,)B x y 处两切线相互垂直. ∴

112

x 21

12x ⨯=-.∴124x x =-.

（2）解法1：∵0AC BC ⋅=，∴AC BC ⊥.

∴经过,,A B C 三点的圆的圆心为线段AB 的中点D ，圆心D 1212

(,)22

x x y y ++. ∵抛物线24x y =的准线方程为1y =-， ∴点D 1212(

,)22x x y y ++到直线1y =-的距离为=d 12

12

y y ++，

∵经过,,A B C 三点的圆的半径r ，

由于2114x y =，2

224x y =，且124x x =-，则212121

()116

y y x x =

=，

∴r =

=

.

即1212

2122

y y y y r +++====+，

∴ r d =.∴抛物线2

4x y =的准线与经过,,A B C 三点的圆相切．

解法2：由（1）知抛物线2

4x y =在点11(,)A x y 处的切线斜率为11

2

x ， 又,4121y x = ∴ 切线AC 所在的直线方程为：()11212

1

41x x x x y -=- 即2114

1

21x x x y -=

. ① 同理可得, 切线BC 所在的直线方程为：2

224

121x x x y -=. ②

由①,②得点C 的横坐标221x x x C +=

,纵坐标C y 1-=,即⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+1,221x x C . ∵0AC BC ⋅=，∴AC BC ⊥.

∴经过,,A B C 三点的圆的圆心为线段AB 的中点D ，圆心D 1212

(,)22

x x y y ++. ∵抛物线2

4x y =的准线方程为1y =-，