热力学统计物理 课后习题 答案

第七章 玻耳兹曼统计

7．1试根据公式V

a P L

l

l

∂∂-

=∑ε证明，对于非相对论粒子 ()

2

222

22212z

y x n n n L m m P ++⎪⎭

⎫ ⎝⎛== πε，（ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。

证明：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为

()

2222

2,,2212z y x n n n

n n n L m m P z

y x ++⎪⎭

⎫ ⎝⎛== πε （ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）-------（1） 为书写简便，我们将上式简记为3

2

-=aV

ε-----------------------（2）

其中V=L 3

是系统的体积，常量()

2

2222)2(z y x n n n m

a ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。 由（2）式可得

V

aV V l L εε323235

-=-=∂∂----------------------（3） 代入压强公式，有V

U

a V

V a P l l

l L l

l

3232

=

=∂∂-=∑∑εε----------------------（4） 式中 l

l

l a U ε

∑=

是系统的内能。

上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。 注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能。 7．2根据公式V

a P L

l

l

∂∂-

=∑ε证明，对于极端相对论粒子 ()

2

1

2

2

22z y x n n n L

c cp ++== πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n 有V

U

P 31=

上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。

证明：处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为

()

2

1

22

2,,2z y x n n n

n n n L

c

z

y x ++= πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n -------（1）

为书写简便，我们将上式简记为3

1-=aV

ε-----------------------（2）

其中V=L 3是系统的体积，常量()

2

1

2

2

2

2z y x n n n c a ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三

个量子数。

由（2）式可得V

aV V l L εε313134

-=-=∂∂----------------------（3） 代入压强公式，有V

U

a V

V a P l l

l L l

l

3131

=

=∂∂-=∑∑εε----------------------（4） 式中 l

l

l a U ε

∑=

是系统的内能。

上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。

7．4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为∑-=S

S S

P P

Nk

S ln ，

式中P S 是粒子处在量子态S 的概率， 1

Z e N e P s

s S βεβεα---=

= ， ∑

S

对粒子的所有量子态

求和。

证明：根据式（6-6-9），处在能量为的量子态S 上的平均粒子数为s

e

f s βεα--=---------(1)

以N 表示系统的粒子数，粒子处在量子态S 上的概率为1

Z e N e P s

s S βεβεα---=

=---------(2) 显然，P S 满足归一化条件1=∑

S s

P ---------(3)

式中

∑

s

是对粒子所有可能的量子态求和。粒子的平均能量可以表示为S S s

P E ε∑

=

----(4)

根据式（7-1-13），定域系统的熵为

)(ln )ln (ln 111εβββ

+=∂∂

-=Z Nk Z Z Nk S )(ln 1S S

S Z P Nk βε+=∑ ==== ∑-=S

S S

P P

Nk

S ln ----------------(5)

最后一步用了（2）式，即S S Z P βε--=1ln ln ----------------(6)

（5）式的熵表达式是具有启发性的。熵是广延量，具有相加性。（5）式意味着一个粒子的

熵等于 。它取决于粒子处在各个可能状态的概率P S 。如果粒子肯定处在某个状态r ，即=δs r ，粒子的熵等于零；反之，当粒子可能处在多个微观状态时，粒子的熵大于零。这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的。如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息。粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息。所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度。

7．5固体含有A 、B 两种原子．试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为

[]()[]()()[]x x x x Nk x N Nx N k S --+-=-=1ln 1ln !

1!!

ln

其中N 是总原子数，x 是A 原子的百分比，(1一x )是B 原子的百分比．注意x <1．上式给出