工程水文学第六章水文统计

三、随机变量的统计参数 概率分布曲线完整地刻划了随机变量的统计规
律。但在一些实际问题中，有时只要知道概率分布
某些特征数值。这种以简便的形式显示出随机变量
分布规律的某些特征数字称为随机变量的统计参数。
统计参数有总体统计参数与样本统计参
数之分。水文计算中常用的样本统计参数
有均值、均方差、变差系数和偏态系数。
年雨量落在800mm至900mm之间的可能性是39％。
函数f（x）＝-F’（x）为概率密度函数， 简称为密度函数或密度曲线。
f(x)
f(x)dx
dx
x
概率密度函数
f(x)
F(xp)=P(X>xp) xp 密度函数
x
x
x
F(xp)=P(X>xp) xp
f(x)
F(xp)
F(x)
概率分布函数与密度函数关系
6.2
一、事件
概率的基本概念
事件是指随机试验的结果。 必然事件：如果可以断定某一事件在试验中必然发生，
称此事件必然事件。
不可能事件：可以断定试验中不会发生的事件称为不可能事件。 随机事件：某种事件在试验结果中可以发生也可以不发 生，这样的事件就称为随机事件。
6.2 二、概率
概率的基本概念
随机事件在试验结果中可能出现也可能不出现， 但其出现（或不出现）可能性的大小则有所不同。 为了比较这种可能性的大小，必须赋于一种数量标 准，这个数量标准就是事件的概率。
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cv x
4．偏态系数（偏差系数） 反映分布是否对称的特征CS参数，记为
用来表征分布不对称的情况。当密度曲线对EX对 称，CS＝0；若不对称，当正离差的立方占优时， CS＞ 0，称为正偏；当负离差的立方占优势时，CS ＜ 0，称为负偏。
6.2
概率的基本概念
2、概率乘法定理
Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ／Ａ） ＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ／Ｂ） 式中，Ｐ（Ａ／Ｂ）－事件Ａ在事件Ｂ已发生情况
下的概率，简称为Ａ的条件概率。 Ｐ（Ｂ／Ａ）－事件Ｂ在事件Ａ已发生情况 下 的概率，简称为Ｂ的条件概率。 对于两个独立事件： Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）
A
互斥
均方差对频率曲线的影响
3．离势系数（离差系数，变差系数）
x 例如:甲地区的年雨量分布， ＝ 1200mm ，均方差σ1＝ 1
x2 ＝800mm，均方差σ2＝ 360mm；乙地区的年雨量分布，
320mm。尽管σ1＞σ2，但是 x ＞ x，应从相对观点来比较这 两个分布的离散程度。 势系数
1 2
采用一个无因次的数字来衡量分布的相对离散程度，称为离
1.均值 均值表示系列中变量的平均情况。设某水文变
量的观测系列（样本）为 x1,x2，…,xn ， 则其均
值为:
x 令 k i , i 称模比系数，则 : ki x
2.均方差 均方差是反映系列中各变量集中或离 散的程度。研究系列集中或离散程度，常
2 采用方差 或均方差 ，计算公式为
σ1 σ2
相容
A B
B
P（AB）＝0 P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
P（AB）＝P（A）P（B/A） ＝P（B）P（A/B）
A
B
对立
独立 A B
P（A）＋P（B）＝1 P（A）＝1－P（B） P（B）＝1－P（A）
P（AB）＝P（A）P（B） P（A/B）＝P（A） P（B/A）＝P（B）
例：某地区位于河流甲与乙的汇合点。当任一河流泛滥时，该 地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率为0.1，河流乙
Ｐ（A＋B）＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（AB） ＝Ｐ（A）＋Ｐ（B）－Ｐ（B／A）Ｐ（A）
＝0.1＋0.2－0.3×0.1 ＝0.27 由于
Ｐ（A／B）Ｐ（B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A）
故当河流乙泛滥时，河流甲泛滥的概率为
Ｐ（A／B）＝Ｐ（B／A）Ｐ（A）/ Ｐ（B）
＝0.3×0.1 / 0.2 ＝0.15
水文统计中通常研究随机变量的取值大于某一个
值的概率，F（x）＝P（X＞x）在水文统计学上也 称此为随机变量的概率分布函数（或概率分布曲
线）。
x
1100 1000
900
800 700 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P （ X ＞ x）
某雨量站的年雨量分布曲线
若x＝800mm，由分布曲线知P（X＞800）＝0.6，表
皮尔逊 24000
12014
0.5006
在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概率是十分接近的。
6.2
概率的基本概念
四．概率加法定理和乘法定理 １．概率加法定理
Ｐ（Ａ＋Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ） 式中，Ｐ（Ａ＋Ｂ）－事件Ａ与Ｂ之和的概率； Ｐ（Ａ）－事件Ａ的概率； Ｐ（Ｂ）－事件Ｂ的概率。 Ｐ（ＡＢ）－事件Ａ和Ｂ共同发生的概率。
6.3
一、随机变量
随机变量及其概率分布
随机变量是表示随机试验结果的数量表示，随
机变量可分为两大类型：离散型随机变量，连续
型随机变量。
水文随机变量一般指水文特征值，属于连续型
随机变量。
二、随机变量的概率分布 随机变量的取值与其概率有一定的对应关系，称
为随机变量的概率分布，数理统计学上记为F（x）
＝P（X ≤ x），称为随机变量的概率分布函数。
明年雨量超过800mm的概率等于60％。
年雨量在800mm～900mm间的概率是多少呢？ 这就要讨论的随机变量落在某区间（x，x＋Δ
x）内的概率，可用下式表示： P（x＋Δ x＞X≥x）＝F（x）－F（x＋Δ x） 从图3—1得: F（800）＝0.60 ； F（900）＝0.21
故： P（900＞x≥800）＝0.60－0.21＝0.39
6.2
概率的基本概念
三、频率 水文事件不属古典概率事件，只能通过试验来估 算概率。设事件在ｎ次试验中出现了ｍ次，则称
为事件A 的频率。
6.2
概率的基本概念
掷币试验出现正面的频率表 试验者 掷币次 出现正 频率 数 面次数 4040 2040 0.5080 蒲丰 皮尔逊 12000 6018 0.5016
泛滥的概率为0.2；又知当河流甲泛滥时，河流乙泛滥的概率为
0.3。求在该时期内这个地区被淹没的概率。又当河流乙泛滥时 河流甲泛滥的概率？
例：某地区位于河流甲与乙的汇合点。当任一河流泛滥时，该地区即被淹没， 设在某时期内河流甲泛的概率为0.1，河流乙泛滥的概率为0.2；又知当河流 甲泛滥时，河流乙泛滥的概率为0.3。求在该时期内这个地区被淹没的概率。 又当河流乙泛滥时河流甲泛滥的概率？ 解：记河流甲泛滥为事件Ａ，河流乙泛滥为事件Ｂ。这个地区被淹没的概 率为：