2017年广州市番禺区高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2017年广州市高三一模文科数学试卷及答案
2017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试（一）第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数21i+的虚部是（ ）A ．2- B ．1- C ．1 D ．22．已知集合}{}{2001x x ax ,+==，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 3．已知tan 2θ=，且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则c o s 2θ=（ ） A ．45 B ．35 C ．35- D ．45-4．阅读如图的程序框图. 若输入5n =，则输出k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．已知函数()122,0,1l o g,0,+⎧≤=⎨->⎩x x f x x x 则()()3=f f （ ）A ．43 B ．23 C ．43-D ．3- 6．已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ，1F ,2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上, 且12=PF , 则2PF 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）A ．14 B ．716C ．12 D ．9168．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（ ）9．设函数()32f x x ax =+，若曲线()=y f x 在点()()00,P x f x 处的切线方程为0+=x y ，则点P 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,1-或()1,1-10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面 积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π11．已知函数()()()()s in co =+++ωϕωϕfx x x是奇函数，直线y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ）A ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增12．已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的值为（ ） A ．2016 B ．1008 C ．504 D ．0 第Ⅱ卷二、填空题：本小题共4题，每小题5分 13．已知向量a ()1,2=，b (),1=-x ，若a //()a b -，则a b ⋅= 14．若一个圆的圆心是抛物线24=x y 的焦点，圆的标准方_____15．满足不等式组⎩⎨⎧≤≤≥-++-a x y x y x 00)3)(1(的点(),x y 组成的图形的面积是5，则实数a 的值是_____ 16．在ABC ∆中，160,1,2ACB BC AC AB ︒∠=>=+，当ABC ∆的周长最短时，BC 的长是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-（*N n ∈）（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求数列{}n S 的前n 项和n T18．（本小题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图（Ⅰ）根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？ （Ⅲ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中=+++n a b cd 为样本容量） 19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，AB⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ,AC ,DE ，得到如图2所示的几何体 （Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ； （Ⅱ）若1=AD ，AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B 到平面ADE 的距离 20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，且过点)1,2(A （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若Q P ,是椭圆C 上的两个动点，且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由 21．（本小题满分12分） 已知函数)0(ln )(>+=a xax x f （Ⅰ）若函数)(x f 有零点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：当e a 2≥时，xex f ->)(请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为B3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线:2c o s .4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12=+-+-f x x a x a .（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若1,≥∈a x R ，求证：()2≥f x .2017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试（一）答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题（1）B （2）A （3）C （4）B （5）A （6）C（7）B （8）D （9）D （10）C （11）D （12）B 二、填空题（13）52- （14）()2212x y +-= （15）3 （16）12+三、解答题 (17) 解:（Ⅰ）当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-， (1)分 解得12a =． ………………………………………………………2分当2n ≥时，11(22)n n n n a S S a --=-=-， ………………3分即12n n a a -=， ………………………………………………………4分所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．……………………………………5分所以122n nn a -=⨯=（n ∈N *）． ………………………………………………6分 (Ⅱ) 因为12222n n n S a +=-=-， ………………………………………………8分所以12n n T S S S =++⋅⋅⋅+ ………………………………………………9分2312222n n +=++⋅⋅⋅+- ………………………………………………10分()412212n n ⨯-=-- ………………………………………………11分2242n n +=--． ………………………………………………12分 (18) 解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为()(0.480.0120.0320.05250.50.0=++⨯<<+，………………………………………1分 则()()0.0120.0320.05250.0762050.5,x ++⨯+⨯-= ……………………………3分 解得390019x =． ………………………………………4分 （Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153,5010P ==甲 ………………………5分乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()10.0120.02855P =+⨯=乙， ………6分 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：315000=1500,5000=1000105⨯⨯． …………………………8分（Ⅲ）列联表:…………………………10分 则()2210035060041.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯， ……………………………………………11分 因为1.3 2.072,<所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线 的选择有关”． ……………………………………………………12分 (19) 解：(Ⅰ) 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，又BD ⊥DC ，所以DC ⊥平面ABD . …………………………………1分因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB .......................................2分 又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD D =, (3)分所以AB ⊥平面A D. …………………………………4分(Ⅱ) 由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ，即∠CAD 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角. ……………………………5分 依题意6tan ==∠AD CDCAD ， 因为1A D ,=所以6=CD . …………………………6分设()0AB x x =>，则12+=x BD ,因为△ABD ～△BDC ，所以BDDCAD AB =， ………………………………7分即1612+=x x ，=，故3. …………………，AB ⊥AC , E 为BC 由平面几何知识得AE 322BC ==, 同理DE 322==BC ,所以22=∆ADS .…………………………9分因为DC ⊥平面ABD ，所以3331=⋅=-AB DBC D A S CD V . ………………………10分设点B 到平面ADE 的距离为d , 则632131====⋅---BCD A BDE A ADE B ADE V V V S d ,…………………………11分 所以26=d ，即点B 到平面ADE 的距离为26. …………………………12分 (20) 解:(Ⅰ) 因为椭圆C, 且过点()2,1A ,所以22411a b +=,2c a =. ………………………………………………2分因为222a b c =+, 解得28a =, 22b =, ………………………………………………3分 所以椭圆C 的方程为22182x y +=. ……………………………………………4分(Ⅱ)法1：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 设直线PA 的斜率为k , 则直线AQ 的斜率为k -. ………………………………5分所以直线PA 的方程为()12y k x -=-,直线AQ 的方程为()12y k x -=--.设点(),P P P x y , (),Q Q Q x y ,由()2212,1,82y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()()222214168161640k x k k x k k +--+--=. ①因为点()2,1A 在椭圆C 上, 所以2x =是方程①的一个根, 则2216164214P k k x k --=+,……………………………………………6分所以2288214P k k x k --=+. ……………………………………………7分同理2288214Q k k x k +-=+. ……………………………………………8分所以21614P Q kx x k-=-+. ……………………………………………9分又()28414P Q P Q ky y k x x k -=+-=-+. ……………………………………………10分所以直线PQ 的斜率为12P Q PQ P Qy y k x x -==-. …………………………………………11分所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. ……………………………………………12分 法2：设点()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-, 直线QA 的斜率2212QA y k x -=-. 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 所以P A Q k k=-, 即1112y x --22102y x -+=-,① ………………………………………5分 因为点()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上,所以2211182x y +=，② 2222182x y +=. ③ 由②得()()22114410x y -+-=, 得()111112241y x x y -+=--+, ④ ………………………6分 同理由③得()222212241y x x y -+=--+,⑤ (7)分由①④⑤得()()12122204141x x y y +++=++,化简得()()12211212240x y x y x x y y ++++++=, ⑥ ……………………………8分 由①得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=, ⑦ ……………………………9分⑥-⑦得()12122x x y y +=-+. …………………………………………10分 ②-③得22221212082x x y y --+=,得()12121212142y y x x x x y y -+=-=-+. …………………11分所以直线PQ 的斜率为121212PQy y k x x -==-为定值. …………………………………12分法3：设直线PQ 的方程为y k x b=+，点()()1122,,,P x y Q x y ， 则1122,y kx b y kx b =+=+, 直线PA 的斜率1112PAy k x -=-, 直线QA 的斜率2212QAy k x -=-. ………………………5分 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 所以P Ak k =-, 即1112y x --2212y x -=--, ……………………………………………6分 化简得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=.把1122,y kx b y kx b =+=+代入上式, 并化简得 ()()1212212440k x x bk x x b +--+-+=.(*) …………………………………7分由22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418480k x kbx b +++-=, (**)则2121222848,4141kb b x x x x k k -+=-=++, ……………………………………………8分代入(*)得()()2222488124404141k b kb b k b k k -----+=++, ……………………………9分整理得()()21210k b k -+-=, 所以12k =或12b k =-. ……………………………………………10分若12b k =-, 可得方程(**)的一个根为2，不合题意. ………………………………11分 若12k =时, 合题意. 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. ……………………………………………12分 (21) 解:(Ⅰ)法1: 函数()ln af x x x =+的定义域为()0,+∞. 由()ln af x x x=+, 得()221a x af x x x x-'=-=. ……………………………………1分因为0a >,则()0,x a ∈时,()0f x '<;(),x a ∈+∞时, ()0f x '>.所以函数()f x 在()0,a 上单调递减, 在(),a +∞上单调递增. ………………………2分当x a =时,()minln 1f x a =+⎡⎤⎣⎦. …………………………………………………3分当ln 10a +≤, 即0a <≤1e时, 又()1ln10=+=>f a a , 则函数()f x 有零点. …4分所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. ……………………………………………………5分法2：函数()ln af x x x =+的定义域为()0,+∞. 由()ln 0af x x x=+=, 得ln a x x =-. …………………………………………………1分令()ln g x x x =-，则()()ln 1g x x '=-+.当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>; 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0g x '<.所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ……………………2分 故1x e=时, 函数()g x 取得最大值1111ln g e e e e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. …………………………3分因而函数()ln af x x x=+有零点, 则10a e<≤. ………………………………………4分所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. …………………………………………………5分(Ⅱ) 要证明当2a e≥时, ()->x f x e , 即证明当0,x >2a e ≥时, ln x ax e x-+>, 即ln x x x a xe -+>.………………………6分 令()ln h x x x a =+, 则()ln 1h x x '=+.当10x e <<时, ()0f x '<;当1x e >时,()0f x '>.所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 当1x e=时,()min1h x a e=-+⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………7分于是,当2a e≥时, ()11.h x a e e ≥-+≥ ① ……………………………………8分 令()xx xe ϕ-=, 则()()1x x x x e xe e x ϕ---'=-=-.当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. 所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增, 在()1,+∞上单调递减.当1x =时,()max1x eϕ=⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………9分于是,当0x >时,()1.x e ϕ≤② ……………………………………………………10分显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. …………………………………11分 故当2a e≥时,()->x f x e . ……………………………………………………12分 （22）解： (Ⅰ)由3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t消去t 得40+-=x y , ………………………………………1分所以直线l 的普通方程为40+-=x y . ………………………………………2分由4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ,……3分得22cos 2sin =+ρρθρθ. ………………………………………4分将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入上式,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . ………5分(Ⅱ)法1:设曲线C上的点为()1c o ,12s i nααP , ………………………………6分 则点P 到直线l的距离为2s i n 4-=d …………………………7分=………………………………………8分当sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时, max =d , ………………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为分法2: 设与直线l 平行的直线为:0l x y b '++=, ………………………………………6分当直线l '与圆C 相切时,得=, ………………………………………7分解得0b =或4b =-(舍去), 所以直线l '的方程为0x y +=. ………………………………………8分所以直线l 与直线l '的距离为d ==. …………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为分（23）解： (Ⅰ)因为()13<f ，所以123+-<a a . ………………………………………1分① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，解得23>-a ，所以203-<≤a ; ……………2分② 当102<<a 时，得()123+-<a a ，解得2>-a ，所以102<<a ; ……………3分③ 当12a ≥时，得()123--<a a ，解得43<a ，所以1423a ≤<; ……………4分综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………5分(Ⅱ) 因为1,≥∈a x R , 所以()()()121=+-fxx……………………………7分31=-a ……………………………………………………………………8分31=-a ……………………………………………………………………9分2≥. ……………………………………………………………………10分。
2017年广州一模(文数)试题及答案
2017年广州一模（文数）试题及答案2017年广州市一模(文科数学)第I卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数右的虚部是(B) 135(4)阅读如图的程序框图. 的值为(A) 2(D)(5)已知函数f x2 2 （6）已知双曲线cA (C)1(2)已知集合(A) 1(D) 22x x ax 0 0,1 ,贝V实数a的值为(B) 0(C)(3)已知tan(D ) 22，且0,2，则cos21Jlog2 x,(C )输(B)x35x(A ) 3( B ) 2 ( c )2七i 的一条渐近线方程为a 42x 3y 0,»F 2分另U是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上, 且I PR 2,则PF 2等于（A ）4（ B ）6（ C ）(D)10（7）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放 着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的 硬币•若硬币正面朝上，则这个人站起来；若 硬币正面朝下，则这个人继续坐着•那么，没 有相邻的两个人站起来的概率为 （A） I（ B ）16（C）（D）97（8）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线 画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为8,则该几何体的俯视图可以是（A）（B）（c）（D）（9）设函数f x X3ax2，若曲线y f x在点P x。
, f x。
处的切线方程为x y 0，则点P的坐标为（A ）0,0 （B ）i, i（C ）1,1 （D ）i, i 或i,i（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑. 若三棱锥P ABC为鳖臑,PA丄平面ABC,PA AB 2 , AC 4,三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为(A)8(B) 12 (C ) 520（ D ） 24（11）已知函数fx sin x cos x 0,0奇函数，直线y .2与函数f x 的图象的两个相邻交点的 横坐标之差的绝对值为q 则 （A ） f x 在o,-上单调递减 （B ） f x在8令上单调递减8 8（C ） f x 在0,-上单调递增 （D ） f x在«，3T 上单调递增8 8（12）已知函数fX cos X,则―f盏的 值为（A ） 2016（B ） 1008（C ）504（ D ） 0第H 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2017广东高考数学文科试卷含答案(WORD版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A iB iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.x x212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.xx 22+ 答案:A111:()2,(),()22(),222(),A .x xxx x xf x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.二、填空题(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为 2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长三、解答题16.(本小题满分12分)已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π= （1） 求A 的值；（2） 若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-5533232:(1)()sin()sin ,2 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336cos sin 333cos 31cos ,()336f A A A f x x f f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∴-=解由得1sin()3sin()3cos 3 1.6323πππθθθ-+=-==⨯=17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为 (2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2222221333132,=,,,,2442833336()(),44211362.338216CDE M CDE CDE CF DE DE PE S CD DE P CP MD ME DE PE DE V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅==-=-=-=∴=⋅=⋅⋅=即{}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-22220022222520.:1(0)(5,0),.3(1);(2)(,),,.55:(1)5,,3,954,31.94(2),,4x y C a b a b C P x y C P C P c c e a b a c a a x y C x y +=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为离心率为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x x x y y k x x y k x k y kx x y kx k y kx y kx k y kx -±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即22222000001220220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.k y x k x y k y k k x x y P x y +=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a R f x a x f x f =+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,2011,(,11),()0,(),(11,11),()0,(),(11,)f x x x a x x a a a f x f x a x x a a x a f x f x x a a f x f x x a =++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±-∈-∞--->∴∈----+-<∈-+-+∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),(11,),()(11,11).f x f x a f x a f x a a f x a a >≥-∞+∞<-∞----+-+∞----+-此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,14221487214872148:,0,,8447+2148,01,721484x a x f x f x x a a a a a a ax x a a ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->-±--±--+-=>∴--<<<-<若存在使得必须在上有解方程的两根为只能是依题意即0000025711,492148121,,12127+2148155=,,,,424425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<---=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭即又由得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。
2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学试题及参考答案
绝密 ★ 启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）复数21i+的虚部是 （A ）2- （B ） 1- （C ）1 （D ）2 （2）已知集合}{}{2001x x ax ,+==，则实数a 的值为（A ） 1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）已知tan 2θ=，且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则cos 2θ= (Ａ)45 (Ｂ) 35 (Ｃ) 35- (Ｄ) （4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）（5）已知函数()122,0,1log ,0,+⎧≤=⎨->⎩x x f x x x 则()()3=f f(Ａ)43 (Ｂ) 23 (Ｃ) 43- (Ｄ) （6）已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 是双曲线C 的左, 右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且12=PF , 则2PF （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑, PA ⊥平面ABC , 2PA AB ==，4AC =,三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面积为（A ）8π （B ）12π （C ）20π （D ）24π （11）已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ωϕωϕωϕπf x x x 是奇函数，直线y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则 （A ）()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 （B ）()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 （C ）()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 （D ）()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 （12）已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为 （A ）2016 （B ）1008 （C ）504 （D ）0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
【数学】广东省广州市2017届高考一模试卷(文)(解析版)
广东省广州市2017年高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C．D．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．C．D．﹣36．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A．4 B．6 C．8 D．107．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，P A⊥平面ABC，P A=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增12．已知函数f（x）=+cos（x﹣），则的值为（）A．2016 B．1008 C．504 D．0二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•=．14．若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是．15．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为．16．在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+，当△ABC的周长最短时，BC的长是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE 的距离．20．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠P AQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）=ln x+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．参考答案一、选择题1．B【解析】复数==1﹣i的虚部是﹣1．故选：B．2．A【解析】由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．3．C【解析】∵tanθ=2，且θ∈，∴cosθ===，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：C．4．B【解析】经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3 故选B5．A【解析】由题意知，f（x）=，则f（3）=1﹣，所以f（f（3））==4•=，故选A．6．C【解析】由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2=6，∴|PF2|=8，故选C．7．B【解析】由题意得：正面不能相邻，即正反正反，反正反正，3反一正，全反，其中3反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共7中情况，故P==，故选：B．8．C【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C．故选：C．9．D【解析】∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．10．C【解析】由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．D【解析】由题意得，f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=[sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）]=，∵函数f（x）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，∴，则，又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）==，∵y=与f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T=，则ω=4，即f（x）=，由得4x∈（0，π），则f（x）在上不是单调函数，排除A、C；由得4x∈，则f（x）在上是增函数，排除B，故选：D．12．B【解析】∵函数f（x）=+cos（x﹣），∴f（x）+f（1﹣x）=+cos（x﹣）++=1+0=1，则=2016=1008．故选：B．二、填空题13．【解析】=（1﹣x，3），∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣3=0，解得x=﹣．则•=﹣﹣2=﹣．故答案为：﹣．14．x2+（y﹣1）2=2【解析】抛物线的标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．∵圆C与直线y=x+3相切，∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d==．∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．15．3【解析】根据题意，不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影部分所示：当a≤1时，其阴影部分面积S＜S△AOB=×2×1=1，不合题意，必有a＞1，当a＞1时，阴影部分面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a=3或﹣1（舍）；故答案为：3．16．+1【解析】设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2ab cos C，将b=c+代入上式，可得a2+c+=ac+，化简可得c=，所以△ABC的周长l=a+b+c=++a，化简可得l=3（a﹣1）++，因为a＞1，所以由均值不等式可得3（a﹣1）=时，即6（a﹣1）2=3，解得a=+1时，△ABC的周长最短，故答案为：+1．三、解答题17．解：（I）∵S n=2a n﹣2（n∈N*），∴n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），化为：a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．∴a n=2n．（II）S n==2n+1﹣2．∴数列{S n}的前n项和T n=﹣2n=2n+2﹣4﹣2n．18．解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，因为0.48=（0.012+0.032+0.052）×5＜0.5＜（0.012+0.032+0.052+0.076）×5=0.86，则（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，解得．（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为，乙流水线生产的产品为不合格品的概率为，于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：．（Ⅲ）2×2列联表：则，因为1.3＜2.072，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．19．（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又BD⊥DC，∴DC⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴DC⊥AB，又∵折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，∴AB⊥平面ADC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角．依题意，AD=1，∴．设AB=x（x＞0），则，∵△ABD～△BDC，∴，即，解得，故．由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E为BC的中点，由平面几何知识得AE=，同理DE=，∴．∵DC⊥平面ABD，∴．设点B到平面ADE的距离为d，则，∴，即点B到平面ADE的距离为．20．解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，．因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）解法一：因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴，所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线P A的斜率为k，则直线AQ的斜率为﹣k．所以直线P A的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x=2是方程①的一个根，则，所以．同理．所以．又．所以直线PQ的斜率为．所以直线PQ的斜率为定值，该值为．解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线P A的斜率，直线QA的斜率．因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴，所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k P A=﹣k QA，即，①因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，②．③由②得，得，④同理由③得，⑤由①④⑤得，化简得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0，⑥由①得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0，⑦⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2（y1+y2）．②﹣③得，得．所以直线PQ的斜率为为定值．解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线P A的斜率，直线QA的斜率．因为∠P AQ的角平分线总垂直于x轴，所以P A与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k P A=﹣k QA，即=，化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0．把y1=kx1+b，y2=kx2+b代入上式，并化简得2kx1x2+（b﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4b+4=0．（*）由，消去y得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，（**）则，代入（*）得，整理得（2k﹣1）（b+2k﹣1）=0，所以或b=1﹣2k．若b=1﹣2k，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．若时，符合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为．21．解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．当x=a时，[f（x）]min=ln a+1．当ln a+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．所以实数a的取值范围为．法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣x ln x．令g（x）=﹣x ln x，则g'（x）=﹣（ln x+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．故时，函数g（x）取得最大值．因而函数有零点，则．所以实数a的取值范围为．（Ⅱ）要证明当时，f（x）＞e﹣x，即证明当x＞0，时，，即x ln x+a＞x e﹣x．令h（x）=x ln x+a，则h'（x）=ln x+1．当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．于是，当时，．①令φ（x）=x e﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣x e﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．于是，当x＞0时，．②显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当时，f（x）＞e﹣x．22．解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．23．解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．。
2017届广东省广州市高三毕业班综合测试(一)文科数学试
2017年广州市普通高中毕业班综合测试一文科数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数()()ln 1f x x =+的定义域为（ ）A.(),1-∞-B.(),1-∞C.()1,-+∞D.()1,+∞2.已知i 是虚数单位，若()234m i i +=-，则实数m 的值为（ ）A.2-B.2±C.D.23.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2C B =，则cb为（ ）A.2sin CB.2cos BC.2sin BD.2cos C4.圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）A.()()22211x y -+-=B.()()22121x y ++-=C.()()22211x y ++-=D.()()22121x y -++=5.已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.26.函数()21xf x x =+的图象大致是（ ）Ks5u7.已知非空集合M 和N ，规定{}M N x x M x N -=∈∉且，那么()M M N --等于（ ）A.M NB.M NC.MD.N8.任取实数a 、[]1,1b ∈-，则a 、b 满足22a b -≤的概率为（ ） A.18B.14C.34D.789.设a 、b 是两个非零向量，则使a b a b ⋅=⋅ 成立的一个必要非充分的条件是（ ） A.a b = B.a b ⊥C.()0a b λλ=>D.//a b10.在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin 2n n n a a π++-=，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =（ ）A.1006B.1007C.1008D.1009第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，，每小题5分，满分20分） 11.执行如图1所示的程序框图，若输出7S =，则输入()k k N *∈的值为 .12.一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是.图2侧（左）视图正（主）视图13.由空间向量()1,2,3a = ，()1,1,1b =- 构成的向量集合{},A x x a kb k Z ==+∈，则向量x的模x 的最小值为 . Ks5u（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A 、B 两点，若AB =a 的值为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的角平分线交弦CA 、CB 于D 、E 两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 .三、解答题 （本大题共6小题，满分80分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过了保质期. （1）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率； （2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率. Ks5u17.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求实数a 的值；（2）设()()22g x f x =-⎡⎤⎣⎦，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间.18.（本小题满分14分）如图4，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F BF =. （1）求证：11EF AC ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A 、E 、G 、F 四点共面，并求此时1C G 的长； （3）求几何体ABFED 的体积.图4D 1C 1B 1A 1FE DCBA19.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，数列{}n b 满足62n n nb a n =-，n N *∈. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记{}max ,n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . （注：{}max ,a b 表示a 与b 的最大值.）20.（本小题满分14分）已知函数()32693f x x x x =-+-. （1）求函数()f x 的极值；（2）定义：若函数()h x 在区间[](),s t s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”.试问函数()f x 在()3,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）已知双曲线()222:104x y E a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为1F 、2F，离心率为5，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅=.（1）求实数a的值；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上去异于点M、N的点H，满足PM MH，证明点H恒在一条定直PN HN线上.。
广东省广州市番禺区高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合A={x|x≥﹣1}，B={x|y=ln（x﹣2}，则A∩∁R B=（）A．[﹣1，2）B．[2，+∞）C．[﹣1，2] D．[﹣1，+∞）2．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．33．若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．3 B．C．D．4．在区间[0，1]上随机选取两个数x和y，则y＞2x的概率为（）A．B．C．D．5．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0；命题q：∀α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sin β，则下列命题中的真命题为（）A．（￢p）∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∨q D．￢（p∨q）6．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．48πB．32πC．12πD．8π7．已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段BC、CD 的中点，若•=﹣，则向量与的夹角为（）A．B．C． D．8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=24x的焦点，设点P为两曲线的一个公共点，若△PF1F2的面积为36，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=19．执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．510．若（1+2x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a0+a1+a2+…+a7的值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．253 D．12611．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点，若=4，则直线l的斜率为（）A．±B．±C．±D．±12．函数f（x）=sinωx+cosωx+1的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有12个零点，则n﹣m的最小值为（）A．12πB． C．6πD．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．复数z在复平面内对应的点是（1，﹣1），则= ．14．定积分（+x）dx的值为．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f （x）=x，则f（37.5）等于．16．将一块边长为6cm的正方形纸片，先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则其体积为cm3．三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；（2）求sinBsinC的值．18．设等差数列{a n}的公差为d，且2a1=d，2a n=a2n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．19．某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如图所示分布图：（Ⅰ）试确定图中实数a与b的值；（Ⅱ）规定等级D为“不合格”，其他等级为“合格”，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生，求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．20．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥PB；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．21．椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2．（Ⅰ）若椭圆E的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E的离心率；（Ⅱ）若椭圆E过点A（0，﹣2），直线AF1，AF2与椭圆的另一个交点分别为点B，C，且△ABC的面积为，求椭圆E的方程．22．已知函数f（x）=alnx+x2﹣x，其中a∈R．（Ⅰ）若a＞0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合A={x|x≥﹣1}，B={x|y=ln（x﹣2}，则A∩∁R B=（）A．[﹣1，2）B．[2，+∞）C．[﹣1，2] D．[﹣1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求定义域得集合B，根据交集与补集的定义写出运算结果．【解答】解：集合A={x|x≥﹣1}，B={x|y=ln（x﹣2}={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，∴∁R B={x|x≤2}，∴A∩∁R B={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1，2]．故选：C．2．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．3．若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．3 B．C．D．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则z的几何意义为区域内的点到原点距离，则由图象可知，当圆心O到点A的离最小，由可得A（1，1），此时d==，故选：D4．在区间[0，1]上随机选取两个数x和y，则y＞2x的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，求出两个变量对应的区域面积，利用面积比求概率．【解答】解：在区间[0，1]上随机选取两个数x和y，对应的区间为边长为1 的正方形，面积为1，在此条件下满足y＞2x的区域面积为，所以所求概率为；故选A．5．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0；命题q：∀α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sin β，则下列命题中的真命题为（）A．（￢p）∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∨q D．￢（p∨q）【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：关于命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0，△=4sin2θ﹣4≤0，故p是真命题，关于命题q：∀α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，是真命题，∴（￢p）∨q是真命题，故选：C．6．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．48πB．32πC．12πD．8π【考点】球的体积和表面积．【分析】以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，∴以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，该球的半径R==，∴该球的表面积为S=4πR2=4π×3=12π．故选：C．7．已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段BC、CD 的中点，若•=﹣，则向量与的夹角为（）A．B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，结合•求得＜，＞的值，即可求出向量与的夹角．【解答】解：如图所示，•=（﹣）•（﹣）=•﹣﹣=﹣；由||=||=2，||=||=1，可得•=1，∴cos＜，＞=，∴＜，＞=，即向量与的夹角为．故选：B．8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=24x的焦点，设点P为两曲线的一个公共点，若△PF1F2的面积为36，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用△PF1F2的面积为36，求出P的坐标，利用双曲线的定义，求出a，即可求出双曲线的方程．【解答】解：由题意，F2（6，0），设P（m，n），则∵△PF1F2的面积为36，∴=36，∴|n|=6，∴m=9，取P（9，6），则2a=﹣=6，∴a=3，b=3，∴双曲线的方程为﹣=1，故选A．9．执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】写出分段函数，利用x∈[a，b]，y∈[0，4]，即可b﹣a的最小值．【解答】解：由题意，y=，x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为2，此时区间为[0，2]或[2，4]，故选A．10．若（1+2x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a0+a1+a2+…+a7的值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．253 D．126【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值1即可求得a1+a2+…+a8的值．【解答】解：∵（1+2x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，∴a8=2•C77•（﹣2）7=﹣256．令x=1得：（1+2）（1﹣2）7=a0+a1+a2+…+a7+a8=﹣3，∴a1+a2+…+a7=﹣3﹣a8=﹣3+256=253．故选：C11．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点，若=4，则直线l的斜率为（）A．±B．±C．±D．±【考点】抛物线的简单性质．【分析】作MB垂直准线于B，作NC垂直准线于C，作NA垂直MB于A，根据抛物线定义，可得tan∠NMA就是直线l的斜率【解答】解：如图，作MB垂直准线于B，作NC垂直准线于C，根据抛物线定义，可得MB=MF，NC=NF作NA垂直MB于A，设FN=m，则MN=5m，NA=MF﹣NF=3m在直角三角形AMN中tan∠NMA=，∴直线l的斜率为±，故选：D12．函数f（x）=sinωx+cosωx+1的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有12个零点，则n﹣m的最小值为（）A．12πB． C．6πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由两角和的正弦函数化简f（x），由周期公式求出ω的值，由正弦函数的性质求出f（x）的根，由条件和正弦函数的周期性求出n﹣m的最小值．【解答】解：由题意得，f（x）=sinωx+cosωx+1=，因为函数f（x）的最小正周期为π，所以，解得ω=2，则，由得，，则或（k∈Z），解得x=kπ﹣，或x=kπ﹣，所以一个周期内相邻的零点之间的间隔为，因为当x∈[m，n]时，f（x）至少有12个零点，所以n﹣m的最小值为=，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．复数z在复平面内对应的点是（1，﹣1），则= 1+i ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由已知求得z，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵复数z在复平面内对应的点是（1，﹣1），∴z=1﹣i，则．故答案为：1+i．14．定积分（+x）dx的值为+．【考点】定积分．【分析】根据定积分的几何意义计算dx，利用微积分基本定理计算xdx，然后相加即可．【解答】解：根据定积分的几何意义可知dx表示以1为半径的圆面积的，∴dx=，又xdx=|=，∴（+x）dx=dx+xdx=．故答案为：．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f （x）=x，则f（37.5）等于﹣0.5 ．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据题意，由f（x+2）=﹣f（x）可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f （x）的周期为4，即有f（37.5）=f（1.5），结合题意可得f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f （﹣0.5），结合函数的奇偶性可得f（0.5）=﹣f（﹣0.5），进而结合函数在0≤x≤1上的解析式可得f（0.5）的值，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，由于f（x+2）=﹣f（x），则有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，则有f（37.5）=f（1.5+4×9）=f（1.5），又由f（x+2）=﹣f（x），则有f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），又由函数为奇函数，则f（0.5）=﹣f（﹣0.5），又由当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（0.5）=0.5；则有f（37.5）=f（1.5）=﹣f（﹣0.5）=f（0.5）=0.5，故f（37.5）=0.5；故答案为：0.5．16．将一块边长为6cm的正方形纸片，先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则其体积为cm3．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据图形正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，正四棱锥的斜高为a，运用图1得出×6=a+，a=2，计算出a，代入公式即可．【解答】解：∵正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，∴正四棱锥的斜高为a，∵图1得出：∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形∴×6=a+，a=2∴正四棱锥的体积是a2×a=cm3，故答案为．三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；（2）求sinBsinC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由题意和余弦定理列出式子，即可求出a的值；（2）由条件和正弦定理求出sinB和sinC的值，代入式子求出答案．【解答】解：（1）因为A=60°，b=5，c=4，所以由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣=21，则a=；（2）由正弦定理得，==，所以sinB==，sinC==所以sinBsinC=×=．18．设等差数列{a n}的公差为d，且2a1=d，2a n=a2n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）等差数列{a n}的公差为d，且2a1=d，2a n=a2n﹣1，n=1时，2a1=a2﹣1，可得2a1=a1+2a1﹣1，解得a1，d．利用通项公式即可得出．（2）b n==，利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差为d，且2a1=d，2a n=a2n﹣1，n=1时，2a1=a2﹣1，可得2a1=a1+2a1﹣1，解得a1=1．∴d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）b n==，∴数列{b n}的前n项和S n=++…+，∴=+…++，∴=2﹣=+2×﹣，∴S n=3﹣．19．某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如图所示分布图：（Ⅰ）试确定图中实数a与b的值；（Ⅱ）规定等级D为“不合格”，其他等级为“合格”，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生，求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）利用条形图，即可确定图中实数a与b的值；（Ⅱ）利用互斥事件的概率公式，即可求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意，6+a+33+6=60，∴a=15．0.15+b+0.2+0.15=1，∴b=0.5；（Ⅱ）设E1表示“甲校学生成绩等级为A”，则P（E1）=，E2表示“甲校学生成绩等级为B”，则P（E2）=，F1表示“乙校学生成绩等级为B或C”，则P（F1）=，F2表示“乙校学生成绩等级为C”，则P（F2）=，∴甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为+=．20．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥PB；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接PO，BO，由等腰三角形的性质可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面POB，则AC⊥PB；（Ⅱ）由平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，可得PO⊥平面ABC，以O 为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，然后分别求出平面PBC与平面PAC的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值求得二面角A﹣PC﹣B 的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AC中点O，连接PO，BO，∵PA=PC，∴PO⊥AC，又∵底面ABC为正三角形，∴BO⊥AC，∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，则AC⊥PB；（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∵AC=PC=2，∴P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，0，0），，，设平面PBC的一个法向量为，由，取y=﹣1，得，又是平面PAC的一个法向量，∴cos＜＞=．∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．21．椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2．（Ⅰ）若椭圆E的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E的离心率；（Ⅱ）若椭圆E过点A（0，﹣2），直线AF1，AF2与椭圆的另一个交点分别为点B，C，且△ABC的面积为，求椭圆E的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由2b=a+c，由b2=a2﹣c2，利用离心率公式即可求得椭圆的离心率；（Ⅱ）把直线AF2：y=x﹣2，代入椭圆方程，求得C点坐标，利用三角形的面积公式，即可求得c的值，则a2=b2+c2=5，求得椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）由长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则2b=a+c，则4b2=a2+2ac+c2，由b2=a2﹣c2，则4（a2﹣c2）=a2+2ac+c2，∴3a2﹣5c2﹣2ac=0，两边同除以a2，5e2+2e﹣3=0，由0＜e＜1，解得e=，（2）由已知可得b=2，把直线AF2：y=x﹣2，代入椭圆方程，整理得：（a2+c2）x2﹣2a2cx=0，∴x==，∴C（，y），由椭圆的对称性及平面几何知识可知，△ABC的面积为S=×2x×（y+2）== []2，∴[]2=，解得：c2=1，a2=b2+c2=5，故所求椭圆的方程为．22．已知函数f（x）=alnx+x2﹣x，其中a∈R．（Ⅰ）若a＞0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为a≥在（1，+∞）恒成立，令h（x）=，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=+2x﹣1=，（x＞0），令g（x）=2x2﹣x+a=2+a﹣，（x＞0），a≥时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，0＜a＜时，令g′（x）＞0，解得：x＞或0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x＜，故f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）x=1时，显然成立，x＞1时，问题转化为a≥在（1，+∞）恒成立，令h（x）=，则h′（x）=，令m（x）=（﹣2x+1）lnx+x﹣1，（x＞1），则m′（x）=﹣2lnx+＜0，故m（x）＜m（1）=0，故h′（x）在（1，+∞）递减，而==﹣1，故a≥﹣1．2017年4月8日感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学试卷及答案
PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
（21） （本小题满分 12 分） 已知函数 f x ln x
a a 0 . x
(Ⅰ) 若函数 f x 有零点, 求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 证明: 当 a
2 时, f x e x . e
所以数列 {an } 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列．……………………………………5 分 所以 an 2 2
n 1
2 n （n N*） ．
n 1
………………………………………………6 分 ………………………………………………8 分 ………………………………………………9 分 ………………………………………………10 分
图 1：乙流水线样本频率分布直方图
表 1：甲流水线样本的频数分布表
（Ⅰ）根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数； （Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了 5000 件产品，则甲，乙两 条流水线分别生产出不合格品约多少件？ （Ⅲ）根据已知条件完成下面 2 2 列联表，并回答是否有 85%的把握认为“该企业生产的这 种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？ 甲生产线 附 ： 合格品 不合格品 合计 乙生产线 合计
5 2
（14） x y 1 2
2 2
（15） 3
（16） 1
2 2
当 n 2 时， an S n S n 1 (2an 2) (2an 1 2) 2an 2an 1 ， ………………3 分 即 an 2an 1 ， ………………………………………………………4 分
0, 0
(Ｂ) 1, 1
2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷(文科)
2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合S={x|x＜-5或x＞5}，T={x|-7＜x＜3}，则S∩T=（）A.{x|-7＜x＜-5}B.{x|3＜x＜5}C.{x|-5＜x＜3}D.{{x|-7＜x＜5}【答案】A【解析】解：∵集合S={x|x＜-5或x＞5}，T={x|-7＜x＜3}，∴S∩T={x|-7＜x＜-5}．故选：A．利用交集定义和不等式性质求解．本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．2.在区间[-1，m]上随机选取一个数x，若x≤1的概率为，则实数m的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】解：由题意x≤1的概率为，则，解得m=4；故选C．利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于m的等式解之．本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础3.设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】解：f（f（2））=f（log3（22-1））=f（1）=2e1-1=2，故选C．考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22-1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1-1=2．此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．4.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=2px的焦点，设P 为两曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为（）A.18B.18C.36D.36【答案】D【解析】解：由题意，=6，p=12，双曲线方程与抛物线方程联立，可得P（9，6），∴△PF1F2的面积为=36，故选D．求出P的坐标，即可求出△PF1F2的面积．本题考查双曲线、抛物线的方程与性质，考查三角形面积的计算，属于中档题．5.若实数x、y满足，则z=2x-y的最大值为（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】域（如图△ABO），变形目标函数可得y=2x-z，平移直线y=2x可知当直线经过点A时，直线的截距最小，z取最大值，由可得，A（，）代值计算可得z=2x-y的最大值为1，故选：C．作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6.已知命题p：∀x∈R，x2-2xsinθ+1≥0；命题q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为（）A.（￢p）∧qB.￢（p∧q）C.（￢p）∨qD.p∧（￢q）【答案】C【解析】解：关于命题p：∀x∈R，x2-2xsinθ+1≥0，△=4sin2θ-4≤0，故p是真命题，关于命题q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，是真命题，∴（￢p）∨q是真命题，故选：C．分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．本题考查了复合命题的判断，考查二次函数以及三角函数问题，是一道基础题．7.若函数f（x）为区间D上的凸函数，则对于D上的任意n个值x1、x2、…、x n，总有f（x1）+f（x2）+…+f（x n）≤nf（），现已知函数f（x）=sinx在[0，]上是凸函数，则在锐角△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由已知凸函数的性质得到sin A+sin B+sin C=3sin=；所以在锐角△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值为；故选D．利用凸函数对于D上的任意n个值x1、x2、…、x n，总有f（x1）+f（x2）+…+f（x n）≤nf（），将函数f（x）=sinx在[0，]，sin A+sin B+sin C，得到所求．本题考查了新定义问题中凸函数的性质的运用；明确新定义是解答的关键．8.三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.48πB.32πC.12πD.8π【答案】C【解析】解：∵三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，∴以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，该球的半径R==，∴该球的表面积为S=4πR2=4π×3=12π．故选：C．以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、三棱柱的性质及构造法的合理应用．9.执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b-a的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】解：由题意，y=，x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b-a的最小值为2，此时区间为[0，2]或[2，4]，故选A．写出分段函数，利用x∈[a，b]，y∈[0，4]，即可b-a的最小值．本题考查程序框图，考查分段函数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10.已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段BC、CD的中点，若•=-，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图所示，•=（-）•（-）=•--=-；由||=||=2，||=||=1，可得•=1，∴cos＜，＞=，∴＜，＞=，即向量与的夹角为．故选：B．由题意画出图形，结合•求得＜，＞的值，即可求出向量与的夹角．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了向量的加法、减法运算问题，是综合题．11.一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图（2），△PMN是该四棱锥的正视图，由图（1）知：PM+PN=6，且PM=PN，由△PMN为等腰直角三角形，知MN=3，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，∴PO=，∴该容器的体积为==9．故选：D．推导出PM+PN=6，且PM=PN，MN=3，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，由此能求出该容器的体积．解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断．12.已知椭圆E：+=1的一个顶点为C（0，-2），直线l与椭圆E交于A、B两点，若E的左焦点为△ABC的重心，则直线l的方程为（）A.6x-5y-14=0B.6x-5y+14=0C.6x+5y+14=0D.6x+5y-14=0【答案】B【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆+=1的左焦点为（-1，0），∵点C（0，-2），且椭圆左焦点F1恰为△ABC的重心∴=-1，=0∴x1+x2=-3，y1+y2=2①∵，，∴两式相减得：+=0将①代入得：=，即直线l的斜率为k==，∵直线l过AB中点（-，1）∴直线l的方程为y-1=（x+）故答案为6x-5y+14=0，故选B．先由椭圆左焦点F1恰为△ABC的重心，得相交弦AB的中点坐标，再由点A、B在椭圆上，利用点差法，将中点坐标代入即可的直线l的斜率，最后由直线方程的点斜式写出直线方程即可．本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系、三角形的重心坐标公式、直线的点斜式方程，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若复数a+i是纯虚数，则实数a= ______ ．【答案】【解析】解：∵复数a+i是纯虚数，则实数a=0．故答案为：0．利用纯虚数的定义即可得出．本题考查了纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.曲线y=sinx+1在点（0，1）处的切线方程为______ ．【答案】x-y+1=0【解析】解：∵y′=cosx，∴切线的斜率k=y′|x=0=1，∴切线方程为y-1=x-0，即x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先对函数y=sinx+1进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线y=sinx+1在点x=0处的切线斜率，由点斜式方程进而可得到切线方程．本题主要考查导数的几何意义，考查函数的求导运算，直线的点斜式方程，属于基础题．15.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于______ ．【答案】-0.5【解析】解：根据题意，由于f（x+2）=-f（x），则有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，则有f（37.5）=f（1.5+4×9）=f（1.5），又由f（x+2）=-f（x），则有f（1.5）=f[2+（-0.5）]=-f（-0.5），又由函数为奇函数，则f（0.5）=-f（-0.5），又由当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（0.5）=0.5；则有f（37.5）=f（1.5）=-f（-0.5）=f（0.5）=0.5，故f（37.5）=0.5；故答案为：0.5．根据题意，由f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，即有f（37.5）=f（1.5），结合题意可得f（1.5）=f[2+（-0.5）]=-f（-0.5），结合函数的奇偶性可得f（0.5）=-f（-0.5），进而结合函数在0≤x≤1上的解析式可得f （0.5）的值，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的应用，涉及函数的周期性的应用，关键是求出函数f（x）的周期．16.函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f （x）至少有5个零点，则n-m的最小值为______ ．【答案】2π【解析】解：函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）化简可得：f（x）=2sin（2ωx+）+1．∵最小正周期为π，即T=π，∴，可得ω=1．∴f（x）=2sin（2x+）+1．根据正弦函数的图象及性质可知：函数f（x）的y轴左侧的第一个零点为，右侧的第一个零点为，x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，不妨设m=，则n=．此时n-m可得最小值为2π．故答案为2π．将函数化简为f（x）=2sin（2ωx+）+1．的最小正周期为π，可得f（x）=2sin（2x+）+1．可知在y轴左侧的第一个零点为，右侧的第一个零点为，x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，可得n-m的最小值．本题考查了函数图象的零点问题，抓住：函数f（x）的y轴左侧右侧的第一个零点是解题的关键！属于基础题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；（2）求sin B sin C的值．【答案】解：（1）因为A=60°，b=5，c=4，所以由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A=25+16-=21，则a=；（2）由正弦定理得，==，所以sin B==，sin C==所以sin B sin C=×=．【解析】（1）由题意和余弦定理列出式子，即可求出a的值；（2）由条件和正弦定理求出sin B和sin C的值，代入式子求出答案．本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．18.设等差数列{a n}的公差为d，且2a1=d，2a n=a2n-1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】解：（1）∵等差数列{a n}的公差为d，2a n=a2n-1．取n=1，则2a1=a2-1=a1+d-1，与2a1=d联立，解得d=2，a1=1．∴a n=1+2（n-1）=2n-1．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和S n=+…+，=+…++，∴=+…+-=-，∴S n=2-．【解析】（1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.某市为了解各校（同学）课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如图所示分布图：（Ⅰ）试确定图中实数a与b的值；（Ⅱ）若将等级A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；（Ⅲ）从两校获得A等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率．【答案】解：（Ⅰ）∵测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，∴由甲校样本频数分布条形图知：6+a+33+6=60，解得a=15，由乙校样本频率分布条形图得：0.15+b+0.2+0.15=1，解得b=0.5．（Ⅱ）由数据可得甲校的平均值为甲==67，乙校的平均值为乙=90×0.15+80×0.5+60×0.2+50×0.15=73．（Ⅲ）由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E，F，乙校抽3人，分别记作M，N，Q，从5人中任选2人，一共有10个基本事件，分别为：EF，EM，EN，EQ，FM＜FN，FQ，MN，MQ，NQ，其中2人来自同一学校包含中EF，MN＜MQ＜NQ，∴两人来自同一学校的概率p=．【解析】（Ⅰ）由甲校样本频数分布条形图能求出a，由乙校样本频率分布条形图能求出b．（Ⅱ）由样本数据能求出甲校的平均值和乙校的平均值．（Ⅲ）由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E，F，乙校抽3人，分别记作M，N，Q，从5人中任选2人，利用列举法能求出两人来自同一学校的概率．本题考查频率分布图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20.如图，三棱锥P-ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥PB；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱锥P-ABC的体积．【答案】（Ⅰ）证明：如图，取AC中点O，连接PO，BO，∵PA=PC，∴PO⊥AC，又∵底面ABC为正三角形，∴BO⊥AC，∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，则AC⊥PB；（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，又AB=2，PA⊥PC，可得PO=1，且．∴．【解析】（Ⅰ）取AC中点O，连接PO，BO，由等腰三角形的性质可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面POB，则AC⊥PB；（Ⅱ）由面面垂直的性质可得PO⊥平面ABC，再由已知求出三角形ABC的面积，即PO 的长度，代入棱锥体积公式求得三棱锥P-ABC的体积．本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．21.已知圆C：（x-6）2+y2=20，直线l：y=kx与圆C交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若=2，求直线l的方程．【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，圆心C（6，0）到直线l：y=kx的距离小于半径，即＜，求得-＜k＜．（Ⅱ）把直线l：y=kx代入圆C：（x-6）2+y2=20，化简可得（1+k2）x2-12x+16=0，∴x1+x2=，x1•x2=．若=2，则x2=2x1，则x1=，x2=，∴则x1•x2=•=，∴k=±1，故直线l：y=±x．【解析】（Ⅰ）根据题意可得圆心C（6，0）到直线l：y=kx的距离小于半径，由此求得k 的范围．（Ⅱ）把直线l：y=kx代入圆C，化简后利用韦达定理，再根据=2，可得x2=2x1，从而求得k的值，可得直线l的方程．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，韦达定理的应用，属于中档题．22.已知函数f（x）=alnx+x2-x，其中a∈R．（Ⅰ）若a＜0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【答案】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）==，令f′（x）=0得2x2-x+a=0，解得x1=，x2=，∵a＜0，∴x1＜0，x2＞0，∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（II）若a=0时，f（x）=x2-x，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f min（x）=f（1）=0，符合题意．若a＜0，由（I）可知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当≤1即-1≤a＜0时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f min（x）=f（1）=0，符合题意，当＞1即a＜-1时，f（x）在[1，）上单调递减，在[，+∞）上单调递增，∴f min（x）=f（）＜f（1）=0，不符合题意．若a＞0，令f′（x）=0得2x2-x+a=0，∴当△=1-8a≤0即a时，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，高中数学试卷第11页，共12页∴f min（x）=f（1）=0，符合题意．若0＜＜，则2x2-x+a=0有两正实数解，x1=，x2=，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∵＜1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f min（x）=f（1）=0，符合题意，综上，a的取值范围是[-1，+∞）．【解析】（I）令f′（x）=0求出f（x）的极值点，结合f（x）的定义域得出f′（x）的符号变换情况，从而得出f（x）的单调性；（II）对a进行讨论，判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，得出f（x）在[1，+∞）上的最小值f min（x），即可得出结论．本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，分类讨论思想，属于中档题．高中数学试卷第12页，共12页。
2017年广州一模试题和标准答案(文科数学)
2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）复数21i+的虚部是 （A ）2- （B ） 1- （C ）1 （D ）2 （2）已知集合}{}{2001x x ax ,+==，则实数a 的值为（A ） 1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）已知tan 2θ=，且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2θ= (Ａ)45 (Ｂ) 35 (Ｃ) 35- (（4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）已知函数()122,0,1log ,0,+⎧≤=⎨->⎩x x f x x x 则()()3=f f(Ａ)43 (Ｂ) 23 (Ｃ) 43- (（6）已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F , 是双曲线C 的左, 右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且12=PF , 则（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10（7）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的()1,1-（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑, PA ⊥平面ABC ,2PA AB ==，4AC =,三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面 积为（A ）8π （B ）12π （C ）20π （D ）24π（11）已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ωϕωϕωϕπf x x x 是奇函数，直线y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则 （A ）()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 （B ）()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 （C ）()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 （D ）()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 （12）已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（A ）2016 （B ）1008 （C ）504 （D ）0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷(文科)含答案解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．设集合 S={ x| x＜﹣ 5 或 x＞ 5} ，T={ x| ﹣7＜x＜3} ，则 S∩T=（ ） A． { x | ﹣7＜x＜﹣ 5} B．{ x | 3＜x＜5} C． { x| ﹣5＜x＜3} D．{{ x| ﹣7＜x ＜ 5}
A． 6x﹣5y﹣ 14=0 B．6x﹣ 5y+14=0 C．6x+5y+14=0 D． 6x+5y﹣14=0
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．若复数 a+i 是纯虚数，则实数 a= ．
14．曲线 y=sinx+1 在点（ 0，1）处的切线方程为
．
15．已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ x）满足 f（x+2） =﹣ f（x ），当 0≤
2017 年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．设集合 S={ x| x＜﹣ 5 或 x＞ 5} ，T={ x| ﹣7＜x＜3} ，则 S∩T=（ ） A． { x | ﹣7＜x＜﹣ 5} B．{ x | 3＜x＜5} C． { x| ﹣5＜x＜3} D．{{ x| ﹣7＜x ＜ 5} 【考点】 交集及其运算． 【分析】 利用交集定义和不等式性质求解． 【解答】 解：∵集合 S={ x| x＜﹣ 5 或 x＞ 5} ，T={ x| ﹣7＜x＜3} ， ∴ S∩ T={ x| ﹣7＜x＜﹣ 5} ． 故选： A．
的焦点，设 P 为两曲线的一个公共点，则△ PF1F2 的面积为（
）
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2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，则S∩T=（）A．{x|﹣7＜x＜﹣5}B．{x|3＜x＜5}C．{x|﹣5＜x＜3}D．{{x|﹣7＜x ＜5}2．在区间[﹣1，m]上随机选取一个数x，若x≤1的概率为，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=2px的焦点，设P为两曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为（）A．18 B．18C．36 D．365．若实数x、y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A．B．C．1 D．26．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0；命题q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为（）A．（￢p）∧q B．￢（p∧q） C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）7．若函数f（x）为区间D上的凸函数，则对于D上的任意n个值x1、x2、…、x n，总有f（x1）+f（x2）+…+f（x n）≤nf（），现已知函数f（x）=sinx在[0，]上是凸函数，则在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）A．B．C．D．8．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．48π B．32π C．12π D．8π9．执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．510．已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段BC、CD的中点，若•=﹣，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．11．一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）A．B．C．D．12．已知椭圆E： +=1的一个顶点为C（0，﹣2），直线l与椭圆E交于A、B两点，若E的左焦点为△ABC的重心，则直线l的方程为（）A．6x﹣5y﹣14=0 B．6x﹣5y+14=0 C．6x+5y+14=0 D．6x+5y﹣14=0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若复数a+i是纯虚数，则实数a=．14．曲线y=sinx+1在点（0，1）处的切线方程为．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于．16．函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，则n﹣m的最小值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；（2）求sinBsinC的值．18．设等差数列{a n}的公差为d，且2a1=d，2a n=a2n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．19．某市为了解各校（同学）课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如图所示分布图：（Ⅰ）试确定图中实数a与b的值；（Ⅱ）若将等级A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；（Ⅲ）从两校获得A等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率．20．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥PB；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱锥P﹣ABC的体积．21．已知圆C：（x﹣6）2+y2=20，直线l：y=kx与圆C交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若=2，求直线l的方程．22．已知函数f（x）=alnx+x2﹣x，其中a∈R．（Ⅰ）若a＜0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，则S∩T=（）A．{x|﹣7＜x＜﹣5}B．{x|3＜x＜5}C．{x|﹣5＜x＜3}D．{{x|﹣7＜x ＜5}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：∵集合S={x|x＜﹣5或x＞5}，T={x|﹣7＜x＜3}，∴S∩T={x|﹣7＜x＜﹣5}．故选：A．2．在区间[﹣1，m]上随机选取一个数x，若x≤1的概率为，则实数m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】几何概型．【分析】利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于m 的等式解之．【解答】解：由题意x≤1的概率为，则，解得m=4；故选C．3．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．4．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，且F2为抛物线y2=2px的焦点，设P为两曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为（）A．18 B．18C．36 D．36【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出P的坐标，即可求出△PF1F2的面积．【解答】解：由题意，=6，p=12，双曲线方程与抛物线方程联立，可得P（9，6），∴△PF1F2的面积为=36，故选D．5．若实数x、y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A．B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域（如图△ABO），变形目标函数可得y=2x﹣z，平移直线y=2x可知当直线经过点A时，直线的截距最小，z取最大值，由可得，A（，）代值计算可得z=2x﹣y的最大值为1，故选：C．6．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0；命题q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为（）A．（￢p）∧q B．￢（p∧q） C．（￢p）∨q D．p∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：关于命题p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0，△=4sin2θ﹣4≤0，故p是真命题，关于命题q：∃α，β∈R，sin（α+β）≤sinα+sinβ，是真命题，∴（￢p）∨q是真命题，故选：C．7．若函数f（x）为区间D上的凸函数，则对于D上的任意n个值x1、x2、…、x n，总有f（x1）+f（x2）+…+f（x n）≤nf（），现已知函数f（x）=sinx在[0，]上是凸函数，则在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用凸函数对于D上的任意n个值x1、x2、…、x n，总有f（x1）+f（x2）+…+f（x n）≤nf（），将函数f（x）=sinx在[0，]，sinA+sinB+sinC，得到所求．【解答】解：由已知凸函数的性质得到sinA+sinB+sinC=3sin=；所以在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为；故选D．8．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．48π B．32π C．12π D．8π【考点】球的体积和表面积．【分析】以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，∴以AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，该球的半径R==，∴该球的表面积为S=4πR2=4π×3=12π．故选：C．9．执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】写出分段函数，利用x∈[a，b]，y∈[0，4]，即可b﹣a的最小值．【解答】解：由题意，y=，x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b﹣a的最小值为2，此时区间为[0，2]或[2，4]，故选A．10．已知向量、、满足=+，||=2，||=1，E、F分别是线段BC、CD的中点，若•=﹣，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，结合•求得＜，＞的值，即可求出向量与的夹角．【解答】解：如图所示，•=（﹣）•（﹣）=•﹣﹣=﹣；由||=||=2，||=||=1，可得•=1，∴cos＜，＞=，∴＜，＞=，即向量与的夹角为．故选：B．11．一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形（如图（3）），则该容器的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出PM+PN=6，且PM=PN，MN=3，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，由此能求出该容器的体积．【解答】解：如图（2），△PMN是该四棱锥的正视图，由图（1）知：PM+PN=6，且PM=PN，由△PMN为等腰直角三角形，知MN=3，PM=3，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，∴PO=，∴该容器的体积为==9．故选：D．12．已知椭圆E： +=1的一个顶点为C（0，﹣2），直线l与椭圆E交于A、B两点，若E的左焦点为△ABC的重心，则直线l的方程为（）A．6x﹣5y﹣14=0 B．6x﹣5y+14=0 C．6x+5y+14=0 D．6x+5y﹣14=0【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆左焦点F1恰为△ABC的重心，得相交弦AB的中点坐标，再由点A、B在椭圆上，利用点差法，将中点坐标代入即可的直线l的斜率，最后由直线方程的点斜式写出直线方程即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆+=1的左焦点为（﹣1，0），∵点C（0，﹣2），且椭圆左焦点F1恰为△ABC的重心∴=﹣1，=0∴x1+x2=﹣3，y1+y2=2 ①∵，，∴两式相减得： +=0将①代入得：=，即直线l的斜率为k==，∵直线l 过AB中点（﹣，1）∴直线l的方程为y﹣1=（x+）故答案为6x﹣5y+14=0，故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若复数a+i是纯虚数，则实数a=0．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数a+i是纯虚数，则实数a=0．故答案为：0．14．曲线y=sinx+1在点（0，1）处的切线方程为x﹣y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先对函数y=sinx+1进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线y=sinx+1在点x=0处的切线斜率，由点斜式方程进而可得到切线方程．【解答】解：∵y′=cosx，∴切线的斜率k=y′|x=0=1，∴切线方程为y﹣1=x﹣0，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于﹣0.5．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据题意，由f（x+2）=﹣f（x）可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，即有f（37.5）=f（1.5），结合题意可得f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），结合函数的奇偶性可得f（0.5）=﹣f（﹣0.5），进而结合函数在0≤x≤1上的解析式可得f（0.5）的值，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，由于f（x+2）=﹣f（x），则有f（x+4）=﹣f（x+2）=f （x），即函数f（x）的周期为4，则有f（37.5）=f（1.5+4×9）=f（1.5），又由f（x+2）=﹣f（x），则有f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），又由函数为奇函数，则f（0.5）=﹣f（﹣0.5），又由当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（0.5）=0.5；则有f（37.5）=f（1.5）=﹣f（﹣0.5）=f（0.5）=0.5，故f（37.5）=0.5；故答案为：0.5．16．函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，则n﹣m的最小值为2π．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】将函数化简为f（x）=2sin（2ωx+）+1．的最小正周期为π，可得f（x）=2sin（2x+）+1．可知在y轴左侧的第一个零点为，右侧的第一个零点为，x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，可得n﹣m的最小值．【解答】解：函数f（x）=sinωx+cosωx+1（ω＞0）化简可得：f（x）=2sin（2ωx+）+1．∵最小正周期为π，即T=π，∴，可得ω=1．∴f（x）=2sin（2x+）+1．根据正弦函数的图象及性质可知：函数f（x）的y轴左侧的第一个零点为，右侧的第一个零点为，x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，不妨设m=，则n=．此时n﹣m可得最小值为2π．故答案为2π．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；（2）求sinBsinC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由题意和余弦定理列出式子，即可求出a的值；（2）由条件和正弦定理求出sinB和sinC的值，代入式子求出答案．【解答】解：（1）因为A=60°，b=5，c=4，所以由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣=21，则a=；（2）由正弦定理得，==，所以sinB==，sinC==所以sinBsinC=×=．18．设等差数列{a n}的公差为d，且2a1=d，2a n=a2n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差为d，2a n=a2n﹣1．取n=1，则2a1=a2﹣1=a1+d﹣1，与2a1=d联立，解得d=2，a1=1．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和S n=+…+，=+…++，∴=+…+﹣=﹣，∴S n=2﹣．19．某市为了解各校（同学）课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如图所示分布图：（Ⅰ）试确定图中实数a与b的值；（Ⅱ）若将等级A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；（Ⅲ）从两校获得A等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）由甲校样本频数分布条形图能求出a，由乙校样本频率分布条形图能求出b．（Ⅱ）由样本数据能求出甲校的平均值和乙校的平均值．（Ⅲ）由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E，F，乙校抽3人，分别记作M，N，Q，从5人中任选2人，利用列举法能求出两人来自同一学校的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级，随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，∴由甲校样本频数分布条形图知：6+a+33+6=60，解得a=15，由乙校样本频率分布条形图得：0.15+b+0.2+0.15=1，解得b=0.5．（Ⅱ）由数据可得甲校的平均值为==67，乙校的平均值为=90×0.15+80×0.5+60×0.2+50×0.15=73．（Ⅲ）由样本数据可知集训的5人中甲校抽2人，分别记作E，F，乙校抽3人，分别记作M，N，Q，从5人中任选2人，一共有10个基本事件，分别为：EF，EM，EN，EQ，FM＜FN，FQ，MN，MQ，NQ，其中2 人来自同一学校包含中EF，MN＜MQ＜NQ，∴两人来自同一学校的概率p=．20．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥PB；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱锥P﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接PO，BO，由等腰三角形的性质可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面POB，则AC⊥PB；（Ⅱ）由面面垂直的性质可得PO⊥平面ABC，再由已知求出三角形ABC的面积，即PO的长度，代入棱锥体积公式求得三棱锥P﹣ABC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AC中点O，连接PO，BO，∵PA=PC，∴PO⊥AC，又∵底面ABC为正三角形，∴BO⊥AC，∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，则AC⊥PB；（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，又AB=2，PA⊥PC，可得PO=1，且．∴．21．已知圆C：（x﹣6）2+y2=20，直线l：y=kx与圆C交于不同的两点A、B．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若=2，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据题意可得圆心C（6，0）到直线l：y=kx的距离小于半径，由此求得k的范围．（Ⅱ）把直线l：y=kx代入圆C，化简后利用韦达定理，再根据=2，可得x2=2x1，从而求得k的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，圆心C（6，0）到直线l：y=kx的距离小于半径，即＜，求得﹣＜k＜．（Ⅱ）把直线l：y=kx代入圆C：（x﹣6）2+y2=20，化简可得（1+k2）x2﹣12x+16=0，∴x1+x2=，x1•x2=．若=2，则x2=2x1，则x1=，x2=，∴则x1•x2=•=，∴k=±1，故直线l：y=±x．22．已知函数f （x ）=alnx +x 2﹣x ，其中a ∈R ． （Ⅰ）若a ＜0，讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）当x ≥1时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（I ）令f′（x ）=0求出f （x ）的极值点，结合f （x ）的定义域得出f′（x ）的符号变换情况，从而得出f （x ）的单调性；（II ）对a 进行讨论，判断f （x ）在[1，+∞）上的单调性，得出f （x ）在[1，+∞）上的最小值f min （x ），即可得出结论． 【解答】解：（I ）f （x ）的定义域为（0，+∞），f′（x ）==，令f′（x ）=0得2x 2﹣x +a=0，解得x 1=，x 2=，∵a ＜0，∴x 1＜0，x 2＞0，∴当0＜x ＜时，f′（x ）＜0，当x ＞时，f′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（II ）若a=0时，f （x ）=x 2﹣x ，∴f （x ）在[1，+∞）上单调递增，∴f min （x ）=f （1）=0，符合题意．若a ＜0，由（I ）可知f （x ）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当≤1即﹣1≤a ＜0时，f （x ）在[1，+∞）上单调递增，∴f min （x ）=f （1）=0，符合题意，当＞1即a ＜﹣1时，f （x ）在[1，）上单调递减，在[，+∞）上单调递增，∴f min （x ）=f （）＜f （1）=0，不符合题意．若a ＞0，令f′（x ）=0得2x 2﹣x +a=0，∴当△=1﹣8a ≤0即a时，f′（x ）≥0恒成立，∴f （x ）在[1，+∞）上单调递增，∴f min（x）=f（1）=0，符合题意．若0，则2x2﹣x+a=0有两正实数解，x1=，x2=，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∵＜1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f min（x）=f（1）=0，符合题意，综上，a的取值范围是[﹣1，+∞）．2017年4月3日。