如何从一次函数图象上获取信息解读

如何从一次函数图象上获取信息

安徽张雷

从函数图象获取信息,主要从图象上的坐标获取数据,由自变量值求出相应的函数值;由相应的函数值为求出自变量值.利用从图象上的某些点的坐标提供的数据进行分析、处理,可以获取图象所表示的函数关系的丰富信息,解答各种相关问题.函数图象信息题已成为中考命题的热点.下面分类予以说明.

1. 从一个一次函数图象获取信息的要点

在坐标系中给出一个一次函数图象,即一条直线（或一线段、一射线）,利用所给的特殊点的坐标,读取其中所要表达的信息,即由自变量值求出相应的函数值;由相应的函数值求出自变量值.通过对图象上某些点的坐标提供的数据,进行分析、处理,可以获取图象所表示的函数关系的丰富信息,解答各种相关问题.一般会出现在纯函数图象、行程问题、产量问题等题目中,要理解好图象与轴轴的交点所表达的实际含义. 用表格表示如下:

例1.某公司市场营销部的营销员的个人月收入与该营销员每月的销量成一次函数关系，其图象如图所示. 根据图象提供的信息，解答下列问题：

⑴求出营销人员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件(x≥0)之间的函数关

系式；

⑵已知该公司营销员李平5月份的销售量为1.2万件，求李平5月份的收入.

【分析】本题由“图”可以识“数”,这是研究函数的的重要方法.通过图象上的特殊点的坐标,求解出函数关系式,再由关系式求解相应的问题. 解:(1)依已知条件可设所求的函数关系式为y ＝kx ＋b

因为函数图象过(0,400)和(2,1600)两点,所以 b =400,2k ＋b =1600,

解这个方程，得 k =600. 故所求的函数关系式为y ＝600x ＋400 (2)当x ＝1.2时，y ＝600×1.2＋400＝1120(元) 即李平5月份的收入为1120元.

2.从二个一次函数图象获取信息的要点

在同一坐标系中,同时出现二个一次函数的图象,即两条直线,利用所给图象的位置关 系,交点坐标,与x 轴、y 轴交点坐标,读取其中所要表达的信息,一般出现在用来比较产量、速度、资费等问题,关键是理解好交点坐标的涵义.

从二个相交一次函数图象获取信息 看图象

获取信息

两直线的交点为(00,)x y

两个一次函数,当自变量值为0x 时,函数值都为0y 或当函数值为0y ,自变量值都为0x .

当自变量为x ＞0x 时,函数值1y ＞2y ,即对同一自变量x 的值,图象在上面的函数值大. 当自变量为x ＜0x 时,函数值1y ＜2y ,即对同一自变量x 的值,图象在下面的函数值小.

例3.如图，1l 表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；2l 表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系。

(1)写出销售收入与销售量之间的函数关系式； (2)写出销售成本与销售量之间的函数关系式；

(3)当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；

(4)当一天的销售超过多少辆时，工厂才能获利？（利润=收入-成本）

【分析】首先从y 轴知两直线经过(0,2);(0,4),由图象知两直线的交点为(4,4),利用待定系数法可求两函数关系式.

（万件） （元） y x 0

1

2

400 1600

解:（1）设y kx =,因为直线过(4,4),则4=6k ,k =1,所以y =x ;

（2）设y kx b =+,因为直线过（0，2）、（4，4）两点,所以2y kx =+又442k =+,所以1

2

k = 所以1

22

y x =

+ （3）由图像知，当4x =时，销售收入等于销售成本或1

22

x x =

+∴4x = （4）由图像知：当4x >时，工厂才能获利

例4 东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．•该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择． 甲：买一支毛笔赠送一本书法练习本． 乙：按购买金额打九折付款．

某校欲为校书法兴趣组购买这种毛笔10支，书法练习本x （x ≤10）本．如何选择方案购买呢？

【分析】本题具有一定的开放性.根据题目提供的条件,可确定出两种优惠方案,实际所花费金额y 元与书法练习本x 之间的关系式,结合函数的关系式,自变量的取值范围,利用函数图象,可直观予以解决. 解：方法一

分别根据题意写出甲、乙两种方案的实际金额y 元与书法练习本x 本之间的关系式： y 甲=（x -10）×5+25×10=5x +200 y 乙=（10×25+5x ）×0．9=4．5x +225

在同一直角坐标系中画出两个函数图象：

解方程组5200,4.5250.y x y x =+⎧⎨

=+⎩ 得50,

450.x y =⎧⎨=⎩

所以两直线交于点（50，450）．

由图象很容易看到：

当1050时 y 甲>y 乙．

所以我建议：如果购买书法练习本少于50本时选择方案甲；如果购买书法练习本等于50本时选择哪种方案无区别；如果购买书法练习本多于50本时则要选择方案乙．这样的购买方法最省钱．

方法二：如果方案乙与方案甲实际付金额差为y 元，购买书法练习本数为x 本，•则y 与x 的关系式为：

y=-0.5x+25．

在坐标系中画出图象：

计算出直线y=-0.5x+25与x轴的交点为（50，0）．

由图象可知：

当x<50时y>0选方案甲省钱，

当x=50时y=0选方案甲、乙无区别，

当x>50时y<0选方案乙省钱．

与方法一有同样的结论．

【说明】利用图象来分析问题、解决问题形象直观,在同一坐标系内,两图象的交点表示对同一x值,两函数值相等;图象在上面的函数值大,下面的函数值小.认识这些有助于解决两函数图象有交点的问题.

3.折线图象型

这类问题由于变量的取值范围不同，函数图象呈现出不同状态（若干条折线形），由此我们可以确定出不同的函数解析式，解这类问题的关键是把握所给图象是"上升线、水平线、下降线"的内涵（即从左到右，图形是上升趋势，还是下降趋势，还是一水平线段）以及转折点的纵横坐标的数值，然后结合函数的性质予以解决.

例5 小明在暑期社会实践活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完。销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示。

请你根据图像提供的信息完成以下问题：

(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜x(千克)之间的

函数关系式。

(2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜?

(3)小明这次卖瓜赚了多少钱?

【分析】这类函数又称分段函数,其特点是在自变量不同的范围内,函数的关系式不同,图象也不同.应注意两函数的转折点的坐标,它起到承上启下的功能.

解:（1）设函数关系未y=kx, 则k=64

1.6,

40

所以y=1.6x.

（2）由（1）知,降价前西瓜售价每千克1.6元,所以降价0.4元西瓜每千克售价1.2元,所以降价后销售的西瓜为（76－64）÷1.2=10（千克）,所以小明从批发市场共购进50千克西瓜. （3）76－（50×0.8）=36（元）, 即小明这次卖瓜赚了36元.

【说明】从图象中获取信息,将实际问题与图象结合起来,是近年来的中考热点问题,也是新课标的要求.

例6 （宁夏）

春、秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到0℃以下的天气现象称为“霜冻”．由