如何从一次函数图象上获取信息解读
一次函数的函数图像与方程解析解的几何解释
一次函数的函数图像与方程解析解的几何解释一次函数是数学中的基础概念，它在代数和几何中都有重要的应用。
函数图像和方程的解析解为我们提供了关于一次函数的几何解释。
本文将探讨一次函数的函数图像与方程解析解的几何解释。
一次函数的一般形式为 y = ax + b，其中a和b为常数。
函数图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
斜率决定了直线的倾斜程度，而截距则确定了直线与y轴的交点。
首先，我们来看一次函数的斜率。
斜率表示了函数图像上每单位x变化对应的y的变化量。
当a>0时，函数图像为从左下到右上的上升直线；当a<0时，函数图像为从左上到右下的下降直线；当a=0时，函数图像为水平直线，与x轴平行。
其次，截距b代表了函数图像与y轴的交点。
当b>0时，函数图像与y轴交于正y轴上方的某点；当b<0时，函数图像与y轴交于负y轴上方的某点；当b=0时，函数图像与y轴交于原点。
通过分析一次函数的函数图像，我们可以获得关于方程的解析解的几何解释。
考虑方程 y = ax + b = 0，我们可以通过图像解读方程的解析解。
当a>0时，方程的解析解是一个真正的实数解x = -b/a。
这意味着函数图像与x轴的交点恰好是直线上的一点，该点坐标为(-b/a, 0)。
当a<0时，方程的解析解同样是一个真正的实数解x = -b/a。
也就是说，函数图像与x轴的交点仍然是直线上的一点，只是这次是在直线下方。
当a=0时，方程变为 b = 0，此时方程的解析解是一个无穷解集，表示函数图像平行于x轴。
也就是说，直线在整个平面上无限延伸。
通过分析一次函数的函数图像与方程解析解的几何解释，我们可以更好地理解一次函数的性质和特点。
掌握了一次函数的图像与解析解的关系，我们能够更准确地描述和分析一次函数的行为。
这对于解决实际问题、研究数学模型以及理解其他更复杂的数学概念都非常重要。
总结起来，一次函数的函数图像是一条直线，其斜率和截距可以提供关于函数性质的重要信息。
理解一次函数的图像特征
理解一次函数的图像特征一次函数是数学中常见的一种函数类型，其图像特征具有一定的规律性和可观察性。
通过深入理解一次函数的图像特征，我们可以更好地解读和分析函数在数轴上的变化规律，进而应用于实际问题中。
本文将从斜率、截距和变化趋势等方面，探讨一次函数的图像特征。
一、斜率的意义与影响一次函数的图像特征中，斜率起着重要的作用。
斜率代表了函数图像在数轴上的倾斜程度，表征了函数值随自变量增大而变化的速率。
一次函数的斜率常用符号k表示。
斜率为正数时，函数图像呈现上升趋势，说明随着自变量的增大，函数值也随之增大。
斜率的绝对值越大，函数上升或下降的速度越快。
斜率为负数时，函数图像呈现下降趋势，说明随着自变量的增大，函数值反而减小。
同样，斜率的绝对值越大，函数下降速度越快。
当斜率为0时，函数图像是平行于自变量轴（x轴）的水平线，表示函数值保持不变。
斜率为正无穷大或负无穷大时，函数图像是垂直于自变量轴（x轴）的直线，表示函数值无穷增长或无穷减小。
二、截距的含义与分析截距是描述一次函数图像特征的另一个重要参数。
截距代表了函数图像与数轴的交点，即函数在自变量为0时的函数值，常用符号b表示。
截距为正数时，函数图像与y轴有一个正的交点，说明当自变量为0时，函数的值为正。
截距为负数时，函数图像与y轴有一个负的交点，说明当自变量为0时，函数的值为负。
截距为0时，函数图像与y轴交于原点，说明当自变量为0时，函数的值也为0。
三、变化趋势的分析与应用通过斜率和截距，我们可以更加具体地分析一次函数的变化趋势。
当斜率为正数且截距为正数时，函数图像从左下方逐渐上升，在数轴上右侧的函数值逐渐增大。
当斜率为正数且截距为负数时，函数图像从左上方逐渐下降，在数轴上右侧的函数值逐渐减小。
当斜率为负数且截距为正数时，函数图像从左下方逐渐上升，在数轴上右侧的函数值逐渐减小。
当斜率为负数且截距为负数时，函数图像从左上方逐渐下降，在数轴上右侧的函数值逐渐增大。
如何从一次函数图象上获取信息解读
如何从一次函数图象上获取信息安徽张雷从函数图象获取信息,主要从图象上的坐标获取数据,由自变量值求出相应的函数值;由相应的函数值为求出自变量值.利用从图象上的某些点的坐标提供的数据进行分析、处理,可以获取图象所表示的函数关系的丰富信息,解答各种相关问题.函数图象信息题已成为中考命题的热点.下面分类予以说明.1. 从一个一次函数图象获取信息的要点在坐标系中给出一个一次函数图象,即一条直线（或一线段、一射线）,利用所给的特殊点的坐标,读取其中所要表达的信息,即由自变量值求出相应的函数值;由相应的函数值求出自变量值.通过对图象上某些点的坐标提供的数据,进行分析、处理,可以获取图象所表示的函数关系的丰富信息,解答各种相关问题.一般会出现在纯函数图象、行程问题、产量问题等题目中,要理解好图象与轴轴的交点所表达的实际含义. 用表格表示如下:例1.某公司市场营销部的营销员的个人月收入与该营销员每月的销量成一次函数关系，其图象如图所示. 根据图象提供的信息，解答下列问题：⑴求出营销人员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件(x≥0)之间的函数关系式；⑵已知该公司营销员李平5月份的销售量为1.2万件，求李平5月份的收入.【分析】本题由“图”可以识“数”,这是研究函数的的重要方法.通过图象上的特殊点的坐标,求解出函数关系式,再由关系式求解相应的问题. 解:(1)依已知条件可设所求的函数关系式为y ＝kx ＋b因为函数图象过(0,400)和(2,1600)两点,所以 b =400,2k ＋b =1600,解这个方程，得 k =600. 故所求的函数关系式为y ＝600x ＋400 (2)当x ＝1.2时，y ＝600×1.2＋400＝1120(元) 即李平5月份的收入为1120元.2.从二个一次函数图象获取信息的要点在同一坐标系中,同时出现二个一次函数的图象,即两条直线,利用所给图象的位置关 系,交点坐标,与x 轴、y 轴交点坐标,读取其中所要表达的信息,一般出现在用来比较产量、速度、资费等问题,关键是理解好交点坐标的涵义.从二个相交一次函数图象获取信息 看图象获取信息两直线的交点为(00,)x y两个一次函数,当自变量值为0x 时,函数值都为0y 或当函数值为0y ,自变量值都为0x .当自变量为x ＞0x 时,函数值1y ＞2y ,即对同一自变量x 的值,图象在上面的函数值大. 当自变量为x ＜0x 时,函数值1y ＜2y ,即对同一自变量x 的值,图象在下面的函数值小.例3.如图，1l 表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；2l 表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系。
八年级数学下第二十一章一次函数21.4一次函数的应用21.4.2建立一次函数模型解双函数应用
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3 某工厂有甲、乙两个净化水池，容积都是480 m3.注 知2－练 满乙池的水得到净化可以使用时，甲池未净化的水已 有192 m3.此时，乙池以10 m3/h的速度将水放出使用， 而甲池仍以8 m3/h的速度注水.设乙池放水为x h 时， 甲、乙两池中的水量用y m3表示.
(1)分别写出甲、乙两池中的水量y关于x的函数关系式及 自变量x的取值范围，并在同一直角坐标系中画出这 两个函数的图像.
A
14
20
B
10
8
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(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总费用y( 知2－讲 元)与x(吨)之间的函数关系式，并写出x的取值范围.
(2)求出最低总费用，并说明总费用最低时的调配方案.
导引：(1)第一步，先用含x的式子表示出从甲仓库运往B港口的物资的 吨数，以及从乙仓库运往A、B两港口的物资吨数；第二步， 根据运输的总费用等于四条运输路线的费用总和，便可求出总 费用y(元)与x(吨)之间的函数关系式；第三步，根据问题的实 际意义列出不等式组，即可求得x的取值范围． (2)根据一次函数的增减性及自变量的取值范围，即可确定总费 用最低时的物资调配方案和最低总费用．
知1－练
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3. 【中考·葫芦岛】甲、乙两车从A城出发前往B城， 在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y(km)与 行驶时间t(h)的函数图像如图所示，下列说法正确 的有( D )
①甲车的速度为50 km/h ②乙车用了3 h到达B城 ③甲车出发4 h时，乙车追上甲车 ④乙车出发后经过1 h或3 h两车相距50 km A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二十一章 一次函数
21.4 一次函数的应用
第2课时 建立一次函数模型 解双函数应用
一次函数的函数图像与方程解析解的实际应用
一次函数的函数图像与方程解析解的实际应用一次函数是数学中常见的一种函数类型，它可以表示为y = ax + b的形式，其中a和b为已知值，x和y为自变量和因变量。
在这篇文章中，我们将讨论一次函数的函数图像以及如何使用方程解析解来解决实际应用问题。
一、一次函数的函数图像一次函数的函数图像是一条直线，其斜率确定了直线的倾斜程度，截距则决定了直线与y轴的交点。
根据斜率的正负，可以判断直线是上升还是下降。
下面我们来看几个具体的例子。
1. 实例一：y = 2x + 1这个函数表示了一个斜率为2，截距为1的直线。
根据斜率的正值，我们知道这条直线上升。
当x增加1个单位时，y增加2个单位。
当x减小1个单位时，y减小2个单位。
通过这些关系，我们可以画出该函数的函数图像。
2. 实例二：y = -3x + 2这个函数表示了一个斜率为-3，截距为2的直线。
根据斜率的负值，我们知道这条直线下降。
当x增加1个单位时，y减小3个单位。
当x减小1个单位时，y增加3个单位。
同样地，我们可以通过这些关系画出该函数的函数图像。
通过观察这些例子，我们可以发现直线的倾斜程度（斜率）以及它与y轴的交点（截距）等信息可以从一次函数的解析解中推导出来。
这样，我们可以在解析解的基础上直观地了解一次函数的函数图像。
二、一次函数方程解析解的实际应用一次函数的解析解除了可以用来绘制函数图像之外，还可以应用于解决实际问题。
我们将通过以下两个实际应用问题来说明。
1. 实例一：销售收入问题假设一个公司以每件产品x销售价y的方式进行销售。
已知该公司每个月的固定成本是1000元，每件产品的可变成本是30元。
我们希望找到销售多少件产品时，公司能够实现盈亏平衡。
根据以上信息，我们可以写出一次函数的方程：总收入 = 总成本根据题意，总收入为yx，总成本为1000 + 30x。
将它们相等并整理方程，可得：yx = 1000 + 30x解这个一次方程，我们可以求得x的解析解。
从一次函数图象中获得信息
从一次函数图象中获取信息1．如图，AB两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发驶往B地，图中PQR和线段MN，分别表示甲和乙所行驶的S与该日下午时间t之间的关系，试根据图形回答：（1）甲出发几小时，乙才开始出发？（2）乙行驶多少分钟赶上甲，这时两人离B地还有多少千米？（3）甲从下午2时到5时的速度是多少？（4）乙行驶的速度是多少？解：（1）由图得：甲下午1时出发，乙下午2时出发，甲出发1小时，乙才开始出发；（2）﹣2＝×60＝80分钟，50﹣＝千米，乙行驶80分钟赶上甲，这时两人离B地还有千米；（3）（50﹣20）÷（5﹣2）＝10千米/时，甲从下午2时到5时的速度是10千米/时；（4）50÷2＝25千米/时，乙行驶的速度是25千米/时．2．“低碳环保、绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆．小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题（1）a＝；b＝；m＝．（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前何时与小军相距100米？（4）若小军的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出v的取值范围解：（1）1500÷150＝10（分钟），10+5＝15（分钟），（3000﹣1500）÷（22.5﹣15）＝200（米/分）．故答案为：10；15；200．（2）线段BC所在直线的函数解析式为y＝1500+200（x﹣15）＝200x﹣1500；线段OD所在的直线的函数解析式为y＝120x．联立两函数解析式成方程组，，解得：，∴3000﹣2250＝750（米）．答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．（3）根据题意得：|200x﹣1500﹣120x|＝100，解得：x1＝＝17.5，x2＝20，17.5﹣15＝2.5（分钟），20﹣15＝5（分钟）．答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，2.5分钟和5分钟时与小军相距100米．（4）当线段OD过点B时，小军的速度为1500÷15＝100（米/分钟）；当线段OD过点C时，小军的速度为3000÷22.5＝（米/分钟）．结合图形可知，当100＜v＜时，小军在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地）．3．甲、乙两个工程队分别同时修整两段公路，所修公路的长度y（米）与修路时间x（时）之间的关系如图所示，根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）甲队每小时修路米；乙队修路2小时后，每小时修路米；（2）修路6小时，甲比乙多修了米；（3）当修路时间是多少时，甲、乙两队所修公路的长度相同？解：（1）由图可得，甲队每小时修路：60÷6＝10（米），乙队修路2小时后，每小时修路：（50﹣30）÷（6﹣2）＝5（米），故答案为：10，5；（2）由图可得，修路6小时，甲比乙多修了：60﹣50＝10（米），故答案为：10；（3）设修路a小时时，甲、乙两队所修公路的长度相同，10a＝30+5（a﹣2），解得，a＝4，答：当修路4小时时，甲、乙两队所修公路的长度相同．4．某玩具厂分别安排甲乙两个车间加工1000个同一型号的奥运会吉祥物，每名工人每天加工吉祥物的个数相等且保持不变，由于生产需要，其中一个车间推迟两天开始加工，刚开始加工时，甲车间有10名工人，乙车间有12名工人，图中线段OB和折线ACB分别表示两个车间的加工情况．依据图中提供的信息，完成下列各题：（1）线段OB反映的是车间的加工情况；（2）开始加工后，甲车间加工多少天后，两车间加工吉祥物数相同？（3）根据折线段反映的加工情况，请你提出一个问题，并给出解答．解：（1）线段OB反映的是甲车间的加工情况，故答案为：甲；（2）直线OB解析式：y＝50xA（2，0）、C（18，960），设直线AC解析式为：y＝kx+b则，解得：k＝60，b＝﹣120直线AC解析式：y＝60x﹣120联立：，解得：．答：甲车间加工12天后，两车间加工的吉祥物数相同．（3）问题：乙车间完成生产任务时需多少天，与甲同时完成生产任务，设BC的函数解析式为：y＝kx+b，B（20，1000）C（18，960），解得：∴y＝20x+600，当y＝1000时，得：x＝20．20﹣2＝18（天）．故乙车间完成生产任务时需18天，与甲同时完成生产任务．5．甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？解：（1）甲登山上升的速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），b＝15÷1×2＝30．故答案为：10；30；（2）当0≤x＜2时，y＝15x；当x≥2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝；（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y ＝10x+100（0≤x≤20）．当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时，解得：x＝3；当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝10；当300﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝13．答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．6．2017年端午节期间，长寿湖上演规模空前的水陆空嘉年华．甲、乙两队在比赛时的路程y（米）与时间t（分钟）之间的变量关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：（1）求乙与甲相遇时乙的速度；（2）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距80米？解：（1）由图象看出，相遇是在乙加速后，加速后的路程是1000﹣400＝600米，加速后的时间时3.8﹣2.2＝1.6分钟，乙与甲相遇时乙的速度600÷1.6＝375米/分钟；（2）①0≤x≤1时，设行驶x分钟时，甲乙相距80米，x﹣150x＝80，解得x＝0.8；②1＜x≤2.2时，乙加速前，设行驶x分钟时，甲乙相距80米，x﹣x＝80﹣80，解得x＝0（舍去）；③乙加速后，设行驶x分钟时，甲乙相距80米，∵×2.2＝550，∴x﹣x＝550﹣400﹣80．解得x＝，∴行驶了2.2+＝2，答：在乙队与甲相遇之前，他们行驶0.8分钟或2分钟时相距80米7．小明和小亮两人从甲地出发，沿相同的线路跑向乙地，小明先跑一段路程后，小亮开始出发，当小亮超过小明150米时，小亮停在此地等候小明，两人相遇后，两人一起以小明原来的速度跑向乙地，如图是小明、小亮两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与小明出发的时间x（秒）的函数图象，请根据题意解答下列问题：（1）在跑步的全过程中，小明共跑了米，小明的速度为米/秒．（2）求小亮跑步的速度及小亮在途中等候小明的时间；（3）求小亮出发多长时间第一次与小明相遇？解：（1）由图象可得，在跑步的全过程中，小明共跑了900米，小明的速度为：900÷600＝1.5米/秒，故答案为：900，1.5；（2）当x＝500时，y＝1.5×500＝750，当小亮超过小明150米时，小明跑的路程为：750﹣150＝600（米），此时小明用的时间为：600÷1.5＝400（秒），故小亮的速度为：750÷（400﹣100）＝2.5米/秒，小亮在途中等候小明的时间是：500﹣400＝100（秒），即小亮跑步的速度是2.5米/秒，小亮在途中等候小明的时间是100秒；（3）设小亮出发t秒时第一次与小明相遇，2.5t＝1.5（t+100），解得，t＝150，答：小亮出发150秒时第一次与小明相遇．8．“端午节”期间，小明一家自驾游去了离家200km的某地，如图是他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的函数图象．根据图象，解答下列问题：（1）点A的实际意义是；（2）求出线段AB的函数表达式；（3）他们出发2.3h时，距目的地还有多少km？解：（1）点A的实际意义是：当汽车行驶到1h时，汽车离家60km；故答案为：当汽车行驶到1h时，汽车离家60km；（2）设线段AB的函数表达式为y＝kx+b．∵A（1，60），B（2，170）都在线段AB上，∴解得∴线段AB的函数表达式为y＝110x﹣50．（3）线段BC的函数表达式为y＝60x+50（2≤x≤2.5）．∴当x＝2.3时，y＝60×2.3+50＝188，200﹣188＝12．∴他们出发2.3h时，离目的地还有12km．9．星期天，爸爸和小明同时从家骑自行车去图书馆，小明先以150米/分的速度骑行段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，爸爸始终以120米/分的速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：（1）图书馆到小明家的距离是米；先到达图书馆的是；（2）爸爸和小明在途中相遇了次；他们第一次相遇距离家有米；（3）a＝，b＝，m＝．（4）直接写出爸爸行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系式及自变量x的取值范围解：（1）图书馆到小明家的距离是3000米；先到达图书馆的是小明；故答案为：3000；小明；（2）爸爸和小明在途中相遇了2次；他们第一次相遇距离家有1500米；故答案为：2；1500；（3）1500÷150＝10（分钟），10+5＝15（分钟），（3000﹣1500）÷（22.5﹣15）＝200（米/分）．故答案为：10；15；200．（4）爸爸行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系式为：y＝120x，自变量x的取值范围为：0≤x≤25；10．已知一辆快车与一辆慢车沿着相同路线从甲地到乙地，同起点同方向，所行路程与所用的时间的函数图象如图所示：y表示离开出发点的距离．（单位：千米）（1）快车比慢车迟出发2小时，早到4小时；（2）求两车的速度；（3）求甲乙两地的距离；（4）求图中图中直线AB的解析式，并说出点C表示的实际意义．解：（1）慢车比快车早出发2小时，快车比慢车早4小时到达；故答案为：2；4；（2）设快车追上慢车时，慢车行驶了x小时，则慢车的速度可以表示为千米/小时，快车的速度为千米/小时，根据两车行驶的路程相等，可以列出方程，解得x＝6（小时）．所以慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时；（3）两地间的路程为70×18＝1260千米．（4）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，可得：，解得：，所以直线AB的解析式为：y＝105x﹣210，点C表示的实际意义是两车在420千米处相遇．11．我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某市制定了每月用水8吨以内（包括8吨）和用水8吨以上两种收费标准（收费标准：每吨水的价格），某用户每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其函数图象如图所示．（1）求出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准；（2）若芳芳家6月份共交水费28.1元，请写出用水量超过8吨时应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系，并求出芳芳家6月份的用水量．解：（1）8吨以内收费标准：17.6÷8＝2.2元，8吨以上收费标准：（31.6﹣17.6）÷（12﹣8）＝3.5元；（2）由题意可知：y＝3.5（x﹣8）+2.2×8即：y＝3.5x﹣10.4当y＝28.1时，有：3.5x﹣10.4＝28.1∴x＝11答：芳芳家6月份用水量为11吨．12．甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行，图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离s（km）与行驶时间t（h）的函数关系．（1）分别写出表示l1，l2所反映的函数关系式：l1：S＝；l2：S＝；（2）求出图中l1和l2的交点O的坐标，当甲车离A地的距离大于乙车离A地的距离时，求t的取值范围．解：（1）由图可得：l1：S＝；把（0，20），（0.5，0）代入s＝kt+b中，可得：，解得：，所以l2：S＝﹣40t+20；故答案为：；﹣40t+20；（2）根据题意可得：，解得：，所以t的取值范围为：，13．如图，小诚从家去体育场锻炼，同时，弟弟小云从体育场出发回家，小诚到体育场后发现要下雨，立即以原速的2.5倍原路返回，回家取到伞后，小诚按回家时的速度返回接到小云，并一同回家，如图是两人离家的距离y（米）与小诚出发的时间x（分）之间的函数图象（小诚回到家取伞的时间忽略不计）（1）小诚到达体育场时，小云距家米；小诚回家的速度是米/分钟；（2）当小诚和小云距1200米时，小诚距离体育场多少米？解：（1）小诚到达体育场时，小云距家：3000﹣3000×＝1500米，小诚回家的速度是：（3000÷30）×2.5＝250米/分钟，故答案为：1500，250；（2）小云的速度为：3000÷60＝50米/分钟，当小诚和小云第一次相遇以前距1200米时，小诚距离体育场：3000﹣100×[（3000﹣1200）÷（100+50）]＝1800（米）；当小诚和小云第一次相遇以后到小诚到达体育场的过程中，他们相距1200米时，小诚距离体育场：3000﹣100×[（3000+1200）÷（100+50）]＝200（米）；当小诚到达体育场与他们第二次相遇的过程中，他们相距1200米时，小云用的时间为t 分钟，50t﹣250（t﹣30）＝1200，得t＝31.5，此时小诚距离体育场：100×（31.5﹣30）＝375（米）；当小诚与小云第二次相遇后到小诚到达家的过程中，他们相距1200米时，小云用的时间为a分钟，250（a﹣30）﹣50a＝1200，得a＝43.5，此时，250×（43.5﹣30）＝3375＞3000，故此种情况不存在；当小诚和小云距1200米时，小诚距离体育场1800米或200米或375米．14．在一条笔直的公路上有A、B两地甲、乙两人同时出发，甲骑自行车从A地到B地，中途出现故障后停车修理，修好车后以原速继续行驶到B地；乙骑电动车从B地到A地，到达A地后立即按原路原速返回，结果两人同时到B地．如图是甲、乙两人与A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．（1）甲修车前的速度是km/h，a＝，b＝．（2）求甲、乙在途中相遇的时间．（3）当两人之间的距离为8km时，请直接写出x的值．解：（1）甲修车前的速度为：30÷[2﹣（1.25﹣0.75）]＝20km/h，a＝20×0.75＝15，b＝2÷2＝1，故答案为：20，15，1；（2）甲、乙在途中相遇的时间为：30÷（20+）＝0.6小时，即甲乙经过0.6小时相遇；（3）甲乙相遇前相距8km，此时x＝，甲乙相遇后相距8km，此时x＝＞0.75（舍去），∴x＝0.75+＝，或x＝1+（15﹣8）÷30＝＜1.25，即当两人之间的距离为8km时，x的值是或或．15．周末风风和小宛一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小宛做了一会准备活动风风先跑，当小宛出发时，风风已经距起点200米了，小宛跑了70秒后开始体息；他们距起点的距离s（米）与小宛出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整），根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）风风的速度为米/秒；小宛休息前的速度为米/秒；（2）求小宛第一次追上风风前，风风距起点的距离s与t的关系式，并求出小宛第一次追上风风时离起点的距离．解：（1）风风的速度为：（420﹣200）÷110＝2（米/秒）；小宛的速度为：420÷70＝6（米/秒）．故答案为：2；6．（2）设小宛第一次追上风风前，风风距起点的距离s与t的关系式为s＝kt+b，将（0，200）、（110，420）代入s＝kt+b中，得：，解得：，∴小宛第一次追上风风前，风风距起点的距离s与t的关系式为s＝2t+200，当s＝0时，有0＝2t+200，解得：t＝﹣100，∴小宛第一次追上风风前，风风距起点的距离s与t的关系式为s＝2t+200．小宛第一次追上风风时离起点的距离是300米．16．小明骑车野外郊游，从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地如图是他们离家的路程y（千米）与小明离家时间x（小时）的函数图象已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度；（2）小明在甲地游玩多少时间；（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．解：（1）根据函数图象得，小明骑车用0.5小时骑了10km，所以小明骑车的速度＝＝20（km/时），（2）小明在甲地游玩的时间＝1﹣0.5＝0.5（小时）；（3）设小明到乙地所用的时间为x小时，根据题意得20（x﹣）＝60（x﹣﹣），解得x＝2，所以从家到乙地的路程为20×（2﹣）＝30（km）．17．小李从甲地前往乙地，到达乙地休息了半个小时后，又按原路返回甲地，他与甲地的距离y（千米）和所用的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．（1）小李从乙地返回甲地用了多少小时？（2）求小李出发5小时后距离甲地多远？解：（1）由题意可得，7.5﹣（3+0.5）＝4（小时），答：小李从乙地返回甲地用了4小时；（2）设小李返回时直线解析式为y＝kx+b，将（3.5，240）、（7.5，0）分别代入得，，解得，，∴y＝﹣60x+450，∴当x＝5时，y＝﹣60×5+450＝150，答：小李出发5小时后距离甲地150千米；18．赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲、乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y（米）与时间x（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题（1）起点A与终点B之间相距米．（2）哪支龙舟队先到达终点？（填“甲”或“乙”）（3）分别求甲、乙两支龙舟队离开起点的距离y关于x的函数关系式；（4）甲龙舟队出发多长时间时，两支龙舟队相距200米？解：（1）由图可得，起点A与终点B之间相距3000米；（2）由图可得，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点；（3）设甲龙舟队的y与x函数关系式为y＝kx，把（25，3000）代入，可得3000＝25k，解得k＝120，∴甲龙舟队的y与x函数关系式为y＝120x（0≤x≤25），设乙龙舟队的y与x函数关系式为y＝ax+b，把（5，0），（20，3000）代入，可得，解得，∴乙龙舟队的y与x函数关系式为y＝200x﹣1000（5≤x≤20）；（4）令120x＝200x﹣1000，可得x＝12.5，即当x＝12.5时，两龙舟队相遇，当x＜5时，令120x＝200，则x＝（符合题意）；当5≤x＜12.5时，令120x﹣（200x﹣1000）＝200，则x＝10（符合题意）；当12.5＜x≤20时，令200x﹣1000﹣120x＝200，则x＝15（符合题意）；当20＜x≤25时，令3000﹣120x＝200，则x＝（符合题意）；综上所述，甲龙舟队出发或10或15或分钟时，两支龙舟队相距200米．故答案为：3000；乙．19．一个水箱装有一个进水管和一个出水管，从某一时刻起，只打开进水管，关闭出水管，向水箱注水，4分钟后同时打开出水管，12分钟时关闭进水管，只保留出水管，直至把水箱中的水放完．在这个过程中水箱中的水量Q与时间t的关系如图所示．①求进水管每分钟进水多少升？②求出水管每分钟出水多少升？③到第几分钟水箱内的水完全放完？解：①进水管每分钟进水：20÷4＝5（升），即进水管每分钟进水5升；②（5×12﹣30）÷（12﹣4）＝升/分，即出水管每分出水升；③12+30÷＝20（分），答：到第20分钟水箱内的水完全放完．20．如图，AB两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也在同日下午骑摩托车从A地开往B地，如图所示折线PQR和线段MN分别表示甲乙所行驶的路程S和时间t的关系根据图象，回答下列问题：（1）甲和乙谁出发的更早？早多长时间？（2）甲和乙谁先到达B城？早多长时间？（3）乙出发大约多长时间追上甲？（4）请根据图象求出甲和乙在整个过程中的平均速度？解：（1）甲比乙出发更早，要早2﹣1＝1小时；（2）乙比甲早到B城，早了5﹣3＝2个小时；（3）由图可知：M（2，0），N（3，50），Q（2，20），R（5，50）设直线QR的函数表达式为y1＝k1x+b1，将Q（2，20），R（5，50）代入得：，解得，设直线MN的函数表达式为y2＝k2x+b2，将M（2，0），N（3，50）代入得：，解得，则y1＝10x，y2＝50x﹣100，联立两式可得直线QR、MN的交点的坐标为（2.5，25）．所以乙出发半小时后追上甲；（4）乙的平均速度为＝50千米/时，甲的平均速度为＝12.5千米/时．21．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是米．（2）小明在书店停留了分钟．（3）本次上学途中，小明一共行驶了米．一共用了分钟．（4）在整个上学的途中（哪个时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是米/分．解：（1）∵y轴表示路程，起点是家，终点是学校，∴小明家到学校的路程是1500米．（2）由图象可知：小明在书店停留了4分钟．（3）1500+600×2＝2700（米）即：本次上学途中，小明一共行驶了2700米．一共用了14分钟．（4）折回之前的速度＝1200÷6＝200（米/分）折回书店时的速度＝（1200﹣600）÷2＝300（米/分），从书店到学校的速度＝（1500﹣600）÷2＝450（米/分）经过比较可知：小明在从书店到学校的时候速度最快即：在整个上学的途中从12分钟到14分钟小明骑车速度最快，最快的速度是450 米/分22．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中的路程与时间的关系．赛跑的全程是米．（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？（3）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？解：（1）∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻；∴折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系；线段OD表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系；由图象可知：赛跑的路程为1500米；故答案为：兔子、乌龟、1500；（2）结合图象得出：兔子在起初每分钟跑700米．1500÷30＝50（米）乌龟每分钟爬50米．（3）700÷50＝14（分钟）乌龟用了14分钟追上了正在睡觉的兔子．（4）∵48千米＝48000米∴48000÷60＝800（米/分）（1500﹣700）÷800＝1（分钟）30+0.5﹣1×2＝28.5（分钟）兔子中间停下睡觉用了28.5分钟．23．如图所示，图象反映的是：小明从家里跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示小明离家的距离．根据图象回答下列问题：（1）体育场离小明家多远，小明从家到体育场用了多少时间？（2）体育场离文具店多远？（3）小明在文具店逗留了多少时间？（4）小明从文具店回家的平均速度是多少？解：（1）体育场离小明家2.5千米，小明从家到体育场用了15分钟．（2）体育场离文具店2.5﹣1.5＝1（千米）．（3）小明在文具店逗留的时间为65﹣45＝20（分钟）．（4）小明从文具店回家的平均速度是＝（千米/分钟）．24．父子两人赛跑，如图，l甲、l乙分别表示父亲、儿子所跑的路程s/米与所用的时间t/秒的关系．（1）儿子的起跑点距父亲的起跑点多远？（2）儿子的速度是多少？（3）父亲追上儿子时，距父亲起跑点多远？解：（1）由图可知：儿子的起跑点距父亲的起跑点20米；（2）儿子的速度＝＝则儿子的速度是米/秒；（3）设父亲追上儿子时，距父亲起跑点x米，则＝，解得：x＝，答：父亲追上儿子时，距父亲起跑点米．25．甲、乙两名运动员在一次赛跑中，路程（m）与时间（s）之间的关系图象如图所示，请根据图象回答下列问题：（1）这次比赛的距离是多少？（2）甲、乙两人中先到达终点的是谁？（3）乙在这次赛跑中的平均速度是多少？解：分析图象可知：（1）∵如图所示，甲、乙的终点坐标纵坐标为100，∴这是一次100米赛跑；（2）∵如图所示，甲到达终点所用的时间较少，∴甲、乙两人中先到达终点的是甲；（3）∵如图所示，乙到达终点时，横坐标t＝12.5秒，纵坐标s＝100，∴v＝＝8（米/秒），∴乙在这次赛跑中的速度是8米/秒．26．A，B两地相距45千米，图中折线表示某骑车人离A地的距离y与时间x的函数关系．有一辆客车9点从B地出发，以45千米/时的速度匀速行驶，并往返于A，B两地之间．（乘客上、下车停留时间忽略不计）（1）从折线图可以看出，骑车人一共休息次，共休息小时；9点至10点之间骑车人骑了千米．（2）通过计算说明，骑车人返回家时的平均速度是多少？（3）请在图中画出9点至11点之间客车与A地距离y随时间x变化的函数图象．解：（1）骑车人休息了2次，共休息了2小时，9点至10点之间骑车人骑了30千米；（2）平均速度＝45÷2＝22.5千米/小时；答：骑车人返回家时的平均速度是22.5千米/小时；（3）10时时，y＝45千米，11时时，y＝45﹣45×1＝0千米，如图所示：27．某机动车出发前油箱内有油42L，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，根据图回答问题：（1）机动车行驶5h后加油，途中加油升；（2）根据图形计算，机动车在加油前的行驶中每小时耗油多少升？（3）如果加油站距目的地还有400km，车速为60km/h，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．解：（1）由图可得，机动车行驶5小时后加油为36﹣12＝24；（2）∵出发前油箱内余油量42L，行驶5h后余油量为12L，共用去30L，因此每小时耗油量为6L，（3）由图可知，加油后可行驶6h，故加油后行驶60×6＝360km，∵400＞360，∴油箱中的油不够用．28．某车间甲、乙两名工人分别生产同种零件，他们生产的零件数量y（个）与生产时间t （小时）之间的关系如图所示（其中实线表示甲，虚线表示乙，且甲因机器故障停产了一段时间）．（1）甲、乙中，先完成40个零件的生产任务．（2）甲在因机器故障停产之前，每小时生产个零件．（3）甲故障排除之后以原来速度的两倍重新开始生产，则甲停产了小时．（4）在第一次甲乙生产零件总数在同一时刻相同到甲完工这段时间，什么时候甲乙生产的零件总数相差3个？解：（1）由图象知，甲在t＝7时完成生产任务，而乙在t＝8时完成生产任务，故答案为：甲；（2）∵10÷2＝5（个/小时），∴甲在因机器故障停产之前，每小时生产5个零件，故答案为：5；（3）由题意知，甲完成剩余30个零件的生产任务需要用时（40﹣10）÷10＝3（小时），∴甲停产时间为7﹣2﹣3＝2（小时），故答案为：2；（4）当2≤t≤4时，y＝10；当4＜t≤7时，设y＝kt+b，将（4，10）、（7，40）代入，得：，解得：，∴y＝10t﹣30，即y甲＝，设y乙＝mt+n，将（2，4）、（8，40）代入，得：，解得：，∴y乙＝6t﹣8，①若6t﹣8﹣10＝3，解得t＝；②若6t﹣8﹣（10t﹣30）＝3，解得t＝；③若（10t﹣30）﹣（6t﹣8）＝3，解得t＝；④当6t﹣8＝40﹣3时，解得t＝7.5；综上，t＝、、、7.5时，甲乙生产的零件总数相差3个．29．如图，表示甲、乙两同学沿同一条路到达目的地过程中，路程s（千米）与时间t（小时）之间关系的图象，根据图象中提供的信息回答问题：（1）乙的速度为千米/时；（2）两人在乙出发后小时相遇；（3）点A处对应的数字为；（4）甲在出发后1小时至2.5小时之间的速度为千米/时．解：（1）由图象可得，乙的速度为：18÷（2﹣0.5）＝12千米/小时；故答案为：12（2）∵两图象的交点表示二人在同一时刻在同一地点，即二人在途中相遇，且1.3﹣0.5＝0.8（时）∴两人在乙出发0.8小时相遇．故答案为：0.8（3）∵点A处对应的数字表示二人相遇是随行路程，由（1）知乙的速度为12千米/小时，∴12×0.8＝9.6（千米）故答案为：9.6（4）∵甲在相遇后行驶的路程为：18﹣9.6＝8.4千米，行驶的时间为2.5﹣1.3＝1.2小时，∴甲在出发后1﹣﹣2.5小时之间的速度为8.4÷1.2＝7千米/时．故答案为：730．如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，OA与BC分别表示它们与甲地距离s（千米）与时间t（小时）的关系，则：（1）摩托车每小时走千米，自行车每小时走千米；（2）自行车出发后多少小时，它们相遇？（3）摩托车出发后多少小时，他们相距10千米？解：（1）摩托车每小时走：80÷（5﹣3）＝40（千米），自行车每小时走：80÷8＝10（千米）．故答案为：40，10；（2）设自行车出发后x小时，它们相遇，。
一次函数的图象和性质知识讲解
一次函数的图象和性质知识讲解一次函数是数学中最简单的函数之一，通常表示为y = ax + b，其中a和b都是实数且a ≠ 0。
一次函数也被称为线性函数，因为它的图像是一条直线。
1.找到x轴和y轴的交点，并标记为(x1,0)和(0,y1)。
2.连接两个点，得到直线。
如果x1等于0，则直线与y轴平行；如果y1等于0，则直线与x轴平行；如果两个轴的交点都不是原点，则直线会穿过原点。
1.斜率：一次函数的斜率是直线的倾斜程度。
斜率可以通过直线上的两个点计算得出，斜率等于纵坐标的变化量除以横坐标的变化量。
在一次函数中，斜率等于a。
2.y轴截距：一次函数在y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标。
在一次函数中，截距等于b。
3.x轴截距：一次函数在x轴上的截距是直线与x轴的交点的横坐标。
在一次函数中，截距等于-x1/a（如果存在）。
4.定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数，因为对于任何实数x，一次函数都有对应的y值。
一次函数的值域也是所有实数，因为直线可以无限延伸。
5.单调性：如果a大于0，则一次函数是增函数，意味着随着x的增加，y值也增加。
如果a小于0，则一次函数是减函数，意味着随着x的增加，y值减少。
6.对称性：一次函数的图像在直线y=x/2上对称，这意味着如果一个点(x,y)在一次函数的图像上，则另一个点(y,x)也在图像上。
7.平移：通过改变常数b的值，可以使一次函数的图像平移。
当b大于0时，图像向上平移；当b小于0时，图像向下平移。
8.相关性：一次函数的系数a和b的值决定了直线的斜率和截距。
更具体地说，a决定了直线的倾斜程度，而b决定了直线与y轴的交点的纵坐标。
总结：一次函数是数学中最简单的函数之一，其图像是一条直线，由斜率和截距决定。
一次函数具有很多重要的性质，如斜率、截距、定义域、值域、单调性、对称性、平移和相关性。
熟悉这些性质可以帮助我们更好地理解和分析一次函数的特征和行为。
一次函数的图像与性质
一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。
注意：（1）k≠0,否则自变量x的指数为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个特殊点：y=kx+b 与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0）y=kx （0，0）；（1，k）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，它可以看作由直线 y=kx 平移｜b｜个单位长度而得到（当b>0时向上平移；当b<0时向下平移）例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、性质：(1)图象的位置:k>0时直线y=kx经过一、三象限，从左向右上升Y随着x的增大而增大；k<0时直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降Y随着x的增大而减小k>0 b>0时直线y=kx+b经过一、二、三象限，从左向右上升y随着x的增大而增大；k>0 b<0时直线y=kx+b经过一、三、四象限，从左向右上升y随着x的增大而增大k<0 b>0时直线y=kx+b经过一、二、四象限，从左向右下降y随着x的增大而减小k<0 b<0时直线y=kx+b经过二、三、四象限，从左向右下降y随着x的增大而减小4．求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
(3)用待定系数法求函数解析式。
“待定系数法”先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。
本单元构造方程一般有下列几种情况：①利用一次函数的定义构造方程组。
②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。
第09讲 函数图像的信息获取和判断的秒杀方法(带答案)
第09讲函数图像的信息获取和判断的秒杀方法（原卷）题型一：函数图像的判断判断函数的图像并不需要把每段函数的解析式完整的求出来！秒杀方法：1.判断一次函数关系:只要判断出结果的未知数的次数，并不需要把解析数求出来，当次数是1时即为一次函数，然后通过k判断结果；2.判断二次函数关系：一般在求面积的时候，会有两个含未知数的式子相乘，即结果为二次函数关系，然后通过该二次项系数的正负判断函数的开口方向即可；3.判断反比例函数关系：只要判断出结果的未知数是不是在分母里即可。
【例1】如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,BC=43cm,E是AD的中点，连接BE，CE．点P从点B出发，以3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q 从点B出发，以1cm/s的速度沿BE-EC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）【答案】D【解析】由题意得：BE=4cm，bc=4cm，则Q从B到E需要4s，从E到C需要4s，共8s；P从B到C需要4s。
①当Q在线段BE上运动时，如图，作QF⊥BC，B=，Q=B=，则y=⋅Q⋅Q，即可得函数为二次函数，且二次项系数＞0，开口向上，排除AC；②4s时，P到达终点，不再运动；点Q依然在运动，所以面积公式里只有一个变量，则对应函数为一次函数，因此选D。
1．（2013·湖南衡阳·中考真题）如图所示，半径为的圆和边长为的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为，圆与正方形重叠部分阴影部分的面积为S，则S与的函数关系式的大致图象为（）A．B．C．D．2．（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．4．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（）A．B．C．D．5．（2022·广西河池·t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是()A．B．C．D．1．（2013·湖南衡阳·中考真题）如图所示，半径为的圆和边长为的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为，圆与正方形重叠部分阴影部分的面积为S ，则S 与的函数关系式的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】观察图形，在运动过程中，S 随的变化情况，得到开始随时间的增大而增大，当圆在正方形内时改变，而重合面积等于圆的面积不变，再运动，随的增大而减小，根据以上结论判断即可．【详解】解：∵半径为的圆沿水平线从左向右匀速穿过正方形，开始至完全进入正方形S 随时间的增大而增大，∴选项A 、D 错误；∵当圆在正方形内时，改变，重合面积等于圆的面积，S 不变，再运动，S 随的增大而减小，∴选项C 错误，选项B 正确；故选：B ．【点睛】本题主要考查动图形问题的函数图象，熟练掌握函数图象形状变化与两图形重合部分形状、大小变化的关系，是解决此题的关键．2．（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，△ABC 中，BC =6，BC 边上的高为3，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，AC 上，且EF ∥BC ．设点E 到BC 的距离为x ，△DEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，根据相似比可知：，即，解得：EF=2（3-x），则△DEF的面积y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+，故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(，)的抛物线．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．【详解】过点C作CM⊥AB于N，，在等腰中，，，①当时，如图，，，，∴，y随x的增大而增大；②当时，如图，，∴当时，y是一个定值为1；③当时，如图，，，,当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，结合ABCD选项的图象，故选：B．【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．4．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD的边长为2，点O为正方形的中心，∴直线EO垂直BC，∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，∴S=；当1＜t≤2时，∵正方形ABCD的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，∴直线OF∥BC，∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，∴S=；故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．5．（2022·广西河池·统考中考真题）东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是()A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题目中的图形可知，刚开始水面上升比较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上升最快，从而可以解答本题．【详解】因为对边的圆柱底面半径较大，所以刚开始水面上升比较慢，中间部分的圆柱底面半径较小，故水面上升较快，上部的圆柱的底面半径最小，所以水面上升最快，故适合表示y与t的对应关系的是选项C．故选：C．【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型二：根据已知图像获取相关信息把图像和运动情况结合起来，了解每一个转折点，每条线的具体含义。
一次函数的图像(解析版)
5.4一次函数的图像一、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.要点：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线：当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的； 当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的. 2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质： 正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k ）的一条直线； 一次函数(0)y kx b k =+≠图象和性质如下：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定： （1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.一、单选题1．已知正比例函数34y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（ ）A ．()4,3-B ．()4,3--C ．()2,1-D ．()3,4-【答案】A【提示】将选项各点坐标代入，即可判断．【解答】A ．当4x =时，=3y -，故点()4,3-在函数图象上，A 项符合题意； B ．当4x =-时，33y =≠-，故点()4,3--不在函数图象上，B 项不符合题意； C ．当2x =-时， 1.51y =≠，故点()2,1-不在函数图象上，C 项不符合题意； D ．当3x =-时， 2.254y =≠，故点()3,4-不在函数图象上，D 项不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 2．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()2,1-，且平行于直线2y x =-，则b 的值为（ ） A ．2- B ．1C ．3-D ．4【答案】C【提示】根据两直线平行，一次项系数相等求出k 的值，再利用待定系数法求解即可． 【解答】解：∵一次函数y kx b =+与直线2y x =-平行， ∴一次函数解析式为2y x b =-+，∵一次函数2y x b =-+经过点()21-，， ∴()122b =-⨯-+， ∴3b =-， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，求一次函数解析式，正确求出2k =-是解题的关键． 3．关于函数21y x =--，下列结论正确的是（ ） A ．图象必经过点()2,1- B ．y 随x 的增大而增大C ．当12x >时，0y < D ．图象经过第一、二、三象限 【答案】C【提示】根据一次函数的性质可进行排除选项．【解答】解：由函数21y x =--可知：20k =-<，10b =-<，则y 随x 的增大而减小，且该函数图象经过第二、三、四象限，故B 、D 选项错误；当2x =-时，则()2213y =-⨯--=，所以函数图象经过点()2,3-，故A 选项错误； 当12x >-时，0y <，所以当12x >时，0y <说法正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．4．已知一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像经过1)A y ，2)B y ，3(5,)C y ，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<【答案】D【提示】根据一次函数的增减性判断即可． 【解答】解：∵3m <， ∴(3)0k m =-<， ∴y 随x 的增大而减小，又∵点1)A y ，2)B y ，3(5,)C y 均在一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像上，∵()()22277,525,2728===,∴7527<<， ∴231y y y <<, 故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，无理数的估算，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 5．三个正比例函数的表达式分别为①y ax =；②y bx =③y cx =，其在平面直角坐标系中的图像如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b >>aC ．b a c >>D ．b c >>a 【答案】C【提示】先根据函数图象经过的象限得出0a >，0b >，0c <，再根据直线越陡，k 越大得出答案． 【解答】解：∵y ax =和y bx =的图象经过一、三象限，y cx =的图象经过二、四象限， ∴0a >，0b >，0c <， ∵直线y bx =比直线y ax =陡， ∴b a >， ∴b a c >>， 故选：C ．【点睛】本题考查了正比例函数的图象，当0k >时，函数图象经过一、三象限；当0k <时，函数图象经过二、四象限；直线越陡，k 越大．6．将直线21y x =+向下平移2个单位长度后，得到直线y kx b =+，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（ ） A ．与x 轴交于点20（，） B ．与y 轴交于点()0,1-C ．y 随x 的增大而减小D ．与两坐标轴围成的三角形的面积为12【答案】B【提示】首先根据函数图像平移法则，向下平移2个单位，则给函数解析式右端减2，即可得到平移后的直线方程；接下来根据一次函数图像的性质分析与坐标轴围成面积，交点坐标以及y 随x 的变化关系，即可得解．【解答】解：将直线21y x =+向下平移2个单位长度后得到直线21221y x x =+-=-，A 、直线21y x =-与x 轴交于1,02⎛⎫⎪⎝⎭，故本选项不合题意；B 、直线21y x =-与y 轴交于()0,1-，故本选项，符合题意；C 、直线21y x =-，y 随x 的增大而增大，故本选项不合题意；D 、直线21y x =-与两坐标轴围成的三角形的面积为1111224⨯⨯=，故本选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的平移及性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 7．如图中表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数，mn≠0）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【提示】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论m 、n 的符号，然后根据m 、n 同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：①当0mn >，y mnx =过一，三象限，m ，n 同号，同正时y mx n =+过一，二，三象限，同负时过二，三，四象限；②当0mn <时，y mnx =过二，四象限，m ，n 异号，则y mx n =+过一，三，四象限或一，二，四象限．观察图象，只有选项C 符合题意， 故选：C ．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当00k b >>，，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限； ②当00k b ><，，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限； ③当00k b <>，时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限； ④当00k b <<，时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．8．已知一次函数y kx b =+（0k ≠），如表是x 与y 的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而增大B ．函数的图象向上平移4个单位长度得到2y x =-的图象C ．函数的图象不经过第三象限D ．若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y < 【答案】C【提示】首先把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，解方程组，即可求得一次函数的解析式，再根据一次函数的性质即可解答．【解答】解：把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，得42b k b =⎧⎨+=⎩ 解得24k b =-⎧⎨=⎩故该一次函数的解析式为24y x =-+，故该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C 正确；20k ＜，∴y 随x 的增大而减小，故A 错误；若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y ＞，故D 错误； 将该函数的图象向上平移4个单位长度得到28y x =-+的图象，故B 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键． 9．如图，直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，，点()2P n ，在直线l 上，已知M 是x 轴上的动点．当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为（ ）A ．()2,0-或()3.0B ．()2,0或()3.0C ．()1,0或()4.0D ．()2,0或()4.0 【答案】B【提示】根据题意，可以求得点A 点B 和点P 的坐标，设出点M 的坐标再根据分类讨论的方法结合勾股定理即可求得点M 的坐标． 【解答】解：∵直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，∴当0y =，102x m +=，1012m ⨯+=， 解得1m =，2x =-，∴点A 坐标为(20)-，， ∵点()2P n ，在直线l 上 ∴当2y =，1212n =+， 解得2n =，即()22P ，设M 点坐标为()0a ，当AM PM ⊥ 时，此时点P 与点M 横坐标相同，即2a n == ， ∴(20)M ，； ②当AP PM ⊥时，此时()222AM a =+ ，()2224PM a =-+ ，222[(2(2)]220AP =--+= ，根据勾股定理得()()2224202a a -++=+，解得，3a =，∴(30)M ，；综上所述∴(20)M ，或(30)M ，； 故选B ．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，动点中的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．10．已知直线483y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将ABM 沿AM折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B '处，则直线AM 的函数解析式是（ ）A ．142y x =-+ B ．243y x =-+ C ．132y x =-+ D ．133y x =-+【答案】C【提示】先求出点,A B 的坐标，从而得出,OA OB 的长度，运用勾股定理求出AB 的长度，然后根据折叠的性质可知,AB AB MB MB ''==，OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=，运用勾股定理列方程得出OM 的长度，即点M 的坐标已知，运用待定系数法求一次函数解析式即可．【解答】解：当0x =时，4883y x =-+=，即(0,8)B ，当0y =时，6x =，即(6,0)A ，所以226810AB AB '=+=，即(4,0)B '-，设OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=， ∴在Rt B OM '中，B O OM B M ''+=， 即2224(8)x x +=-， 解得：3x =， ∴(0,3)M ， 又(6,0)A ，设直线AM 的解析式为y kx b =+，则063k b b =+⎧⎨=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AM 的解析式为132y x =-+．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出(0,3)M 的坐标是解本题的关键．二、填空题11．正比例函数()32y a x =-的图象过第一、三象限，则a 的取值范围是______． 【答案】23a ＞##23a <【提示】根据正比例函数的图象经过第一、三象限，得k>0，即320a -＞，计算即可得解． 【解答】解：由正比例函数()32y a x =-的图象经过第一、三象限， 可得：320a -＞，则23a ＞．故答案为：23a ＞．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数y=kx （k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小． 12．已知直线1L ：26y x =-，则直线1L 关于x 轴对称的直线2L 的函数解析式是______． 【答案】26y x =-+##62y x =-【提示】直接根据关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数进行解答即可． 【解答】解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数， ∴直线1L ：y=2x-6与直线2L 关于x 轴对称， 则直线2L 的解析式为-y=2x-6，即y=-2x+6． 故答案为：y=-2x+6．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于x 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．13．如图，正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），当2x <时，1y ___________2y （填“>”或“＜”）【答案】＜【提示】根据两函数图象及交点坐标，即可解答．【解答】解：正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），∴由图象可知：当2x <时，12y y <， 故答案为：＜．【点睛】本题考查了利用函数图象比较函数值的大小，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 14．已知(,1)A n n +、(1,4)B n n -+、(,)C m t 是正比例函数y kx =图象上的三个点，当3m >时，t 的取值范围是______． 【答案】9t <-【提示】根据,A B 两点在y kx = 上求出k 得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可．【解答】将点A 与点B 代入y kx = ，得：141n knn k n +=⎧⎨+=-⎩（） ， 两式相减，得：3k =- ， 3y x ∴=-，∴ y 随x 的增大而减小，当3m = 时，339t =-⨯=-， ∴ 当m ＞3时，t ＜-9，故答案为：t ＜-9.【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等题．15．在平面直角坐标中，点()3,2A --、()1,2B --，直线()0y kx k =≠与线段AB 有交点，则k 的取值范围为______． 【答案】232k ≤≤##223x ≥≥ 【提示】因为直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，所以当直线y ＝kx （k≠0）过()1,2B --时，k 值最大；当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，然后把B 点和A 点坐标代入y ＝kx （k≠0）可计算出对应的k 的值，从而得到k 的取值范围． 【解答】解：∵直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，∴当直线y ＝kx （k≠0）过B （﹣1，﹣2）时，k 值最大，则有﹣k ＝﹣2，解得k ＝2； 当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，则﹣3k ＝﹣2，解得k ＝23， ∴k 的取值范围为232k ≤≤．故答案为：232k ≤≤． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉一次函数图象的性质．16．直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点，两直线相交于x 轴上同一点A ． （1）:m n =________（2）若8ABC S =△，点A 的坐标是______________ 【答案】 2:3 ()4,0或()4,0-【提示】根据两直线相交同一点，则横坐标相同，即可；设A 的坐标为：()0a ，，根据8ABC S =△，则12ABCSBC a =⨯⨯，解出a ，即可． 【解答】∵直线8y mx =-和直线12y nx =-相交x 轴上同一点A ∴08mx =-，012nx =-∴直线8y mx =-与x 轴的交点为8,0m ⎛⎫⎪⎝⎭，直线12y nx =-与x 轴的交点为12,0n ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴812m n= ∴:2:3m n =；设A 的坐标为：()0a ， ∵8ABC S =△ ∴12ABCSBC a =⨯⨯ ∵直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点 ∴点()0,8B -，()0,12C - ∴1482ABCSa =⨯⨯= ∴4a =∴4a =±∴点A 的坐标为()4,0或()4,0-． 故答案为：2:3；()4,0或()4,0-．【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数图象与性质．17．已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，O 为坐标原点． 若△AOB 的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．【答案】443y x =--或443y x =+【提示】分两种情况：当点B 在y 轴正半轴时，当点B 在y 轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．【解答】解：点(3,0)A ，3OA ∴=，AOB ∆的面积为6，∴162OA OB ⋅=， ∴1362OB ⨯⋅=，4OB ∴=，(0,4)B ∴或(0,4)-，将(3,0)A ，(0,4)B 代入(0)y kx b k =+≠得： 304k b b +=⎧⎨=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-+，将(3,0)A ，(0,4)B -代入(0)y kx b k =+≠得：304k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-，综上所述：一次函数的解析式为：443y x =-+或443y x =-，故答案为：443y x =-+或443y x =-．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =-+与坐标轴交于A ，B 两点，OC AB ⊥于点C ，P 是线段OC 上的一个动点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒，得到线段'AP ，连接'CP ，则线段'CP 的最小值为______．【答案】222-【提示】由点P 的运动确定P '的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小．【解答】解：由已知可得()()0,44,0A B ， ∴三角形OAB 是等腰直角三角形，OC AB ⊥，()2,2C ∴，又P 是线段OC 上动点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒， P 在线段OC 上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，当P 在O 点时和P 在C 点时分别确定P'的起点与终点，'P ∴的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，∴当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小，在AOB 中，4AO AN ==，42AB =424NB ∴=，又Rt HBN 是等腰直角三角形，422HB ∴=-('24422CP OB BH ∴=--=---=．故答案为2．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．三、解答题19．已知一次函数()2312y k x k =--+．(1)当k 为何值时，图像与直线29y x =+的交点在y 轴上？ (2)当k 为何值时，图像平行于直线2y x =-？ (3)当k 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 【答案】(1)1k = (2)0k = (3)2k <【提示】（1）先求出直线29y x =+与y 轴的交点坐标，把此点坐标代入所求一次函数的解析式即可求出k 的值；（2）根据两直线平行时其自变量的系数相等，列出方程，求出k 的值即可； （3）根据比例系数0<时，数列出不等式，求出k 的取值范围即可． 【解答】（1）解：当0x =时，9y =，∴直线29y x =+与y 轴的交点坐标为()09，， ∵一次函数()2312y k x k =--+的图像与直线29y x =+的交点在y 轴上， ∴()203129k k -⨯-+=， 解得：1k =；（2）解：∵一次函数()2312y k x k =--+的图像平行于直线2y x =-，即直线2y x =-向上或向下平移312k -+个单位后的图像与一次函数()2312y k x k =--+的图像重合，∴22k -=-且3120k -+≠，20k -≠， 解得：0k =．（3）解：∵y 随x 的增大而减小，解得：2k <．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征及函数性质，图形平移等知识点．熟练掌握一次函数的性质是题的关键．20．如图，直线OA 经过点()4,2A --．(1)求直线OA 的函数的表达式；(2)若点()12,P n 和点()25,Q n 在直线OA 上，直接写出12n n 、的大小关系； (3)将直线OA 向上平移m 个单位后经过点()2,4M ，求m 的值． 【答案】(1)12y x = (2)12n n < (3)m=3【提示】（1）设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中，可求出k 的值； （2）根据函数的增减性分析即可；（3）先求出平移后的函数解解析式，由此可求出m 的值． (1)解：设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中得：24k -=-，12k =， 故函数解析式为：12y x =； (2)解：∵0k >，∴y 随x 的增大而增大， ∵()12,P n ，()25,Q n 中，2＜5，(3)解：设平移后函数解析式为：12y x b =+， 将()2,4M 代入函数解析式中得：1422b =⨯+，解得：3b =， 故函数的解析式为：132y x =+， 故m=3．【点睛】本题考查根据函数图象求正比例函数的解析式，求函数的增减性，函数图象的平移． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 经过点O 和点A ，将直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒，再向上平移2个单位长度得到直线2l ．求直线1l 与2l 的解析式．【答案】直线1l 的解析式是2y x =；直线2l 的解析式是122y x =-+ 【提示】根据A 点坐标，利用待定系数法求直线1l 的解析式；同理求出旋转90︒后的直线解析式，再根据“上加下减”求出向上平移2个单位后的解析式．【解答】解：由图象可知：点A 的坐标是(2,4)，点A 逆时针旋转90︒后得到点A '的坐标是(4,2)-， 设直线1l 的解析式是1y k x =， 则可得：124k =， 解得：12k =，故直线1l 的解析式是2y x =．设直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒后的直线解析式是2y k x =， 把点(4,2)A '-代入2y k x =，得242k -=，解得212k =-，即12y x =-．故可得直线2l 的解析式是122y x =-+． 【点睛】本题考查一次函数的旋转与平移，解题的关键是能够利用待定系数法求函数解析式，并掌握函数图象平移的规律． 22．如图，直线13342y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，．(1)求直线CD 的解析式；(2)判断ACD 的形状，并说明理由． 【答案】(1)39y x =-+(2)ACD 是等腰三角形，理由见解析【提示】（1）先求出点C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线CD 的解析式即可； （2）先求出点A 的坐标，进而求出AC CD AD 、、的长即可得到答案．【解答】（1）解：∵直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，， ∴33342m =+，∴2m =，∴点C 的坐标为()23，， ∴2330k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴39k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为39y x =-+； （2）解：ACD 是等腰三角形，理由如下： 对于13342y x =+，当0y =时，2x =-，∴点A 的坐标为()20-，， ∴()()22522035AD AC ==--+-=，，()()22233010CD =-+-=，∴AD AC =，∴ACD 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数3124y x =-+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，OM AB ⊥，垂足为点M ．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求OM 的长；(3)存在直线AB 上的点N ，使得12OAN OAB S S ∆∆=，请求出所有符合条件的点N 的坐标． 【答案】(1)A (160)，，B (0)12，； (2)9.6OM =； (3)N (86)，或(246)-，．【提示】（1）利用坐标轴上点的特点直接得出点A ，B 坐标； （2）利用三角形的面积的计算即可求出OM ；（3）设出点N 的坐标，利用三角形的面积列方程求解即可． 【解答】（1）解：令0x =， ∴12y =， ∴B (0)12，， 令0y =， ∴31204x -+=，∴16x =， ∴A (160)，；（2）解：由（1）知，A (160)，，B (0)12，， ∴1612OA OB ==，，∴196202OAB S OA OB AB =⨯===，△，∵OM AB ⊥， ∴11209622OAB S AB OM OM =⨯=⨯⨯=△， ∴9.6OM =；（3）解：由（2）知，96OAB S =△，16OA =， ∵直线AB 上的点N ， ∴设N 3(12)4m m -+，， ∵12OAN OAB S S =△△， ∴111||16||8||9648222OAN N N N S OA y y y =⨯=⨯⨯=⨯=⨯=△，∴38|12|484m ⨯-+=，∴8m =或24m =， ∴N (86)，或(246)-，． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，绝对值方程的求解，列出方程是解本题的关键，是一道比较简单的基础题目．24．当m ，n 为实数，且满足1m n +=时，就称点(),m n 为“和谐点”，已知点()0,7A 在直线l ：y x b =+，点B ，C 是“和谐点”，且B 在直线l 上． (1)求b 的值及判断点()2,1F -是否为“和谐点”； (2)求点B 的坐标；(3)若AC =C 的横坐标． 【答案】(1)7b =，点()2,1F -是“和谐点”(2)()34B -，(3)点C 的横坐标为1或7-【提示】（1）将点()0,7A 代入直线l ：y x b =+，可得b 的值，根据“和谐点”的定义即可判断； （2）点B 是“和谐点”，所以设出点B 的横坐标，表示出纵坐标，因为点B 在直线l ：7y x =+上，把点B 代入解析式中求得横坐标，进而求得点B 的坐标；（3）点C 是“和谐点”，所以设出点C 的横坐标为c ，表示出纵坐标1c -，根据勾股定理即可得出当52AC =时对应的点C 的横坐标．【解答】（1）解：∵点A 在直线y x b =+上， ∴把()0,7A 代入y x b =+， ∴7b =，∵点()2,1F -，()211+-=， ∴点()2,1F -是“和谐点”； （2）解：∵点B 是“和谐点”，∴设点B 的横坐标为p ，则纵坐标为1p -，点B 的坐标为(),1p p -， ∵点B 在直线l ：7y x =+上，∴把点(),1B p p -代入y=x+7得，3p =-， ∴14p -=，∴()34B -，； （3）解：设点C 的横坐标为c ， ∵点C 是“和谐点”， ∴纵坐标1c -，当52AC =时，()221752AC c c =+--=， 解得7c =-或1，∴点C 的横坐标为1或7-．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，根据定义判断一个点是不是“和谐点”，勾股定理等知识，理解新定义是解题的关键．25．对于函数y x b =+，小明探究了它的图象及部分性质．下面是他的探究过程，请补充完整：(1)自变量x 的取值范围是 ；(2)令b 分别取0，1和2-，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中m 的值是 ，n 的值是 ．(3)根据表中数据，补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象；(4)结合函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象，写出函数y x b =+中y 随x 的变化的增减情况；(5)点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图象上，当12>0x x 时，若总有12<y y ，结合函数图象，直接写出1x 和2x 大小关系．【答案】(1)任意实数(2)3，1-(3)见解析(4)当0x>时，函数y 随x 的增大而增大，当<0x 时，函数y 随x 的增大而减小(5)210x x <<或120x x <<【提示】（1）根据解析式即可确定自变量取值范围；（2）把2x =-代入1y x =+，求得3m =，把=1x -代入2y x =-，求得1n =-；（3）根据表格数据补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像即可；（4）观察图像即可求得；（5）根据图像即可得到结论．【解答】（1）解：函数y x b =+中，自变量x 可以是全体实数，故答案为：全体实数；（2）解：把2x =-代入1y x =+，得3y =，把=1x -代入2y x =-，得1y =-，∴3,1m n ==-，故答案为：3，1-；（3）解：补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像如下：（4）解：由图知，当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小； 故答案为：当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小； （5）解：∵点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图像上，当120x x >时，∴点11(,)x y 和点22(,)x y 在y 轴的同一侧，观察图像，当120x x >时，若总有12y y <，即210x x <<或120x x <<．【点睛】本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析，画出函数图像，并研究和总结函数的性质；数形结合是解题的关键．。
一次函数图像解读技巧
一次函数图像解读技巧一次函数，又称线性函数，是数学中最简单的一类函数之一。
它的图像总是一条直线，具有很多实际应用价值。
本文将介绍一些解读一次函数图像的技巧，帮助读者更好地理解和应用一次函数。
一、一次函数定义与表示一次函数表达式通常可以写成f(x) = ax + b的形式，其中a和b分别是常数。
a被称为斜率，决定了直线的倾斜方向和斜率大小；b被称为截距，表示直线与y轴的交点的纵坐标。
二、一次函数图像特征1. 斜率的作用斜率a决定了一次函数图像的斜率。
当a为正数时，函数图像呈现上升趋势，斜率越大，直线越陡峭；当a为负数时，函数图像呈现下降趋势，斜率越小，直线越倾斜。
当a为零时，则代表函数图像为水平直线。
2. 截距的作用截距b表示直线与y轴的交点的纵坐标。
当b为正数时，函数图像与y轴的交点在y轴的上方；当b为负数时，函数图像与y轴的交点在y轴的下方；当b为零时，函数图像与y轴交于原点。
3. 函数图像方向通过斜率a的正负性即可判断函数图像的走向：当a为正数时，函数图像从左下方延伸至右上方；当a为负数时，函数图像从左上方延伸至右下方。
三、1. 斜率示意当给定一次函数表达式f(x) = ax + b后，我们可以借助斜率a的值来推测函数图像的走向。
斜率为正数时，代表直线向上倾斜；斜率为负数时，代表直线向下倾斜；斜率为零时，代表函数图像为水平直线。
2. 截距示意通过截距b的正负性可以确定函数图像与y轴的交点在y轴的上方或下方，并且当截距为非零值时，可通过数值的大小判断与y轴交点的位置。
3. 直线与坐标轴的交点通过求解一次函数图像与坐标轴（x轴和y轴）的交点，可以进一步了解函数的性质。
例如，求解与x轴的交点可以帮助确定函数的零点，求解与y轴的交点可以确定截距的数值。
4. 斜率绝对值的影响斜率的绝对值决定了直线的倾斜程度。
当斜率绝对值越大时，直线越陡峭；当斜率绝对值越接近于零时，直线越接近于水平。
四、一次函数在实际问题中的应用1. 经济学中的需求曲线一次函数图像可以用于描述商品的需求曲线。
一次函数及其图像知识点总结
12、 函数与方程、不等式之间的关系
指示：解决此类题目的关键在于，找到图像的交点，并且理解交点的意思，之后再过交点作x轴的垂线，并且左右平移垂线，进行观察。
例1：画出函数 的图像，根据图像，指出：
（1） 取什么值时，函数值 等于0
（2） 取什么值时，函数值 大于0
备注：上下平移（即 值不变， 值的变化），我们可以从函数与 轴交点的变化更容易观察出结论。
向左平移1个单位______________；向右平移2个单位_________________
备注：左右平移（即 值不变， 值的变化），我们可以从函数与 轴交点的变化更容易观察出结论。
7、直线之间的位置关系
已知直线：
思考：如何解决点关于y=x，y=-x对称，以及点旋转90°之后的坐标。
5、点的平移： 向上平移2格______；向下平移3格_______；向右平移1格______；向右平移5格_______（概括：左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标）
6、两点之间的距离
在同一条水平上线上的时候：求A、B两点之间的距离
例、如图所示：直线 与 、 轴轴分别交于点 、 ，其中点E的坐标为 点A的坐标 。点P为直线 上的一动点。
（1）、求 的值
（2）、若点 是第二象限内，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积 与 轴的函数关系式，并写出自变量 的取值范围。
（2）、探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为 ，并说明理由。
例2、如图14，已知 ， 是一次函数 的图象和反比例函数 的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线 与 轴的交点 的坐标及△ 的面积；
一次函数的图像和性质课例解读稿
03
性质关联
一次函数的增减性决定了不等式的解集范围。当 $k > 0$ 时，不等式
解集随 $x$ 增大而增大；当 $k < 0$ 时，不等式解集随 $x$ 减小而减
小。
一次函数在实际问题中的应用举例
行程问题
利用一次函数可以描述匀速直线 运动中的路程、速度和时间之间 的关系，进而解决追及、相遇等
问题。
04 一次函数的图像 变换
平移变换
平移方向
一次函数的图像可以沿x轴或y轴进行平移。当k>0时，图像向右平移；当k<0时，图像向左平移。同时，图像也 可以沿y轴上下平移。
平移距离
平移的距离取决于函数中常数项b的变化。当b增加时，图像向上平移；当b减少时，图像向下平移。平移的距离 等于b的变化量。
伸缩变换
奇偶性
一次函数不具有奇偶性。因为对于任意实数x，一次函数 f(x)=kx+b（k≠0）既不满足f(-x)=-f(x)（奇函数性质），也 不满足f(-x)=f(x)（偶函数性质）。
虽然一次函数本身不具有奇偶性，但可以通过平移或旋转等 操作得到具有奇偶性的函数图像。例如，将一次函数图像沿y 轴向上或向下平移一个单位长度后，可以得到一个关于原点 对称的奇函数图像。
03 一次函数的性质
单调性
一次函数的单调性与其斜率有关。当斜率k>0时，函数在整个定义域内单调递增 ；当斜率k<0时，函数在整个定义域内单调递减。
一次函数的单调性可以通过函数的导数来判断。对于一次函数f(x)=kx+b，其导 数为f'(x)=k。当k>0时，f'(x)>0，函数单调递增；当k<0时，f'(x)<0，函数单调 递减。
一次函数的图像解读
x
4、一次函数y=3/2x-6的图象与x轴的交点坐标 为 (4,0) ,与y轴的交点坐标为 (0,-6)
（四）、点和直线的图象的关系
1、“做一做”： （1）作出一次函数y=-2x+5的图象。
y 3
2 1 0 1 （2，1） x 2 （1，3） 从“做一做” 中我们读出什 么信息
（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐
（六）、家庭作业：
第193页 第 1题
第209页
第5题
谢谢！
标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y=-2x+5。
结论 若点（x,y)在直线y=kx+b的图象上，那么x,y的值 必满足关系式y=kx+b。
2、“议一议”： （1）满足关系式y=-2x+5的x,y所对应的点(x,y)都在 一次函数y=-2x+5的图象上吗？ （2）一次函数y=-2x+5的图象上的点(x,y)都满足关系 式y=-2x+5吗？ （3）一次函数y=kx+b的图象有什么特点？
一次函数的图象
附城一中
本节目的：
彭燕棉
上学期我们学习了统计图，通过统计图我们 可以简便而又直观地读出一些重要的信息。 这节课我们通过作一次函数的图象掌握一次 函数的性质，并为以后学习“一次函数图象 的应用”打下坚实的基础。
一、作一次函数的图象：
（一）、函数图象的概念： 把一个函数的自变量ｘ与对应的因变量y的值分别作 为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对 应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 （二）、作函数图象的一般步骤： 列表、描点、连线 1 、例一：作出一次函数y=2x+1的图象 解：列表：
x y=2x+1 … … -2 -3 -1 -1 0 1 1 3 2 5 … …
从函数图象中获取信息解读
预祝：二零零九年数学年会圆满成功！从函数图象中获取信息专题复习授课教师：国防科大附中陈石指导单位：国防科大附中数学组二零零九年十二月十九日本教案还存在许多不足，请各位老师提出宝贵的意见！谢谢指导！课题：从函数图象中获取信息—专题复习授课教师：国防科大附中陈石指导单位：国防科大附中数学组一、教材分析《从函数图象中获取信息》这节着重培养学生的识图能力，能对所给图象信息进行识别与分析，从而解决简单的实际问题。
因此教材的重点放在将图形与文字语言建立对应关系，从而直接从图象上获取相应的解答。
同时告诉我们有关一次函数图象的某些特征，确定解析式。
教材中重视这两个环节，可提示学生从数、形两个方面进行探讨，为下一节用函数观点看方程（组）与不等式的学习打下良好的基础。
二、教学目标知识与技能目标：1．关注图象中特定点表示的信息, 求出各段的表达式,从而理解整个过程.同时注意领悟数形结合的思想；2．能根据所给信息确定一次函数表达式.能运用数形结合的思想探索问题，发现问题；3．注意认真理解题意，并和图象中的信息相结合，提高综合解题的能力。
过程与方法目标：1．经历通过函数图象获取信息的过程，培养学生数形结合的意识，发展学生形象思维能力；2．经历利用函数图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。
情感与态度目标：1．经历对实际问题的解决过程在合作与交流活动中发展学生的合作意识和能力；2．经历从不同角度去观察、分析、思考、体验解决问题的多样性的过程，获得成功的体验，树立学习的信心。
三、教学重点、难点：1．结合实际问题的讲练，培养学生收集、选择、处理函数信息，并作出合理的推断或大胆的猜测的能力；2．使学生能够熟练地求出实际问题中一次函数的解析式。
四、教学过程：创设情境，引入新课精心设置一个问题情景去激发学生的兴趣和求知欲，从而激励学生去探索、发现，充分调动学生的积极性。
复习课更需要情境创设去激发学生的学习兴趣。
实践活动一：找一找：用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，下面哪个图形与 “龟兔赛跑”的故事情节相吻合？议一议：从图上你能获取哪些具体信息？设计意图：通过这个活动的讲解，使学生知道识图的几种方法：（1） 图形与文字语言建立对应关系，从而直接从图象上获取相应的解答； （2） 理解横、纵坐标分别表示的的实际意义，分清变量之间的关系。
从函数图像上获取信息
2可、以14认时为温度，最气高温，T是是8时℃间。4t时的温函度数最．低，是 -3℃.
3、0-4和14-24时间段温度在下降， 4-14时间段温
度在上升。 4、温度在 0℃以上的时间比在 0℃以下的时间长。
5、温度为 0℃的时间有 2次。
王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼， 主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然 后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷 离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的 关系（从小强开始爬山时计时）.
y/千米
C
D
2
1.1
AB
0
15 25
37
55
E
80 x/分
问题1：菜地离小明家多远？小明走到 菜地用了多少时间？
y/千米
2
C
D
解(1)由纵坐标看 出，菜地离小明 家1.1千米；由横 坐标看出小明走 到菜地用了15分 种。
AB
1.1
E
0
15 25
37
55
80 x/分
解：由纵坐标看出，菜地离小明家1.1千米，由 横坐标看出，小明从家到菜地用了15分钟。
s(米)
O
Ａ
O
t(分)
t(分)
Ｂ
O
t(分)
Ｃ
O
t(分)
Ｄ
7、用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程， t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的
是（ D ）
8、一辆公共汽车从车站开出，加速行 驶一段后开始匀速行驶，?过了一段时间，汽车 到了下一个车站，乘客上下车后汽车开始加速， 一段时间后又开始匀速行驶，则图中近似地刻画 出汽车在这段时间内的
是下图中的（ A ）
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如何从一次函数图象上获取信息
安徽张雷
从函数图象获取信息,主要从图象上的坐标获取数据,由自变量值求出相应的函数值;由相应的函数值为求出自变量值.利用从图象上的某些点的坐标提供的数据进行分析、处理,可以获取图象所表示的函数关系的丰富信息,解答各种相关问题.函数图象信息题已成为中考命题的热点.下面分类予以说明.
1. 从一个一次函数图象获取信息的要点
在坐标系中给出一个一次函数图象,即一条直线（或一线段、一射线）,利用所给的特殊点的坐标,读取其中所要表达的信息,即由自变量值求出相应的函数值;由相应的函数值求出自变量值.通过对图象上某些点的坐标提供的数据,进行分析、处理,可以获取图象所表示的函数关系的丰富信息,解答各种相关问题.一般会出现在纯函数图象、行程问题、产量问题等题目中,要理解好图象与轴轴的交点所表达的实际含义. 用表格表示如下:
例1.某公司市场营销部的营销员的个人月收入与该营销员每月的销量成一次函数关系，其图象如图所示. 根据图象提供的信息，解答下列问题：
⑴求出营销人员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件(x≥0)之间的函数关
系式；
⑵已知该公司营销员李平5月份的销售量为1.2万件，求李平5月份的收入.
【分析】本题由“图”可以识“数”,这是研究函数的的重要方法.通过图象上的特殊点的坐标,求解出函数关系式,再由关系式求解相应的问题. 解:(1)依已知条件可设所求的函数关系式为y ＝kx ＋b
因为函数图象过(0,400)和(2,1600)两点,所以 b =400,2k ＋b =1600,
解这个方程，得 k =600. 故所求的函数关系式为y ＝600x ＋400 (2)当x ＝1.2时，y ＝600×1.2＋400＝1120(元) 即李平5月份的收入为1120元.
2.从二个一次函数图象获取信息的要点
在同一坐标系中,同时出现二个一次函数的图象,即两条直线,利用所给图象的位置关 系,交点坐标,与x 轴、y 轴交点坐标,读取其中所要表达的信息,一般出现在用来比较产量、速度、资费等问题,关键是理解好交点坐标的涵义.
从二个相交一次函数图象获取信息 看图象
获取信息
两直线的交点为(00,)x y
两个一次函数,当自变量值为0x 时,函数值都为0y 或当函数值为0y ,自变量值都为0x .
当自变量为x ＞0x 时,函数值1y ＞2y ,即对同一自变量x 的值,图象在上面的函数值大. 当自变量为x ＜0x 时,函数值1y ＜2y ,即对同一自变量x 的值,图象在下面的函数值小.
例3.如图，1l 表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；2l 表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系。
(1)写出销售收入与销售量之间的函数关系式； (2)写出销售成本与销售量之间的函数关系式；
(3)当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；
(4)当一天的销售超过多少辆时，工厂才能获利？（利润=收入-成本）
【分析】首先从y 轴知两直线经过(0,2);(0,4),由图象知两直线的交点为(4,4),利用待定系数法可求两函数关系式.
（万件） （元） y x 0
1
2
400 1600
解:（1）设y kx =,因为直线过(4,4),则4=6k ,k =1,所以y =x ;
（2）设y kx b =+,因为直线过（0，2）、（4，4）两点,所以2y kx =+又442k =+,所以1
2
k = 所以1
22
y x =
+ （3）由图像知，当4x =时，销售收入等于销售成本或1
22
x x =
+∴4x = （4）由图像知：当4x >时，工厂才能获利
例4 东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．•该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择． 甲：买一支毛笔赠送一本书法练习本． 乙：按购买金额打九折付款．
某校欲为校书法兴趣组购买这种毛笔10支，书法练习本x （x ≤10）本．如何选择方案购买呢？
【分析】本题具有一定的开放性.根据题目提供的条件,可确定出两种优惠方案,实际所花费金额y 元与书法练习本x 之间的关系式,结合函数的关系式,自变量的取值范围,利用函数图象,可直观予以解决. 解：方法一
分别根据题意写出甲、乙两种方案的实际金额y 元与书法练习本x 本之间的关系式： y 甲=（x -10）×5+25×10=5x +200 y 乙=（10×25+5x ）×0．9=4．5x +225
在同一直角坐标系中画出两个函数图象：
解方程组5200,4.5250.y x y x =+⎧⎨
=+⎩ 得50,
450.x y =⎧⎨=⎩
所以两直线交于点（50，450）．
由图象很容易看到：
当10<x <50时 y 甲<y 乙， 当x =50时 y 甲=y 乙， 当x >50时 y 甲>y 乙．
所以我建议：如果购买书法练习本少于50本时选择方案甲；如果购买书法练习本等于50本时选择哪种方案无区别；如果购买书法练习本多于50本时则要选择方案乙．这样的购买方法最省钱．
方法二：如果方案乙与方案甲实际付金额差为y 元，购买书法练习本数为x 本，•则y 与x 的关系式为：
y=-0.5x+25．
在坐标系中画出图象：
计算出直线y=-0.5x+25与x轴的交点为（50，0）．
由图象可知：
当x<50时y>0选方案甲省钱，
当x=50时y=0选方案甲、乙无区别，
当x>50时y<0选方案乙省钱．
与方法一有同样的结论．
【说明】利用图象来分析问题、解决问题形象直观,在同一坐标系内,两图象的交点表示对同一x值,两函数值相等;图象在上面的函数值大,下面的函数值小.认识这些有助于解决两函数图象有交点的问题.
3.折线图象型
这类问题由于变量的取值范围不同，函数图象呈现出不同状态（若干条折线形），由此我们可以确定出不同的函数解析式，解这类问题的关键是把握所给图象是"上升线、水平线、下降线"的内涵（即从左到右，图形是上升趋势，还是下降趋势，还是一水平线段）以及转折点的纵横坐标的数值，然后结合函数的性质予以解决.
例5 小明在暑期社会实践活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完。
销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示。
请你根据图像提供的信息完成以下问题：
(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜x(千克)之间的
函数关系式。
(2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜?
(3)小明这次卖瓜赚了多少钱?
【分析】这类函数又称分段函数,其特点是在自变量不同的范围内,函数的关系式不同,图象也不同.应注意两函数的转折点的坐标,它起到承上启下的功能.
解:（1）设函数关系未y=kx, 则k=64
1.6,
40
所以y=1.6x.
（2）由（1）知,降价前西瓜售价每千克1.6元,所以降价0.4元西瓜每千克售价1.2元,所以降价后销售的西瓜为（76－64）÷1.2=10（千克）,所以小明从批发市场共购进50千克西瓜. （3）76－（50×0.8）=36（元）, 即小明这次卖瓜赚了36元.
【说明】从图象中获取信息,将实际问题与图象结合起来,是近年来的中考热点问题,也是新课标的要求.
例6 （宁夏）
春、秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到0℃以下的天气现象称为“霜冻”．由
霜冻导致植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害．
某种植物在气温是0℃以下持续时间超过3小时，即遭受霜冻灾害，需采取预防措施．下图是气象台某天发布的该地区气象信息，预报了次日0时～8时气温随时间变化情况，其中0时～5时，5时～8时的图象分别满足一次函数关系．
断次日是否需要采取防霜冻措施，并说明理由．
【分析】：本题应注意题干与图形相结合，首先应认真观察图形，仔细看图，抓住关键点（如图像中的转折点，虚线指示的点等），把握所给图象转折的具体内涵，利用有关数据求解出相应的函数关系式。
进而结合题意求解出相应的问题。
解：设0时～5时的函数关系式为y b kx +=1,将（0，3）、（5，-3）分别代入上式得 b =3,k =－
56,所以y 35
6
1+-=x ; 设5时～8时的函数关系式为y b kx +=2,将（8，5）、（5，-3）分别代入上式得 5k +b =-3 解之得k =349,38
-=b ,所以y 2849,33
x =- 8k +b =5
当y 1,y 2分别为0时，x 849,2511==
x ,而x 21x -=49529
3.828
-=>所以需要采取防霜
冻措施
【说明】解这类问题的关键：首先弄清函数图像上的特殊点的意义——即横坐标与纵坐标的意义，其次结合图像的特点，要学会将图像上的特殊点的坐标转换成数学语言，构建数学模型，最后作答。
)。