基于多项式混沌展开的边坡稳定可靠性分析

Reliability analysis of slope stability based on polynomial chaos expansion
ZHANG Hong-tao1, ZHAO Yu-fei2, LI Chen-feng3, JI Hong-guang4, WANG Jin-an4
(1. Department of Civil Engineering, North China University of Technology, Beijing 100041, China; 2. China Institute of Water Resources and Hydropower Research, Beijing 100044, China; 3. Civil & Computational Engineering Centre, School of Engineering, Swansea University, Swansea SA2 8PP, U. K. ; 4. Department of Civil Engineering, Beijing University of Science and Technology, Beijing 100083, China)
第 32 卷 2010 年
第8期 .8 月
岩
土
工
程
学
报
Chinese Journal of Geotechnical Engineering
Vol.32 No.8 Aug. 2010
基于多项式混沌展开的边坡稳定可靠性分析
张宏涛 ，赵宇飞 ，李晨峰 ，纪洪广 ，王金安
1 2 3 4 4
（1. 北方工业大学土木工程系，北京 100041；2. 中国水利水电科学研究院，北京 100044；3. Civil & Computational Engineering Centre, School of Engineering, Swansea University, Swansea SA2 8PP, U. K. ；4. 北京科技大学土木工程系，北京 100083）
土参数 c， ϕ 和 u 可以作为随机变量来进行分析。下 面将对引入随机变量后的式（1）进行求解。
1
边坡稳定上限分析方法
图 2 塑性剪切带的能量耗散 Fig. 2 Energy dissipation on shear band
图 1 所示的失效边坡，外力 T 作用在 L 边界，阴 影区域表示真实的滑坡体 V ， 真实破坏滑面 Γ ，V * 表 示假设的塑性破坏区， Γ * 为假设破坏滑面。由上限 分析定理可对图 1 所示的滑坡体建立虚功平衡方程：
摘
要：利用 Mohr-Coulomb 屈服准则和塑性力学的上限定理，通过对离散条块边坡体构建机动许可速度场，建立了边
坡稳定的虚功方程，其中岩土强度参数为随机变量，虚功方程为非线性随机平衡方程，安全系数成为随机变量的函数。 再用多项式混沌展开和随机 Galerkin 算法对上述方程进行求解，优化得到了边坡临界滑面及其失效概率和稳定系数， 得出了基于多项式混沌展开的岩土边坡可靠性的分析方法。数值算例表明该方法能对不确定性参数的岩土边坡稳定性 进行有效评估和预测。 关键词：边坡稳定；极限分析；多项式混沌；非线性随机方程；失效概率 中图分类号：TU45；TD853.34 文献标识码：A 文章编号：1000–4548(2010)08–1253–07 作者简介： 张宏涛(1978– )， 男， 山东青州人， 讲师， 从事边坡及岩石力学研究。 E-mail: zhanghongtao95@。
论研究了边坡稳定可靠性[18-21]。 极限平衡方法是通过在一系列垂直条块上建立力 和力矩的平衡方程，并进行滑面参数优化后得到边坡 安全系数， 该方法通常需要添加一些附加条件和假设。 相比极限平衡方法，极限分析方法具有更坚实的物理 背景和力学基础。该方法通过构建机动许可速度场建 立边坡破坏体的虚功平衡方程，而且已经在中国水电 工程的边坡和坝基稳定分析中获得了应用[8,10]。 结合边坡稳定上限分析研究以往的工作，本文提
*
* i
,r-Coulomb 屈服 准则，滑动边坡在底滑面上的速度场 v 与底滑面的夹 角大小为摩擦角 ϕ ，如图 2 所示。这样底滑面上的塑 性耗散能为 dDs = τ vs + σ n vn = (τ cos ϕ + σ n sin ϕ ) v 式中，τ 和 σ n 是底滑面上的剪应力和正应力，vs 和 vn 分别是速度向量的切向和法向分量，黏聚力 c 和摩擦 角 ϕ 为岩土的抗剪强度参数，u 为孔隙水压力。 ru 为 孔隙水压力系数， γ 为岩土重度，z 为土层厚度。 式 （2） 表明可以在不知道塑性区应力场情况下得 到底滑面上的能量耗散。这里的岩土抗剪强度参数 c，
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张宏涛，等. 基于多项式混沌展开的边坡稳定可靠性分析
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ˆ * ）的夹角等于折减后的摩擦角 ϕ (或 ϕ ˆie )。 块界面 Γ i ie 这里引入 θ 和 θˆ 分别表示从 x 轴正方向逆时针旋转到
i i
g (ξ (ω )) =
∑ g H (ξ (ω ))
i i i =1
+∞
，
(8)
Fmin 即为边坡稳定的安全系数，所对应的破坏模式即
为临界滑动模式。如果 Fmin > 1 则边坡是安全的。 2.2 边坡离散和机动速度场的获得 为了求解式（1）中的能量耗散和外力功，需要对
图 1 失效边坡的塑性区 Fig. 1 Slope failure at plastic limit
边坡进行离散。 如图3为边坡的某一破坏离散模式， 机 动许可塑性区 V * 被分成 q 个斜条块 Vi * ( i = 1, 2, 底滑面 Γ 被 q 条线段 Γ ( i = 1, 2,
出了具有随机性岩土参数边坡稳定的上限分析方法。 利用 Mohr-Coulomb 屈服准则和塑性力学的上限定 理，岩土参数作为随机变量，通过构建边坡离散条块 的机动许可速度场，建立了含有随机变量的边坡稳定 虚功非线性方程，安全系数成为随机变量的函数。通 过利用多项式混沌展开和随机算法对上述方程进行求 解，优化得到了边坡临界滑面及其失效概率和安全系 数。算例和工程实例表明该方法有效可靠，可以为工 程设计提供依据和安全评价。
条块 Vi * 相对底滑面 Γ i* 以刚体速度 vi 运动，同时 ˆ * 有一 ˆ 与条块界面 Γ 相邻条块 V * 和 V * 的相对速度 v
i i +1 i
i
ϕ 和孔隙水压力 u 在以往的分析中一般取平均值，但
实际上由于加载历史和岩土参数固有的不确定性，岩
夹角。根据相关联流动法则和 Mohr-Coulomb 屈服准 ˆi ）和底滑面 Γ i* （或条 则，速度场 vi （或相对速度 v
= ( c cos ϕ − u sin ϕ ) v = ( c cos ϕ − ru γ z sin ϕ ) v
, q )分割。
， (2)
图 3 边坡机动许可塑性区的离散 Fig. 3 Discretization of a kinematically-admissable plastic zone
ˆ * 的角度。 Γ i* 和 Γ i
强度参数折减后的离散域 ∪Vi* 内的能量平衡方
i =i
q
式中， gi 为确定常数， H i (ξ (ω )) 为随机向量 ξ (ω ) 的 Τ Hermite 多项式。 ξ (ω ) 的概率密度函数为 e −1 2ξ ξ / Τ (2π)n 2 ，混沌多项式 H i (ξ (ω )) 与 e−1 2ξ ξ (2 π)n 2 具有 正交性，即
2
2.1
边坡稳定概率分析方法
边坡稳定的安全系数指标
∫
V*
σ :ε dV + ∫ dDs = ∫ T v ds + ∫ Wv dV ， (1)
* * * * *
Γ*
L
V*
式中，ε 和 v 为假设的塑性许可应变率和速度场，σ 为依据正交流动法则确定的塑性应力场，Ds 为底滑面
*
*
*
的能量耗散，W 为滑坡体自重。式（1）的左边表示 滑坡体内部和底滑面的塑性能量耗散，右边表示由重 力和外载引起的外力功。
在边坡稳定分析中， 边坡失效通常是自重引起的， 一般采用安全系数作为边坡稳定的评价标准，本文的 安全系数通过岩土强度参数的折减系数来定义[8]。一 般，折减后的岩土强度参数为 c ⎫ ce = ， ⎪ ⎪ F (3) ⎬ tan ϕ ⎪ tan ϕe = ， ⎪ F ⎭ 式中，F 为折减系数。在边坡稳定上限分析方程（1） 中，通过在所有可能破坏塑性区中寻找最小折减系数
0
引
言
岩土边坡的稳定性在岩土工程界一直广受关注。 例如利用经典的极限平衡[1-5]和极限分析[6-11]方法研究 岩土边坡的稳定性；以及利用弹塑性有限元[12-13]和极 限分析有限元 [14-16] 方法研究岩土结构的承载能力和 边坡稳定性等。 Duncan[17]对这些传统的边坡稳定确定 性分析方法进行了综述，这些方法较好的解决了确定 性的岩土工程稳定问题。 但是，岩土参数的不确定性在岩土工程中一直存 在，如何将参数不确定性引入到确定性分析方法中自 然引起了学者的注意。一些学者通过直接假定岩土参 数具有某种随机概型分布 （如高斯分布或对数分布等） , 然后利用边坡稳定分析的极限平衡方法结合可靠度理
─────── 基金项目：国家自然科学基金项目（50809003） ；国家科技支撑计划 (2008BAB33B03-04) ； 国 家 高 技 术 研 究 发 展 计 划 (863 计 划 ) (2008AA062104)；中英科研合作项目 收稿日期：2009–05–04
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