凑微分法和分部积分法的简单解题思路
常微分方程凑微分法
常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。
在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。
一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。
该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。
具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。
2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。
3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。
这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。
二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。
下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。
1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。
分部积分法
(易积)
？ ？ 问题： xexdx
xcos xdx
6
第三节 分部积分法
第四章
由导数公式 (uv) uv uv
uv (uv) uv
积分得: uvdx uv uvdx 或 udv u Nhomakorabea v du
分部积分公式
注： 1.左端的被积表达式为两部分;右端为两部分.
2.公式的作用： 化难为易
x ln2 x 2x ln x 2 dx
x ln2 x 2x ln x 2x C.
14
2
2
11
经验2: 幂 对(反三角)dx 可设对数(反三角)= u
例5.
解:设u arccos x ,dv dx，则du
1 dx,
1 x2
v
x
arccos u
xdx
v
x
arccos
x
xd(arccos
x)
x arccos x
x dx x arccos x
1 x2
d(1 x2 ) 2 1 x2
ln a
2
三 (1) sin xdx cos x C;
角 (2) cos xdx sin x C;
函 数
(3) tan x dx lncos x C
的 (4) cot xdx lnsin x C
积 (5) sec x dx lnsecx tan x C
分
公 (6) csc x dx lncsc x cot x C
顺序, 前者为u.
的 反: 反三角函数
对: 对数函数
幂: 幂函数
指: 指数函数
三: 三角函数
13
例6. 求 ln2 xdx.
数学分析(第8.2节换元积分法与分部积分法)
前页 后页 返回
二、第二换元积分法 第一换元法是通过变量替换
u ( x) 将
f [ ( x )] ( x )dx化为易积出的积分 f (u)du
第二换元法则是通过变量替换 x ( t ) 将
f ( x )dx化为积分 f [ (t )] (t )dt
而
则
f [ (t )] (t )dt G(t ) C , t J f ( x )dx = f [ (t )] (t )dt G(t ) C
(2) dx d( x a );
1 1 (3) x dx d(x ); (4) cos xdx d(sin x ); 1 (5) sin xdx d( cos x ); (6) 1 x dx d( ln x ); dx 2 d(arctan x ). (7) sec x d x d( tan x ); (8) 2 1 x 前页 后页 返回
前页 后页 返回
解 （2）
1 a x
2 2
dx
x a tan t dx a sec tdt
2
a
1 1 tan t
2
a sec2 tdt
sec tdt ln sec t tan t C
由辅助三角形（如图）
sec t a2 x2 x , tan t a a
ex dx dx x 1 e
1 x dx d (1 e ) x 1 e
x ln(1 e x ) C
前页 后页 返回
1 dx. 例9 求 1 cos x
解
1 1 cos x 1 cos x 1 cos x dx 1 cos2 x dx sin2 x dx 1 1 2 dx 2 d (sin x ) sin x sin x 1 cot x C. sin x
凑微分法怎么理解 [浅谈凑微分法的理解及应用]
![凑微分法怎么理解 [浅谈凑微分法的理解及应用]](https://img.taocdn.com/s3/m/670862596529647d272852d3.png)
凑微分法怎么理解[浅谈凑微分法的理解及应用]【摘要】凑微分法是微积分学中重要的积分法，初学者难以熟练掌握.本文主要讨论其一般规律，并通过举例来说明如何凑微分. 【关键词】基本积分公式；凑微分；不定积分计算不定积分的方法很多，凑微分法是比较重要而且常用的方法之一，深刻理解并熟练应用这种方法是学习后继微积分知识的基础.本文主要讨论其一般规律，并通过举例来说明如何凑微分. 一、凑微分法的理论依据例1求∫2cos2xdx. 分析因为cos2x是复合函数，这个不定积分不能用直接积分法求出结果，但可以考虑套用公式∫cosxdx=sinx+C来计算. ∫2cos2xdx=∫cos2xd2x令2x=u1∫cosudu=sinu+C回代u=2x1sin2x+C. 验证积分结果的正确性：sin2x+C′=2cos2x，积分结果的导数等于被积函数，说明这种积分思路及过程是正确的. 解设u=2x，则du=2dx. ∫2cos2xdx=∫cos2xd2x=∫cosudu=sinu+C=sin2x+C. 解题特点引入新变量u=2x，把原被积表达式化成基本初等函数的微分形式cosudu，再用基本积分公式求出积分结果∫cosudu=sinu+C=sin2x+C. 这种求不定积分的方法具有一般性，其理论依据如下：设y=F（u）及u=φ（x）都是可导函数，且F′（u）=f（u），则由y=F（u）和u=φ（x）构成的复合函数是y=F[φ（x）]. 对函数y=F（u），dy=F′（u）du=f（u）du，则∫f（u）du=F（u）+C；对复合函数y=F[φ（x）]，dy=y′xdx=F′（u）u′xdx=f（u）φ′（x）du=f（u）du，即dy=f（u）du，则∫f（u）du=F（u）+C. 由此可见，不论u是自变量还是中间变量，总有∫f（u）du=F（u）+C.于是得到结论：如果∫f（x）dx=F（x）+C，而u是x的可导函数，那么∫f（u）du=F （u）+C. 即只要所给积分的被积表达式能凑成f[φ（x）]dφ（x），即f（u）du的形式，就可利用公式∫f（u）du=F（u）+C写出积分结果. 此结论表明：在基本积分公式中，自变量换成任何可导函数u=φ（x）时，公式仍成立.这条性质叫做积分形式不变性.这个结论扩大了基本积分公式的使用范围. 例1中使用的方法，实质上是把微分形式不变性反过来用于不定积分而得到的求积分的方法，这种方法通常叫做第一类换元积分法，也叫凑微分法. 二、凑微分法的定义一般地，若不定积分的被积表达式能写成f[φ（x）]φ′（x）dx=f[φ（x）]d[φ（x）]，令φ（x）=u，当积分∫f （u）du=F（u）+C时，则有下面的结论：∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f （u）duu=φ（x）=∫f（u）du=F（u）+C=F[φ（x）]+C. 通常把这种积分方法称为第一类换元积分法，又叫凑微分法. 三、凑微分法的理解在凑微分法的过程中，变量u在这里处于中间变量的地位，u是x的可导函数u=φ（x），因此这种方法的关键也可以说是正确选择中间变量u.在具体解题的过程中，要注意凑出来的新的积分∫f（u）du要能用直接法求出积分结果，否则就失去了换元的意义.四、应用举例 1.凑微分法求解步骤设∫f（u）du=F（u）+C，运用凑微分法做积分运算时首先将原积分形变为∫f[φ（x）]φ′（x）dx，再按下列步骤进行：∫f[φ（x）]φ′（x）dx凑微分1∫f[φ（x）]dφ（x）变量代换1φ（x）=u ∫f（u）du计算积分1F（u）+C变量代换1u=φ（x）F[φ（x）]+C. 2.常用的凑微分形式（1）dx=11ad （ax）=11ad（ax+b）；（2）xdx=112dx2=112ad（ax2+b）；（3）11xdx=dlnx；（4）11xdx=2dx；。
凑微分的做题步骤
凑微分的做题步骤
凑微分的做题步骤：
1. 首先，要明确题目所给函数，以及需要凑微分的形式。
2. 寻找合适的凑微分因子。
通常来说，凑微分因子是可以将要凑微分的式子中的某一部分提取出来，并且剩余部分能够组成完整的微分形式。
3. 将凑微分因子与要凑微分的式子相乘，并进行化简。
4. 根据凑微分的定义，将凑微分后的式子进行积分。
5. 利用积分后的结果，再次应用凑微分的思想，将式子继续化简。
6. 重复步骤3 - 5，直到得到所需的结果。
需要注意的是，凑微分的过程需要根据具体的题目情况灵活运用，有时需要多次尝试和变形才能寻找到合适的凑微分因子。
另外，解题过程中需对函数的性质有一定的了解，如函数的可导性、连续性等。
凑微分法与分部积分法
= −1 ⇒
B
=1 .
A − C = 2
C = −1
∫ ∫ ∫ 故
(x
2x2 − x + 2 −1)(x2 + x +1)
=
1+ x −1
x
2
x −1 +x+
1
.
⇒
(
x
2x2 −1)(
−x+2 x2 + x +
1)
dx
=
1 dx + x −1
x
2
x −1 +x+
dx 1
=
ln
x
−1
+
1 2
∫
2x − x2 + x
+
∫
x
1 −
dx 3
= − ln x +1 + ln x − 3 + C = ln x − 3 + C. x +1
2018/12/13
Edited by Lin Guojian
1
2x
例
:
∫
x2
dx. −1
解:设
2x x2 −1
=
2x (x −1)(x
+ 1)
=
A+ x −1
B. x +1
由于 A + B = A(x +1) + B(x −1) ⇒ 2x = A(x +1) + B(x −1)
2
22
2018/12/13
Edited by Lin Guojian
10
例: ∫ ln xdx.
解
分部积分法
udv uv vdu
d v cos x d x d(sin x)， 解：令 u x ，
则v sin x, d u d x
x cos xdx xd (sin x)
x sin x sin xdx x sin x cos x C
k （2）在 f ( m ax b , n ax b )dx中， 令 ax b t，
其中 k 是 m，n 的最小公倍数．
作业解析：P131 3题
x 1 1 2 解： (10) dx d( x ) 2 2 1 x 1 x 2 1 1 1 2 2 d (1 x ) ln(1 x ) C 2 2 1 x 2
e
x
dx e 2tdt 2 tde
t
t
u
2(te t e t dt )
2(te e ) C
t t
2e ( x 1) C
x
在求一个不定积分的过程中，有时需要同时用到几种积分方法．
课堂练习
P134 习题3.4 1， 2（3）（6） （11）
1.填空题 （1） x sin xdx中， u= （2） ln xdx 中， u =
4 2
3.4
求不定积分
不定积分的分部积分法
2
x cos x dx
x cos x dx
1 1 2 2 2 解：原式 cos x d ( x ) sin x C 2 2
思考：求不定积分
1 2 cos xd ( x ) 凑微分得 2 能直接积分吗？ 或 xd (sin x )
2
1 1 2 x arctan x d (x ) 2 2 1 x 1 1 2 x arctan x d (1 x ) 2 2 1 x 1 2 x arctan x ln(1 x ) C 2
分部积分法
ax c
dx
dv
1 ax c xd (e ) a
1 ( xe ax c e ax c dx ) a
这种类型通常是将指数函数先凑入微分号内.
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
常见类型（二）
P ( x) sin axdx
n
或
P ( x) cos axdx
e x sin x (e x cos x e x d cos x ) e x (sin x cos x ) e x sin xdx e x sin xdx
ex (sin x cos x ) C . 2
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
x ln xdx
x2 1 2 ln x x d (ln x) 2 2
x2 1 ln x x 2 C 2 4
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2 求下列不定积分
(1) x ln xdx
解： (2)
令
(2) arctan x dx
u arctanx,
2
x 2 cos x 2 x sin x 2 cos x C
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
常见类型（一）
Pn ( x) e ax c dx
其中
(a 0)
2 n
pn ( x) a0 a1 x a2 x an x
如
xe u
x arcsin x 1 x 2 C
4.3 分部积分法
凑微分法和分部积分法探析
凑微分法和分部积分法探析作者：张奕河来源：《科学与财富》2018年第34期摘要：针对高职学生在学习两个函数乘积的积分遇到的困惑，通过类比凑微分法和分部积分法的异同点，归纳出一种统一的方法，使得求解时变得有规可循，化难为易，便于学生理解和掌握，也培养了学生探究能力和创新思维能力。
关键词：乘积；凑微分；分部积分；顺序求两个函数乘积的导数（微分），有了乘积的求导（微分）法则就容易解决了，而求两个函数乘积的积分，由于积分运算只有线性性质没有乘除的运算性质，因此求两个函数乘积的积分成为高职学生的学习难点，除了部分题目化为线性运算用直接积分法和第二换元法求解外，大部分题目主要是用凑微分法和分部积分法解决，学生在学习中的难点是这两种方法选择哪种？无法做出正确的判定，无从下手，往往“知难而退”，作业抄袭上交应付了事。
本人在教学中，通过类比两种方法的异同点，归纳出一种统一的方法，使得求解时变得有规可循，化难为易，便于学生理解和掌握。
一、凑微分法和分部积分法的异同点：相同点：1、主要解决两个函数乘积的积分（特殊情况可以是单一函数）；2、都要凑微分。
不同点：1、凑微分主要解决复合函数的积分问题，要求两个乘积项都要与同一变量（中间变量u）有关，一个是中间变量的函数，另一个是中间变量的导数的常数倍，而分部积分法两个乘积项不需要有关系。
解题关键是u的选取和凑微分du。
二、统一方法三、应用举例小结：学生遇到两个函数乘积积分题目不知要采用哪种方法，无从下手，产生畏难情绪，学习兴趣和积极性受到打击，找不到入门的手段和方法，有点倒在门外的感觉。
通过教师引导，让学生找到两种方法知识点之间的关联并融会贯通，归纳出统一方法，培养了探究能力和创新思维能力，同时变复杂为简单，变抽象为具体，使得学生解决这类型问题变得有规可循，容易理解和掌握，入门、上手快，题目会做、乐做，乐学、思学，在学习过程中找到收获感和成就感。
当然，积分难学就在于没有一种固定、万能的方法，但学生掌握了上述方法，做题不会再一筹莫展，学习有了积极性，通过一定的练习，熟能生巧，对一些常见的题型和技巧了如指掌，使得解题更加快捷自如，大大提高学生积分的计算能力。
5.3凑微分法和分部积分法
x 1 1 1 2 2 2 x x 1 ( x 1) x( x 1)
dx dx dx 原式 2 x x 1 ( x 1)2 d( x 1) d( x 1) ln x 2 x 1 ( x 1)2
1 d( x 2 1) ln x arctan x 2 2 x 1
1 ln x ln( x 2 1) arctan x C . 2
2. 当真分式分母中含有因子( x a) 时,则分解后
k
有下列k 个部分分式之和：
A1 A2 2 x a ( x a) Ak . k ( x a)
解 (1) (sin x) cos xdx (sin x) d sin x
t dt ( 令 t sin x )
ln sin x C , 1 ln t C , 1 1 1 (sin x ) t C , 1 . C , 1 1 1
1 1 1 d(a x) d (a x) 2a a x ax
1 ax 1 ln C ln a x ln a x C 2a a x 2a
1. 当真分式分母中含有因子( x 2 px q)k , p 2 4q 0 时,则分解后有下列k 个部分分式之和：
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C [ f ( u)du]u ( x ) .
使用此公式的关键在于
(5 1)
第一换元积分公式（凑微分法）
说明
将
f ( x)dx 凑成 F '[ ( x)] '( x)dx.
【2019年整理】不定积分的积分法(2)分部积分法
udv uv vdu ．
10 u sin x, v dx e xdx
？：怎样选取 u 和 v
20 u e x , dv sin xdx
例 12
e
x
si nxdx
u sin x, v dx e x dx
解： e x sinxdx sinxd (e x ) e x sinx e x d (sinx )
1 1 1 x t2 x x dx 2 t 2 1dt 2(1 t 2 1 )dt
t 1 2 t 2 dt 2t ln C 2 t 1 t 1
1
1 x 1 1 x x 2 ln C . x 1 x 1 x
sinx 例 13 讨论：设 f ( x ) ，求 x f ( x )dx ． x x cos x sin x (2 x 2 )sin x 2 x cos x f ( x ) ， f ( x ) ． 2 3 x x
sec x(sec x tan x ) dx 法二： sec xdx sec x tan x
ln sec x tan x C
例5
(1)
解：令 x a sin t ( t ) ，则 dx acostdt, 2 2
原式 a 2 a 2 sin2 t a cos tdt a 2 cos t cos tdt 暂时借用 到时还原
a 2 x 2 dx
(a 0)
a2 a2 1 (1 cos 2t ) dt ( t sin 2t ) C 2 2 2
a2 2 x 1 x arcsin a 2 sin 2arcsin a C
高数-积分学
2 x x x
x x
x e 2( xe e ) C .
2
e ( x 2 x 2) C
x 2
例 4 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e
x2
, 求 xf ( x )dx .
解
f ( x )dx f ( x ), f ( x )dx e
积分学
一、 不定积分
二、 定积分
三、 广义积分 四、重积分
五、平面曲线积分 六、积分应用
一、 不定积分
1. 直接积分法
通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 (要求记住基本积分公式）. 2. 换元积分法
第一类换元的基本思路
g ( x)dx
f [ ( x)]d [ ( x)] F [ ( x)] C
d b( x ) F ( x ) f ( t )dt f b( x )b( x ) f a( x )a( x ) dx a ( x )
4、牛顿—莱布尼茨公式
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的一 个原函数，则
a f ( x )dx F (b) F (a )
注：这里要求f ( x)的原函数易求，且F ( x) f ( x)
第一类换元的关键是凑微分，常用的凑微分结果有
1 1 k dx d (ax b) x dx d (ax k 1 b) a (k 1)a
e dx d (e )
x x
1 dx d (ln x) ( x 0) x
x arcsin x 1 x2
2
1
dx
1
解：
1
定积分的换元法和分部积分法
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
凑微分方法总结
凑微分方法总结
凑微分法，也被称为第一换元法，是一种在积分学中常用的方法。
以下是其一般步骤和注意事项：
1. 识别不定积分中的复合函数部分，尝试将其拆分成基本初等函数。
2. 观察不定积分中的被积函数，尝试将其表示为其他初等函数的导数。
3. 使用初等函数的积分公式，将不定积分转化为容易计算的积分。
凑微分法常见于以下几种情况：
1. 类型一、类型二、类型三的不定积分，这些类型的不定积分可以归纳成特定的形式，当遇到这些形式的不定积分时，可以考虑使用凑微分法。
2. 类型四，应与类型一进行区分，以避免混淆。
3. 类型五，这种情况下的不定积分只有当k为大于1的整数时才适用。
4. 类型六、类型七、类型八，这三种类型是非常常见的，一般通过对数化简来凑微分。
5. 类型九、类型十和类型十一，分别涉及到三角函数、反三角函数和微分关系式的凑微分法。
对于这些特定类型的不定积分，需要记住相应的凑微分公式才能求解。
在运用凑微分法时，需要注意以下几点：
1. 识别被积函数的形式，判断是否适合使用凑微分法。
2. 对于较为复杂的不定积分，可能需要结合其他积分技巧，如变量代换、部分分式分解等，才能成功应用凑微分法。
3. 在使用凑微分法时，需要注意公式的正确性和适用条件，以免出现错误的结果。
4. 对于一些较为特殊的不定积分，可能需要查找特定的凑微分公式或者使用数值方法进行近似计算。