复旦大学量子力学考研真题
复旦大学量子力学考题3
(3.9)
=⎡ ⎣l y , p x ⎤ ⎦ ly + ly ⎡ ⎣l y , p x ⎤ ⎦ + [l z , px ] lz + [lz , px ] l z = i= ( p y l z + l z p y − p z l y − l y p z ) = i= ( p × l − l × p ) x
解出其本征值方程， 获得各个本征态， 再把 2,1 > 是先求得 Lx 在 L 、Lz 对角表象中的矩阵，
2
ˆ 照此也可获得。 往各个本征态投影，得到其几率，几率不为零的既为其可能取的值。 L Y
解
（1） E =
P 2 Ze 2 − ， 由不确定关系 ∆p∆r ～h r 2µ
(3.27)
因为 p =0 r =0，所以 ∆p =p, ∆r =r
(3.19)
（3.20）
由于
x →∞ ψ n ( x) ⎯⎯⎯ → 0 ，故
V ( x) ψ n ( x)
2 ∞ −∞
=0
(3.21)
=2 d 2 又由定态薛定谔方程 ( − + V ( x))ψ n ( x) = Enψ n ( x) ， 有 2m dx 2
V ( x)ψ n ( x) = (
=2 d 2 + En )ψ n ( x) 2m dx 2
(3.16)
E基 ≅
1 ( ∆x ) 2
=
即
2 n + 2 =2 = 2 − n+ ( )( ) 2 2 4mn 4mnA
(3.17)
n n + 2 = 2 A2 n n + E基 ≈ ( ) 2 2 4mn
，n ≠ 2
(3.18)
几所高校量子力学硕士试题
高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。
它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。
）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。
四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。
（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。
2020研究生入学考试 复旦大学 量子力学(720)
2020研究生入学考试 复旦大学 量子力学（720）一、填空题1、 ψ(x,t )=Ae −iEt ℏ⁄e −κ|x |1）求A ；2）求(x,x +dx )找到粒子的概率；3）⟨ψ|x |ψ⟩；4）（忘了）。
2、 已知自旋某分量的本征方程为S ̂φ±=±ℏ2φ±，设ψ=0.8φ+−0.6iφ− 1）取±ℏ2的概率分别为；2）⟨ψ|S ̂|ψ⟩；3）写出一个与ψ正交的本征态。
3、 氢原子处于|n =3,l =1,m =1⟩，辐射了一个光子后，跃迁到了低能量态，写出所有可能的态。
二、判断题（18分）1、 某波函数是厄米算符的本征态，它不能含有虚数的相因子。
2-7题忘了8、 2个玻色子可以处于同一量子态。
9、 2个费米子可以处于同一量子态。
三、1、 3个粒子处于一维谐振子势中，写出下列情况时体系的基态能量，并说明理由： 1）3个经典粒子；2）3个玻色子；3）3个费米子。
2、 已知原子核尺度为10−13m ，中子质量为m =1.67×10−27kg ，ℎ=10−34，求中子在核内的零点能的数量级。
3、 求类氢原子与氢原子对应能级的数量级。
四、粒子处于[0,a ]的无限深方势阱中，求：1) 定态薛定谔方程，并说明波函数与归一化系数的物理意义；2) 求出本征态与能量本征值，画出前三个能的波函数大致形状；3) 在某时刻加上脉冲电场E ⃑ =εδ(t )x ，写出相应哈密顿量，并求出基态跃迁到第一激发态与第二激发态的概率。
五、H =H 0+H ′=α(100020002)+γ(−100001010)1） 求无微扰时的波矢与能量值，注明简并度；2） 求微扰能量修正量与以及微扰修正波矢。
六、V (x )=αδ(x )（24分）1) 求薛定谔方程与x =0处的连续条件；2) 设粒子从x =−∞处入射，求反射系数与透射系数；3) 根据2）的结果，求当该势作为一维散射中心势时，求总微分截面σ，并画出σ与α的关系。
复旦大学量子力学考题4
p p ' = δ ( p − p ')
（4.4） （4.5）
∫
p ' p ' dp ' = 1
利用式（4.5） ，可将 ψ 表示成
ψ = ∫ p ' p ' ψ dp ' = ∫ p ' ϕ ( p ')dp '
代入（4.1） ，即
（4.6）
(T + V ) ∫ p ' ϕ ( p ')dp ' = E ∫ p ' ϕ ( p ')dp '
（4.26）
（4.27）
S=
B 算符到 B 表象的变换： Nhomakorabea（4.28）
⎛1 0 ⎞ B ' = S † BS = ⎜ ⎟ ⎝ 0 −1⎠
（4.29）
4.3 求自由粒子的坐标算符在海森伯图景中的表示 解题思路：在薛定谔图景中，坐标算符不含时间，而在海森伯图景中算符一般都含时间，其 间的转换是由演化算符联系的。 解： 薛定谔图景与海森伯图景的联系是：
ˆ † (t )ψ S (t ) ψ H (t ) = U F H = U † (t ) F SU (t )
其中，
i ˆ − Ht h i p2 t h 2m
（4.30） （4.31）
U (t ) = e
所以，
i p2 t h 2m
=e
−
（4.32）
x =e
H
xe
−
i p2 t h 2m
= x+
p t m
H ψ = (T + V ) ψ = E ψ
其中 T = p / 2m 为动量算符。以 p ， p ' 表示动量算符的本征函数，即
量子力学统考真题答案解析
量子力学统考真题答案解析近年来，量子力学成为物理学领域研究的热点，其在现代科技中的应用也越发广泛。
因此，掌握量子力学相关知识成为了很多学生的目标。
本文将对一些量子力学统考真题的答案进行解析，帮助读者更好地理解这一领域的知识。
真题一：在泊松括号的定义中，以下哪个性质是正确的？A. 反对称性B. 可加性C. 分配律D. 结合律答案解析：泊松括号的正确性质是反对称性，即对于量子力学中的两个算符A和B，其泊松括号满足{A, B} = -{B, A}。
可加性、分配律和结合律均不是泊松括号的性质。
真题二：以下哪个选项是描述薛定谔方程解的最准确的描述？A. 波函数是一种物理量B. 波函数是一种运动学参数C. 波函数描述了粒子的运动状态D. 波函数描述了粒子的位置答案解析：准确描述薛定谔方程解的选项是C，即波函数描述了粒子的运动状态。
量子力学中的波函数是对粒子运动状态的描述，可以通过求解薛定谔方程得到。
真题三：以下哪个选项是正确的？对于一个哈密顿量H，若其本征态满足ψ = Cψ，其中C为常数，则A. H是没有本征值的。
B. ψ是H的本征态。
C. ψ是H的本征值。
D. ψ不是H的本征态。
答案解析：本题要求判断给定情况下的哈密顿量H与其本征态之间的关系。
根据题目中给出的条件，可以得出结论：ψ是H的本征态。
因为薛定谔方程的解包含了波函数和能量本征值，ψ满足薛定谔方程，因此可以认为ψ是H的本征态。
真题四：以下哪个量是角动量算符的一个本征值？A. 平动动量B. 能量C. 电荷D. 波长答案解析：角动量算符的一个本征值是角动量，选项A的平动动量与角动量概念不同，选项B的能量与角动量没有直接关系，选项C的电荷也与角动量无关，只有选项D的波长与角动量有一定关系，因此答案选D。
通过以上对量子力学统考真题的答案解析，希望可以帮助读者更好地理解量子力学知识。
量子力学是一门复杂而且深奥的学科，需要持续的学习和思考。
只有通过理论的学习和实践的应用，我们才能真正掌握量子力学的精髓，为科学技术的发展做出贡献。
复旦基础物理考研真题
复旦基础物理考研真题考研真题作为备考的重要资料，对于复旦大学基础物理专业考研的同学们尤为重要。
通过复习和分析真题，不仅可以了解考试的命题风格和考点分布，还可以帮助巩固知识点和提高解题能力。
本文将针对复旦基础物理考研真题进行详细分析和解答，帮助考生更好地备考。
一、真题分析与备考建议复旦大学基础物理考研真题主要涵盖以下几个方面的内容：力学、电磁学、热学与统计物理、量子力学和原子物理、固体物理与材料科学等。
下面将对这些内容进行分别分析，并给出备考建议。
1.力学力学是基础物理考研的重要组成部分，主要包括牛顿力学和拉格朗日力学。
在真题中，常见的力学题目包括：质点运动、刚体运动、相对论等。
备考建议是重点复习牛顿力学和拉格朗日力学的知识点，并对常见的力学题目进行分析和解答。
2.电磁学电磁学也是考研真题中的一大考点，主要包括电场、磁场、电磁场和电磁波等内容。
在真题中，常见的电磁学题目包括：静电场与静磁场、电磁波、电路等。
备考建议是重点复习电场和磁场的知识点，并对电磁学题目进行深入理解和解题训练。
3.热学与统计物理热学与统计物理是考研真题中的又一个重要考点，主要包括热力学和统计物理两个方面。
在真题中，常见的热学与统计物理题目包括：理想气体、热平衡、熵与热力学基本关系等。
备考建议是理解热学和统计物理的基本概念和原理，并进行大量的题目练习。
4.量子力学和原子物理量子力学和原子物理也是复旦基础物理考研真题的重要组成部分，主要包括波粒二象性、波函数与薛定谔方程、自旋和角动量以及原子物理等内容。
在真题中，常见的量子力学和原子物理题目包括：波函数的性质、算符与观测、自旋和角动量等。
备考建议是系统学习量子力学和原子物理的理论知识，并进行大量的计算和解题。
5.固体物理与材料科学固体物理与材料科学是考研真题中的一个综合性考点，主要包括晶体结构与电子结构以及材料物理等内容。
在真题中，常见的固体物理与材料科学题目包括：晶体的晶格和晶面、能带和费米面等。
633量子力学考研题库
633量子力学考研题库量子力学是现代物理学的重要基石之一，它描述了微观粒子如原子、电子、光子等的行为。
对于考研的学生来说，掌握量子力学的基本概念、原理和计算方法是非常重要的。
以下是一些量子力学考研题目的样例，它们覆盖了量子力学的多个核心领域：1. 波函数与薛定谔方程- 描述波函数的物理意义，并解释薛定谔方程在量子力学中的作用。
- 给出一个一维无限深势阱的波函数，并计算其能量本征值。
2. 量子态的叠加原理- 解释量子态叠加原理，并举例说明如何使用叠加原理解决量子问题。
- 讨论测量后波函数的塌缩对叠加态的影响。
3. 量子力学中的不确定性原理- 描述海森堡不确定性原理，并解释其在量子力学中的意义。
- 给出一个实验例子，说明如何通过测量位置和动量来验证不确定性原理。
4. 量子力学中的角动量守恒定律- 讨论角动量守恒定律在量子力学中的应用。
- 计算一个氢原子在基态的角动量期望值。
5. 量子跃迁与选择定则- 解释原子或分子在吸收或发射光子时发生的量子跃迁。
- 讨论选择定则对量子跃迁过程的影响。
6. 量子纠缠与量子信息- 描述量子纠缠现象及其在量子信息科学中的应用。
- 讨论如何利用量子纠缠实现量子隐形传态。
7. 量子力学的测量问题- 讨论量子力学中的测量问题，包括波函数塌缩和测量后态的确定性。
- 举例说明量子测量对系统状态的影响。
8. 量子力学的路径积分表述- 介绍费曼的路径积分表述，并解释其在量子力学中的重要性。
- 通过一个简单的例子，展示如何使用路径积分来计算量子系统的传播振幅。
9. 量子力学与经典力学的对应关系- 讨论量子力学与经典力学在极限情况下的对应关系。
- 说明波粒二象性在量子力学与经典力学中的表现。
10. 量子力学在现代科技中的应用- 讨论量子力学在量子计算、量子通信和量子传感等领域的应用。
- 描述量子力学原理如何影响现代技术的发展。
这些题目旨在帮助学生复习和巩固量子力学的基础知识，并为考研做好充分的准备。
2021年量子力学考研真题精解精析50题(31-40)【圣才出品】
微扰作用下的哈密顿量
H＝H0＋H′
第 n 个能级的近似表示
En
E (0) n
H
nn
m
'
H
nm
2
E (0) n
E (0) m
波函数的近似表示
n
(0) n
m
'
H
mn
E(0) n
E(0) m
(0) m
33．两个自旋为
1 2
的粒子，两个粒子分别为
1
1 0
，
2
cos eit
sin
e
it
，求系统
4m2 (H0
V )2
4m2
(
H
2 0
H0V
VH0
V
2)
根据定态微扰第 n 级的一级修正为
En1
H
nn
n Hn
n px4 n
4m2
n
(
H
2 0
H 0V
VH 0
V
2)
n
4m2(En2 2En n V n n V 2 n )
对于谐振子势场，由维里定理可得
T
V
1 2
En
由
n x n
2m
【解析】
粒子在无限深δ势场中运动，由定态薛定谔方程可得
当 x＞a 或 x＜－a 时
0
当－a＜x＜a 时
2 2m
d2 dx2
V0 (x)
E
对两边在积分可得
2 2m
(
(0
)
(0
))
V0
(0)
0
①
当 x≠0 时
d2 dx2
k 2
0
复旦大学 量子力学 近似方法试题解析
能级的二级修正： ε1
(2)
=
′ H12 b2 =− E1 − E2 − a E2 + a − E1 ′ H 21 b2 = = E2 + a − E1 E2 + a − E1
2
2
2
ε
(2) 2
所以
b ⎧ ε1 = E1 − ⎪ E2 + a − E1 ⎨ b2 ε 2 = E2 + ⎪ E2 + a − E1 ⎩
正确的零级近似波函数为：
ψ 1(0) =
1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 5 ⎝ −2 ⎠
1 ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ 5 ⎝1⎠
同样可解出：
E2 (1) = 7 ω 时： ψ 2 (0) =
（3） 设 t 时刻体系的状态为：
ψ (t ) = ⎜
在由ψ 1
(0)
⎛ c(t ) ⎞ ⎟ ⎝ d (t ) ⎠
和ψ 2
(0)
解法 1
取
⎛E H0 = ⎜ 1 ⎝0
0⎞ ⎛0 b⎞ ⎟ ， H′ = ⎜ ⎟ 为微扰项。 E2 ⎠ ⎝b 0⎠
有非简并定态微扰论公式 体系能级的零级近似：
ε1(0) = E1 ，
能级的一级修正：
(0) ε2 = E2
(1) ′ = 0 ，ε2 ′ =a ε1(1) = H11 = H 22
能级的二级修正：
2 2
+∞
−∞
=
=
∫
+∞
0
[−
α2
2m
(α 2 x 2 − 1) + λ x 4 ]e −α
2 2
x
dx / ∫
+∞
0
e −α
2 2
2021年量子力学考研真题精解精析50题(1-10)【圣才出品】
【解题思路】
①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过
求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状
态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。
②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来
即 所以
Sˆ1
Sˆ2
1 (Sˆ 2 2
Sˆ12
Sˆ22 )
Hˆ
JSˆ1 Sˆ2
Hˆ
J 2
(Sˆ 2
Sˆ12
Sˆ22 )
因为
S1
S2
1 2
所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且 S
＝0 或者 S＝1。
因为 Hˆ 0 Hˆ ，所以体系基态选择 n1 n2 0 ，因此体系坐标部分的波函数为
J
J
iJ
b．力学量 (Jˆ 2, Jˆz ) 的共同本征函数 jm ，满足
J2
jm Jz
jm
j( j 1)2 m jm
jm
其中
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 j j1 j2 ,........, j1 j2
m j, j 1,......., j 1, j
解决这部分相互作用引出的相关问题。
③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统
计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。
【解析】
（1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量
由薛定谔方程
Hˆ 0
pˆ 2 2m
量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析
量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析一、考研真题解析0粒子在势场（，）中运动，试用不确定关系估计基态能量。
[中国科学院2006研]【解题思路】利用不确定关系求解哈密顿量的最小值问题。
【解析】根据不确定原理有即因为所以只需要求解出的最小值就可以估计基态的能量。
令由得出所以基态能量为【知识储备】若[F，G]＝0，则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。
对易算符的性质：在F和G的共同本征函数系中测量F和G，都有确定值。
若[F，G]≠0，则有不确定关系或经常使用的关系式21设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即，与坐标r无关，试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解的一般形式，并取，以一维情况为例说明V（t）的影响是什么。
[中国科学院2006研]【解题思路】理解记忆含时薛定谔方程和定态薛定谔方程，以及分离变量法在求解薛定谔方程时的应用。
【解析】根据含时薛定谔方程令带入可得即上式左边是关于时间t的函数，右边是关于坐标r的函数，因此令它们等于常数s，得和所以对于令所以因此当时，相对于一维自由平面波函数，使得波函数是自由平面波随时间做改变的形式。
【知识储备】 薛定谔方程：波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出当U （r →，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r →）满足定态薛定谔方程此方程即是能量算符的本征方程。
其中，整个定态波函数的形式为一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。
【拓展发散】当粒子所处的外场与时间和位置坐标都有关，即，可以利用题解相同的方式去探索波函数的具体形式，并且和定态以及只与时间有关的两种情形相比较，得出在这些不同情况下相应的势场函数的具体形式变化对波函数的影响。
22设U为幺正算符，若存在两个厄米算符A和B，使U＝A＋iB，试证：（1）A2＋B2＝1，且；（2）进一步再证明U可以表示成，H为厄米算符。
[全]《量子力学》考研真题详解[下载全]
![[全]《量子力学》考研真题详解[下载全]](https://img.taocdn.com/s3/m/e72c42f52b160b4e777fcf29.png)
《量子力学》考研真题详解1、1924年，德布罗意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子，质子，也具有波性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布罗意关系：______；假设电子由静止被150伏电压加速，加速后电子的物质波波长为：______。
[北京大学2005研]【答案】，；8.9×10－41m2对宏观物体而言，其对应的物质波长极短，所以宏观物体波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。
计算1K时，C60团簇（由60个C原子构成足球状分子）热运动对应的物质波波长为：______。
[北京大学2005研]【答案】2.9×10－10m二、判断题1量子力学中可观察力学量相应的算符为厄米算符。
[北京大学2006研]【答案】对查看答案【解析】在量子力学中，表示力学量的算符都是纳米算符。
2设体系处于定态，则不含时力学量的测量值的概率分布不随时间改变。
[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】力学量F∧的平均值随时间的变化满足：若（即力学量F∧的平均值不随时间变化），则称F∧为守恒量。
力学量F∧为守恒量的条件为：∂F/∂t＝0且[F，H]＝0。
不含时力学量F∧的测量值随时间改变可以表示为：因此，力学量F∧的平均值是否变化不能确定，对于定态而言，任何一个波函数都可以用力学量F∧的本征函数表示，在各个本征函数中，力学量F∧所取值的大小是确定的。
因此可以推断，力学量F∧的测量值的概率分布也不能确定。
3一维粒子的本征态是不简并的。
[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】对于一维粒子的本征态是否简并不能确定，可以举例说明。
比如，一维无限深方势阱，若势能满足：在阱内（），体系所满足的定态薛定谔方程为：在阱外（），定态薛定谔方程为：体系的能量本征值为：本征函数为：所以，显而易见，一维无限深方势阱的本征态是简并的。
复习笔记在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。
《量子力学》22套考研自测题+答案
（2）求自旋角动量的 z 分量 sz 的平均值；
（3）求总磁矩 M = − e L − e s
2μ μ
的 z 分量 M z 的平均值。
12. s 、L 分别为电子的自旋和轨道角动量，J = s + L 为电子的总角动 量。证明：[ J , s ⋅ L ]=0；[ J 2 , Jα ]=0，α = x, y, z。 13.质量为 μ 的粒子受微扰后，在一维势场中运动，
QQ：704999167
HY制作
HY制作
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量子力学自测题（5）
一、 填空题（本题 20 分）
1．Planck 的量子假说揭示了微观粒子
特性，Einstein 的光
量子假说揭示了光的
性。Bohr 的氢原子理论解决了经典
考研自测题精美汇总
电磁场理论和原子的
之间的矛盾，解决了原子的
的起源问题。
2．力学量算符必须是
QQ：704999167
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量子力学自测题（3）
一、 简答题（每小题 5 分，共 40 分）
1.一粒子的波函数为ψ (r ) = ψ (x, y, z) ，写出粒子位于 x ~ x + dx 间的几
率。
考研自测题精美汇总
2.粒子在一维δ 势阱V (x) = −γ δ (x)， (γ > 0)，中运动，波函数为ψ (x) ，
ψ （1，2，），试证明交换算符 Pˆ12 是一个守恒量。 2．设Uˆ 是一个幺正算符，求证 Hˆ = i dUˆ ⋅Uˆ + 是厄米算符。
dt
3．设σ y 为 Pauli 矩阵， （1）求证： eiθσ y = cosθ + iσ y sinθ （2）试求：Treiθσ y
量子力学考研2021配套考研真题集
量子力学考研2021配套考研真题集一、典型真题解析设氢原子处在R21Y1—1态，（1）求势能的平均值；（2）求轨道角动量的平均值。
[复旦大学2004研]【解题思路】①氢原子电子所受到的是中心力场，能量只和主量子数n有关，这和氢原子势场的对称性相关；②对于r指数的力学量平均值直接计算运算较为复杂，可以运用维里定理；③轨道角动量力学量的本征方程。
【解析】（1）对于中心力场，由维里定理可得因为所以（2）令所以因此所以【知识储备】①氢原子本征方程本征能量为其中本征波函数为ψnlm（r，θ，φ）＝R nl（r）Y lm（θ，φ）②维里定理如果势场是r的n次函数，则在此势场的束缚定态中动能平均值和势能平均值满足关系为③（L2，L z）有共同的本征函数——球谐函数Y lm（θ，φ）角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为相应的本征方程分别为【拓展发散】假定氢原子的波函数为，可以求出势能平均值的通式和轨道角动量的平均值的通式。
7质量为μ的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动（转子）。
已知开始时系统处于状态，A为常数。
（1）写出t时刻系统的波函数；（2）求出t时刻系统的平均能量。
[中国科学技术大学2012研] 【解题思路】根据含时薛定谔方程，从已知的初始时刻的状态求解t时刻粒子的状态，对于哈密顿量的平均值，可以直接使用力学量的平均值求解。
【解析】（1）以所在平面为XOY平面，则系统的哈密顿量可以写为：其中，为转子的转动惯量。
从而定态薛定谔方程为：容易解得相应的能量本征值为：可见，对于，能级是二重简并的；当时，能级非简并。
对于态，先归一化。
利用，可得，从而我们已经将按哈密顿量的本征矢展开，则t时刻系统的波函数可以直接写出：（2）t时刻系统的平均能量为：其中。
【知识储备】 ①薛定谔方程波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出当U （r →，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r →）满足定态薛定谔方程此方程即是能量算符的本征方程。
XXX大学2021年《量子力学》专业攻读硕士学位研究生入学考试试题及答案(试卷二)
XXX 大学2021年《量子力学》专业攻读硕士学位研究生入学考试题（试卷二）一、简答题（40分）。
1、一量子体系的哈密顿算符30ˆ10,1,002b H b b ⎛⎫⎪=<< ⎪⎪⎝⎭用微扰论求体系能量至二级近似；2、能量为20E MeV =的中子受到力程1510a m -=的势场作用，如用分波法求散射截面，需计算几个分波相移？设忆求出相移，写出计算散射总截面的表达式。
（27341.610, 1.0510)n m kg J s --=⨯=⨯⋅。
3、有一双电子体系，其单电子基态波函数的空间部分用1sin i i i r r aπψ⎛⎫=⎪⎝⎭描述，其中i 为电子的编号。
若以()i α和()i β分别表示电子自旋向上和向下波函数，试写出描述该体系的基态波函数。
4、设氢原子处于态()()()()()200210200211213,212z r r r s r r ψψψ⎫+⎪⎪=⎪+⎪⎭问(),zr s ψ是否是能量本征态？若是，写出其本征值。
又问在该态中测量角动量2,L 角动量分量z L 及自旋磁矩的分量sz M 的平均值各为多少？5、氢原子处于态()433141104111122,,333r R Y R Y R Y ψθϕ-=+-中，问： （1）(),,r ψθϕ是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。
若不是，说明理由；（2）在(),,r ψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？二、（20分）。
设123,,u u u 为一组正交归一基，已知在这组基张成的希尔伯特空间中ˆH 和ˆA 的矩阵为000000ˆˆ00,000000Ea H E A a E a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。
1、ˆH和ˆA 是否存在共同的本征函数？写出这些本征函数相应的本征值 。
2、}{2ˆˆ,HA 或}{ˆˆ,H A 能否构成完全测量集合？为什么？3、若0t=时，体系处于态1 12 33ψ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭中，测量其能量的可能值、相应几率及平均值的结果是什么？是否隨时间变化？为什么？自旋磁矩为eS mμ=-的电子处于磁场()000cos ,sin ,B B t B t B ωω=中： 1、写出电子的哈密顿算符在z S 表象中的矩阵形式；2、设电子在0t =时处于2z S =-的态（用β）表示，把哈密顿算符中与时间有关的部分作为微扰，求在微扰作用下到时刻t 电子跃迁到2z S =态几率的几率表式。
各高校量子力学考研试题汇总
习题1一、填空题1．玻尔的量子化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
量子力学 考研 真题
量子力学考研真题量子力学是物理学中的一门重要学科，它研究微观世界中的粒子和能量的行为。
在考研中，量子力学是一个重要的考点，很多考生都会遇到与之相关的真题。
本文将从不同角度来探讨量子力学在考研中的重要性和一些相关的真题。
首先，量子力学在考研中的重要性不言而喻。
量子力学是物理学的基础，它不仅对物理学专业的考生来说至关重要，对其他相关专业的考生也有一定的影响。
在考研中，量子力学往往是一个难点，需要考生对其理论和应用有深入的了解。
因此，对于考生来说，掌握量子力学的基本原理和相关的数学工具是非常重要的。
其次，我们来看一些与量子力学相关的考研真题。
以下是一道经典的考研真题：题目：在量子力学中，波函数是描述粒子的重要工具。
下面关于波函数的哪种说法是正确的？A. 波函数可以用来计算粒子的运动轨迹。
B. 波函数的模的平方表示粒子在空间中存在的概率。
C. 波函数只能用来描述电子的行为。
D. 波函数的实部表示粒子的动量。
这道题目涉及到了波函数的概念，考察了对波函数的理解。
正确答案是B。
波函数的模的平方表示粒子在空间中存在的概率，而不是用来计算粒子的运动轨迹、描述电子的行为或表示粒子的动量。
这道题目考察了考生对波函数的基本概念的掌握程度。
除了基本概念的考察，还有一些与量子力学相关的计算题。
以下是一道典型的计算题：题目：一个自旋为1/2的粒子通过一个自旋分析仪，其自旋在z方向的分量测量结果为1/2。
如果再通过另一个自旋分析仪测量其自旋在x方向的分量，那么测量结果为多少？A. 1/2B. 1/4C. 0D. 1这道题目考察了对自旋的测量和量子力学中的叠加态的理解。
正确答案是C。
根据量子力学的原理，自旋在不同方向上的分量不能同时确定，因此在z方向测量结果为1/2时，x方向的测量结果应为0。
这道题目考察了考生对量子力学原理的理解和应用能力。
除了这些例题，考研中还会涉及到更深入的量子力学内容，如量子力学的算符和本征值问题、量子力学中的测量和不确定性原理等等。
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2012年复旦普通物理（回忆版）
第一至第三题为必做，第四到第十题选作五道
一、1）写出开普勒三定律
2）从开普勒第一定律出发推导出第三定律
二、1）（涉及质心、力矩的证明题）
2）(角动量随时间的变化问题)
三、1）从公式dEk=F*dr出发，推导出相对论动能公式
2）证明相对论动能公式在低速条件下与牛顿力学动能公式的一致性
四、1）一电介质球均匀带电，总电量Q，求电场强度分布
2）电介质球不带电，但被均匀极化，求沿电极化强度P方向距球心d处的电场强度
五、一个电路中电源为ε，电阻为r，电感为L，求接通电路后电流随时间的变化
六、1）说明电磁场为什么具有物质性
2）写出其运动公式
七、1）写出热力学第二定律的开尔文表述和克劳修斯表述
2）证明其一致性
八、1）在T-S图中表示出卡诺循环，并指明每个过程的名称
2）说明每个过程的做功和吸收热量
九、1)什么是光的衍射？光的衍射如何决定光学仪器的分辨率？
2）《通用教程（第一版）光学·近代物理》 3.4题
十、光以偏离法线角度i的方向从空气中入射玻璃，求其中s波的反射率
2009年复旦大学量子力学（回忆版）
1.在H0表象下，H0= ,H’=
H’<<H0，已知t=0，体系处于基态，求t>0时刻体系处于激发态的概率。
2.估算一维谐振子基态能量。
3.实际类氢原子不是一个点电荷，他的电势x(r)=
求该原子1s能级一级修正
4.已知两个全同粒子,其自旋为s,求该分别体系处于自旋对称态和自
旋反对称态的概率
5.已知在Lz表象下,Lx= （）,Ly= （）
(1)已知在 ( )态下,求Lx的可能测值及相应的几率
(2)在态ψ=( )态下, Lz的可能测值及几率 , Lz^2测
值为+1的几率
2010年复旦大学量子力学（回忆版）
1、取无限深方势阱的中心为坐标原点，势阱宽为a，求粒子的能级及波函数。
2、1）估算一维谐振子的基态能量
2）估算类氢原子的基态能量
3、利用[a,a+]=1, [a,a]=[a+,a+]=0, a|0>=0
证明 |n>= (a+)n|0>
4、两个自旋为1/2,质量为m的全同粒子，自旋平行，处于一个边长为a>b>c的长方形盒子中，粒子间的相互作用势为V=Aδ（r1-r2）;体系处于与下列条件相容的最低能级，试用一阶微扰论计算体系能量
1）两个粒子是自旋1/2的全同粒子
2）两个粒子是自旋1/2的非全同粒子
3）两个粒子自旋为零
5、有一个自旋1/2，磁距μ，电荷0的粒子，置于磁场B中，开始时（t=0）磁场沿z方向，B=B。
=（0，0，B。
），粒子处于σz的本征态（）,即σz=-1，t>0时，再加上沿x方向的较弱的磁场B1=（B1,0,0），从而
B=B。
+B1=（B1,0, B。
）
求t>0时粒子的自旋态，以及测得自旋“向上”（σz=1）的概率
2012年复旦大学量子力学（回忆版）
第一题为必做，第二至第七题选作五道
一、1）写出量子力学五个基本假设
2）分别写出在动量表象和坐标表象下的薛定谔方程
3）动量和坐标的某种对易关系（具体记不清了）
4）求σx的本征值和本征态
5）求Lz的本征值和本征函数
二、计算波函数的某个算符的平均值
三、t<0时，电子处于磁场B=B0e1中，并处于自旋向上态。
t>0时，加进了磁感B’=e2B1*sin2ω0t+e3B2*cos2ω0t。
(其中ei为方向矢量)
1）求t>0时电子的波函数
2）画出Sz随时间的变化
3）（忘了）
四、H=d2/dx2+μω2x2/2 +qex,其中H’=qex，计算各能级的二级近似能量。
五、两个自旋为1/2的粒子，磁距分别为μ1,μ2。
两粒子的距离为a=A*z(z为矢量)，两粒子受磁距相互作用，
H=μ1*μ2+（μ1*a）（μ2*a）——此式还有些系数，但是记不清了。
1）以S1，S2表示H
2）在（S2,Sz）表象中表示H
3）求哈密顿H的本征值
六、碱金属原子处于势场中
1）求其所有能级，并与氢原子能级比较
2）（忘了）
七、中心力场V(r)=gδ(r-a)中高能散射振幅及微分截面。