《函数及其表示》学案

学习过程

一、复习预习

正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等的回顾

二、知识讲解

考点1 函数与映射的概念

考点2 函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

考点3 相等函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

考点4 函数的表示方法

表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．

考点5 分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

三、例题精析

【例题1】

【题干】(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？

①f 1：y ＝x

x

；f 2：y ＝1.②f 1：y ＝⎩⎨⎧

1，x ≤1，2，1

3，x ≥2；f 2：

③f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．

(2)已知映射f ：A →B .其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是( )

A ．k >1

B ．k ≥1

C ．k <1

D ．k ≤1

x x ≤1 1＜x ＜2 x ≥2 y

1

2

3

【答案】(1) ①不同②同③同 (2) A

【解析】(1)①不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .

②同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式． ③同一函数．理由同②.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.

综上可知，正确的判断是(2)(3)．

(2)由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根． 所以Δ＝4(1－k )<0，解得k >1时满足题意.

【总结】1．判断两个变量之间是否存在函数关系的方法：要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)

定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能找到 唯一的函数值y 与之对应．

2．判断两个函数是否为同一个函数的方法：判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一 致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．

【例题2】

【题干】给出下列两个条件：

(1)f(x＋1)＝x＋2x；(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.

试分别求出f(x)的解析式．

【解析】(1)令t ＝ x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2.

则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．

(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，又∵f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，

∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.

∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1，

b ＝－1.

∴f (x )＝x 2－x ＋3 【总结】求函数解析式的常用方法：

(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．

【例题3】

【题干】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( ) A.12

B.45

C.2

D.9

【答案】C

【解析】∵x<1，f(x)＝2x＋1，∴f(0)＝2.

由f(f(0))＝4a，得f(2)＝4a，∵x≥1，f(x)＝x2＋ax，

∴4a＝4＋2a，解得a＝2.

【总结】解决分段函数求值问题的方法：

(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．

(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要

注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．

【例题4】

【题干】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，log 12

(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)

B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C ．(－1,0)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(0,1)