山西省太原市第五中学2020届高三下学期4月模拟考试(一)数学(理)答案

3
4+ 2
∴ (1,2，0)，(−2,2，0)，∴ = (0,2，0)， = (−1, −2, 3)，
设平面 EDF 的法向量 = (,y，)，
则
⋅ = 2 = 0
，取 = 1，得 = ( 3, 0,1)，
⋅ = − − 2 + 3 = 0
=
6
4
∵ ∠ = 60°，∴由余弦定理得
= 2 + 2 − 2 × × cos∠ = 3，
∴ 2 = 2 + 2 ，∴ ⊥ ，
由①②得 ⊥平面 BCDE，
∴平面 ⊥平面 BCDE．
(Ⅱ)解：以 B 为原点，BA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过点 B 作 AB 的垂线为 y 轴，BF 为 z 轴，建立空间直角坐
1
3
2
3 −1


8
9

6
1
1
可得() = 1 − ( ) ， ∈ ∗， ≥ 2；

(2)()证明：当 = 2时，
因为当 n≥2时，2 (
1
所以
1 2
+
1
2 3
1
12
+ ⋯+
1
22
1 2
+
2
1
+⋯+
2 3
1
−1
2 − 2
2
= 3 ⋅ 22 −12 ，即
∴ 1 + 2 = 42 + 12②，1 2 = 36③
假设存在(0 , 0 )，使得 ⊥ ，则0 =
1 +2
2
= 2④，
∴ 0 = 2 ⑤，
∵ Leabharlann Baidu ⋅ = 0，
∴代入化简可得(2 + 6)(32 − 2) = 0，∴ = ±
∴存在直线 l： = ±
4
1
2
F ( x)max F (e)
m 1
1
2
所以 0, ，解得 m ( ,0)
2 e
e
e
3
4
21.【答案】解：(1)由已知可得(1 ) = ，2 的所有取值为 1， + 1，(2 = 1) = (1 − ) ，(2 = + 1) =
x
x
4
即： ln x mx ln x 在(0, )有两解
3
2
m ln x
ln x
1 ln x

F '( x)
设 F ( x)
可得 F ( x) 在（0,e）上为增
2
x
x
x2
函数，在（e,+ ）上为减函数
6
1
4
2
2
x 0, F ( x) ; x , F ( x) 0
1
1
2
2
又△ = ⋅ ⋅ sin∠ = × 4 × 2 ×
3
2
= 2 3，
∴ △ = 3．
18. 【答案】解：(Ⅰ)证明：∵ ⊥ ，∴ ⊥ ， ⊥ ，
∴ ⊥平面 BEF，∴ ⊥ ，
∵ = 2 = 2，∴ = 2， = 1，
令′() > 0，解得 > −1，此时函数()单调递增；令′() < 0，解得 < −1，此时函数()单调递减．
1
∴ = −1时，函数()取得极小值即最小值，(−1) = − −1 = − ．
5
1
1
mx
（2） f ( x) xe 在(0, )有两解
即 2 + 2 − 24 = 0，解得 = −6(舍去)或 = 4，故 = 4．
(2) ∵ 2 = 2 + 2 − 2，
∴ 16 = 28 + 4 − 2 × 2 7 × 2 × ，∴ =
1
2
7

2
，∴ = =
2
7
= 7，
1
∴ = 2 ，∴ △ = 2 △ ，
6
3
6
3
，
+ 6，使得 ⊥ ．
20. 【答案】解：(1)() = ，′() = + ，
′ −1 = − − − = 0，解得 = 1．
∴ () = ，′() = (1 + ) ，令′() = 0，解得 = −1．
标系，
设 = ，则(1,a，0)，(0,0， 3)， = (−1, −, 3)，
∵直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为
15
5
，
6
∴直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正弦值为 ，
4
| ⋅ |
平面 BCDE 的法向量 = (0,0，1)，∴ |cos < , > | = | |⋅| | =
，解得 = 2，
同理得平面 DFC 的一个法向量 = (0, 3, 2)，
⋅
∴ cos < , >= | |⋅| | = 2
2
7
=
7
7
，∴二面角 − − 的正弦值为sin < , >=
1
1
19. 【答案】解：(Ⅰ)设(, )，则由题意，|| − ( + 2) = 2，∴
1 − (1 − ) ，
(2 ) = (1 − ) + ( + 1)[1 − (1 − ) ] = + 1 − (1 − ) ，
5
6
7
由(1 ) = (2 )，可得 = + 1 − (1 − )
，即(1
1
1
1

1
− ) = ，即1 − = ( ) ，即 = 1 − (1 ) ，
答案
选择题：CBCBC
填空题：13.
BDBAD
DC
1
3
14． _____ [ ，
2] ___．15. _____8___.16. ①②③④
3
解答题：
17. 【答案】解：(1) ∵ + 3 = 0，∴ = − 3，
∵ 0 < < ，∴ =
2
3
1
．由余弦定理可得2 = 2 + 2 − 2，即28 = 4 + 2 − 2 × 2 × (− 2)，
1
42
7
7
1− =
．
( − 1)2 + 2 = + 1，
化简可得动圆圆心 P 的轨迹 T 的方程为 2 = 4；
(Ⅱ)设(1 , 1 )，(2 , 2 ).
由题意，设直线 l 的方程为 = + 6，联立抛物线方程可得 2 − 4 − 24 = 0，
∴ 1 + 2 = 4，1 2 = −24①，