高一数学集合易错题汇总及详解

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高一易错题集——集合篇

高一易错题集 ——集合篇1. 方程的解集为，方程的解集为，若，则实数的取值构成的集合为__________2. 设集合，，若，则实数的取值范围是__________3. 已知集合，. （1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.x 2−2x −8=0A ax −2=0B B ⊆A aM =x |−2<x <5{}N =x |2−t <x <2t +1,t ∈R {}M ∪N =M t A =x |0<x −a ≤5{}B =x |−a 2<x ≤6⎧⎨⎩⎫⎬⎭A ∩B =A a A ∪B =A a 举一反一举一反二举一反三4. 设集合，，，则等于（）A. B. C. D.5. 已知集合，，则集合，之间的关系为___________6. 集合，集合，则集合与集合的关系为（）A. B. C. D. 且 M =x |x =3k ,k ∈Z {}P =x |x =3k +1,k ∈Z {}Q =x |x =3k −1,k ∈Z {}!Z P ∪M ()M P Q ∅A =x |x =192k +1(),k ∈Z ⎧⎨⎩⎫⎬⎭B =x |x =49k ±19,k ∈Z ⎧⎨⎩⎫⎬⎭A B M =x |x =3n ,n ∈N {}N =x |x =3n ,n ∈N {}M N M ⊆N N ⊆M M =N M !N N !M 举一反一举一反二举一反三7. 已知集合满足，如何写出满足条件的所有集合？8. 已知，则满足条件的集合共有多少个？9. 已知集合，，则满足条件的集合的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4P 3,4{}!P !0,1,2,3,4{}P 1{}⊆A !1,2,3,4,5{}A A =x |x 2−3x +2=0,x ∈R {}B =x |0<x <5,x ∈N {}A ⊆C ⊆BC 举一反一举一反二举一反三10. 已知集合. （1）若中只有一个元素，求的值；（2）若中至多有一个元素，求的取值范围；（3）若中至少有一个元素，求的取值范围.11. 已知集合，，求满足的实数的取值范围.12. 已知集合，集合，集合，若，则实数的取值范围是___________ A =x |ax 2+2x +1=0,a ∈R {}A a A a A a A =x |1<ax <2{}B =x |−1<x <1{}A ⊆B a A =x |0<x <2{}B =x |−1<x <1{}C =x |mx +1>0{}A ∪B ()⊆C m 举一反一举一反二举一反三13. 若集合，，且，求实数的值.14. 设集合，，若，求实数的取值范围.15. 已知集合，.（1）若，写出的子集；（2）若，求实数的取值范围. M =x |x 2+x −6=0{}N =x |x −2()x −a ()=0{}N ⊆M a A =x |x 2−x −2=0{}B =x |x 2+x +a =0{}A ∪B =A aA =x |x 2+5x −6=0{}B =x |x 2+2m +1()x +m 2−3=0{}m =0A ∪B A ∩B =B m 举一反一举一反二举一反三参考答案1. 2.3. （1）；（2）4.5.6.7. ,,,,, 8.9.10. （1）或；（2）或；（3） 11. 或或 12. 13. 或 14. 15. （1）（2） 0,−1,12⎧⎨⎩⎫⎬⎭t |t ≤2{}a |0≤a ≤1{}a |a ≤−12{}C A =B D 3,4,0{}3,4,1{}3,4,2{}3,4,0,1{}3,4,0,2{}3,4,1,2{}15D a =01a ≥1a =0a ≤1a ≤−2a ≥2a =0m |−12≤m ≤1⎧⎨⎩⎫⎬⎭a =2−3a |a >14⎧⎨⎩⎫⎬⎭∅,−6{},−3{},1{},−6,−3{},−6,1{},−3,1{},−6,−3,1{}m |m ≤−2{}。

(易错题)高中数学必修一第一单元《集合》检测题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知集合{}11M x Z x =∈-≤≤，{}Z (2)0N x x x =∈-≤，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（）A ．{}0,1B ．{}1,2-C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,22．已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（） A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，3．已知x ，y 都是非零实数，||||||x y xy z x y xy =++可能的取值组成的集合为A ，则下列判断正确的是（） A ．3A ∈，1A -∉B ．3A ∈，1A -∈C ．3A ∉，1A -∈D ．3A ∉，1A -∉4．已知全集U =R ，集合{|23}M x x =-≤≤，{|24}N x x x =<->或，那么集合()()C C U U M N ⋂等于（）A ．{|34}x x <≤B ．{|34}x x x ≤≥或C ．{|34}x x ≤<D ．{|13}x x -≤≤5．对于非空集合A ，B ，定义运算：{},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂且，已知{}M x a x b =<<，{}N x c x d =<<，其中a 、b 、c 、d 满足a b c d +=+，0ab cd <<，则M N ⊕=（）A ．()(),,a d b c B ．()(),,c a b d C ．(][),,a c d b D ．()(),,c a d b6．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-．若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（） A ．3m ≥B ．23m ≤≤C ．3m ≤D ．2m ≥7．对于非空集合P ，Q ，定义集合间的一种运算“★”：{P Q xx P Q =∈★∣且}x P Q ∉⋂．如果{111},{1}P x x Q x y x =-≤-≤==-∣∣，则P Q =★（）A ．{12}xx ≤≤∣ B ．{01xx ≤≤∣或2}x ≥ C ．{01xx ≤<∣或2}x > D ．{01xx ≤≤∣或2}x > 8．集合{}2|6,y y x x ∈=-+∈N N 的真子集的个数是（）A ．9B ．8C ．7D ．619．已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则AB =（）A ．{}|0x x <B ．{}|1x x <C ．{}1|0x x <<D ．{}|12x x <<10．若集合2{||31|2},{|0},1x A x x B x x -=-≥=≤-则()R C A B =（）A ．1[,2]3-B ．∅C ．1(,)(1,2]3-∞-⋃ D ．1,1(1,2]3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭11．设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中a ，b ∈R 下列说法正确的是（）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集12．已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（） A ．{|3}x x >-B ．{3}x x |<-C ．{|3}x x ≤-D ．{|23}x x ≤<二、填空题13．全集{U x x =是不大于20的素数}，若{}3,5A B ⋂=，{}7,19A B ⋂=，{}2,17A B ⋃=，则集合A =___________.14．在①AB A =，②A B ⋂≠∅，③R BC A ⊆这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.问题：已知集合{}20,,log (1)1,1x a A xx R B x x x R x -⎧⎫=<∈=-≤∈⎨⎬+⎩⎭∣∣，是否存在实数a ，使得___________？15．已知()2f x x ax b =++，集合(){}0A x f x =≤，集合(){}3B x f f x ⎡⎤=≤⎣⎦，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围是______.16．已知集合{}2|60M x x x =+->，{}2|230,0N x x ax a =-+≤>，若M N ⋂中恰有一个整数，则a 的最小值为_________.17．对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．18．设a ，b ，c 为实数，()()()2f x x a x bx c =+++，()()()211g x ax cx bx =+++，记集合(){}|0,S x f x x R ==∈，(){}|0,T x g x x R ==∈，若S ，T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论可能成立的是________．①1S =，0T =；②1S =，1T =；③2S =，2T =；④2S =，3T =. 19．设集合A 、B 是实数集R 的子集，[2,0]AB =-R，[1,2]BA =R，()()[3,5]A B =R R ，则A =________20．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x AB ⊗=∈且}x A B ∉，已知{|2}2xA x x =<+，{|3}B x x =>-，则A B ⊗=_________ 三、解答题21．已知集合A 为数集，定义1,()0,A x Af x x A∈⎧=⎨∉⎩．若{}*,8,A B xx x N ⊆≤∈∣，定义：(,)d A B =(1)(1)A B f f -(2)(2)(8)(8)A A B B f f f f +-+⋅⋅⋅+-．（1）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，C =∅，求(),d A B ，(),d A C 的值；（2）若{}*,,8,A B C xx x N ⊆≤∈∣．求证：()()(),,,d A B d A C d B C +≥；求()()(),,,d A B d A C d B C ++的最大值．22．设全集U =R ，集合{}lg()0A x x a =->，{}2340B x x x =--<．（1）当1a =时，求AB ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．23．已知全集U =R ，集合{4A x x =<-或1}x >，{|312}B x x =-≤-≤，（1）求AB 、()()U UA B ；（2）若集合{|211}M x k x k =-≤≤+是集合A 的子集，求实数k 的取值范围． 24．已知集合{|12},{|11}A x ax B x x =<<=-<<，求满足A B ⊆的实数a 的取值范围.25．已知集合{}2|280A x x x =+-≤，[)1,B =-+∞，设全集为U =R .（1）求()UA B ∩；（2）设集合(1,1)C a a =-+，若C A B ⊆⋃，求实数a 的取值范围. 26．已知集合()(){}|250A x x x k =++<（1）若()53A ⊆-，，求k 的取值范围. （2）若{}2|20B x x x =-->，且{}2A B Z ⋂⋂=-（Z 为整数集合），求k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】阴影部分可以用集合M N 、表示为()()M N C M N ⋃⋂，故求出M N 、、M N ⋃，M N ⋂即可解决问题．【详解】解：由题意得，{}1,0,1M =-，{}0,1,2N ={}1,0,1,2M N ⋃=-，{}0,1M N ⋂=阴影部分为()(){}1,2M N C M N ⋃⋂=-故选B 【点睛】本题考查用韦恩图表示的集合的运算，解题时要能用集合的运算表示出阴影部分．2．A解析：A 【分析】解方程求得集合A ，分别在B =∅和B ≠∅两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果. 【详解】由2230x x --=得：1x =-或3x =，即{}1,3A =-； ①当0a =时，B =∅，满足B A ⊆，符合题意； ②当0a ≠时，{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，11a ∴=-或13a =，解得：1a =-或13a =；综上所述：实数a 的值构成的集合是11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选：A . 【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误.3．B解析：B 【分析】分别讨论,x y 的符号，然后对||||||x y xy z x y xy =++进行化简，进而求出集合A ，最后根据集合元素的确定性即可得出答案. 【详解】当0x >，0y >时，1113z =++=；当0x >，0y <时，1111z =--=-；当0x <，0y >时，1111z =-+-=-；当0x <，0y <时，1111z =--+=-. 所以3A ∈，1A -∈. 故选：B. 【点睛】本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.4．A解析：A 【分析】先分别求出C ,C U U M N ，再求()()C C U U M N ⋂即可【详解】∵C {|}23U M x x x =<>-或，C {|24}U N x x =-≤≤， ∴()()C C {|34}U U M N x x ⋂=<≤．故选:A ．【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，属于中档题5．C解析：C 【分析】先判断0a c d b <<<<，再计算(,),(,)M N a b M N c d ⋃=⋂=，得到答案. 【详解】根据a b c d +=+，0ab cd <<得到：0a c d b <<<<{}M x a x b =<<，{}N x c x d =<<故(,),(,)M N a b M N c d ⋃=⋂=(][),,M N a c d b ⊕=故选：C【点睛】本题考查了集合的新定义问题，确定0a c d b <<<<是解题的关键.6．C解析：C 【分析】讨论,B B =∅≠∅两种情况，分别计算得到答案. 【详解】当B =∅时：1212m m m +>-∴< 成立；当B ≠∅时：12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：23m ≤≤.综上所述：3m ≤ 故选C 【点睛】本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.7．C解析：C 【分析】先确定,P Q ，计算P Q 和P Q ，然后由新定义得结论．【详解】由题意{|02}P x x =≤≤，{|10}{|1}Q x x x x =-≥=≥，则{|0}PQ x x =≥，{|12}P Q x x =≤≤，∴{|01P Q x x =≤<★或2}x >．故选：C ．【点睛】本题考查集合新定义运算，解题关键是正确理解新定义，确定新定义与集合的交并补运算之间的关系．从而把新定义运算转化为集合的交并补运算．8．C解析：C 【分析】根据条件求解,x y 的范围，结合,x N y N ∈∈，得到集合为{2,5,6}，利用集合真子集个数的公式即得解. 【详解】由于260y N y x ∈∴=-+≥x ≤≤,x N ∈ 0,1,2x ∴=6,5,2y ∴=，即集合{}2|6,{2,5,6}y y x x ∈=-+∈=N N故真子集的个数为：3217-= 故选：C 【点睛】本题考查了集合真子集的个数，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.9．C解析：C 【分析】求出A 、B 中不等式的解集确定出A 、B ，找出A 与B 的交集即可．【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =-<=<，集合{}{}2|20|02B x x x x x =-<=<<，所以A B ={}1|0x x <<.故选：C 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．D解析：D 【分析】解绝对值不等式求得集合A ，解分式不等式求得集合B ，求得集合A 的补集，然后求此补集和集合B 的并集，由此得出正确选项. 【详解】由|31|2x -≥得312x -≤-或312x -≥，解得13x ≤-或1x ≥，故1,13R C A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由201x x -≤-得()()12010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得12x <≤，所以()R C A B =1,1(1,2]3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合补集、并集的计算，属于基础题.11．B解析：B 【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集；对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选： B. 【点睛】方法点睛：该题主要考查子集的判断，解题方法如下：（1）利用子集的概念，可以判断出1P 的元素，一定是2P 的元素，得到对任意a ，1P是2P 的子集；（2）利用R 是R 的子集，结合判别式的符号，存在实数1b >时，有12Q Q R ==，得到结果.12．C解析：C 【分析】化简集合，根据集合的并集补集运算即可. 【详解】因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-，所以AB {|3}x x =>-，()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题.二、填空题13．【分析】本题首先可根据素数的定义得出然后根据题意绘出韦恩图最后根据韦恩图即可得出结果【详解】因为全集是不大于的素数所以因为所以因为所以可绘出韦恩图如图所示：由韦恩图可知故答案为：【点睛】本题考查根据解析：{}3,5,11,13【分析】本题首先可根据素数的定义得出{}2,3,5,7,11,13,17,19U =，然后根据题意绘出韦恩图，最后根据韦恩图即可得出结果. 【详解】因为全集{U x x =是不大于20的素数}，所以{}2,3,5,7,11,13,17,19U =，因为{}2,17A B ⋃=，所以{}3,5,7,11,13,19AB =，因为{}3,5A B ⋂=，{}7,19A B ⋂=，所以可绘出韦恩图，如图所示：由韦恩图可知，{}3,5,11,13A =，故答案为：{}3,5,11,13. 【点睛】本题考查根据集合运算结果求集合，考查素数的定义，素数是指在大于1的自然数中，只能被1和该数本身整除的数，考查韦恩图的应用，能否根据题意绘出韦恩图是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.14．答案见解析【分析】求得集合化简集合分三种情况讨论得到集合；再分别得若选择①若选择②若选择③时实数a 的取值范围【详解】当时；当时；当时若选择①则当时要使则所以当时满足题意当时不满足题意所以选择①则实数解析：答案见解析【分析】求得集合[1,1)B =-，化简集合{()(1)0,}A xx a x x R =-+<∈∣，分1a >-，1a =-，1a <-三种情况讨论得到集合A ；再分别得若选择①，若选择②，若选择③时，实数a的取值范围. 【详解】{}2log (1)1,R [1,1)B x x x =-≤∈=-∣，0,{()(1)0,}1x a A x x R x x a x x R x -⎧⎫=<∈=-+<∈⎨⎬+⎩⎭∣∣，当1a >-时，(1,)A a =-；当1a =-时，A =∅；当1a <-时，(,1)A a =- 若选择①AB A =，则A B ⊆，当1a >-时，要使(1,)[1,1)a -⊆-，则1a ≤，所以11a -<≤ 当1a =-时，A =∅，满足题意当1a <-时，(,1)A a =-不满足题意所以选择①，则实数a 的取值范围是[-1,1] 若选择②A B ⋂≠∅，当1a >-时，(1,),[1,1)A a B =-=-，满足题意；当1a =-时，A =∅，不满足题意；当1a <-时，(,1),[1,1)A a B =-=-，不满足题意所以选择②，则实数a 的取值范围是(1,)-+∞. 若选择③RB A ⊆，当1a >-时，(1,),(,1][,)RA a A a =-=-∞-⋃+∞，而[1,1)B =-，不满足题意当1a =-时，,R RA A =∅=，而[1,1)B =-，满足题意当1a <-时，(,1),(,][1,)RA a A a =-=-∞⋃-+∞，而[1,1)B =-，满足题意.所以选择③，则实数a 的取值范围是(,1]-∞-，综上得：若选择①，则实数a 的取值范围是[-1,1]；若选择②，则实数a 的取值范围是(1,)-+∞；若选择③，则实数a 的取值范围是(,1]-∞-.【点睛】本题考查集合间的包含关系，集合间的运算，属于中档题.15．【分析】根据设则设再根据则是的解集的子集求解【详解】因为设则设的解集为：所以是方程的两个根由韦达定理得：又因为所以所以即解得故答案为：【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法的应用还考查了转化求解的解析：⎡⎤⎣⎦【分析】根据A ≠∅，设{}01A x x x x =≤≤，则()204ab f x -≤≤，设 ()t f x =，再根据A B =，则2,04a b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()3f t ≤的解集的子集求解. 【详解】因为A ≠∅，设{}01A x x x x =≤≤，则()204ab f x -≤≤，设 ()t f x =， ()3f t ≤的解集为：()0|0t t t ≤≤ ，所以0,0t t t ==是方程23t at b ++=的两个根，由韦达定理得：0,3t a b =-=，又因为A B =，所以2004a tb ≤-≤，所以2304a a -≤-≤，即22124120a a a ⎧≥⎨--≤⎩，解得 6a ≤≤.故答案为：⎡⎤⎣⎦【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法的应用，还考查了转化求解的能力，属于中档题16．2【分析】解一元二次不等式求得集合根据交集结果可知在只有一个整数解由二次函数性质可得解方程组求得结果【详解】令则对称轴为恰有一个整数即在只有一个整数解即解得：的最小值为故答案为：【点睛】本题考查根据解析：2【分析】解一元二次不等式求得集合M ，根据交集结果可知()2230f x x ax =-+≤在()(),32,-∞-+∞只有一个整数解，由二次函数性质可得()()3040f f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，解方程组求得结果.【详解】 ()(){}()()320,32,M x x x =+->=-∞-⋃+∞，令()()2230f x x ax a =-+>，则对称轴为x a =， M N ⋂恰有一个整数，即()0f x ≤在()(),32,-∞-+∞只有一个整数解，()()3040f f ⎧≤⎪∴⎨>⎪⎩，即963016830a a -+≤⎧⎨-+>⎩，解得：1928a ≤<， a ∴的最小值为2. 故答案为：2【点睛】本题考查根据交集结果求解参数范围的问题，关键是能够将整数解个数问题转化为二次函数图象的讨论，通过约束二次函数的图象得到不等关系.17．【分析】先求出和再计算【详解】由已知则∴故答案为：【点睛】本题考查集合的新定义解题关键是理解新定义运算把新运算转化为集合的运算解析：[3,1)(3,)--+∞【分析】先求出A B -和B A -，再计算A B ∆【详解】由已知{|1}A y y =≥-，则{|3}(3,)A B y y -=>=+∞，{|31}[3,1)B A y y -=-≤<-=--，∴()()[3,1)(3,)A B A B B A ∆=--=--+∞，故答案为：[3,1)(3,)--+∞【点睛】本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义运算，把新运算转化为集合的运算． 18．①②③【分析】①根据得到方程无实根推出或；再由此判断根的个数即可判断①；②取分别判断根的个数即可判断②；③取分别判断根的个数即可判断③；④当时方程有三个根所以由此求根的个数即可判断④【详解】①当时方解析：①②③【分析】①根据0T =，得到方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 无实根，推出0a =，240b c -<或0a b c ===；再由此判断()0f x =根的个数，即可判断①；②取2040a b c ≠⎧⎨-<⎩，分别判断()0f x =，()0g x =根的个数，即可判断②；③取20040a c b c ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩分别判断()0f x =，()0g x =根的个数，即可判断③；④当3T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，240b c ->，由此求()0f x =根的个数，即可判断④.【详解】①当0T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 无实根，所以0a =，240b c -<或0a b c ===；当0a b c ===时，()3f x x =，由()0f x =得0x =，此时1S =；当0a =，240b c -<时，()()2=++f x x x bx c ，由()0f x =得0x =，此时1S =；故①成立；②当2040a b c ≠⎧⎨-<⎩时，由()()()20=+++=f x x a x bx c 得x a =-，即1S =；由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得1x a=-；即1T =；存在②成立； ③当20040a c b c ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩时，由()()()20=+++=f x x a x bx c 得x a =-或2b x =-；由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得 1x a =-或2=-x b；只需2b a ≠，即可满足2S =，2T =；故存在③成立；④当3T =时，方程()()()2110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，240b c ->，设0x 为()0g x =的一个根，则00x ≠，且200001111f a b c x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()03010g x x ==，故01x 为方程()0f x =的根．此时()0f x =有三个根，即3T =时，必有3S =，故不可能是2S =，3T =；④错；故答案为：①②③【点睛】本题主要考查方程根的个数与集合的综合，会判断方程根的个数即可，属于常考题型.19．【分析】根据条件可得结合的意义可得集合【详解】因为集合是实数集的子集若则但不满足所以因为所以所以有又因为表示集合的元素去掉集合中的元素表示A 集合和B 集合中的所有元素所以把中的元素去掉中元素即为所求的解析：(,1)(2,3)(5,)-∞+∞【分析】根据条件()()[3,5]A B =R R 可得()(),35,A B =-∞+∞，结合[1,2]B A =R 的意义，可得集合A .【详解】因为集合A 、B 是实数集R 的子集，若A B =∅,则[2,0]A B A =-=R ，[1,2]BA B ==R ，但不满足()()[3,5]A B =R R ，所以A B ⋂≠∅. 因为()()[3,5]A B =R R ,所以()()()[3,5]AB A B ==R R R ，所以有()(),35,A B =-∞+∞.又因为[1,2]B A =R 表示集合B 的元素去掉集合A 中的元素，()(),35,A B =-∞+∞表示A 集合和B 集合中的所有元素，所以把()(),35,A B =-∞+∞中的元素去掉[1,2]B A =R 中元素，即为所求的集合A ，所以(,1)(2,3)(5,)A =-∞+∞.故答案为(,1)(2,3)(5,)-∞+∞.【点睛】本题主要考查集合的运算，根据集合的运算性质可求也可借助数轴或者韦恩图求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.20．【分析】先计算集合A 再根据定义得到答案【详解】或且或故答案为：【点睛】本题考查了集合的新定义问题意在考查学生的理解能力和解决问题的能力解析：(,4)(3,2]-∞---【分析】先计算集合A ，再根据定义得到答案.【详解】{{|2}42x A x x x x =<=<-+或2}x >-，{|3}B x x =>- {|A B x x A B ⊗=∈且{}4x A B x x ∉⋂=<-或}32x -<≤-故答案为：(,4)(3,2]-∞---【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和解决问题的能力.三、解答题21．（1）(),2d A B =，(),3d A C =；（2）①证明见解析；②16【分析】（1）根据定义直接计算即可；（2）①可得()(),d A B cardA cardB card A B =+-⋂，根据()cardA card A B ≥⋂，()cardA card A C ≥⋂可证；②由()()(),,,d A B d A C d B C ++()2cardA cardB cardC ≤++可得.【详解】（1）{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，C =∅，()(1)(1)(2,)(2)(8)(8)A B A B A B d A B f f f f f f =-+-+-∴+1011110100000000=-+-+-+-+-+-+-+-2=，()(1)(1)(2)(2,)(8)(8)A C A C A C f f f f d f f A C =-+-++-1010100000000000=-+-+-+-+-+-+-+-3=；（2）①由题可得()(),d A B cardA cardB card A B =+-⋂，()()()(),,cardA cardB card A B cardA d A B cardC card A C d A C ∴=+-⋂++-⋂+ ()(),d B C cardB cardC card B C =+-⋂，()(),cardA card A B cardA card A C ≥⋂≥⋂，()()2cardA card A B card A C ∴≥⋂+⋂，()()()2cardA card B C card A B card A C ∴+⋂≥⋂+⋂，即()()()2cardA card A B card A C card B C -⋂-⋂≥-⋂，∴()()()2cardA cardB cardC card A B card A C cardB cardC card B C ++-⋂-⋂≥+-⋂，即()()(),,,d A B d A C d B C +≥，得证；②()()(),,,d A B d A C d B C ++()()()cardA cardB card A B cardA cardC card A C cardB cardC card B C =+-⋂++-⋂++-⋂()()()()2cardA cardB cardC card A B card A C card B C =++-⋂+⋂+⋂⎡⎤⎣⎦()2cardA cardB cardC ≤++，当且仅当()()()0card A B card A C card B C ⋂=⋂=⋂=时等号成立，∴当{}*8,xx B C x A N ⋃⋃=≤∈∣且A B A C B C ⋂=⋂=⋂=∅时， ()()(),,,d A B d A C d B C ++有最大值为16.【点睛】关键点睛：本题考查集合的基本运算，新定义的应用，解题的关键是能根据定义得出()(),d A B cardA cardB card A B =+-⋂，进而根据集合的关系可求解.22．（1）(2,4]A B ⋂=；（2）(,2]-∞-.【分析】（1）当1a =时确定集合A ，根据交集的定义求解.（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，得出a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，由lg(1)0x ->得11x ->，解得2x >，所以(2,)A =+∞，由{}2340B x x x =--<解得[]1,4B =-，所以(2,4]A B ⋂=.（2）{}{}lg()01A x x a x x a =->=+， {}2340B x x x =--<得{}|14B x x =-<<，由A B A ⋃=得B A ⊆，所以(1,4)(1,)a -⊆++∞，所以11a ≤-+，解得2a ≤-，所以实数a 的取值范围是(,2]-∞-.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，注意正确求解集合，再者就是能正确判断集合之间的关系.23．（1）{|13}A B x x =<≤∩；()(){|13}U U A B x x x ⋃=≤>或；（2）5k <-或1k >．【分析】（1）首先求集合B ，再求U A 和U B ，再求集合的运算；（2）首先讨论集合M 是空集和非空集两种情况，再分别列不等式求解. 【详解】解：（1）因为全集U =R ，集合{4A x x =<-或1}x >，，{|312}B x x =-≤-≤，所以23{|}B x x =-≤≤{|41}U x x A =-≤≤{2U B x x =<-或3}x >所以{|13}A B x x =<≤∩()()(){|1U U U A B A B x x ⋃=⋂=≤或3}x >，（2）因为集合{|211}M x k x k =-≤≤+是集合A 的子集，所以①当M =∅时，211k k ->+，解得2k >；②当M 时，21114k k k -≤+⎧⎨+<-⎩或211211k k k -≤+⎧⎨->⎩解得：5k <-或12k <≤综上所述：实数k 的取值范围是5k <-或1k >．【点睛】易错点睛：（1）已知子集关系求参数时，要记得讨论空集的情况，这是本题的易错点. （2）集合的交并补运算，需审题清楚，注意端点值的开闭，涉及复杂运算时可以参考补集运算的经典结论：()()()U U v A B A B ⋃=⋂，()()()U U v A B A B ⋂=⋃； 24．{}(,2]0[2,)-∞-+∞.【分析】根据题意，分0a =，0a >和0a <三种情况分类讨论，结合A B ⊆，列出相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意，集合{|12},{|11}A x ax B x x =<<=-<<，①当0a =时，集合A φ=，满足A B ⊆； ② 当0a >时，集合12{|}A x x a a =<<，因为A B ⊆，则1121a a⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得2a ≥； ③ 当0a <时，集合21{|}A x x a a =<<，因为A B ⊆，则2111a a⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得2a ≤-. 综上所述，所求实数a 的取值范围为{}(,2]0[2,)-∞-+∞. 故答案为：{}(,2]0[2,)-∞-+∞. 【点睛】本题主要考查了根据集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练应用集合的包含关系，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及推理与运算能力. 25．（1）()[)4,1U AB =--（2）[)3,-+∞ 【分析】（1）先化简集合A ，再求()U A B ∩；（2）先求出[)4,A B =-+∞，得14a -≥-，解不等式即得解.【详解】（1）由题得[]4,2A =-，[)1,B =-+∞，(,1)U B =-∞-，所以()[)4,1U A B =--；（2）由题得[)4,AB =-+∞，若C A B ⊆⋃，则14a -≥-，所以3a ≥-. 所以a 的取值范围是[)3,-+∞.【点睛】本题主要考查集合的运算和关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．(1)[] 3,5-；(2)5 3,?2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）对参数k 进行分类讨论，求得对应情况下不等式的解集，再根据集合之间的关系，求得k 的范围；（2）根据（1）中集合A 的解集，集合{}2A B Z ⋂⋂=-，对参数k 进行分类讨论，即可求得k 的范围.【详解】（1）对集合A ：当52k =时，不等式的解集为空集，即A =∅，满足()53A ⊆-，；当52k <时，不等式的解集为5,2A k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若满足()53A ⊆-，，只需3k -≤，解得3k ≥-，又52k <，故53,?2k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；当52k >时，不等式的解集为5,2A k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若满足()53A ⊆-，，只需5k -≥-，解得5k ≤，又52k >，故5,52k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 综上所述若满足题意，则[]3,5k ∈-. （2）对集合B ：220x x -->，解得()(),12,B =-∞-⋃+∞此时B Z ⋂是小于等于2-的整数和大于等于3的整数的集合.对集合A ：由（1）知：当52k =时，A =∅，不满足{}2A B Z ⋂⋂=-，故舍去；当52k <时，5,2A k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若满足{}2A B Z ⋂⋂=-，只需3k -≤，解得3k ≥-，又52k <，故可得53,?2k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；当52k>时，5,2A k⎛⎫=--⎪⎝⎭，显然不满足{}2A B Z⋂⋂=-，故舍去.综上所述，若满足题意，则53,?2 k⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查由集合之间的关系，求参数的范围，属中档题；本题中需要注意对参数的分类讨论，要做到不重不漏.。

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第一讲集合与函数概念对应练习1 (对应易错点1、易错点2、易错点3)已知集合^={x|x2—1=0},则下列式子表示正确的有()②{—1}丘乂③0—④{1, -1}^AA.1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：C解析：A = {x|x2— 1 = 0} = {1, — 1}.①③④均正确.对应练习2 (对应易错点5)集合A={y\y=x2+1},集合B={(x, y)\y=x2+l}(A, B中诈R, yER),选项中元素与集合的关系都正确的是()A.2",且2GBB.(l,2)e^,且(l,2)e5C. 2 —,且(3,10)WBD.(3,10)G,且2EB答案C解析：集合/中元素y是实数，不是点，故选项B, D不对.集合B的元素(x, y)是点.而不是实数，2WB不正确，所以A错.对应练习3 (对应易错点8、易错点9)已知集合M={y\y=x2+\, xWR}, N= {x^= 则M与N之间的关系()A. MGNB. MWNC. M=ND. M与N关系不确定答案：A解析：':M= {y\y^l}, N={x\x^ — \}, .'.MQN.对应练习4 (对应易错点15)集合A={y[y=x2+1},集合B={(x, y)[y=X2+l}(A,B中x WR, yWR),选项中元素与集合的关系都正确的是()A.2",且2GBB.(1,2) — ,且(1,2)£5C. 2 —,且(3,10)G5D.(3,10)G,且2WB答案：C解析：集合/中元素y是实数，不是点，故选项B, D不对.集合B的元素(x, y)是点.而不是实数，2WB不正确，所以A错.对应练习5 (对应易错点6)已知集合2 = {x『一3x+2=0}, B^{x\x-x+2m^0}.若AC\B=B,求加的取值范围.答案：w>|.解析：⑴由题意得/= {1,2}.■因为AC\B=B,所以, ，1当p=0时，方程x—x+1m = 0无实数解，因此其判别式/=1一&”<0,即也电；当B={1}或2={2}时，方程X2—x+2m=0有两个相同的实数解x=l或x=2,因此其判别式zf = l —8加=0,解得％=£，代入方程x'—x+lm—0解得*=*，矛盾，显然不符合要求；当B={1,2}时，方程x^-x+2m=0有两个不相等的实数解x=l或x=2,因此1+2 =1,2加=2.显然第一个等式不成立.综上所述，m>|.对应练习6 （对应易错点11）下列各图中，可表示函数y=fix）图象答案：D解析：由函数的定义“对于自变量x每取一个值都有唯一的一个y值与之对应”知答案：D.对应练习7 （对应易错点12、易错点13、易错点20）已知函数»=X2-2X+2.（1）求人对在区间百，3]上的最大值和最小值；⑵若能）=金）一加在[2,4]上是单调函数，求的取值范围.答案：⑴在区间百，3]上最大值是5,最小值是1.⑵的取值范围是（一8, 2]U[6, +8）.解析：（l）"x）"—2x+2=（x-1）2+1, 3],•■- 7（x）的最小值是久1）=1.又冶）=专，/3）=5,乐）的最大值是/3）= 5, 即沧）在区间百，3]上的最大值是5,最小值是1.（2）*.* g（x） =y（x）—mx=x—（加+2）x+2, •••巴养2或巴养4,即m<2或劝26.故加的取值范围是（一8, 2]U[6, +8）.|x+l, x^Q对应练习8（对应易错点14）已知心）= ，若代a） = 2,则实数〔4兀，x<0答案：1解析：T 当Q20时，/（Q）= Q+ 1 = 2,二a= 1.*.* 当日〈0 时，f （金=4&=2, 日=*（舍去）•对应练习9 （对应易错点13）已知函数X3X-2）的定义域是[—2,0）,则函数沧）的定义域是_________ :若函数沧）的定义域是（一2,4],则X-2x+2）的定义域是____________ ・答案：[—8, ~2） [_ 1,2）解析：T/Px—2）的定义域是［―2,0）, ./3x—2）中的x 满足一2Wx<0.—8W3x—2V —2.••夬兀）的定义域是［-8,2）.••7（兀）的定义域是（一2,4］, —2V兀W4.:.扎—2兀+2）中，一2V—2兀+2W4, 即一1 W…xV 2.2兀+2）的定义域是［―1,2）.答案：［_8, —2）［—1,2）对应练习10 （对应易错点15）若沧）是偶函数，其定义域为（一8, +8）,且在［0, +°°）上是减函数，则—㊁）与加2+2Q+R的大小关系是（）3 7 5 3 7 5A.夬_㊁）+2°+空）B.夬一㊁）初Q +2Q+㊁）C・|）勺/+2卄号） D. X —|）+ 2a+|）答案：B5 3 3解析：I,/ + 2°+㊁=（Q+刁又函数沧）为偶函数，X-|）=x|）,乐）在（0, + «=）上为减函数..• 7（—号）+ 2a+1）.对应练习11 （对应易错点17）已知集合A^{x\ax~ 1=0}, B={xp?—3x+2=0},且AQB,求实数a的值.答案：<7 = 0或1或*.解析：8={1,2},且/为0或单元素集合，由A^B^A可能为0, {1}, {2}.（1）/=0=>Q = O；（2）力={1}»=1;（3）力={2}O Q=*.综上得Q = 0或1或"（a—3）x+5, xWl, 对应练习12 （对应易错点18、易错点19）已知函数f（x）=^2a—,x>llx是（一8, +8）上的减函数，那么a的取值范围是（）A. （0,3）B. （0,3］C. （0,2）D・（0,2］答案：D'a—3<0, 解析：由题意可知la>0, 解得0<aW2.卫一3 + 5 22a,对应练习13 （对应易错点4）.已知［7= {0,2, .r-2}, luA={2, x},则 g 答案：{-2}或{0}解析：：（［品）UU, 且心2.当x=0 时,U= {0,2, -2}, M={0,2}, A={-2}.当x=x? —2时得x= — l或x=2（舍去）x=_l 时,U= {0,2, —1},［显={2, —1}, T4= {0}.。

高一集合知识点易错题

高一集合知识点易错题一、数学知识点易错题1. 集合的运算易错题：已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，求(A∪B)∩C的结果。

解析：首先求A和B的并集，得到A∪B={1,2,3,4}，然后再与集合C求交集，即(A∪B)∩C={3,4}。

2. 几何中的直线和平面易错题：在三维空间中，已知直线L过点P(1,2,3)，且与平面α:x+2y+3z=6垂直，求直线L的方向向量。

解析：由于直线L与平面α垂直，所以直线L的方向向量应与平面α的法向量垂直。

平面α的法向量为(1,2,3)，因此直线L的方向向量为(1,2,3)的任意非零倍数。

3. 概率问题易错题：有三个盒子，分别装有三种颜色的球，第一个盒子中有3个红球和2个蓝球，第二个盒子中有2个红球和4个蓝球，第三个盒子中有1个红球和3个蓝球。

现在从三个盒子中随机选择一个盒子，并从中随机取出一个球，求取出的球是红色的概率。

解析：首先计算选中第一个盒子取出红球的概率为3/5，然后计算选中第二个盒子取出红球的概率为2/6，最后计算选中第三个盒子取出红球的概率为1/4。

根据总概率公式，取出的球是红色的概率为(1/3)(3/5)+(1/3)(2/6)+(1/3)(1/4)=11/30。

二、物理知识点易错题1. 运动学中的速度易错题：一辆汽车以10m/s的速度匀速行驶了20s，求汽车行驶的距离。

解析：根据速度的定义，速度=位移/时间。

由于汽车以匀速行驶，所以速度不变，即10m/s为汽车的速度。

将速度和时间代入速度的定义公式，可得位移=速度×时间=10m/s×20s=200m。

因此，汽车行驶的距离为200m。

2. 力的合成易错题：在一个平面上，有一物体同时受到向北的200N力和向西的150N力的作用，求物体所受合力的大小和方向。

解析：根据力的合成原理，可以利用平行四边形法则求解合力。

首先将向北的力和向西的力按照大小和方向画出，然后将其首尾相接画出平行四边形，从图中可以测得平行四边形的对角线，即合力的大小为250N。

(完整)高一数学必修一易错题集锦答案

高一数学必修一易错题集锦答案1. 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（）解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }．∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1},注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ．解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2}3 。

已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个)解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z ,∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。

4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围．解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－21．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则a -11∈A ，1≠a 且1∉A.⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒ 21∈A ⇒ 2∈A∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11即12+-a a ＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶a∈A ⇒ a -11∈A ⇒ a--1111∈A ⇒111---a a∈A ，即1－a 1∈A⑷由⑶知a∈A 时，a -11∈A， 1－a 1∈A .现在证明a,1－a 1, a -11三数互不相等.①若a=a -11,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠a -11②若a=1－a 1，即a 2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a 1③若1－a 1 =a -11，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a 1≠a -11.综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.7 设M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝,求（1）从M 到N 的映射种数；（2）从M 到N 的映射满足 f (a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射f 的种数. 解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个0222,2,2,0,0,2220a a a ab b b bc c c c →→→→⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪→-→-→→⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪→-→-→-→⎩⎩⎩⎩8.已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤ 10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0]9根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .（2）已知1)f x x x =+，求()f x（3）若()f x 满足1()2(),f x f ax x +=求()f x解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设()f x ＝2(0)ax bx c a ++≠由于(0)0f =得2()f x ax bx =+，又由(1)()1f x f x x +=++，∴22(1)(1)1a x b x ax bx x +++=+++即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++211021a b b a a b a b +=+⎧⎪∴≠∴==⎨⎪+=⎩ 因此：()f x ＝21122x x +(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设22()(1)2(1)1(1)f u u u u u ∴=-+-=-≥∴()f x ＝21x - （1x ≥）（3）由于()f x 为抽象函数，可以用消参法求解用1x 代x 可得：11()2(),f f x a x x +=与 1()2()f x f ax x +=联列可消去1()f x 得：()f x ＝233a axx -.点评：求函数解析式（1）若已知函数()f x 的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]f g x 表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. 10 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值.分析：要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值.解由 x y x 62322=+得.20,0323,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y xx y 又,29)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429)32(212=+--点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由 x y x 62322=+得 ,32322x x y +-=1(0),1(1)u x x x u u =+≥=-≥,29)3(2132322222+--=+-=+∴x x x x y x ∴当3=x 时，22y x +取最大值，最大值为29 这种解法由于忽略了02≥y 这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.. 11设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1,f =并且对任意的实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的表达式.解法一：由(0)1,f =()()(21)f x y f x y x y -=--+，设x y =，得(0)()(21)f f x x x x =--+，所以()f x ＝21x x ++解法二：令0x =，得(0)(0)(1)f y f y y -=--+即()1(1)f y y y -=--+又将y -用x 代换到上式中得()f x ＝21x x ++点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 12判断函数1()(1)1xf x x x -=++.解：1()(1)1x f x x x -=++有意义时必须满足10111xx x -≥⇒-<≤+即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数13 判断22()log (1)f x x x =++的奇偶性.正解：方法一：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f ＝11log 22++x x ＝)1(log22++-x x ＝－)(x f ∴)(x f 是奇函数方法二：∵)1(log )1(log )()(2222++-+++=-+x x x x x f x f ＝01log )1()1[(log 2222==++-⋅++x x x x)()(x f x f -=- ∴)(x f 是奇函数14函数y=245x x --的单调增区间是_________. 解：y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]--15已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围.解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得,故0<x<6,又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6}, 16 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x ＋1)；(2)|lg |10x y =.分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时，当x ＜2时，即x-2＜0时，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥--=)2(49)21()2(49)21(22x x x x y这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)(2)当x ≥1时，lgx ≥0，y =10lgx=x ；当0＜x ＜1时，lgx ＜0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x ，y 的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.17若f(x)= 21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数，求a 的取值范围解：设12121212112,()()22ax ax x x f x f x x x ++-<<-=-++12211212121221121122121212(1)(2)(1)(2)(2)(2)(22)(22)(2)(2)22(21)()(2)(2)(2)(2)ax x ax x x x ax x ax x ax x ax x x x ax x ax x a x xx x x x ++-++=+++++-+++=++--+--==++++由f (x )=21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数得12()()0f x f x -<210a ∴-> ∴a ＞21点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.18已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xy yx ++1),试证明：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减解：证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy yx ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21x xx --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数.(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)＋f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴21121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0.∴f (x )在(－1，1)上为减函数.点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是解题的焦点.19已知18log 9,185,ba ==求36log 45解：∵185,b =∴18log 5b =∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b ab a b a aa a++++=====+-++20知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2综上可知所求的取值范围是1＜a ＜221已知函数()log (3)a f x ax =-.（1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围.（2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.分析：函数()f x 为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜32∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，32）(2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1∴a ＝32此时3()log (3)2a f x x =-当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在.点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.22已知函数f (x )=1421lg 2+-⋅++a a ax x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义，求实数a 的取值范围.分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”. 解：14212+-⋅++a a ax x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43>0,∴ 1+2x +4x ·a >0, a >)2141(x x +-,当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21都是减函数，∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(x x +-max =－43,∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－43, +∞).点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y =)2141(x x +-的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a 的取值范围.此法也叫主元法.23若1133(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围.解：∵幂函数13y x -=有两个单调区间，∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系10320.132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩① 10320.132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩② 10.320a a +<⎧⎨->⎩③解三个不等式组：①得23＜a ＜32，②无解，③a ＜－1∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）点评：幂函数13y x -=有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为132a a +>-，从而导致解题错误.24 已知a>0 且a ≠1 ,f (log a x ) = 12-a a(x －x 1)(1)求f(x)；(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m 2 ) < 0 ,求m 的集合M . 分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.解：(1)令t=log a x(t ∈R)，则).(),(1)(),(1)(,22R x a a a a x f a a a a t f a x xx t t t ∈--=∴--==--,101,.)(,10,)(,01,1.)(,),()(1)()2(22<<><<-=>->∴∈-=--=---a a x f a a a x u a aa x f R x x f a a a a x f x x x x 或无论综上为增函数类似可判断时当为增函数时当为奇函数且f(x)在R 上都是增函数.)1,1().1()1(,)(,0)1()1()3(22-∈-<-∴<-+-x m f m f R x f m f m f 又上是增函数是奇函数且在.211111111122<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-∴m m m m m点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f （x ）的表达式可求出m 的取值范围，请同学们细心体会.25已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围. 解：设()f x 的最小值为()g a（1）当22a-<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在；(2) 当[2,2]2a-∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；（3）22a->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4故－7≤a ＜－4综上，得－7≤a ≤226已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围. 解：设2()1f x mx x =++，（1）当m ＝0时方程的根为－1，不满足条件.（2）当m ≠0∵210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内又(0)f ＝1＞0∴有两种可能情形①(1)0f <得m ＜－2 或者②1(1)02f m =-且0<<1得m 不存在综上所得，m ＜－227.是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程x 2+（2k －3）x －（3k －1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由.解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到2(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎪⎪⎨=+--->⎪-⎪<<⎪⎩即24501313722k k k k ⎧+≥⎪⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩即此不等式无解即不存在满足条件的k 值.28已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.解：设F （x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +，则方程 ()f x ＝121[()()]2f x f x + ①与方程 F （x ）＝0 ② 等价 ∵F （x 1）＝1()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x - F （x 2）＝2()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x -+∴ F （x 1）·F （x 2）＝－2121[()()]4f x f x -，又12()()f x f x ≠∴F （x 1）·F （x 2）＜0故方程②必有一根在区间（x 1，x 2）内.由于抛物线y ＝F （x ）在x 轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x 轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.点评：本题由于方程是()f x ＝121[()()]2f x f x +，其中因为有()f x 表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()f x 的图像与x 轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证1()f x 2()f x ＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F （x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +的图像与x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在. 29试确定方程322420x x x --+=最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.分析：只要构造函数()f x ＝32242x x x --+，计算()f x 的自变量x 取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布. 解：令()f x ＝32242x x x --+∵(3)f -＝－54－9＋12＋2＝－49＜0 (2)f -＝－16－4＋8＋2＝－10＜0 (1)f -＝－2－1＋4＋2＝3＞0，，(0)f ＝0－0－0＋2＝2＞0 (1)f ＝2－1－4＋2＝－1＜0， (2)f ＝16－4－8＋2＝6＞0根据(2)f -·(1)f -＜0，(0)f ·(1)f ＜0，(1)f ·(2)f ＜0 可知()f x 的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n 次方程最多有n 个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.32242x x x --+221(21)2(21)2()(2)212()(2)(2)2x x x x x x x x =---=--=-所以32242x x x --+＝0有三个根：12,22-30设二次函数2()(0),f x ax bx c a =++>方程0)(=-x x f 的两个根21,x x ，满足0<21x x <a1<. （1）当),0(1x x ∈时，证明1)(x x f x <<；（2）设函数2()(0),f x ax bx c a =++>的图像关于直线0x x =对称，证明：210x x <. 分析：（1）用作差比较法证明不等式1)(x x f x <<；（2）函数2()(0),f x ax bx c a =++>图像关于直线0x x =对称，实际直线0x x =就是二次函数的对称轴，即abx 20-=，然后用已知条件证明不等式即可. 证明：（1）依题意，设))(()()(21x x x x a x x f x F --=-= 当),0(1x x ∈时，由于21x x <，∴0))((21>--x x x x ，又0>a ∴))(()()(21x x x x a x x f x F --=-=>0即)(x f x <)1)(()1)(()()]([)(2121111ax x x ax ax x x x F x x x F x x x f x -->-+-=--=+-=-∵0<21x x x <<a1<.∴01,021>->-ax x x ∴0)(1>-x f x 综合得1)(x x f x << （2）依题意知a b x 20-=，又ab x x 121--=+ ∴aax ax a x x a a bx 2121)(221210-+=-+=-=∵,012<-ax ∴22110x a ax x =<点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即ab x 20-= 31已知函数0)1(),1(2)(2=<<++=f b c c bx x x f ，且方程01)(=+x f 有实根. (1)求证：-3<c ≤-1,b ≥0.(2)若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负并加以证明分析：（1）题中条件涉及不等关系的有1<<b c 和方程01)(=+x f 有实根.及一个等式0)1(=f ，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断)4(-m f 的符号，因而只要研究出4-m 值的范围即可定出)4(-m f 符号. (1)证明：由0)1(=f ，得1+2b+c=0,解得21+-=c b ，又1<<b c ， 1c c >+->21解得313-<<-c ，又由于方程01)(=+x f 有实根，即0122=+++c bx x 有实根，故0)1(442≥+-=∆c b 即0)1(4)1(2≥+-+c c 解得3≥c 或1-≤c ∴13≤<-c ，由21+-=c b ，得b ≥0. （2）c bx x x f ++=2)(2=)1)(()1(2--=++-x c x c x c x ∵01)(<-=m f ，∴c<m<1（如图） ∴c —4<m —4<—3<c. ∴)4(-m f 的符号为正.点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题.32定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<.（1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（3）设()()()(){}()({}22,1,,21,A x y f x f y f B x y f ax y a R =⋅>=-=∈，若A B ⋂=∅，试确定a 的取值范围.（4）试举出一个满足条件的函数()f x .解：（1）在()()()f m n f m f n +=⋅中，令1,0m n ==.得：()()()110f f f =⋅.因为()10f ≠，所以，()01f =.（2）要判断()f x 的单调性，可任取12,x x R ∈，且设12x x <.在已知条件()()()f m n f m f n +=⋅中，若取21,m n x m x +==，则已知条件可化为：()()()2121f x f x f x x =⋅-.由于210x x ->，所以()2110f x x >->.为比较()()21f x f x 、的大小，只需考虑()1f x 的正负即可.在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x =，n x =-，则得()()1f x f x ⋅-=. ∵ 0x >时，()01f x <<， ∴ 当0x <时，()()110f x f x =>>-.又()01f =，所以，综上，可知，对于任意1x R ∈，均有()10f x >. ∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=--<⎡⎤⎣⎦. ∴ 函数()f x 在R 上单调递减.（3）首先利用()f x 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f 的式子.()()()222211f x f y f x y ⋅>+<即，(()210f ax y f -==，即20ax y -+=.由A B ⋂=∅，所以，直线20ax y -+=与圆面221x y +<无公共点.所以，2211a ≥+.解得 11a -≤≤.（4）如()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0m n ==；以及21,m n x m x +==等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决. 33设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值.解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（2）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f .若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤. （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f .综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43.点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过)()(x f x f =-代入有1||1||)(22+-+=+--+-a x x a x x ，即||||a x a x -=+可得，当0=a 时，||||a x a x -=+，函数)()(x f x f =-函数为偶函数. 通过)()(x f x f -=-可得 1||1||)(22----=+--+-a x x a x x 化得 ||||222a x a x x -++=+此式不管0=a 还是0≠a 都不恒成立，所以函数不可能是奇函数.（2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查.34某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q （百件）与销售价p （元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月130元. （1）若当销售价p 为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关.从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q 、单位商品的销售价p 之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答.由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润. 解：（1）设该店的月利润为S 元，有职工m 名.则()4010060013200S q p m =-⨯--.124584060q p81又由图可知：()()2140, 405882 5881p p q p p -+≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩. 所以，()()()()()()21404010060013200 4058824010060013200 58<81p p m p S p p m p -+-⨯--≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯--≤⎪⎩ 由已知，当52p =时，0S =，即()()214040100600132000p p m -+-⨯--=，解得50m =.即此时该店有50名职工.（2）若该店只安排40名职工，则月利润()()()()()()21404010037200 4058824010037200 58<81p p p S p p p -+-⨯-≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯-≤⎪⎩. 当4058p ≤≤时，求得55p =时，S 取最大值7800元. 当5881p <≤时，求得61p =时，S 取最大值6900元. 综上，当55p =时，S 有最大值7800元.设该店最早可在n 年后还清债务，依题意，有 1278002680002000000n ⨯--≥. 解得5n ≥.所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.点评：求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题. （3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.。

高一数学集合与函数错题集锦

高一数学集合易错题汇总及详解一、混淆集合中元素的形成例1 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则AB = ．错解：解方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得11x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴ 剖析：产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合A B ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A B ，是点集，而不是数集．{}(11)AB =-，∴（加强练习）1、集合{}{}2,,,A x x y y R B y y x x R==∈==∈，则A B ⋂= （）A 、{}0,1 B 、(){}0,1 C 、{}0yy ≥ D 、∅解析：A=R ，[)[)0,,0,B A B =+∞∴=+∞。

答案C2、已知集合}1|{2x y x A -==，},1|{A x x y y B ∈-==，则=⋂B A （） A 、}1,0{ B 、)}0,1{( C 、]0,1[- D 、]1,1[-解析：[1,1],[2,0],[1,0]A B A B =-=-∴=-。

答案C 二、忽视空集的特殊性例2 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ⊆，则m 的值为．错解：由(1)10m x -+= 得11x m=- 由2230x x --= 得1x =-或3x =1|1A x x m ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∴ {}13B =-， A B ⊆∵ 111m =--∴或3 2m =∴或23m = 剖析：由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，1m =．m ∴的值为2123，，．（加强练习）设}01)1(2|{},04|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，若B B A =⋂，求a 的值解析：∵ B B A =⋂∴ B ⊆A ,由A={0，-4}，∴B=Φ，或B={0},或B={-4}，或B={0,-4}当B=Φ时，方程01)1(222=-+++a x a x 无实数根，则 △ =0)1(4)1(422<--+a a 整理得01<+a 解得1-<a ；当B={0}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为0，则⎩⎨⎧=-=+-010)1(22a a 解得1-=a ；当B={-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为-4，则⎩⎨⎧=--=+-1618)1(22a a 无解；当B={0，-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 的两根分别为0，-4，则⎩⎨⎧=--=+-014)1(22a a 解得1=a 综上所述：11=-≤a a 或三、忽视集合中的元素的互异性．．．这一特征例3 已知集合{}22342A a a =++，，，{}207422B a a a =+--，，，，且{}37A B =，，求a 的值．错解： ∵{}37AB =，， ∴必有2427a a ++=2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴5a =-∴或1a =剖析：由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出a 的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上，（1）当5a =-时，2423a a +-=，27a -=不满足B 中元素应互异这一特征，故5a =-应舍去．（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=满足{}37A B =，且集合B 中元素互异．a ∴的值为1．四、没有弄清全集的含义例4 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值．错解： ∵{}5S C A =5S ∈∴且5A ∉2235a a +-=∴2280a a +-=∴2a =∴或4a =- 剖析：没有正确理解全集．．的含义，产生增解的错误．全集中应含有讨论集合中的一切元素，所以还须检验．（1）当2a =时，213a -=，此时满足3S ∈．（2）当4a =-时，219a S -=∉，4a =-∴应舍去，2a =∴．五、没有弄清事物的本质例5 若{}|2A x x n n ==∈Z ，，{}|22B x x n n ==-∈Z ，，试问A B ，是否相等．错解： 222n n ≠-∵A B ≠∴剖析：只看到两集合的形式区别，没有弄清事物的本质，事实上A 是偶数集，B 也是偶数集，两集合应相等，尽管形式不同．{}{}|2|2A x x n n x x ==∈==⨯Z 整数，{}{}|22|2(1)B x x n x x x n n ==-∈==-∈Z Z ，，{}|2x x ==⨯整数换句话说{}{}||C x x n n x x ==∈==Z ，整数， {}{}|1|D x x n n x x ==-∈==Z ，整数两集合中所含元素完全相同，C D A B =⇔= （加强练习）1. 已知2{1,},{1,}My y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是( A )A. M=PB.P R ∈ C . M ⊂≠P D. M ⊃≠P2、已知集合T S T S x x S ⋃=⋂<-=则使},1|12||{的集合T= ( )A 、{|01}x x <<B 、}210|{<<x x C 、}21|{<x xD 、}121|{<<x x解析：显然S=T ，1211,01x x ∴-<-<∴<<。

高一数学集合易错题汇总及详解

高一数学集合易错题汇总及详解高一数学集合易错题汇总及详解1. 已知2{1,},{1,}M y y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是( A )A. M=PB. P R ∈ C . M ?≠P D. M ?≠P2. （本题满分20分）已知由实数组成的集合A 满足:若x A ∈,则11A x ∈-. (1) 设A 中含有3个元素,且2,A ∈求A;(2) A 能否是仅含一个元素的单元素集,试说明理由.2. 解析：（1）2A ∈ 112A ∴∈-,即1A -∈,11(1)A ∴∈--, 12A ∈即, 1{2,1,}.2A ∴=- （2）假设A 中仅含一个元素，不妨设为a, 则1,1a A A a∈∈-有又A 中只有一个元素11a a ∴=- 即210a a -+=此方程0?<即方程无实数根.∴不存在这样的a.3 （本题满分20分）设}01)1(2|{},04|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，若B B A =?，求a 的值3. 解析：∵ B B A =? ∴ B ?A ,由A={0，-4}，∴B=Φ，或B={0},或B={-4}，或B={0,-4}当B=Φ时，方程01)1(222=-+++a x a x无实数根，则△ =0)1(4)1(422<--+a a 整理得 01<+a 解得 1-当B={0}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为0，则=-=+-010)1(22a a 解得 1-=a ；当B={-4}时，方程01)1(222=-+++a xa x有两等根均为-4，则=--=+-1618)1(22a a 无解；当B={0，-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 的两根分别为0，-4，则=--=+-014)1(22a a 解得1=a综上所述：11=-≤a a 或4、集合{}{}2,,,A x x y y R B y y x x R ==∈==∈，则A B ?= （）A 、{}0,1B 、(){}0,1C 、{}0y y ≥D 、?、C 。

(易错题)高中数学必修一第一单元《集合》检测题(包含答案解析)(4)

一、选择题1．已知集合{|0}M y y =≥，2{|1}N y y x ==-+，则MN =（）A ．()0,1B ．[]0,1C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞2．由实数x ，﹣x ，|x | ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，集合A 、B 是U 的子集，且A B U ⋃=，A B ⋂≠∅．若{}3,4=UAB ，则满足条件的集合A 的个数为（）A ．7个B ．8个C ．15个D ．16个4．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-．若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（） A ．3m ≥B ．23m ≤≤C ．3m ≤D ．2m ≥5．对于非空集合P ，Q ，定义集合间的一种运算“★”：{P Q x x P Q =∈★∣且}x P Q ∉⋂．如果{111},{P x x Q x y =-≤-≤==∣∣，则P Q =★（）A ．{12}x x ≤≤∣B ．{01xx ≤≤∣或2}x ≥ C ．{01x x ≤<∣或2}x > D ．{01xx ≤≤∣或2}x > 6．已知集合{}4A x a x =<<，{}2|560B x x x =-+>，若{|34}A B x x ⋂=<<，则a 的值不可能为（）A B CD ．37．已知集合123,,A A A 满足: {}*123|19A A A x N x =∈≤≤,且每个集合恰有3个元素,记()1,2,3i A i =中元素的最大值与最小值之和为()1,2,3i M i =,则123M M M ++的最小值为（） A ．21B ．24C ．27D ．308．已知集合A ={x |-3≤x -1＜1}，B ={-3，-2，-1，0，1，2}，若C ⊆A ∩B ，则满足条件的集合C的个数是（）. A ．7B ．8C ．15D ．169．已知集合{}2,xA y y x R ==∈,{}148x B x -=≤，则A B =（）A ．5(,)2-∞ B ．5[0,]2C ．7(0,]2D ．5(0,]210．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是和美集合，集合111,0,,,1,323M ⎧⎫⎨=⎩-⎬⎭的所有非空子集中是和美集合的个数为（） A ．4B ．5C ．6D ．711．设U 为全集，()UB A B =，则A B 为（）A ．AB ．BC ．UBD ．∅12．已知集合{0,1,2,3,4},{|21,}A B x x n n A ===+∈，则AB 等于（）A ．{}1,3,5B ．{}3C ．{}5,7,9D ．{}1,3二、填空题13．已知,a b ∈R ，若{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为_____________. 14．设不等式20x ax b ++≤的解集为[]A m n =，，不等式()()2101x x x ++>-的解集为B ，若()(]213A B A B =-+∞=，，，∪∩，则m n +=__________. 15．已知集合(){}22330,,A x x a x a a R x R =+--=∈∈，集合(){}22330,,B x x a x a a a R x R =+-+-=∈∈，若,A B A B ≠⋂≠∅，则A B =_______16．设全集{|35}Ux x =-≤≤，集合1{|||1},{|0}2A x xB x x =≤=>+，则()UC A B ⋂=_____________．17．对于集合M ，定义函数1()1M x Mf x x M ∈⎧=⎨-∉⎩，对于两个集合M 、N ，定义集合{|()()1}M N M N x f x f x *=⋅=-,用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数,若{1,2,4,8}A =,{2,4,6,8,10}B =,则能使()()Card X A Card X B *+*取最小值的集合X 的个数为________.18．已知集合{|||1,}A x x a x R =-<∈，2{|1,}1x aB x x R x -=<∈+，且A B =∅，则实数a 的取值范围是________.19．已知集合{}A a =-，,2||b aB a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，且A B =，则a b +=______。

(完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析

集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下：1．代表元素意义不清致误例1 设集合A ＝｛（x , y ）∣x ＋2 y ＝5｝，B ＝｛（x , y ）∣x －2 y ＝－3｝，求A I B ．错解：由⎩⎨⎧-=-=+3252y x y x 得⎩⎨⎧==21y x 从而A I B ＝{1，2}．分析上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集，所以A I B ＝{(1，2)}例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．错解：显然Ａ＝｛y ∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x ∣ｙ≥２｝．所以A ∩B=B ．分析错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ，从而A ＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B 中的元素为x , 所以B ＝{ x ∣x ≥0}，故A ∩B=A ．变式：已知集合}1|{2+==x y y A ，集合}|{2y x y B ==，求B A I解：}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ，R y x y B ===}|{2}1|{≥=y y B A I例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2=--=x x x B ，判断A 与B 的关系。

错解：}32{，-==B A分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。

集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故A 与B 不具包含关系。

例4设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A错解：B分析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x|x ⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，从集合与集合的角度来看待A 与B ，集合A 的元素属性是集合，集合B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B 与Ａ，∴B ∈A.评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错．2 忽视集合中元素的互异性致错例5 已知集合A={１，3，a }，B={１，2a －a ＋１}, 且A ⊇B ，求a 的值．错解：经过分析知，若2a －,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a ．若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a ．从而a ＝－１，１，２．分析当a ＝１时，A 中有两个相同的元素1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故a ＝－１，２．例6 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和．错解：由2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得（ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０（１）当ｂ＝０时，ｘ1 ＝x 2 －１，此时Ａ中的元素之和为－２．（２）当ｂ≠０时，ｘ1 ＋x 2 ＝－ｂ－２．分析上述解法错在（１）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－１，集合Ａ＝｛－１｝，故元素之和为－１，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

集合数学知识点高一易错题

集合数学知识点高一易错题在高一的数学学习中，集合是一个重要的知识点。

然而，由于集合的概念较为抽象，常常容易出现易错题。

本文将就高一数学中的集合知识点，列举一些易错题并给出解析，希望能帮助同学们更好地理解和掌握集合的相关概念。

1. 题目：已知集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，求A∪B。

解析：集合的并运算表示两个集合中所有的元素的组合，即包括两个集合的所有元素，并去除重复。

根据题目给出的集合A和集合B，可以得到它们的并集A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

2. 题目：已知集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，求A∩B。

解析：集合的交运算表示两个集合中共有的元素，即取两个集合中的公共部分。

根据题目给出的集合A和集合B，可以得到它们的交集A∩B={3}。

3. 题目：已知集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，求A-B。

解析：集合的差运算表示从一个集合中去掉另一个集合中出现的元素，即A中去掉与B中元素重复的部分。

根据题目给出的集合A和集合B，可以得到A-B={1, 2}。

4. 题目：已知集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，求B-A。

解析：与上一题类似，集合的差运算表示从一个集合中去掉另一个集合中出现的元素，即B中去掉与A中元素重复的部分。

根据题目给出的集合A和集合B，可以得到B-A={4, 5}。

5. 题目：已知集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，集合C={1, 2, 3, 4, 5}，判断A∪B=C是否成立。

解析：根据题目给出的集合A、集合B和集合C，A∪B的结果为{1, 2, 3, 4, 5}，而集合C也是{1, 2, 3, 4, 5}，因此A∪B=C成立。

通过以上几个例题的解析，我们可以看到，在高一数学中的集合知识点中，易错题主要集中在对交、并、差等操作的理解上。

掌握了这些操作的定义和性质，能够准确地运用集合的相关概念进行问题的求解。

人教版高一数学集合重点易错题

(每日一练)人教版高一数学集合重点易错题单选题1、若P={x|x<1}，Q={x|x>1}，则A．P⊆Q B．Q⊆P C．C R P⊆Q D．Q⊆C R P答案：D解析：利用集合的补集的定义求出P的补集；利用子集的定义判断出Q⊆∁R P．解：∵P={x|x<1}，∴∁R P={x|x⩾1}，∵Q={x|x>1}，∴Q⊆∁R P，故选：D．小提示：本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系．2、已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|3﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，2，3）C．{1，2，3，4}D．{1}答案：A解析：根据集合交集定义直接求解，即得结果.因为A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x<3}，所以A∩B＝{1，2}故选：A.小提示：本题考查交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.3、集合A={0,−1,a2},B={−2,a4}.若A∪B={−2,−1,0,4,16}，则a=（）A．±1B．±2C．±3D．±4答案：B解析：根据并集运算，结合集合的元素种类数，求得a的值.由A∪B={−2,−1,0,4,16}知，{a2=4，解得a=±2a4=16故选：B填空题4、设P为非空实数集满足：对任意给定的x、y∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P，则称P为幸运集.①集合P={−2,−1,0,1,2}为幸运集；②集合P={x|x=2n,n∈Z}为幸运集；③若集合P1、P2为幸运集，则P1∪P2为幸运集；④若集合P为幸运集，则一定有0∈P；其中正确结论的序号是________答案：②④解析：①取x=y=2判断；②设x=2k1∈P,y=2k2∈P判断；③举例P1={x|x=2k,k∈Z},P2={x|x=3k,k∈Z}判断；④由x、y可以相同判断；①当x=y=2，x+y=4∉P，所以集合P不是幸运集，故错误；②设x=2k1∈P,y=2k2∈P，则x+y=2(k1+k2)∈A,x−y=2(k1−k2)∈A,xy=2k1⋅k2∈A，所以集合P是幸运集，故正确；③如集合P1={x|x=2k,k∈Z},P2={x|x=3k,k∈Z}为幸运集，但P1∪P2不为幸运集，如x=2,y=3时，x+y=5∉P1∪P2，故错误；④因为集合P为幸运集，则x−y∈P，当x=y时，x−y=0，一定有0∈P，故正确；所以答案是：②④小提示：关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的x、y∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x−y∈P，xy∈P”，灵活运用举例法.5、已知集合A={0,m,m2−5m+6}，且2∈A，则实数m的值为___________.答案：1或4##4或1解析：根据2∈A可得m=2或m2−5m+6=2，求出m的值再检验是否满足元素互异性即可求解.因为A={0,m,m2−5m+6}，2∈A，所以m=2或m2−5m+6=2，当m=2时，A={0,2,0}不满足元素互异性，所以m=2不符合题意，当m2−5m+6=2时，m=1或m=4，当m=1时，A={0,1,2}符合题意，当m=4时，A={0,4,2}符合题意，所以实数m的值为1或4，所以答案是：1或4.。

高一集合__易错题解析

高一数学----集合的“三性”及应用集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错．下面就集合元素的这三个性质及应用加以说明．一、注意正确理解其意义1．确定性：即对任意给定的对象，相对于某个集合来说，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一，关键是理解“确定”的含义．2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），即同一个集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入任一个集合时，只能作为这个集合的一个元素．3．无序性：由于集合中元素是确定且是互异的，元素完全相同的集合是相等的集合，因此，集合中的元素与顺序无关．二、注意正确利用三性解题例1下列命题正确的有哪几个？⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合｛1，5｝与集合｛5，1｝是不同的集合；⑶集合｛（1，5）｝与集合｛（5，1）｝是同一个集合；⑷由1，，，∣－∣，0.5 这些数组成的集合有5个元素．分析：这类题目主要考查对集合概念的理解，解决这类问题的关键是以集合中元素的确定性、互异性、无序性为标准作出判断．解：⑴很小是一个模糊概念，没有明确的标准，故我们很难确定某一个对象是否在其中，不符合集合元素的确定性，因此，“很小的实数”不能构成集合，故⑴错．⑵｛1，5｝是由两个数1，5组成的集合，根据集合元素的无序性，它与｛5，1｝是同一个集合，故⑵错．⑶｛（1，5）｝是由一个点（1，5）组成的单元素集合，由于（1，5）与（5，1）表示两个不同的点，所以｛（1，5）｝和｛（5，1）｝是不同的两个集合，故⑶错．⑷＝，∣－∣＝0.5，因此，由1，，，∣－∣，0.5 这些数组成的集合为｛1，，0.5｝，共有3个元素．因此，⑷也错．例2已知集合A＝｛，＋，＋2｝，B＝｛，，｝，其中，A＝B，求的值．分析：本题最常见的错误是认为这两个集合的对应项相同，列出相应的关系式，然后求出的值，这显然违背了集合的无序性．解：∵A＝B，及集合元素的无序性，∴有以下两种情形：①消去，解得＝1，此时＝＝，与集合中元素的互异性矛盾，∴1．②消去，解得＝－，或＝1（舍去），故的值为－．评注：本题中，利用集合元素的无序性和两集合相等时的元素特征，得出两个方程组，打开了解题的大门，求出值后，又利用了集合元素的互异性进行检验，保证了所求的结果的准确性．例3设A＝｛x∣＋（b＋2）x＋b＋1＝0，bR｝，求A中所有元素之和．错解：由＋（b＋2）x＋b＋1＝0得（x＋1）（x＋b＋1）＝0 （1）当b＝0时，x1 ＝x2－1，此时A中的元素之和为－2．（2）当b0时，x1 ＋x2＝－b－2．分析上述解法错在（1）上，当b＝0时，方程有二重根－1，集合A＝｛－1｝，故元素之和为－1，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．例4已知集合{2，3,+4+2}，B＝{0,7, +4-2,2-}，且AB={3,7},求值．分析：∵AB={3,7}∴+4+2=7．即=1，或=－5．至此不少学生认为大功告成，事实上，这只求出了集合A，集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步检查．当=－5时,2－=7，在B中重复出现,这与元素的互异性相矛盾，故应舍去=－5．当=1时, B={0,7,3,1} 且AB={3,7}∴=1评注：集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里．集合与函数、导数部分易错题分析1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2．你会用补集的思想解决有关问题吗？3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？[问题]:、、的区别是什么？4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？[问题]:如何解不等式：？6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对称轴进行讨论了吗？7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？[问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别.什么是映射、什么是一一映射？[问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作个A到B上的映射，那么可以作个A到B上的一一映射.9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？[问题]：已知函数求函数的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位）[问题]：已知函数图象与的图象关于直线.10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗?[问题]：已知函数上，恒有，则实数取值范围是：。

集合重点难点易错题完整版

集合与简易逻辑（重点、易错点）一．集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q中元素的有________个。

（答：8）（2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________ （答：5,1<->n m ）；（3）非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_ _个（答：7）二．遇到A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时，你是否忘记∅=A 的情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝__ _.（答：10,1,2a =）已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R}，若A∩R *=∅，则实数m 的取值范围是_________．（答：m>－4）三．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n.22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有___个。

（答：7）四．集合的运算性质：⑴A B A B A =⇔⊆； ⑵A B B B A =⇔⊆； ⑶A B ⊆⇔B C A C U U ⊇；⑷B A B C A U ⊆⇔Φ=⋂； ⑸B A U B A C U ⊆⇔=⋃； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C AB C A C B =.如：（1）设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝__ __，B ＝__ _. （答：{2,3}A =，{2,4}B =）（2）设全集U={x|0<x<10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩C U B={1，5，7}，C U A∩C U B={9}，则集合A 、B 是________．（答：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}）五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。

(完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析

错解：}32{，-==B A分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。

集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故A 与B 不具包含关系。

高中数学各章易错点精析1-集合

第1章集合【易错点1：集合的表示】0是一个实数，φ表示空集，{}0表示的是含一个元素0的单元素集，0 是向量，四者的含义要辩清。

例1、能够表示方程组⎩⎨⎧=-=+17y x y x 的解集的是。

错解：①{}4,3、②(){}4,3、③⎩⎨⎧==34y x 、④{}3,4==y x分析：①表示有2个元素的集合，②解错，③虽然是方程组的解，但不是集合的形式，④中的元素是两个方程。

【易错点2：集合代表元素的属性】例2. 已知集合{}{}R x y y Q R x x y y P x∈==∈==,2|,,|2，求Q P .【分析：集合P 、Q 分别表示函数2x y =与xy 2=在定义域R 上的值域，所以),0[+∞=P ，),0(+∞=Q ，),0(+∞=Q P .】例3. 设集合211A y y x x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭R ，，{}B x y x =∈R ，则AB =___________.【分析：集合A 表示函数112+=x y 的定义在R 上的值域，即]1,0(=A ，B 表示1-=x y 的定义域，即[)+∞=,1b ，所以A B ={}1】【易错点3：忽视集合元素的性质】忽视集合元素的性质：互异性、无序性、确定性。

例4. 已知+∈∈R y R x ,，集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--=---++=1,2,,1,,12y y y B x x x x A ，若A=B ，则22y x +的值是（）A. 5B. 4C. 25D. 10【A 】例5. 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，则实数a ＝________. 【由∁U A ＝{5}，得5∈U 且5∉A ，a 2＋2a －3＝5且|2a －1|≠5，解得a ＝2，或a ＝－4. 当a ＝－4时，集合A ＝{9,2}，U ＝{2,3,5}，显然不符合题意．故a ＝2.另解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2a －1|＝3，a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2】【易错点4：忽视空集】例6. 若}2|{},|{2>=<=x x B a x x A 且∅=B A ，求a 的取值范围.【答案：4≤a 】【分析：集合A 有可能是空集.当0≤a 时，∅=A ，此时∅=B A 成立；当0>a 时，),(a a A -=，若∅=B A ，则2≤a ，有40≤<a .综上知，4≤a .注意：在集合运算时要注意学会转化B A A B A ⊆⇔= 等.】例7. a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的（）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.【分析：不要忘记两个不等式均无解。

高一数学错题笔记

高一数学错题笔记易错题型一：集合与常用逻辑用语【典型例题】1. 已知集合M={y |y =x 2＋1,x ∈R},N={y|y =x ＋1,x ∈R}，则M ∩N=（）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y ≥1} 【错解】求M ∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧==21y x ∴选B 【易错分析】在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y )，因此M 、N 是数集而不是点集, M 、N 分别表示函数y =x 2＋1(x ∈R)，y =x ＋1(x ∈R)的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集．【正确答案】M={y |y =x 2＋1,x ∈R}={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x ∈R}={y|y ∈R}． ∴M ∩N={y |y ≥1}∩{y|(y ∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D 。

注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R}、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的。

分别求解二次函数的值域和一次函数的值域化简集合M和集合N，然后直接利用交集的运算求解。

2. 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．【错解】由x2－3x＋2=0得x=1或2。

当x=1时，a=2，当x=2时，a=1。

【易错分析】上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A。

当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}。

【正确答案】∵A∪B=A ∴B A 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}1或∴C={0，1，2}∴B=或{}{}2【解析】解二次方程x2﹣5x+6＝0可以求出集合A，根据A∪B＝A可得B⊆A，分B＝{2}、B ＝{3}、B＝Φ，三种情况分别求出对应的a值，即可求出实数a组成的集合C。

(完整版)集合易错题

集合中的易错之处管雨坤集合是现代数学的基础，它与高中数学的许多内容有着广泛的联系，作为一种思想、语言和工具，集合的知识已经渗透到自然科学的众多领域。

它是高中阶段数学的第一个内容，集合概念抽象，符号术语多，对于初学集合的同学来说，常常因为概念不清晰，理解不透彻，解题思路不严谨，容易造成错误。

针对学习中的薄弱环节，本文列出易忽视之处，希望能帮助同学们加深理解，提高学习效果。

1. 忽视代表元素的属性例1. 集合M y y x x R ==∈{|}2，，N y y x x R ==-∈{|||}2，，则M N ⋂=（）A. {()}-11，B. {()()}-1111，，，C. {|}y y 02≤≤D. {|}y y ≥0 错解：由y x y x ==-⎧⎨⎩22||解得x y =-=⎧⎨⎩11或x y ==⎧⎨⎩11 选B分析：注意到两个集合中的元素y 都是各自函数的函数值，因此，M N ⋂应是y x =2和y x =-2||这两个函数的值域的交集，而不是它们的交点。

由于M y y =≥{|}0，N y y =≤{|}2，所以M N y y ⋂=≤≤{|}02，选C 。

2. 忽视元素的互异性例2. 已知集合A x xy xy ={lg()}，，，B x y ={||}0，，，若A ＝B ，求实数x ，y 的值。

错解：因为lg()xy 有意义，所以xy>0，从而x ≠0，故xy ＝1又由A ＝B 得x x xy y ==⎧⎨⎩||或x y xy x ==⎧⎨⎩|| 所以x y ==1或x y ==-1分析：由于同一集合中的元素不同（互异性），而以上解法中，当x y ==1时，x xy =，||x y =分别使集合A ，B 中出现了相同元素，故应舍去，所以只能取x y ==-1。

3. 忽视空集例3. 若集合M x x x =--={|}25302，N x mx x R ==∈{|}1，，且N M ⊂≠，求实数m 的值。

通用版高中数学必修一集合易错知识点总结

(每日一练)通用版高中数学必修一集合易错知识点总结单选题1、已知集合A={x|1<x<2}，集合B={x|x>m}，若A∩(∁R B)=∅，则m的取值范围为（）A．(−∞,1]B．(−∞,2]C．[1,+∞)D．[2,+∞)答案：A解析：由题可得A⊆B，再利用集合的包含关系即求.由题知A∩(∁R B)=∅，得A⊆B，则m≤1，故选：A．2、已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|3﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，2，3）C．{1，2，3，4}D．{1}答案：A解析：根据集合交集定义直接求解，即得结果.因为A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x<3}，所以A∩B＝{1，2}故选：A.小提示：本题考查交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.3、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A解析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.解答题4、设n(n⩾2)为正整数，若α=(x1,x2,⋯,x n)满足：①x i∈{0,1,⋯,n−1},i=1,2,⋯,n；②对于1⩽i<j⩽n，均有x i≠x j；则称α具有性质E(n).对于α=(x1,x2,⋯,x n)和β=(y1,y2,⋯,y n)，定义集合T(α,β)={t|t=|x i−y i∣,i=1,2,⋯,n}.（1）设α=(0,1,2)，若β=(y1,y2,y3)具有性质E(3)，写出一个及相应的T(α,β)；（2）设α和β具有性质E(6)，那么T(α,β)是否可能为{0,1,2,3,4,5}，若可能，写出一组α和β，若不可能，说明理由；（3）设α和β具有性质E(n)，对于给定的α，求证：满足T(α,β)={0,1,⋯,n−1}的β有偶数个.答案：（1）答案见解析（2）不存在，理由见解析（3）证明见解析解析：（1）根据性质E(3)的定义可得答案；（2）利用反证法以及性质E(6)的定义推出相互矛盾的结论可得解；（3）通过构造γ=(z1,z2,⋯,z n)，证明当α=(x1,x2,⋯,x n)，β=(y1,y2,⋯,y n)确定时，γ=(z1,z2,⋯,z n)唯一确定，由α,γ也仅能构造出β，即可得证.（1）β=(0,1,2)，T(α,β)={0}；β=(0,2,1)，T(α,β)={0,1}；β=(1,0,2)，T(α,β)={0,1}；β=(1,2,0) T(α,β)={1,2}；β=(2,1,0)，T(α,β)={0,2}.（2）假设存在α=(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6)和β=(y 1,y 2,y 3,y 4,y 5,y 6)均具有性质E(6)，且T(α,β)={0,1,2,3,4,5}，则0+1+2+3+4+5=∑|x i −y i |=156i=1，因为|x i −y i |与x i −y i 同奇同偶，所以∑|x i −y i |6i=1与∑(x i −y i )6i=1同奇同偶，又因为∑|x i −y i |6i=1 =15为奇数，∑(x i −y i )6i=1 =0为偶数，这与∑|x i −y i |6i=1与∑(x i −y i )6i=1同奇同偶矛盾，所以假设不成立.综上所述：不存在具有性质E(6)的α和β，满足T(α,β)={0,1,2,3,4,5}.（3）不妨设α=(x 1,x 2,⋯,x n )与β=(y 1,y 2,⋯,y n )构成一个数表A ，交换数表中的两行，可得数表B ，调整数表各列的顺序，使第一行y 1,y 2,⋯,y n 变为x 1,x 2,⋯,x n ，设第二行变为z 1,z 2,⋯,z n ，令γ=(z 1,z 2,⋯,z n )，则γ具有性质E(n)，且T(α,β)={0,1,2,⋯,n −1}，假设β=(y 1,y 2,⋯,y n )与γ=(z 1,z 2,⋯,z n )相同，则y 1=z 1,y 2=z 2,⋯,y n =z n ，不妨设x 1≠y 1，x 1=y k (k ≠1)，则有z 1=x k ，故|x 1−z 1|=|y k −x k |，因为T(α,β)={0,1,2,⋯,n −1}，所以|x 1−y 1|≠|x i −y i |(i =2,3,⋯,n)，因为y 1=z 1=x k ，所以|x 1−y 1|=|x k −y k |(k ≠1)，与|x 1−y 1|≠|x i −y i |(i =2,3,⋯,n)矛盾. 故对于具有性质E(n)的α=(x 1,x 2,⋯,x n )，若β=(y 1,y 2,⋯,y n )具有性质E(n)，且T(α,β)={0,1,2,⋯,n −1}，则存在一个具有性质E(n)的γ=(z 1,z 2,⋯,z n )，使得T(α,β)={0,1,2,⋯,n −1}，且β=(y 1,y 2,⋯,y n )与γ=(z 1,z 2,⋯,z n )不同，并且由γ的构造过程可以知道，当α=(x 1,x 2,⋯,x n )，β=(y 1,y 2,⋯,y n )确定时，γ=(z 1,z 2,⋯,z n )唯一确定，由α,γ也仅能构造出β.所以满足T(α,β)={0,1,⋯,n −1}的β有偶数个.小提示：关键点点睛：理解性质E(n)的定义，通过构造法解题是解题关键.5、在①B ⊆(∁R A )，②(∁R A )∪B =R ，③A ∩B =B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若问题中的实数a 不存在，请说明理由.已知集合A ={x |x 2−5x +4≤0}，B ={x |a +1<x <2a −1}，是否存在实数a ，使得________？答案：答案见解析.解析：若选①：求出∁R A ，分B =∅和B ≠∅两种情况，列出不等式组可得答案；若选②：由(∁R A )∪B =R ，得B ≠∅，列出不等式组可得答案；若选③：由A ∩B =B 可知B ⊆A ，分B =∅和B ≠∅列出不等式组可得答案.集合A ={x |x 2−5x +4≤0}={x |1≤x ≤4}.若选①：∁R A ={x |x <1或x >4}，由B ⊆(∁R A )得，当B =∅时，a +1≥2a −1，解得a ≤2；当B ≠∅时，{a +1<2a −12a −1≤1 或{a +1<2a −1a +1≥4，解得a ∈∅或a ≥3，所以实数a 的取值范围是[3,+∞).综上，存在实数a ，使得B ⊆(∁R A )，且a 的取值范围为(−∞,2]∪[3,+∞).若选②：∁R A ={x |x <1或x >4}，由(∁R A )∪B =R ，得B ≠∅，所以{2a −1>4a +1<1，解得a ∈∅，所以不存在实数a ，使得(∁R A )∪B =R . 若选③：由A ∩B =B 可知B ⊆A ，当B =∅时，a +1≥2a −1，解得a ≤2；当B ≠∅时，{a +1<2a −1a +1≥12a −1≤4，解得2<a ≤52. 综上，存在实数a ，使得A ∩B =B ，且a 的取值范围为(−∞,52].小提示：本题考查了集合的运算，解题关键点是对于B ⊆(∁R A )和(∁R A )∪B =R 中含有参数的集合要分情况进行讨论，要熟练掌握集合间的基本运算.。

(完整版)集合易错题

针对学习中的薄弱环节，本文列出易忽视之处，希望能帮助同学们加深理解，提高学习效果。

1. 忽视代表元素的属性例 1.集合M {y|y x2，x R}，N {y|y 2 |x|，x R}，则M N ( )A. {( 1, 1)}B. {( 1, 1)，(1, 1)}C. {y|0 y 2}D. {y|y 0}2错解：由y x y 2 |x|” e x 1 亠x 1解得或y 1 y 1选B分析：注意到两个集合中的元素y都是各自函数的函数值，因此，M N应是y x2和y 2 |x|这两个函数的值域的交集，而不是它们的交点。

由于M {y|y 0}，N {y|y 2}，所以M N {y|0 y 2}，选C。

2. 忽视元素的互异性例 2.已知集合A {x, xy, lg(xy)} , B {0, |x|, y}，若 A = B,求实数x, y 的值。

错解：因为lg(xy)有意义，所以xy>0，从而x 0,故xy = 1, ,口x |x| 亠x y又由A = B得 I或『xy y xy |x|所以x y 1或x y 1分析：由于同一集合中的元素不同(互异性) ，而以上解法中，当x y 1时，x xy ,|x| y分别使集合A, B中出现了相同元素，故应舍去，所以只能取x y 1。

3. 忽视空集例 3.若集合M {xRx2 5x 3 0} , N {x|mx 1, x R}，且N M，求实数m的值。

1 1 1 1错解：因为M { - , 3}，所以或32 m 2 m1即m 2或m — 3分析：上面的解法中漏掉了 N 即m 0的情形，因为空集是任何非空集合的真子集,1所以m 2或m 一或m = 0。

(易错题)高中数学必修一第一单元《集合》测试(包含答案解析)

一、选择题1．已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（） A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，2．若集合{}2560A x x x =+-=，{}222(1)30B x x m x m =+++-=.若{}1A B ⋂=,求实数m 的值为（） A ．0B ．-2C ．2D ．0或-23．设全集{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}2,5B =，则()U AC B ⋂等于（） A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}1,34．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-．若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（） A ．3m ≥B ．23m ≤≤C ．3m ≤D ．2m ≥5．已知集合302x A xx ⎧⎫+⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}B y y m =<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围为( ) A ．()2∞+， B ．[)2∞+，C ．()3∞-+，D ．[)3∞-+，6．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做A 的幂集，记为()P a ，用()n A 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：（1）对于任意集合A ，都有()A P A ∈；（2）存在集合A ，使得()3nP A =；（3）若AB =Φ，则()()P A P B ⋂=Φ；（4）若A B ⊆，则()()P A P B ⊆；（5）若()()1n A n B -=，则[][]()2()n P A n P B =.其中正确命题的序号为（）A ．（1）（2）（5）B ．（1）（3）（5）C ．（1）（4）（5）D ．（2）（3）（4）7．对于下列结论：①已知∅ 2{|40}x x x a ++=，则实数a 的取值范围是(],4-∞； ②若函数()1y f x =+的定义域为[)2,1-，则()y f x =的定义域为[)3,0-；③函数2y =的值域是(],1-∞；④定义：设集合A 是一个非空集合，若任意x A ∈，总有a x A -∈，就称集合A 为a 的“闭集”，已知集合{}1,2,3,4,5,6A ⊆，且A 为6的“闭集”，则这样的集合A 共有7个．其中结论正确的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知全集U =R ，集合(){}{}20,1A x x x B x x =+<=≤，则图中阴影部分表示的集合是（）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,19．已知3(,)|32y M x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{(,)|20}N x y ax y a =++=，且M N ⋂=∅，则实数a =（） A ．6-或2-B ．6-C ．2或6-D ．210．集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是（） A ．{}a |0a 6≤≤ B ．{}|24a a a ≤≥或C ．{}|06a a a ≤≥或D ．{}|24a a ≤≤11．从含有3个元素的集合{},,a b c 的所有子集中任取一个，所取得子集是含有2个元素的集合的概率（） A ．310B ．112C ．4564D ．3812．已知集合{0,1,2,3,4},{|21,}A B x x n n A ===+∈，则A B 等于（）A ．{}1,3,5B ．{}3C ．{}5,7,9D ．{}1,3二、填空题13．对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．14．设不等式20x ax b ++≤的解集为[]A m n =，，不等式()()2101x x x ++>-的解集为B ，若()(]213A B A B =-+∞=，，，∪∩，则m n +=__________.15．已知集合()2{}2|1A x log x =-<，{|26}B x x =<<，且AB =________．16．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若U x A ∈，则2Ux A ∉，则同时满足条件①②③的集合A 的个数为______17．若规定{}1210E a a a =⋯，，，的子集{}12,,n k k k a a a 为E 的第k 个子集,其中12111222n k k k k ---=++⋯+，则E 的第211个子集是____________. 18．已知全集U =R 集合1|1A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则UA_______.19．若集合2{320}A x ax x =++=中至多有一个元素，则a 的取值范围是__________．20．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k | n ∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]； ②－3∈[3]； ③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确的结论是________．三、解答题21．已知全集为R ，集合{}26A x x =≤≤， {}3782B x x x =-≥-. （1）求AB ， ()RC A B ⋂；（2）若{}44M x a x a =-≤≤+，且R A C M ⊆，求a 的取值范围.22．在①{}23B x x =-<<，②{}35RB x x =-<<，③{}26B x x a =≥+且{}A B x x a ⋃=>这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：已知非空集合{}8A x a x a =<<-，______，若A B =∅，求a 的取值集合．23．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22210B x x mx m =-+-≤. （1）若332A B x x ⎧⎫⋃=-≤≤⎨⎬⎩⎭，求实数m 的值；（2）x A ∈是x B ∈的________条件，若实数m 的值存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.(请在①充分不必要，②必要不充分，③充要；中任选一个，补充到空白处) 24．已知命题p ：x ∈A ＝{x|a －1＜x ＜a ＋1，x ∈R}，命题 q ：x ∈B ＝{x|x 2－4x ＋3≥0}． (1)或A∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，求实数a (2)若是p 的必要条件，求实数a.25．已知p ：x ∈A={x|x 2﹣2x ﹣3≤0，x ∈R}，q ：x ∈B={x|x 2﹣2mx+m 2﹣9≤0，x ∈R ，m ∈R}．（1）若A∩B=[1，3]，求实数m 的值；（2）若p 是¬q 的充分条件，求实数m 的取值范围．26．已知集合2211{|}A x x =-≤-≤，集合{}11B x a x a =-<<+.（1）若1a =，试通过运算验证：()()()RRR A B A B =；（2）若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】解方程求得集合A ，分别在B =∅和B ≠∅两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果. 【详解】由2230x x --=得：1x =-或3x =，即{}1,3A =-； ①当0a =时，B =∅，满足B A ⊆，符合题意； ②当0a ≠时，{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，11a ∴=-或13a =，解得：1a =-或13a =；综上所述：实数a 的值构成的集合是11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误.2．D解析：D 【分析】根据A ∩B ＝{1}可得出，1∈B ，从而得出1是方程x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0的根，1代入方程即可求出m 的值；【详解】 A ＝{﹣6，1}； ∵A ∩B ＝{1}； ∴1∈B ；即1是方程x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0的根； ∴1+2（m +1）+m 2﹣3＝0； ∴m 2+2m ＝0；∴m ＝0或m ＝﹣2；当m ＝0时，B ＝{﹣3，1}，满足A ∩B ＝{1}；当m ＝﹣2时，B ＝{1}，满足A ∩B ＝{1}； ∴m ＝0或m ＝﹣2；故选：D 【点睛】考查交集的定义及运算，元素与集合的关系，描述法、列举法的定义，一元二次方程实根的情况,是基础题．3．D解析：D 【解析】【分析】由集合的补集的运算，求得{1,3,4}U C B =，再利用集合间交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}2,5B =，则{1,3,4}UC B =，所以(){}1,3U A C B ⋂=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记的集合的运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C解析：C 【分析】讨论,B B =∅≠∅两种情况，分别计算得到答案. 【详解】当B =∅时：1212m m m +>-∴< 成立；当B ≠∅时：12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：23m ≤≤.综上所述：3m ≤ 故选C 【点睛】本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.5．B解析：B 【分析】求出集合A ，由A B ⊆，结合数轴，可得实数m 的取值范围.解不等式302x x +≤-，得32x -≤<，[)3,2A ∴=-. A B ⊆，可得2m ≥.故选：B . 【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.6．C解析：C 【分析】直接利用新定义判断五个命题的真假即可．【详解】由P （A ）的定义可知①正确，④正确，设n （A ）＝n ，则n （P （A ））＝2n ，∴②错误，若A ∩B ＝∅，则P （A ）∩P （B ）＝{∅}，③不正确； n （A ）﹣n （B ）＝1，即A 中元素比B 中元素多1个，则n [P （A ）]＝2×n [P （B ）]．⑤正确，故选：C ．【点睛】本题考查集合的子集关系，集合的基本运算，新定义的理解与应用．7．D解析：D 【分析】A ．考虑方程有解的情况；B ．根据抽象函数定义域求解方法进行分析；C ．根据二次函数的取值情况分析函数值域；D ．根据定义采用列举法进行分析. 【详解】①由∅ 2{|40}x x x a ++=可得²40x x a ++=有解，即2440a ∆=-，解得4a ≤，故①正确；②函数()1y f x =+的定义域为[)2,1-，则21x，故112x -≤+<，故()y f x =的定义域为[)1,2-，故②错误；③函数21y ==[)1,+∞，故(]2,1y =--∞，故③正确；④集合{}1,2,3,4,5,6A ⊆且A 为6的“闭集”，则这样的集合A 共有{}3，{}1,5，{}2,4，{}1,3,5，{}2,4,6，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共7个，故④正确．故正确的有①③④．故选：D ．本题考查命题真假的判定，考查集合之间的包含关系，考查函数的定义域与值域，考查集合的新定义，属于中档题．8．C解析：C 【分析】由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出()U C A B 、()A B ⋃，然后求交集即可.【详解】(){}20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，{|21}A B x x ⋃=-<≤，∴(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或01}x ≤≤，故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.9．A解析：A 【解析】【分析】先确定集合M,N,再根据M N ⋂=∅确定实数a 的值. 【详解】由题得集合M 表示(32)3y x -=-上除去(2)3，的点集，N 表示恒过(10)-，的直线方程．根据两集合的交集为空集：M N ⋂=∅.①两直线不平行，则有直线20ax y a ++=过(2)3，，将2x =，代入可得2a =-， ②两直线平行，则有32a-=即6a =-，综上6a =-或2-，故选：A ．【点睛】本题主要考查集合的化简和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10．C解析：C 【解析】|x-a|<1,∴a-1<x<a+1,∵A∩B=∅. ∴a-1≥5或a+1≤1,即a≤0或a≥6.故选C.11．D解析：D 【分析】含有3个元素的集合{},,a b c 共有子集个数328=，含有2个元素的子集有3个，根据古典概型即可计算. 【详解】因为含有3个元素的集合{},,a b c 共有子集个数328=，含有2个元素的子集有3个，所以38P =,故选D. 【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，古典概型，属于中档题.12．D解析：D 【分析】首先求得集合B ，然后进行交集运算即可. 【详解】由题意可得：{}1,3,5,7,9B =，则{}1,3A B =.故选D . 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】先求出和再计算【详解】由已知则∴故答案为：【点睛】本题考查集合的新定义解题关键是理解新定义运算把新运算转化为集合的运算解析：[3,1)(3,)--+∞【分析】先求出A B -和B A -，再计算A B ∆ 【详解】由已知{|1}A y y =≥-，则{|3}(3,)A B y y -=>=+∞，{|31}[3,1)B A y y -=-≤<-=--，∴()()[3,1)(3,)A B A B B A ∆=--=--+∞，故答案为：[3,1)(3,)--+∞【点睛】本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义运算，把新运算转化为集合的运算．14．【分析】计算得到根据得到得到答案【详解】则或即故故故答案为：【点睛】本题考查了不等式的解集根据集合的运算结果求参数意在考查学生的综合应用能力解析：2【分析】计算得到()()2,11,B =--+∞，根据()(]213A B A B =-+∞=，，，∪∩得到[]1,3A =-，得到答案.【详解】()()2101x x x ++>-，则1x >或21x -<<-，即()()2,11,B =--+∞.()(]213A B A B =-+∞=，，，∪∩，故[]1,3A =-，故2m n +=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了不等式的解集，根据集合的运算结果求参数，意在考查学生的综合应用能力.15．【解析】【分析】求出中不等式的解集确定出找出与的交集即可【详解】解：∵∴解得∴∵∴故答案为：【点睛】此题考查了交集及其运算熟练掌握交集的定义是解本题的关键解析：()2,5【解析】【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可．【详解】解：∵()2log 12x -<，∴1014x x ->⎧⎨-<⎩，解得15x <<，∴()1,5A =，∵2{|}()626B x x =<<=，，∴()2,5A B =，故答案为：()2,5. 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．16．8【分析】由条件可得：当则即则即但元素3与集合的关系不确定3属于时6属于的补集；3属于的补集时6属于；而元素5没有限制【详解】由①；②若则；③若则当则即则即但元素3与集合的关系不确定3属于时6属于的解析：8 【分析】由条件可得：当1A ∈，则2A ∉，即2UA ∈，则4U A ∉，即4A ∈，但元素3与集合A的关系不确定，3属于A 时，6属于A 的补集；3属于A 的补集时，6属于A ；而元素5没有限制．【详解】由①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若Ux A ∈，则2Ux A ∉．当1A ∈，则2A ∉，即2UA ∈，则4U A ∉，即4A ∈，但元素3与集合A 的关系不确定，3属于A 时，6属于A 的补集；3属于A 的补集时，6属于A ；而元素5没有限制．{1,4,6},{2,3,5},{2,3},{1,4,5,6},{1,3,4},{2,4,5},{2,A ∴=6},{1,3,4,5}，同时满足条件①②③的集合A 的个数为8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合的关系，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．17．【分析】根据题意分别讨论的取值通过讨论计算的可能取值即可得出答案【详解】而的第个子集包含此时的第个子集包含此时的第个子集包含此时的第个子集包含此时的第个子集包含的第个子集是故答案为：【点睛】本题主要解析：{}12578,,,,a a a a a【分析】根据题意，分别讨论2n 的取值，通过讨论计算n 的可能取值，即可得出答案. 【详解】72128211=<，而82256211=>，E ∴的第211个子集包含8a ，此时21112883-=，626483=<，7212883=>，E ∴的第211个子集包含7a ，此时836419-=，421619=<，523219=>，E ∴的第211个子集包含5a ，此时19163-=，1223=<，2243=>，E ∴的第211个子集包含2a ，此时321-=，021=E ∴的第211个子集包含1a ，E ∴的第211个子集是{}12578,,,,a a a a a .故答案为：{}12578,,,,a a a a a本题主要考查了与集合有关的信息题，理解条件的定义是解决本题的关键.18．【分析】先解分式不等式确定集合A 再求补集即可【详解】则故答案为：【点睛】本题考查补集运算准确求得集合A 是关键是基础题解析：[0,1)【分析】先解分式不等式确定集合A,再求补集即可【详解】()1|1=,0[1,)A x x ⎧⎫=≤-∞⋃+∞⎨⎬⎩⎭，则[0,1)U A故答案为：[0,1)【点睛】本题考查补集运算，准确求得集合A 是关键，是基础题19．或【分析】分情况讨论:当时和当时两种情况;当时由即可求出答案分类讨论最后把的范围合并即可【详解】若则集合符合题意；若则解得故答案为：或【点睛】本题考查集合中元素个数问题;分类讨论和两种情况是求解本题解析：98a ≥或0a = 【分析】分情况讨论:当0a =时和当0a ≠时两种情况;当0a ≠时由0∆≤即可求出答案.分类讨论最后把a 的范围合并即可.【详解】若0a =，则集合2{|320}3A x x ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭，符合题意；若0a ≠，则980a ∆=-≤，解得98a ≥．故答案为：98a ≥或0a =．【点睛】本题考查集合中元素个数问题;分类讨论0a =和0a ≠两种情况是求解本题关键; 0a =时易忽略;属于中档题，易错题. 20．①③④【分析】对各个选项分别进行分析利用类的定义直接求解【详解】在①中∵2014÷5＝402…4∴2014∈4故①正确；在②中∵﹣3＝5×（﹣1）+2∴﹣3∉3故②错误；在③中∵整数集中的数被5除的解析：①③④【分析】对各个选项分别进行分析，利用类的定义直接求解．在①中，∵2014÷5＝402…4，∴2014∈[4]，故①正确；在②中，∵﹣3＝5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误；在③中，∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，∴Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；在④中，∵2015÷5＝403，2010÷5＝402，∴2015与2010属于同一个“类”[0]，故④正确．故答案为①③④．【点睛】本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题．三、解答题21．（1）{}2A B x x ⋃=≥, (){}6R C A B x x x ⋂=或(2) ()(),210,-∞-⋃+∞【分析】（1）先求出集合B ，于是可得A B ⋃和A B ⋂，进而得到()R C A B ⋂；（2）先求出R C M ，再将R A C M ⊆转化为不等式求解，可得所求范围．【详解】（1）∵{}{}37823B x x x x x =-≥-=≥， ∴{}2A B x x ⋃=≥，{}36A B x x ⋂=≤≤，∴(){}3,6R C A B x x x ⋂=或． (2)由题意知M φ≠，且{}4,4R C M x x a x a =-+或. ∵{}26A x x =≤≤，R A C M ⊆，∴46a ->或42a +<，解得10a >或2a <-.故实数a 的取值范围为()(),210,-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查集合的基本运算，解题时根据要求逐步求解即可，其中解答（2）的关键是将集合间的包含关系转化为不等式来求解，容易出现的错误是忽视不等式中的等号能否成立． 22．答案见解析.【分析】选①：本题首先可根据A 是非空集合得出4a <，然后根据A B =∅得出3a ≥或82a -≤-，最后通过计算即可得出结果. 选②：本题首先可以根据A 是非空集合得出4a <，然后根据{}R35B x x =-<<求出集合B ，最后根据A B =∅列出不等式组，通过计算即可得出结果.选③：本题首先可以根据A 是非空集合得出4a <，然后根据题意得出268a a +=-，最后通过计算即可得出结果.【详解】选①：因为A 是非空集合，所以8a a ->，解得4a <，因为{}23B x x =-<<，A B =∅，所以3a ≥或82a -≤-，解得3a ≥或10a ≥，综上所述，a 的取值集合是{}34a a ≤<.选②：因为A 是非空集合，所以8a a ->，解得4a <，因为{}R 35B x x =-<<，所以{3B x x =≤-或}5x ≥，因为A B =∅，所以3854a a a ≥-⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，解得34a ≤<，故a 的取值集合是{}34a a ≤<.选③：因为A 是非空集合，所以8a a ->，解得4a <，因为A B =∅，{}26B x x a =≥+，{}A B x x a ⋃=>，所以268a a +=-，解得2a =-或1，故a 的取值集合是{}2,1-．【点睛】关键点点睛：本题考查根据集合的运算结果求参数的取值范围，若两个集合的交集为空集，则这两个集合没有相同的元素，考查集合的混合运算，考查计算能力，是中档题. 23．（1）12-；（2）答案见解析. 【分析】(1)首先求出集合A 、B ，再根据并集的结果得到方程，解得即可；（2）若选①，则A B ，若选②，B A ，若选③，A B =，得到不等式组，解得即可；【详解】解:（1）对()()2:23013013A x x x x x --≤⇒+-≤⇒-≤≤ 即{}13A x x =-≤≤对()()22:210110B x mx m x m x m -+-≤⇔--⋅-+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 11m x m ⇒-≤≤+，即{}11B x m x m =-≤≤+332A B x x ⎧⎫⋃=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则312m -=-，即12m =- 经检验满足题意.（2）选①，1131m A B m -≤-⎧⇒⎨≤+⎩，此时m 必无解.即不存在实数m ，使得题意成立选②，110213m B A m m -≤-⎧⇒⇒≤≤⎨+≤⎩ 选③，1113m A B m -=-⎧=⇒⇒⎨+=⎩此时m 无解，即不存在实数m ，使得题意成立；【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，并集的结果求参数的值，以及集合的包含关系求参数的取值范围，属于中档题.24．(1) a ＝2；(2) a ＝2【详解】解：(1)由题意得B ＝{x|x≥3或x≤1}，由A∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，可知A ＝∁R B ＝(1,3)∴⇒a ＝2-(2)∵B ＝{x|x≥3或x≤1}，∴：x ∈{x|1＜x ＜3}．∵是p 的必要条件．即p ⇒， ∴A ⊆∁R B ＝(1,3) ∴⇒2≤a≤2⇒a ＝2. 本试题主要考查了命题的真值，以及集合的运算的综合运用，以及二次不等式的求解问题．25．(1)m=4;(2) m ＞6，或m ＜﹣4.【解析】试题分析：（1）化简A=x|﹣1≤x≤3}，B=x|m ﹣3≤x≤m+3}，由A∩B=[1，3]，得到：m=4；（2）若p 是¬q 的充分条件,即A ⊆C R B ，易得：m ＞6，或m ＜﹣4．试题由已知得：A=x|﹣1≤x≤3}，B=x|m ﹣3≤x≤m+3}．（1）∵A∩B=[1，3]∴ ∴， ∴m=4；（2）∵p 是¬q 的充分条件，∴A ⊆C R B ，而C R B=x|x ＜m ﹣3，或x ＞m+3}∴m ﹣3＞3，或m+3＜﹣1，∴m ＞6，或m ＜﹣4．26．（1）见解析；（2）3(,2)2-【分析】（1）先解不等式得集合A ，再分别求并集、补集、交集，根据结果进行验证；（2）结合数轴先求AB =∅情况，再根据补集得结果.【详解】解：A ={2211}x x -≤-≤=1{|1}2x x -≤≤．（1）当1a =时，B ={02}x x <<∴A B =1{|1}2x x -≤≤{02}x x <<=1{|2}2x x -≤< ()R C A B =1{|2x x <-或2}x ≥ 又R C A =1{|2x x <-或1}x >，R C B ={|0x x ≤或2}x ≥ ∴()()R R C A C B =1{|2x x <-或2}x ≥ ∴()R C A B =()()R R C A C B ．（2）若AB =∅，则：112a +≤-或11a -≥ ∴32a ≤-或2a ≥ ∴A B ⋂≠∅时，322a -<<，即实数a 的取值范围3(,2)2-．【点睛】本题考查集合交并补运算以及根据交集结果求参数，考查综合分析求解能力，属基础题.。