相似性原理和因次分析

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32
近似模拟试验
以相似原理为基础的模型实验方法，按
照
流
体
流
动相似的条件，可设计模型和安排试验。
这
些
条
件
是几何相似、运动相似和动力相似。
前两个相似是第三个相似的充要条件，
同
时
满
足
以上条件为流动相似，模型试验的结果方
可
用
到
原
型设备中去。
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33
要做到流动完全相似很难办到（甚至是根本办
比 的例 比尺 例， 尺就 。可由它们M确定 所有动力学量
力矩（功，能）比例 p n
尺
Fl
32
n n
M Mm F l
Fl
l v
mm
FA
压强（应力）比例尺
n
nn
2
2
p p FA
Fl
v
m
mm
P Fv
n
n
功率比例尺
动力粘度比例尺
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n
23
PP F
Fv
l v
m
mm
注意：完全的动力相似，要求惯性力与其他力比值都 相等，但实际 上不可能达到，所以常选一个对流动起决定作用的力 给予满足。
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常用的相似准则
一、重力相似准则（弗诺德准则） 二、粘性力相似准则（雷诺准则） 三、压力相似准则（欧拉准则） 四、弹性力相似准则(柯西准则) 五、表面张力相似准则（韦伯准
似流动中去。
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在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相
似
准
则
，
即
称
之为局部相似。如粘性不可压定常流动的问题，不
考
虑
自
由
面
的
作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准
则
只
考
虑
雷
诺
数，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。
简化模型实验方法中流动相似的条件，除局部相 似之外，还可 采用自模化特性。
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7
1、几何相似（空间相似）
指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原
型和模型及
其流动所有相应的线性长度的比值均相等。
长度比例尺
l
ll
n
m
n ：原型 m ：模型
面积比例尺 体积比例尺
A
n
2
l n
2
A
A m
2
l
l
m
3
Vl
n
0
8-12-4
20
V
n Vlm3
3 l
m
8
满足上述条件，流动才能几何相似
相似和动力相似的流动。
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16
引入牛顿 数
F Ne
2
l
2
v
则有：Ne
n
Ne
m
它 它是 是作作用用力力与惯 与 性力的比值惯 。 性力的比值。
牛顿相似准则：模型与原型的牛顿数相等，这 是流动相似 （动力相似）的重要标志和准则，反之亦然。
流场中有各种性质的力，不论是哪种 力，只要 两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相 似准则。
不到）。比
如，对于粘性不可压缩流体定常流动，尽管只
有两个定性
准则，即Re和Fr， f源自文库Re, ——非定性准则），但
（ Eu
Fr
,常常也是非常困难的。
是要想同时满足 Re , Fr Fr
因为：
Re Re
1
2
Re
1
21
2
vl vl
11
22
1
2
1
×
v1
l
当选用相同的流动介质，即
1
1
v1
l
34
2
即流动满足单值条件； • 3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等 是流
动相似也必须满足的条件。
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模型实验主要解决的问题 ：
1. 根据物理量所组成的相似准则数相等的原则 去设计
模型，选择流动介质； 2. 在实验过程中应测定各相似准则数中包 含的一切物
理量； 数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准 方程式。该方程式便可推广应用到原型及其他相
vt v
重 3
力
g gl
一般取：Fr v l
gL
当重力起主要作用时，动力 相似有：
2v Fr Fr 或 1
n m gl
适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变化的各 种流动 （重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明 槽流动、 紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动等。
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28
解题时应注意：
• 管中流动，还应注意满足相对粗糙度相 等；
• 具有自由面的液体急变流动，一般 采用弗诺 德（重力）模型律；
• 气体从静压箱经孔口淹没出流，计 算原型孔 口出流速度，在高雷诺数自模拟情况 下，则 可采用欧拉数相等；
ρ— • 非 流动等介温质密 射度流；， Δρ采 =ρ-用 ρe， 阿ρ基 e、米 Te 德 —数 周围A介r相 质密 等度，，温
S t
n
St 或
m
l
1
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vt
26
以上给出的牛顿数、弗诺德数、雷诺
数
、
欧
拉
数、柯西数、马赫数、韦伯数、斯脱鲁
哈
数
均
称
为相似准则数。
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• 相似准则：
粘性相似准则：保证两现象的雷诺数相等
重力相似准则：保证两现象的弗诺德数相等
弹性力相似准则：保证两现象的马赫数相等 压 压差 差力 力相 相似 似， ，即 即欧 欧拉 拉数 数相 相等 等往 往往 往是 是两现象动 两 力现 相象 似动 的结果。通常欧拉数是被动准则数。 力相似的结果。通常欧拉数是被动 准则数。
第一节 力学相似性原理（流动
相似）
• 原型：天然水流和实际建筑物称为原型。
• 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系 缩小（或放 大）的代表物，称为模型。
-水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物 或其它建筑 物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然 情况相似的 水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成 果换算和应 用到原型中，分析判断原型的情况。
弗诺德数相等，欧拉数也相等。只有出现负压或存在气蚀
情况的液
体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似。
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23
韦伯（表面张力）准则
表面张力为主导作用力时的相似准则：
惯性 We 力
22
2
l v v l
表面张 l
力
当表面张力起主要作用时，动力相似有：
2
We We 或 v l 1
n
m
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自模化的实质是自身模拟的概念。比如，在圆管
流
动
中
，
当
Re≤2320时，管内流动的速度分布都是一轴对称的旋
转
抛
物
面
。
当Re>50000管内流动状态为紊流状态，进入阻力平方
区
（
自
动
模
拟区），其速度分布基本不随Re变化而变化，故在
这
一
模
拟
区
域
内，不必考虑模型的Re与原型的Re相等否，只要与原
型
的
雷
诺
数
大到一定值即可。
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-试验目的：利用模型水流来模拟和研究原型
水流问题。
-关键问题：模型水流和原型水流保持流动相
似。
• 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理
量（如速度
压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关
系，则这
两个流动就是相似的。
5
流动的力学相似
积流量等
表
征 流
按20 性 质0 分
8
-
动
1 2
则）
六、非定常性相似准则（斯脱鲁
哈准则）
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雷诺（粘滞力）准则
3
惯性力 ma l
Re
v t vl
2
粘滞 du l v l
力
A dy
式中： l——为流场中的特征线性长度
Re——雷诺数
当粘滞力起主要作用时，动力相 n Re 似有： Re
或 m
vl
1
适用范围：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流
n
nn
m
l v
mm
14
v
4、初始条件和边界条件的相 似
• 初始条件：适用于非恒定流。 • 边界条件：有几何、运动和动力 三个方面 的因素。
例如：固体边界上的法线流速为零， 自由液 面上的压强为大气压强等 。
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15
流动相似的含义
• 几何相似是运动相似和动力相似 的前提与 依据； • 动力相似是决定二个流动相似 的主导因 素； • 运动相似是几何相似和动力相似的表 现； • 凡流动相似的流动，必是几何相 似、运动
nn
l
2
lv
l t
m mn
t
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12
3、动力相似（时间相似）
指运动相似流场中，对应空间点上、对应瞬时
作用在两相
似几何微团的同名力方向相同，其大小比值相
等。
力的比例尺
F ma
n
n
n
3
2
22
×
F F ma
l l t
l v
m
mm
2
动力场相似
有 有了 了模 模型 型与 与原 原型 型的 的密 密度 度比 比例 例尺 尺， ，长长度度比比例例尺和 尺 比和 例速 尺度 ，就可由它们确定所有动力学量的比例
实验方法以及量纲分析法。
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3
相似原理与量纲分析
• 对于复杂的实际工程问题，直接应用 基本方 程求解，在数学上极其困难，因此需有 赖于 实验研究来解决。本章主要阐述有关实 验研 究的基本理论和方法，包括流动相似原 理， 相似准则，量纲和谐原理及量纲分析 方法等。
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4
过
4
程
的
物
理
量
描
描 述 几 何
述 描述 运 动力 动 特征 状的
形 状
态 的如 力 力质 、 、量 表 动面 量
的如 等
如 长 度 面 积 体 积 等、 、速 度 、 加 速 度 、 体
动
几何
相
相 运
似似
动
应 满 足
相
似
的 条
动
力
件
流
相似
6
模型和原型保证流动相似，应满足：
1. 几何相似 2. 运动相似 3. 动力相似 4. 初始条件和边界条件相似
动
，
凡
是
有
压
流
动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这
类 2008-12-4
液
流
相
似
要
求雷诺数相似。另外，处于水下较深的运动潜体，在
不
至
于
使
水
面
产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证液流动力
相似。如层流
状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。 20
弗诺德（重力）准则
3
2
惯性力 l
Fr
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流体力学
赵道亮
zhaodl@sit.edu.cn
上海应用技术学院
1
第十章 相似性原理和因次分析（4
学时）
• 力学相似性原理 • 相似准数与模型律 • 因次分析法
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2
相似原理与量纲分析
解决流体 力学问题 的方法
数学分 析
模型实验 实验研 究
以相似原理为基础
主要介绍流体力学中的相似原理，模 型
或超音速
运动等，动力相似
v
有：
Ma 或 1
Ma
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n
m c
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斯脱鲁哈数（时间、非定常性）准则
¶ u
¹0
非恒定流体流动中，当地加
，这个加速度所产生的惯 性
速度 ¶t
作用与迁移加速度的惯性作用之比。
¶v
St
就地导 数
¶t v ¶v
l
vt
lf
v
位 变 导 ¶s
f——振动频率
数
对非恒定流，表面有变力作用时，动力相似有：
t
lv
l
22
F
v l
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F
v l
若 1 ， F 1 则
若
1 ，则
3
F
l
22
欧拉（压力）准则
流体流动以动水总压力为主要作用力的情况：
Eu
惯性力
2
l
2
v
2
压力 pl
2
v
p
2
当压力起主要作用时，动力
v
相似有：
Eu Eu 或 1
n
m p
适用范围：一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等； 两液流的
21
重力相似与粘滞力相似比较
雷诺（粘滞力）准则 弗诺德（重力）准则
Re Re
1
2
vl vl 1 1 2 2
1v
2
1
1
×
vv 2
l
若 1 ，则
2
Qv
vl
l
1
2
t
lv
l
22
Fr Fr
1
2
v
v
1
2
gl gl
11
v
1
22
12 12
×
v
l
g
v2
若 1，则
g
2
52
Qv
vl
l
1
12
2
Fr Fr v v
1
2
在重力场中做试验
1
2
g l gl
v2
l g 1 则有：
11
22
g
若 1 则1 v 2 l
取
10
l
10
v1 l
1
这就使得二者发生矛
v 2 盾，
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3 16 故不能选用同种介质。
几何相似
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9
2、运动相似（时间相似）
满足几何相似的前提下，流体运动的速度场
（
加
速
度
场
）
相似，即两流场对应时刻、各相应点（包括边
界
上
t各
点
）
的速度u及加速度a方 向相同，且大小具有同一
比值。
t
时间比例尺
t
n
m
v lt
n
nn
速度比例尺
加速度比例 尺
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1
v v lt
2008-12-4
Ar
gl T
gl 或
2
2
v T v
e
=ρ-ρe，ρe、Te —周围介质密度29，温度。
流动相似条件
流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理 量
都成比例。
相似流动必然满足以下条件：
• 1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场 对 应点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； ．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，
lt
m
mm
a vt
n
nn
2
1
a a vt
lt
m
mm
vt
10
注：长度比例尺和速度比例尺是 确定所有运动学量的比例尺。
满足上述条件，流动才能运动相似
速度场相似
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11
Q v vn
体积流量比例
Q
尺
3
3
l t
nn
l
2
3
lv
Q l t
运动粘度比例尺
vm
n
l
m 2
t
n
t
2
24
马赫数（弹性力）准则
弹性力为主导作用力时的相似准则（例如水击现象）：
柯西 数
Ca
惯性力
2
l
2
v
2
弹性力 El
M 1
a—
2
v
E —运动速度为声速
v
令： Ma Ca c
E
M a Ma
1 1
— —
— 音
运
动
速
度
为
亚 速
—运动速度为超
音速
流体声 c
E——弹性模量
速
当弹性力起主要作用时，如水击，空气动力学中的亚音速