高等代数北大版教案-第3章线性方程组
高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-1
例 解下列方程组
5 x1 2 x1
x2 x2
2x3 4x3
x4 7 2x4 1
x1 3x2 6x3 5x4 0
解：对方程组的增广矩阵作初等行变换
5 1 2 1 7 1 3 6 5 0
2 1
1 3
4 6
2 5
asn xn bs
先检查(1)中 x1的系数，若 a11,a21, ,as1全为零， 则 x1没有任何限制，即x1可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 , , xn的方程组来解．
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2, ,．s)
1 0
2 5
1 1
4 2
2 1
1 7
1 3 6 5 0 1 3 6 5 0
0 0
7 14
16 32
12 24
1 7
0 0
7 0
16 0
12 0
1 5
从最后一行知，原方程组无解。
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
§3.1 2019/8/9 消元法
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再考虑方程组
a22 x2
a2 n xn b2
(4)
as2 x2 asn xn bs
显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3)
的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解。
高等代数教案
全套高等代数教案第一章：高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章：线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章：向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章：特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章：二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章：线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章：特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章：高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一：矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念，理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。
北大高等代数 第三章 线性方程组
8
初等变换的作用：求解一般线性方程组．
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2 a2n xn
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
其 中cii 0，i 1,2, , n.
这 时 （1） 有 唯 一 解 ；
17
方程组（1）由系数和常数项确定，所以（1） 还可以表为
a11 A a21
as1
a12 a1n
a22 a2n
as2 asn
a11 a12 B ( A | b) a21 a22
as1 as2
2x1 x2 4x1 2x2
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
（2）
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 0
答案：（1） x2 2c 7, x3 2, x1 c.
（2） 无解
20
将上述非奇次线性方程组的理论应用于齐次 线性方程组可有如下结论：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
as2 x2 asn xn bs
其中
aij
aij
ai1 a11
a1j
i 2,3, ,s;
j 2,3, ,n
bi
bi
ai1 a11
b1
i 2,3, ,s;
（2）
10
若我们能够求解如下方程组
（II） 如 果dr1 0， 方 程组 （1） 有 无穷 多 组解.
高等代数课件北大版第三章线性方程组
定义：将线性方程 组中的每一行进行 加减、倍乘等操作， 使得方程组简化
作用：将增广矩阵 化为阶梯形矩阵， 便于求解线性方程 组
步骤：对增广矩阵 进行初等行变换， 得到阶梯形矩阵
注意事项：变换过 程中需保持矩阵的 行列式不变，避免 出现错误结果
矩阵的逆法
定义：如果矩阵A存在逆矩阵，则称A为可逆矩阵 性质：可逆矩阵的行列式不为0 计算方法：通过行初等变换将矩阵变为单位矩阵，得到逆矩阵 应用：解线性方程组的重要工具之一
束优化问题等。
线性方程组在其他领域的应用
物理学中的应用：描述物理现象和规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。 经济学中的应用：分析经济问题，如供需关系、生产成本等。 计算机科学中的应用：解决优化问题、机器学习算法等。 统计学中的应用：处理数据分析和预测问题，如回归分析、主成分分析等。
线性方程组的扩展知识
添加标题
逆矩阵的计算方法：通过高斯消元法或拉普拉斯展开式等方法计算行列式|A|，然后通过|A|*|A^(1)|=1计算逆矩阵A^(-1)。
添加标题
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、计算行列式、求向量空间的一组基等方面都有应用。
线性方程组的通解与特解的关系
通解与特解的定义
通解与特解的关系
通解与特解的求解方法
线性方程组在计算机科学中的应用
线性方程组在计算机图形学中 的应用：用于计算光照、纹理 映射和渲染等。
线性方程组在计算机视觉中的 应用：用于图像处理、特征提
取和目标检测等。
线性方程组在机器学习中的应 用：用于训练和优化模型，如 线性回归和逻辑回归。
线性方程组在人工智能领域的 应用：用于优化算法、求解约
通解与特解的应用
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高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-5
§3.5 2024/3/8 线性方程组有解判别定理数学与计算科学学院
总之，线性方程组(1)有解 R( A) R( A).
并且，若 R( A) R(则A)(1)n有, 唯一解；
若 R( A) R(则A)(1)n有无穷多个解.
附
a11
若R( A) R( A) r, 且 r 级子式 ar1
bn
于是（1）可表为 x11 x22+ + xnn
(1) 有解 可由向量组 1,2 , ,n 线性表出．
§3.5 2024/3/8 线性方程组有解判别定理数学与计算科学学院
定理 线性方程组(1)有解的充分必要条件是 (1)的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即 R( A) R( A).
,
A
a11 a21 as1
a12 a22 as2
a1n b1 a2n b2
asn bs
§3.5 2024/3/8 线性方程组有解判别定理数学与计算科学学院
引入向量
a11
a12
1
a21
,
2
a22
,
as1
as2
a1n
b1
, n
a2n
,
b2
asn
证：若(1)有解，则 可由1,2 , ,n 线性表出， 于是向量组 1,2 , ,n与1,2 , ,n , 等价，
所以 R( A) R( A).
§3.5 2024/3/8 线性方程组有解判别定理数学与计算科学学院
反过来，若 R( A) R( A)，则
rank{1,2 , ,n } rank{1,2, ,n, } 设 i1 ,i2 , ,ir 为1,2 , ,n 的一个极大无关组， 则 i1 ,i2 , ,ir 也为1,2 , ,n , 的极大无关组， ∴向量组 1,2, ,n 与 1,2, ,n , 等价， 从而 可由向量组 1,2, ,n 线性表出，
高等代数课件--第三章线性方程组167;3.6线性方程组解的结构
证：若r=n, 方程组只有零解，不存在基础解系
a11 a12? …a1r
若R(A) =r<n，不妨设
a21 a22? …a2r ………………
0,
则(1)可写成
ar1 ar2? …arr
a11x1 a12x2 a1r xr a1,r1xr1 a1nxn
a21x1 a22x2 a2r xr a2,r1xr1 a2nxn
来代替自由未知量(xr+1,…,xn), 就得到(2)的
解，也就是(1)的nr个解:
1 (c11, c12 , , c1r ,1，0， ，0）
2 (c21, c22, , c2r，0，1， ，0）
(3)
nr (cnr,1, cnr,2 , , cnr,r，0，0， ，1）
要证明(3)是(1)的基础解系，需证
2 ．基础解系
定义 齐次线性方程组(1)的一组解
1,2,…,r，若满足 1) 1,2,…,r线性无关；
2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可
由1,2,…,r线性表出； 则称1,2,…,r为齐次线性方程组(1) 的一
个基础解系；
4 ．基础解系存在性
定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的 情况下，它有基础解系，并且基础解系 所含解向量的个数等于nr, 其中r 为方程 组系数矩阵的秩。
1,2,…,nr
2）求出(4)的一个特解0；
3）写出(4)的一般解为
= 0+k11 + k22 +…+knrn r
① 1,2,…,n-r线性无关 令k11+ k22+…+kn-rn-r=0, 则k11+ k22 +…+kn-rn-r=(*,…,*,k1, k2,…,kn-r)=0，从而 k1=k2=…=kn-r=0, 所以1,2,…,n-r线性无
高等代数第3章线性方程组
3.1 消元法
线性方程组
3.1.1 高斯消元法及矩阵表示 3.1.2 矩阵表示 3.1.3 一般情形
3.1.1 高斯消元法
分析：用消元法解下列方程组的过程． 分析：用消元法解下列方程组的过程． 引例 求解线性方程组
2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, x + x − 2 x + x = 4, 1 2 3 4 4 x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4 = 4, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9,
1 2
3
4 1 2
3
3
4
↔4 −23
4
用“回代”的方法求出解： 回代”的方法求出解：
x1 = x3 + 4 x2 = x3 + 3 其中 为任意取值 . 其中x3 于是解得 x = −3 4
或令x3 = c , 方程组的解可记作
x1 = c + 4 x = c + 3 2 x3 = c x 4 = −3
阶 矩 : 行 梯 阵
（1）元素全为0的行全在下方； 元素全为0的行全在下方； 行的第一个非0元素的 （2）对于非零行，第i+1行的第一个非 元素的 对于非零行， 行的第一个非 列标大于第i行的第一个非 行的第一个非0元素的列标 列标大于第 行的第一个非 元素的列标
1 0 0 0 1 −2 1 4 1 −1 1 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0
3.1.3 一般情形
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 LLLLLLLLLLLL a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。
2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。
3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。
4. 线性方程组在实际应用中的例子。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。
2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。
3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。
4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。
2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。
3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。
4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。
四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。
2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。
3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。
4. 对称矩阵的特征值和特征向量。
五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。
2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。
3. 二次型的性质：正定、负定、不定。
4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。
六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。
2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。
3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。
4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。
七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。
2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。
3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。
4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。
八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。
2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。
3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。
高等代数 第3章线性方程组 3.2 线性方程组解的结构
7 2 1 - 3 - 2 1 2 6 23 4 3 - 1 12 1 1 1
1 1 0 - 2 ~ 0 0 0 0 1 0 ~ 0 0
( 2) 设x = 是方程 Ax = b的解, x = 是方程 Ax = 0的解, 则x = + 仍是方程 Ax = b 的解.
证明 A( + ) = A + A = 0 + b = b,
所以x = + 是方程 Ax = b的解.
证毕．
２．非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组Ax=b的通解为
例5 求下述方程组的解 x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 , 3 x + x + 2 x + x - 3 x = -2, 1 2 3 4 5 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23, 8 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 - x 5 = 12.
思考题解答
解
2 3 1 1 1 6 1 3 1 3 B= 3 - 1 - p 15 3 1 - 5 - 10 12 t
2 3 1 1 1 4 -2 2 0 2 ~ 0 -4 - p-6 6 0 0 - 6 12 9 t 1
x2 1 0 x1 1 1 = 及 , 则 = 及 , x4 0 1 x3 0 2
高等代数线性方程组
定理 一个向量组的任何极大线性无关组都含有相同个数的向量。
线性方程组
§3 线性相关性
定义 一个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组 的秩 (rank)。
例7 求下面向量组的秩 1 ( 1 , 4 , 1 , 0 ) 2 , ( 2 , 1 , 1 , 3 ) 3 , ( 1 , 0 , 3 , 1 ) 4 , ( 0 , 2 , 6 , 3 )
线性表出。
向量1，2，…，n 称为n维单位向量
线性方程组
§3 线性相关性
定义：如果向量组 1 , 2, , s(s 2 )中有一个向量可以由其余的向
量线性表出，那么称向量组 1, 2,, s是线性相关的。
等价定义：
定义：设 1 , 2 , , s(s 1 )是Pn中的s个向量，若存在数域P中的一组不
系数矩阵
未知向量
右端向量
线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的初等变换
➢ 用一个非零的数乘以某一个方程； ➢ 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
方程组的初等变换 是否会改变线性方
程组的解？
➢ 互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
1 ( 1 , 1 , 0 )2 ,( 0 , 2 , 1 )3 , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 5 , 7 , 5 )
试问向量 是否为向量组 1,2,3 的一个线性组合？
例2 在P n中，任何一个n维向量 (a 1,a 2, ,a n)都可由 1 ( 1 , 0 , , 0 )2 , ( 0 , 1 , , 0 ) ,n ( 0 , 0 , , 1 )
高等代数课件第三章-线性方程组
（1'）
设 (c1,c2 ,L ,cn )是方程组（1）的任一解，则
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
a11c1 a12c2 L a1ncn b1
aaL2s11ccL11 LaaL2s22ccL22
L a2ncn LLLLL L asncn
L
b2 bs
(1)
先检查(1)中 x1 的系数，若a11,a21,L ,as1 全为零， 则 x1没有任何限制，即x1 可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 ,L , xn的方程组来解．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2,L , ．s)
L
b2 bs
(1)
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 L (a1n ka2n )xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 LLLLLLLLLLL
2．方程组的解
设 k1, k2 ,L , kn 是 n 个数，如果x1, x2 ,L , xn 分别用 k1, k2 ,L , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 ,L , kn ) 是（1）的一个解.
(1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解．
A
a21 L
a22 L
L L
as1 as2 L
高等代数教案第3章向量与线性方程组
第三章 向量与线性方程组Ⅰ.授课题目:§3.1 线性方程组的解 §3.2 n 维向量空间 §3.3 向量组的线性相关性 §3.4 线性方程组解的结构 Ⅱ.教学目的与要求:1. 掌握数域、矩阵、逆矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩等概念2. 掌握矩阵的运算性质、逆矩阵的求法、分块矩阵的初等变换 Ⅲ.重点与难点:重点:矩阵的运算、逆矩阵的求法、矩阵的初等行变换 难点: 伴随矩阵，逆矩阵，初等矩阵、矩阵秩的概念 Ⅳ.教学内容§3.1 线性方程组的解例3.1 用矩阵的初等变换解下列线性方程组：（1）123123123253336212434x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩；（2）123451234512345232222283536x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪++--=⎨⎪-+-+=⎩；（3）12341234123222253335x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪++-=⎨⎪-+=⎩.提示或答案：（1）()(),3R A R A b ==，原方程组有唯一解()1,1,2T--；（2）增广矩阵行等价于1-23-12205-40-5400000-4⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，()()2,,3R A R A b ==，原方程组无解； （3）增广矩阵行等价于411013*********0⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()(),4R A R A b =<，原方程组的通解为()12124113011,1003010x c c c c R ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.定理3.1 n 元线性方程组Ax b =（1）无解的充分必要条件是()(),R A R A b <； （2）有唯一解的充分必要条件是()(),R A R A b n ==； （3）有无穷多解的充分必要条件是()(),R A R A b n =<.练习：用矩阵的初等变换解下列线性方程组：（1）1231231242232101138x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩； （2）2312312325227x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；（3）12341234123423133128x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎨⎪-++=⎩答案：（1）无解；（2）有无穷多解0310,12c c R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）有无穷多解()21108201x c c R -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 定理3.2 n 元齐次线性方程组0Ax =， （1）只有零解的充要条件是()R A n =； （2）有非零解的充要条件是()R A n <.例3.2 求齐次线性方程组的通解1234123412342403230340x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩.答：()1212132211,221001x c c c c R⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例3.3 设有线性方程组()()()12312312310131x x x x x x x x x λλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 问λ取何值时，（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.解法1 对增广矩阵(),A b 作初等行变换，化成行阶梯形矩阵，有()()()()1110111,11130311100313A b λλλλλλλλλλλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+→⋅⋅⋅→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+⎝⎭⎝⎭. （1）当0λ≠且3λ≠-时，()(),3R A R A b ==，方程组有唯一解；（2）当0λ=时，()()1,,2R A R A b ==，方程组无解； （3）当3λ=-时，()(),2R A R A b ==，方程组有无穷多个解. 这时，()21101011,1213011211230000A b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭于是，原方程组等价于132312x x x x =-⎧⎨=-⎩. 此时，原方程的通解为()111210x c c R -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法2 因系数矩阵A 为方阵，故方程有唯一解的充要条件是系数行列式0A ≠. 而()()()21111111111113111300311111100A λλλλλλλλλλλ+=+=++=+=+++， 因此，当0λ≠且3λ≠-时，方程组有唯一解. 当0λ=时，()11101110,1113000111100000A b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 知()()1,,2R A R A b ==，方程组无解. 当3λ=-时，()21101011,1213011211230000A b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 知，()(),2R A R A b ==，方程组有无穷多个解. 且通解为()111210x c c R -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.练习：1. 求解齐次线性方程组12341234123422020320x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩. 2.当,a b 为何值时，线性方程组()1234234123412341212343565x x x x x x x x x ax x b x x x a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨+++=⎪⎪++++=⎩ （1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.答案或提示：1. ()()1211221231,,1,0,0,1,0,1,,55TT x c c c c R ξξξξ⎛⎫===+∈ ⎪⎝⎭2. ()1111101121,0010300010A b a b a ⎛⎫ ⎪-⎪→ ⎪-- ⎪-⎝⎭.（1）当1,3a b =≠时，()()2,,3R A R A b ==此时，方程组无解；（2）当1,a b ≠为任意实数时，()(),4R A R A b ==此时，方程组有唯一解；（3）当1,3a b ==时，()(),24R A R A b ==<，方程组有无穷多解. 此时，()1021001121,0000000000A b -⎛⎫ ⎪-⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭原方程组可化为134234212x x x x x x =-+⎧⎨=+-⎩. 通解为()1212021112,010001x c c c c R -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.小结：课外作业：§3.2 n 维向量空间1. n 维向量空间定义 3.1 所谓数域P 上一个n 维向量就是由数域P 中n 个数12,,,n a a a 组成的有序数组,其中i a 称为第i 个分量.通常地，n 维向量可以写成一列12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，也可以写成一行()12,,,n a a a ，前者称之为n 维列向量，用,,,a b c ，或,,,αβγ⋅⋅⋅表示，后者称之为n 维行向量，用,,,TTTa b c ，或,,,T T Tαβγ⋅⋅⋅表示.今后，如无特别声明，我们提到的n 维向量都是指的n 维列向量.如果两个n 维向量()()1212,,,,,TTn n a a a a b b b b ==对应分向量相等，即i i b a =()1,2,,i n =⋅⋅⋅,则称为这两个向量相等，记作.a b =定义零向量()00,0,,0T=⋅⋅⋅，负向量()12,,Tn a a a a -=---.设P 是一个数域，用nP 表示数域P 上全体n 维向量组成的集合，在nP 中如下定义向量加法和数量乘法（统称为向量的线性运算）：对P λ∀∈，()()1212,,,,,TTn n n a a a a b b b b P ==∈()()()12121122,,,,,,,TTTn n n n a b a a a b b b a b a b a b +=+=+++，()()1212,,,,TTn n a a a a a a a λλλλλ==.这样定义的向量的线性运算满足如下八条运算律：以下,P λμ∈，,,na b c P ∈ 加法的交换律：a b b a +=+；加法的结合律： ()()a b c a b c ++=++； 右零元律：0a a +=； 右负元律：()0a a +-=； 1乘向量律：1a a =；数乘向量的结合律：()()a a λμλμ=； 数对向量加法的分配律：()a b a b λλλ+=+； 向量对数加法的分配律：()a a a λμλμ+=+.定义3.2 设n P 是以数域P 中的数作为分量的n 维向量的全体，在nP 中定义如上的向量加法和数量乘法（并满足以上八条运算律），我们称nP 是数域P 上的n 维向量空间.2. 子空间定义3.3 设V 是向量空间nP 的非空子集，如果V 对于向量的加法和数量乘法两种运算都封闭，那么就称集合V 对于向量空间nP 的向量加法和数乘向量构成一个向量空间，称之为向量空间nP 的子空间.例3.1 集合{}22(0,,,),,T n n V x x x x x P ==∈是向量空间nP 的子空间.事实上，若V a a T n ∈=),,,0(2 α，V b b T n ∈=),,,0(2 β则V b a b a T n n ∈++=+),,,0(22 βα，V a a T n ∈=),,,0(2λλλα .例3.2 集合{}22(1,,,),,T n n V x x x x x P ==∈不是n P 的子空间.事实上，若V a a T n ∈=),,,1(2 α，V b b T n ∈=),,,1(2 β则V b a b a T n n ∉++=+),,,2(22 βα.所以V 不是向量空间.例3.3 设βα,是两个已知的n 维向量，则集合{},V x P λαμβλμ==+∈是一个向量空间. 称为由向量βα,所生成的向量空间.一般地，由m ααα,,,21 所生成的向量空间为{}112212,,,m m m V x P λαλαλαλλλ==+++∈.小结：课外作业：§3.3 向量组的线性相关性1. 向量的线性表示以下我们总是讨论在某固定数域P 上的n 维向量空间，不再每次声明. 定义3.4 如果存在一组数s k k k ,,,21 ，使得.2211s s k k k βββα+++=则称向量α是向量组s βββ,,,21 的一个线性组合，或称向量α可由向量组s βββ,,,21 线性表示（或线性表出）称s k k k ,,,21 为组合系数.例如，对向量组()()()1232,1,3,1,4,2,5,4,2,1,4,1T T Tααα=-=-=--，容易看到，.3213ααα-= 因此，3α是21,αα的一个线性组合.又如，任一个n 维向量()12,,,Tn a a a α=都是向量组12100010,,,001n εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个线性组合，因为.2211n n a a a εεεα+++=我们称向量组n εεε,,,21 为n 维单位向量组.由定义可以看出，零向量是任一向量组的线性组合(只要取系数全为0就行了)；其次，向量α是向量组s βββ,,,21 的线性组合的充要条件是方程组1122s s x x x βββα+++=有解.例3.4 证明向量()1,1,5Tb =-可由向量组()()()1231,2,3,0,1,4,2,3,6TTTa a a ===线性表示，并求出相应的组合系数.定义 3.5 如果向量组:A 12,,,l ααα中每一个向量(1,2,,)i i l α=都可以由向量组:B s βββ,,,21 线性表示，那么称向量组A 可以由向量组B 线性表示，如果两个向量组互相可以线性表示，就称这两个向量组等价.向量组之间的等价有以下的性质： 1) 反身性：每一个向量都与它自身等价；2) 对称性：如果向量组t ααα,,,21 与向量组s βββ,,,21 等价，那么向量组s βββ,,,21 与向量组t ααα,,,21 也等价;3) 传递性：如果向量组t ααα,,,21 与向量组s βββ,,,21 等价，s βββ,,,21 与pγγγ ,,21等价，那么向量组t ααα,,,21 与p γγγ ,,21等价.如果向量组12,,,r ααα可以由向量组s βββ,,,21 线性表示，则()11,2,,si ij j j k i r αβ===∑即()()1212,,,1,2,,i i i s is k k i r k αβββ⎛⎫⎪ ⎪=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.因此，()()111112222121212,,,,,,i r r r s ss rs k k k k k k k k k αααβββ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以，如果()12,,,r A ααα=，()12,,,s B βββ=分别表示以12,,,r ααα和s βββ,,,21 为列向量的矩阵，向量组12,,,r ααα可以由向量组s βββ,,,21 线性表示，则存在矩阵s r K ⨯，使得A BK =.例3.5 证明向量组1211:1,210A a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与向量组等价.证 对向量组(),A B 施行初等行变换()111011101021,120101110111102101110000A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭可以看出来1122122,b a a b a a =-=-+，即()()121221,,11b b a a -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，显然121111112--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()()121211,,12a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即112212,2a b b a b b =+=+.故向量组A 与向量组B 等价.本题后面部分也可以这样做，进一步作初等行变换102111100111120100000000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可以得到112212,2a b b a b b =+=+.2. 向量组的线性相关性定义3.6 对向量组)2(,,,21≥s s ααα ，如果存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得11220s s k k k ααα+++=，则称向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关.否则称向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关.注（1）任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的；（2）如果一个向量组线性相关，则其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示；（3）两个向量21,αα线性相关⇔21ααk =，即它们的分量对应成比例. 从几何的角度看，就是这两个向量共线；（4）如果三个向量321,,ααα线性相关，则其中一个向量是另外两个向量的线性组合，譬如123k l ααα=+，因此，这三个向量共面,反之也成立；（5）设()12,,,s A ααα=，则向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关⇔齐次方程组0Ax =有非零解⇔()R A s <（即A 是列降秩矩阵）；（6）向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关⇔齐次方程组0Ax =只有零解⇔()R A s =（即A 是列满秩矩阵）. 或者说，向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关⇔若11220s s k k k ααα+++=，则120s k k k ====；（7）1n +个n 维向量一定线性相关（这是因为，以这1n +个n 维向量为列向量构成的矩阵的秩必定小于1n +）；（8）如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关；反之，如果一向量组线性无关，那么它们的任何一个非空的部分组也线性无关.（即“部分相关⇒整体相关”；“整体无关⇒部分无关”）（向量个数增加）（9）如果向量组11112221221212,,,s s srs r r a a a a a a a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，则各向量加多一个分量得到的向量组111212122212121,11,21,,,,s s s r r rs r r r s a a a a a a a a a a a a βββ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关；反之，若向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关，则向量组12,,,s ααα⋅⋅⋅线性相关（即“截断组无关⇒加长组无关”；“加长组相关⇒截断组相关”）（向量维数增加）；（10）如果向量组12,,,s ααα⋅⋅⋅线性无关，添加一个向量β后，12,,,,s αααβ⋅⋅⋅线性相关，则β一定可以由12,,,s ααα⋅⋅⋅线性表示，而且表示法是唯一的.例3.6 n 维单位向量n εεε,,,21 组成的向量组线性无关.事实上，由,02211=+++n n k k k εεε也就是由1212,(1,0,,0)(0,1,,0)(0,0,,1)(,,)(0,0,,0)T T Tn T n Tk k k k k k +++==可以推出.021====n k k k故n εεε,,,21 线性无关.例3.7 讨论向量组123(2,1,7),(1,4,11),(3,6,3)T T T a a a =-==-的线性相关性.例3.8 已知向量组123,,a a a 线性无关，112223331,,b a a b a a b a a =+=+=+.证明向量组123,,b b b 线性无关.例3.9 已知向量1231021,2,4157a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）讨论向量组123,,a a a 及向量组12,a a 的线性相关性；（2）向量3a 能否由向量组12,a a 线性表示？如果能，求其组合系数. 练习：1.判断向量组()()()1231,0,1,2,1,1,2,4,2,3,5,10TTTααα=-=---=-线性相关还是线性无关.2.设向量组：()()()()12341,1,1,1,2,3,1,3,,3,4,5TTTTt αααα====.（1）问t 为何值时，向量组123,,ααα线性相关？线性无关？（2）问t 为何值时，向量组1234,,,αααα线性相关？线性无关？3.证明：如果向量组123,,ααα线性无关，则向量组1122233312,23,3βααβααβαα=+=+=+也线性无关.4.设向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关，问： （1）1α能否由23,αα线性表示？说明理由； （2）4α能否由123,,ααα线性表示？说明理由.3. 向量组的极大无关组与向量组的秩定义3.7 向量组的一个部分组称之为是这个向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）. 如果这个部分组本身线性无关，但是从这个向量组中任意加一个向量（如果还有的话）后都线性相关.例如，在向量组123(2,1,3,1),(4,2,5,4),(2,1,4,1)T T T ααα=-=-=--中，由21,αα一个极大线性无关组. n 维单位向量组n εεε,,,21 就是nR 的一个极大无关组.注（1）向量组的极大无关组可能不是唯一的；（2）一个线性无关的向量组，其极大无关组就是它本身； （3）任一向量组与它的极大无关组等价； （4）向量组的任意两个极大无关组一定等价.定理 3.3 如果向量组r ααα,,,21 可以由向量组s βββ,,,21 线性表示，且r s >，那么向量组r ααα,,,21 必线性相关.证 记()12,,,r A ααα=，()12,,,s B βββ=.由于向量组r ααα,,,21 可以由向量组s βββ,,,21 线性表示，故存在矩阵s r K ⨯，使得A BK =.注意到，齐次方程组0Kx =的解都是齐次方程组0Ax =的解. 而(){}min ,R K r s s r ≤=<（r是未知量的个数），所以，前者一定有非零解，故后者也有非零解. 所以向量组r ααα,,,21 必线性相关.注 （1）定理3.3可以叙述成：如果一个较多的向量组可以由一个较少的向量组线性表示，则较多的向量组一定线性相关.（2）定理3.3的逆否命题是：如果向量组r ααα,,,21 可以经向量组s βββ,,,21 线性表出，且r ααα,,,21 线性无关，那么.s r ≤推论1 两个等价的线性无关的向量组，必有相同个数的向量. 推论2 向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.定义3.8 向量组的极大无关组所包含的向量个数称为这个向量组的秩.注 （1）向量组线性无关的充分必要条件为它的秩等于它所含有向量的个数； （2）等价的向量组必有相同的秩；（3）含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组. 全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组. 规定这样的向量组的秩为零；（4）矩阵的秩等于矩阵的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩. 练习：设121311:,1113A a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，123213011:,,102120B b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭证明向量组A 与向量组B 等价.例3.10 设向量组A ：123452*********,,,,4622436979a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.求A 的一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组线性表示.（P101～102）练习：设矩阵122121221143A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪---⎝⎭,求矩阵A 的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.例3.11 设m n m s s n C A B ⨯⨯⨯=，那么()()()(),.R C R A R C R B ≤≤ （教材P103）例3.12 设()ijm nA a ⨯=，证明()1R A =⇔存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使得TA ab =.证 ⇒：（必要性）设矩阵()12,,,n A ααα=⋅⋅⋅ ，由于()1R A =，所以，列向量组12,,,nααα⋅⋅⋅的极大无关组只含一个向量，不妨假定1α是它的一个极大无关组.设2211,,n n k k αααα=⋅⋅⋅=，则()()121112,,,1,,,T n n A k k k k ab αααα=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=. 令()12,1,,,Tn a b k k α==⋅⋅⋅，则TA ab =.⇐：（充分性）由T A ab =知，()1R A ≤.其次，由于a 和Tb 都是非零向量，因此，A O ≠，因此()1R A ≥，故()1R A =. 证毕.例3.13设A 是m n ⨯矩阵，B 是m s ⨯矩阵，则()(){}()()()max ,,R A R B R A B R A R B ≤≤+. 证 设()()12,R A r R B r ==，矩阵,A B 的列向量的极大无关组分别是112,,,r ααα和212,,,r βββ. 于是(),A B 的全体列向量，一定可以由向量组121212,,,,,,,r r αααβββ线性表示，即()()(),R A B R A R B ≤+.另一方面，A 的列向量个数小于(),A B 的列向量个数，因而()(),R A R A B ≤；同时()(),R B R A B ≤. 因而，()(){}()max ,,R A R B R A B ≤.故()(){}()()()max ,,R A R B R A B R A R B ≤≤+.例3.14已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量2,,x Ax A x 线性无关. （1）记()2,,P x Ax A x =，求3阶矩阵B ，使AP PB =；（2）求A .例3.15 设1212,,,ααββ都是3维列向量，且12,αα线性无关，12,ββ线性无关，证明：存在非零向量γ，使得既可以由12,αα线性表示，也可以由12,ββ线性表示.当121212300,1,2,12351ααββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭时，求出所有的向量γ.提示 4个3维向量1212,,,ααββ必线性相关，故有不会为0的数1212,,,k k l l ，使得112211220k k l l ααββ+++=，显然12,k k 不全为零，取11221122k k l l γααββ=+=--.解方程组112211220x x y y ααββ+++=，求其通解可知()0,1,1Tk γ=4. 向量空间的基、维数与向量的坐标§3.4 线性方程组解的结构在有了向量和矩阵的理论准备之后，我们现在可以来分析一下线性方程组的问题，给出线性方程组有解的判别条件.设线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,221122222212111212111s n sn s s n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1）引入向量,,,,,2121222122121111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s sn nn n s s b b b a a a a a a a a a βααα （2）于是线性方程组（1）可以改写成向量方程.2211βααα=+++n n x x x （3）显然，线性方程组（1）有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组n ααα,,,21 的线性组合. 用秩的概念，方程组（1）有解的条件可以传述如下：定理7（线性方程组有解的判别定理） 线性方程组（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211与增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s sn s s n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211__有相同的秩.证明 先证必要性，设线性方程组（1）有解，就是说，β可以经向量组n ααα,,,21 线性表出，向量组n ααα,,,21 与向量组βααα,,,,21n 等价，因而有相同的秩. 这两个向量组分别是矩阵A 与__A 的列向量组. 因此，矩阵A 与__A 有相同的秩.再证充分性，设矩阵A 与__A 有相同的秩，就是说，它们的列向量组n ααα,,,21 与βααα,,,,21n 有相同的秩，令它们的秩为r ，n ααα,,,21 中的极大线性无关组的是由r 个向量组成，无妨设r αα,,1 是它的一个极大线性无关组. 显然r αα,,1 也是向量组βααα,,,,21n 的一个极大线性无关组，因此向量β可以经r αα,,1 线性表出. 既然β可以经r αα,,1 线性表出，当然它可以经n ααα,,,21 线性表出. 因此，方程组（1）有解.应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的，我们知道，用消元法解线性方程组（1）的第一步就是用初等变换把增广矩阵__A 化成阶梯形. 这个阶梯形矩阵在适当调动前n 列的顺序之后可能有两种情形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+000000`000000000001222221111211 r r rn rr nrn r d d c c d c c c d c c c c 或者 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000`000000000000222221111211r rn rr n rn r d c c d c c c d c c c c 其中.0,,,2,1,01≠=≠+r ii d r i c 在前一种情形，我们说原方程组无解，而在后一种情形方程组有解，实际上，把这个阶梯形矩阵中最后一列去掉，那就是线性方程组（1）的系数矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯形. 这就是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解，当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解.以上的说明也可以认为是判别定理的另一个证明.根据克拉默法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法，这个解法有时在理论上是有用的. 设线性方程组（1）有解，矩阵A 与__A 的秩都等于r ，而D 是矩阵A 的一个不为零的r 级子式（当然它也是__A 的一个不为零的子式），为了方便起见，无妨设D 位于A 的左上角.显然，在这种情形下，__A 的前r 行就是一个极大线性无关组，第s r ,,1 +行都可以经它们线性表出，因此，方程组（1）与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++rn rn r rr r n n r r n n r r b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 11222121111111,, （4） 同解.当n r =时，由克拉默法则，方程组（4）有唯一解，也就是方程且（1）有唯一解. 当n r <时，将方程组（4）改写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++---=++---=++++++++.,,11,11211,222121111,111111n rn r r r r r rr r n n r r r r n n r r r r x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a （5） （5）作为r x x ,,1 的一个方程组，它的系数行列式.0≠D 由克拉默法则，对于n r x x ,,1 +的任意一组值，方程组（5），也就是方程组（1），都有唯一的解，n r x x ,,1 +就是方程组（1）的一组自由未知量，对（5）用克拉默法则，可以解出r x x ,,1 ：⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=++++.```,```11,111,111n rn r r r r rn n r r x c x c d x x c x c d x（6） （6）就是方程组（1）的一般解.§6 线性方程组解的结构在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步来讨论线性方程组解的结构. 在方程组的解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题. 在有多个解的情况下中，所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题. 下面我们将证明，虽然在这时有无穷多个解，但是全部的解都可以用有限多个解表示出来. 这就是本节要讨论的问题和要得到的主要结果. 下面的讨论当然都是对于有解的情况说的，这一点就不再每次都说明了.上面我们提到，n 元线性方程组的解是n 维向量，在解不是唯一的情况下，作为方程组的解的这些向量之间有什么关系呢？我们先看齐次线性方程组的情形. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.0,0,02211222221211212111n sn s s n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面的两个重要的性质：1：两个解的和还是方程组的解.设（n k k k ,,,21 ）与（n l l l ,,,21 ）是方程组（1）的两个解. 这就是说，把它们代入方程组，每个方程成恒等式中，即∑==nj jij ka 10 （s i ,,2,1 =）∑==nj jij la 10 （s i ,,2,1 =）把两个解的和),,,(2211n n l k l k l k +++ （2）代入方程组，得000)(111=+=+=+∑∑∑===nj j ij n j j ij nj j j ijl a k a l k a（s i ,,2,1 =）这说明（2）确实是方程组的解.2：一个解的倍数还是方程组的解.设（n k k k ,,,21 ）是（1）的一个解，不难看出（n ck ck ck ,,,21 ）还是方程组的解，因为∑∑===⋅==nj j ij nj j ijc k a c ck a1100)( （s i ,,2,1 =）从几何上看，这两个性质是清楚的，在3=n 时，每个齐次线性方程组表示一个过原点的平面. 于是方程组的解，也就是这些平面的交，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面. 以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解. 这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多有解. 基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出来？回答是肯定的. 为此，我们引入下面的定义：定义17 齐次线性方程组（1）的一组解t ηηη,,,21 称为（1）的一个基础解系，如果 1）（1）的任意一个解都能表成t ηηη,,,21 的线性组合； 2）t ηηη,,,21 线性无关.应该指出，定义中的条件2）是为了保证基础解系中没有多的解. 事实上，如果t ηηη,,,21 线性相关，也就是其中有一个可以表成其他的解的线性组合，譬如说t η可以表成121,,,-t ηηη 的线性组合，那么121,,,-t ηηη 显然也具有性质1）.现在就来证明，齐次线性方程组的确有基础解系.定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含有的解的个数等于,r n -这里r 表示系数矩阵的秩（以下将看到，r n - 也就是自由未知量的个数）定理的证明实际上就是一个具体找基础解系的方法.证明 设方程组（1）的系数矩阵的秩为r ，无妨设左上角的r 级子式不等于零，于是按上一节最后的分析，方程组（1）可以改写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++---=++---=++++++++.,,11,11211,22121111,11111n rn r r r r rr r n n r r r r n n r r r r x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a （3） 如果，n r =，那么方程组没有自由未知量，方程组（3）的右端全为零，这时方程组只有零解，当然也就不存在基础解系，以下设.n r <我们知道，把自由未知量的任意一组值（n r c c ,,1 +）代入（3），就唯一地决定了方程组（3）＿＿也就是方程组（1）的一个解. 换句话说，方程组（1）的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个解就完全一样，特别地，如果在一个解中，自由未知量的值全为零，那么这个解一定就是零解.在（3）中我们分别用r n -组数)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1( （4）来代自由未知量（n r r x x x ,,,21 ++），就得出方程组（3）——也就是方程组（1）的r n -个解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===---).1,,0,0,,,(),0,,1,0,,,),0,,0,1,,(,1,22121111 r r n r n r n r r c c c c c c ηηη （5） 我们现在来证明，（5）就是一个基础解系. 首先证明r n -ηηη,,,21 线性无关，事实上，如果02211=+++--r n r n k k k ηηη ，即).0,,0,0,0,,0(),,,,*,(*,212211 ==+++---r n r n r n k k k k k k ηηη比较最后r n -个分量，得 .021====-r n k k k 因此，r n -ηηη,,,21 线性无关.再证明方程组（1）的任意一个解都可以由r n -ηηη,,,21 线性表出，设),,,,,,(211n r r r c c c c c ++=η （6）是（1）的一个解，由于r n -ηηη,,,21 是（1）的解，所以线性组合r n n r r c c c -+++++ηηη 2211 （7）也是（1）的一个解. 比较（7）和（6）的最后r n -个分量得知，自由未知量有相同的值，从而这两个解完全一样，即.2211r n n r r c c c -+++++=ηηηη （8）这就是说，任意一个解η都能表成r n -ηηη,,,21 的线性组合. 综合以上两点，我们就证明r n -ηηη,,,21 确为方程组（2）的一个基础解系，因而齐次线性方程组的解有基础解系. 证明中具体给出的这个基础解系是由r n -个解组成. 至于其他的基础解系，由定义，一定与这个基础解系等价，同时它们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量. 这就是定理的第二部分. ¶由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系（读者自己证明）.下面来看一般线性方程组的解的结构. 如果把一般线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,221122222212111212111s n sn s s n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （9） 的常数项换成0，就得到齐次线性方程组（1）. 方程组（1）称为方程组（9）的导出组. 方程组（9）的解与它的导出组（1）的解之间有密切的关系：1：线性方程组（9）的两个解的差是它的导出组（1）的解. 设（n k k k ,,,21 ），),,,(21n l l l 是方程组（9）的两个解，即 ∑∑====nj nj i j ij i j ijb l a b k a11, （s i ,,2,1 =）它们的差是).,,,(2211n n l k l k l k ---显然有∑∑∑====-=-=-n j nj i i j ij j ij nj j j ijb b l a k a l k a1110)( （s i ,,2,1 =）这就是说，).,,,(2211n n l k l k l k --- 是导出组（1）的一个解. ¶2：线性方程组（9）的一个解与它的导出组（1）的一个解之和还是这个线性方程组的一个解. 设（n k k k ,,,21 ）是（9）的一个解，即∑==nj i j ijb k a1 （s i ,,2,1 =）又设),,,(21n l l l 是导出组（1）的一个解，即∑==nj jij la 10 （s i ,,2,1 =）显然∑∑∑====+=+=+n j nj i i j ij j ij nj j j ijb b l a k a l k a1110)( （s i ,,2,1 =）由这两点我们很容易证明下面的定理：定理9 如果0γ是方程组(9)的一个特解,那么方程组(9)的任一个解γ都可以表成 ,0ηγγ+= (10)其中η是导出组(1)的一个解,因此,对于方程组(9)的任一个特解0γ,当η取完它的导出组的全部解时,(10)就给出(9)的全部解.证明 显然),(00γγγγ-+= 由上面的1,0γγ-是导出组(1)的一个解,令 0γγ-=,η就得到定理的结论.既然(9)的任一个解都能表成(10)的形式,由2,在η取完(1)的全部解的时候,,0ηγγ+=就取完(9)的全部解.定理9说明了,为了找一线性方程组的全部解,我们只要找出它的一个特解以及它的导出组的全部解就行了,导出组是一个齐次方程组,在上面我们已经看到,一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表出.因此,根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般方程组的一般解:如果0γ是方程组(9)的一个特解,r n -ηηη,,,21 是其导出组的一个基础解系,那么(9)的任一个解γ都可以表成 .22110r n r n k k k --++++=ηηηγγ推论 在方程组(9)有解的情况下,解是唯一的充分必要条件是它的导出组(1)只有零解. 证明 充分性:如果方程组(9)有两个不同的解,那么它的差就是导出组的一个非零解.因之,如果导出组只有零解,那么方程组有唯一解.必要性:如果导出组有非零解,那么这个解与方程组(9)的一个解(因为它有解)的和就是(9)的另一个解,也就是说,(9)不止一个解.因之,如果(9)有唯一解,那么它的导出组只有零解.¶ 线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.我们来看线性方程组⎩⎨⎧=++=++.,23232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a (11) (11)中每一个方程表示一个平面,线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道,两个平面只有在平行而不重合的情形下没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22322211131211__232221131211b a a a b a a a A a a aa a a A 与 它们的秩可能是1,也可能是2.有三个可能的情形:1.A 的秩＝1，__A 的秩＝1，这就是说A 的两行成比例，因而两个平面平行，又因为__A 的两行也成比例，所以这两个平面重合，方程组有解.2．A 的秩＝1，__A 的秩＝2，这就是说，两个平面平行而不重合，方程组无解.3．A 的秩＝2.这时__A 的秩也一定是2,在几何上就是这两个平面不平行,因而一定相交,方程组有解.例2.18 利用矩阵的初等行变换求解线性方程组123412341234123422244622436979x x x x x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪+-+=⎪⎨-+-=⎪⎪+-+=⎩。
高等代数北大版教案-第3章线性方程组
第三章线性方程组§1消元法一授课内容:§1消元法二教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组。
三教学重难点:用消元法解线性方程组.四教学过程：所谓的一般线性方程组是指形式为（1）的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数， (，)称为方程组的系数,（）称为常数项.所谓方程组(1）的的一个解就是指由个数组成的有序数组（），当分别用代入后,（1）中每个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它的全部解,或则说,求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的。
显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵来表示.在中学代数里，我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元,三元线性方程组，实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性。
分析一下消元法，不难看出,它实际上是反复的对方程组进行变换,而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1．用一非零的数乘某一方程.2．把一个方程的倍数加到另一方程.3．互换两个方程的位置。
定义1 变换1，2,3称为线性方程组的初等变换。
消元法的过程就是反复的施行初等变换的过程.可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组。
对于线性方程组反复的施行初等变换，一步一步做下去，最后就得到一个阶梯形方程组.（5）显然(5）与（1）是同解的。
考察（5）的解的情况.如（5）中的方程,而这时不管取什么值都不能使它成为等式,故(5）无解，因而（1)也无解.当，或（5）中根本没有“”的方程时，分两种情况:1），这时阶梯形方程组为有唯一解。
例解方程组。
解上述方程有唯一的解 .2），这时阶梯形方程组为其中 , ，把它改写成（7)由（7)我们可以把通过表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而称为一组自由未知量.例解方程组.解一般解为。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。
2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。
3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。
2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。
2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。
3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。
四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。
2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。
3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。
五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。
2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。
3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。
六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。
2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。
3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。
4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。
七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。
2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。
高等代数课件--第三章 线性方程组§3.1 消元法
增广矩阵
a11 a 21 A a s1
a12 a 22 as 2
a1 n b1 a 2 n b2 a sn bs
二、消元法
1．引例 解线性方程组
2 x1 x 2 3 x 3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 2x x 2x 5 1 2 3
三、齐次线性方程组的解
定理1 在齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a s1 x1 a s 2 x 2 a sn x n 0
第三章 线性方程组
——解决一般的线性方程组的解的 相关问题，解的结构问题
§3.1 消元法
一、一般线性方程组
1．一般线性方程组是指形式为
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a s1 x1 a s 2 x 2 a sn x n bs
成恒等式，则称有序数组(k1, k2,…, kn)是(1)的
一个解．
解集合 方程组(1)的解的全体所成集合称 为它的解集合．
解集合是空集时就称方程组(1)无解．
3．同解方程组
如果两个线性方程组有相同的解集合， 则称它们是同解的
4．方程组的系数矩阵与增广矩阵
系数矩阵
a11 a 21 A a s1 a12 a 22 as 2 a1 n a2 n a sn
方程．于是(1)就变成
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a s 2 x 2 a sn x n bs
高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-3
2024/7/17
数学与计算科学学院
一、线性组合
定义 设 1,2, ,s Pn , k1, k2 , , ks P
和
k11 k22 kss
称为向量组 1,2, ,s 的一个线性组合.
若向量 可表成向量组 1,2, ,s 的一个线性组
2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量 组一定线性相关.
3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一 个向量可由其余向量线性表出.
§3.3 2024/7/17 线性相关性
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4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关；
一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 都线性无关.
( x1 x3 )1 ( x1 x2 )2 ( x2 x3 )3 0
由于 1,2 ,3 线性无关，于是有
x1 x1
x3 x2
0 0
解之得 x1 x2 x3 0.
x2 x3 0
所以 1, 2 , 3 线性无关 .
§3.3 2024/7/17 线性相关性
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四、极大线性无关组 秩
§3.3 2024/7/17 线性相关性
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1）证：由于 1,2 不成比例，1,2 线性无关. 2）解： 由 k11 k22 k33 0,
k1 3k3 0
即
k1 3k2 2k1 k2 4k1 2k2
0 7k3 0 14k3 0
解得 k1 3k3 , k2 k3 , k3 为自由未知量.
k1, k2 , , kr , 使 k11 k22 k rr 0.
r
作线性组合 x11 x22 x rr xii
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(线性方程组)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第3章线性方程组3.1复习笔记一、消元法1．初等变换变换1：用一非零的数乘某一方程，变换2：把一个方程的倍数加到另一个方程，变换3：互换两个方程的位置，称为线性方程组的初等变换．2．消元法解方程的过程（1）首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0＝0”（如果出现的话）去掉；（2）如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解；（3）在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数，小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解．3．定理在齐次线性方程组中，如果s＜n，那么它必有非零解．二、n 维向量空间1．n 维向量的定义所谓数域P 上一个n 维向量就是由数域P 中n 个数组成的有序数组a i 称为向量（1）的分量．用小写希腊字母α，β，γ，…来代表向量．2．向量相等的定义如果n 维向量1212(,,...,),(,,...,)n n a a a b b b αβ==的对应分量都相等，即就称这两个向量是相等的．记作α＝β．3．向量和的定义向量1122(,,...,)n n a b a b a b γ=+++，称为向量1212(,,...,),(,,...,)n n a a a b b b αβ==的和，记为γαβ=+．4．零向量和负向量的定义分量全为零的向量（0，0，…，0）称为零向量，记为0；向量（－a 1，－a 2，…，－a n ）称为向量α＝（a 1，a 2，…，a n ）的负向量，记为－α．5．向量加法的基本运算规律（1）α＋β＝β＋α，（交换律）（2）α＋（β＋γ）＝（α＋β）＋γ，（结合律）（3）α＋0＝α，（4）α＋（－α）＝0，（5）α－β＝α＋（－β）．6．向量与数乘的定义设k为数域P中的数，向量称为向量与数k 的数量乘积，记为kα．7．向量乘法的运算性质：（1）k（α＋β）＝kα＋kβ，（2）（k＋l）α＝kα＋lα，（3）k（lα）＝（kl）α，（4）1α＝α．8．n维向量空间的定义以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间．三、线性相关性1．定义向量α称为向量组β1，β2，…，βs 的一个线性组合，如果有数域P 中的数k 1，k 2，…，k s 使112s k k k 2s αβββ =+++．由定义知，零向量是任一向量组的线性组合（只要取系数全为0就行了）．当向量α是向量组β1，β2，…，βs 的一个线性组合时，也说α可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出．2．等价的定义（1）定义如果向量组α1，α2，…，αt 中每一个向量αi （i＝1，2，…，t）都可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出，那么向量组α1，α2，…，αt 就称为可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出．如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价．（2）向量等价的性质：①反身性：每一个向量组都与它自身等价．②对称性：如果向量组α1，α2，…，αs 与β1，β2，…，βt 等价，那么向量组β1，β2，…，βt 也与α1，α2，…，αs 等价．③传递性：如果向量组α1，α2，…，αs 与β1，β2，…，βt 等价，β1，β2，…，βt 与γ1，γ2，…，γp 等价，那么向量组α1，α2，…，αt 与γ1，γ2，…，γp 等价．3．线性相关性的定义如果向量组α1，α2，…，αs （s≥2）中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组α1，α2，…，αs 称为线性相关的．定义的另一种表述为：向量组α1，α2，…，αs （s≥1）称为线性相关，如果有数域P 中不全为零的数k 1，k 2，…，k s ，使120s k k k 12s ααα +++=4．线性无关性的向量组（1）定义：一向量组α1，α2，…，αs （s≥1）不线性相关，即没有不全为零的数k 1，k 2，…，k s 使120s k k k 12s ααα +++=就称为线性无关；或者说，一向量组α1，α2，…，αs 称为线性无关．（2）两个小结论：①如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关．②如果一向量组线性无关．那么它的任何一个非空的部分组也线性无关．5．向量组的基本性质的几种表述（1）设α1，α2，…，αr 与β1，β2，…，βs 是两个向量组，如果①向量组α1，α2，…，αr 可以经β1，β2，…，βs 线性表出，②r＞s，那么向量组α1，α2，…，αr 必线性相关．（2）如果向量组α1，α2，…，αr 可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出，且α1，α2，…，αr 线性无关，那么r s．（3）任意n＋1个n 维向量必线性相关．（4）两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量．6．极大线性无关组（1）定义一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组．如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关．（2）性质：①向量组的极大线性无关组不是唯一的；②每一个极大线性无关组都与向量组本身等价；③一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的；④一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量．7．向量组的秩（1）定义向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩．（2）性质①线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组，所以一向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所含向量的个数相同．②每一向量组都与它的极大线性无关组等价．由等价的传递性可知．任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价．所以，等价的向量组必有相同的秩．③含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组，全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组．规定这样的向量组的秩为零．。
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------第三章 线性方程组§1消元法一 授课内容：§1消元法二 教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组.三 教学重难点：用消元法解线性方程组.四 教学过程：所谓的一般线性方程组是指形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ....................................................22112222212111212111 （1） 的方程组，其中n x x x ,,,21Λ代表n 个未知量，s 是方程的个数，ij a （s i ,,2,1Λ=，n j ,,2,1Λ=）称为方程组的系数，j b （s j ,,2,1Λ=）称为常数项.所谓方程组（1）的的一个解就是指由n 个数 组成的有序数组（n k k k ,,,21Λ） ，当 n x x x ,,,21Λ分别用 n k k k ,,,21Λ 代入后，（1）中每个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它的全部解，或则说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵------------------------------------------------------------------------------------------------------------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sn s s n n b b b a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛ21212222111211 来表示.在中学代数里，我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元，三元线性方程组，实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复的对方程组进行变换，而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1．用一非零的数乘某一方程.2．把一个方程的倍数加到另一方程.3．互换两个方程的位置.定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.消元法的过程就是反复的施行初等变换的过程.可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.对于线性方程组反复的施行初等变换，一步一步做下去，最后就得到一个阶梯形方程组.⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++=++++=++++++000001222222111212111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛr r n rn r rr n n r r n n r r d d x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c （5） 显然（5）与（1）是同解的.考察（5）的解的情况.如（5）中的方程10+=r d ，而01≠+r d 这时不管 n x x x ,,,21Λ取什么值都不能使它成为等式，故（5）无解，因而（1）也无解.当 01=+r d ，或（5）中根本没有“00=”的方程时，分两种情况：1）n r =，这时阶梯形方程组为------------------------------------------------------------------------------------------------------------⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n d x c d x c x c d x c x c x c ΛΛΛΛΛΛ2222211212111 有唯一解.例 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-622452413231321321x x x x x x x x .解 上述方程有唯一的解 )6,1,9(--.2）n r <，这时阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=+++++++n n nn r r r r rr n n r r n n r r d x c x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ11,222222********* 其中0≠ii c ，s i ,,2,1Λ= ，把它改写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+---=++---=+++++++++++n nn r r r n r r r r rr n n r r r r n n r r r r x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ11,11,211,222222111,111212111 （7） 由（7）我们可以把 r x x x ,,,21Λ 通过 n r x x ,,1Λ+ 表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而 n r x x ,,1Λ+ 称为一组自由未知量.例 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+-1424524132321321321x x x x x x x x x .------------------------------------------------------------------------------------------------------------解 一般解为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2)7(21321x x x . 定理1 在齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0........................................0......0......221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 中，如果n s <，那么它必有非零解.把矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sn s s n n b b b a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛ21212222111211 称为线性方程组（1）的增广矩阵，显然，用初等变换花线性方程组（1）成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵.例 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0424524132321321321x x x x x x x x x .解: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0412********→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---110021001312→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100021001312从最后一行可以看出原方程组无解.§2 n 维向量空间一 授课内容：§2 n 维向量空间二 教学目的：理解和掌握n 维向量空间的概念，掌握n 维向量空间的------------------------------------------------------------------------------------------------------------两种运算及八条运算律三 教学重难点： n 维向量空间的概念.四 教学过程：定义2 所谓数域P 上一个n 维向量就是由数域P 中n 个数组成的有序数组),,,(21n a a a Λ （1） i a 称为向量（1）的分量.定义 3 如果n 维向量 =α),,,(21n a a a Λ，=β),,,(21n b b b Λ的对应分量都相等，即i a i b = n i ,,2,1Λ=.就称这两个向量是相等的，记作=αβ定义4 向量=γ),,,(2211n n b a b a b a +++Λ称为向量=α),,,(21n a a a Λ，=β),,,(21n b b b Λ的和，记为βαγ+=.由定义立即推出（1）交换律：βα+αβ+=.（2）结合律：)(γβα++γβα++=)(.定义 5 分量全为零的向量)0,,0,0(Λ称为零向量，记为0，向量),,,(21n a a a ---Λ 称为向量=α),,,(21n a a a Λ的负向量，记为α-.显然对于所有的α，都有αα=+0,0)(=-+αα.定义6 )(βαβα-+=-.------------------------------------------------------------------------------------------------------------定义7 设k 为数域P 中的数，向量),,,(21n ka ka ka Λ称为向量=α),,,(21n a a a Λ与数k 的数量乘积，记为αk .由定义立即推出βαβαk k k +=+)(αααl k l k +=+)(ααkl l k =)(αα=1定义8 以数域P 中的数作为分量的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P 上的n 维向量空间.向量通常是写成一行 =α),,,(21n a a a Λ有时候也可以写成一列 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a M 21α 前者称为行向量，后者称为列向量.§3线性相关性一 授课内容：§3 线性相关性二 教学目的： 理解和掌握以下概念：线性组合、线性表出、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组的秩.三 教学重难点：线性相关与线性无关的概念.四 教学过程：------------------------------------------------------------------------------------------------------------定义9 向量α称为向量组s βββ,,,21Λ的一个线性组合，如果有数域P 中的数s k k k ,,,21Λ，使α=s s k k k βββ+++Λ2211.任何一个n 维向量α都是向量组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==)1,,0,0()0,,1,0()0,,0,1(21ΛΛΛΛΛΛn εεε 的一个线性组合，因为n n a a a εεεα+++=Λ2211向量n εεε,,,21Λ称为n 维单位向量.当向量α是向量组的一个线性组合时，我们也说α可以线性表出. 定义10 如果向量组 t ααα,,,21Λ中的每一个向量i α(t i ,,2,1Λ=)都可以由向量组s βββ,,,21Λ线性表出，那么向量组t ααα,,,21Λ就称为可以由向量组s βββ,,,21Λ 线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.由定义知，向量组之间的等价有以下性质1．反身性 每一个向量组与它自身等价.2．对称性 如果向量组t ααα,,,21Λ与s βββ,,,21Λ等价，那么向量组s βββ,,,21Λ也与t ααα,,,21Λ等价.3．传递性 如果向量组t ααα,,,21Λ与s βββ,,,21Λ等价，向量组s βββ,,,21Λ与t γγγ,,,21Λ等价，那么向量组t ααα,,,21Λ与t γγγ,,,21Λ等价.定义11 如果向量组s ααα,,,21Λ（2≥s ）中有有一向量可以经其余------------------------------------------------------------------------------------------------------------的向量线性表出，那么向量组s ααα,,,21Λ称为线性相关的.显然，因为零向量可以被任一个向量组线性表出，那么任意一个包含零向量的向量组必线性相关.定义11' 向量组s ααα,,,21Λ（1≥s ）称为线性相关，如果数域P 中不全为零的数s k k k ,,,21Λ，使02211=+++s s k k k αααΛ定义12 一向量组不线性相关，即没有不全为零的数s k k k ,,,21Λ，使02211=+++s s k k k αααΛ就称为线性无关，或者说，一向量组s ααα,,,21Λ称为线性无关，如果由02211=+++s s k k k αααΛ可以推出021====s k k k Λ.由定义立即得出，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换个说法，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.显然，由n 维单位向量 n εεε,,,21Λ组成的向量组是线性无关的. 定理2 设 r ααα,,,21Λ与s βββ,,,21Λ是两个向量组，如果1)向量组r ααα,,,21Λ可以经s βββ,,,21Λ线性表出.2)s r >.那么向量组r ααα,,,21Λ必线性相关.推论1 如果向量组可以经s βββ,,,21Λ线性表出，且r ααα,,,21Λ线性无关，那么s r ≤.推论2 任意1+n 个n 维向量必线性相关.推论3 两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量.定义13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.------------------------------------------------------------------------------------------------------------显然，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价，向量组的两个极大线性无关组是等价的.定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.定义14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.由定义立即得出，一向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.显然，等价的向量组有相同的秩.§4矩阵的秩一 授课内容： §4矩阵的秩二 教学目的： 理解和掌握行秩、列秩、矩阵的秩，掌握矩阵的秩与k 级子式的关系，会求矩阵的秩.三 教学重难点：定理4的证明.四 教学过程：如果我们把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以看作由这些行向量所组成的，同样的，如果我们把矩阵的每一列看成一个向量，那么矩阵就可以看作由这些列向量所组成的.定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩.引理 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0........................................0......0......221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵------------------------------------------------------------------------------------------------------------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 的行秩n s <，那么它有非零解.定理4 矩阵的行秩与列秩相等.因为矩阵的行秩与列秩相等，所以下面就统称为矩阵的秩.定理5 n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .推论 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0........................................0......0......221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 的行列式等于零.定义16 在一个n s ⨯矩阵A 中任意选定k 行和k 列，位于这些选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序所组成的k k ⨯矩阵的行列式，称为A 的一个k 级子式.定理 6 一矩阵的秩是r 的充分必要条件为矩阵中有一r 级子式不为零，同时所有的1+r 级子式全为零.怎样计算矩阵的秩，可以用初等变换化矩阵为阶梯形矩阵，其中非零行的数目就是原矩阵的秩.------------------------------------------------------------------------------------------------------------§5线性方程组有解的判定定理一 授课内容： §5线性方程组有解的判定定理二 教学目的： 理解和掌握线性方程组有解判定定理，利用克兰姆法则写出一般解三 教学重难点：判定定理的证明.四 教学过程：线性方程组有解的判定定理 线性方程组（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 与增广矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s sn s s n n b b b a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛ21212222111211 有相同的秩.§6线性方程组解的结构一 授课内容： §6线性方程组解的结构------------------------------------------------------------------------------------------------------------二 教学目的： 理解和掌握基础解系的概念，掌握方程组解的性质，掌握一般线性方程组解的结构.三 教学重难点：基础解系，解的结构.四 教学过程：对于齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0........................................0......0......221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 它的解构成的集合具有下面两个重要性质：1．两个解的和还是方程组的解.2．一个解的倍数还是方程组的解.综上，解的线性组合还是方程组的解.定义17 齐次线性方程组（1）的一组解t ηηη,,,21Λ称为（1）的一个基础解系，如果1）（1）的任何一个解都可以表示为t ηηη,,,21Λ的线性组合.2）t ηηη,,,21Λ线性无关.定义7 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且它所含解的个数就等于r n -，这里r 表示系数矩阵的秩.（以下将看到，r n -也是自由未知量的个数）由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.对于一般的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ....................................................22112222212111212111 （9） 如果把常数项换成零，就得到齐次线性方程组（1），方程组（1）称------------------------------------------------------------------------------------------------------------为方程组（9）的.方程组（9）的解与它的导出组（1）的解有密切的关系：1．方程组（9）的两个解的差是它的导出组（1）的解.2．方程组（9）的一个解与它的导出组（1）的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.由这两点容易证明定理8 如果0γ是方程组（9）的一个特解，那么方程组（9）的任一个解γ都可以表成ηγγ+=0 （10） 中η是导出组（1）的一个解.因此，对于方程组（9）的任一个特解0γ，当η取遍它的导出组的全部解时，（10）就给出（9）的全部解.推论 在方程组有解的情况下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组（1）只有零解.例 用消元法解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-++=-++-=+----=--++=-++6223432212231453543215432154321543215321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .例 把向量组β表示为向量组4321,,,αααα的线性组合：)1,1,2,1(=β，)1,1,1,1(1=α，)1,1,1,1(2--=α,)1,1,1,1(3--=α,)1,1,1,1(4--=α.例 证明 如果向量组r ααα,,,21Λ线性无关，而r ααα,,,21Λ，β线性相关，则向量β可以由r ααα,,,21Λ线性表出.例 设r t t t ,,,21Λ是互不相同的数，n r ≤，证明：),,,1(1-=n i i i t t Λα r i ,,2,1Λ=是线性无关的.------------------------------------------------------------------------------------------------------------例 证明 如果向量组)1(可以由向量组（2）线性表出，那么（1）的秩不超过（2）的秩.例 设r ααα,,,21Λ是一组n 维向量，证明：r ααα,,,21Λ线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可以被它们线性表出.例 证明⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ....................................................22112222212111212111 对任何的n b b b ,,,21Λ都有解的充分必要条件是系数行列式0≠ij a .例 计算矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----63789770057878421110的秩.。