2014年考研数学三真题与答案解析

2014年考研数学三真题与解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1．设0≠=∞

→a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（ ）

（A ）2

a a n >

（B ）2

a a n <

（C ）n a a n 1-

> (D)n

a a n 1+< 【详解】因为0≠=∞

→a a n n lim ，所以0>∀ε，N ∃，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ，

εε+≤<-a a a n ，取2

a =

ε，则知2

a a n >

，所以选择（A ）

2．下列曲线有渐近线的是

（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x

x y 1

sin += （D ）x

x y 12

sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞

→x y x lim

且01

==-∞→∞→x

x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =

应该选（C ）

3．设3

2

dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3

x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）

（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）6

1

=

d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++

=，显然3

1

010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）

（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两

点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的． 显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而

())()(x f x x f =+-211λλ，

故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≤+-，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）

【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令

x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）

５．行列式

d

c d c b

a b a

00000000等于

（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2

2

2

2

c b

d a - （D ）2

2

2

2

c b

d a +- 【详解】

2

00000000000

0000

0)()()(bc ad bc ad bc bc ad ad d

c b a bc

d c b a ad d

c c b

a b d c d b a a d

c

d c b

a b a

--=-+--=+-=+-=

应该选（B ）．

6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的

（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则

（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等

于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．

而当⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但

321ααα,,线性相关；故选择（A ）

． 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ）

（A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4

【详解】)(.)(.)()()()()()(.)(A P A P A P B P A P A P AB P A P B A P 505030=-=-=-==-． 所以60.)(=A P ，=-)(A B P 205050.)(..)()(=-=-A P AB P B P ．故选择（B ）． 8．设321X X X ,,为来自正态总体),(2

0σN 的简单随机样本，则统计量3

2

12X X X S -=

服从的分布是

（A ）),(11F （B ）),(12F （C ） )(1t （D ）)(2t 【详解】2

3

213

2

122X

X X X X X S -=

-=

，显然

),(~1022

1N X X σ

-，

)(~122

2

3χσ

X ，且

),(~1022

1N X X σ

-与

)(~122

2

3χσX 相互独立，从而)(~12222

23

2

123

213

2

1t X X X X

X X X X X S σσ-=

-=

-=

故应该选择（C ）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．设某商品的需求函数为p Q 240-=（p 为商品的价格），则该商品的边际收益为 ． 【详解】2

240p p pQ p R -==)(，边际收益p p R 440-=)('．

10．设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+y x 及2=y 所围成的有界区域，则D 的面积为 ． 【详解】22

1

121

01

ln +=

+=

⎰⎰⎰⎰

--y

y

dx dy dx dy S