多元复合函数的二阶偏导数公式

多元复合函数的二阶偏导数公式

黄世强郑州工业大学数力系孙跃俊焦作工学院基础部

454150摘要本文建立了多元复合函数的二阶偏导数公

式。关键词偏导数矩阵内积中图分类号O17211使用

Jacobi矩阵能够给出多元复合函数的一阶偏导数公式1。但

是长期以来对于多元复合函数的高阶偏导数却只有运算法

则没有计算公式。本文以具有两个中间变元的复合函数为例

建立了多元复合函数的二阶偏导数公式。从而使繁冗且易错

的运算可以规范化地进行。1一阶偏导数的各种表示式设

函数zfuv∈C2其中uuxy∈C2vvxy∈C2。构造函数矩阵行向

〕By〔u′yv′ｙ

〕则成立一阶偏导数

量2:A〔f′uf′ｖ

〕Bx〔u′xv′ｘ

公式5z5xf′uu′xf′vv′xABTxABx15z5yf′uu′yf′vv′yABTyABy2其中AT是A的转置ABx是A与Bx的内积。定义称

F?6?9f〃uuf〃uvf〃uvf〃vv为A关于u、v的导数矩阵。2

定理定理一矩阵A关于x或y的偏导数等于矩阵Bx或By

〕

左乘A关于u、v的导数矩阵F。证明5A5x〔55xf′u5A5xf′ｖ〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvBxF3同理可得5A5yByF4定

〔u′xv′ｘ

理二设矩阵G〔Υｘ、y.7x、y〕∈C′则

55xAGTBxFGTA55xGT5第18卷第3期1997年9月郑

州工业大学学报

JournalofZhengzhouUniversityofTechnology Vol118

No131Sep1199755yAGTByFGTA55yGT6证明由式