苏教版数学高二-必修五课时作业 等差数列的前n项和(一)

2.2.3 等差数列的前n 项和(一)

课时目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其性质.2.掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的关系．

1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做______．例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记作______；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝______ (n ≥2)．

2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝____________；若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝__________. 3．等差数列前n 项和的性质

(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

S n n 也是等差数列，且公差为________．

(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．

(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则a n b n ＝S 2n －1

T 2n －1

.

一、填空题

1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7＝________.

2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1

d ＝________.

3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 2

8＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10＝________.

4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于________． 5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为____________．

6．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是________．

7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.

8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5

b 5

的值是

________．

9．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为________．

10．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________．

二、解答题

11．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .

12．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭

⎬

⎫

S n n 的前n 项和，求T n .

能力提升

13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．

14．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得

a n

b n

为整数的正整数n 的个数是________．

1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．

在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，用公式S n ＝n (a 1＋a n )

2较好，

若已知首项a 1及公差d ，用公式S n ＝na 1＋n (n －1)

2

d 较好．

2．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．

2．2.3 等差数列的前n 项和(一)

答案

知识梳理

1．S n S 16 S n －1 2.n (a 1＋a n )2 na 1＋12n (n －1)d 3.(1)d

2

作业设计 1．49

解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)

2

＝49.

2.12

解析 由题意得：

10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋1

2×5×4d )，

∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，

∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝1

2

.

3．－15

解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0， ∴a 3＋a 8＝－3，

∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2

＝－15.

4．45

解析 数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，

∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45. 5．665

解析 因为a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，

∴n ＝14，S 14＝14×2＋1

2

×14×13×7＝665.

6．－3

解析 由⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1

＋a 3＋…＋a

2n －1＝na 1

＋n (n －1)

2

×(2d )＝90，a 2

＋a 4

＋…＋a

2n ＝na 2＋n (n －1)

2

×(2d )＝72，

得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.

7．15

解析 设等差数列的公差为d ，则

S 3＝3a 1＋3×2

2d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，

S 6＝6a 1＋6×5

2

d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.

由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝－1，d ＝2.

故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 8.6512 解析 a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝65

12

. 9．10

解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)

2＝165，

S 偶＝n (a 2＋a 2n )2

＝150.

∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ＋1n ＝165150＝11

10，

∴n ＝10.