苏教版数学高二-必修五课时作业 等差数列的前n项和(一)

2.2.3 等差数列的前n 项和(一)
课时目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其性质.2.掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的关系．
1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做______．例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记作______；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝______ (n ≥2)．
2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝____________；若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝__________. 3．等差数列前n 项和的性质
(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 也是等差数列，且公差为________．
(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．
(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则a n b n ＝S 2n －1
T 2n －1
.
一、填空题
1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7＝________.
2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1
d ＝________.
3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 2
8＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10＝________.
4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于________． 5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为____________．
6．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是________．
7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.
8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5
b 5
的值是
________．
9．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为________．
10．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________．
二、解答题
11．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .
12．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭
⎬
⎫
S n n 的前n 项和，求T n .
能力提升
13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．
14．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得
a n
b n
为整数的正整数n 的个数是________．
1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．
在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，用公式S n ＝n (a 1＋a n )
2较好，
若已知首项a 1及公差d ，用公式S n ＝na 1＋n (n －1)
2
d 较好．
2．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．
2．2.3 等差数列的前n 项和(一)
答案
知识梳理
1．S n S 16 S n －1 2.n (a 1＋a n )2 na 1＋12n (n －1)d 3.(1)d
2
作业设计 1．49
解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)
2
＝49.
2.12
解析 由题意得：
10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋1
2×5×4d )，
∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，
∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝1
2
.
3．－15
解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0， ∴a 3＋a 8＝－3，
∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2
＝－15.
4．45
解析 数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，
∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45. 5．665
解析 因为a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，
∴n ＝14，S 14＝14×2＋1
2
×14×13×7＝665.
6．－3
解析 由⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1
＋a 3＋…＋a
2n －1＝na 1
＋n (n －1)
2
×(2d )＝90，a 2
＋a 4
＋…＋a
2n ＝na 2＋n (n －1)
2
×(2d )＝72，
得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.
7．15
解析 设等差数列的公差为d ，则
S 3＝3a 1＋3×2
2d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，
S 6＝6a 1＋6×5
2
d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.
由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－1，d ＝2.
故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 8.6512 解析 a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝65
12
. 9．10
解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)
2＝165，
S 偶＝n (a 2＋a 2n )2
＝150.
∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ＋1n ＝165150＝11
10，
∴n ＝10.
10．210
解析 方法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.
方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m
3m
成等差数列，
∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m 3m
. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.
11．解 由⎩⎨⎧
a n
＝a 1＋(n －1)d ，
S n
＝na 1
＋n (n －1)
2
d ，
得⎩⎨⎧
a 1＋2(n －1)＝11，
na 1
＋n (n －1)
2
×2＝35，
解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
n ＝7，a 1
＝－1.
12．解 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋1
2
n (n －1)d ，
∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧
7a 1＋21d ＝7
15a 1＋105d ＝75，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－2
d ＝1
， ∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋1
2
(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12
， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，
∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－9
4
n .
13．10
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.
当n ＝19时，S 19＝190. 当n ＝20时，S 20＝210>200.
∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根． 14．5
解析a n
b n
＝
A2n－1
B2n－1
＝
14n＋38
2n＋2
＝
7n＋19
n＋1
＝
7(n＋1)＋12
n＋1
＝7＋12
n＋1
，
∴n＝1,2,3,5,11.。