2021年深圳市高考数学重难点热点复习：圆锥曲线

2021年深圳市高考数学重难点热点复习：圆锥曲线

1．已知椭圆C ：x 2

a +y 2

b =1（a ＞b ＞0）的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一

个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于√5π，直线l 与椭圆C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点O 作直线l 的垂线，垂足为D ．若OA ⊥OB ，求动点D 的轨迹方程．

【解答】解：（1）由题意知，{a =2b √a 2+b 2=√5

，解得{a =2b =1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．

（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，

由{y =kx +m

x 24

+y 2=1消去y 整理得（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0， 根据题设有：△＝16（1+4k 2﹣m 2）＞0且x 1+x 2=−

8km 1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2．

∵OA ⊥OB ，∴OA →⋅OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2＝0， 将y 1＝kx 1+m ，y 2＝kx 2+m 代入，化得km(x 1+x 2)+(1+k 2)x 1x 2+m 2=0， 把x 1+x 2=−8km

1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)

1+4k 2代入整理得：5m 2＝4（k 2+1）， ∵OD ⊥l ，∴|OD|=√k +1=√m 2

k 2+1=√45=

2√55； 当直线l 的斜率不存在时，设l ：x ＝t ，由{x =t x 2

4

+y 2=1， 得A(t ，√1−t 24)，B(t ，−√1−t 24)． ∵OA ⊥OB ，∴|OA |2+|OB |2＝|AB |2，解得|t|=2√55，∴|OD|=|t|=2√55． 所以动点D 的轨迹是以原点O 为圆心，半径为

2√55的圆，方程为x 2+y 2=45． 2．已知椭圆C ：x 2

a 2+y 2

b 2=1（a ＞b ＞0）的右顶点为M （2，0），且离心率e =12，点A ，B

是椭圆C 上异于点M 的不同的两点．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线MA 与直线MB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1•k 2=1

4，证明：直线AB 一定过

定点．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得a ＝2，e =c a =12，

解得c ＝1，b =√a 2−c 2=√3，

则椭圆的方程为x 24+y 23=1；

（Ⅱ）证明：当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx +t ，

可设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1=y 1x 1−2，k 2=y

2x 2−2， 由{y =kx +t 3x 2+4y 2−12=0

可得（3+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣12＝0， 则△＝64k 2t 2﹣4（3+4k 2）（4t 2﹣12）＝﹣48（t 2﹣3﹣4k 2）＞0，

即t 2＜3+4k 2，可得x 1+x 2=−

8kt 3+4k 2，x 1x 2=4t 2−123+4k 2， 由k 1•k 2=14，可得4y 1y 2＝（x 1﹣2）（x 2﹣2），

即4（kx 1+t ）（kx 2+t ）＝x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4，

化为（4k 2﹣1）x 1x 2+（4kt +2）（x 1+x 2）+4t 2﹣4＝0，

可得（4k 2﹣1）•4t 2−12

3+4k 2，+（4kt +2）（−8kt 3+4k 2）+4t 2﹣4＝0，

可化为t 2﹣2kt ﹣8k 2＝0，解得t ＝﹣2k ，或t ＝4k ，

t ＝﹣2k 时，直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣2），

直线AB 恒过定点（2，0），这与A ，B 不与M 重合矛盾，故不成立；

t ﹣＝4k 时，直线AB 的方程为y ＝k （x +4），则直线AB 恒过定点（﹣4，0）； 若直线AB 的斜率不存在，设AB ：x ＝m ，

代入椭圆方程可得y ＝±√3•√1−m 24，

由k 1•k 2=14，可得﹣4×3×（1−m 24）＝（m ﹣2）（m ﹣2）， 解得m ＝﹣4（2舍去），

综上，直线AB 恒过定点（﹣4，0）．

3．已知动圆C 的圆心为点C ，圆C 过点P （3，0）且与被直线x ＝1截得弦长为4√2．不过

原点O 的直线l 与点C 的轨迹交于A ，B 两点，且|OA →+OB →|＝|OA →−OB →|．

（1）求点C 的轨迹方程；

（2）求三角形OAB 面积的最小值．