《二次函数》中考专题复习课件
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一、二次函数的定义
定义：一般地，形如y=ax²＋bx＋c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）的函数叫做______.
定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2
③代数式一定是整式
练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5x²，y=3x²2x³+5,其中是二次函数的有____个。
2，函数 y(m2ห้องสมุดไป่ตู้2)xm22 当m取何值时，
（1）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？
（1）若是二次函数，则 m2 22 且m2m20
∴当 m 2时，是二次函数。
（2）若是反比例函数，则 m2 21且m2m20
∴当 m 1 时，是反比例函数。
驶向胜利的彼 岸
小结：
1. 二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几 种不同表示形式:
2a
4a
2a
4a
小结：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点
a>0 a<0
坐标
y=ax 2 y=ax 2+k
开 开 y轴(x=0) ( 0,0 )
口口
( 0,k )
2
y=a(x- h)
向
向
( h,0 )
y=a (x-h)+2 k 上
下 x=h ( h,k )
当 | a | 的值越大时，抛物线开口越小，函数值 y 变化越快。 当 | a | 的值越小时，抛物线开口越大，函数值 y 变化越慢。 只要a相同，抛物线的形状（开口大小和开口方向）就相同。
点评：二次函数的几种表现形式及图像
①、 yax2(a0)
②、 ya2xc(a0) ③、 ya(xh)2(a0) ④、 ya(xh)2k(a0)
⑤、 ya2xb xc(a0)
y
o
x
(顶点式) (一般式)
基础演练
1. 如图,抛物线 y=ax2+bx+c,请判断下列 各式的符号：
①a 0; ②c 0; ③b2 - 4ac 0; ④ b 0;
再按照以下步骤画： ①画对称轴
②确定顶点
③确定与y轴的交点
(-2,0) 0
④确定与x轴的交点 (3,0)x ⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点
⑥连线
(1,-6) (0,-6)（—12 ，-—245）
当然，细画抛物线应该按照：列表（在 自变量的取值范围内列）、描点（要 准）、连线（用平滑的曲线）三步骤来 画。
当 -2<x<3
时,y<0
4、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与 一次函数y=ax+c在同一坐标系内 的大致图象是C （ ）
y
y
y
y
x
o
x
o
x
o
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
5、
已知二次函数
y1x2 x3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两 点，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时， y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
x
A
B
C
√D
小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。即由一个图象得 出字母的取值范围，再去检验这个字母的符号是否适合另一个
图象
3、画二次函数y=x2-x-6的图象，顶点坐标是（__—12_，__-—2_45_）___
对称轴是____x_=—_12___画。二次函数的大致图象:先配成顶点式，
y x=—12
二、二次函数的图象及性质
y
y
(0,c)
b 2a
,
4acb2 4a
0
(0,c)
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
x
b 2a
,
4acb2 4a
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
0
x
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2.当m_______时,函数y=(m+1)χ m2 m- 2χ+1 是二次函数？
巩固一下吧！
3、下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次
函数？
(1) y
3
x
4
(3)y12x
(2)y x2 (4)y2x2 13
x
(5)yx2x1 (6)y(x 1 )2(x1 )2
(7)y(x2)23 (9)yx21
y
C
O A Bx
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac 决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
变变式式12：：若若抛抛物物线线yyaxx2243xx3a的2 图1的象图如象图如，图则，
则△aA=BC的面积. 是
。
2、下列各图中可能是函数y ax2 c
与 y a (a0,c0 )的图象的是( )
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向 增减性 最值
a>0,开口向上
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当 xb时 ,y最小4值 a cb为 2 当 xb时 ,y最大4值 a cb为 2
y x=—12 (-2,0) 0
增减性:
当x 1
2
时,y随x的增大而减小
当 x 1 时,y随x的增大而增大
2
(3,0)x 最值:
当x
1 2
时,y有最 小值,是
25 4
(1,-6) (0,-6)（—12 ，-—245）
函数值y的正负性: 当 x<-2或x>3 时,y>0
当 x=-2或x=3 时,y=0
特别注意：在实际问题中画函数的图像时要注意自变量的取值范围，若图像是直线， 则 画图像时只取两个界点坐标来画（包括该点用实心点，不包括该点用空心圈);若是二次 函数的图像，则除了要体现两个界点坐标外，还要取上能体现图像特征的其它一些点
3、二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_（_—_12_，_-_—2_45）___ 对称轴是__x_=_—12_____。
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
各种形式的特 征
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
（4)y=a(x-h)2 (a≠0)
(5)y=a(x-h)2 +k(a≠ 0)
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最 高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
x
(8)y0.5x21 (10)x2y2 5
1，函数 yax2bxc （其中a、b、c为常
数），当a、b、c满足什么条件时，
（1）它是二次函数；
（2）它是一次函数；
（3）它是正比例函数；
当 a 0 时，是二次函数；
驶向胜利的彼 岸
当 a0,b0 时，是一次函数； 当 a0,b0,c0 时，是正比例函数；
定义：一般地，形如y=ax²＋bx＋c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）的函数叫做______.
定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2
③代数式一定是整式
练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5x²，y=3x²2x³+5,其中是二次函数的有____个。
2，函数 y(m2ห้องสมุดไป่ตู้2)xm22 当m取何值时，
（1）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？
（1）若是二次函数，则 m2 22 且m2m20
∴当 m 2时，是二次函数。
（2）若是反比例函数，则 m2 21且m2m20
∴当 m 1 时，是反比例函数。
驶向胜利的彼 岸
小结：
1. 二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几 种不同表示形式:
2a
4a
2a
4a
小结：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点
a>0 a<0
坐标
y=ax 2 y=ax 2+k
开 开 y轴(x=0) ( 0,0 )
口口
( 0,k )
2
y=a(x- h)
向
向
( h,0 )
y=a (x-h)+2 k 上
下 x=h ( h,k )
当 | a | 的值越大时，抛物线开口越小，函数值 y 变化越快。 当 | a | 的值越小时，抛物线开口越大，函数值 y 变化越慢。 只要a相同，抛物线的形状（开口大小和开口方向）就相同。
点评：二次函数的几种表现形式及图像
①、 yax2(a0)
②、 ya2xc(a0) ③、 ya(xh)2(a0) ④、 ya(xh)2k(a0)
⑤、 ya2xb xc(a0)
y
o
x
(顶点式) (一般式)
基础演练
1. 如图,抛物线 y=ax2+bx+c,请判断下列 各式的符号：
①a 0; ②c 0; ③b2 - 4ac 0; ④ b 0;
再按照以下步骤画： ①画对称轴
②确定顶点
③确定与y轴的交点
(-2,0) 0
④确定与x轴的交点 (3,0)x ⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点
⑥连线
(1,-6) (0,-6)（—12 ，-—245）
当然，细画抛物线应该按照：列表（在 自变量的取值范围内列）、描点（要 准）、连线（用平滑的曲线）三步骤来 画。
当 -2<x<3
时,y<0
4、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与 一次函数y=ax+c在同一坐标系内 的大致图象是C （ ）
y
y
y
y
x
o
x
o
x
o
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
5、
已知二次函数
y1x2 x3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两 点，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时， y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
x
A
B
C
√D
小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。即由一个图象得 出字母的取值范围，再去检验这个字母的符号是否适合另一个
图象
3、画二次函数y=x2-x-6的图象，顶点坐标是（__—12_，__-—2_45_）___
对称轴是____x_=—_12___画。二次函数的大致图象:先配成顶点式，
y x=—12
二、二次函数的图象及性质
y
y
(0,c)
b 2a
,
4acb2 4a
0
(0,c)
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
x
b 2a
,
4acb2 4a
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
0
x
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2.当m_______时,函数y=(m+1)χ m2 m- 2χ+1 是二次函数？
巩固一下吧！
3、下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次
函数？
(1) y
3
x
4
(3)y12x
(2)y x2 (4)y2x2 13
x
(5)yx2x1 (6)y(x 1 )2(x1 )2
(7)y(x2)23 (9)yx21
y
C
O A Bx
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac 决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
变变式式12：：若若抛抛物物线线yyaxx2243xx3a的2 图1的象图如象图如，图则，
则△aA=BC的面积. 是
。
2、下列各图中可能是函数y ax2 c
与 y a (a0,c0 )的图象的是( )
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向 增减性 最值
a>0,开口向上
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当 xb时 ,y最小4值 a cb为 2 当 xb时 ,y最大4值 a cb为 2
y x=—12 (-2,0) 0
增减性:
当x 1
2
时,y随x的增大而减小
当 x 1 时,y随x的增大而增大
2
(3,0)x 最值:
当x
1 2
时,y有最 小值,是
25 4
(1,-6) (0,-6)（—12 ，-—245）
函数值y的正负性: 当 x<-2或x>3 时,y>0
当 x=-2或x=3 时,y=0
特别注意：在实际问题中画函数的图像时要注意自变量的取值范围，若图像是直线， 则 画图像时只取两个界点坐标来画（包括该点用实心点，不包括该点用空心圈);若是二次 函数的图像，则除了要体现两个界点坐标外，还要取上能体现图像特征的其它一些点
3、二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_（_—_12_，_-_—2_45）___ 对称轴是__x_=_—12_____。
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
各种形式的特 征
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
（4)y=a(x-h)2 (a≠0)
(5)y=a(x-h)2 +k(a≠ 0)
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最 高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
x
(8)y0.5x21 (10)x2y2 5
1，函数 yax2bxc （其中a、b、c为常
数），当a、b、c满足什么条件时，
（1）它是二次函数；
（2）它是一次函数；
（3）它是正比例函数；
当 a 0 时，是二次函数；
驶向胜利的彼 岸
当 a0,b0 时，是一次函数； 当 a0,b0,c0 时，是正比例函数；