(完整版)三角形“四心”的向量表示

三角形“四心”的向量表示

我们都知道，在三角形中，因为有三条边和三个内角，所以有很多的性质。在三角形众多的“心”中，有几个是学生应该掌握的，主要是四个心：重心，内心，外心，垂心。不仅要理解其定义、性质，还需了解和分析其向量的表示形式。由于向量是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必要对它们进行整理和归纳，让同行借鉴。

一．各心的定义。

1． 重心：三角形三条边的中线的交点。其性质一是连接重心和顶点，延长后必交于对应边的中点。其性质二是重心把中线长分成2：1。

2． 垂心：三角形三边的高线的交点。其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂直。

3． 外心：三角形三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆心。其性质是外心到三顶点等距离。

4． 内心：三角形三内角平分线的交点，即三角形的内切圆的圆心。其性质是内心到三边等距离。

二．各心的向量表示。

在三角形ABC 中，点O 为平面内一点，若满足：

1．0=++OC OB OA ，则点O 为三角形的重心。

分析：由OB OC OA +=-，以OC OB ,为邻边作一平行四边形OBEC ， 点D 为BC 中点，如图，由向量的平行四边形法则， 有OB OC OE +=，交BC 于D ，从而有OA AO OD OE -===2

故O 为重心。

E C

B

2==，则点O 为三角形的外心。

3

．OA

OC OC

OB OB OA ⋅

=⋅

=⋅，

+=+=+，则点O 为三角形的垂心。 分析：由OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅有三个等式，其中一个如OC OB OB OA ⋅=⋅， 则有0)(=-OC OA OB ，有0=⋅CA OB ，故AC OB ⊥。同理可证，点O 为三角

形的垂心。

D C 而在三角形ABC 中，记OA a =，OB b =，OC c =，则由2222BO AC CO AB +=+

2222)()(b c a c b a +-=+-，展开为c a b a ⋅=⋅22，则0)(=⋅-b c a

故OB AC ⊥

，同理可证OA BC ⊥，从而点O 为三角形的垂心。

40=++，则点O 为三角形的内心。 分析：若点O 为三角形ABC 的内心。如图，延长AO ，过点C 作BO CE //，由于

CDE BDO ∆∆与相似，有DB CD OB CE =，由AD 为角A 的平分线，有AB

AC DB CD =，

从而有AB AC OB CE =，,OB AB AC CE ⋅=故OB AB

AC CE ⋅=

C

同理可得，BC BD OE OD =，BC BD OD OE ⋅=，而BO 为角B 的内角平分线，AB

OA BD OD =， 有OA AB BC BC AB OA OE ⋅=⋅=，故AO AB

BC OE ⋅= 而CE OC OE +=，所以OB AB

AC OC AO AB BC ⋅+

=⋅，

OB AC OC AB OA BC ⋅+⋅=⋅-0=++

三．动点的轨迹过三角形心的问题：

设点P 为三角形ABC 所在平面内的一个定点，点Q 为平面内的一个动点，若满足： 1．)(AC AB PA PQ ++=λ，

（其中R ∈≠λ

λ,0），则动点Q 一定过ABC ∆的重心。 2．AC AB

PA PQ ++=λ，

（其中R ∈≠λ

λ,0），则动点Q 一定过ABC ∆的内心。

AC

AB 表示AC AB ,方向的单位向量之和，由菱形性质可知，

AC

AB

λ为角A 的内角平分线。

3．PA PQ ++=λ（其中

R ∈≠λ

λ,0）

，则动点Q 一定过ABC ∆ 的垂心。

+

如图，在ABC ∆中，,BC AD ⊥延长AD ，

过点B 作,//AC BM 记,1BD a =,2CD a = ,AC b =,AB c =则21a a b BM =，b a a BM ⋅=21，故有AC a a BM ⋅=2

1 2a a AD AM =，AD a a AM ⋅=2，AD a a AM ⋅=2

C

由BM AB AM +=，从而有AC a a AB AD a a 212+=⋅， C AC AC B AB AB a AC a AB AD a a a

cos

cos 212

1⋅+⋅=+=⋅，有AD

AC AB + AC

AB

+

BC 垂直。

4．2AC AB PC PB PQ +++=λ（其中R ∈≠λλ,0），则动点Q 一定过ABC ∆的外心。

四．三角形的外心O 与它的垂心H 的关系：

)(2HC HB HA OC OB OA OH ++-=++=。

在ABC ∆中，以BC 所在的直线为x 轴，BC 的中点为原点建立坐标系。设),(11y x A ，

)0,(2x B -，)0,(2x C 。则不难求得它的外心坐标)2)(,0(1

2

12221y x x y O --，从而有 )2)(3,(12121221y y x x x OC OB OA --=++。它的垂心坐标),(1

21221y x x x H -，从而有

))(3,2(1

2

122211y x x y x HC HB HA ---=++。 向量作为一种新的知识，其在不少的规律上有简明的表现，蕴含丰富的规律。只要我们用心去发现，还能找到更加美丽的关系的。