(完整版)三角形“四心”的向量表示

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三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是(((=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++ 。

若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；范例(一例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(ACAB++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心A CB1e 2e P解析：因为AB是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心AB(x 1C(x 2,yx H Q G D EF解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

平面向量与三角形“四心”

解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA 121平面向量与三角形“四心”◎胡建勋刘健( 永吉实验高中132200)平面向量是高中数学的重要工具之一，它不仅可以把几何问题转化为代数问题求解，也可以把代数问题转化为几何问题求解．它与高中数学的许多模块( 三角函数，平面解析几何，立体几何，数列，不等式等) 都有紧密联系．借助平面向量研究三角形“四心”问题更会起到意想不到的效果．本文仅从几个方面加以说明，以餐读者．一、“三角形四心”的向量表示1．三角形重心的向量表示→ → →G 是△ABC 重心 GA + GB + GC = 0 若 D ，E ，F 分别为→ → → → → →AB ，BC ，CA 中点则CG = 2 GD ( 或AG = 2 GE ，BG = 2GF ) 2．三角形外心的向量表示 →→ →O 是 △ABC 外心，==OB OC ( → →→ → →→ → →→OA + OB )·AB = ( OB + OC )·BC = ( OA + OC ) ·AC = 0．3．三角形内心的向量表示 (→ → )→ →I 是 △ABC 内心IA ·= IB ·( → → ( →→= IC·= 0．4．三角形垂心的向量表示H 是 △ABC→→ → → → →垂心 HA ·BC = HB ·AC = HC ·AB→ → → → → →HA·HB = HB·HC = HC·HA ．二、“三角形四心”相关问题 1．“三角形四心”的判定解题策略利用向量运算化简题干中的向量等式，再据“三角形四心”的向量表示判定．例，(→→)1 点 O 为 △ABC 所在平面内一点OA + OB ·→ ( → →) → ( → →) →AB = OB + OC ·BC = OA + OC ·OB = 0，则 O 是△ABC() ．A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心→解析设 D 为 AB→ →边中点，( OA + OB ) = 2 OD ，由→ →→ → →( OA + OB )·AB = 0，∴ OD·AB = 0，O 在 AB 垂直平分线上，同理 O 应在 BC ，AC 垂直平分线上．∴ O 是△ABC 外心．应选 B ．例 2 点 O 为△ABC 所在平面内一点，且满足→2 +OA BC → 2 = OB → 2 + AC → 2 = OC → 2 +AB →2 ，则 O 是 △ABC的( ) ． A ．重心 B ．外心 C ．内心 D ．垂心解析由→2 +→2 = → 2 +→ 2得，OABC OB AC → → → →→ → →→→ ( AC － BC ) ( AC + BC ) + ( OB － OA ) ( OB + OA ) =0， AB( → →) →( → →)AC + BC + AB OB + OA = 0．→ →2 AB·OC = 0，则 O 是△ABC 中 AB 边的高上，同理 O 应在△ABC 中 AC ，BC 边的高上， ∴O 是△ABC 垂心．应选 D ．2．“三角形四心”与动点轨迹解题策略: 探究动点经过特殊点问题，首先据题干给出的向量等式，利用向量运算化简后，结合向量运算的几何意义，判定动点轨迹特征．例 3 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所→ →( → → )，则 P 点轨在平面内一动点，若OP = OA + λ 迹一定通过△ABC 的() ．A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心( → → )解析由若+ →OP = OA + λ→→AP =→→→→分别为→，→同向的单位向λ量，AP 与∠A 平分线所在直线共线， ∴ P 过△ABC 内心，应选 C ．例 4 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所( → →) ( → →)在平面内一动点，若 OP － OA · AB － AC = 0，则 P 点轨迹一定通过△ABC 的A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心解析→ → → → → →→ →AB － AC = CB ，OP － OA = AP ，又∵ ( OP － OA )·( → →)AB － AC= 0，→ →→ →∴ AP·CB = 0，AP ⊥BC ． ∴ P 在过 A 点且垂直于 BC 的垂线上，点 P 轨迹过 △ABC 的垂心应选 D ．例 5 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所→ →→→，则 P 点轨迹一定通过△ABC 的() ． A ．重心 B ．外心C ．内心 D．垂心→ → →→得:解析由OA = OP + λ+→→，→ →= λ= 0．→ →∴ PA ⊥BC ．∴ P 在过 A 点且垂直于 BC 的直线上，( 转下页)数学学习与研究 2016. 9解题技巧与方法122 JIETI JIQIAO YU FANGFA数列{ n2 }和 S n 的新求法◎郑晶晶 ( 永嘉县东瓯街道办事处消防办，浙江温州 325100) 【摘要】介绍数列{ n2}和 S n的新求法．【关键词】数列; 初等数学= 4 + 4 + 4 + 4笔者在文中介绍了数列{ n2}和 S n的新求法．其很好的= 3 + 3 + 3 = 2 + 2展现了数学之美且易懂．= 1．即: T n + S n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］一式: n2 = 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n － 3) + ( 2n － 1) +［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］= 2 + 4 + 6 + 8 + … + ( 2n － 2) + 2n － n=［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］·2 － n．+［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］得到三式:( n2 + n) /2 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n +［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］(在这里我们把等号的右边部分看作数列{ n( n + 1) /2}其+［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］．和 T n．(上共有( n + 1)个［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］相T n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］+ 加)［1 + 2 + 3 + … + ( n － 1)］所以容易得出T n + S n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］·( n + 1) + ( 1 + 2 + 3 + 4) = n·( n + 1) /2·( n + 1)+ ( 1 + 2 + 3) =［n·( n + 1)2］/2．+ ( 1 + 2) 又因为 T n为数列{ n( n + 1) /2}和，+ 1．因为 n( n + 1) /2 = ( n2 + n) /2，二式: n2 = n + n + n + … + n + n．(此处共有 n 个 n 相所以 Tn=［n( n + 1) /2 + S ］/2．加) 所以 T n + S n =［n( n + 1) /2 + S n］/2 + S n．所以所以［n( n + 1) /2 + S n］/2 + S n =［n·( n + 1)2］/2．S n = n + n + n + … + n + n．(此处共有 n 个 n 相加) 最后得出 S n = n( n + 1) ( 2n + 1) /6．= n + n + n + … + n(此处共有 n － 1 个 n － 1 相加)( 接上页)∴ P 在 BC 边高上，应过△ABC 的垂心，应选 D．→例 6 在△ABC 中，动点 M →2 －→2 →满足AC AB = 2 AM·BC，则点 M 一定通过△ABC 的( ) ．A．重心B．外心C．内心→2－→2D．垂心→ →→→解析由 AC AB = 2 AM · BC 得: ( AC － AB )→ →→→( AC + AB) = 2 AM·BC→→→→→→设 D 为 BC 中点，AC + AB = 2 AD，2 BC·AD = 2 AM·→ → →BC，BC·MD = 0．M 点应在 BC 的垂直平分线上．应选B．3．“三角形四心”的应用解题策略: 利用向量法解决有关“三角形四心”相关问题，首先确定一组基底，再根据“三角形四心”的向量表示，用向量线性运算，模的运算，向量数量积运算等简化( 经常利用正弦定理和余弦定理) 题干条件．例 7 G 是△ABC 的重心，AB，AC 的边长为 2 和 1，→→) ．∠BAC = 60°，则AG·BG等于(A．8 B．－1099C．5 －槡3 D．－5 + 槡39 9→ 1 → →解析AG = ( AB + AC)，3→ 1 →→ 1 →→BG = ( BC + BA) = ( AC － 2 AB)．3 3→ → 1 →→ 1 →→AG·BG = ( AB + AC) ×( AC － 2 AB)3 31 →2 →→→2)8= ( AC － AB·AC － 2 AB = －．9 9→例 8 O 是外接圆半径为 1 的△ABC 外心，且满足了 3 →→→→OA + 4 OB + 5 OC = 0，则OA·BC =→→→→→→解法 1 →→→OA·BC = OA ( OC － OB) = ，OA ·OC － OA ·→= →= →，OB又∵OA OB OC→→→3 OA +4 OB +5 OC = 0，∴ 9 → 2 →→→= 25 → 2OA + 12 OA·OB + 16 OB OC→→→→→→ 2 →→OA·OB = 0，3 OA + 5 OC = － 4 OB，9 OA + 30 OA·→ 2 = 16 → 2OC + 25 OC OB→ → 3 → → 3∴ OA·OC = －，∴ OA·BC = －．5 5→→解法 2 →→→→由 3 OA + 4 OB + 5 OC = 0，则以 3 OA，4 OB，5 →→OC为边可构成一个边长为3，4，5 的三角形，OA ·BC =→·→cos ∠AOC －→·→cos ∠AOB = cos OA OC OA OB∠AOC － cos∠AOB．∵ cos∠AOB = ，cos∠AOC = －3 →→ 3，∴ OA·BC = －．5 5数学学习与研究2016. 9。

三角形“四心”的向量表示及运用2

三角形“四心”的向量表示及运用示例平面向量有一非常优美的结论:已知O 为△ABC 内一点,则=0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅,称为平面向量的“奔驰定理”.本文给出平面向量“奔驰定理”的一种证明,并给出O 在△ABC 外的结论,在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示及其运用示例.一、两个定理定理1:设O 是△ABC 内一点,且S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0证:如图,设→OA ＝－→OA '.过A '作OC 的平行线交OB 于B ',过A '作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA '＝→OB '＋→OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △A 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1所以→OB '＝k 2k 1→OB ,同理→OC '＝k 3k 1→OC所以－→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1→OC即k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 □定理2:设O 是△ABC 外一点,不妨设点A 和点O 位于直线BC 的两侧,若S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→证: 过A 作OC 的平行线交OB 于B ',过A 作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA ＝→OB '＋→OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1 所以→OB '＝k 2k 1→OB ,同理→OC '＝k 3k 1→OC所以→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1→OC即－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 □ 特别:当点O 在△ABC 的某一边上,不妨设O 在BC 边上(不与B ,C 重合).则相当于k 1＝0,上面定理仍然成立.二、三角形的“四心”及其向量表示 1.三角形的重心(1)定义:三条边上的中线的交点 (2)设O 是△ABC 的重心,则①设D ,E ,F 分别是边BC ,AC ,AB 的中点,则AO :OD ＝BO :OE ＝CO :OF ＝2:1②→OA ＋→OB ＋→OC ＝→0 证:重心必在三角内.1:1:1::31=⇒===AOB AOC BOC ABC AOB AOC BOC S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆结合定理1可得结论. □注:还有其他证明方法,此处不表.③点O 的坐标为(x A ＋x B ＋x C 3,y A ＋y B ＋y C3)④推论1: D ,E ,F 分别是边BC ,AC ,AB 的中点,则→AD ＋→BE ＋→CF ＝→0 推论2:P 是△ABC 所在平面内任意一点,则O 是△ABC 的重心⇔→PO ＝13(→P A ＋→PB ＋→PC )2.三角形的外心(1)定义:三角形外接圆的圆心,即三边中垂线的交点(2)O 是△ABC 的外心⇔|→OA |＝|→OB |＝|→OC |(或222OC OB OA ==)(3)O 是△ABC 的外心,则sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 证:S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB当O 在△ABC 内时, 有sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB ＝sin 2A :sin 2B ;sin 2C ; 由定理1有sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 当O 在△ABC 外(不妨设点A 和点O 位于直线BC 两侧)时,有sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB ＝－sin 2A :sin 2B ;sin 2C ; 由定理2有－(－sin 2A )·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0, 即sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 □3.三角形的内心(1)定义:三角形内切圆的圆心,即三个角的角平分线的交点 (2)设△ABC 的角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c . 若O 是△ABC 的内心.则a →OA ＋b →OB ＋c →OC ＝→证:内心O 一定在△ABC 内部.设内切圆半径为r 则S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝12ar :12br :12cr ＝a :b :c由定理1可得结论 □4.三角形的垂心(1)定义:三角形三条高线的交点(2)若O 是△ABC (非直角三角形)的垂心,则tanA ·→OA ＋tanB ·→OB ＋tanC ·→OC ＝→0 证:当△ABC 为锐角三角形,即O 在△ABC 内部时先证S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝tanA :tanB :tanC因为∠BOD ＝∠AOE ,∠AOE ＋∠OAE ＝90° 所以∠BOD ＋∠OAE ＝90°, 同理∠COD ＋∠OAF ＝90°, 所以∠BOC ＋∠A ＝180° 所以sin ∠BOC ＝sinA同理sin ∠AOC ＝sinB ,sin ∠AOB ＝sinC .所以S △BOC S △AOC ＝12OB ·OCsin ∠BOC 12OA ·OCsin ∠AOC ＝OBsinA OAsinB ＝OBcosA ·tanAOA cosB ·tanB＝OBcos ∠BOF ·tanA OAcos ∠AOF ·tanB ＝OF ·tanA OF ·tanB ＝tanAtanB同理S △BOC S △AOB ＝tanAtanC所以S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝tanA :tanB :tanC ,由定理1有tanA ·→OA ＋tanB ·→OB ＋tanC ·→OC ＝→当△ABC 为钝角三角形,即O 在△ABC 外部时.结合定理2可得结论. □三、例题1.O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足 →OP ＝→OA ＋λ(→AB |→AB |＋→AC |→AC |),λ∈[0,＋∞),则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心已知O 是△ABC 所在平面上的一点, 若cb a PCc PB b PA a PO ++++= (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点),则O 点是△ABC 的( )A . 外心B . 内心C . 重心D . 垂心2.O 是△ABC 所在平面内的一点,且OA ·(→AB |→AB |－→AC |→AC |)＝OB ·(→BA |→BA |－→BC |→BC |)＝OC ·(→CA |→CA |－→CB |→CB |)＝→0 则O 是△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心3.若动点P 满足)|||(|AC AB AB AC AP ⋅+⋅=λ,R λ∈,则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）A . 重心B . 内心C . 垂心D . 外心4.O 是△ABC 所在平面内的一点,且→OA ·→OB ＝→OB ·→OC ＝→OC ·→OA ,则O 是△ABC 的( ) A . 重心 B . 垂心 C . 外心 D . 内心5.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[sin ||sin ||(+∞∈+=λλCAC AC BAB AB OA OP ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心6.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[cos ||cos ||(2+∞∈+++=λλCAC ACB AB AB OC OB OP ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心7.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心8.设G 为△ABC 的重心,0||32||2||3=++GC AB GB CA GA BC ,则ACBC BCAB ⋅的值为9.H 是斜三角形ABC 的垂心,A =45°,BACC AB AH tan tan +=λ,λ=________10.若△ABC 外接圆的圆心为O ,半径为4,022=++AC AB OA ,则CA 在CB 方向上的投影为( )22.7.15.4.D C B A11.在△ABC 中,D 为三角形所在平面内的一点,且AC AB AD 2131+=;则 =ACDBCD S S △△（）32.21.31.61.D C B A12.P 是△ABC 所在平面上一点,满足AB PC PB PA 2=++.若S △ABC =6,则 △P AB 的面积等于（）A .4B .3C .2D .113.△ABC 内一点O 满足032=++OC OB OA ,直线AO 交BC 于点D ,则（） 05.05.023.032.=+=-=+=+OD OA D OD OA C DC DB B DC DB A14.△ABC 内接于以O 为圆心,半径为1的圆,且0543=++OC OB OA ,则 △ABC 的面积为（）23.56.65.1.D C B A15.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2acosB =2c ﹣b ,若O 是 △ABC 外接圆的圆心,且AO m AC BCAB C B =⋅+⋅sin cos sin cos ,则m =。

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r⇔G 为ABC ∆的重心. 2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故C tan B tan A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。

若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ruu u r u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为AB是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 是ABC ∆ 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r ，由平行四边形性质知12OE OD =u u u r u u u r，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质

为三角形的Ａ外心Ｂ内心
C 重心
D 垂心
（B
）
6．在三角形
ABC
中，动点
P
满足：
2
CA
2
CB
2AB• CP ，则
P
点轨迹一定通过△ABC
的：
（B）Ａ外心
Ｂ内心
C 重心
D 垂心
7.已知非零向量A→B与A→C满足(|AA→→BB|
A→C +|A→C|
)·B→C=0 且|AA→→BB|
·|AA→→CC|
若 O 是 ABC (非直角三角形)的垂心，则 S BOC：S AOC：S AOB tan A：tan B：tan C
故 tan AOA tan BOB tan COC 0
3．O
是 ABC 的外心
|
OA
||
OB
||
OC
|
(或
2
OA
2
OB
2
OC
)
若 O 是 ABC 的外心则 SBOC：SAOC：SAOB sinBOC：sinAOC：sinAOB sin2A : sin2B : sin2C
例 11．设 O、G、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心.
求证 OG 1 OH
3
证明按重心定理 G 是△ABC 的重心 OG 1 (OA OB OC)
3
按垂心定理 OH OA OB OC
由此可得 OG 1 OH .
3
补充练习
1．已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足
3
证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG ( AG BG CG) (PA PB PC)

运用平面向量判断三角形的四心公式

运用平面向量判断三角形的四心公式三角形是数学中一个基本的概念，它具有丰富的性质及应用。

三角形的四心公式是三角形重要的性质之一，利用平面向量的知识可以简单地求得。

下面将详细介绍此公式，并给出实际问题的应用。

首先，我们需要了解什么是三角形的四心。

在三角形ABC中，围绕着三角形有四个中心，分别是：重心G、垂心H、外心O、内心I，它们的特点如下：重心G：三角形三个顶点到相对边之间连线的交点。

在等边三角形中，重心就是其唯一的交点；垂心H：三角形的三个顶点落垂线的交点之一；外心O：三角形外接圆的圆心，即三角形三边的垂直平分线的交点之一；内心I：内切圆的圆心，即三角形三条边所在直线的垂直平分线的交点之一。

接下来，我们来推导三角形的四心公式。

设三角形ABC的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)。

那么，三角形的重心坐标可以表示为：G = (1/3)*(A+B+C) = (x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3垂心坐标不同于重心，但它们的横纵坐标可以表示为：tanA = |(y2-y1)/(x2-x1)|, tanB = |(y3-y2)/(x3-x2)|, tanC = |(y3-y1)/(x3-x1)|由于垂线斜率关于法线斜率取负倒数，所以垂线方程分别为：Hx = (y2-y1)/(x2-x1)*(y3-y2)/(x3-x2)*(y3-y1)/(x3-x1)*(y-y2)+x2；Hy = -(x2-x1)/(y2-y1)*(x3-x2)/(y3-y2)*(x3-x1)/(y3-y1)*(x-x2)+y2；外心坐标可以由三边中垂心的直线求出，考虑到三条中垂线相交于一点，所以求解直线交点即可。

该点重要的性质是与三角形顶点距离相等，于是有：OA = OB = OCOx = (a*x1+b*x2+c*x3)/(a+b+c), Oy =(a*y1+b*y2+c*y3)/(a+b+c) 其中，a = BC^2*(y1-y2)-AB^2*(y3-y2)+AC^2*(y3-y1) b = BC^2*(x2-x1)-AB^2*(x3-x1)+AC^2*(x3-x2) c = (y3-y2)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x3-x2)最后，我们将探讨三角形的四心公式的实际应用。

三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）

三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ，得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ．二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ；扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心．证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =；又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕．四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之．五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证）测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点）进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一），知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ．解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27．解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ．解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=，则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ，故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27．解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差；由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差；联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21．解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23．如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线，得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ，求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形．证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21；则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。

三角形四心的向量应用

→
→
2
3
|AB| |AC| 2
形．故选 D.
→ →
→
→
→
→
→
→
→
7.已知向量OP1，
OP2，OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1，
求证：△P1P2P3 是正三角形．
证明
→
→
→
→
→
1
由已知条件可得OP1＋OP2＝－OP3，两边平方，得OP1·OP2＝－ .
2
→
→
→
→
1
同理OP2·OP3＝OP3·OP1＝－ .即∠P1OP2＝∠P2OP3＝∠P1OP3＝120°，
O,N,P 依次是△ABC 的
外心 ,
重心 , 垂心 .
解析由||=||=||知 O 为△ABC 的外心;
由 + + =0 知 N 为△ABC 的重心;
因为·=·,所以(-)·=0,
所以·=0,所以⊥,即 CA⊥PB,
同理 AP⊥BC,CP⊥AB,所以 P 为△ABC 的垂心.
角形各顶点(1)O是△ABC的重心⇔OA＋OB＋OC＝0；
→ → → → → →
(2)O是△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；
→
→
→
→
→
→
(3)O是△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|(或OA2＝OB2＝OC2)；
→
→
→
→
→

||
+

||
,即=λ

||
+
分别表示平行于和的单位向量,故
||

三角形“四心”向量形式的结论及证明

三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。

它们的位置可以用向量的形式来描述。

本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。

1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。

证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。

而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。

因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。

根据向量加法的性质，可以得到上述结论。

2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。

用O表示外心。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。

其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。

证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。

根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。

根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。

三角形四心”的向量表示及应用

ACB1e 2e P三角形“四心”的向量表示及应用（一）三角形各心的概念介绍姚保英丁晓欣 1、重心——三角形的三条中线的交点；注：重心性质①三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的2/3。

②已知ABC ∆及其重心O ，则有→→→→=++0OC OB OA其中若()()()()y x O y x C y x B y x A ,,,,,,,332211则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x2、垂心——三角形的三条垂线的交点；3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；注：角分线性质定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，. 如图：在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，则BCAB DC AD =4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．（二）三角形各心的向量表示1、 O 是ABC ∆的重心0=++⇔OC OB OA ；2、 O 是ABC ∆的垂心OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅⇔；3、 O 是ABC ∆的外心||||||OC OB OA ==⇔(或222==)；4、 O 是ABC ∆的内心-⋅=-⋅=⋅⇔||(||||(||||(CA OC BC BA OB AC AB OA )||CB 0=；注意：向量）0(≠+λλACAB所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线) 二、典型例题(一) 将平面向量与三角形内心结合考查例1．(03年新课标)O 是平面上的一定点，C B A ,,是平面上不共线的三个点，动点P 满足+=OA OP (ACAB+λ，[)+∞∈,0λ, 则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：因为AB是向量AB 的单位向量，设AB 与AC 方向上的单位向量分别为12=-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形基本性质可知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，故选B ．(二) 将平面向量与三角形垂心结合考查例2．(2005．湖南文)P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC ∆的（）A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：由PC PB PB PA ⋅=⋅得0=⋅-⋅PC PB PB PA . 即,0)(=-⋅PC PA PB 即0=⋅CA PB ,则,CA PB ⊥AB PC BC PA ⊥⊥,同理，所以P 为ABC ∆的垂心．故选D ．(三) 将平面向量与三角形重心结合考查例3．P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是ABC ∆的重心⇔)(31++=. 证明：CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=，∵G 是△ABC 的重心，∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3,由此得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） (四) 将平面向量与三角形外心结合考查例4．若O 为ABC ∆内一点，||||||OC OB OA ==，则O 是ABC ∆的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等．故O 是ABC ∆的外心，故选B ． (五) 将平面向量与三角形四心结合考查例5．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证:△P 1P 2P 3是正三角形．（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题）证明：由已知1OP +2OP =3OP -，两边平方得1OP ·2OP =21-，同理2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形. 反之，若点O 是正△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |．即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心．三、专题训练1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足OP =31(21OA +OB 21+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的（）A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点（非重心）C ．重心D ．AB 边的中点2．在同一个平面上有ABC ∆及一点O 满足关系式：+=+=+22222OC CA OB BC OA 2AB ，则Ｏ为ABC∆的（）Ａ．外心Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心3．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足+=OA OP )(AC AB +λ，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的Ａ．外心Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心（）4．已知P 为ABC ∆所在平面上一点，且点P 满足0=⋅+⋅+⋅PC c PB b PA a ，则点P 为ABC ∆的Ａ．外心Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心（） 5．在ABC ∆中，动点P 满足CP AB CB CA ⋅-=222, 则P 点轨迹一定通过ABC ∆的（）Ａ．外心Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心6．已知非零向量AB 与AC 满足0)||||(=⋅+BC AC AC AB AB ,且21||||=⋅AC ACAB AB, 则ABC ∆为（） A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 7．（2009年．陕西卷文）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于Ａ．49Ｂ．43C ．43- D ．49-（）8．（2009年．宁夏海南卷理）已知,,O N P 在ABC ∆所在平面内，且||||||OA OB OC ==，0NA NB NC ++=，且PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点,,O N P 依次是ABC ∆的（） A ．重心、外心、垂心 B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心 D ．外心、重心、内心9. (2005.全国理)ABC ∆外接圆的圆心为O ，两条边上高的交点为H ，++=OB OA m OH ()OC ，则实数=m 参考答案或提示1、B ．提示：取AB 边中点M ，则OM OB OA 2=+，由OP =31(21+21+2OC ),可得+=332，∴32=，即点P 为ABC ∆中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B ．2、D ．提示：由2222-=-得))(())((+-=-+, 即⋅+)(⋅+=)(,∴02)(=⋅=--+⋅,∴⊥, 同理CA OB ⊥,CB OA ⊥, 故选D ． 3、C ．提示：设BC 边中点为D, 则有=-OA OP )(AC AB +λ，即=AP AD AD λλ22=⋅, ∴AP 过ABC ∆的重心，故选C ．4、B ．提示：,,AC PA PC AB PA PB +=+=则=⋅+⋅+⋅PC c PB b PA a)(=+⋅+⋅++c b c b a ,所以)(b c c b a bc AP +++=，因为bc +分别为AB ,AC 方向上的单位向量，所以向量b c +平分BAC ∠,因为AP 与bc +共线，所以AP 平分BAC ∠，同理BP 平分ABC ∠,CP 平分ACB ∠,所以P 是ABC ∆的内心，故选B ．5、A ．提示：)()()(222+⋅=+⋅-=-=⋅，即=⋅CP AB 2+⋅()，∴0)()2(=+⋅=--⋅, ∴以,为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，∴点P 在线段AB 的中垂线上，故选A ． 6、D ．提示： 0)||||=⋅+BC AC AB ，∴角A 的平分线垂直于BC ，又 AB =AC ，且cos A 21=, ∴∠A =3π．∴ABC ∆为等边三角形，故选D ． 7、D ．提示：由2AP PM =知, P 为ABC ∆的重心,根据向量的加法, 2PB PC PM +=，则2224()2()()39PA PB PC PA PM PA AP PA MA ⋅+=⋅=⋅=-=-=-．故选D ．8、C ．提示：由||||||OA OB OC ==知，O 为ABC ∆的外心；由0NA NB NC ++=知，N 为ABC ∆的重心； ,PA PB PB PC ⋅=⋅∴()0,PA PC PB -⋅=∴0,CA PB ⋅=∴,CA PB ⊥同理,BC AP ⊥∴P 为ABC ∆的垂心，故选C ．9、1．提示：特殊法，设ABC ∆为∆Rt ，则O 为斜边BC 中点，H 与A 重合，∴OA m OA ⋅=，∴1=m ．。

向量与三角形内心、外心、重心、垂心

向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB l l l l l l =++1.1.定理：如图，设定理：如图，设定理：如图，设OP OP 则则，且 (记忆:交叉分配系数) =()OA OBAP BP l +2.2.若若M 是OP OP上的任意一点，则上的任意一点，则上的任意一点，则OM OM (记忆:分母对应分配系数) 应用1: （1）中线: （2）高线: （3）角平分线: （4）中垂线: 应用2.四线上的动点表示: (1)中线上的动点: ()AB AC l +或()||sin ||sin AB AC AB B AC Cl +(2)高线上的动点:()cos cos AB AC AB BAC C l +, (3)角平分线上的动点:()AB ACABACl +(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OCAB AC OP AB B AC Cl +=++,O ABC OA S OB S OC D 定理：设是内任意一点，b a SAOBAOC：：：=D =1:1:1Û0OA OB OC ++=B tan A tan S AOB AOC ：：：=D 0OC OB OA 0aOA bOB cOC 1()3PO PA PB PC =++OA OB OB OC OC OA ×=×=× )))AB AC BC BA CA OC OB OA 已知O 是平面上一定点，||||AB AC AB AC l æö=++ç÷, l 题2：已知O 是平面上一定点，()OP OA AB AC l =++, l ÎO 是平面上的一定点，A ()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cl =++是平面上的一定点，A 、B ()||cos ||cos AB AC AB B AC Cl +题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点()OB OCABAC++D. 内心,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ×+=(||BA OB BA ×+||CB CB ) ()||||BC CAOC BC CA ×+= 0内心 D. 外心OA OB OC ++= 0, 1()PO PA PB PC D. 垂心OA OB OB OC OC OA ×=×=×，则 D. 垂心 2222|||||||OA BC OB CA +=+=22|||OC AB +，则 D. 外心题11：已知O 是△ABC )OA OB AB +×()OB OC BC +×()OC OA CA +×= 0，则 D. 垂心aOA bOB cOC ++= = 00，则D. 垂心aPA bPB cPC =题14：△ABC 的外OH =()m OA OB OC ++，则实数二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知||||ABACAB AC 12||||AB AC AB AC ×=，则△等边三角形|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则等边三角形||BA tBC -≥||AC ，则△题18：已知a , b, c 分别为△GA b GB c GC ×+×+×= = 00, 则△内一点，23OA OB OC ++= 0, 则：题20：如图，已知点是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心，记CA = a ,则11m n +=_____.|(sin AB OP OA C ABl =++sin )AC B ACG C P Q 。

三角形四心向量公式总结

三角形四心向量公式总结三角形四心向量公式是一种重要的数学理论，它可以用来计算三角形形状的几何特征，以及三角形的内部关系。

这种理论在很多方面都有着重要的应用，它可以用来解答一些几何问题，比如求解三角形面积，求解三角形内切圆半径，以及求解三角形外接圆半径等。

三角形四心向量公式基本上是由十六世纪意大利数学家拉罗什欧几里得提出的。

他利用这个公式求解了三角形几何特性。

根据这个公式，可以计算出三角形内心、外心、重心和旋心的坐标。

三角形四心向量公式的主要思想是将一个三角形内部的三个点都映射到一个三维向量空间中。

这个向量空间的x、y、z坐标的值分别是点PA、PB、PC的x、y、z坐标的值。

然后将三维空间中的三个点投影到二维空间中，这样就可以求得三角形的三个内心、外心、重心和旋心的坐标。

一个三角形的内心是三角形内部的垂心，也就是三条边的共线中点；而外心是三角形外部的垂心，也就是外接圆的圆心；重心是三角形内部的重心，也就是三条边的重心；而旋心是三角形外部的旋转中心，也就是外接圆的圆心。

三角形四心向量公式的优点非常明显，它可以求解三角形的内心、外心、重心和旋心的坐标，并且这一求解过程非常简单，只需计算三个点的三维坐标，然后将它们投影到二维空间中即可。

此外，三角形四心向量公式还可以用于计算多边形的几何特性。

它可以用来计算多边形的质心、最大质点、最小质点、外接圆等。

对于给定的多边形，可以利用这一公式求解出多边形的重心、内切圆、外接圆等。

三角形四心向量公式也有一些不足之处。

例如，它只能用于计算几何点的三维坐标，因此不能直接用于计算三角形的面积或求解三角形外接圆的半径。

这意味着需要对计算结果进行一定的转换才能得到更多有用的信息。

总之，三角形四心向量公式是一种重要的数学理论，它可以用来求解三角形的内心、外心、重心和旋心坐标，以及多边形的质心、最大质点、最小质点、外接圆等。

它的优点就在于求解过程非常简单，只需计算三个点的三维坐标，然后将它们投影到二维空间中即可。

高中数学：三角形四心与向量

三角形四心的向量表示知识点总结奔驰定理：O 为ABC 内的一点，,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=1.重心（1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;说明：若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;（2）P 为ABC 所在平面内的一点，1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 证明：CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））2．垂心（1）O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心⇔0OC C tan OB B tan OA A tan =++;说明：若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan=++（2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;3．外心（1）O 是ABC ∆(非直角三角形)的外心⇔0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++;说明：若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OAA 2sin =++（2）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OCOB OA ==)4．内心（1）O 是ABC ∆内心⇔0OC c OB b OA a =++ 。

三角形四心的向量表示PPT教学课件

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三、重心
三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。证明重心定理
证明:(同一法)设中线BE,CF交于点G,连结EF,
A
F G E
则EF//BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2. 同理中线AD,BE交于G ,连结DE,则: DE//AB,且EG:GB=DG:GA=DE:AB=1:2, 故G,G重合.
5
例3． O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP OA (
AB AC ), | AB | cos B | AC | cos C
则P的轨迹一定通过△ABC的_______解: ∵BC (
AB AC BC AB BC AC ) | AB | cos B | AC | cos C | AB | cos B | AC | cos C
1 1 则 AG AD (b a ) b a, 2 2 1 1 EG EB ( b a ) b a. 2 2
A
F G
1 2
E
AE EG AG, 即 : b ( b a) b a.
1 1 1 ( )a ( )b 0. a, b不平行, 2 2 2
AH BC.
垂心
4
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．
1.O是 ABC
的垂心

1
O A O B O B O C O C O A
AB AC 2. ( ) | AB | cos B | AC | cos C
2
[0, )
是△ABC的边BC的高AD 上的任意向量，过垂心.

完整版三角形四心的向量表示

二角形“四心”的向量表示我们都知道，在三角形中，因为有三条边和三个内角，所以有很多的性质。

在三角形众多的“心”中，有几个是学生应该掌握的，主要是四个心：重心，内心，外心，垂心。

不仅要理解其定义、性质，还需了解和分析其向量的表示形式。

由于向量是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必要对它们进行整理和归纳，让同行借鉴。

一. 各心的定义。

1. 重心：三角形三条边的中线的交点。

其性质一是连接重心和顶点，延长后必交于对应边的中点。

其性质二是重心把中线长分成 2 : 1。

2 . 垂心：三角形三边的高线的交点。

其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂直。

3. 外心：三角形三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆心。

其性质是外心到三顶点等距离。

4. 内心：三角形三内角平分线的交点，即三角形的内切圆的圆心。

其性质是内心到三边等距离。

二. 各心的向量表示。

在三角形ABC中，点0为平面内一点，若满足：1 . OA OB 0C 0，则点O为三角形的重心。

分析：由OA OC OB，以OB,OC为邻边作一平行四边形OBEC，点D为BC中点，如图，由向量的平行四边形法则，有OE OC OB，交BC 于D，从而有OE 2OD AO OA故O为重心。

3. OA OB OB OC OC OA ,分析：若点O 为三角形ABC 的内心。

如图，延长AO ，过点C 作CE//BO ，由于CE CDCD ACBDO与CDE 相似，有O B -，由 AD 为角A 的平分线，有辰亦，2. OA |OBOC ，则点o 为三角形的外心。

或者阿2岡 OB|AC 2 OC_ 2AB ，则点O 为三角形的垂心。

分析：由OA OBOB OC OC OA 有三个等式，其中一个如 OA OBOB OC ,贝U 有OB(OA OC) 0,有OB CA 0，故OB AC 。

同理可证, 点O 为三角形的垂心。

AC 2 BO 22— —— —rI--(a b)2 c (a c)2 b ，展开为 2a b 2a c ，则(a c) b 0故AC OB ，同理可证BC OA ，从而点O 为三角形的垂心。

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++; 若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故=++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅即则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

三角形的“四心” 定理的平面向量表达式及其证明

三角形的“四心” 定理的平面向量表达式及其证明①O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PPP ∆三边) 证明：充分性1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP ，2OP 为邻边作平行四边形132'OP P P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OP OP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。

必要性：O 是123PP P ∆的重心⇒1230OP OP OP ++=如图，延长1PO 交23P P 于P ，则P 为23P P 的中点，由重心的性质得12POOP =. ∵()12323122()2=-=-⨯+=-+OP OP OP OP OP OP ∴1230OP OP OP ++= ②点O是123PP P ∆的垂心⇔122O POP O P O P O PO P⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OP PP ⊥,123OP P P ⊥31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅. ③点O 是123PP P ∆的外心⇔23OP OPOP ==．证明：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等)⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线的交点)P 12PP 3OPABCDO④O 是123PP P ∆的内心⇔1230a OP b OP c OP ⋅+⋅+⋅=。

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三角形“四心”的向量表示
我们都知道，在三角形中，因为有三条边和三个内角，所以有很多的性质。

在三角形众多的“心”中，有几个是学生应该掌握的，主要是四个心：重心，内心，外心，垂心。

不仅要理解其定义、性质，还需了解和分析其向量的表示形式。

由于向量是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必要对它们进行整理和归纳，让同行借鉴。

一．各心的定义。

1．重心：三角形三条边的中线的交点。

其性质一是连接重心和顶点，延长后必交于对应边的中点。

其性质二是重心把中线长分成2：1。

2．垂心：三角形三边的高线的交点。

其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂直。

3．外心：三角形三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆心。

其性质是外心到三顶点等距离。

4．内心：三角形三内角平分线的交点，即三角形的内切圆的圆心。

其性质是内心到三边等距离。

二．各心的向量表示。

在三角形ABC 中，点O 为平面内一点，若满足：
1．0=++OC OB OA ，则点O 为三角形的重心。

分析：由OB OC OA +=-，以OC OB ,为邻边作一平行四边形OBEC ，点D 为BC 中点，如图，由向量的平行四边形法则，有OB OC OE +=，交BC 于D ，从而有OA AO OD OE -===2
故O 为重心。

E C
B
2==，则点O 为三角形的外心。

3
．OA
OC OC
OB OB OA ⋅
=⋅
=⋅，
+=+=+，则点O 为三角形的垂心。

分析：由OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅有三个等式，其中一个如OC OB OB OA ⋅=⋅，则有0)(=-OC OA OB ，有0=⋅CA OB ，故AC OB ⊥。

同理可证，点O 为三角
形的垂心。

D C 而在三角形ABC 中，记OA a =，OB b =，OC c =，则由2222BO AC CO AB +=+
2222)()(b c a c b a +-=+-，展开为c a b a ⋅=⋅22，则0)(=⋅-b c a
故OB AC ⊥
，同理可证OA BC ⊥，从而点O 为三角形的垂心。

40=++，则点O 为三角形的内心。

分析：若点O 为三角形ABC 的内心。

如图，延长AO ，过点C 作BO CE //，由于
CDE BDO ∆∆与相似，有DB CD OB CE =，由AD 为角A 的平分线，有AB
AC DB CD =，
从而有AB AC OB CE =，,OB AB AC CE ⋅=故OB AB
AC CE ⋅=
C
同理可得，BC BD OE OD =，BC BD OD OE ⋅=，而BO 为角B 的内角平分线，AB
OA BD OD =，有OA AB BC BC AB OA OE ⋅=⋅=，故AO AB
BC OE ⋅= 而CE OC OE +=，所以OB AB
AC OC AO AB BC ⋅+
=⋅，
OB AC OC AB OA BC ⋅+⋅=⋅-0=++
三．动点的轨迹过三角形心的问题：
设点P 为三角形ABC 所在平面内的一个定点，点Q 为平面内的一个动点，若满足： 1．)(AC AB PA PQ ++=λ，
（其中R ∈≠λ
λ,0），则动点Q 一定过ABC ∆的重心。

2．AC AB
PA PQ ++=λ，
（其中R ∈≠λ
λ,0），则动点Q 一定过ABC ∆的内心。

AC
AB 表示AC AB ,方向的单位向量之和，由菱形性质可知，
AC
AB
λ为角A 的内角平分线。

3．PA PQ ++=λ（其中
R ∈≠λ
λ,0）
，则动点Q 一定过ABC ∆ 的垂心。

+
如图，在ABC ∆中，,BC AD ⊥延长AD ，
过点B 作,//AC BM 记,1BD a =,2CD a = ,AC b =,AB c =则21a a b BM =，b a a BM ⋅=21，故有AC a a BM ⋅=2
1 2a a AD AM =，AD a a AM ⋅=2，AD a a AM ⋅=2
C
由BM AB AM +=，从而有AC a a AB AD a a 212+=⋅， C AC AC B AB AB a AC a AB AD a a a
cos
cos 212
1⋅+⋅=+=⋅，有AD
AC AB + AC
AB
+
BC 垂直。

4．2AC AB PC PB PQ +++=λ（其中R ∈≠λλ,0），则动点Q 一定过ABC ∆的外心。

四．三角形的外心O 与它的垂心H 的关系：
)(2HC HB HA OC OB OA OH ++-=++=。

在ABC ∆中，以BC 所在的直线为x 轴，BC 的中点为原点建立坐标系。

设),(11y x A ，
)0,(2x B -，)0,(2x C 。

则不难求得它的外心坐标)2)(,0(1
2
12221y x x y O --，从而有 )2)(3,(12121221y y x x x OC OB OA --=++。

它的垂心坐标),(1
21221y x x x H -，从而有
))(3,2(1
2
122211y x x y x HC HB HA ---=++。

向量作为一种新的知识，其在不少的规律上有简明的表现，蕴含丰富的规律。

只要我们用心去发现，还能找到更加美丽的关系的。