麦克斯韦方程和规范理论的观念起源_杨振宁
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图 2 展示了法拉第 1831 年 10 月 17 日的日记 里的一幅图，这一天，他发现把一根磁棒放入或 移出一个螺线管，就会在其中产生电流。他就这 样发现了电磁感应现象。这个发现使得制造大大 小小的发电机成为可能，由此改变了人类的技术 发展史。
在 ER 三卷本里，法拉第记录了他的电磁感 应实验的各种变种：他改变缠绕螺线管的金属品 种；把螺线管放在各种媒质中；在两个线圈之间 产生电磁感应；诸如此类。他对以下两种现象印 象深刻：第一，只有运动的磁体才能产生电磁感 应；第二，电磁感应产生的效果似乎与动因 (cause)垂直。
E = -Ȧ ，
(2)
这里的 A 就是法拉第的电紧张强度(electrotonic in-
tensity)。
在 3 页后，也就是 JM 的 207 页，这一结果由
文字重新表达如下：
定 律 六 ： 导 体 中 任 何 部 位 的 电 动 力 (electro-
motive force)的大小和方向均由此处的电紧张强度
用今天的术语来说，麦克斯韦知道方程(1— 3) 里 含 有 规 范 自 由 度 (gauge freedom)， 也 就 是 说，给 A 加上任意一个标量函数的梯度并不会改 变最后结果。在 JM 第 198 页的定理 5 中，他明确 讨论了规范自由度。那么在方程(1—3)中他采用 了什么规范呢？他没有讨论这个问题，而是完全 保留着 A 的不确定性。我的结论是：麦克斯韦默 认存在 A 的某个规范使得方程(1—3)成立。
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· 43 卷 (2014 年) 12
Δ
现在让一个电流从左向右通过 AB。这将带动 AB 上方 gh 行的涡旋开始逆时针运动。(我们记作 “+”方向，相反方向记作“－”方向。) 我们可 以设想 kl 行的涡旋还处在静止状态，这时，两行 之间的粒子层的下方在 gh 行涡旋的带动下开始运 动，而上方尚处于静止。如果它们可以自由移 动，它们将会朝负方向旋转，同时从右向左运 动，或者说朝着 AB 电流的相反方向运动，它们 形成了感生电流。
这篇发表于 1856 年的文章充满了数学公式，
所以比法拉第的 ER 易读。它的主要结论包含在
文 章 的 第 二 部 分 ， 题 为 “ 法 拉 第 的 电 紧 张 态 ”。
在这部分(JM 的第 204 页)我们注意到一个方程，
· 43 卷 (2014 年) 12
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特约专稿
用今天的矢量形式写出来是
(wk.baidu.com)
这里 dl 是线元， dσ 是面积元。麦克斯韦没有以
方程(3)和(4)的形式写下法拉第定律，因为他的主
要目的是给予法拉第的不可捉摸的电紧张态一个
精确定义。矢量势 A 这一概念确实在麦克斯韦一
生的思想中处于一个核心位置。
图 ３ 涡旋图，选自 1890 年的文集《麦克斯韦科学论文集》 中的插图页(第 488 页的对面)。倒数第二行里有两个六边 形涡旋的箭头方向标错了，这可能是麦克斯韦的制图员的 疏忽
麦克斯韦模型的这一详细解释出现在他的第 二篇文章的第二部分，最初发表在《哲学杂志》 第 21 卷(1861 年 4—5 月)。麦克斯韦对待他那复杂 的涡旋网络模型的态度明显很认真，他在第二部 分随后的 11 页里细致地研究了这一模型。
接下来，在 1862 年 1—2 月，麦克斯韦发表 了第二篇文章的第三部分，标题是“分子涡旋理 论应用于静电学”。通过 7 页分析，他得到命题 14：“ 由 于 媒 质 的 弹 性 而 产 生 的 电 流 方 程 的 修 正 ” ( JM ， 496 页 )。 这 个 修 正 是 指 在 安 培 定 律 中 加 入 “ 位 移 电 流 (displacement current)” Ė ， 修 改 后 的 安 培 定 律 用 现 代 符 号 可 以 写 成
麦克斯韦为这类复杂的涡旋群提供了一个明 确的例子，见图 3。对此，他在 JM 的第 477 页详 细写道：
以 AB (插图页 VIII，488 页，图 2) 表示从 A 到 B 的电流。以 AB 上方和下方的较大空白区域表示 涡旋，并以分隔这些涡旋的小圆圈表示它们之间 的粒子层，在我们的假说里这些粒子代表电 现象。
２ 麦克斯韦登场
恰好也在 1854 年，麦克斯韦(1831—1879)从 剑桥大学三一学院毕业。此时他 23 岁，朝气蓬 勃，热情洋溢。他在 2 月 20 日给汤姆孙(William Thomson)写了一封信：
假如一个人对通常的电学展示实验有些了 解，但不太喜欢墨菲(Murphy)的 《电学》，他应该 如何阅读和工作，才能在这个方向上收获一些对 进一步阅读有益处的见解呢？
在理解电磁感应的摸索中，他引进了两个几 何概念：磁力线(magnetic lines of force)和电紧张 态(electrotonic state)。前者很容易图像化，只要
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在磁体和螺线管附近撒上一些铁屑就行了。我们 今天用磁场强度 H 来表示这些力线。后一个概 念，也就是电紧张态，在 ER 全书中一直模糊不 清，难以捉摸。它在第一卷中很早就出现了，见 于第 60 节，但是没有明确定义。在后续部分它以 不同的名字出现过：奇特态(peculiar state)、张力 态 (state of tension)、 奇 异 状 态 (peculiar condition)，还有其他一些名称。例如，在第 66 节他写 道“所有金属都可以呈现奇异态”；在第 68 节， 他 又 写 道 “ 这 一 状 态 好 像 是 瞬 间 呈 现 的 。” 此 外，我们在第 1114 节还读到：
特约专稿
麦克斯韦方程和规范理论的观念起源*
杨振宁 1，2 著 汪 忠 1，† 译
(1 清华大学高等研究院 北京 100084) (2 香港中文大学物理系 香港沙田)
2014－11－12 收到 † email：wangzhongemail@gmail.com
DOI：10.7693/wl20141201
的瞬时变化率决定。
将法拉第不可捉摸的电紧张态概念(或者称为
电紧张强度、电紧张函数)等同于方程(1)中汤姆 孙的矢量势 A，这件事在我看来是麦克斯韦科学
研究中的第一个重大观念突破。对方程(2)左右两
边都取旋度，我们得到
Δ
×E = -Ḣ ，
(3)
这正是法拉第定律的现代形式。它的另一种现代
形式是
∲ E∙ dl = -∬Ḣ ∙ dσ ，
× H = 4π j + Ė 。 为了搞清楚麦克斯韦是怎样得到他的修正项
的，我曾经几次试图去读麦克斯韦论文第二部分 的最后 11 页和第三部分的开头 7 页。我尤其想了 解他所说的“由于媒质的弹性”具体指的是什 么。我的所有尝试都失败了。值得一提的是，在 第二部分的最后 11 页，“位移”这个词只是在第 479 页出现了一次，而且是在一个不太重要的句 子里，可是在第三部分的开头 7 页，这个词成了 麦克斯韦的重点。所以，在发表这两部分之间的 8 个月里，麦克斯韦大概探索了涡旋网络模型的 新特征，并得出了位移电流。
麦克斯韦也完全意识到将法拉第的电紧张 态等同于汤姆孙的矢量势 A 这件事的重要性。 他担心由此可能会引起和汤姆孙之间的优先权问 题。所以，他以如下评论结束第一篇文章的第二 部分：
关于目前这一理论的历史，我可以说，据 我所知，认识到某些数学函数恰好表示法拉第的 “电紧张态”，以及利用它们来确定电动势(electrodynamic potentials) 和 电 动 力 (electro- motive forces)，这些是本文的原创；然而，清晰地构想数学 表达的可能性，来自于我对汤姆孙教授论文的研 读。(JM，209 页)
３ 麦克斯韦的涡旋
在完成第一篇文章 5 年之后，麦克斯韦开始 发表他的第二篇文章，它分成 4 个部分在 1861 年 到 1862 年间陆续发表。和他之前的文章不同，这 篇文章非常难懂。从 JM 第 489 页我们可以看到， 这篇文章的主要想法是以如下方式来理解电磁现 象：“按照这一假说，磁场里充满了无数旋转着 的物质的涡旋，它们的转轴在每一点的方向都和 磁场方向一致”。
如果他想读安培、法拉第的那些著作，他应 该怎么安排呢？在什么阶段他能够阅读您发表在 剑桥杂志(Cambridge Journal)上的那些文章呢？以 什么次序研读呢？[2]
汤 姆 孙 (1824—1907， 后 来 被 称 为 开 尔 文 勋 爵)是一个神童。当时他担任格拉斯哥大学教授已 经八年了。麦克斯韦找对了人：1851 年汤姆孙引 进了今天我们称之为矢量势的 A，从而将磁场表
早在法拉第的“电紧张态(electrotonic state)”和麦克斯韦的矢量势 (vector potential) 概念中，规范自 由度(gauge freedom)的存在就已经不可避免。它如何演化成为一个支撑粒子物理标准模型的对称原理？ 这里有一段值得叙说的故事。
人们常说，继库仑(Charles Augustin de Coulomb)、 高 斯 (Carl Friedrich Gauss)、 安 培 (André Marie Ampère)、 法 拉 第 (Michael Faraday)发 现 了 电学和磁学的四条实验定律之后，麦克斯韦 (James Clerk Maxwell)引入了位移电流，在他的麦 克斯韦方程组中实现了电磁学的伟大综合。这种 说法不能说是错的，但它并没有道出微妙的几何 和物理直觉之间的关联，而正是这种关联促使场 论在 19 世纪取代了超距作用的概念，也正是它带 来了 20 世纪粒子物理中非常成功的标准模型。
* 原文已发表于Physics Today，2014年11月刊，第45—51页
distance)”的成功理论。在英格兰，法拉第(1791— 1867)也因为奥斯特的发现而激动不已，但他缺乏 足够的数学训练，所以无法理解安培的工作。在 1822 年 9 月 3 日写给安培的一封信中，法拉第叹息 道：“很不幸，我不具备足够的数学知识，也不具 备自如地进行抽象推理的能力。我只能从那些相 互密切关联着的事实中摸索出自己的道路。”[1]
如果我们努力把电和磁理解为同一个物理 作用者(agent)的两面，或者说是物质的一种奇异 状态(peculiar condition)，表现在相互垂直的两个 方向上，那么根据我的理解，我们必须认为这 两种形态或者说两种力之间或多或少可以互相 转化。
1854 年时法拉第已经 63 岁，此后他不再编写 ER，但是直到那时，他的几何直觉——所谓电紧 张态，还缺乏明确定义，显得难以捉摸。
图 ２ 迈克尔·法拉第的蚀刻肖像。插入部分展示的是他 在 1831 年 10 月 17 日的日记中的一张图，这一天他发现了 电磁感应现象
示为
Δ
H = ×A ，
(1)
我们接下来会看到，这个方程对麦克斯韦来说具
有重大意义。
我们不知道汤姆孙是如何答复麦克斯韦的。
我们只知道，仅仅一年多后，麦克斯韦在他的文
章里就利用方程(1)阐明了法拉第的电紧张态的含
１ １９ 世纪的历史
1820年奥斯特(Hans Christian Oersted，1777— 1851)发现电流能使其附近的小磁针偏转。这一发 现使整个欧洲科学界大为振奋，带来的结果之一 是 安 培 (1775—1836) 关 于 “ 超 距 作 用 (action at a
图 １ 法拉第的《电学的实验研究》三卷本，分别发表于 1839 年，1844 年和 1855 年。右侧是第一卷的扉页
法拉第所说的“事实”指的是他那些已发表 和 未 发 表 的 实 验 。 从 1831 年 到 1854 年 的 23 年 间，他把这些实验结果汇编成三卷本，取名《电 学的实验研究》，这里我们简称为 ER(见图 1)。不 同寻常的是，这三卷本不朽巨著里竟然没有一个 公式。从这里我们可以看到，法拉第确实是以几 何直觉而非代数公式的方式摸索他的道路。
义。这篇文章是他那永远改变物理学和人类历史
的三篇伟大论文中的第一篇。它们和麦克斯韦的
其他一些作品可见于尼文(William Davidson Niven)
在 1890 年编辑的两卷本文集《麦克斯韦科学论文
集》(Scientific Papers by James Clerk Maxwell，以
下简称 JM )。
在 ER 三卷本里，法拉第记录了他的电磁感 应实验的各种变种：他改变缠绕螺线管的金属品 种；把螺线管放在各种媒质中；在两个线圈之间 产生电磁感应；诸如此类。他对以下两种现象印 象深刻：第一，只有运动的磁体才能产生电磁感 应；第二，电磁感应产生的效果似乎与动因 (cause)垂直。
E = -Ȧ ，
(2)
这里的 A 就是法拉第的电紧张强度(electrotonic in-
tensity)。
在 3 页后，也就是 JM 的 207 页，这一结果由
文字重新表达如下：
定 律 六 ： 导 体 中 任 何 部 位 的 电 动 力 (electro-
motive force)的大小和方向均由此处的电紧张强度
用今天的术语来说，麦克斯韦知道方程(1— 3) 里 含 有 规 范 自 由 度 (gauge freedom)， 也 就 是 说，给 A 加上任意一个标量函数的梯度并不会改 变最后结果。在 JM 第 198 页的定理 5 中，他明确 讨论了规范自由度。那么在方程(1—3)中他采用 了什么规范呢？他没有讨论这个问题，而是完全 保留着 A 的不确定性。我的结论是：麦克斯韦默 认存在 A 的某个规范使得方程(1—3)成立。
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Δ
现在让一个电流从左向右通过 AB。这将带动 AB 上方 gh 行的涡旋开始逆时针运动。(我们记作 “+”方向，相反方向记作“－”方向。) 我们可 以设想 kl 行的涡旋还处在静止状态，这时，两行 之间的粒子层的下方在 gh 行涡旋的带动下开始运 动，而上方尚处于静止。如果它们可以自由移 动，它们将会朝负方向旋转，同时从右向左运 动，或者说朝着 AB 电流的相反方向运动，它们 形成了感生电流。
这篇发表于 1856 年的文章充满了数学公式，
所以比法拉第的 ER 易读。它的主要结论包含在
文 章 的 第 二 部 分 ， 题 为 “ 法 拉 第 的 电 紧 张 态 ”。
在这部分(JM 的第 204 页)我们注意到一个方程，
· 43 卷 (2014 年) 12
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特约专稿
用今天的矢量形式写出来是
(wk.baidu.com)
这里 dl 是线元， dσ 是面积元。麦克斯韦没有以
方程(3)和(4)的形式写下法拉第定律，因为他的主
要目的是给予法拉第的不可捉摸的电紧张态一个
精确定义。矢量势 A 这一概念确实在麦克斯韦一
生的思想中处于一个核心位置。
图 ３ 涡旋图，选自 1890 年的文集《麦克斯韦科学论文集》 中的插图页(第 488 页的对面)。倒数第二行里有两个六边 形涡旋的箭头方向标错了，这可能是麦克斯韦的制图员的 疏忽
麦克斯韦模型的这一详细解释出现在他的第 二篇文章的第二部分，最初发表在《哲学杂志》 第 21 卷(1861 年 4—5 月)。麦克斯韦对待他那复杂 的涡旋网络模型的态度明显很认真，他在第二部 分随后的 11 页里细致地研究了这一模型。
接下来，在 1862 年 1—2 月，麦克斯韦发表 了第二篇文章的第三部分，标题是“分子涡旋理 论应用于静电学”。通过 7 页分析，他得到命题 14：“ 由 于 媒 质 的 弹 性 而 产 生 的 电 流 方 程 的 修 正 ” ( JM ， 496 页 )。 这 个 修 正 是 指 在 安 培 定 律 中 加 入 “ 位 移 电 流 (displacement current)” Ė ， 修 改 后 的 安 培 定 律 用 现 代 符 号 可 以 写 成
麦克斯韦为这类复杂的涡旋群提供了一个明 确的例子，见图 3。对此，他在 JM 的第 477 页详 细写道：
以 AB (插图页 VIII，488 页，图 2) 表示从 A 到 B 的电流。以 AB 上方和下方的较大空白区域表示 涡旋，并以分隔这些涡旋的小圆圈表示它们之间 的粒子层，在我们的假说里这些粒子代表电 现象。
２ 麦克斯韦登场
恰好也在 1854 年，麦克斯韦(1831—1879)从 剑桥大学三一学院毕业。此时他 23 岁，朝气蓬 勃，热情洋溢。他在 2 月 20 日给汤姆孙(William Thomson)写了一封信：
假如一个人对通常的电学展示实验有些了 解，但不太喜欢墨菲(Murphy)的 《电学》，他应该 如何阅读和工作，才能在这个方向上收获一些对 进一步阅读有益处的见解呢？
在理解电磁感应的摸索中，他引进了两个几 何概念：磁力线(magnetic lines of force)和电紧张 态(electrotonic state)。前者很容易图像化，只要
· 780 ·
· 43 卷 (2014 年) 12
在磁体和螺线管附近撒上一些铁屑就行了。我们 今天用磁场强度 H 来表示这些力线。后一个概 念，也就是电紧张态，在 ER 全书中一直模糊不 清，难以捉摸。它在第一卷中很早就出现了，见 于第 60 节，但是没有明确定义。在后续部分它以 不同的名字出现过：奇特态(peculiar state)、张力 态 (state of tension)、 奇 异 状 态 (peculiar condition)，还有其他一些名称。例如，在第 66 节他写 道“所有金属都可以呈现奇异态”；在第 68 节， 他 又 写 道 “ 这 一 状 态 好 像 是 瞬 间 呈 现 的 。” 此 外，我们在第 1114 节还读到：
特约专稿
麦克斯韦方程和规范理论的观念起源*
杨振宁 1，2 著 汪 忠 1，† 译
(1 清华大学高等研究院 北京 100084) (2 香港中文大学物理系 香港沙田)
2014－11－12 收到 † email：wangzhongemail@gmail.com
DOI：10.7693/wl20141201
的瞬时变化率决定。
将法拉第不可捉摸的电紧张态概念(或者称为
电紧张强度、电紧张函数)等同于方程(1)中汤姆 孙的矢量势 A，这件事在我看来是麦克斯韦科学
研究中的第一个重大观念突破。对方程(2)左右两
边都取旋度，我们得到
Δ
×E = -Ḣ ，
(3)
这正是法拉第定律的现代形式。它的另一种现代
形式是
∲ E∙ dl = -∬Ḣ ∙ dσ ，
× H = 4π j + Ė 。 为了搞清楚麦克斯韦是怎样得到他的修正项
的，我曾经几次试图去读麦克斯韦论文第二部分 的最后 11 页和第三部分的开头 7 页。我尤其想了 解他所说的“由于媒质的弹性”具体指的是什 么。我的所有尝试都失败了。值得一提的是，在 第二部分的最后 11 页，“位移”这个词只是在第 479 页出现了一次，而且是在一个不太重要的句 子里，可是在第三部分的开头 7 页，这个词成了 麦克斯韦的重点。所以，在发表这两部分之间的 8 个月里，麦克斯韦大概探索了涡旋网络模型的 新特征，并得出了位移电流。
麦克斯韦也完全意识到将法拉第的电紧张 态等同于汤姆孙的矢量势 A 这件事的重要性。 他担心由此可能会引起和汤姆孙之间的优先权问 题。所以，他以如下评论结束第一篇文章的第二 部分：
关于目前这一理论的历史，我可以说，据 我所知，认识到某些数学函数恰好表示法拉第的 “电紧张态”，以及利用它们来确定电动势(electrodynamic potentials) 和 电 动 力 (electro- motive forces)，这些是本文的原创；然而，清晰地构想数学 表达的可能性，来自于我对汤姆孙教授论文的研 读。(JM，209 页)
３ 麦克斯韦的涡旋
在完成第一篇文章 5 年之后，麦克斯韦开始 发表他的第二篇文章，它分成 4 个部分在 1861 年 到 1862 年间陆续发表。和他之前的文章不同，这 篇文章非常难懂。从 JM 第 489 页我们可以看到， 这篇文章的主要想法是以如下方式来理解电磁现 象：“按照这一假说，磁场里充满了无数旋转着 的物质的涡旋，它们的转轴在每一点的方向都和 磁场方向一致”。
如果他想读安培、法拉第的那些著作，他应 该怎么安排呢？在什么阶段他能够阅读您发表在 剑桥杂志(Cambridge Journal)上的那些文章呢？以 什么次序研读呢？[2]
汤 姆 孙 (1824—1907， 后 来 被 称 为 开 尔 文 勋 爵)是一个神童。当时他担任格拉斯哥大学教授已 经八年了。麦克斯韦找对了人：1851 年汤姆孙引 进了今天我们称之为矢量势的 A，从而将磁场表
早在法拉第的“电紧张态(electrotonic state)”和麦克斯韦的矢量势 (vector potential) 概念中，规范自 由度(gauge freedom)的存在就已经不可避免。它如何演化成为一个支撑粒子物理标准模型的对称原理？ 这里有一段值得叙说的故事。
人们常说，继库仑(Charles Augustin de Coulomb)、 高 斯 (Carl Friedrich Gauss)、 安 培 (André Marie Ampère)、 法 拉 第 (Michael Faraday)发 现 了 电学和磁学的四条实验定律之后，麦克斯韦 (James Clerk Maxwell)引入了位移电流，在他的麦 克斯韦方程组中实现了电磁学的伟大综合。这种 说法不能说是错的，但它并没有道出微妙的几何 和物理直觉之间的关联，而正是这种关联促使场 论在 19 世纪取代了超距作用的概念，也正是它带 来了 20 世纪粒子物理中非常成功的标准模型。
* 原文已发表于Physics Today，2014年11月刊，第45—51页
distance)”的成功理论。在英格兰，法拉第(1791— 1867)也因为奥斯特的发现而激动不已，但他缺乏 足够的数学训练，所以无法理解安培的工作。在 1822 年 9 月 3 日写给安培的一封信中，法拉第叹息 道：“很不幸，我不具备足够的数学知识，也不具 备自如地进行抽象推理的能力。我只能从那些相 互密切关联着的事实中摸索出自己的道路。”[1]
如果我们努力把电和磁理解为同一个物理 作用者(agent)的两面，或者说是物质的一种奇异 状态(peculiar condition)，表现在相互垂直的两个 方向上，那么根据我的理解，我们必须认为这 两种形态或者说两种力之间或多或少可以互相 转化。
1854 年时法拉第已经 63 岁，此后他不再编写 ER，但是直到那时，他的几何直觉——所谓电紧 张态，还缺乏明确定义，显得难以捉摸。
图 ２ 迈克尔·法拉第的蚀刻肖像。插入部分展示的是他 在 1831 年 10 月 17 日的日记中的一张图，这一天他发现了 电磁感应现象
示为
Δ
H = ×A ，
(1)
我们接下来会看到，这个方程对麦克斯韦来说具
有重大意义。
我们不知道汤姆孙是如何答复麦克斯韦的。
我们只知道，仅仅一年多后，麦克斯韦在他的文
章里就利用方程(1)阐明了法拉第的电紧张态的含
１ １９ 世纪的历史
1820年奥斯特(Hans Christian Oersted，1777— 1851)发现电流能使其附近的小磁针偏转。这一发 现使整个欧洲科学界大为振奋，带来的结果之一 是 安 培 (1775—1836) 关 于 “ 超 距 作 用 (action at a
图 １ 法拉第的《电学的实验研究》三卷本，分别发表于 1839 年，1844 年和 1855 年。右侧是第一卷的扉页
法拉第所说的“事实”指的是他那些已发表 和 未 发 表 的 实 验 。 从 1831 年 到 1854 年 的 23 年 间，他把这些实验结果汇编成三卷本，取名《电 学的实验研究》，这里我们简称为 ER(见图 1)。不 同寻常的是，这三卷本不朽巨著里竟然没有一个 公式。从这里我们可以看到，法拉第确实是以几 何直觉而非代数公式的方式摸索他的道路。
义。这篇文章是他那永远改变物理学和人类历史
的三篇伟大论文中的第一篇。它们和麦克斯韦的
其他一些作品可见于尼文(William Davidson Niven)
在 1890 年编辑的两卷本文集《麦克斯韦科学论文
集》(Scientific Papers by James Clerk Maxwell，以
下简称 JM )。