13-信号的功率谱密度解析
谱密度PPT
Fx () :F (x)()
x(t)e jt dt
反演公式
x(t ) 1
2
Fx
(
)e
jt
d
(假设逆变换存在)
记 W x2(t)dt 为x(t)在(-,+)上的总能量
则
W
x2 (t)dt
x(t)[
解 R X ( ) 5 2 e 3| | 2 e 3| | c o s 4
S X ( ) F (R X )( )
5F (1)( ) 2F ( e 3| | )( ) 2F ( e 3| | c o s 4 )( )
10 ()
T T
e
j (t s)
RX
(t
s)dsdt
(令
u t s
v
t
) s
2T 2T
(1
|u | 2T
)e
ju
R
X
(u
)du
e
ju
R
T X
(u
)du
(令
R
T X
(
)
（ 1
2T
)RX
(
)
0
2T ,
2T
则
lim
T
第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数 曲线下的总面积.
谱密度的计算 ● 广义积分----可利用复变函数中的留数定理 ● 利用已知的基本公式和 Fourier 变换的性质等
留数定理 函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2,..., zn外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条 正向简单闭曲线，则
功率谱密度 公式证明
功率谱密度公式证明
功率谱密度是描述信号功率在频域上分布的一种参数，对于连续信号，功率谱密度可以通过傅里叶变换得到。
以下是功率谱密度的公式推导。
假设有一个宽度为T的连续信号x(t)，其功率谱密度为S(f)，其中f表示频率。
首先，我们将信号x(t)分割成很多个宽度为Δt的小时段，然后将每个小时段乘以一个窗函数w(t)（通常选择矩形窗函数），得到窗口函数为w(t)的窗口信号xw(t)。
根据能量守恒定律，信号的总能量等于每个窗口信号的能量之和。
因此，可以得到以下等式：
∫[0,T] |x(t)|² dt = ∑[n] ∫[nΔt,(n+1)Δt] |xw(t)|² dt 然后，我们对上述等式两边进行傅里叶变换，得到：
∫[0,T] |X(f)|² df = ∑[n] ∫[nΔt,(n+1)Δt] |Xw(f)|² df 其中，X(f)表示信号x(t)的傅里叶变换，Xw(f)表示窗口信号xw(t)的傅里叶变换。
由于信号x(t)在每个窗口内是平稳的，所以可以将窗口信号的傅里叶变换看作是信号功率在频域上的估计。
因此，可以用以下等式近似表示：
S(f) ≈ |Xw(f)|² / Δt
最后，我们取极限使Δt趋近于0，得到连续信号的功率谱密度公式：
S(f) = lim Δt→0 |Xw(f)|² / Δt
这就是功率谱密度的公式推导过程。
需要注意的是，实际应用中，可以使用计算机进行数值计算来估计功率谱密度。
功率谱密度公式推导
功率谱密度公式推导功率谱密度（Power Spectral Density，简称PSD）是指一个信号的功率在频率域上的分布。
它在信号处理、通信系统、噪声分析等领域都有着重要的应用。
在本文中，将对功率谱密度的定义、性质以及推导进行详细讨论。
首先，我们来定义功率谱密度。
假设有一个零均值的随机过程（零均值是为了简化推导），我们用x(t)表示这个随机过程，并假设它的均方值为E[|x(t)|^2] = Rxx(0)。
为了分析这个随机过程在频率域上的特性，我们将其进行傅里叶变换。
傅里叶变换的定义如下：X(f) = ∫(x(t) * e^(-j2πft) dt)其中，X(f)表示信号x(t)在频率f上的复振幅（振幅和相位）。
根据傅里叶变换的定义，我们可以得到信号在频率f上的功率P(f)的定义如下：P(f) = |X(f)|^2根据随机过程的定义，我们知道x(t)是一个随机变量，它的取值在每个时间点上都是随机的。
因此，X(f)也是一个随机变量。
我们只知道X(f)的均方值（即P(f)）是一个确定的量，但我们无法准确地知道X(f)在每个时刻上的取值。
为了能够更好地描述X(f)的统计性质，我们可以引入概率密度函数。
假设X(f)的实部和虚部分别为Xr(f)和Xi(f)，我们定义X(f)的概率密度函数为fX(x)。
根据概率密度函数的定义，我们可以得到X(f)的均方值为：E[|X(f)|^2] = ∫(|x|^2 * fX(|x|^2) dx)然后，根据功率的定义，我们可以得到：E[|X(f)|^2] = P(f)综上所述，我们可以得到功率谱密度PSD的定义如下：PSD(f) = ∫(|x|^2 * fX(|x|^2) dx)对于一个随机过程来说，我们可以通过计算其自相关函数Rxx(t)来得到其功率谱密度。
自相关函数定义如下：Rxx(t) = E[x(t) * x*(t-τ)]其中，E[•]表示对随机变量取均值的操作，τ表示一个时间延迟。
通信专业中的一些重要公式
第一章 绪论 1.传码率B R即波型（码元）传输速率，每秒钟传输的码元速率。
常表示为B R ，单位为“波特（Baud ）”。
)(1Baud T R B =（1.1-1）式中：T 是每个码元占有的时间长度，单位是s 。
2.传信率b R ：即信息传输速率，指每秒钟传输的信息量。
常表示为b R ，单位是“比特/秒（bit/s 或bps ）”。
对于二进制码元，传码率和传信率数值相等，但单位不同。
对于多进制码元，两者不同，但可以通过下列公式进行转换。
)/(log 2s bit N R R B b ⋅= （1.1-2）式中：N 是进制数。
3.误码率e P是指错误接收的码元数在传送总码元数中所占的比例，或者更确切地说，误码率是码元在传输系统中被传错的概率。
即e P = 错误接收码元数目/传输码元总数目 （1.1-3） 4.误信率b P又称误比特率，是指错误接收的信息量在传送信息总量中所占的比例，或者说，它是码元的信息量在传输系统中被丢失的概率。
即b P = 错误接收比特数/传输总比特数 (1.1-4）5.信息量单个符号的信息量[])(1log )(log )(i a i a i x P x P x I =-= （1.2-2）6.熵（平均信息量）∑∑-==Xa Xx P x P x I x P X H )(log )()()()( （1.2-10）式中X 为离散信源符号集合，)(X H 的单位取决于对数底a 的取值，通常情况下取2=a ，这时，)(X H 的单位为bit /符号。
若离散信源X 中只有M 个符号，则上式又可以表示成下式∑=-=Mi i a i x P x P X H 1)(log )()( （1.2-11）7.连续信道连续信道的信道容量，由著名的香农（Shannon ）公式确定，其内容为：假设信道的带宽为)(Hz B ，信道输出的信号功率为)(W S ，输出的加性带限高斯白噪声功率为)(W N ，则该信道的信道容量为())/(/1log 2s bit N S B C += （1.3-26）若噪声的单边功率谱密度为0n ，则有噪声功率为B n N 0=，可得香农公式的另一种形式[])/()/(1log 02s bit B n S B C += （1.3-27）其中0称为信道容量的“三要素”。
能量谱密度与功率谱密度
能量谱密度与功率谱密度
一、能量谱密度
令为能量信号，且则的能量可以定义为
上式被称为帕什伐尔能量定理。
帕什伐尔能量定理表明一个能量信号的能量可以在时域内求解，也可以在频域内求解，并且，在时域内和在频域内求得的结果是相同的。
通常将定义为能量信号的能量谱密度。
显然，是一个偶函数。
信号的能量可以表示为
能量谱密度的物理含义为单位频带上的信号能量分布。
2.4.2 功率谱密度
设为一个功率信号，其信号作用时间在。
通常对这样信号的分析方法是将信号截短，截短后的信号可以
看作能量信号。
设则为能量信号，且设。
由功率信号的功率计算公式及能量信号帕什伐尔定理，可得
类似能量谱密度全频积分的能量，定义功率谱密度
被称为功率谱密度，表示信号在单位频带上的功率分布。
比较以上两式有
显然，且为偶函数。
通信原理复习题_13通信解析
13 通讯工程《通讯原理》复习题一、填空1. 某四进制系统，4 秒钟传输 4800 个四进制符号，则此系统的传码率 RB4= ，传信率 Rb= 。
2. 模拟调制系统的抗噪声性能主要用 来权衡；数字调制系统 的抗噪声性能主要用 来权衡。
3.AM 调制的靠谱性用 权衡； DPSK 的靠谱性用 权衡。
4. 某通讯系统采纳四进制数字序传记输方式，每传输一个码元需T=250×10-6s 时间，其传信率为 ，码元速率为 ，若传输了 5s ，检测到 50 个码元 误码，其误码率为 。
5. 八进制数字通讯系统的误码率为 10-5 ，系统的传输速率为 600b/s ，则接收端在 _______h 内能接收到 144 个错误码元。
6. 已知能量信号 f(t) 的傅氏变换为 F(w) ，则依据帕塞瓦尔定理可得其能量为 E= = 。
7. 设一数字传输系统传递 16 进制码元，码元传输速率为 2400 波特，则此时系统 的信息传输速率为 ；假如系统的误码率为 10－ 4，则 1 小时内错误的码 元个数为 ；假如系统的误比特率为 2.5 ×10-5 ，则 10 分钟内错误的比特 个数为 。
1.1200B ，2400b/s2. 信噪比，误码率3. 信噪比，误码率4.8000 ， 4000， 2.5 × 10-35.20f 2 (t )dt 1 26.F ( ) d2，7. 9600b/s ， 864 ，21.61. 在剖析信道时，依据乘性扰乱 k(t) 能否随时间变化，将信道分为 _____ 信道 和 信道。
2. 无失真传输系统的传输函数 H （w ）=____ 。
1. 恒参，随参2. Ke j t d3. 已知调制信号m(t ) cos200 t，载波为2cos104t ，则其 DSB 信号的表达式为。
2 cos 200 t cos104 t4. 将 n 路频率范围为 0.3~4KHz 的话音信号用 FDM 方法进行传输，若采纳 AM 调制方式则 n 路话音信号的最小传输带宽为 ，若采纳 SSB 调制方式则 n 路 话音信号的最小传输带宽为 。
功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
第4章随机信号的功率谱密度
T 2T T
lim 1
2
T
1 2T
E[ XT (, ) 2 ]d
1
2
GX
()d
(4.1.11)
随机过程的平均功率W可以由它的均方值的时间平均得 到，也可以由它的功率谱密度在整个频率域上积分得到。
若X(t)为平稳过程时，均方值为常数，可写成：
xT (t, )e jt dt
T T
xT (t, )e jt dt
X T (, ) 2 X T (, ) X T (, )
GX
()
lim
T
E
1 2T
T T
xT (t1, )e jt1dt1
T T
xT
(t2
,
)e
jt2
xT
(t
)
x(t), t
0,
t
T
T
对于有限持续时间的xT(t)，傅里叶变换是存在的，有：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
T T
xT
(t)e
jt dt
xT
(t)
1
2
XT
()e
jt d
(4.1.6) (4.1.7)
称 XT ()为xT (t)的频谱函数，也简称为频谱。
由傅立叶反变换，x(t)可以表示为
则可以得到
x(t) 1
2
X
X
(
)e
jt
d
[x(t)]2dt
1
x(t)
功率谱密度
功率谱密度功率谱密度是信号处理中的重要概念，它描述了信号的频率成分在功率上的分布。
在工程领域中，功率谱密度广泛应用于信号分析、通信系统设计以及噪声分析等方面。
本文将介绍功率谱密度的定义、性质、计算方法以及在实际应用中的重要性。
1. 定义功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是描述信号功率在频域上的分布情况的密度函数。
在时域中，信号的功率通常被定义为信号的能量在单位时间内的平均值，而功率谱密度则描述了信号功率在不同频率上的分布。
功率谱密度通常用单位频率范围内的功率值表示，是信号频谱特性的重要指标之一。
2. 性质功率谱密度具有以下几个重要性质：•非负性：功率谱密度始终大于等于零，表示信号中的功率都是非负的。
•互相关函数和功率谱密度之间的关系：两个信号的自相关函数的傅里叶变换是它们的功率谱密度的乘积。
•窄带信号：窄带信号的功率谱密度在窄频段内集中，而宽带信号的功率谱密度分布更广。
3. 计算方法计算功率谱密度可以通过信号的自相关函数或者信号的傅里叶变换来实现。
常用的计算方法包括：•周期图法：通过对信号进行周期图分析，可以得到信号的功率谱密度。
•傅里叶变换法：对信号进行傅里叶变换，然后计算幅度谱的平方即可得到功率谱密度。
•Welch方法：对信号进行分段处理，然后对各段信号的功率谱密度进行平均，可以获得更加准确的估计。
4. 应用功率谱密度在通信系统、雷达系统、生物医学工程等领域具有重要应用价值，例如：•在通信系统中，功率谱密度可以帮助分析信道的频率选择性，设计滤波器以及优化调制方案。
•在雷达系统中，功率谱密度可以帮助分析雷达回波信号的频率特性，识别目标特征。
•在生物医学工程中，功率谱密度可用于分析生物信号的频率特征，帮助诊断疾病。
5. 总结功率谱密度作为描述信号频率特性的重要参数，在信号处理和通信系统设计中扮演着重要角色。
了解功率谱密度的定义、性质、计算方法以及应用领域，有助于更深入地理解信号处理中的功率谱密度的重要性和作用。
功率谱密度和频率
功率谱密度和频率
功率谱密度是信号在不同频率上的功率的分布情况。
频率是指信号在单位时间内重复的次数或周期的倒数，通常以赫兹（Hz）为单位。
频率代表了信号变化的速度。
功率谱密度是指信号在不同频率上的功率的分布情况。
它可以用来分析信号的频率成分和能量分布情况。
一般来说，功率谱密度越大，表示在该频率下信号的能量越大。
功率谱密度通常通过傅里叶变换将一个时域信号转换成其频域表示，其中频域表示了信号在不同频率上的功率谱密度。
总之，功率谱密度描述了信号在不同频率上的功率分布情况，而频率表示了信号变化的速度。
功率谱密度
∑x x
n n+m
=
N−m ˆ φ xx (m) N m N
N ˆ′ (m)] = ( N − m ) 2Var[φ ˆ ( m)] < Var[φ ˆ ( m)] Var[φ xx xx xx N
ˆ′ (m)] = φ ( m) − E[φ ˆ′ (m)] = φ xx (m), 有偏估计，偏倚Bias[φ xx xx xx
1 1 2 ∗ X N ( e jω ) X N X (ω ) ( e jω ) = N N
( X N (ω ) = ∑ x(n)e − jωn )
ˆ 1 2 X N (ω )是周期性的，直接将X N (ω )的模的平方除以N求得的功率谱的估计为周期图Pxx (ω ) = I N (ω ) = X (ω ) N ˆ 1 E[φ xx (m)] = N w(m) = 1 N
Dr. JI ZHEN
11
4.1周期图法的改进-窗口处理法
适当设计窗口谱函数W1 (e jω )与周期图卷积， ˆ 1 π Pxx (ω ) = I N (θ )W1 (e j (ω −θ ) )dθ ∫ 2π −π ˆ 1 π E[ Pxx (ω )] = E[ I N (θ )]W1 (e j (ω −θ ) )dθ ∫ 2π −π 1 π 而E[ I N (θ )] = Pxx (φ )W (e j (θ −φ ) )dφ ∫ π − 2π ˆ E[ Pxx (ω )] = Pxx (ω ) *W (e jω ) *W1 (e jω ) 如果W1 (e jω )的主瓣宽度大于W (e jω )的主瓣宽度，可以进一步平滑谱估计，减少方差。
ˆ ˆ Pxx (ω ) = Pxx (−ω ) = =
功率谱与功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
功率谱密度
功率谱密度不同形式的数字基带信号具有不同的频谱结构，分析数字基带信号的频谱特性，以便合理地设计数字基带信号，使得消息代码变换为适合于给定信道传输特性的结构，是数字基带传输必须考虑的问题。
在通信中，除特殊情况（如测试信号）外，数字基带信号通常都是随机脉冲序列。
因为，如果在数字通信系统中所传输的数字序列是确知的，则消息就不携带任何信息，通信也就失去了意义。
故我们面临的是一个随机序列的谱分析问题。
考察一个二进制随机脉冲序列。
设脉冲、分别表示二进制码“0”和“1”, 为码元的间隔，在任一码元时间内，和出现的概率分别为p和1-p。
则随机脉冲序列x(t)可表示成:其中研究由上面二式所确定的随机脉冲序列的功率谱密度，要用到概率论与随机过程的有关知识。
可以证明，随机脉冲序列x(t)的双边功率谱公式（1）：其中、分别为、的傅氏变换，。
可以得出如下结论：（1）随机脉冲序列功率谱包括两部分：连续谱（第一项）和离散谱（第二项）。
对于连续谱而言，由于代表数字信息的及不能完全相同，故，因此，连续谱总是存在；而对于离散谱而言，则在一些情况下不存在，如及是双极性的脉冲，且出现概率相同时。
（2）当、、p及给定后，随机脉冲序列功率谱就确定了。
上式的结果是非常有意义的，它一方面能使我们了解随机脉冲序列频谱的特点，以及如何去具体地计算它的功率谱密度；另一方面根据它的离散谱是否存在这一特点，将使我们明确能否从脉冲序列中直接提取离散分量，以及采取怎样的方法可以从基带脉冲序列中获得所需的离散分量。
这一点，在研究位同步、载波同步等问题时，将是十分重要的；再一方面，根据它的连续谱可以确定序列的带宽（通常以谱的第一个零点作为序列的带宽）。
下面，以矩形脉冲构成的基带信号为例，通过几个有代表性的特例对功率谱密度公式的应用及意义做进一步的说明，其结果对后续问题的研究具有实用意义。
例单极性NRZ信号的功率谱，假定p=1/2对于单极性NRZ信号，有，这里，g(t)为图1所示的高度为1、宽度为的全占空矩形脉冲。
功率谱密度计算公式的推导过程
一、引言功率谱密度是信号处理领域一个重要的概念，它描述了一个信号在频域内的能量分布情况，是信号谱分析的重要工具。
功率谱密度计算公式的推导过程，是深入理解信号处理原理和方法的关键。
二、基本概念1. 信号的功率谱密度是在频域内描述信号功率分布的指标，通常用符号S(f)表示，其中f为频率。
2. 信号的功率谱密度可以用来描述信号的频谱特性，包括信号的频率成分和能量分布情况。
3. 对于一个信号x(t)，其功率谱密度S(f)的计算公式可以采用傅里叶变换来推导。
三、傅里叶变换1. 对于一个信号x(t)，其傅里叶变换可以表示为X(f) = ∫x(t)e^(-j2πft)dt，其中X(f)为信号在频域内的表示。
2. 傅里叶变换将信号从时域转换到频域，描述了信号在频率上的分布情况。
四、功率谱密度的推导1. 为了推导信号x(t)的功率谱密度S(f)，首先可以计算信号x(t)的自相关函数R(τ)。
2. 自相关函数R(τ)可以描述信号在不同时刻下的相关性，即信号在延迟τ下的相似程度。
3. 根据傅里叶变换的性质，信号x(t)的功率谱密度S(f)可以表示为S(f) = ∫R(τ)e^(-j2πfτ)dτ。
4. 通过对自相关函数R(τ)进行傅里叶变换，可以得到信号x(t)的功率谱密度S(f)的表达式。
五、应用举例1. 通过功率谱密度的计算公式，可以对信号进行频谱分析，了解信号在频域内的特性。
2. 功率谱密度的计算可以应用于多种信号处理场景，包括通信系统、雷达系统、生物医学信号处理等领域。
3. 信号的功率谱密度分析可以帮助工程师和研究人员更深入地理解信号的频率特性，为系统设计和优化提供重要参考。
六、结论功率谱密度计算公式的推导过程是信号处理领域中的重要内容，它涉及信号的频谱分析方法和原理，具有重要的理论和应用价值。
深刻理解功率谱密度的计算公式及推导过程，对于工程师和研究人员具有重要的意义，可以帮助他们更好地理解信号处理的基本原理，并应用于实际工程和研究项目中。
谱密度,功率谱密度,能量谱密度
谱密度, 功率谱密度, 能量谱密度在应用数学和物理学中，谱密度、功率谱密度和能量谱密度是一个用于信号的通用概念，它表示每赫兹的功率、每赫兹的能量这样的物理量纲。
解释在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。
当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。
功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。
尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。
定义能量谱密度能量谱密度描述的是信号或者时间序列的能量或者变化如何随着频率分布。
如果是一个有限能量信号，即平方可积，那么信号的谱密度就是信号连续傅里叶变换幅度的平方。
其中是角频率（循环频率的倍），是的连续傅里叶变换。
是的共轭函数。
如果信号是离散的，经过有限的元素之后，仍然得到能量谱密度：其中是的离散时间傅里叶变换。
如果所定义的数值个数是有限的，这个序列可以看作是周期性的，使用离散傅里叶变换得到离散频谱，或者用零值进行扩充从而可以作为无限序列的情况计算谱密度。
乘数因子经常不是绝对的，它随着不同傅里叶变换定义的归一化常数的不同而不同。
功率谱密度上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。
一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。
这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。
此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。
通信原理 第四讲 功率信号的功率谱密度
慢衰落： 慢衰落：由于电离层浓度变化等因素所引起的信 号衰落。 季节、日夜、天气) 号衰落。(季节、日夜、天气) 快衰落：由于多径效应引起的信号衰落。 快衰落：由于多径效应引起的信号衰落。 为分析简单，下面假定只有两条传输路径， 为分析简单，下面假定只有两条传输路径， 且认为接收端的幅度与发端一样， 且认为接收端的幅度与发端一样，只是在到达 f (t ) τ 时间上差一个时延 ,若发送信号为 ,它的 F 记为 频谱为 , (ω )
(2)功率信号的自相关函数 (2)功率信号的自相关函数 定义： 定义： 1 T /2 R(τ ) = lim ∫ s(t )s(t + τ )dt
T →∞
性质： 性质：R(τ)和功率谱密度P( f ) 之间是傅里叶变 换关系
R (τ ) =
T
−T / 2
−∞ <τ < ∞
∫
∞
−∞
P ( f )e
j 2 πf τ
i =1
= ∑ ai (t ) cos[ωc t + ϕi (t )]
n
ϕi (t ) = −ωc td ( t )
i
由于ai (t ) 和ϕi (t ) 随时间的变化要比信号载 的周期变化慢很多， n 频 ωc 的周期变化慢很多，因此上式又可写成 n R(t ) = [∑ ai (t ) cosϕi (t )] cosωct − [∑ ai (t ) sinϕi (t )] sin ωct
例2.2 两径传输时延差 td = 0.5ms ，试问信道在哪 些频率上传输损耗最小， 些频率上传输损耗最小，哪些频率上传输损耗 最大？ 最大？ 解： H (ω ) = 2 cos ωtd
E = ∫ x (t )dt = ∫ 4e dt = −2e
功率谱 密度
功率谱密度：原理、应用与解析摘要：功率谱密度是信号处理领域中的重要概念，用于描述信号的频率分布和能量特征。
本文旨在深入探讨功率谱密度的原理、应用与解析，帮助读者更好地理解这一核心概念，并探讨其在各个领域中的实际应用。
一、引言功率谱密度（Power Spectral Density，简称PSD）是信号处理中的一个关键概念，用于描述信号在频率域的能量分布。
对于周期性信号、随机信号以及介于两者之间的信号，功率谱密度都能提供有力的分析工具。
本文将详细探讨功率谱密度的原理、计算方法以及在不同领域中的应用实例，以期帮助读者更全面地掌握这一概念。
二、功率谱密度的定义与原理功率谱密度定义为单位频率内信号的功率，通常表示为频率的函数。
对于离散时间信号，功率谱密度可以通过计算自相关函数的傅里叶变换得到；对于连续时间信号，则需要计算其自协方差函数的傅里叶变换。
功率谱密度反映了信号在不同频率上的能量分布，有助于我们深入了解信号的特性。
三、功率谱密度的计算方法1. 周期图法：该方法通过直接计算信号傅里叶变换的模平方来估计功率谱密度。
虽然简单，但在低频和高频部分的估计效果较差。
2. 自相关法：该方法先计算信号的自相关函数，然后对其进行傅里叶变换以得到功率谱密度估计。
相较于周期图法，自相关法在低频和高频部分的估计性能有所改善。
3. 现代谱估计法：如参数模型法、最大熵法等，这些方法通过引入更复杂的数学模型和优化算法，提高了功率谱密度的估计精度和分辨率。
四、功率谱密度的应用实例1. 通信系统：在通信系统中，功率谱密度用于分析信道噪声、干扰以及信号失真等。
通过对接收信号的功率谱密度进行估计和分析，可以有效地评估通信系统的性能并进行优化。
2. 音频处理：音频处理领域中，功率谱密度用于分析和处理各种声音信号，如语音、音乐和环境声等。
通过对音频信号的功率谱密度进行估计和分析，可以提取出音频信号中的重要特征，如基频、谐波结构等，进而实现音频压缩、降噪、音质增强等功能。
信号的频谱、幅度谱、相位谱及能量谱密度、功率谱密度
信号的频谱、幅度谱、相位谱及能量谱密度、功率谱密度这篇⽂章的标题起得如此长，实在是为了区分“谱”与“谱密度”。
谱的英⽂原词为spectrum，私以为是函数图象，却⼜不够准确。
信号就是时间的函数，那怎么不把信号称为谱？可知谱是函数图像中的某⼀类⽽已。
每每提及谱，都和频率脱不了⼲系，⽽此⽂的来由，也正是我对Parseval恒等式突发的好奇⼼。
Parseval恒等式是傅⾥叶变换的⼀个重要性质。
说到此，学识渊博的读者，您⾃然很熟悉，傅⾥叶变换将信号从时域或者空域变换到频域上，产⽣频谱。
这谱，⾃然和频率，有着天然的不可分割性。
罢了，再往下说就变成考证了。
即使本⽂意为⼀篇科普，也须得有理科⽂章的简洁。
且说上⽂提到的Parseval恒等式，⽼师有提到该等式的intuitive sense是：傅⾥叶变换的原信号和频谱之间是能量守恒的。
这当然是不错的解释，但却不够shocking，⼀个shocking的解释是，傅⾥叶变换之后的频谱保留了原信号的所有信息。
我当时就震惊了。
当然，只要想到傅⾥叶变换是可逆的（即⼀⼀对应），也就不那么震惊了。
傅⾥叶变换的另⼀个令⼈震惊的事实是：Gaussian分布的密度函数 $e^{-x^2/2}$是唯⼀的⼀个傅⾥叶变换不变函数。
Gaussian密度函数的⼀阶导数与哺乳动物视觉感知系统主视⽪层简单细胞的感受野（cortical receptive field）具有相似的结构。
泛函分析中，Gaussian密度函数的极限（$\sigma\to\infty$）是delta-dirac函数 $\delta(x)$，即脉冲函数。
更简单地，在⼤学⼀年级的数学分析课程中，Gaussian密度函数的积分是 $\sqrt{\pi}$。
总⽽⾔之，Gassian分布具有许多异常完美的性质，被它震惊也不是⼀回两回了。
⾔归正传，信号经过傅⾥叶变换之后产⽣频谱，频谱是⼀个以频率为⾃变量的函数。
频谱在每⼀个频率点的取值是⼀个复数。
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第 4 章随机信号与线性系统陈明东南大学移动通信国家重点实验室chenming@随机过程和随机信号的概念当用随机过程来表示一组信号时，此时的随机过程就被称为随机信号。
4.1 随机信号的功率谱密度确定性信号的频谱信号的频谱特性是描述信号的一个重要指标。
对于确定性信号，其Fourier 变换可以反映其频谱特性。
()cos2n n s t a ntp ¥==åj2ˆ()()d ftsf s t etp ¥-?=òFourier分解的物理意义各种频率成份的振动频谱与光谱进行对比光谱红橙黄绿青蓝紫频谱如何反应随机信号的频谱？由于随机信号实际上是一族确定性信号，要从统计意义上反映其频谱特性，需要用功率谱密度的概念。
4.1.1连续时间随机信号的功率谱密度若()X t 是一个定义于¡上的连续时间随机过程，则[,]T T -上的平均功率为{}21()d 2TT TP E X t tT-=ò利用Fourier 变换的Parseval 等式，可以得到()X t 在(),-ゥ上的平均功率为2j2lim 1lim ()e d d 2TTT ftTT P P E X t t fT ¥-p -?=殪镲镲犏=睚犏镲犏镲镲腩蝌从上式可以看出，下式所定义的关于频率f 的函数2j21()lim ()e d 2TftX TT S f E X t tT -p -禳镲镲=睚镲镲镲铪ò反映了随机信号功率在单位频率上的分布情况，因此定义函数()X S f 为连续时间随机过程()X t 的功率谱密度。
功率谱密度的性质性质4.1 设()X t 是定义于¡上的连续时间随机过程，()X S f 是其功率谱密度，则有如下性质： ① 功率谱密度在¡上的积分为信号总功率，也即()d X P S f f ¥-?=ò。
② ≥()0X S f ,也即()X S f 是一个非负实函数。
③ 实随机信号的功率谱密度是偶函数图4.1 实随机信号的功率谱密度是非负偶函数对于宽平稳过程来说，有下列Wiener-Khinchin 定理定理 4.1(Wiener-Khinchin 定理) 若()X t 为¡上的宽平稳过程，且其自相关函数()X R t 满足()R t t ¥-?òd t <?，则有j2()()e d f X X S f R tt t¥-p -?=ò证明 由功率谱密度的定义式知{}(){}{}12121212j2j21122j21212j2()1212j2()121()lim()e d ()e d 21lim()()e d d 21lim()()e d d 21lim()e 2T T ft ft X TT T T f t t TT T T f t t T T T T T f t t X TT T S f E X t t X t t T E X t X t t t TE X t X t t t T R t t T -p -p --*-p --*-p ----p ---轾轾=犏犏臌臌===-蝌ò蝌蝌12d d t t如图4.2所示，对积分区域作变换122,t t t t s =-=，则{}{}02j2j22002j2j2202j221()lim()ed d ()e d d 21lim ()e(2)d ()e (2)d 2||1lim ()e 1d 22()e T TT f f X XT TTT T f f XTT T f X TT X S f RR TRT R T TR TT R t tttttt ts t tst t t t t tt t t t --p -p ----p -p --p -¥--?=+=++-戽鳇镲镲÷ç÷=-ç睚÷÷ç镲桫镲铪=蝌蝌蝌òòj2d f ttp于是定理得证。
对于宽平稳过程，其功率谱密度是其自相关函数的Fourier 变换，因此由Fourier 逆变换公式有j2()()e d f X X R S f ft t ¥p -?=ò所以，对于宽平稳过程来讲，其自相关函数和功率谱密度是互相唯一确定的关系，一个是随机过程时域特性的反映，一个是随机过程频域特性的反映。
此外由式(4.3)知，对于宽平稳随机过程来说，平均功率为{}2(0)()()d X X R EX t S f f ¥-?==ò若()X t 为实随机过程，则其自相关函数为偶函数，即()()X X R R t t =-，则()()cos 2d X X S f R f t t t ¥-?=p ò例4.1 试求Poisson 随机电报过程的功率谱密度。
解 由习题2B-73可知，Poisson 随机电报过程为宽平稳过程，其自相关函数为2||()e X R a t t -=，其中a 是信号平均传输速率。
由Wiener-Khinchin 定理知其功率谱密度为2j22j20()ee d e e d 1142j22j244f f X S f f f f a t ta t tt ta a a a ¥-p --p -?=+=+=-p +p +p 蝌例4.2 设()X t 是定义在¡上的实随机过程，其功率谱密度为()X S f 。
则()X t 的解析过程()()j ()Z t X t X t =+(的功率谱密度为()4()()Z X S f S f U f =其中()U f 为Heavyside 函数。
解 由习题3B-39和例3.29知，()Z t 的自相关函数为()2()j ()Z XXX R R R t t t 轾=+臌(对其作Fourier 变换，由()()()jsgn()()X XXX S f S f H f f S f ==-(知()4()()Z X S f S f U f =所以，解析过程没有负功率谱密度。
例4.3 试求随机相位余弦信号0()cos(2)X t a f t Q =p +的功率谱密度()X S f ，其中Q 是(,)-p p 上的均匀分布。
解 由例2.72知，()X t 为平稳过程，且其自相关函数为20()cos22X R f a t t =p则其功率谱密度为002j2022j2()j2()2200()cos 2e d 2e d e d 44()()44f X f f f f a S f f a a a a f f f f tt tt t t td d ¥-p -?ゥ-p --p +-??=p =+=-++ò蝌其中，用到了常数1的Fourier 变换是d 函数的性质。
由此可见，随机相位余弦信号()X t 的功率集中于频点0f ±。
例4.4(白噪声过程) 如图4.3所示，若宽平稳随机过程()W t 的功率谱密度在任意频点上是常数，即0()/2W S f N =，则称()W t 为白噪声过程,由Wiener-Khinchin 定理知其自相关函数为()()2W N R t d t =若宽平稳随机过程()X t 的功率谱密度为≤0,2()0,X N f w S f f wìïïï=íïï>ïî其中w 为某个正常数，则称()X t 为带限白噪声过程。
该过程的平均功率为{}200()d 2wwN EX t f N w -==ò自相关函数为00j2sin(2)()e d 22w f X w N w N R f tt t tp -p ==p ò由上式可见，当/(2),1,2,k w k t =?L 时，()X t 和()X tt +互相正交。
图4.3 白噪声和带限白噪声的功率谱密度互功率谱若()X t 和()Y t 是两个随机过程，和随机信号功率谱密度的定义类似，可以定义()X t 和()Y t 的互功率谱密度为{}j2j21()lim ()e d ()e d 2TTftftXY T TTS f E X t t Y t tT *-p -p --轾轾=犏犏臌臌蝌和Wiener-Khinchin 定理的证明类似，若()X t 和()Y t 为两个联合宽平稳的随机过程，且()d XY R t t t ¥-?<?ò，则有j2()()e d f X Y X Y S f R tt t ¥-p -?=òj2()()e d f X Y X Y R f S f t t ¥p -?=ò式中，()XY R f 为()X t 和()Y t 的互相关函数。
此外，还可以证明互功率谱密度具有以下性质。
性质4.2① ()();XY Y X S f S f *=② ≤2()()()XY X Y S f S f S f 。
证明作为练习。
例4.5 设()X t 和()Y t 是两个联合宽平稳过程，试给出()()()Z t X t Y t =+的功率谱密度。
解()Z t 的自相关函数为{}{}()()()()()()()()()()()Z X Y X X Y Y R E Z t Z t E X t Y t X t Y t R R R R t t t t t t t t **=+轾轾=++++臌臌=+++因此，()Z t 的功率谱密度为()[]j2()()()()()e d ()()()()()()2Re ()f Z X Y X X Y Y X Y X X Y Y X Y X Y S f R R R R S f S f S f S f S f S f S f tt t t t t¥-p -?=+++=+++=++ò在信号分析中，常常要讨论两个联合宽平稳随机过程的和，从上述表达式可以看出，互相关函数及互功率谱密度的概念的引进是必需的。
例4.6 设联合平稳的两个随机过程()X t和()Y t 的互功率谱密度为１+2其他j ,1/21/2()0,XY f f S f 靝-p <<p ïï=íïïî则互相关函数为1/2j21/22()(1j2)e d (sin cos )sin f X Y R f ft t t t t t t pp -p=+p +-=p ò4.1.2 离散时间随机信号的功率谱密度信号的频率刻画了信号变化的快慢，因而对于离散时间随机过程，只有指定了离散时间的绝对时间间隔T，功率谱密度才有意义。